Однопетлевые КХД и электрослабые поправки к четырехфермионным процессам в системе SANC тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

У

объединенный институт ядерных исследовании

на правах рукописи

КОЛЕСНИКОВ Владимир Александрович

ОДНОПЕТЛЕВЫЕ КХД И ЭЛЕКТРОСЛАБЫЕ ПОПРАВКИ К ЧЕТЫРЕХФЕРМИОННЫМ ПРОЦЕССАМ В СИСТЕМЕ БАЫС

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 6 СЕН 2010

Дубна 2010

004608097

Работа выполнена в Лаборатории ядерных проблем им. В.П. Джелепова Объединенного института ядерных исследований.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук Д. Ю. Бардин

кандидат физико-математических наук Л. В. Калиновская

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук А. Е. Дорохов

(ЛТФ ОИЯИ)

доктор физико-математических наук А. А. Панков (ГГТУ

им. П. О. Сухого, Гомель)

Ведущая организация:

Учреждение Российской академии наук Институт ядерных исследований РАН, г. Москва.

Защита диссертации состоится "30" ОЗ 2010 г. в 15— на заседании диссертационного совета К 720.001.01 при Объединенном институте ядерных исследований, г. Дубна Московской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований.

Автореферат разослан "30." ОЗ 2010 г.

Ученый секретарь л Л /7

диссертационного совета Л^/ А.Б. Арбузов

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы.

Лучшей на сегодня теорией, описывающей различные явления, происходящие при столкновении частиц высоких энергий, является так называемая стандартная модель (СМ) взаимодействия элементарных частиц. В течение последних двадцати пяти лет проводились многочисленные эксперименты по проверке СМ на ускорителях высоких энергий и в пределах точности этих экспериментов не было обнаружено ни одного расхождения от предсказаний СМ. С появлением новых ускорителей (LHC, ILC, CLIC) появляется возможность проверки СМ с точностью « 1%, что предполагает выполнение теоретических расчетов с еще большей точностью (< 0.3%), чтобы не вносить дополнительную систематическую погрешность при сравнении результатов экспериментов с предсказаниями теории.

Одними из процессов, представляющих большой интерес для физической программы будущих экспериментов ATLAS и CMS на ускорителе протонов LHC и для проводимых в настоящее время экспериментов DO и CDF на коллайдере Tevatron, где сталкиваются пучки протонов и антипротонов, являются процессы типа Дрелла-Яна заряженного и нейтрального токов, называемые также процессами одиночного рождения W и Z бозонов: рр —► W± + X —> у) + X, рр -> 7, Z+X - e-i+i-y,д)+Х,рр W±+X -> Рщ{п,д)+Х, рр -» 7) Z+X -» £~£+('У, д)+Х. Эти процессы легко регистрируются в детекторах (большие поперечные импульсы лептонов и потеряный поперечный импульс) и имеют большое сечение: на LHC для рождения IV 30 nb, для Z 3.5 nb. Прецизионное изучение этих процессов используется для определения партонных функций распределения, уточнения значений параметров Mw, sin2 , Гц/, Г мониторинга светимости ускорителя и калибровки детекторов. Для достижения требуемой точности необходимо учесть электрослабые и QCD поправки и их взаимное влияние.

Согласно СМ доминирующим каналом распада топ-кварка является процесс t —» bW+ с относительной вероятностью 99.9%. В свою очередь, относительная вероятность распада W-бозона на заряженный лептон и нейтрино Br(W+ —> £+V() ~ 11%- Таким образом, полулептонные распады t —» Ы+ v¿ (£+ = е+,д+,т+) составляют приблизительно треть всех распадов топ-кварка. Оставшаяся часть приходится на кварковые распады t —> bud, t —> bes, примерно по 33% на кварковую пару. Прецизионное вычисление поправок к значениям ширин данных распадов позволит уточнить значение параметра Vt¿ матрицы Каббибо-Кобаяши-Маскава.

Средством для наиболее точного и подробного сравнения предсказаний теории с результатами экспериментов в настоящее время являются Монте-Карло генераторы событий с единичным весом, представляющие собой программы, моделирующие реальные процессы, происходящие при столкновении частиц высоких энергий. Такие известные программы как PYTHIA и HERWIG моделируют процессы столкновения адронов и лептонов наиболее подробно, учитывая об-

разование партонных ливней, адронизацию и распад образующихся адронов. В основе их лежит так называемый жесткий процесс столкновения партонов типа 2 —> 1, 2 —> 2 или 2 —> 3 для которых известен квадрат матричного элемента. Но для многих процессов матричный элемент посчитан лишь в борнов-ском приближении. Для учета эффектов высших порядков можно использовать Монте-Карло генераторы, которые генерируют события лишь для жестких процессов, но с учетом необходимых поправок. Эти события могут быть записаны в файлы, которые передаются для обработки в Монте-Карло генераторы общего назначения.

В сфере расчетов радиационных поправок для жестких процессов есть потребность в развитии компьютерных инструментов для их автоматизации. На данный момент в мире есть несколько компьютерных систем, позволяющих проводить такие расчеты на однопетлевом уровне точности в автоматическом или полуавтоматическом режиме. Это такие системы как FeynArts, GraceLoop. Обсуждаемая в диссертации система SANC — это компьютерная система для полуавтоматических вычислений реалистичных и псевдо-наблюдаемых для различных процессов взаимодействия элементарных частиц на однопетлевом уровне точности для экспериментов на ускорителях.

Проведенное исследование преследовало следующие цели:

1. разработать вычислительную среду для QCD вычислений в рамках системы SANC;

2. выполнить расчет однопетлевых QCD поправок к процессам типа Дрелла-Яна;

3. выполнить расчет однопетлевых QCD и электрослабых поправок для процессов одиночного рождения i-кварка и его распада на кварки с учетом конечной ширины i-кварка;

4. создать фортранные модули, реализующие результаты вычислений, для использования в Монте-Карло генераторах.

