Однопетлевые КЭД и электрослабые поправки для процессов физики частиц при высоких энергиях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

2-2010-146 На правах рукописи

4842921

КАЛИНОВСКАЯ Лидия Владимировна

ОДНОПЕТЛЕВЫЕ КЭД И ЭЛЕКТРОСЛАБЫЕ ПОПРАВКИ ДЛЯ ПРОЦЕССОВ ФИЗИКИ ЧАСТИЦ ПРИ ВЫСОКИХ

ЭНЕРГИЯХ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 7 Смп

/ ). й/им

Дубна 2010

4842921

Работа выполнена в Лаборатории ядерных им. В.П. Джелепова Объединенного института исследований.

проблем ядерных.

(

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Александр Николаевич Балл

доктор физико-математических наук Дмитрий Игоревич Казаков

доктор физико-математических наук Владимир Александрович Смирнов

Ведущая организация:

Учреждение Российской академии наук Петербургский институт ядерной физики имени Б.П. Константинова, г. Гатчина.

час. на заседании диссертационного совета Д 720.001.01 при Объединенном институте ядерных исследований (141980, г. Дубна Московской области).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований.

Автореферат разослан «. » Ш^кл 2010 г.

Ученый секретарь

Защита диссертации состоится

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

А.Б. Арбузов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследований.

Стандартная модель (СМ) фундаментальных взаимодействий элементарных частиц, несмотря на хорошо известную критику и первые свидетельства выхода за ее пределы, обнаруженные в нейтринных экспериментах, продолжает оставаться единственным фундаментом прецизионных теоретических расчетов, необходимых для корректной интерпретации экспериментальных данных.

Важная роль высокоточных теоретических предсказаний в физике высоких энергий известна со времен экспериментов на LEP1 и LEP2, где точность измерений значительно превысила 0.1% и 1% соответственно. Во времена LEP прецизионные расчеты, в основном, проводились для проверки СМ. Еще большая точность потребуется на будущих электронных линейных ускорителях (ISCLC, CLIC) и мюошшх фабриках. На недавно введенном в эксплуатацию адронном коллайде-ре LHC ожидается точность измерений ~ 1% (по-видимому, ограниченная систематикой для процессов с высокой статистикой). Это потребует соответствующих теоретических предсказаний, по крайней мере, на уровне однопетлевых (NLO) расчетов в электрослабом секторе (ЭС) СМ, а в КХД секторе СМ — двухнетлевых (NNLO) поправок.

Процедура вычисления ЭС радиационных поправок (РП) должна учитывать специфику эксперимента. Строго говоря, эта процедура возможна только с помощью методов Монте Карло. Её можно реализовать лишь в тесном сотрудничестве теоретиков и экспериментаторов, поэтому возникло понятие "теоретическая поддержка" эксперимента. Диссертация основана на работах по теоретической поддержке экспериментов физики высоких энергий за последние 15 лет.

Первая группа экспериментов — глубоконеупругое ер рассеяние (ГНР) па ускорителях HERA (эксперименты HI и ZEUS), ГНР нейтрино (эксперименты NOMAD > и NuTeV) и упругое ¡ie рассеяние (эксперимент SMC).

Для уже закончившихся экспериментов на ускорителе HERA вычисление КЭД РП для ГНР ер рассеяния было важным при измерении структурных функции протона (кварковых распределений PDF). В этих экспериментах РП были велики и зависели от кинематических переменных, в терминах которых описывались экспериментальные данные. Был необходим учет поправок второго порядка, хотя бы в приближении ведущих логарифмов. Созданная на основе работ, вошедших в диссертацию, программа HECTOR аккумулировала все мировые результаты в этой области и была широко востребована и цитируема.

Главной целью эксперимента коллаборации SMC с поляризованным мюонным пучком было измерение спиновых структурных функций, а для этого требовалось точное знание поляризации мюонов. Для мониторинга поляризации измерялось упругое це рассеяние, про которое было известно, что КЭД РП в полном фазовом объеме оказывались весьма значительными. Естественно необходимыми представлялись расчеты в реалистических экспериментальных условиях. На базе работ, вошедших в диссертацию, создана программа fíela. С помощью программы ß&la, основанной на "детерминистическом" подходе, было показано, что в этом случае КЭД поправки оказываются малыми.

Вычисление полных ЭС радиационных поправок является несравненно более сложной задачей, чем КЭД РП, из-за присутствия большого числа диаграмм и

энергетических масштабов (массы бозонов, топ-кварка).

В силу этих причин в последние годы стала актуальной проблема автоматизации вычислений ЭС РП. Известными примерами таких компьютерных систем являются FeynArts и GRACE-loop. В течение ряда последних лет в ЛЯП ОИЯИ была создана и продолжает развиваться компьютерная система SANC. Большая часть работ, вошедших в диссертацию, связана с проектом SANC.

Недавние эксперименты, такие как NOMAD, NuTeV, CHORUS, достигли значительного прогресса в изучении ГНР нейтрино. Их прецизионные измерения сделали необходимым улучшение уровня точности теоретического описания процессов. Одним из первых примеров использования системы SANC было новое вычисление ЭС РП, дополненное учетом лидирующих КЭД РП в приближении ведущих логарифмов. В расчетах были приняты во внимание экспериментальные условия регистрации частиц и отбора событий присущие требованиям эксперимента NOMAD.

Вторая группа экспериментов — эксперименты на адронных коллайдерах Teva-tron и LHC. Как уже было сказано выше, прецизионные расчеты процессов взаимодействия элементарных частиц важны для физики адронных коллайдеров. Одними из основных процессов, представляющих большой интерес для реализации физической программы экспериментов ATLAS и CMS на LHC и для экспериментов DO и CDF на Tevatron, являются процессы типа Дрелла-Яна для заряженного и нейтрального токов (называемые также процессами одиночного рождения W и Z, соответственно). Эти процессы легко регистрируются в детекторах и имеют большое сечение (« 30 нб и 3 нб, соответственно, при 14TeV). Измерения процессов типа Дрелла-Яна используются для определения партонных функций распределения, уточнения значений параметров Mw, sin2 , Г^, мониторинга светимости ускорителя и калибровки детекторов. Для достижения требуемой точности необходимо учесть электрослабые и КХД поправки и их взаимное влияние. Актуальность прецизионных расчетов для этих процессов подтверждается проведением нескольких международных совещаний по согласованному сравнению результатов, в которых принимала участие и группа SANC.

В диссертацию также входят работы по изучению ряда процессов, представляющих большой интерес для физики LHC, таких как рождение бозонных пар и одиночное рождение топ-кварка.

Представленные результаты аналитических вычислений и соответствующие фортранные коды имеют модульную структуру (стандартные SANC фортранные модули, SSFM). Модульность — очень важное свойство, позволяющее легко отделять вклады различной физической природы: КХД, КЭД, чисто слабые и т.п. Вычисления КХД и ЭС РП продвинуты до уровня создания модулей для многих процессов. На использовании SSFM основаны Монте Карло интеграторы и генераторы SANC. Результаты, полученные с помощью Монте Карло интеграторов и генераторов SANC для процессов типа Дрелла-Яна, уже находят свое применение при анализе первых данных эксперимента ATLAS на LHC. В основном в диссертацию вошли работы, посвященные созданию ЭС сектора системы SANC.

