Одномерные волны в нелинейной вязко-упругой среде с реакцией тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГб од

АКАДЕМИЯ НАУК АЗШ^А1ЦЩНСКСЙ РЕСПУБЛИКИ « 1 — " ' ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи УДК - 539.3

ХАСАН МУХАММЕД ШМ

ОДВСЫЕНШВ ВОЛНЫ В НЕЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКО-УПРУГОЙ СРЕДЕ С РЕАКЦИЕЙ

Специальность: 01,02.04 - Механика деформируемого

твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кацдидата физико-математических наук

БАКУ - 1993

Работа выполнена в Бакинском Государственном Университета им.М.Э.Расулзаде.

Научные руководители;

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук, профессор АМЕНЗАДЕ Р.Ю.

- доктор физико-математичсс-кнх наук, профессор АХУНДОВ М.Б.

- доктор технических наук, профессор СУВОРОВА Ю.В.

- доктор технических наук, профессор АКБАРОВ С.Д.

Ведущая организация - Азербайджанский технический университет.

Защита диссертации состоится " I " 1993 г.

в " " часов на заседании Специализированного совета Д.004.01.01 в Институте Математики и Механики АН Азербайджанской Республики по адресу: 370009, г.Баку, ул.Ф.Агаева,

дом В 9.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института Математики и Механики АН Азербайджана.

Автореферат разослан " " 1993 г.

Ученый секретарь Специаяи зированного совета Б

дог.тор ¡Т>изико-математичестсих хг^^ ' * '

наук

Актуальность тещ. Колебательные системы являются наиболее распространенными об"ектами как техники, промышлошос-ти, так и биологии и медицины. Эта системы по своей прттоде нелинейны, вязки и имеют ряд иных качеств, специфических для своих отраслей. Примером их мояно указать детали и конструкции машин и механизмов, изготовленных из полимерных и композитных материалов. Другой пример - биологический об"ект - кипой организм, его ткани. Преимущественное свойство жво-го организма - это саморегуляция, возможность реагировать на внешнее воздействие, изменяя меру его воздействия. Механизм этого явления лежит в области нейрофизиологии. При создании биотрансплантантов, при изучении свойств тканей живого организма необходимость учета этого являения побудила ввести в строящиеся модели некоего "биофактора", В рамках этого понятия удалось дать адекватное математическое описание некоторого поведения отдельных биотканей.

Если в технике под понятием "биофактора" иметь в виду, корректирующее поведение конструкции, управление, то область применимости математических моделей тел с биофактором становится значительно сбщлркеэ.

К настоящему времени изучены для нйкоторых из имеющихся моделей биоактивных твердых тел вопроси линейных колебаний. Проблема же изучения нелинейных колебательных процессов подобных тея остается открытой»

Данная диссертационная работа дает о.гда ли не первую попытку изучения атой лрсблеш.

Паль работы. Разработка единого сггособа репеипя и ре-

шенпе -задач об установившихся продольных и изгибных колебаниях упругого и наследственно-упругого стерзхня конечной длины с учетом биоактивиостл (биофактор) материала стержня. Выяснение влияния на амплитудно-частотные характеристики нелинейности, вязкости и бит актора.

Обпдая 'методика вмюлнения исследований основана на сочетании метода малого параметра с методом Фурье-анализа.

Научная ков»зта. Предложен единый способ решения новых аадач о продольных и кэгибных колебаниях биоактивного упругого а вязко-упругого стертш конечной длины. Решения получены в аналитической унифицированной форме. Произведен числовой расчет и построена соответствующие ашгсктудно-частот-кке характеристики. Выяснены роль и влияние .'нелинейности, вязкости и биофактора ка наличие л распроделениз.резонансных частот и уровень соответствующих амплитуд. , .

Практическая ценность. Результаты и выводы диссертационной работы могут быть использованы при разработке и проектировании колебательных систем с необходимыми аштлл тудно-час-тотнымя характеристика!-®. Представленнке исследоватш таккё могут бить полезпк- в разработке вопросов виброз-эщити работам ков промиг,И.Лонпости и транспорта. Они весьма полезны в доле создания биотпансглантантов.

Апробацтуя заботы. Розультатн исследований, составляющие данную диссертационную работу, неоднократно докладывались на семинаре катедрн теоретической механики и механики сплоиюй среды БГУ км.1л.З.Расулзаде.

Дубликата'. По результатам выполненной работы опубли- .

кованы четыре статьи в "Вестник Бакинского Университета", а также депонировав в АзНИШПИ.