Научная новизна работы.

• С помощью системы SANC вычислены QCD однопетлевые электрослабые поправки к сечениям процессов типа Дрелла-Яна заряженного и нейтрального токов. Было проведено сравнение с результатами, полученными независимо и одновременно другими группами при одинаковых входных параметрах, которое показало хорошее согласие этих результатов.

Электрослабые поправки были уже включены в систему ранее, поэтому сейчас в одном коде реализованы одновременно QCD и электрослабые поправки для процессов типа Дрелла-Яна.

• Вычислены QCD и электрослабые поправки для процессов одиночного рождения i-кварка и его распада на кварки с учетом конечной ширины i-кварка.

• Реализован общий метод вычисления вспомогательных функций J типа Пассарино-Вельтмана для процессов одиночного рождения ¿-кварка и его распада на кварки.

Практическая ценность работы.

Результаты диссертации найдут своё применение при вычислении вкладов процессов СМ в экспериментах ATLAS и CMS по прецизионной проверке СМ и поиску новой физики на ускорителе LHC.

Основные результаты, выдвигаемые для защиты:

1. Разработана и реализована вычислительная процедурная среда в системе SANC для QCD сектора.

2. Получены аналитические выражения в среде SANC для QCD поправок для процессов Дрелла-Яна по каналам заряженного и нейтрального токов рр -» + X -» tpib,g) + X, рр W± + X £*i/t(7,g) + Х,РР-> 7 ,Z + X -> Г £+(7 ,д) + X,pp—>7,Z + X—y е~е+( -у, g) + X на кварк-партонном уровне с учетом массы кварков и параллельно в MS схеме.

3. Впервые созданы аналитические и фортранные модули для вычисления QCD и EW однопетлевых поправок для процессов Дрелла-Яна на адрон-ном уровне.

4. Реализован общий метод вычисления вспомогательных функций J типа Пассарино-Вельтмана для процессов: t —> bud, ud —> tb, bu —» td.

5. В мультиканальном подходе вычислены однопетлевые электрослабые поправки для процессов: t bud, ud —* tb, bu —» td. Созданы автономные аналитические модули для их вычисления.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре Лаборатории Теоретической Физики им. Н.Н.Боголюбова ОИЯИ (14 мая 2010 г.), на Рабочих Совещаниях по физической программе ATLAS (14 апреля и 22 декабря 2006 г., 24 декабря 2008 г. и 12 мая 2009 г.), на совещаниях ATLAS Monte-Carlo Generator meeting в CERN (12 декабря 2006 г.), CALC2006 (Дубна, 15-25 июля 2006 г.), CALC2009 (Дубна, 10-20 июля 2009 г.), и АСАТ2008 (Сицилия, 3-7 ноября 2008 г.)

Публикации.

По результатам диссертации опубликовано пять статей в ведущих рецензируемых журналах, один препринт [hep-ph] и две работы в трудах конференций.

Объем и структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения, напечатана на 128 страницах, содержит 22 рисунка, 77 библиографических ссылок.

Содержание работы

Во введении очерчен круг исследуемых проблем, кратко сформулированы используемые методы и результаты, полученные в диссертации. Приведено содержание диссертации по главам.

В первой главе диссертации описывается расширение системы SANC для КХД расчетов. Надо отметить, что исторически система развивалась так, что сначала были развиты алгоритмы и соответствующий компьютерный код для КЭД и ЭС расчетов. Позже мы создали среду КХД вычислений в рамках системы SANC и с её помощью начали вычислять КХД NLO поправки к процессам.

Был написан набор процедур на языке FORM для аналитического вычисления составных блоков КХД, таких как собственные энергии кварков и глюонов, вершины с виртуальными глюонами и соответствующие константы перенормировок. Эти блоки находятся на уровне QCD Precomputation системы.

Глава заканчивается обсуждением тестирования новой среды на расчетах простейших распадов бозонов на кварки.

Во второй главе описывается расчет однопетлевых КХД поправок для процессов Дрелла-Яна, заряженного и нейтрального токов. Здесь рассмотрены кварк-антикварковый канал совместно с кварк-глюонным и глюон-антиквар-ковым каналами на партонном уровне. Работая с массивными кварками, мы регуляризовали коллинеарные расходимости массами кварков. Для избежания двойного учета коллинеарных расходимостей, учтенных в функциях партонных распределений, применяется соответствующая схема их вычитаний. Для этого мы сравнили аналитические результаты массивной схемы вычислений с аналогичными результатами полученными в MS схеме, вычисленными в п-мерном фазовом объеме. Таким образом мы выделили члены, которые необходимо вычесть из результата массивного расчета.

В конце главы показаны примеры кинематических распределений на адрон-ном уровне. Мы привели здесь сравнение наших результатов с соответствующими результатами программы MCFM, см. Рис.1, 2.

Для практического применения также необходимо добавить к этим результатам партонные ливни. Это можно сделать с помощью известных пакетов PYTHIA и HERWIG. Нужно отметить, что учет ливней убирает провал на распределении возле резонанса на Рис. 1.

Однопетлевые электрослабые поправки к процессам Дрелла-Яна были включены в систему SANC ранее. Эти расчеты были тщательно проверены при сравнении с результатами других групп.

В третьей главе диссертации описаны распады t —> bfif[. В рамках системы SANC были вычислены КХД и ЭС полные, однопетлевые поправки для этих распадов.

Pt, GeV

Рис. 1: Распределение по поперечному импульсу для заряженного тока Дрелла-Яна.

Напомним, что в S ANC мы всегда вычисляем однопетлевую амплитуду процесса как аннигиляцию в вакуум со всеми 4-импульсами входящими. Получаемые таким образом формфакторы для амплитуды процесса tbûd —> 0 после соответствующих перестановок аргументов могут быть использованы для описания однопетлевых поправок к процессам одиночного рождения топ кварка, т.е. s-канала ud —» tb и i-канала ub —» dt.

