Однопетлевые электрослабые поправки к процессам 2f1→(γ,Z)→2f и распадам B→2f в среде SANC тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

2-2004-176

На правах рукописи УДК 539.12.01

НАНАВА Гизо

ОДНОПЕТЛЕВЫЕ ЭЛЕКТРОСЛАБЫЕ ПОПРАВКИ К ПРОЦЕССАМ 2/,->(у,7)->2/ И РАСПАДАМ 5-» 2/ В СРЕДЕ SANC

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Дубна 2004

Работа выполнена в Лаборатории ядерных проблем им. В.П. Джелепова Объединенного института ядерных исследований.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор

кандидат физико-математических наук

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

доктор физико-математических наук

Д-Ю. Бардин Л.В. Калиновская

А.В. Ефремов Ф.В. Ткачёв

Ведущая организация:

Научно-исследовательский институт ядерной физики Московского государственного университета, г. Москва.

Защита диссертации состоится "_"_2004 г. в

15— на заседании диссертационного совета К 720.001.01 при Лаборатории теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, г. Дубна, Московской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований.

Автореферат разослан "_"_2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

СИ. ФЕДОТОВ

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Современные эксперименты в физике элементарных частиц характеризуются огромной статистикой зарегистрированных событий. Так например, на четырех детекторах LEP: ALEPH, DELPHI, L3 и OPAL было зарегистрировано около 17 миллионов событий. Это огромная статистика обеспечила беспрецендентную точность экспериментальных измерений для некоторых Z резонансных наблюдаемых, таких как cjj и Гг, порядка 10-3 или лучше. С 1995 года по 2000г. LEP работал при энергиях выше Z резонанса, достигнув к 1999 году 100 ГэВ на пучок и поставив к октябрю 2000г. более 750пб_ светимости каждому детектору, что превысило проектные цели. Поэтому даже в области высоких энергий, где нерезонансные сечения малы, точность измерений превысила 1%.

Эта высокая точность измерений потребовала теоретических расчетов соответствующих наблюдаемых с теоретической неопределенностью в несколько раз лучше экспериментальной, скажем ~ (2 — 3) X 10"4, чтобы не вносить дополнительную систематику и в полной мере использовать высокую точность экспериментальных измерений для прецизионной проверки теории. Для этого в расчетах приходилось учитывать петлевые квантовые поправки. Соответствующий математический аппарат создавался в семидесятые-восьмидесятые годы прошлого века. Все эти факты позволяют заключить, что в течение последних десяти лет окончательно сформулировалась новая научная дисциплина - прецизионная физика высоких энергий, имеющая две составляющие:

• собственно прецизионные измерения при сверхвысоких энергиях, и

• поддерживающие их теоретические расчеты, которые, с неизбежностью должны быть многопетлевыми вычислениями в теории возмущений реля-тивитской квантовой теории поля.

Предпологается, что прецизионная физика высоких энергий имеет хорошие перспективы в будущем. Уже в ближайшее время ожидается уточнение важных входных параметров Стандартной Модели. Для теоретической поддержки экспериментов на современных и будущих ускорителях, где ожидается еше большая статистика, необходим новый уровень как теоретических предсказаний, так и компьютерных программ. Громоздкость петлевых расчетов приводит к необходимости создания соответствующих компьютерных систем. Приведенное исследование преследовало следующие цели :

• Создание четырехуровневой компьютерной системы SANC, доступной через интернет, для автоматического вычисления псевдо- и реалистических наблюдаемых на однопетлевом уровне точности для целого ряда процессов и распадов элементарных частиц. В настоящее время доступна версия 0.41 системы.

• Последовательно внедрить в систему SANC технику спиральных амплитуд для расчета наблюдаемых. Для вычисления спиральных амплитуд основных процессов в SANC используется метод Вега-Вудки, а для процессов сопутствующего излучения — техника Кляйса-Стирлинга.

• С использованием техники спиральных амплитуд создать Монте Карло генератор для распадов

• Результаты точного Монте Карло генератора SANC для распадаИ* —> /¿//7 использовать для улучшения известного приближенного Монте Карло генератора PHOTOS.

Научная новизна работы.

• Впервые создана однородная компьютерная среда SANC, доступная через интернет, для автоматического вычисления наблюдаемых в физике высоких энергий на однопетлевом уровне точности.

• В среду SANC имплементировано вычисление однопетлевых электрослабых поправок к процессам типа

• В среде SANC реализовано вычисление однопетлевых электрослабых поправок к двухфермионным распадам калибровочных бозонов и бозона Хиггса.

• Имплементирована процедура вычисления вкладов мягкого и жесткого тормозного излучения для данных процессов.

• В систему SANC внедрена техника спиральных амплитуд для расчета физических наблюдаемых.

• Впервые создан Монте Карло генератор для моделирования двухфермион-ных распадов бозонов Стандартной Модели и бозона Хиггса с излучением одного реального фотона.

• Результаты, полученные с помощью этого Монте Карло генератора, использованы для улучшения предсказательной способности генератора PHOTOS.

Практическая ценность работы.

Созданная система SANC найдет своё применение для прецизионных вычислений вкладов процессов Стандартной Модели в эксперментах по поиску новой физики на современных (CERN: NOMAD) и будущих ускорителях (LHC : ATLAS, CMS).

Следующие результаты выдвигаются для защиты:

1. Создание компьютерной среды SANC, v.040, доступной через интернет и реализующий вычисление физических наблюдаемых с однопетлевой точностью для широкого круга процессов в физике высоких энергий.

2. Внедрение в систему SANC техники спиральных амплитуд.

3. Создание Монте Карло генератора для моделирования различных распределений для двухфермионных распадов бозонов Стандартной Модели и бозона Хиггса с излучением реального фотона.

4. Улучшение пределов применения широко известного Монте Карло генератора PHOTOS посредством процедуры введения корректирующего веса, основанной на результатах точного моделирования радиационных распадов.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах Лаборатории Теоретической Физики им. Н.Н.Боголюбова ОИЯИ, на семинарах в CERN, на конференциях СААР - 2001 (Дубна, Россия, 28 Июнь 2001 г.), ICHEP - 2002 (Амстердам, Нидерланды, 24-31 Июль 2002 г.), АСАТ - 2002 (Москва, Россия, 24-28 Июнь 2002 г.), на Рабочем Совещании ECFA LCWS (Монпелье, Франция. 13-16 Ноябрь 2003 г.)

Публикации. По результатам диссертации опубликовано пять статей и четыре вклада в труды вышеупомянутых конференций.