Об"ем работы. Диссертационная работа содержит страниц машинописного текста, 19 иллюстраций, 33 таблиц и списка литературы из 166 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка" цитируемой литературы.

Во введении дается краткий обзор литературы, примыкающей к исследуемой в диссертации теме, обосновывается ее актуальность. Здесь не приведено краткое содержание диссертационной работы по главам.

В первой главе приводятся необходимые сведения механики линейной и нелинейной наследственно упругой среды, методы решения соответствующих краевых задач, а также моделч биологически активных твердых деформируемых тел.

Вторая глава посвящена изучению нелинейных продольных колебаний биоактивного упругого и вязко-упругого стертпя конечной длвны.„На основе известной* модели биоактивного деформируемого твердого тела для случая, когда материал стержня подчиняется нелинейному закону наследственной упругости Ю.А.Работиова

к Ахундов М.Е., Работпов Ю.Н., Сзтюроьа P.D. Модель деформируемого тела о реакцией и приложение ее к динамически« задачам биомеханики. Иэь. АН СССР, ЫТТ, IS85, 0.96100.

о*

где к г" - соответственно насл< зтвенные операторы ползучести и релаксации, а <р(Б) - нелинейная функция кривой мгновенного деформирования, построено разрешающее интегро-дис1хх)ере1щиальное уравнение относительно функции продольного смещения прямолинейного стерши вида:

(I-АУМЦ -(/-Л)

Л Л

Здесь учтено, что ядро наследственного оператора релак- ■ сации /'(¿-Б) регулярно. Кроме того 0<А<1 и 0<Ъ«1 параметры биофактора, причем V — отражает запаздывания бяореакции на внешнее воздействие; то есть соответствующий сдвиг по времени. При Г({-€)=* 0 из (2) получается известное, уравнение одноосного деформирования нелинейной упругой среды пр1 наличии биофактора.**

Нелинейная функция мгновенного деформирования принята в виде

ц{г) = а/й(/+Яб), (з)

где С1у% - э:.зшрические постоянные, причем % - естественна Агуцдов М.Б. Распространение импульса нагрузки в нелияей-но-упругом стеггтаз обладающим реакцией на воздействие, ^ел по натанейной теории упругости.

ннй физический малый параметр. Разлагая физическое соотношение (3) в ряд по этому параметру, а также представляя искомое решение толе в виде ряда по тому не малому параметру:

и

(4)

Из основного уравнения (2) получена система рекурентных диф-ференцпальлых (для упругого материала) и интегро-дифференци-альннх для вязко-упругого материала уравне1тй относительно членов рада (4) Цт[хЛ)

Здесь приведем соответствующую систему для первых трех приближений:

• 1щ == // сад > (5)

где оператор Ь для упругого случая имеет представлегше: дг

д2 „ д3

дхг В13- дх2В1

В свою очередь для упругого ле случая:

д2ш дш

4 (адМм)

дхг Вх

7)2

ч-Лгг

Вг

ио

ди0

(6)

д'% д2ио

д% дКо ■ д Ио дц,

дхг дх + дх

дх*д1 дх дхд1 Э.ъг 2" д\ [ дИоМ

% о и0 ( ошУ*

д\ див да, . д% д% дги0 3%

д% ди0 ,

[дхгд1 дх 1

( дш у

дедЬ \дх)

дхгВ1 Зое ' дхдЬ д~и0 д2Ио ди„ '

£х2 СУ'оЬ дхг

- б -

Для вязкоупругого материала оператор L (6) будет выглядеть следующим образом:

(8)

Соответственно для вязкоупругого случая более сложный вид имеют и' выражения для ^[Uo) и ^ (Щ, t(i) в (5).

. lift основе уравнений (5) рассмотрена задача об установившихся продольных колебаниях егеряня конечной длины. В двух параграфах в тоьо й главы дштндя задача рассмотрена соответственно в упругой и вязкоупругой постановках, причем в послед-

-fiHis)

нем случае в качестве ядра релаксации принято Г({-$)=%& Предполагается, что один торец стержня подвержен колебаниям заданных акдлнтудн и частоты, а нравмй торец свободен от усилий:

u(oJ)=^aecffSQ>{, диЩ) I в Д* \ос=с

(9)

Представление (4) позволяет расщепить граничные условия (9) для каждого из прпблхчкэний

О,

дит (х,Ь

д,*

(Ю)

W

0,

Pf.¡окне крас:гл.т. задач (5)-(10) ищется в виде:

, —- iKobi,

] <п>

Ппг. годом ло.т.у'чеш'у.'э июг^.регения .яда перглгх трех игл-

ближений

U0[x,b) = Rp (*,a>)Cos [ai-фв(*,й>)] ,

где R(я, со) .^(^co) , Qffcco) -известные функции параметров задачи, которые в виду их громоздкости здесь не приводится. Амплитуды Rrn fate) представлены в.единой унифицированной форме, что позволило создать единую программу численных расчетов. Результаты этих расчетов сведены в виде таблиц и графиков.