Цель диссертационной работы: Цель настоящей работы состоит в теоретической поддержке экспериментов на ускорителях HERA, SPS (эксперименты SMC, NOMAD), LEP и LHC (эксперимент ATLAS). Эта цель достигнута путём создания программных продуктов с удобными интерфейсами, в которых реализо-

ваны расчеты соответствующих наблюдаемых на однопетлевом уровне точности в Стандартной Модели (СМ) с теоретической неопределенностью желательно лучшей, чем ошибки эксперимента.

Диссертация посвящена прецизионным расчетам физических наблюдаемых и процессах: глубокопеупругого ер рассеяния, упругого це рассеяния, глубоконе-упругого нейтринного рассеяния, нарушения четности в атомных переходах, а также расчетам псевдо- и реалистических наблюдаемых для процессов типа ffbb и //// (где /, b — любой фермион, бозон СМ) на основе созданной процедурной платформы аналитических вычислений проекта SAMC и внедрению этих расчетов в программы анализа данных ряда экспериментов.

Научная новизна результатов диссертации состоит в следующем:

• впервые предложен единый подход к расчету широкого круга процессов в СМ па однопетлевом уровне точности, основанный на полу-автоматичеекпх символьных вычислениях на языке FORM;

• впервые предложен и применен мультиканальный подход к вычислениям од-нопетлевых электрослабых поправок к ряду фермион-бозонных и 4-х фер-мионных процессов в каналах нейтрального и заряженного токов;

• предложен новый систематический подход для вычисления вспомогательных функций, типа D-функций Пассарипо-Вельтмана (ПВ), удобных для анализа природы инфракрасных и массовых сингулярностей однопетлевых амплитуд;

• впервые ширина нестабильной частицы (топ-кварка) использована для регуляризации инфракрасных расходимостей как виртуальных, так и реальных амплитуд; проведено сравнение со стандартным подходом;

• реализована концепция "стандартных модулей", как основного выходного программного продукта системы SANC, и продемонстрирована их применимость для приложений в анализе данных конкретных экспериментов и использования в Мойте Карло генераторах других групп (WINHAC).

Достоверность результатов контролировалась посредством многочисленных внутренних тестов: аналитическое сокращение калибровочных параметров, выполнение тождеств Уорда и т.н., а в случаях, где это было возможно, путем сравнения с результатами вычислений других групп.

Практическая и научная ценность диссертации состоит в использовании созданных программных продуктов в процедурах анализа уже завершенных экспериментов на ускорителях HERA, SPS и LEP, что подтверждено высокой ци-тируемостыо (в период с 1995 по 2005гг). Созданные программы востребованы экспериментаторами ATLAS на LHC, что подтверждено участием диссертанта в работе коллектива авторов, подготавливающих процедуру анализа данных (см. ATL-COM-PHYS-2010-325).

Результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Рассчитаны КЭД поправки к глубоконеупругому электрон-протонному рассеянию в условиях экспериментов на ускорителе HERA в смешанных кинематических переменных. Создана и применена для анализа данных программа HECTOR, объединяющая собственные результаты и мировой опыт в этой области.

2. Рассчитаны КЭД поправки в условиях эксперимента SMC с целыо мониторинга поляризации мюонного пучка. Создана и применена для анализа данных компьютерная программа /lela.

3. Вычислены ЭС РП к процессам ГНР нейтрино в условиях эксперимента NOMAD. Создана компьютерная программа, которая применена для анализа данных.

4. Разработана концепция проекта SANC, предназначенного для полу-автомати-ческого вычисления наблюдаемых в физике высоких энергий на однопетле-вом уровне точности (физическая часть).

• Создан основной набор внутренних процедур, предназначенных для аналитических однопетлевых вычислений.

• Вычислены и внедрены в среду SANC однопетлевые электрослабые поправки к фермион-бозонным процессам типа 2/26 —» 0 в рамках предложенного в диссертации мультиканального подхода.

• Введены и вычислены вспомогательные функции в классе функций Пас-сарино-Вельтмана с использованием предложенного в диссертации общего метода.

• Реализованы и использованы при подготовке к анализу данных эксперимента ATLAS программные продукты SANC в виде Стандартных Модулей.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах Лаборатории Теоретической Физики им. H.H. Боголюбова и Лаборатории Ядерных Проблем им В.П. Джелепова ОИЯИ, на семинарах в Институте Физики Высоких Энергий в Цойтене (Германия), в CERN (Швейцария), в DESY (Гамбург, Германия), на Рабочем Совещании "Физика на HERA"(29-30 Октября 1991г., Гамбург, Германия), на Рабочем Совещании "Глубоконеупругое рассеяние"(6-10 Апреля 1992г., Тойпиц, Германия), на Рабочем Совещании ECFA-DESY (12-15 Апреля 2002, Сан Мало, Франция), на Рабочем Совещании ECFA (12-16 Октября 2003, Монпелье, Франция), на Рабочих Совещаниях по физической программе ATLAS в ОИЯИ (28 апреля и 25 ноября 2005 г., 14 апреля и 22 декабря 2006 г., 25 декабря 2007 г. и 21 апреля 2008 г.), на совещаниях рабочих групп (Монте Карло генераторов и Физики ЭС взаимодействий) эксперимента ATLAS в CERN (14 января 2006 г., 8 октября 2007 г. и 9 сентября 2008 г.), на международных конференциях CALC2006 и CALC2009 (Дубна, 15-25 июля 2006 г., Дубна, 10-20 июля

2009 г.), АСАТ2002 (Москва, 24-28 июня 2002 г.), АСАТ2007 (Амстердам, 23-27 апреля 2007 г.) и АСАТ2008 (Эрнче, Сицилия, 3-7 ноября 2008 р.)

Публикации.

По результатам диссертации опубликовано 30 работ, в том числе 16 работ из перечня изданий, рекомендованных ВАК для докторских диссертаций.

Личный вклад автора.

Из всех работ, выполненных в соавторстве, в диссертацию включены положения и результаты, полученные либо лично автором, либо при се определяющем участии в постановке задач и разработке методов их решения.

Объем и структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения и списка цитируемой литературы, содержащего 217 наименовании. Общий объем диссертации — 257 страница. Диссертация содержит 61 таблицу и 74 рисунка.

По материалам диссертации опубликованы следующие работы: I. Статьи в рецензируемых журналах

1. D. Bardin, P. Christova, L. Kalinovskaya, Т. Riemann. Complete O(alpha) QED corrections to the process ep —> eX in mixed variables. Phys. Lett. B357:456-463,1995.

2. A. Arbuzov, D. Bardin, J. Blumlein, L. Kalinovskaya, T. Riemann. Hector 1.00: A Program for the calculation of QED, QCD and electroweak corrections to cp and lepton+~ N deep inelastic neutral and charged current scattering. Comput. Phys. Commun. 94:128-184,1990.

3. D. Bardin, L. Kalinovskaya, T. Riemann. Deep inelastic scattering with tagged photons at HERA. Z. Phys. C76:487-497,1997.