Содержание работы

Во введении очерчен круг исследуемых проблем, кратко сформулированы используемые методы и результаты, полученные в диссертации Приведено содержание по главам

В первой главе диссертации приведено вычисление полной электрослабой однопетлевой поправки к процессам типа 2/1 —^ 2/ Расчеты выполнены с помощью системы вАЫС Массы начальных фермионов пренебрегаются, а конечных фермионов удерживаются Вычисления выполнены в Е^ калибровке с тремя калибровочными параметрами Используется техника спиральных амплитуд. Для устранения инфракрасных расходимостей в физических наблюдаемых (дифференциальные и полные сечения, асимметрии), учтен вклад мягкого тормозного излучения от внешних заряженных фермионов Приведено детальное сравнение полученных результатов с результатами известной программы ZFITTER для всех каналов с рождением легких фермионов В таблице 1 представлено сравнение для четырех ненулевых форм-факторов для трех значений энергии с ц м т/в А в таблицах 2 и 3 — сравнение для дифференциального

Таблица 1 ЭС форм факторы д |я процесса е+е~ —► // Сравнение 5А\С 7ПТТЕ11 Первая с 1 рока ЭА\С вюрая прока -2ПТТЕ11

yfi 100 ГэВ 200 ГэВ 300 ГэВ

FF

ии канал, т„ = 0 1 ГэВ, тл = 0

fll ZF 12 89583 - «1 84786 12 89583 - il 84786 8 24737 -гЮ 64653 8 24736 -110 64651 8 98371 -112 88466 8 98370 -212 88466

FOL ZF 29 30446 + гЗ 67330 29 30445 + гЗ 67330 29 38217 + г2 27613 29 38216 + ¡2 27613 31 59711 + tl 59304 31 59710 + tl 59304

FLQ ZF 29 10831 + гЗ 26973 29 10832 + гЗ 26973 29 48511 + гО 92311 29 48512 + гО 92312 31 65835 - 20 89711 31 65835 - 20 89711

FQQ ZF 44 88228 + г8 85688 44 88228 + г8 85688 43 31854 + i9 48286 43 31854 + г9 48286 44 18773 +210 25197 44 18773 + 210 25196

dd канал, md = 0 1 ГэВ, тщ, = 0

Fu ZF 13 70781 - 11 51002 13 70781 - 11 51002 15 18630 - гЗ 93706 15 18629 - гЗ 93706 8 86000 - il 80409 8 86000 - 21 80409

FOL ZF 29 64340 + г4 12394 29 64340 + г4 12394 31 96819 + гб 97877 3196818 + гб 97877 31 69945 + 28 03876 31 69944 + 28 03876

flq ZF 29 12112 + гЗ 22780 29 12113 + гЗ 22780 30 28990 + г1 73736 30 28990 + г1 73733 31 69321 - 20 07000 31 69323 - 20 07001

Fqq ZF 44 87608 + t8 79014 44 87609 + г8 79014 43 94906 + г9 86523 43 94905 + г9 48286 44 19463 + ilO 38253 4419462 +110 38251

и полного сечения, соответственно Как видно, уровень согласия между вычислениями SANC и ZFITTER является очень хорошим и составляет 6 или 7 знаков Для канала с рождением t-кварка результаты сравнивались с программами FeynArts и topfit Уровень согласия SANC с этими программами составляет 8-9 знаков, таблица 4

Таблица 2: Сравнение однопетлевого дифференциального сечения, [пб]. Первая строка - ZFITTER, вторая строка - SANC.

v/¡ 100 ГэВ 200 ГэВ 300 ГэВ 400 ГэВ 700 ГэВ 1000 ГэВ

COSI?

ии канал, ти — 0.1 ГэВ

-0.9 45.404742 45.404602 0.386966 0.386966 0.225923 0.225923 0.138065 0.138065 0.048621 0.048621 0.024156 0.024156

0 60.382423 60.382566 1.882835 1.882837 0.771939 0.771939 0.421410 0.421410 0.133475 0.133475 0.064245 0.064245

0.9 173.467517 173.467551 6.450000 6.450000 2.510881 2.510881 1.346620 1.346620 0.417295 0.417295 0.198842 0.198842

dd канал, m¿ = 0.1 ГэВ

-0.9 86.554414 86.554110 0.430807 0.430807 0.136720 0.136720 0.069644 0.069644 0.020899 0.020899 0.009978 0.009978

0 72.820806 72.820908 1.180211 1.180212 0.419410 0.419411 0.219070 0.219070 0.066312 0.066312 0.031351 0.031351

0.9 176.717336 176.717376 3.770861 3.770861 1.469194 1.469194 0.796291 0.796291 0.255118 0.255118 0.124714 0.124714

Таблица 3: Сравнение однопетлевого полного ЭС сечения, [пб]. Первая строка — ZFITTER, вторая строка — SANC.

100 ГэВ 200 ГэВ 300 ГэВ

<7tot <7FB tftot ^FB tftot Трв

е е+ канал, те = 0

52.61662 52.61662 30.78899 30.78899 2.980668 2.980667 1.654673 1.654673 1.276008 1.276008 0.648414 0.648414

fi.+H канал, т^ — 0.106 ГэВ

52.61634 52.61634 30.78885 30.78885 2.980667 2.980667 1.654671 1.654671 1.276008 1.276008 0.648414 0.648414

ии канал, т„ = 0.1 ГэВ

160.8980 160.8981 70.98406 70.98416 5.021808 5.021810 3.360848 3.360848 2.031754 2.031754 1.269556 1.269556

dd канал, m<¿ = 0.1 ГэВ

193.7658 193.7658 50.03208 50.03227 3.120724 3.120725 1.867871 1.867871 1.149479 1.149479 0.725581 0.725581

Таблица 4 Сравнение дифференциального сечения процесса е+е~ —► tt Учтен вклад мягкого тормозного излучения, £™" = у/s/10 Первая строка — SANC, вторая строка - FeynArts, третая строка - topfit

500 ГэВ 700 ГэВ 1000 ГэВ

cos д

09 0 11408409557800 0 11408410 0 11408410 0 05199100267864 0 051991003 0 051991001 0 02310170508071 0 023101705 0 023101706

05 0 14308120516447 0 14308121 0 14308121 0 06560630503586 0 065606305 0 065606305 0 02882301902010 0 028823019 0 028823021

00 0 21718800976521 0 21718801 0 21718801 011496514450150 011496514 011496514 0 05495088904853 0 054950889 0 054950889

05 0 32933727394776 0 32933727 0 32933727 019615154401629 019615154 019615154 0 09941700898317 0 099417009 0 099416999

09 0 44290816734352 0 44290817 0 44290816 0 27915043976042 0 27915044 0 27915045 0 14426233253975 0 14426233 0 14426232

Во второй главе диссертации расмотрена процедура вычисления однопет-левых ЭС поправок к двухфермионным распадам калибровочных бозонов (И'*,^) и бозона Хиггса Расчеты выполнены с помощью компьютерной среды SANC Получены форм факторы и спиральные амплитуды свободные от УФ расходимостей Для устранения ИК расходимости в ширине распада учтен вклад мягкого тормозного излучения Также вычислен вклад жесткого тормозною излучения в ширину распада Вычисления ЭС поправок для этих распадов в ^ калибровке выполнены впервые На рис 1 и рис 2 представлены результаты вычислений радиационных поправок к данным распадам выполненные с помощью SANC

Рис 1 Зависимость ширины распада от массы Я бозона

«.№«1 ». KM!

Рис. 2: Зависимость радиационной поправки к ширине распадов от массы Н бозона

В третьей главе диссертации приведено описание Монте Карло генератора для двухфермионных распадов калибровочных бозонов и бозона Хиггса с излучением одного реального фотона. При имплементации однопетлевых КЭД и слабых поправок массами конечных фермионов не пренебрегается. Для численного расчета амплитуд радиационных распадов используется метод спиновых амплитуд Кляйса-Стирлинга. Интегрирование в фазовом пространстве выполнено с помощью техники Монте Карло. События, сгенерированные с помощью SANC, имеют единичный вес. Для распада Z бозона, КЭД часть вычислений сравнивается с точным однопетлевым КЭД предсказанием известного Монте Карло генератора KORALZ, который тщательно проверялся в течение последних 20 лет и широко использовался при обработке данных на LEP и SLC. Из приведённых на рис. 3 гистограмм видно, что уровень согласия SANC с KORALZ лучше, чем 0.5% (т.е. находится на уровне статистических ошибок). Проверяется, что КЭД поправки порядка 0(a) к ширине Z —> // распада согласуются с хорошо

известным стандартным фактором 1 + -— = 1.001743. Вычисления SANC для

этого фактора дает 1.001733 ± 2.8 х Ю-5. Т.е. согласие лучше, чем 0.01%. Для W и Н распадов результаты сравнивались с приближенным Монте Карло генератором PHOTOS. Как видно из приведённых на рис. 4 и рис. 5 гистограмм, согласие SANC с PHOTOS находится в пределах ожидаемого уровня точности, если учесть, что алгоритм Монте Карло генератора PHOTOS основан на приближении лидирующих логарифмов. Для распределения по аколлинеарно-сти (рис. 5), где главный вклад определяется несингулярной частью матричного элемента распада W отличие между SANC и PHOTOS составляет 40%.