Обсуждение ЭС поправок более детально, т.к. в этом случае они более сложные по сравнению с КХД. Рассмотрена проблема выделения КЭД вклада из полной ЭС поправки.

Затем приведены численные результаты, полученные с помощью Монте Карло интегратора. Мы изучили независимость ЭС и КХД поправок от массы т^, что говорит о согласии с теоремой Киношиты-Ли-Науэнберга. Также мы продемонстрировали эффект учета ширины IV в ЭС вкладе и первые результаты по учеты ширины топ кварка.

Было проделано подробное исследование использования различных каскадных приближений в численных расчетах. Его целью было проверить возможность использования различных строительных блоков, вычисленных в SANC, в создании Монте Карло инструментов для сложных реальных процессов. Были

Рис. 2: Распределение по инвариантной массе лептонной пары в нейтральном токе Дрелла-Яна.

исследованы каскад с узкой шириной, каскад с комплексной массой W и полюсное приближение. Разница между каскадными приближениями и полным однопетлевым расчетом показала эффект ЭС боксов, которые отсутствуют в каскадах. Тем не менее она довольно мала и можно наблюдать хорошее согласие каскадных приближений с полным расчетом.

Наиболее важным в исследовании приближенных методов можно назвать изучение полюсного приближения, т.к. оно представляет собой дифференциальную реализацию ширины распада. Это в свою очередь допускает генерацию событий в каскадном приближении.

Далее представлены результаты по использованию схемы регуляризации инфракрасных расходимостей, связанных с излучением из i-кварка, комплексной массой i-кварка в ЭС поправках. Результаты сравнения этого подхода и стандартного подхода в системе SAN С показаны в Таблицах 1-5,

Все результаты для каналов рождения i-кварка показаны на партонном

ГВош=0.1490949(2) ГэВ

Г

Еу, ГэВ Ю-1 10"2 Ю-3

plloop 0.159503(1) 0.159495(2) 0.159499(7)

5 6.981(1) 6.975(1) 6.978(5)

rt^o

plloop 0.160736(2) 0.160784(2) 0.160787(8)

5 7.810(1) 7.841(2) 7.842(5)

Таблица 1: полная Борцовская и однопетлевая ширины ГВогп и Г11 в ГэВ и относительная однопетлевая поправка 6 в % для распада I —* Ь + ц+ +

ГВогп=0.4472847(7) ГэВ

rt = 0

Е7, ГэВ Ю-1 10"2 Ю-3

plloop 0.47922(1) 0.47920(1) 0.47918(1)

6 7.139(1) 7.135(1) 7.131(3)

г, ^ 0

plloop 0.48293(1) 0.48312(1) 0.48311(1)

6 7.969(1) 8.012(1) 8.010(2)

Таблица 2: полная Борновская и однопетлевая ширины ГВош и Г11 в ГэВ и относительная однопетлевая поправка 8 в% для распада £ —* Ь + и +

\/1=7000 ГэВ, <7Вогп=2.23529503(4) фб

Г t = 0

ш Ю-5 10"в ю-7

¿-Hoop 1.5917(1) 1.5917(2) 1.5919(1)

<5 -28.79(1) -28.80(1) -28.78(1)

¿.lloop 1.5815(1) 1.5895(2) 1.5895(2)

6 -29.25(1) -28.89(1) -28.89(1)

Таблица 3: полные Борновские и однопетлевые сечения в фб и относительные однопетлевые поправки 6 в % для процесса й + й —> £ + Ь.

уровне. Результаты для зарядово сопряженных каналов одинаковы: b + й-^i+dиb + u—>t + d (см. Таблицу 4);6 + ^—>?+ииЬ + <1—>( + й (см. Таблицу 5).

Из сравнения видно, что учет ширины ¿-кварка дает эффект в 1 % для распадов ¿-кварка и порядка 0.1 % для рассмотренных каналов одиночного рождения

Vs=7000 ГэВ, сгВогп=50.82423111(8) пб

Г * = о

и 10"6 10"7 10"8

¿.lloop 55.696(2) 55.697(2) 55.697(2)

6 9.586(3) 9.588(4) 9.587(4)

г^о

¿.lloop 55.613(1) 55.639(2) 55.640(2)

<5 9.428(3) 9.474(3) 9.476(4)

Таблица 4: полные Борновские и однопетлевые сечения в пб и относительные однопетлевые поправки <5 в % процесса Ъ + и I + <1.

\/s=7000 ГэВ, стВогп=50.72449055(7) пб

г t = 0

и> Ю-6 Ю-7 ю-8

¿.lloop 55.581(2) 55.583(2) 55.580(2)

<5 9.575(3) I 9.578(4) 9.572(4)

£11оор 55.495(2) 55.527(2) 55.528(2)

6 9.404(3) 9.467(3) 9.469(4)

Таблица 5: полные Борновские и однопетлевые сечения в пб и относительные однопетлевые поправки 6 в % процесса Ъ + 3 —> Ь + й.

¿-кварка.

В четвертой главе диссертации рассматривается подход к аналитическому сокращению массовых и инфракрасных сингулярностей в ЭС поправках.