4. D. Adams,..., L. Kalinovskaya,... et al. The Spin dependent structure function gl(x) of the deuteron from polarized deep inelastic muon scattering. By Spin Muon Collaboration (SMC) Phys. Lett. B396:338-348,1997.

5. L.V. Kalinovskaya. About implementation of e+e~ —> // processes into the framework of SANC system. Nucl. Instrum. Meth. A502:581-582,2003.

6. A. Andonov,..., L. Kalinovskaya,... et al. SANC press release. Nucl. lustrum. Meth. A502:576-577,2003.

7. D. Bardin, L. Kalinovskaya, G. Passarino. Atomic parity violation and precision physics. Eur. Phys. J. C22:99-104,2001.

8. A. Arbuzov, D. Bardin, L. Kalinovskaya. Radiative corrections to neutrino deep inelastic scattering revisited. JHEP 0506:078,2005.

9. A. Andonov, A. Arbuzov, D. Bardin, S. Bondarenko, P. Christova, L. Kalinovskaya, G. Nanava, W. von Schlippc. SANCscope - v.1.00. Comput. Phys. Commun. 174:481-517, 2006, Erratum-ibid.l77:623-624,2007.

10. D. Bardin, S. Bondarenko, L. Kalinovskaya, G. Nanava, L. Rumyantsev, W. von Schlippe. SANCnews: Sector ffbb. Comput. Phys. Commun. 177:738-756,2007.

11. D. Bardin, S. Bondarenko, L. Kalinovskaya, G. Nanava, L. Rumyantsev. Electro-weak radiative correction to the three channels of the process fifiHA —> 0. Eur. Phys. J. C52:83-92,2007.

12. D. Bardin, S. Bondarenko, L. Kalinovskaya, G. Nanava, L. Rumyantsev, W. von Schlippe. Electroweak radiative corrections to the three channels of the process fifiZA -> 0. Eur. Phys. J. C54:187-197,2008.

13. Д.Ю. Бардин, Jl.В. Калиновская, JI. А. Румянцев, Функции J (А) в редукции Пассарино-Вельтмана. Письма в ЭЧАЯ, Том 6, №1(150),54-71,2009

14. Д.Ю. Бардин, Л.В. Калиновская, В.А. Колесников, В. фон Шлиппе. Функции Jaw,wa в редукции Пассарино-Вельтмана. Ядерная физика, Том.73, №12,2048-2063,2010.

15. A. Andonov, A. Arbuzov, D. Bardin, S. Bondarenko, P. Christova, L. Kalinovskaya, V. Kolesnikov, R. Sadykov. Standard SANC Modules. Comput. Phys. Commun. 181:305-312,2010.

16. D. Bardin, S. Bondarenko, S. Jadach, L. Kalinovskaya, W. Placzek. Implementation of SANC EW corrections in WINHAC Monte Carlo generator. Acta Phys. Polon. B40:75-92,2009.

II. Материалы конференций и рабочих совещаний

17. D. Bardin, J. Blumlein, P. Christova, L. Kalinovskaya. Recent developments in radiative corrections at HERA. DESY-96-198, Sep 1996. 11pp. Contribution to the Proceedings of the 1996 HERA Physics Workshop. e-Print: hep-ph/9609399.

18. D. Bardin, J. Blumlein, P. Christova, L. Kalinovskaya. O(alpha) QED corrections to polarized elastic це and deep inelastic IN scattering. Oct 1997. 10pp. 2 Topical Workshop on Deep Inelastic Scattering off Polarized Targets: Theory Meets Experiment (SPIN 97), Zeuthen, Germany, 1-5 Sep 1997.

19. D.Yu. Bardin, L.V. Kalinovskaya, F.V. Tkachov. New algebraic numeric methods for loop integrals: Some one-loop experience. Tver 2000, High energy physics and quantum field theory* 230-232, e-Print: hep-ph/0012209.

20. A. Andonov,..., L. Kalinovskaya,... et al. Project SANC (former CalcPHEP): Support of analytic and numeric calculations for experiments at colliders. 31 International Conference on High Energy Physics (ICHEP 2002), Amsterdam, Netherlands, 24-31 July 2002. Published in *Amsterdam 2002, ICHEP* 825-827, hep-ph/0209297.

21. D. Bardin, P. Christova, L. Kalinovskaya. SANC status report. Nucl. Phys. Proc. Suppl. 116:48-52,2003.

22. D. Bardin, L. Kalinovskaya,... et al. SANC: precision calculations for the SM processes. ACAT2007 conference proceedings, PoS ACAT:077,2007.

23. С. Gerber,... L. Kalinovskaya,... et al. Tevatron-for-LHC Report: Top and Electro-wcak Physics. FERMILAB-CONF-07-052-E-T, May 2007.

e-Print: arXiv:0705.3251 [hep-ph],

24. C. Buttar,... L. Kalinovskaya,... et al. Standard Model Handles and Candles Working Group: Tools and Jets Summary Report. Les Houches 2007, Physics at TeV colliders. e-Print: arXiv:0803.0G78 (hep-ph].

25. A. Andonov,... L. Kalinovskaya,... et al. Standard SANC Modules. XII International Workshop on Advanced Computing and Analysis Techniques in Physics Research, ACAT2008 conference proceedings, PoS ACAT:110,2008.

III. Препринты

26. D. Bardin, L. Kalinovskaya. QED corrections for polarized clastic muon-olectron scattering. DESY-97-230, Dec 1997. 54pp. e-Print: hep-ph/9712310.

27. D. Bardin, L. Kalinovskaya, G. Nanava. An Electroweak library for the calculation of EWRC to e+e" — ff within the topfit project. JINR-E2-2000-292, Dec 2000. e-Print: hcp-ph/0012080.

28. D. Bardin,..., L. Kalinovskaya,... et al. Project CalcPHEP: Calculus for precision high-energy physics. Feb 2002. 14pp. e-Print: hep-ph/0202004.

29. D. Bardin, S. Bondarenko, L. Kalinovskaya, V. Kolesnikov, W. von Schlippe. Electroweak Radiative Corrections to Single-top Production. Aug 2010. 22pp. e-Print: arXiv:1008.1859 [hep-ph]. Принято к печати в Eur.Phys.J.C.

30. М. Aharrouche,... L. Kalinovskaya,... et al. An Analysis of the Z, 1Г Cross Section Determination in the Electron Channels with ATLAS. ATL-COM-PHYS-2010-325.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется основная цель и задачи, возникающие при ее достижении, рассматривается научная новизна проведенных исследований, а также представляется обзор литературы в данной области.

Первая глава диссертации посвящена описанию вычисления КЭД поправок к глубоконеупругому ер рассеянию в смешанных переменных и проекту HECTOR.