- Ratio = SANC/KORALZ

-

- +

z-vVM . . . . 1 . . . .............

30 40

E,,GeV

Рис. 3. Сравнение распределений SANC и KORALZ для распада 2 —* ¡.Г(■у)\ отношение распределения по энергии фотона (на левом рис.) и углу фотона (на правом рис.) относительно ц~.

Это было исправлено с помощью добавления в PHOTOS коректирующего веса:

В результате, согласие SANC с PHOTOS стало значительно лучше (рис. 6), особенно в той области фазового пространства, где доминируют нелидирующие слагаемые матричного элемента распада W Wij 10%).

Рис. 4: Сравнение распределений SANC и PHOTOS для распада Н —► 7; отношение распределения энергии фотона (на левом рис.) и мюона (на правом рис.). Главный вклад определяется лидирующим логарифмом (коллинеарность).

Рис. 5: Сравнение распределений SANC и PHOTOS для распада от-

ношение распределения по углу фотона относительно (на лесом рис.) и аколлинеарности (на правом рис.). Главный вклад определяется ИК сингулярностью для левой гистограммы, и несингулярной частью матричного элемента для правой гистограммы.

Ratio = PHOTOSr-^/SANC™"

—

Г W->n'v

0 «5 „ \ cose,

: 1 Г I , Ratio = SANC^/SANC*"*

"I 1 ......... L W->n'7

1- Ratio íSANf?^^«?"1

H-++++4-

L

со>е„

Рис. б: Сравнение распределений для W распада точного SANC и улучшенного PHOTOS; отношение распределения по углу фотона относительно (на левом рис.) и аколлинеарности (на правом рис.). Главный вклад определяется ИК сингулярностью для левой гистограммы и несингулярной частью матричного элемента для правой гистограммы. На нижних рисунках показаны те же сравнения распределений между точным и приближенным SANC.

Основные результаты, полученные в диссертации.

1. Создана однородная компьютерная среда SANC, доступная через интернет, для автоматического вычисления наблюдаемых в физике высоких энергий на однопетлевом уровне точности.

2. В среде SANC имплементировано вычисление однопетлевых электрослабых поправок к процессам типа

3. В среде SANC реализовано вычисление однопетлевых электрослабых поправок к двухфермионным распадам калибровочных бозонов и бозона Хиггса.

4. Имплементирована процедура вычисления вкладов мягкого и жесткого тормозного излучения для данных процессов.

5. В систему SANC внедрена техника спиральных амплитуд для расчета физических наблюдаемых.

6. Создан Монте Карло генератор для моделирования двухфермионных распадов бозонов Стандартной Модели и бозона Хиггса с излучением одного реального фотона.

7. Результаты, полученные с помощью этого Монте Карло генератора, использованы для улучшения предсказательной способности Монте Карло генератора PHOTOS.

Результаты диссертации опубликованы в работах:

1. A.Andonov, D.Bardin, S.Bondarenko, P.Christova, L.Kalinovskaya, G.Nanava, "Update of one-loop corrections for e+e" —> //, first run of SANC system.", Particles and Nuclei v.34 No:5 (2003) 576.

2. A.Andonov, S.Jadach, G.Nanava, Z.Was, "Comparison of SANC with KORALZ and PHOTOS", Ada Phys.Polon. B34 (2003) 2665.

3. G.Nanava, Z.Was, "How to use SANC to improve the PHOTOS Monte Carlo simulation of bremsstrahlung in leptonic W boson decays", Ada Phys.Polon. B34 (2003) 4561.

4. G.Nanava, "A Monte Carlo simulation of decays under the SANC project", Nucl.Instrum.Meth. A502 (2003) 583.

5. A.Andonov, D.Bardin, S.Bondarenko, P.Christova, L.Kalinovskaya, G.Nanava and W. von Schlippe, "SANCscope - v.0.41", to be submitted to Comput. Phys. Commun., hep-ph/0411186.

6. D.Bardin, G.Passarino, L.Kalinovskaya, P.Christova, A.Andonov. S.Bondarenko, G.Nanava, "Project CALCPHEP: Calculus for piecesion high eneigy physics"'. CAAP-2001 Proceedings, Dubna 2001.

7. A.Andonov, D.Bardin, S. Bondarenko, P.Christova, L.Kalinovskaya, G.Nanava, G.Passarino/'Project SANC (former CALCPHEP): support of analytic and numeric calculations for experiments at colliders", ICHEP-2002 proceedings, Amsterdam, The Netherlands, 24-31 July 2002.

8. A.Andonov, D.Bardin, S.Bondarenko, P.Christova, L.Kalinovskaya, G.Nanava, G.Passarino, "SANC press release", ACAT-2002 proceedings, Moscow, Russia, 24-28 June.

9. A.Andonov, D.Bardin, S.Bondarenko, P.Christova, L.Kalinovskaya, G.Nanava, G.Passarino, "Present status of the SANC project", ECFA LCWS, Montpellier, 13-16 November 2003.

no^yqeHO 15 Hoa6pa 2004 r.

»•-279

Макет Н. Л. Киселевой

Подписано в печать 16.11.2004. Формат 60 X 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,69. Уч.-изд. л. 0,86. Тираж 100 экз. Заказ № 54666.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@pds.jinr.ru wwwjinr.ru/publish/

1 Введение

2 Процессы ЛЛ -> (7Z) //

2.1 Общая структура матричного элемента.

2.2 Борновское приближение.

2.3 Однопетлевые виртуальные поправки.

2.3.1 Бозонные собственные энергии.

2.3.2 Фермионные собственные энергии.

2.3.3 Zff и 7// вершины.

2.3.4 Амплитуды боксов.

2.3.5 Скалярные форм-факторы для электрослабой амплитуды

2.3.6 Улучшенное Борновское приближение.

2.4 Вклад тормозного излучения

2.5 Результаты и сравнения.

2.6 Выводы.

3 Распады В —> ff

3.1 Распад Я —> ff.

3.1.1 Общая структура матричного элемента.

3.1.2 Борновское приближение.

3.1.3 Однопетлевые виртуальные поправки.

3.1.4 Вклад тормозного излучения.

3.2 Распад Z—У f f.

3.2.1 Общая структура матричного элемента.

3.2.2 Борновское приближение.

3.2.3 Однопетлевые виртуальные поправки.

3.2.4 Вклад тормозного излучения.

3.3 Распад W —> fj2.

3.3.1 Общая структура матричного элемента.

3.3.2 Борновское приближение.

3.3.3 Однопетлевые виртуальные поправки.

3.3.4 Вклад тормозного излучения.