В стандартной редукции Пассарино-Вельтмана для 4-х точечных боксов-ских функций с внутренними фотонными линиями, соединяющими две внешние линии на массовой поверхности возникает инфракрасно и массово сингулярная £>0 функция. Рапсе при расчетах ЭС поправок к процессу // —* ZZ(ZA) в системе 8А]ЧС был предложен универсальный подход к вычислению таких диаграмм. Здесь обсуждается, как этот подход работает в каналах I —> /1Ь —> и /х/{ —> ¿6 (/1 — безмассовый фермион), введены и вычислены вспомогательные фуНКЦИИ

Связь между инфракрасно сингулярной функцией £)0 и вспомогательными

функциями J'

d{c)

aw(wa)

дается основными соотношениями, точными по массам:

JdAW(Q\T^ тпь, ти md, mu, Mw) =

{Ml + Q2)D0{-m2b, -m2t, -m2, -m2d, Q2, T2; 0, mb, Mw,md) +C0{-ml, -mj, Q2; Mw,md, 0) - Сй{-тп% -m2b, T2; md, 0, m,,), J\va(Q2,T2\mt,mb,mu,md, Mw) =

(M2 + Q2)D0{-m2b, -m2, -m2, -m^, Q2, T2; Mff, mt, 0, mu) +Co(—m2, — rrij, Q2; 0, mu, Mw) - C0(-m2, -m2, T2; mt, 0, mu).

(1)

Затем из функций Jaw(wa) выделяются сингулярности по массам легких кварков и массе Ь-кварка. После этой процедуры остаются "вычтенные" вспомогательные функции Jsub, Jsubsub< которые не содержат сингулярностей и выражаются как линейные комбинации логарифмов и дилогарифмов. Введя эти функции, мы доказали, прежде всего, что ЭС часть однопетлевых поправок свободна от массовых сингулярностей и, кроме того, достигли хорошей стабильности и скорости численных расчетов.

Приведем пример вычисленной функции для s-канала одиночного рождения ¿-кварка.

JsubsubiQ < T2;mt, Mw) = <32 Д»,

Q2+m2

+ Li2

+

1

T^ + w2 +Li2

m In | -Atw

2 p2

+Li2

Ml-ie T2+m2 1

- Li2 (ftH-

Li2 ln

Aw

■ p2

m2,

- Li2 -

Q2

m2 — ie

-In (Я*.) In -

+ C(2)

Q2

T2 + m2

Lio

T2 + m2 m? — ie

l + rtw

- Li2

1

1 + rtw

+ C(2)

Т2 + т2 — ¿6 Я2 + М1- гс

Д(и, = т2 - м1, Р2 = я2 + М1 - ie

Выражение имеет компактный вид и содержит простые логарифмы и дилога-рифмы.

Аналитические вычисления этих функций контролировались численно проверкой с пакетом ЬоорТоок.

В пятой главе диссертации обсуждается компьютерное программное обеспечение, использующее результаты рассматриваемых расчетов.

Результаты аналитических вычислений для частей сечений процессов и ширин распадов представляются в SANC в виде Стандартных SANC FORM модулей (SSFM). Каждый модуль — это программа на языке FORM, использующая SANC FORM среду. Для каждого FORM модуля система создает соответствующий код на языке FORTRAN — Стандартный SANC FORTRAN модуль. Все эти модули сохраняются в базе данных проекта, которая доступна через соответствующий клиент. Пользователь может исполнять все коды в интерактивном режиме, хотя это и требует часто большого ресурса времени CPU. Главная роль FORTRAN модулей — это использование их в независимых программных продуктах как в рамках проекта SANC, так и в программном обеспечении других исследовательских групп.

FORTRAN модули представляются в виде FORTRAN пакетов. Эти пакеты обеспечивают необходимую среду для независимой от системы SANC работы модулей. Каждый пакет — это программа для расчета сечений процессов на партонном уровне или ширин распадов. Их главное назначение проиллюстрировать использование SSFM. Хотя их можно использовать для сравнения различных радиационных поправок на партонном уровне.

На основе FORTRAN модулей были также созданы Монте Карло генераторы не взвешенных событий для процессов Дрелла-Яна, заряженного и нейтрального токов, на адронном уровне.

Также в отдельные пакеты собраны вычисленные функции Jaw(wa)- Пакеты содержат исходный код самих функций и демонстрируют их сравнение с пакетом LoopTools.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации, выдвигаемые для защиты.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1- Jaw,wa functions in Passarino-Veltman reduction. D. Bardin et al, Physics of Atomic Nuclei v.73, No 12 (2010).

2. NLO QCD corrections to Drell-Yan processes in the SANC framework.

A. Andonov et al, Physics of Atomic Nuclei v.73, No 10 (2010),1810-1818.

3. Standard SANC Modules. A. Andonov, et al, Computer Physics Communications 181: 305-312, 2010.

4. SANCnews: Top decays in QCD and EW sectors. D. Bardin et al, Particles and Nuclei, Letters 7:128-141,2010.

5. Implementation of NLO QCD corrections into the framework of computer system SANC. A. Andonov et al,

Particles and Nuclei, Letters 4:451-460,2007.

Препринт:

1. Electroweak Radiative Corrections to Single-top Production. D. Bardin et al arXiv:1008.1859

Материалы рабочих совещаний и конференций:

1. Standard SANC Modules. V. Kolesnikov, et al, Published in PoS ACAT:110,2008.

2. Computer system SANC for precision calculations of the Standard Model processes. A. Andonov et al, NEC'2007, Varna, Bulgaria. Dubna, JINR, ЕЮ,11-2008-37.

Получено 26 августа 2010 г.

Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором.

Подписано в печать 27.08.2010. Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,87. Уч.-изд. л. 1,09. Тираж 100 экз. Заказ № 57077.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@jinr.ru www.jinr.ru/publish/

Введение

Схема вычислений в среде SANC.

Предвычисления, амплитуды, форм-факторы.

От аналитических результатов к числам.

Цели диссертации.

Содержание диссертации.

1. КХД среда 18 1.1. Радиационные КХД попправки к b2q распадам.

2. Процессы типа Дрелла—Яна по каналам заряженного и нейтрального токов

2.1. Кварк-антикварковые подпроцессы Дрелла-Яна.

2.1.1. Вклад жесткого глюонного излучения с массивными кварками

2.1.2. Вклад жесткого тормозного излучения глюона в

MS схеме с безмассовыми кварками.

2.1.3. Виртуальный вклад и вклад мягкого излучения глюона

2.2. Кварк-глюонный канал процессов Дрелла-Яна.