В разделе 1.1 описано проведение аналитического (не основанного на методе Монте Карло и с малым числом остаточного численного интегрирования), полного (без использования приближения лидирующих логарифмов), модельно-независимого (не основанного на кварк-партонной модели) вычисления КЭД леп-тонной радиационной поправки к нейтральному току в глубоконеупругом ер рассеянии в терминах смешанных переменных. Получены аналитические выражения для полных 0{а) лептонных поправок к реакции

e(fci)+p(pi)^e(fc2)+7(fc)+*(P2) (1)

при энергиях ускорителя HERA. Одно из четырех интегрирований фазового объема проделано аналитически. Все вычисления проведены с учетом обмена как фотоном, так и Z бозоном.

В параграфе 1.1.1 описана кинематика процесса (1), характеризующегося шестью независимыми инвариантными переменными, которые выбраны следующими

S = 2(рА), S, = 2(piQi) = Syi, Ql Sh = 2(PlQh) = Syh, Ql z2 = 2(k2k) , (2)

где Qi = ki- k2, Qh = Pi~ Pi-

Элемент фазового объема процесса (1) может быть представлен как:

dT = g^gdM^fe + fc+^-fc:-?:)^, (3)

здесь dTh = JJ- ^^ = является элементом фазового

i 2р* i

объема конечной системы адронов. Теперь подставим переменные (2) в (3):

Г = ~= J dQ2ldSldQ\dShdTkdTh, (4)

йи

где dVk = U<5 [(рх + Qhf + M2h] 5 [Ql - (р2 - й)] • В системе покоя протона (pi = 0):

drfe = —^ /" = 1 / -, (5)

где <р — угол между плоскостями, определяемыми З-импульсами (/4,^2) и (к,р2), 21,2 = —2А,-!¿к и пределы их изменения г™21,тах будут определены ниже (см.(7)). В терминах переменных (2) фазовый объем процесса (1) имеет вид:

г = I ¿^¿д^-^г,,. (6)

Положительно-определенная функция Я2 — это определитель Грамма 4-вскторов кьри к2,Р2■ Предельные значения определяются с помощью корней 112:

тах,тщ _ ^1,2 Ч~ у/^г

Для вычисления дважды дифференциального сечения инклюзивного процесса (1) необходимо провести интегрирование квадрата матричного элемента ио переменной 22 (или 21) и результат выразить через две другие переменные I. Набор этих оставшихся инвариантов не будет использоваться для интегрирования в (С). Обозначим этот набор как Е. Существует три различные способа интегрирования:

1 = (8)

приводящих к сечениям, дифференциальным ио переменным:

£ = {(0181),(<Ц311),(С}13н)}. (9)

В параграфе 1.1.2 описываются кинематика в смешанных переменных: £т = (Qf, Бь), Тт = 5(). Найдена физическая область для переменных интегрирования Тт = 5/) при фиксированных значениях <Э,2 и Область интегрирования разбивается на две части:

О (Я1Гп<Я1<Я1 п) <2,2<сЛ<Я, (10)

(ЙГП), < $ < (ЯГ')и < 5, < 5Г",

где Ш™ = + (5-гтах - й) (^Г* ~ 05,тах)2 +

" (5Г)1,п = щ [ ЗД? + <Л) ± (б?2 - .

В параграфе 1.1.3 описывается факторизующинея вклад (бойДцш!) и сечение реального тормозного излучения в ультра-релятивистском приближении:

л т л2 _Вогп

= й, е) + ¿¡«Ж 5А, о] • (11)

¿С^йБ,,

В параграфе 1.1.4 получено выражение для конечной части сечения:

(РаЦ 2 а3

(1<2№„ А,

1

(с??, Ял,

не пренебрегается где Зл) — обобщенные структурные функции, й? (<5?, 5/,)

и й";) — функции, описывающие сечение в Борцовском приближении

и процесса тормозного излучения соответственно; Ст(<д'1,<3;;, — инфракрасный предел последних. Приводится их явный вид.

В формуле (12) можно проделать одно аналитическое интегрирование по переменой 5/. В результате интегрирования по переменной 5; получены компактные выражение для функций <%(<2/2, 5/,, (¿1) в ультра-релятивистском приближении. Приводится окончательная формула для (Ра^/йС^йБь■

В параграфе 1.1.5 вводится понятие безразмерного фактора для КЭД РП

где сРа^еог/(1£ ~ теоретическое приближение к измеряемому сечению, а сРав/(1£ — Борцовское сечение процесса (1).

В нашем представлении поправленное КЭД сечение порядка а3 должно содержать еще вклад КЭД вершинной функции

^Леог а2аВ л2^

d£ d£

и, следовательно,

т = ^е)+ (15)

SVR(S) = WO + е) + е). (16)

В конце этого параграфа приводится явное компактное выражение для 5Ш(£).

В разделе 1.2 описан результат объединения в единый программный продукт HECTOR вычислений радиационных КЭД, КХД и виртуальных ЭС поправок к дважды дифференциальному сечению в каналах NC и СС глубоконеупругого лептон-протонного рассеяния с учетом радиационных эффектов при излучении фотона из лептонного тока при энергиях HERA. Версия программного продукта HECTOR 1995 года базировалась на мировых результатах в этой области. HECTOR был основан на ранее существовавших кодах:

• КЭД и ЭС полные 0(a); (программные продукты DISEP(NC/CC) , TERAD91),

• КЭД, LLA 0(a) + 0(а2); (программный продукт HELIOS).

Эти программы не вошли в диссертацию, но о них необходимо упомянуть, как о теоретическом фундаменте НЕСТОЯа.

Программы серии DISEP реализуют вычисления полных ЭС поправок 0(a) на основе работ группы авторов (Д. Бардин, Ч. Бурдик, Т. Риманн и П. Христова); работы выполнены в 1988-1989гг. Программа TERAD91 аккумулирует многолетний опыт Дубна-Цойтен группы радиационных поправок (Dubna-Zeuthen Radiative Correction Group, DZRCG) (авторы А. Ахундов, Д. Бардин, Л. Калиновская и

HELIOS TERAD ' DISEP

i l:0(a2L2) QED otrktions i - «ж»яию»

Рис. 1: Блок-схема HECTORa. Различные методы вычисления КЭД поправок выбираются с помощью ключей IMEA and IDSP.

Т. Римаии) по вычислению КЭД поправок в различных кинематических переменных; цикл работ выполнен в 1987-1995гг. Программа HELIOS (автор И. Блюмляйн) реализуют вычисления КЭД поправок 0(a) + 0(а2) в технике ведущих логарифмов; работы выполнены в 1990-1995гг. КХД поправки внедрены авторами программы HECTOR в NLO приближении.

В этом разделе обзорно представлены наборы кинематических переменных, для которых проведены численные расчеты на основе формул, взятых из работ не вошедших в диссертацию: лептопцые, адронпые, Жаке-Блондела, переменные вычисленные £ методом, е£ методом, методом двойного угла, и переменные 0i,yjB-Одна из вспомогательных блок-схем для управления ключами выбора переменных представлена на Рис. 1.

В качестве численного примера результатов па Рис. 2 показано поведение радиационного фактора 5 (определенного в Ур.(13)), как функции у с параметром х

при энергиях ускорителя HERA S = 98400ГэВ2 в случае лептонных и смешанных переменных. Подтверждается хорошо известное свойство РП в различных переменных: наибольшая поправка соответствует лептонным переменным. РП с экс-поненцированием мягких фотонов также представлены на этих рисунках (штриховая линия). Заметно, что в большей части кинематического диапазона знание поправок О(а) вполне достаточно.