3.4 Выводы.

Монте Карло генератор для распадов В —> ffj

4.1 Введение.

4.2 Спиновые амлитуды распадов.

4.3 Алгоритм генерации событий в фазовом пространстве

4.4 Сравнение с Монте Карло генераторами KORALZ и PHOTOS

4.5 Улучшение Монте Карло генератора PHOTOS для W —>■

1й7 распадов

4.6 Выводы.

Ускорители высоких энергий являются важными инструментами для изучения фундаментальных свойств материи. В настоящее время принято, что элементарные частицы (лептоны и кварки) и взаимодействия между ними адекватно описываются Минимальной Стандартной Моделью. Стандартная Модель является перенормируемой квантовой теорией поля электрослабого и сильного взаимодействия [1]. Это теория способна объяснить все экспериментальные результаты в физике частиц, полученные до сих пор.

Принято считать, что электрослабые(ЭС) и сильные взаимодействия осуществляются через калибровочные поля [2]. Теория сильного взаимодействия между кварками, Квантовая Хромодинамика или КХД [3]- [8], является Янг-Миллсовой теорией, основанной на неабелевой калибровочной группе симметрии SU(3)C, где символ С обозначает цвет. Каждому кварковому аромату соответствует SU(3)C кварковый триплет в трехмерном пространстве цветов. С восемью генераторами группы SU(3)C связаны безмассовые калибровочные векторные поля Gа = 1,.,8, преобразующиеся по присоединенному представлению группы SU(3)C , т.н. глюоны - объекты, не наблюдавшиеся в свободном состоянии, но входящие в состав адронов и полностью определяющие их взаимодействия. Так как группа SU(3)C является неабелевой, существует взаимодействие (трех и четырехточечные самодействия) между глюонами; они переносят цвет. Существенная нелинейность теории, проявляющаяся в самодействии глюонов, приводит к важным физическим следствиям. Одним из них является свойство "асимптотической свободы" [5, 8], т.е. уменьшение "константы" взаимодействия кварков и глюонов при их сближении до очень малых расстояний. Оно играет важную роль в процессах с большой передачей импульса и облегчает задачу вычисления характеристик таких процессов, допуская применение методов теории возмущения. Вместе с тем на больших расстояниях (> Ю-13 см), эта же нелинейность приводит к таким силам между кварками и глюонами, которые не позволяют этим объектам появляться в свободном состоянии - конфайнмент [6, 7]. Оно объясняет то, что в свободном состоянии адроны являются бесцветными объектами. КХД адекватно описывает всю адронную динамику, структуру атомных ядер, мезонную и барионную спектроскопию [9, 10]. Теория электрослабого взаимодействия, которая объединяет слабое и электромагнитное взаимодействия, является SU(2)l<8> U(1)y неабелевой калибровочной теорией, предложенной Глешоу, Вайнбергом и Саламом [11, 12, 13]. Здесь SU(2)l - группа слабого изоспина, a U(1)y - группа гиперзаряда. Фермионные поля объединяются в лептонные и кварковые дублеты:

Левополяризованные фермионные поля

Фь = ~ (1 - 75 ) Ф преобразуются по фундаментальному представлению SU(2)l группы, тогда как правополяризованные фермионные поля

Фн = \ (1 + 7s) Ф являются SU(2)l - синглетами. Это приводит к разным константам взаимодействия правых и левых фермионных полей с калибровочными полями. Калибровочные поля SU(2)l ® U(l)y группы состоят из триплета векторных безмассовых бозонов W^i = 1,2,3, связанных с тремя генераторами группы SU(2)l, и синглетного безмассового бозона Всвязанного с генератором группы U(1)y- Три независимых линейных комбинации этих четырех калибровочных полей приобретают массы в результате Хиггсовского механизма [14, 15] спонтанного нарушения локальной калибровочной SU(2)l<8> U(1)y симметрии, тогда как один из них остается безмассовым. Результатом механизма Хиггса также является появление массивной скалярной частицы - Хиггсовского бозона. Три массивные калибровочные поля - это W± бозоны, переносящие заряженные слабые токи, и Z бозон, отвечающий за нейтральные слабые токи. Безмассовый бозон идентифицируется с фотоном - переносчиком электромагнитного взаимодействия. т

Многочисленные эксперименты, проведенные в последнее время с высокой точностью, показали, что стандартная модель электрослабого взаимодействия вместе с КХД успешно описывают свойства элементарных частиц и взаимодействия между ними [16]. Несмотря на такой успех, Стандартная Модель по ряду причин не считается окончательной теорией. Основные причины таковы:

• Не ясен механизм объединения всех взаимодействий;

• Не ясно, почему объединение слабого и электромагнитного взаимо-ф действия произошло на масштабе масс ~ Mw, далеком от максимально возможных масс в природе (Mpi ~ 1019ГэВ) - так называемая проблема иерархий;

• Теория не объясняет загадку повторения фермионных поколений;

• Теория не может предсказать не один из своих многочисленных параметров. Минимальное количество этих параметров равняется 25. Это массы элементарных частиц (12), массы калибровочных бозонов и Хиггса (3), константы взаимодействия (2) и углы смешивания в кварковом (4) (матрица Кабиббо-Кобаяши-Маскава) и лептонном (4) секторах.

Поэтому ученые надеются, что когда-нибудь будет открыта более "хорошая" теория, и что на строящихся и планируемых ускорителях (LHC, ILC и т.п.) будут найдены какие-нибудь экспериментальные указания на новую физику, выходящую за рамки Стандартной Модели. Однако Стандартная Модель способна сколь угодно точно вычислить любую экспериментальную наблюдаемую 0^хр в терминах своего набора входящих параметров (НВП), которые берутся из эксперимента. Процедура сравнения экспериментальных измерений с предсказаниями Стандартной Модели может быть символически записана следующим образом

0^хр(измерение) -Н- C|heor(вычисление, как функция НВП).

Для проверки Стандартной Модели и поиска ее пределов в последнее время было проведено множество экспериментов по физике частиц на

• разных ускорителях высоких энергий. Например, ускорители на которых были подтверждены большинство предсказаний стандартной модели — это рр ускоритель SPS в CERN с энергией в системе центра масс (с.ц.м.) 0.6 ТэВ, где в 1983 году были открыты нейтральные (Z) и заряженные (И/±) тяжелые калибровочные бозоны [17, 18], и TEVATRON — рр кол-лайдер, на котором коллаборациями CDF и DO в 1994 [19] и 1995 [20] годах, соответственно, был открыт шестой, самый тяжелый кварк — t кварк. Из-за сравнительно большой массы t кварка 175 ГэВ), его парное рождение на е+е~ ускорителях (LEP в CERN и SLC в SLAC) было невозможно. Однако электрон-позитронные коллайдеры предлагают более чистую экспериментальную среду из-за точечной структуры сталкивающихся частиц. Тем самым они позволяют изучать частицы и взаимодействия между ними и проверяют существующие теории с высокой экспериментальной точностью.

Начиная с 1989 года, ускоритель LEP поставлял четырем детекторам коллабораций ALEPH, DELPHI, L3 и OPAL пучки е+е~ высокой интенсивности. До 1995 года LEP работал при энергии Z резонанса (уfs ^91 ГэВ), поставив около 150пб-1 интегральной светимости каждому детектору, что дало возможность зарегистрировать около 17 миллионов событий. Это огромная статистика обеспечила беспрецендентную точность экспериментальных измерений для некоторых Z резонансных наблюдаемых, таких как о\ и Tz, порядка Ю-3 или лучше. С 1995 года по 2000г. LEP работал при энергиях выше Z резонанса, достигнув к 1999 году 100 ГэВ на пучок и поставив к октябрю 2000г. более 750пб-1 светимости каждому детектору, что превысило проектные цели. Поэтому даже в области высоких энергий, где нерезонансные сечения малы, точность измерений превысила 1%.