2.2.1. Кварк-глюонный канал процессов заряженного тока

2.3. Кварк-глюонный канал процессов нейтрального тока

2.4. Численные вычисления на адронном уровне

2.4.1. Кинематика на адронном уровне.

2.4.2. Интегрирование по переменным х\, Х2 и х$.

2.5. Численные результаты

3. Одиночное рождение и распады t-кварка

3.1. КХД радиационные поправки к полулептонному распаду топ кварка.

3.1.1. КХД радиационные поправки к распаду't —» bW+

3.1.2. Однопетлевая КХД амплитуда распада t —► Ъ + + ug

3.1.3. Виртуальные КХД поправки.

3.1.4. Поправки на тормозное излучение глюона.

3.2. Электрослабые радиационные поправки к процессам одиночного рождения t-кварка и его распадам.

3.2.1. Выделение КЭД поправок

3.2.2. Расходимости типа on-shell-W-mass.

3.3. Каскадные приближения

3.3.1. Обычный каскад с узкой шириной.

3.3.2. Каскад с комплексной массой W.

3.3.3. Полюсное приближение.

3.4. Численные результаты.

3.4.1. Учет ширины t-кварка.

4. Функции Jaw,wa в редукции Пассарино—Вельтмана 79 4.1. Вычисление J функции для распада t —> bud.

4.1.1. Представление в виде тройного интеграла.

4.1.2. Интегрирование по переменной z.

4.1.3. Интегрирование по переменной х.

4.1.4. Интегрирование по у.

4.1.5. Определения для функций в канале распада t —>

4.1.6. Определения функции J^ub.

4.2. Вычисление J для процесса ud —»• tb.

4.2.1. Интегрирование по z, х

4.2.2. Интегрирование по у.

4.2.3. Функция J

4.2.4. Вычтенная функция Jj.

4.3. Функции J для процессов bq —>■ tq'.

5. Программные продукты

5.1. Пример внедрения SSFM SANC в WINHAC.

Лучшей на сегодня теорией, описывающей различные явления, происходящие при столкновении частиц высоких энергий, является так называемая стандартная модель (СМ) взаимодействия элементарных частиц [1-3]. В течение последних двадцати пяти лет проводились многочисленные эксперименты по проверке СМ на ускорителях высоких энергий и в пределах точности этих экспериментов не было обнаружено ни одного значимого расхождения от предсказаний СМ. На масштабе энергий порядка массы Z-бозона многие предсказания СМ были проверены с точностью « 0.1% (бла-годяря экспериментам на ускорителе LEP). С появлением новых ускорителей (ЬЯС, ILC, CLICT) появляется возможность проверки СМ на масштабах энергии ~ ТэВ с точностью ~ 1%, что предполагает выполнение теоретических расчетов с еще большей точностью (< 0.3%), чтобы не вносить дополнительную систематическую погрешность при сравнении результатов экспериментов с предсказаниями теории.

Одними из процессов, представляющих большой интерес для физической программы будущих экспериментов ATLAS и CMS на ускорителе протонов LHC и для проводимых в настоящее время экспериментов DO и CDF на кол-лайдере Tevatron, где сталкиваются пучки протонов и антипротонов, являются процессы типа Дрелла-Яна по каналам заряженного и нейтрального токов, называемые также процессами одиночного рождения W и Z бозонов: рр -> W± + X ^(7, д) + X, рр —> Z + X —» «+(7, д) + X, рр W± + X ->■ ^(ъд) + X, рр -»> 7,Z + X «+(7,#) + х, где X — это все адроны, образовавшиеся в данной реакции. Эти процессы легко регистрируются в детекторах и имеют большое сечение (порядка 30 иб для рождения W и 3.5 нб для рождения Z при энергии пучков 14 ТэВ). Прецизионное изучение этих процессов используется для определения партонных функций распределения, уточнения значений параметров sin2 , Гуу, Гz-! мониторинга светимости ускорителя и калибровки детекторов. Для достижения требуемой точности необходимо учесть электрослабые (ЭС) и КХД поправки и их взаимное влияние.

Согласно СМ доминирующим каналом распада топ-кварка является процесс t —» bW+ с относительной вероятностью 99.9%. В свою очередь, относительная вероятность распада Ж-бозона на заряженный лептон и нейтрино Br(W+ —> £+iyi) ~ 11%. Таким образом, полулептоиные распады t —> М+щ (£+ = e+,/i+,r+) составляют приблизительно треть всех распадов топ-кварка. И примерно две трети распадов приходится на кварковые каналы t —> bud, t —> bcs. Прецизионное вычисление поправок к значениям ширин данных распадов позволит уточнить значение параметра Vtb матрицы Каббибо-Кобаяши-Маскава. Важность исследования этих процессов требует однопетлевой точности вычислений в теоретических предсказаниях. При высоких энергиях кроме КХД становится важным учитывать также ЭС однопетлевые поправки.

Средством для наиболее точного и подробного сравнения предсказаний теории с результатами экспериментов в настоящее время являются Монте-Карло генераторы событий с единичным весом, представляющие собой программы, моделирующие реальные процессы, происходящие при столкновении частиц высоких энергий. Такие известные программы как PYTHIA и HERWIG моделируют процессы столкновения адронов и лептонов наиболее подробно, учитывая образование партонных ливней, адронизацию и распад образующихся адронов. В основе их лежит так называемый жесткий процесс столкновения партонов типа 2 —» 1, 2 —> 2 или 2 —> 3 для которых известен квадрат модуля матричного элемента. Но для многих этих процессов матричный элемент посчитан лишь в борновском приближении. Для учета эффектов высших порядков теории возмущений можно использовать Монте-Карло генераторы, которые генерируют события лишь для жестких процессов, но с учетом необходимых поправок. Эти события могут быть записаны в файлы, которые передаются для обработки в Монте-Карло генераторы общего назначения.