Рис. 2: КЭД поправки в лептонных (левый рисунок) и смешанных переменных (правый рисунок) в %. Точки: 0(а), пунктир: +0(а2), сплошные линии: + экс-поненцирование мягких фотонов.

Востребованность программного пакета HECTOR существует до сих пор. В 2010 году поступили запросы со стороны экспериментаторов на внедрение в этот пакет программ новых кинематических переменных. Результаты первой главы опубликованы в работах [1]-[3|,[17].

Вторая глава диссертации посвящена описаиию вычисления поправок к поляризованному ße рассеянию. Поляризованное /te рассеяния измерялось в эксперименте SMC для мониторирования поляризации мюонного пучка. Исследование проводилось по запросу экспериментаторов SMC (CERN, SPS).

В разделе 2.1 дается краткий теоретический обзор вычисления радиационных эффектов к поляризованному ße рассеянию.

В параграфе 2.1.1 рассматривается дифференциальное сечение низшего порядка:

daBO™ ^ 2жа2 dy теЕр

(У y\l-yPePß) + hl-PePß)

у2у ч- 2 .

где те — массы мюона и электрона; Р^, Ре — продольные поляризации мюонного пучка и электрона мишени; у = = 1 — Е^/Е^ — измеряемая потеря энергии мюоном; У = (1 + т11./2Е11)~1 — ее кинематический максимум; ЕЕ', Е'е — энергии начального и конечного мюона и электрона в лабораторной системе.

Зависимость йа от поляризации используется для вычисления измеряемой

spin-flip асимметрии Ae*P как функции переменной уß

rdff(Ti) dff(TT)

/lexp _ —

dy dy

da(U) + do{ TT)

dy dy

В предыдущих вычислениях использовалась переменная уе = Ее/Епричем в низшем порядке y:i = уе = у. Это равенство нарушается при учете КЭД поправок из-за излучения ненаблюдаемых фотонов. Величина КЭД поправок может сильно зависеть от выбора переменной у^ или уе. В эксперименте SMC использовалась переменная у^, поэтому потребовались новые вычисления. Эти новые расчеты были реализованы в фортраиной программе ¡iela при следующих условиях:

— полные вычисления 0(а3);

— учет продольных поляризаций мюонов и электронов;

— учет массы мюона (и где необходимо — электрона);

— учет всех необходимых обрезаний в рамках полу-аналитического подхода;

— обрезание на энергию отдачи электрона, Ее > ERC (Eltc = 35 ГэВ);

— обрезание на баланс энергий, Е'е\ > Евс (Евс = 40 ГэВ);

— угловые обрезания на ц и е, и 9е в лабораторной системе: — 0"ORN <

„BORN

m«._fl—" I (0min = 1 мрад).

Здесь и — измеряемые углы, а 0®ок!>1 н оп" — углы, вычисленные в предположении Борцовской кинематики.

В параграфе 2.1.2 рассматриваются полные однонетлевые КЭД поправки. В

порядке 0(а3) имеется 12=2x6 по отдельности калибровочпо-инвариантных вкладов:

, ЧЕБ 2 6,1

V1

dyu ¿j ¿у '

1=1 k=i

к и I обозначают:

1=1 — иеполяризованные вклады, I = unpol;

2 — поляризованные вклады (пропорциональные PePf,), I = pol; к = 1 — Борцовское сечение, к = Ь\

2 — КЭД поправки к мюонному току:

вершины+тормозное излучение, к = ßß;

3 — вклад в аномальный магнитный момент мюона, к = ашш;

4 — поправки к электронному току:

вершины+тормозное излучение к = ее;

5 — [ме интерференция: двухфотонныи обмен t

интерференция тормозных излучении мюона и электрона, к = ¿/.е;

6 — поправка от поляризация вакуума, бегущая а, к = vp.

КЭД поправленное сечение дается суммой:

rfgQED _ рр daf

dyß ~~ V l ' ^

1 D aoi,

ЩЬ

г VR A

Сечения с к = имеют подобную структуру: = Щ5к --1-'

с факторизующейся частью <5™, возникающей от инфракрасно расходящихся вкладов виртуальных (V) и реальных (R) фотонов.

Расчеты проведены с однопетлевой точностью, так как при учете поправок могут существенно измениться кинематические распределения, необходимые для подавления фона.

В разделе 2.2 представлены численные результаты исследования и выводы. Они наглядно проиллюстрированы двумя Рисунками, на которых приведены КЭД поправки к асимметрии в зависимости от переменной у^ для двух случаев: без каких-либо обрезаний и с обрезаниями эксперимента SMC.

Асимметрия и КЭД поправка к ней 5у определены следующими выраже-

At0(U) daa( ТТ)

да. _

dyм dyц

doa( TI) | daa(íí)

а = BORN, QED,

/Г

5А = fie

dy¡

л BORN Лце

dyц

Как видно из рисунков, КЭД поправка без обрезаний очень большая. Она достигает —20%. Поправка 6 надает до величины меньше 1%, когда накладываются четыре экспериментальных обрезания.

6?1%1

/lela

' 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 О.В 0.9

Рис. 3: КЭД поправки к поляризационной асимметрии без экспериментальных обрезаний (левый рисунок). КЭД поправки к поляризационной асимметрии с экспериментальными Обрезаниями ЕНС = 35 ГэВ, ЕВС = 40 ГэВ, 0е,тт = = 1 мрад (правый рисунок).

Итог исследования учета КЭД поправок к процессу поляризованного це рассеяния — фортранный программный продукт проекта fíela, Этот программный продукт применялся при анализе данных в работе [4]. Результаты второй главы представлены в работах [4],[18],[26].

Третья глава диссертации посвящена ранним работам по проекту БАИС, когда еще только вырабатывалась концепция самого проекта. В этот период создавались и тестировались основные процедуры системы (см. Четвертую главу).

В разделе 3.1 описан один из первых примеров проверки правильности расчетов ЭАЫС для физического процесса, е+е~ —» //, (см. работу |5|), представляющего большой интерес для физики линейного электронного коллайдера. Значение этого исследования выходит далеко за рамки воспроизведения известных в мировой литературе результатов полученных, например, с помощью систем ЕеупАг^Б/Реуп-Са1с и СИАСЕ-1оор. В работах |0] и |27] была продемонстрирована оригинальность подхода ЗА11С: использование Щ калибровки (явное сокращение калибровочных параметров в амплитудах физических процессов гарантирует высокую надежность вычислений); в свою очередь, аналитическое сокращение возможно только после полной "скаляризации" амплитуды, т.е. сведения выражения к скалярным функциям ПВ Ао,Во,.... Здесь также впервые описано разложение ковариантной амплитуды процесса по базисным структурам, что впоследствии стало одним из первых стандартных шагов в реализации однопетлевых вычислений в БАИС. Идея базисных структур и соответствующих скалярных формфакторов может быть легко пояснена путем сравнения общих выражений для Борцовской и однопетлевой амплитуд процесса.