Зависимости R^ fit,СО) от частоты й) , так называемые амплитудно-частотные характеристики, рассчитывались для различных значений параметров биофактора - времени запаздывания реакции V ; параметров вязкости - Ц и Jlft (параметр, отражающий уровень "памяти соответствующего наследственного оператора релаксации). При этом численно показано, что для членов ряда разложения (4) справедливо:

• (13)

На рис. I и 2 проведены амплитудно частотные кривые для

нулевого Ra и второго приближения Для трех значений

-2 -3

параметра запаздывания реакц* ъ V ( /— Vя* tQ , 1 -Т=*10 * З-'о ^ ) для вязкоупругого материала стержня (£=-0,1; fit =0,001). На рис.3,4 приведены соответственно лулевое и второе приближения амплитудно-частотных характеристик для трех значений параметра вязкости ядра оператора релаксации.

ft «

3

6

j

Л

i 1 i i i i ¡ i

IV í'1

i i! i i! t I'Í Г

л H <4 ■■/tb ■ M

? 0 H # V

Pu с. I. Влияние биофак-гора (нулевое приближение)

js-o.is иг* ю-3 .

I - Гею-2, 2 - Г»* ю-3, 3 -r= I0"4.

i\ и 'A

д L' V r\ ¿Jl\ /X ____

у g н f3 Q

Eii-.Si. Екяетаз© йшофажгора (второе приближение) тт _zsr— 1ПГ^„ 2 -ЯГ— КГ3, 3 -ST= ПГ4.

1

о

Рис.3. Влияние параметра вязкости (нулевое приближение). Ра 1СГ2^ /Ит 10" 3; 1-5= 0,8; 2 - 0,1; 3 - 0,01.

// V * ч 1

7 9 -И Л? а>

Рис.4. Влияние параметра вязкости (второе пркблклг тле). Се кг2, ^ ю-3.

I- 0,8; Р - ¡з = 0,1; Я-^О.ОТ. '

А У' 1- /лЬ 1« н А />\1 >1 м

\ ч "Тч

7 д н а а

- 12 -

Решение (12) и числовые расчеты позволили выявить, что нелинейность привела к возбуждению высших гармоуик и насыщенно первоначальной синусоидальной формы волны. Влияние биофактора сказывается в том, что о увеличением параметра запаздывания реакции У (усилением биофактора) соответствующие амплитудно-частотные кривые ополаскиваются, а главный резонанс одвигается в сторону меньших частот. Подобную жо роль может играть я вязкость (рис. 3,4).

Третья глава, состоящая из двух параграфов, посвящена изгибпым колебаниям нелинейного упругого и вяэкоупругого биоактивного сторяня. Вывода/о уравнение, определяющее «функцию прогиба , которое для упругого случая имеет

ввд>, „г Л „2.г эг / Лу! г ¿»V

г3 ( Э!1Х VI ¿V „ (14)

где Р - малый физичесзспй параметр в определят\ем законе ' (3), -¿Г - приведенный радиус инерции поперечного сечения стертая, ; с£'~Е/р; 2 - дона стериш, Ч0 -

истгннш радиус инерции поперечного сечения, "Ь0 - некоторое характерное* размерное время.

Дня вяэкоупругого случая основное раяро'га'.о'^рп урпвиоН'К), оппсг'еляп'со гТушажо прогг.ба получено г т-л-де:

На основе уравнений (14),(15) рассмотрена задача об из-гибных колебаниях стержня конечной длины, один торец которого свободен от усилий, а .другой подвержен поперечному колебанию заданных амплитуды и частоты:

з2,

В*2 (^сл

ЫШ „ вгтш

.0 ------0.

Эх*

Поиск решения краевых задач (14)-(1б) или (15)-(1Г>) в виде

(I?)

Л»

позволила получить систему реккурентных дкпкоеренциальнкх (для упругого материала стертая) и интегро-дк'Меренциалыосс

(для вя^коущутого материала стеркля) уравнений вида:

в ; °>1'2' • •' (18)

где оператор [¡^ имеет следугсдее представление:

п* ..