В сфере расчетов радиационных поправок для жестких процессов есть потребность в развитии компьютерных иструментов для их автоматизации. На данный момент в мире есть несколько компьютерных систем, позволяющих проводить такие расчеты на однопетлевом уровне точности в автоматическом или полуавтоматическом режиме. Это такие системы как FeynArts [4], GraceLoop [5]. Обсуждаемая в этой работе система SANC — это компьютерная система для полуавтоматических вычислений реалистичных и псевдо-наблюдаемых для различных процессов взаимодействия элементарных частиц на однопетлевом уровне точности для экспериментов на ускорителях.

Схема вычислений в среде SANC

В этом разделе введения дается краткое описание принятой в системе SANC схемы расчета различных наблюдаемых для доступных процессов. Все вычисления реализованы в духе [6]. Последняя версия системы SANC имеет дело с тремя моделями взаимодействия элементарных частиц: квантовой электродинамикой (КЭД), электрослабой теорией и квантовой хро-модинамикой (КХД). В качестве примера на Рис. 1 показано дерево для КХД процессов.

SANC

Я QED Я QV £1 QCD е- Ш Precomputation

-'ЗЯ Processes >

3 legs Я t Wb i b2q I I

H -> q q Я Z -> q q о- Ш W -> q q' - 4 legs о- Я Neutral Current Charged Current

7-Я t -> b f1 f 1'

EFw t -> b f1 f1' (FF) Fr>i t -> b f1 f1 ■ (BR) F™ t -> ь fi fi • (MC)

-в q q' -> II'

-F?3q q1 -> I I1 (FF) -Fbiq q' -> II' (BR) 1

5 SANC o- 9 QED

Sav

QCD г

Precomputation 9-Я Self I f-ш Gluon

Gluon Self Quark ?-Д Ften Blacks fm CalcQuarkHenConsI -fbi Quark Self Я Vertex 9-t2 bqq

Fa bqq Vertex <3 Box

I

4q

Charged current ^—Feiqqqq Box Я Processes

Рис. 1: КХД процессы и блоки предвычислений, доступные в среде SANC version 1.10.

Каждое дерево состоит из нескольких уровней вложенных папок. Папки низшего уровня могут содержать следующие файлы: .(FF) (форм-факторы) , . (НА) (спиральные амплитуды), . (BR) (тормозное излучение) и .(МС) (тормозное излучение в полностью дифференциальной форме). В названиях папок мы используем следующие обозначения: Ъ — для любого бозона, / — для любого фермиона (кварка или лептона), fi — для фермионов первого поколения, чьи массы удерживаются только в аргументах логарифмических функций, q — для кварков, А — для фотона и Z, W, Н — для одноименных бозонов. В некоторых случаях для большей определенности применяются обозначения: I — для заряженных лептоиов, v — для нейтрино, Ь — для 6-кварка и £ — для £-кварка. Для файлов используются те же обозначения, причем b всегда означает Ь-кварк.

Для ряда процессов системы SANC цепочка вычислений заканчивается Монте-Карло интеграторами и генераторами. Но лишь некоторые из них внедрены в систему. Другие доступны как отдельные пакеты, использующие модули на языке Fortran, сгенерированные системой. Эти модули содержат аналитические выражения для различных вкладов в дифференциальное сечение рассеяния пары частиц или дифференциальную ширину распада.

Предвычисления, амплитуды, форм-факторы

Предвычисления — это одна из основных концепций идеологии SANC. Так как многие однопетлевые расчеты требуют значительного времени для выполнения, то нецелесообразно проводить их каждый раз при запуске SANC и удобно предварительно вычислить возможно больше однопетлевых диаграмм и производных от них величин (константы перенормировки, всевозможные строительные блоки и т.д.). Пример файлов предвычислений в КХД можно увидеть на Рис. 1.

Стоит отметить, что на стадии предварительных вычислений нет необходимости различать канал процесса. При расчете однопетлевых диаграмм все 4-импульсы считаются входящими. В окончательных выражениях (например, для скалярных форм-факторов) любой требуемый канал получается соответствующей перестановкой аргументов (например, манделынта-мовских переменных s, t и и). Более подробно ветка предвычислений описывается в работе [7].

Обычно процесс имеет три файла с программными кодами на языке FORM, которые вычисляют:

• Ковариантную амплитуду (СА), соответствующую результату непосредственного стандартного вычисления всех диаграмм Фейнмана, которые вносят вклад в рассматриваемый процесс на древесном и одиопетлевом уровнях и скалярные форм-факторы (FF) с индексом, обозначающим соответствующую структуру. Число форм-факторов совпадает с возникающим числом Лоренц-структур (можно сравнить с вершиной взаимодействия нуклон-нуклон-7, которая параметризуется двумя скалярными форм-факторами Л ос ч^Тг + <JiLVqvT<2)\

• Спиральные амплитуды (НА), которые зависят от форм-факторов: где {А;} обозначает набор собственных квантовых значений спиральности (обычно проекции спинов на ось квантования). Напомним, что в стандартном подходе для наблюдаемой О имеем О ос \Л\2, в то время как в терминах НА: О ос 1^{Лг}12> чт0 радикально упрощает вычисления в связи с тем, что Н{\.} — скалярные объекты, которые представляются комплексными числами;

• Сопутствующее тормозное излучение (BR). Этот модуль предназначен для вычисления вклада реального тормозного излучения в соответствующие процессы. Обычно имеются как расчеты инклюзивных величин, так и полностью дифференциальных для последующего использования в Монте-Карло генераторах и интеграторах (МС-модули).

От аналитических результатов к числам

Цепочка вычислений SANC начинается с выполнения модулей FF в интерактивном режиме. Далее следует срабатывание пакета s2n, преобразующего аналитические выражения в модули программ на языке Fortran, и последующее выполнение модулей НА с еще одним срабатыванием s2n. В результате система генерирует код для вклада виртуальных поправок к выбранному процессу, которые схематически можно представить в следующем виде:

Заметим, что двухпетлевые поправки при их наличии легко могут быть включены в указанную схему.