В параграфе 3.1.1 рассматривается Борцовская амплитуда процесса:

А? = -г 4па(0)^Ч ® Ъ< (17)

А% =

1

7„7+ ® 7Л+ + <и(3)Ъ ® 7,7+

(18)

(С?2 + М|)

+^3)|5(7М7+ ® 7д + ® 7м где 7± = 1 ± 75 и символ ® используется для сокращения выражений

ъ (¿17+ + <30 ® 7^(^27+ + <2г) =

V (Р+) 1ц (¿17+ + Я\)и (Р-) «(<?-) Ъ (¿27+ + <2г) V (<?+); (19)

далее 5] = V/ — а/ = —2<5/£21,, / = е, Введём ЬЬ, <5Ь, и <5<5 структуры (см. Ур. (18)). Получается пять структур, к которым может быть сведена Борцовская амплитуда: одна для -у обмена и четыре для 2 обмена. Из них четыре структуры являются независимыми.

5 параграфе 3.1.2 описана однопетлевая амплитуда процесса е+е~" —> //. Од-нопетлевая амплитуда раскладывается по шести базисным структурам и параметризована шестью скалярными формфакторами, что равно числу независимых спиральных амплитуд этого процесса.

Удобно работать в ЬС^В базисе, который естественно возникает в случае, когда не пренебрегают массами в конечном состоянии. Если бы массами начального состояния также не пренебрегали, то для описания потребовалось бы 10 базисных структур, 10 формфакторов и 10 независимых спиральных амплитуд. Однопетлевая амплитуда схематически может быть записана в виде:

[¿7^7+^е (в) + (^)] ® [»7/Г+*1 (в) + гъря («) + т^ЗД (а)] , (20)

где = (д+ -

Каждый формфактор в Щ калибровке может быть представлен как сумма:

П.я.о М = (я) + (5). (21)

Первое слагаемое отвечает £ = 1 калибровке, а второе содержит все £ зависимости и исчезает при £ = 1 по построению.

Было проверено сокращение всех ^-зависимых членов в нескольких подгруппах диаграмм. Пример такой подгруппы — 22 боксы. Нами найдено 7 таких подгрупп: 3 в КЭД секторе и 4 в электрослабом секторе.

"Одетая" амплитуда 7 обмена,

(22)

идентична Борцовской амплитуде Ед. (18) с точностью до замены а(0) на бегущую электромагнитную константу а(в): а(з) = а/|1 — -^-[п^з) - П^(0)||. В ЬС^О базисе амплитуда 2 обмена имеет Боркоподобиую структуру в терминах шести (ЬЬ, С^Ь, Ь(5, ЬВ и (5.0) формфакторов:

Л™А = г е2^-|7„7+ ® (5> 0 + 7м ® 0 + 7„7+ ® 7,Лв (». О

+ Ъ ® («. £) + 7/Л+ ® {-гт^и) ^0 (в, ¿) + 7м ® (-гтгнО^) (в, |.

(23)

В Ур. (23) использовано отношение пропагаторов 2/ -ус в-зависимой (или постоянной) 2 шириной: Хг(з) = [в — М2 + г(Г2/Л^2)в] . Это типичный пример применения понятий ковариантной амплитуды, базисных структур и скалярных формфакторов в идеологии БАИС.

В параграфе 3.1.3 даны численные результаты и выводы.

В разделе 3.2 приведен пример использования "ранней" ЭЛИС, основанный на работе [7|. Результаты этой работы были внедрены в программу гШТЕИ У.6_35 и в течение ряда лет использовались при глобальном фите мировых электрослабых данных.

Эта работа выполнена по запросу экспериментаторов ЬЕР включить расчеты параметров нарушения четности в атомных переходах (здесь и далее АРУ) в список псевдо-наблюдаемых (здесь и далее РО) доступных в фортранных программах ТОРАгО и гпТТЕЕ, для того чтобы учесть результаты АРУ в фитах выполняемых Леповской Электрослабой Рабочей Группой (ЬЕР Е\У\УС).

Причина такого запроса состоит в том, что имеются прецизионные экспериментальные измерения АРУ в парах цезия, на уровне 0.4%, таллия, свинца и висму та. Тем не менее нельзя не отметить, что имеется существенная разница между РО на ^-резонансе, например, Г2, ст^, А°д и т.п., и параметрами АРУ, где типичная энергетическая шкала диктуется пределом нулевого переданного импульса в ЛГУ Гамильтониане. Уже этот факт является причиной относительно больших теоретических неопределенностей, которые обусловлены пренебрежением КХД поправками в этом режиме.

Изучение APV было предметом нескольких работ, выполненных в 80'е годы В. Марчиано и А. Сирлиным. Для программы TOPAZO, которая основана на схеме минимального вычитания, оказалось относительно легко включить все вычисленные эффекты высших порядков в "старые" MS вычисления. Для ZFITTERa выполнено новое вычисление параметров APV в схеме перенормировок на массовой поверхности (OMS).

Параграф 3.2.1 посвящен усовершенствованию MS вычислений. Электрон-кварковый, нарушающий четность Гамильтониан при нулевом переданном импульсе параметризован следующим образом:

G

HPV = (Ci„ê7(i75ew7(1u + С^п^ей^^и + СиПцЪе^Ъ11 + ...,

2 (24)

где факторизована константа Ферми GF, а многоточие отвечает вкладам тяжелых кварков. В тяжелых атомах доминирующая часть нарушения четности пропорциональна так называемому слабому заряду Qw:

QW(Z, А) = 2 [(Z + А) С iu + (2 A-Z) Си] ■ (25)

Были использованы вычисления В. Марчиано и А. Сирлина, выполненные в модифицированной схеме минимального вычитания (MS). Они были дополнены посредством учета всех известных в настоящее время эффектов высших порядков, а именно: двухпетлевых вкладов в параметр р (И. Фляйшер, 1993), точных поправок O(aos) (Б. Ниль, 1990), поправок О (аа2) к р (К. Четыркин, 1995), NLO двухпетлевых поправок в режиме тяжелого топ-кварка (Д. Деграсси, 2000). В то же время была сделана попытка оценить теоретические неопределенности на уровне электрослабых и КХД поправок.

В параграфе 3.2.2 описаны вычисления в OMS схеме. Прежний результат (В. Марчиано, 1983) был полностью перевычислен в OMS схеме. Здесь техническую проблему представляет извлечение предела при нулевом переданном импульсе из выражений выведенных для процесса ее —» tt, см. раздел 3.1 этой Главы. Рассматриваемый здесь процесс — рассеяние в ¿-канале ее —> ии. Это исследование содержится в результатах работы [5], так как оно было проведено с удержанием всех масс. Следовательно возможно взятие предела при нулевом переданном импульсе, Q2 -Cm2 (m — любая масса).