где г - наследстЕСгжш оператор релаксации, который для упругого случоя следует положить нулю.

При .этой первых.трех приближений:

Л ~ Л ~ 0)

Разло-тоние (17) позволило расщепит* граш'ч^кг услолгя (¿"):

ох7 (2 X)

я. дг*№) л --0

л дгшпт л (22>

—Щг--0> -<>

Таким образом получена система зацепляющихся краевых задач (18)—(21), (22).. Сразу можно заметить, что для первого приближения М^Ъ'Ь) . получена однородная краевая задача, и поэтому в силу единственности ее решения имеем УУ}(эсЛ)=з О Нулевое и второе приближение ищутся в виде:

<23)

Методика решения, аналогичная той, что применялась в задачах о продольных колебаниях, позволила получить решете в виде:

Welx,í)=Ro(эc>cд)c0s[tol-фo(x,toj¡„

С05 [0)1 - +■ (24)

где амплитуды (я,а)) и начальные фазы колебаний 1Рп(х,со) представляют собой аналитические замкнутые выражения определяете параметрами, биофактора ( /1 и V ), вязкости ( и Д ) и вид которых из-за их громоздкости здесь не приводятся.

Представления (24) показывают, гл нелинейность приводит к возбуждению высших гармоник и изменению первоначального

- 15 -

синусоидального профиля волны.

С целью выяснения влияния биофактора и вязкости материала на процесс изгибных колебаний били рассчитаны функции амплитуд (х,СО) в зависимости от частоты Сд для свободного торца стержня X = С для различных значений параметра биофактора - времени запаздывания реакции V , и параметров ядра релаксации $5 и ^ . Эти числовые данные сведены в таблицы и представлены л виде соответствующих амплитудно-частотных кривых. Обнаружено, что с увеличением параметра запаздывания реакции амплитудно-частотные кривые резко ополаскиваются, вплоть до исчезновения резонансных пик, причем происходит сдвиг главной резонансной частоты в сторону меньшего его значения. С увеличением параметра вязкости (коэффициента ядра релаксации) амплитуды колебаний уменьшаются. Роль.же параметра , отражающего уровень памяти наследственного' оператора релаксации неоднозначна. Так в области относительно низких частот с увеличением значения параметра ¿1 (что соответствует случаю "ухудшения" памяти оператора) для малых Л амплитуда имеет тенденцию к возрастанию. В то же время в области более высоки« частот ; •• зисимость амплитуды от параметра ¿Л немонотонна и зависит от значэния частоты СО . На рис, 5, 6 приведена амплитудно-частотная

кривая для нулевого и второго приближений в упругом случае д

-2

для "рех значений параметра запаздывания реакции V 2- тг= Ю 3; З-Г « Ю* )

На рис.7 п 8 приведены зависимости амплитудно-частотных кривых нулевого и второго приближений от параметра вязкости]з

/ \ / \

\ i * f \ \

/ / / \ Л

/ у' \ ч \ *s

1 •Л к

330 340 350 360 0 Рис.5. Влияние биофактора (нулевое приближение) 2 «Ю-3: I - 2Г»1(Г2, 2 - Гв Ю~3, 3 -ZT«I(T4.

ш tii

8

/\ / \

/ / \ Л.

i /

¿30 ¿40 одр дао <J

Гсс.6. Вяпянае бкофактора (второе приближение)

IGT3, I - ЮГ2, 2 Ю-3. 3 -Г=1(Г4.

---- — —.. t ч ■-7—' — ^ S

• 'S \

1 »

ч • — —' ( Ч

. 'S * л

г* К

___ f \ / 1 ч 4

• ;

V ^ \ У

_. 7Í

«о

I

ил i

" Cf

й и ^ M

I

Q?IJ «О

Л / \

\ \ \ Л

\ / / // // \

/о

/е

я

/в

<0

Рис.8. Етп'.яш'.е параметра вязкости (второе приближение)

^ю2, од, г= ю-3

I -Ш=0,0Г> 0,1; 2 - £8 1; 3 - £=//?

- 19 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Получены уравнения продольного и изгибного движений для упругого и наследственно-упругого нелинейного стержня с учетом наличия биофактора.

2. Решены задачи о продольных и изгибных колебаниях нелинейного упругого и наследствепно-упругого биоактивного стержня конечной длины.