Эта высокая точность измерений потребовала теоретических расчетов соответствующих наблюдаемых с теоретической неопределенностью в несколько раз лучше экспериментальной, скажем ~ (2 — 3) X 10~4, чтобы не вносить дополнительную систематику и в полной мере использовать высокую точность экспериментальных измерений для прецизионной проверки теории. Для этого в расчетах приходилось учитывать петлевые квантовые поправки. Соответствующий математический аппарат создавался в семидесятые-восьмидесятые годы прошлого века. Все эти факты позволяют заключить, что в течение последних десяти лет окончательно сформулировалась новая научная дисциплина - прецизионная физика высоких энергий, имеющая две составляющие:

• собственно прецизионные измерения при сверхвысоких энергиях, и

• поддерживающие их теоретические расчеты, которые, с неизбежностью, должны быть многопетлевыми вычислениями в теории возмущений релятивитской квантовой теории поля.

Предполагается, что прецизионная физика высоких энергий имеет хорошие перспективы в будущем. Уже в ближайшее время ожидается уточнение важных входных параметров Стандартной Модели. Так, уточнение вклада адронной поляризации вакуума Ла^ {М^) в бегущую электромагнитную константу связи a(s) ожидается от экспериментов на BES - II, ВЕР С (Beijing), VEPP2000 (Новосибирск) посредством более точных измерений сечения <т(е+е~ —> hadrons) в интервале с.ц.м. энергии (1-4 ГэВ).

Настоящие точности измерения масс Mw и mt таковы:

- LEP1 непрямые измерения - mt = 169Ig° ГэВ;

- LEP10 ограничение TEVATRON'a - mt = Ш.б^ГэВ;

- LEP2 к концу измерений достиг для Mw: прямые измерения - Mw = 80.446 ± 0.040ГэВ, непрямые измерения - Mw = 80.368 ± 0.023ГэВ.

- TEVATRON, сеанс-Н - AMW ~ 20МэВ, Атгц ~ 2ГэВ;

Массы Mw и mt будут существенно уточнены в будущих измерениях на LHC, до AMW ~ 15МэВ, Amt ~ 1ГэВ [21].

Электронные линейные коллайдеры с опцией GigaZ, т.е. возврат на Z резонанс со статистикой в 109, CLIC(CERN), ILC и мюонные фабрики будут истинными прецизионнимы инструментами для физики частиц. Предполагается достижение очень высоких точностей [22]:

- A sinj ~ 0.00002;

Veff 7

- A Mw - бМэВ, A mt ~ 0.2ГэВ; АМН ~ ЮОМэВ (из процесса е+е" -> ZH).

Мюоппые фабрики будут обладать определенными преимуществами перед электронными коллайдерами. На них будет возможно детальное изучение свойств бозона Хиггса посредством его прямого рождения в s-канале. Все эксперименты на современных и будущих ускорителях -TEVATRON, LHC, электронных линейных ускорителях (ILC, CLIC) и мюонных фабриках требуют качественно нового уровня как теоретических предсказаний, так и новых компьютерных программ. Однопетлевой уровень точности теоретической поддержки абсолютно необходим для анализа всех экспериментов, а для GigaZ опции линейного коллайдера необходим двухпетлевой уровень точности. Хотя необходимость прецизионных расчетов в физике высоких энергий достаточно очевидна, приведем один наглядный пример.

Прецизионное измерение времени жизни мюона (или константы Ферми, Gp) используется для вычисления Мцг ~ массы W бозона: у/ЮгМЪвЪ = г + Д?. = ^Де» тта 47Г м

Результаты итерационного решения этого уравнения для Mw с учетом всех известных электрослабых поправок приведены в таблице 1. Разница чисел двух строк демонстрирует эффект двухпетлевых поправок 0(aas). Видно, что двухпетлевые поправки 0(aas) сдвигают теорети

Таблица 1: М\у [ГэВ]. as = 0 — первые строки, as = 0.120 — вторые строки [23]. mt [ГэВ] Ми [ГэВ

65 300 1000

170.1 80.445 80.349 80.256

80.375 80.279 80.186

175.6 80.482 80.386 80.291

80.409 80.312 80.219

181.1 80.521 80.423 80.329

80.444 80.346 80.252 ческие предсказания массы W бозона на величину ~ 80МэВ, что в два раза больше, чем современная ошибка измерения A Mw ~ 40МэВ. Это наглядная иллюстрация необходимости прецизионных вычислений в физике высоких энергий.

Для теоретической поддержки прецизионных экспериментов на ускорителях высоких энергий были созданы разные компьютерные программы: ZFITTER [24], TOPAZO [25], SMATASY [26] и другие. Они были расчи-таны для энергий электрон-позитронных коллайдеров LEP и SLC и поэтому не учитывали масс конечных фермионов в реакциях е+е~ //. В настоящее время существуют несколько компьютерных систем, предназначенных для многопетлевых вычислений и пригодных для ускорителей более высоких энергий (LHC, ILC, CLIC). Среди них отметим систему GRACE [27], в которой расчеты для процессов 2 —У 2 реализованы на однопетлевом уровне, а многочастичные процессы — в древесном приближении; GRACE использует метод спиральных амплитуд; интегрирование в фазовом пространстве осуществляется методом Монте Карло с помощью пакета многомерного интегрирования BASES [28] и генератора событий SPRING [28], который позволяет получать события с единичным весом. Детальное описание системы можно найти в [29] . Главной целью проекта SANC (Support of Analytic and Numeric Calculations for Experiments at Colliders) является создание четырёхуровневой компьютерной системы, доступной через интернет, для автоматического вычисления псевдо- и реалистических наблюдаемых (распределения событий, сечения, асимметрии, парциальные ширины распадов и т.п.) на однопетлвом уровне точности для все более сложных процессов взаимодействия элементарных частиц, используя принцип накопления. Система SANC должна найти применение для прецизионного учета вклада процессов Стандартной Модели в тех случаях, где данные будут иметь высокую статистику. Это необходимо для того, чтобы эксперименты на современных и будущих ускорителях полностью использовали свой потенциал для открытия "новой физики", которая может проявляться в виде небольших отклонений от предсказаний Стандартной Модели. В случаях, где статистика будет невелика, система может быть применена для оценки точности стандартных теоретических расчетов, например использующих пакеты СотрНЕР [30] и PYTHIA [31]. Современная версия (0.41) системы SANC способна вычислять наблюдаемые с однопетлевой точностью для процессов 1 —> 2, 1 —> 3, 2 —> 2.