Довольно легко взять предел Q2 —> 0 для вершинных и собственно-энергетических функций, поскольку они зависят только от этой переменной. Для боксов процедура более сложная из-за их сложной зависимости от инвариантов s и t. Однако, ZZ и Z7 боксы формируют калибровочно инвариантные под-наборы полного результата, а для WW боксов необходимо найти в соответствующем пределе только часть результата при £ = 1, которая хорошо определена и проста. Эти факты обусловили стратегию вычислений. Все вклады (кроме боксов) берутся в пределе Q2 —» 0 формфакторов процесса ее —» tt, а боксовские диаграммы перевычисляются заново при Q2 = 0. Все вычисления были проделаны с помощью прототипа компьютерной системы SANC (см. [6],[28]).

Для наших вычислений можно сравнить APV Гамильтониан Eq. (24) и его

ее —> tt аналог:

Дг (0) = If>lf> slc^M2) { V/+ ® 7м7+^ьь (0) + ® Ъ1+Fql (О)

+daßf+ ® 7/Л<г (0) + ® (О) J, (26)

где (0) обозначает Q2 = 0. Приводится только один аргумент, так как вклад боксов исключен. Далее, 7+ = 1 +75, d¡ = — 4\Qj\sl¡,. Из уравнений (24) и (26) можно получить соотношения между параметрами APV C\¡ и С2/ и формфакторами ее —» tt при нулевом переданном импульсе:

См = + +

C2f = I¡3) [fLL + d,fQL - Ar (1 + dj], (27)

а

где / = и, d и /li.ql.lq = 1 + 0). После громоздких вычислений

получаем выражения для С\и, Си, С2и, C2t¡.

В параграфе 3.2-3 этого раздела рассматривается настоящий уровень теоретической неопределенности в APV. Вывод таков, что теоретические неопределенности полностью домииируются КХД эффектами при нулевом переданном импульсе.

Эффективный APV слабый угол смешивания определяется следующим соотношением:

sin2 eAPV = k'pv(0) sin2 0(M2 ). (28)

Для Mz = 91.1875 ГэВ, Мн = 150ГэВ и а3(Щ) = 0.119 интервал значений имеет вид: sin $Apv — 0.231601 (0.232123).

Современное значение для слабого заряда таково:

Qw(Cs) = -72.06 ± 0.28 (ехр.) ± 0.34 (theo.). (29)

В этот переходный период (2000-2004гг) проект SANC докладывался на российских и международных конференциях [5],[6],[19]-[21],[28], в том числе на Роче-стерской конференции в Амстердаме в 2002г, [20]. Эти работы сыграли важную роль в формировании концепции проекта и его апробации перед научным сообществом.

В разделе 3.3 описан первый пример использования SANC для физических приложений в конкретном эксперименте. Это эксперименты по глубоконеупругому рассеянию нейтрино, т.е. процессы

СС : v(h) + qi(Vl) - Г(к2) + qf(p2) и v + <?, + q¡, (30)

NC: v{ki) +qi(pi) v(k2) + q¡(p2) и v + <?¡ -> v + q¡. (31)

Радиационные эффекты к рассеянию нейтрино нуклонами: вычисление вклада жестких фотонов, вкладов виртуальных (однопетлевых) электрослабых поправок, проделанные с помощью автоматической системы SANC, были внедрены в общую Монте Карло схему анализа экспериментальных данных эксперимента NOMAD.

Рассматриваются вклады с массовыми сингулярностями, включая поправки высших порядков в ведущих логарифмах. Исследуется схемная зависимость поправок, обусловленная слабыми взаимодействиями. Результаты расчета — ЭС поправки достигают нескольких % по абсолютной величине, и ими нельзя пренебречь. Чтобы обеспечить быструю работу соответствующих программ, описывающих поправки, были получены аналитические формулы (без численного интегрирования).

В параграфе 3.3.1 описано Борцовское сечение ГНР нейтрино. Был рассмотрен процесс ГНР в рамках кварк-партонной модели, предполагая, что кинематическая область такова: Q2 AqCd.

Для процесса рассеяния с заряженным током, (30) борцовский уровень сечений нсйтрино-кваркового взаимодействия, свернутый с кварковыми функциями распределений (PDF) имеет следующий вид:

„о о 2 0 2 G2f Mj д2 -- ----= accv- ~~ У) > асс = \Щ ~s л fi(x,Q ),(32)

= О",

dxdy ~сс' dxdy ' '"Jl tt"(M?v + Q2)2

где Mw — масса W бозопа; J — квадрат энергии в системе центра масс цейтрино-кварковой системы; \Vif\ — элемент кварковой матрицы смешивания Кабиббо-Кобаяши-Маскава; fi(x,Q2) PDF начальных кварков в данном нуклоне. Кинематика описывается Бьеркеновскими переменными:

!/=?, Q2 = -(P2-Pi)2, х=%, s = {к\ +pi)2 ~ xS, S = (kt + Р)\ (33) s yS

где Р — импульс начального нуклона. Мы будем использовать обозначения nii^.i (Qi,2,z) для масс (зарядов) начального кварка, конечного кварка и мюона. Для процесса рассеяния с нейтральным током, (31):

d2au(P)JVC 0 / 2 2 м 42 2mjy N 0 G\sM\ А2

= о%с {¿и» + вкф " У)2 - -T9L9R ),0%а= +

1 ' (34)

где дь = — - + |Qi| sin2 9W, gR = |Qj| sin2 Mz — масса Z-бозона; и 9W — угол слабого смешивания.

Параграф 3.3.2 посвящен описанию вычисления ЭС РП. Радиационно-поправ-

ленное сечение ГНР нейтрино, т.е. результат вычисления РП порядка О (а), можно представить как сумму Борцовского сечения и вкладов виртуальных петлевых диаграмм (Virt), мягкого излучения (Soft) и жесткого излучения фотонов (Hard):

d^or, = /г + Virt + Soft + Hard\

didj didy \ /

где индекс г обозначает тип рассматриваемого процесса (uq СС, vq NC и т.п.). Все расчеты сделаны в предположении, что квадрат переданного импульса мал по сравнению с массой W бозона, т.е. пренебрегается поправками порядка aQ2/M

• получены аналитические выражения для виртуальных поправок СС и NC нейтрино-кваркового рассеяния S^qq Nq1 и антинейтрино-квартового рассеяния

5 Virt

Icc,nc'i приведены явные, достаточно громоздкие, выражения для результатов.

Слабая часть виртуальной поправки к NC случаю включена в определение эффективных электрослабых констант связи:

9l(r) -* дця)> h = + l<3i|«sin2ew^, gR = pK\Qi\s\n26W, (36)

где электрослабые формфакторы.

• описывается излучение мягких фотонов в ГНР нейтрино стандартным образом — посредством факторов сопутствующего излучения. Аналитические выражения для соответствующих вкладов мягкофотонных поправок получены для заряженного и нейтрального токов: <5®^, ¿§сс-

• приведены вклады излучения жестких фотонов для заряженного и нейтрального i/q рассеяния — S1Jqq, 5и для i>q рассеяния — и <^рсс-

В параграфе 3.3.3 рассматриваются кварковые массовые сингулярности. Вспомогательный параметр Q (soft-hard разделитель) сокращается в сумме мягких и жестких фотонных поправок. Инфракрасно сингулярные члены (содержащие логарифм Л) сокращаются в сумме виртуальных и мягких вкладов. Кроме того, в полной сумме большие логарифмы (массовые сингулярности) с массой кварка в конечном состоянии ?Ti2 исчезают в согласии с теоремой Киношиты-Ли-Науепберга.