3. На основе сочетания методов малого iараметра и метода Фурье-анализа разработана единая методика решения рассмотренных задач. Для каждой из них построена система реккурент-ных дифференциальных либо интегро-дифференциальных уравнений относительно членов разложения в ряд функции продольного смещения или прогиба. Для нескольких первых приближений подучены аналитические замкнутые выражения решений, причал в унифицированной форме, что имеет важное значение при создании и реализации численных программ- на ЭВМ. .

4. Для всех задач и всех рассмотренных приближений построены амплитудно-частотные кривые в зависимости от параметров наследственного оператора релаксащ i; и биофактора.

5. Численная pet лзация и анализ полученных данных дозволил сделать следующие выводы:

а) наличие нелинейности приводит к генерации высших гармоник, искажению Форш синусоидального профиля волны и резонансно^ взаимодействию волн;

б) наличие биофактора существенно влияет на картину амплитудно-частотной зависимости, 'причем это влияние носит не только количественный, но и качественный характер. С рос-

том значения параметра запаздывания биореакции амплитуда колебания уменьшается, а главный резонанс сдвигается в область меньших частот. Для'некоторых же колебательных систем наличие биофнктора рассмотренной природы вообще может привести к исчезновению резонансных частот;

в) с увеличением параметра вязкости - коэффициента пропорциональности ядра релаксации - амплитуда колебания уменьшается. Обнаруживается (для продольных колебаний) сдвиг резонанса в область меньших частот;

г) с ухудшением памяти наследственного оператора релаксации (увеличением параметра ядра-показателя степени эксдо-ненционального ядра релаксация) в зависимости от коэффициента пропорциональности ядра релаксации амплитуда колебания тлеет тенденцию либо к возрастанию (для малых значений ко эф- . фициента пропорциональности), либо к убыванию (для относительно больших значений коэффициента пропорциональности ядра релаксации);

д) ухудшение памяти наследственного оператора релаксации приводит к бдаигу резонанса в область меньших частот.

По материалам диссертации опубликованы следующие работы:

1. Халифа Х.Ц. Нелинейные продольные колебания вязко-упругого стсржня о реакцией. - Баку, 1923. - 16 с. - Дрп.в л^азшгл 22.10.92, к 1896-АЗ.

2. Хайифа Х.Ц. Нелинейные изгнбныо колебания вязко-упругого стерняя с реакцией. - Баку, 1993. - 16 с. - Деп.в

ЛзЦШШТМ 80,10.92, Я 1901-Аз.

3. Аглензаде Р.Ю., Ахундов М;Б., Халифа Х.М. Продольные колебания биовязкоупругого стержня.// Вестник Бакинского Университета (серия физико-математических паук). 1993г.,М.

4. Амензаде Р.Ю., Ахундов М.Б., Халифа Х.М. йзглбныа колебания биовязкоупругого стержня. // Вестник Бакинского Университета (серия физико-математических наук). 1933г.,К.

X I Л А С 8

Биолоет авезедичиларин сечилмаси ва тапшшасы проблема вз Ьалпинин машин Ьиссаларинда бзлу-еластики хассалара малик олан полимер во композит матерпаялардан истифада олун-ыаоы.охшар сиотечлорде рагсд лросеслерин аравдырылмасы зэ-руратипи дорурур,

Диссертасвдада плк дэфе олараг, гепри хатти ирси-елас-тики мвтвриапдан Ьазырла!шыш сонлу узуклуглу тирда биолоки амили нвзерэ г-слагда бирелчулг коиструксиэада енинэ вв узу-к?на рагслор «.».'¡рэнилир, Меселалерин Ьелли учун Ьармоник анализ методу ва ничик параметр усулунун гарншыг татбигин-дон истифадэ едилир. Гурулан интагро-диференсиал тонликларин ез ни формалы аналитик Ьэдлари алынмшдыр ки, бу да Щ»1-дв едэди Ьоеабламалар апармаг учун умуми <3ир программып пазыр-ланыб, истифада олунмасына имкан вермишдир. Апарылмш едади Ьесабламалар натичасинда физики параметрдарден - гезри-^хат-лилик, езлулхк, вэ биоложи амилден - асылы олараг амшштуд-тезлик грагТщклэри гурулмуидур. Бу графиклердан керундудт кими материалын гезри-хеттлилиэи далганын сииусоидал формасы-' нш дозишмасине -"безук тартибли Иармоникаларын заранмасша котирир. Биолоди амилин назере алынмасн рагслврин амплиту-дасынш азалмасына ва есас резонансларын,. тезликларин нис-батен кпчик гадметлер областына кечмозине сабаб олур. ©злу-лгоуп та"сири осасак биоложи амиллнк та"сирино уз?ундур.