Система SANC реализована в виде сервер-клиентского приложения. Все вычисления (как символьные, так и численные) выполняются на специальных SANC серверах. В настоящее время поддерживается два SANC сервера, в ОИЯИ по адрессу brg.jinr.ru и в CERN — pcjinr01.cern.ch. Результаты вычислений, программные коды (form, fortran, с++, java) и графические объекты (например, гистограммы в формате PostScript, GIF или JPEG) организованы в виде базы данных SANC под управлением MySQL. Взаимодействие пользователя с вычислительным сервером и с базой данных осуществляется через графический интерфейс — SANC клиент, реализованный на языке java. В настоящее время SANC клиент поддерживается как в виде апплета, так и в виде загружаемого приложения. Преимуществом апплета является то, что он не нуждается в JVM(Java Virtual Machine), установленной на компьютере пользователя, и запускается через интернет браузер. В этом отношении он прост для использования, но имеет определенные ограничения связанные с безопасностью. SANC клиент в виде загружаемого приложения является полнофункциональным, но нуждается в инсталляции JVM на компьютере пользователя. Дополнительную информацию об архитектуре SANC и технологиях используемых для ее реализации можно получить на домашней странице проекта [32].

В SANC используется "принцип накопления знаний", это значит переход к описанию все более сложных процессов, используя результаты, полученные для менее сложных процессов; а для выбранного процесса усложняя подход, переходя от древесного приближения к однопетлевому, а в случае некоторых простых процессов к двухпетлевому или хотя бы имплементацию ведущих многопетлевых поправок, известных из имеющихся работ. Приведем классификацию процессов Стандартной Модели в доступной в настоящее время 0.41 версии системы SANC. Классификация процессов следует "принципу накопления знаний":

1. Первый уровень сложности - это распады 1 —> 2, которые, в свою очередь, можно подразделить на В —> // распады и 3В распады. Здесь В - калибровочные бозоны (W±,Z) или бозон Хиггса (Н).

• Н —> // - простейший распад, амплитуда которого характеризуется одним скалярным форм-фактором, или одной структурой;

• распад Z —> ff и переход у* —> ff характеризуются тремя структурами;

• распад W —> ff' и кроссинг-канал t —> W+b имеют четыре структуры;

• распады Н —ZZ, W+W~ характеризуются двумя структурами. Они возможны, если бозон Хиггса тяжелее удвоенной массы продуктов распада; распад Н —у уZ характеризуется одной структурой;

• и, наконец, переходы Z* —>• W+W~ и у* —У W+W~, которые являются строительными блоками для более сложных процессов.

Отметим, что вероятности всех этих распадов — типичные псевдо-наблюдаемые.

2. Процессы 2 —> 2 представляют следующий уровень сложности :

• процессы 2/ -> 2/ — простейшие в классе 2 —> 2 процессов, они подразделяются на два основных класса, процессы с нейтральным током NC: ff —> (7, Z, Н) —> /'/' с числом структур - 4 в случае безмассовых фермионов; -б, если 2 фермиона массивны; - 10, если все 4 фермиона массивны; процессы с заряженным током СС: /1/2 —» (W) —> /3/4 характеризуются 16 структурами, если все фермионы массивны и все массы различны.

• Процессы Vf —> f'V' представляют собой ещё более сложный уровень, поскольку число структур значительно возрастает из-за вовлечённости двух векторных бозонов в in- и out-состояниях. Типичные примеры: уе —у ye, Z —ff у и т.п.

3. Распады 1 —> 3 являются кроссинг-каналами предыдущих процессов. Скалярные форм-факторы их амплитуд получаются автоматически с помощью кроссинг-преобразований.

В следующих версиях SANC предполагается имплементация более сложных процессов, например 2 —> 3, 1 —> 4 и т.д.

Вся цепь вычислений "от лагранжиана до экспериментальных наблюдаемых" в SANC реализована на четырех уровнях:

На первом уровне сконцентрированы все аналитические вычисления однопетлевых скалярных форм-факторов, спиральных амплитуд основных процессов и спиральных амплитуд процессов сопутствующего тормозного излучения. Для вычисления спиральных амплитуд в SANC используется техника Вега-Вудки [33] для основных процессов и Кляйсса-4 Стирлинга [34] для процессов сопутствующего излучения. Для выполнения аналитических вычислений используется язык form [35]. Все расчеты однопетлевых амплитуд выполняются с использованием ренорма-лизационной схемы на массовой поверхности в Rf калибровке с тремя калибровочными параметрами: и £ [36]. Для параметризации ультрафиолетовых (УФ) расходимостей в SANC используется размерная регуляризация [37]. Петлевые интегралы выражаются через функции Пассарино-Вельтмана [38, 36]. В настоящей версии SANC процедура редукции Фейнмановских интегралов реализована вплоть до тензоров четвертого ранга. В SANC есть собственная библиотека (fortran, С++) программ для численных расчетов функции Пассарино-Вельтмана.

На втором уровне срабатывает система автоматической генерации ^ кода для численного расчёта форм-факторов, спиральных амплитуд, вероятностей распадов и сечений процесов; это делает пакет s2n.f — часть системы SANC. Поток вычислений внутри уровней 1 и 2 и обмен между ними полностью автоматизирован и может управляться пользователем через графический интерфейс SANC.

На третьем уровне должна следовать процедура "инфракрасного экспоненцирования амплитуд", которая ещё находится в стадии разработки.

На четвёртом уровне находятся Монте-Карло генераторы событий — программы завершающего звена в цепи вычислений "от спиральных амплитуд до экспериментальных распределений событий". Более подробную информацию о процессах, доступных в настоящей версии системы SANC, можно получить в [58]. ♦ На блок-схеме рис. 1 показаны уровни вычислений в SANC на при

Level-1 ГоппЗ

HdecayHA-fitn;

Hdecay BicmH A.fitu

IdecayRen.fim

WdecayHA.firu!

W decay BiemH A.fim ccffHA.fi" til

Hard Level-2^ fortran s2n,f

I Input Parameter Set I

Г Level-3 > Exponentiation v procedure^

Level-4 Monte Carlo generalors. exact (limit

FerSclf.frm

BosSelf.frm

VffVcrt.fnn

4fBoxcs .frill

B Decay Biem.ftm

Рис. 1: Иллюстрация четырехуровенной процедуры вычислении в SANC на примере распадов В -» //7 и процессов е+е~~ —> //. мере распадов В //7 и процессов е+е~ —> //.

Все вычисления процессов и распадов, рассмотренные в данной диссертации выполнены с помощью системы SANC. Мы преследовали следующие цели:

• Создать четырехуровневую компьютерную систему SANC, доступную через интернет, для автоматического вычисления псевдо- и реалистических наблюдаемых на однопетлевом уровне точности для целого ряда процессов и распадов элементарных частиц. В настоящее время доступна версия 0.41 системы.

• Последовательно внедрить в систему SANC технику спиральных амплитуд для расчета наблюдаемых. Для вычисления спиральных амплитуд основных процессов в SANC используется метод Вега-Вудки, а для процессов сопутствующего излучения — техника Кляйса-Стирлинга.

• С использованием техники спиральных амплитуд создать Монте Карло генератор для распадов В —> f fl

• Результаты точного Монте Карло генератора SANC для распада W —> iPij использовать для улучшения известного приближенного Монте Карло генератора PHOTOS.

Содержание диссертации.