Также необходимо рассматривать поправки за счет жесткого и мягкого тормозного излучений. Они вычисляются с помощью модулей BR. Кинематика мягкого тормозного излучения такая же, как и у вклада борновского приближения, в то время как фазовый объем жесткого тормозного излучения имеет на три переменные больше в связи с одной дополнительной частицей в конечном состоянии. Система обычно создает для данного вклада программные модули на языке Fortran, которые могут в дальнейшем использоваться в Монте-Карло вычислениях. Для большинства процессов в системе реализована полная цепочка однопетлевых расчетов, включая расчет жесткого тормозного излучения для инклюзивных наблюдаемых. 2

1)

Для численных расчетов мы используем модули на языке Fortran, сгенерированные пакетом s2n — частью системы, написанной на языке PERL. SANC имеет собственную библиотеку для численного вычисления функций Пассарино-Вельтмана [8] и использует пакет LoopTools [9] в качестве альтернативы.

Цели диссертации

Проведенное исследование преследовало следующие цели:

• разработать вычислительную среду для КХД вычислений в рамках системы SANC,

• выполнить расчет однопетлевых КХД поправок к процессам типа Дрелла-Яна,

• выполнить расчет однопетлевых КХД и ЭС поправок для процессов одиночного рождения £-кварка и его распада на кварки с учетом конечной ширины £-кварка,

• создать фортранные модули, реализующие результаты вычислений, для использования в Монте-Карло генераторах.

Содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения.

Основные результаты, выдвигаемые для защиты:

1. Разработана и реализована вычислительная процедурная среда в системе SANC для КХД сектора.

2. Получены аналитические выражения в среде SANC для КХД поправок для процессов Дрелла-Яна по каналам заряженного и нейтрального токов рр W± + X Pveig) + X, рр W± + X i^v^g) + X, рр 7, Z + X -> £~£+(д) + X, рр 7, Z + X -> «+(#) + X на кварк-партонном уровне с учетом массы кварков и параллельно в MS схеме.

3. Впервые созданы аналитические и фортранные модули для вычисления КХД и ЭС однопетлевых поправок для процессов Дрелла-Яна на адронном уровне.

4. Реализован общий метод вычисления вспомогательных функций J типа Пассарино-Вельтмана для процессов: t —► bud, ud —> tb, bu —► td.

5. В мультиканальном подходе вычислены однопетлевые ЭС поправки для процессов: t —» bud, ud —► tb, bu —» td. Созданы автономные аналитические модули для их вычисления.

Заключение

1. S. L. Glashow and М. Gell-Mann, Annals Phys. 15 (1961) 437-460.

2. S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 19 (1967) 1264-1266.

3. A. Salam, Originally printed in *Svartholm: Elementary Particle Theory, Proceedings Of The Nobel Symposium Held 1968 At Lerum, Sweden*, Stockholm 1968, 367-377.4. T. Hahn, 1006.2231.

4. Y. Yasui et al, 0710.2957.

5. D. Y. Bardin and G. Passarino, Oxford, UK: Clarendon (1999) 685 p.

6. A. Andonov et al, Comput. Phys. Commun. 174 (2006) 481-517, hep-ph/0411186.

7. G. Passarino and M. J. G. Veltman, Nucl. Phys. B160 (1979) 151.

8. T. Hahn, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 89 (2000) 231-236, hep-ph/0005029.

9. A. Arbuzov et al., Eur. Phys. J. C51 (2007) 585-591, hep-ph/0703043.

10. J. A. M. Vermaseren, math-ph/0010025.

11. QCD Tools Working Group Collaboration, R. K. Ellis et al., hep-ph/0011122.

12. A. Arbuzov et al., Eur. Phys. J. C46 (2006) 407-412, hep-ph/0506110.

13. A. Arbuzov et al., Eur. Phys. J. C54 (2008) 451-460, 0711.0625 hep-ph].

14. А. В. Arbuzov and R. R. Sadykov, J. Exp. Theor. Phys. 106 (2008) 488494, 0707.0423.

15. С. E. Gerber et al., 0705.3251 hep-ph],

16. C. Buttar et al, 0803.0678 hep-ph].

17. D. Bardin, S. Bondarenko, S. Jadach, L. Kalinovskaya, and W. Placzek, Acta Phys. Polon. B40 (2009) 75-92, 0806.3822.

18. D. Y. Bardin, L. V. Kalinovskaya, and L. A. Rumyantsev, Phys. Part. Nucl. Lett. 6 (2009) 30-41.

19. A. Andonov, A. Arbuzov, S. Bondarenko, P. Christova, V. Kolesnikov, and R. Sadykov, Phys. Part. Nucl. Lett. 4 (2007) 451-460.

20. D. Y. Bardin, В. M. Vilensky, and P. K. Khristova, Sov. J. Nucl. Phys. 53 (1991) 152-158.

21. E. Braaten and J. P. Leveille, Phys. Rev. D22 (1980) 715.

22. S. D. Drell and T.-M. Yan, Phys. Rev. Lett. 25 (1970) 316-320.

23. A. Andonov, A. Arbuzov, S. Bondarenko, P. Christova, V. A. Kolesnikov, G. Nanava, and R. R. Sadykov, Phys. Atom. Nucl. 73, No 10 (2010) 1810-1818, 0901.2785.