В первой главе диссертации приведено вычисление полной ЭС поправки к процессам типа 2/i —У 2/. ЭС поправки к этому процессу были изучены раньше многими авторами. Например, укажем работы [38]- [41], что привело к созданию хорошо известных компьютерных кодов, которые сыграли важную роль при фитировании экспериментальных данных LEP и SLC. Для LEP ЭС поправки к процессу е+е~ —> 2/ можно было изучать игнорируя массы конечных фермионов, так как энергия с.ц.м. на LEP была значительно ниже порога рождения t кварка. Однако эффекты, связанные с конечной массой, изучались раньше [42]- [44], в связи с будущими линейными коллайдерами [46, 47]. Процесс 2Д —> 2/ в реальности является шести-фермионным процессом, один из каналов которого показан на рис. 2. Однако, сечение жесткого подпроцесса, cr(2/i —> 2/), fx

Рис. 2: Шести-фермионный процесс е+е —> tt. где внешние частицы находятся на массовой поверхности, является ингредиентом для разных приложений, например, для DPA [48] или для Модифицированной Теории Возмущения [49]. Заметим, что однопетле-вые расчеты с учетом конечных масс являются весьма громоздкими, поэтому для наших расчетов мы использовали компьютерную систему SANC. Целью новых вычислений является создание платформы для рассмотрения всех процессов типа 2/i —> 2/ в среде SANC и сравнение результатов с подобными вычислениями других авторов. Вычисление ЭС радиационных поправок в Щ калибровке к процессу 2/i —> 2/ выполнено впервые, хотя известны вычисления в £ = 1 калибровке [42, 44, 45, 50]. В конце данной главы приводится исчерпывающее сравнение полученных результатов с результатами программы ZFITTER [24] для всех каналов с рождением легких фермионов, и с программами FeynArts [51] и topfit [52, 53] для канала с рождением t кварка. Содержание этой главы опубликовано в работе [54].

Во второй главе диссертации рассмотрена процедура вычисления однопетлевых ЭС поправок к двухфермионным распадам калибровочных бозонов и бозона Хиггса. Получены форм-факторы и спиральные амплитуды, свободные от УФ расходимостей. Для устранения инфракрасных (ИК) расходимостей в ширине распада учтен вклад мягкого тормозного излучения. Также вычислен вклад жесткого тормозного излучения в ширину распада. Вычисления ЭС поправок для этих распадов в Щ калибровке выполнены впервые.

Содержание этой главы докладывалось на конференциях [60, 61, 62].

В третьей главе диссертации приведено описание Монте Карло генератора для двухфермионных распадов калибровочных бозонов и бозона Хиггса с излучением одного реального фотона. Учтены однопетлевые ЭС поправки к этим распадам. Приведено сравнение с Монте Карло генераторами KORALZ [64] и PHOTOS [63]. Значительно улучшена предсказательная способность PHOTOS для распада W —> Особенно в той области фазового пространства, где доминируют несингулярные части матричного элемента данного распада. Содержание этой главы опубликовано в работах [55, 56, 57].

Автор выражает свою искреннюю благодарность научным руководителям Д.Ю.Бардину и1Л.В.Калиновскойпод руководством которых была выполнена работа. Автор благодарен П.Христовой и А.Андонов'у. за плодотворное научное сотрудничество и поддержку.

2 Процессы ft ft (7Z) -> //

В этом разделе представлено вычисление электрослабых и квантово-электродинамических однопетлевых поправок для процессов типа 2/i —> 2/ с помощью системы SANC. Вычисления выполнены с использованием ренормализационной схемы на массовой поверхности в Щ калибровке. Получены форм-факторы и спиральные амплитуды, свободные от УФ расходимостей. Для устранения ИК сингулярностей в физических наблюдаемых учтен вклад мягкого тормозного излучения. Пред-ф ставлено исчерпывающее сравнение полученных результатов с известной программой ZFITTER для всех каналов с рождением легких фермионов. Для канала с рождением t кварка результаты успешно сравнивались с программами FeynArt и topfit.

4.6 Выводы

Создан Монте Карло генератор для моделирования двухфермионных распадов калибровочных бозонов СМ с излучением одного реального фотона. Распад Z —> ffj успешно сравнивался с Монте Карло генератором KORALZ, использующим точный матричный элемент для данного распада. Таким образом были проверены корректность генерации фазового пространства и выражение для амплитуды Z распада в SANC. Для распадов Н и W вычисления Монте Карло генератора SANC сравнивались с приближенным КЭД вычислением Монте Карло генератора PHOTOS. Найдено согласие между ними в пределах ожидаемого уровня точности. В частности, в случае Н распада распределения, полученные с помощью PHOTOS, являются исключительно хорошими: разница с SANC составляет меньше чем 1% для всех типов наблюдаемых. Для лептонных распадов W —> Iviy, с помощью введения корректирующего веса, предсказательная способность PHOTOS была значительно улучшена. Это было достигнуто с учетом несингулярной части матричного элемента W —> iPij распада посредством введения корректирующего веса 5. В результате согласие распределений между улучшенным PHOTOS и точным SANC находится в пределах 5% (вместо 7% без корректирующего веса) для конечных частей спектра, где доминируют лидирующие логарифмы (коллинеарность), однако в пределах 5% (вместо 20% без корректирующего веса) для угловой части распределения, где доминируют ИК сингулярные составляющие матричного элемента. Согласие находится на уровне 10% в области фазового пространства, где доминируют нелидирующие слагаемые матричного элемента. Это является значительным улучшением, по сравнению с предыдущей версией PHOTOS (без корректирующего веса), где разница достигала 40%.

1. G.'t Hooft, Nucl. Phys. B33 173 (1971); G.'t Hooft, Nucl. Phys. B35 167 (1971).

2. C.N.Yang, R.L.Mills, Phys. Rev. 96 (1954) 191.

3. H.Fritzsch, M.Gell-Mann, H.Leutwyler, Phys. Lett. 47B (1973) 365.

4. D.J.Gross, F.Wilczek, Phys. Rev. D8 (1973) 3633.

5. D.J.Gross, F.Wilczek, Phys. Rev. Lett. 30 (1973) 1346.

6. S.Weinberg, Phys. Rev. Lett. 31 (1973) 494.

7. S.Weinberg, Phys. Rev. D8 (1973) 4482.

8. H.D.Politzer, Phys. Rev. Lett. 30 (1973) 1346.

9. T.Hebbeker, Phys. Rep. 217 (1992) 69.

10. M.Schmelling, Phys. Scripta, 51 (1995) 683.

11. S.L.Glashow, Nucl. Phys. 22 (1961) 579.

12. S.Weinberg, Phys. Rev. Lett. 19 (1967) 1264.

13. A.Salam, Weak and electromagnetic interactions,in:N.Svartholm(Ed.), Elementary Particle Theory, Proc. Nobel Symposium, Lerum 1968, Almquist and Wiksell, Stockholm, 1968, pp.367-377.

14. P.W.Higgs, Phys. Lett. 12 (1964) 132; P.W.Higgs, Phys. Rev. Lett. 13 (1964) 508;

15. P.W.Higgs, Phys. Rev. 145 (1966) 1156.

16. M.W.Grunewald, Phys. Rep. 322 (1999) 125.

17. The UA1 Collaboration, G.Arnison et al, Phys. Lett. 122B (1983) 103.

18. The UA1 Collaboration, G.Arnison et al, Phys. Lett. 126B (1983) 398.

19. The CDF Collaboration, F.Abe et al, Phys. Rev. D50 (1994) 2966; The CDF Collaboration, F.Abe et al, Phys. Rev. Lett. 74 (1995) 2626;

20. The DO Collaboration, S.Abachi et al., Phys. Rev. Lett 74 (1995) 2632;

21. ATLAS Collaboration, "Detector and Physics Performance Technical Design Report", CERN/LHCC/99-15, Vol.2.

22. Report of the CLIC Physics Working Group, "Physics at the CLIC Multi-TeV Linear Collider", CERN/2004-005.

23. Д.Ю.Бардин, "Теоретическая поддержка экспериментов на ЛЕП по прецизионной проверке стандартной модели", диссертация в виде научного доклада на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, г.Дубна, 2-2000-285.

24. G.Montagna, F. Piccinini, O.Nicrosini, G.Passarino, R.Pitau, TOPAZO, Comput Phys. Commun. 76 (1993) 328.

25. S.Kirsch, T.Rieman, SMATASY, Comput Phys. Commun. 88 (1995) 89.

26. H.Tanaka, T.Kaneko and Y.Shimizu, Comput. Phys. Commun. 64 (1991) 149.

27. S.Kawabata, Comput Phys. Commun. 41 (1991) 127.

28. T.Ishikawa et al., "GRACE manual: Automatic Generation of Tree Amplitudes in Standard Models", KEK Report 92-19, 1993.

29. A.Pukhov et al., "CompHEP: A package for evaluation of Feynman diagrams and integration over multi-particle phase space", hep-ph/9908288.

30. T.Sjostrand, L.Lonnblad, and S.Mrenna, "PYTHIA 6.2: Physics and manual", hep-ph/0108264.32. http://brg.jinr.ru.

31. R.Vega and J.Wudka, Phys. Rev. D53 (1996) 5286; C.Bouchiat and L.Michel, Nucl. Phys. 5 (1958) 416; L.Michel and S.Wightman, Nucl. Phys. 98 (1955) 1190.

32. R.Kleiss and W.Stirling, Nucl. Phys. B262 (1985) 235.

33. J.Vermaseren, 'New features of FORM', preprint NIKHEF-00-032 (2000), math-ph/0010025.

34. D.Bardin and G.Passarino, 'The standard model in the making: Precision study of the electroweak interactions', Oxford, UK: Clarendon, 1999.

35. C.G.Bollini, J.J.Giambiagi, Nuovo Cimento, 128 (1972) 20; J.F.Ashmore, Nuovo Cimento Lett., 4 (1972) 289; G.'t Hooft, M.Veltman, Nucl. Phys. E44 (1972) 189.

36. G.Passarino and M.Veltman, Nucl Phys. B160 (1979) 151.

37. D.Bardin, P.Christova and O.M.Fedorenko, Nucl. Phys. B175 (1980) 235; Nucl. Phys. B197 (1982) 1.

38. F.A.Berends, G.Burgers and W.L.Neerven, Nucl. Phys. B297 (1988) 429; E Nucl. Phys. B304 (1989) 543.

39. W.Hollik, Fortschritte Phys. 38 (1990) 3.

40. J.Fujimoto and Y.Shimizu, Mod. Phys. Lett. ЗА (1988) 581.

41. W.Beenakker, S.C. van der Marck and W.Hollik, Nucl. Phys. B365 (1991) 24-78.

42. W.Beenakker and W.Hollik, Phys. Lett. B269 (1991) 425-431.

43. W.Beenakker, A.Denner and A.Kraft, Nucl Phys. B410 (1993) 219-244.

44. ECFA/DESY LC Pfusics Working Group (J. Aguilar-Saavedra et.al.), 'TESLA Technical Design Report Part III: Physics at an e+e~ Linear Collider', preprint DESY 2001-011 (2001), hep-ph/0106315.

45. M.Beneke et al.,'Top quark physics', in Proc. of the Workshop on Standard Model Physics (and More) at the LHC, CERN 2000-004, G.Altarelli and M.Mangano, eds., CERN, Geneva, 2000, 419-529.

46. A.Denner, S.Dittmaier, M.Roth and D.Wackeroth, Nucl. Phys. B587 (2000) 67-117.

47. M.L.Nekrasov, Eur. Phys. J. C19 (2001) 441-454.

48. V.Driesen, W.Hollik and A.Kraft, 'Top pair production in e+e~ collisions with virtual and real electroweak radiative corrections', Karlsruhe University preprint (1996), hep-ph/9603398.

49. J.Fleischer, T.Riemann and A.Werthenbach, the FORTRAN code topf it, February 2002.

50. J.Fleischer, T.Hahn, W.Hollik, T.Riemann, C.Schappacher and A.Werthenbach, 'Complete electroweak one-loop radiative corrections to top-pair production at TESLA a comparison', LC-TH-2002-002, hep-ph/0202109.

51. A.Andonov, D.Bardin, S.Bondarenko, P.Christova, L.Kalinovskaya, G.Nanava, Particles and Nuclei v.34 No:5 (2003) 576.

52. A.Andonov, S.Jadach, G.Nanava, Z.Was, Acta Phys. Polon. B34 (2003) 2665.

53. G.Nanava, Z.Was, Acta Phys. Polon. B34 (2003) 4561.

54. G.Nanava, Nucl. Instrum. Meth. A502 (2003) 583.

55. A.Andonov, D.Bardin, S.Bondarenko, P.Christova, L.Kalinovskaya, G.Nanava and W. von Schlippe, 'SANCscope v.0.41', to be submitted to Comput. Phys. Commun., hep-ph/0411186.

56. D.Bardin, G.Passarino, L.Kalinovskaya, P.Christova, A.Andonov, S.Bondarenko, G.Nanava, "Project CALCPHEP: Calculus for precesion high energy physics", CAAP-2001 Proceedings, Dubna 2001.

57. A.Andonov, D.Bardin, S.Bondarenko, P.Christova, L.Kalinovskaya, G.Nanava, G.Passarino, "SANC press release", ACAT-2002 proceedings, Moscow, Russia, 24-28 June.

58. A.Andonov, D.Bardin, S.Bondarenko, P.Christova, L.Kalinovskaya, G.Nanava, G.Passarino, "Present status of the SANC project", ECFA LCWS, Montpellier, 13-16 November 2003.

59. E.Barberio, Z.Was, Comput Phys. Commun. 79 (1994) 291.

60. S.Jadach, B.F.L.Ward, Z.Was, Comput. Phys. Commun. 79 (1994) 503.

61. M.Kobayashi, T.Maskawa, Prog. Theor. Phys. 49 (1973) 652; N.Cabibbo, Phys. Rev. Lett. 10 (1963) 531.

62. M.Jacob and G.Wick, Ann. Phys. (N.Y.) 7 (1959) 404; G.Wick, Ann. Phys. 18 (1962) 65.

63. G.Alexander et al., "Polarization at LEP", CERN 88-06, v.l, 1988.

64. F.Bloch, A.Nordsieck, Phys. Rev. 52 (1937) 54.

65. M.Luscher, Comput. Phys. Commun. 79 (1994) 100; F.James, Comput. Phys. Commun. 79 (1994) 111.

66. G.Margaslia, A.Zaman, "Toward a Universal Random Number Generator", Florida State University FSU-SCRI-87-50 (1987).

67. M.Matsumoto and T.Nishimura, "Mersenne twister: A 623-dimensionally equidistributed uniform pseudorandom number generator", ACM Trans, on Modeling and Computer Simulations, 1998.

68. J. Von Neumann "Various techniques used in connection with random digits", in Collected Works, vol. 5, Pergamon Press, New York, 768, 1963.

69. S.Jadach, B.F.L.Ward, Z.Was, Phys. Lett. B449 (1999) 97.

70. D.Yennie, S.Frautschi, H.Suura, Ann. of Phys. 13 (1961) 379.

71. V.N.Baier, V.S.Fadin, V.A.Khoze and E.A.Kuraev, Phys. Rep. 78 (1981) 293.

72. S.Jadach, W.Placzek, M.Skrzypek, B.F.L.Ward, Z.Was, Comput Phys. Commun. 140 (2001) 432.