24. M. Dittmar, F. Pauss, and D. Zurcher, Phys. Rev. D56 (1997) 7284-7290, hep-ex/9705004.

25. S. Frixione and M. L. Mangano, JHEP 05 (2004) 056, hep-ph/0405130.

26. CDF Collaboration, V. M. Abazov et al., Phys. Rev. D70 (2004) 092008, hep-ex/0311039.

27. CDF Collaboration, A. Abulencia et al, J. Phys. G34 (2007) 2457-2544, hep-ex/0508029.

28. V. A. Mosolov and N. M. Shumeiko, Nucl. Phys. B186 (1981) 397-411.

29. A. V. Soroko and N. M. Shumeiko, Sov. J. Nucl. Phys. 52 (1990) 329-334.

30. D. Wackeroth and W. Hollik, Phys. Rev. D55 (1997) 6788-6818, hep-ph/9606398,

31. U. Baur, S. Keller, and D. Wackeroth, Phys. Rev. D59 (1999) 013002, hep-ph/9807417.

32. S. Dittmaier and M. Kramer, Phys. Rev. D65 (2002) 073007, hep-ph/0109062.

33. U. Baur, O. Brein, W. Hollik, C. Schappacher, and D. Wackeroth, Phys. Rev. D65 (2002) 033007, hep-ph/0108274.

34. U. Baur and D. Wackeroth, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 116 (2003) 159-163, hep-ph/0211089.

35. U. Baur and D. Wackeroth, Phys. Rev. D70 (2004) 073015, hep-ph/0405191.

36. С. M. Carloni Calame, G. Montagna, O. Nicrosini, and A. Vicini, JEEP 12 (2006) 016, hep-ph/0609170.

37. С. M. Carloni Calame, G. Montagna, O. Nicrosini, and A. Vicini, JHEP 10 (2007) 109, 0710.1722.

38. R. Hamberg, W. L. van Neerven, and T. Matsuura, Nucl. Phys. B359 (1991) 343-405.

39. К. Melnikov and A. Vainshtein, Phys. Rev. D70 (2004) 113006, hep-ph/0312226.

40. K. Melnikov and F. Petriello, Phys. Rev. D74 (2006) 114017, hep-ph/0609070.

41. C. Buttar et al., hep-ph/0604120.

42. K. Melnikov and F. Petriello, Phys. Rev. Lett. 96 (2006) 231803, hep-ph/0603182.

43. C. Balazs and C. P. Yuan, Phys. Rev. D56 (1997) 5558-5583, hep-ph/9704258.

44. S. Frixione and B. R. Webber, hep-ph/0612272.

45. P. Nason, PoS RADCOR2009 (2010) 018, 1001.2747.

46. G. Altarelli, R. K. Ellis, and G. Martinelli, Nucl. Phys. B157 (1979) 461.

47. S. Moch and A. Mitov, Acta Phys. Polon. B38 (2007) 3507-3516, 0711.1121.

48. J. Pumplin et al., JEEP 07 (2002) 012, hep-ph/0201195.

49. G. P. Lepage, J. Comput. Phys. 27 (1978) 192.51. http://sane.j inr.ru and http://pcphsanc.cern.ch.

50. A. Andonov, A. Arbuzov, D. Bardin, S. Bondarenko, P. Christova, L. Kalinovskaya, V. Kolesnikov, and R. Sadykov, Comput. Phys. Commun. 181 (2010) 305-312, 0812.4207.

51. Т. Sjostrand, S. Mrenna, and P. Z. Skands, JHEP 05 (2006) 026, hep-ph/0603175.

52. G. Corcella et al., JHEP 01 (2001) 010, hep-ph/0011363.

53. D. Bardin, L. Kalinovskaya, V. Kolesnikov, and W. von Schlippe, Phys. Part. Nucl. Lett. 7 (2010) 72-79, 0903.1533.

54. E. E. Boos, V. E. Bunichev, L. V. Dudko, V. I. Savrin, and A. V. Sherstnev, Phys. Atom. Nucl. 69 (2006) 1317-1329.

55. S. M. Bilenky, Gif-sur-Yvette, France: Ed. Frontieres (1994) 368 p.

56. G. 't Hooft and M. J. G. Veltman, Nucl. Phys. B153 (1979) 365-401.

57. M. Fischer, S. Groote, J. G. Korner, and M. C. Mauser, Phys. Rev. D65 (2002) 054036, hep-ph/0101322.

58. R. Sadykov et al, PoS TOP2006 (2006) 036.

59. Particle Data Group Collaboration, W. M. Yao et al., J. Phys. G33 (2006) 1-1232.

60. D. Bardin, S. Bondarenko, L. Kalinovskaya, V. Kolesnikov, and W. von Schlippe, 1008.1859.

61. D. Bardin, L. Kalinovskaya, V. Kolesnikov, and W. von Schlippe, Phys. Atom. Nucl. 73, No 12 (2010) 0912.3893.

62. T. Hahn and M. Perez-Victoria, Comput. Phys. Commun. 118 (1999) 153165, hep-ph/9807565.

63. V. Kolesnikov et al., PoS ACAT08 (2008) 110.

64. D. Bardin et al., Comput. Phys. Commun. 177 (2007) 738-756, hep-ph/0506120.

65. A. Arbuzov et al., In preparation.

66. R. Sadykov, http://indico.cern.ch/conferenceDisplay.py?connd=37194.

67. R. Sadykov, http://indico.cern.ch/conferenceDisplay.py?confId=6818.

68. V. Kolesnikov, http://indico.cern.ch/conferenceDisplay.py?confId=6818.

69. S. Jadach and R Sawicki, Comput. Phys. Commun. 177 (2007) 441-458, physics/0506084.

70. J. Alwall et al., Comput. Phys. Commun. 176 (2007) 300-304, hep-ph/0609017.

71. T. Sjostrand, S. Mrenna, and R Skands, Comput. Phys. Commun. 178 (2008) 852-867, 0710.3820.74. M. Bahr et al, 0803.0883.

72. R. Sadykov, http://indico.cern.ch/conferenceDisplay.py?confId=10887.

73. W. Placzek and S. Jadach, Eur. Phys. J. C29 (2003) 325-339, hep-ph/0302065.

74. W. Placzek and S. Jadach, available from http://cern.ch/placzek/winhac.