Для настоящей задачи можно ограничиться применением MS схемы вычитания для КЭД части радиационных поправок рассматриваемых процессов. Это приведет к сдвигу логарифма с массовой сингулярностью начального кварка (и некоторой константы) из нашего результата в соответствующую функцию распределения кварков. Она также должна быть взята в MS схеме. Мы получаем следующее выражение для членов, которые должны быть вычтены из полного результата вычислений с массивными кварками:

о

(37)

Параграф 3.3.4 посвящен мюонным массовым сингулярностям. В случае СС рассеяния большие логарифмы, сингулярные в пределе т; —> 0, остаются в окончательном ответе. Эти члены находятся в согласии с предсказанием метода ре-нормализационной группы.

Для наших целей достаточно рассмотреть приближение ведущих логарифмов в порядках 0{aL) и 0(a2L2), включая вклад рождения е+е~~ пар. Используя формализм функции фрагментации, можно получить поправку, следующую за ведущей, т.е. порядка 0(a2L). Поправка S<f>LL отвечает сумме вкладов 0(a2L2) и 0{a2L).

В параграфе 3.3.5 анализируются численные результаты и суммируются выводы. Суммируя все вклады в РП рассмотренные выше, и применяя MS вычитание массовых сингулярностей начального кварка, был получен результат для поправок к нейтрино-кварковому сечению:

d 4Corr- d^f»" (2)ы

ATd7(1 + *i + <5- (38)

где Sj2^LL исчезает в случае NC.

Вычисления проводились при следующих условиях: фиксированная энергия нейтрино Ev ~ 80 ГэВ; изоскалярная ядерная мишень; обрезание на энергию ад-ронной системы в конечном состоянии ¿hadr > 10 ГэВ, использован набор PDF CTEQ4L.

Были рассмотрены две электрослабых схемы: (Зр и а(0), и найдено, что зависимость от выбора схемы заметна. На Рисунках 4,5 приведена относительная величина суммы радиационных поправок, 5, 4- Sj2->Ll' — <5щ, для двух каналов (нейтрино—ир-кварк NC рассеяние и нейтрино— down-кварк СС рассеяние) в зависимости от у для трех фиксированных значений х. Поведение поправок достаточно гладкое, и поправки достигают нескольких процентов, т.е. их необходимо учитывать при анализе данных.

У

Рис. 4: Относительный эффект РП к и — и N0 рассеянию в зависимости от у для трех фиксированных значений х.

У

Рис. 5: Относительный эффект РП к и — <1 СС рассеянию в зависимости от у для трех фиксированных значений х.

Содержание данного раздела опубликовано в работе [8].

В главе 4 представлено описание вычислительной среды SANC, основные результаты внедрения в систему SANC 2/26 процессов и некоторых 4/ процессов, введение и вычисление вспомогательных функций J. Рассмотрена успешная модульность одпопетлевых расчетов, реализована идея экспорта модулей в существующий MC генератор WINHAC, описано применение модулей SANC при обработке данных в эксперименте ATLAS.

В разделе 4.1 детально рассматривается база вычислительной среды SANC, основанная па потоках вычислений внутри процедур.

В параграфе 4-1-1 представлены процедуры вычислительной среды. Процедуры подразделяются на три типа: специфические, специальные и внутренние, (intrinsic). Текст внутренних процедур недоступен пользователю, они рассматриваются как черные ящики. Пользователю достаточно понимать их функции и смысл их аргументов. Внутренние процедуры представляют собой истинный фундамент системы SANC. В этом параграфе приводится описание основных внутренних процедур, которые можно встретить в каждой программе вычисления процессов внедренных в деревья SANC. Их перечень не является полным, процедуры представлены в алфавитном порядке и объяснены обращения к их аргументам и пояснения ключей.

В параграфе 4-1-2 представлена идея предвычислеиий (Précompilation) в рамках системы SANC. Одиопетлсвые вычисления требуют больших временных затрат, и идея предвычислеиий заключается в том, чтобы вычислить заранее все необходимые одиопетлсвые диаграммы и связанные величины (например, константы перенормировок и т.п.) и сохранить результаты в виде файлов. В этом параграфе приводится описание реализация предвычислеиий, деревья SANC, подробное описание предвычислитсльных модулей для собственных энергий, вершин и боксов. Результаты этих параграфов, а также краткое руководство для пользователя версии SANC V. 1.00 и процесс сё инсталляции представлены в работе [9].

В параграфе 4-1-3 описаны аналитический и численный уровни внедрения процессов (Processes) в систему SANC.

Дерево SANC содержит три модели взаимодействий элементарных частиц: КЭД, ЭС и КХД.

На Рис. 6 показаны деревья внедренных процессов в ЭС модели.

Типичные автономные программные продукты экспорта SANC на выходе: фор-транпые модули и отдельные Монте Карло генераторы, (см. раздел Downloads на домашних страницах проекта http : //sane. j inr. ru и http : //pcphsanc. cern. ch).

Одним из предметов диссертации является внедрение процессов ЭС сектора: ffbb —» 0, (или 2/2Ь, см. деревья процессов на рис.6). Аннигиляция в вакуум ffbb —> 0 означает, что все 4-импульсы — входящие; это стандартный (мультиканальный) подход SANC, который позволяет делать расчет однопетлевой ковариапт-ной амплитуды (CA) и формфакторов только один раз и получать их для каждого конкретного канала путем кроссинг-преобразования.

Деревья внедренных в SANC процессов состоят из нескольких "каталогов", которые закапчиваются "файлами". Обычно имеется три файла: FF (Form Factors, формфакторы), НА (Helicity Amplitudes, спиральные амплитуды) и BR (Brcms-strahlung, сопутствующее тормозное излучение). В названии каталогов используются обозначения: b — для любого бозона; /(/i) — для любого фермиона (f¡ — для безмассовых фермионов первого поколения, массы которых удерживаются толь-

9 Root VOSANC

■►S OED 7-3 EW

fi Précompilation fl Processes 3 legs f 3 3b

Sh->aa Я H A Z fl H -> Z Z

ta h->ww fflz->ww

■»-■a b2f

'»SH->ff + l3Z-> nu nu

<>-az->ff '»aw->ff

' IË!t->Wb(FF) FË]t->Wb(HA) L^3t->Wb(BR) t- fi 4 legs t-fiQCD

Q Root i- ф SANC

I QED "-Щ EW

' В Précompilation -в Processes

- Ш 3 legs

- ^ 4 legs h« 4f

t£ t-t

a с

t' ь-1

1 h Neutral Current 03 Bhabha

atlfl->ff

*3 Charged Current Bflfl'->ff a t -> b n fi'

f-O 2f2b f 9 Neutral Current |»afr->AA f-a AA->ff j>- ta 1111 -> h a

e- a H -> fl fl A

a n a -> f i H «- a fi fi -> z z f>- a a fi ■> h z j» a h -> n n z p- a n fi -> z a p- a z -> fx fi a t- a n a -> fi z

fc- B Charged Current

t-a qcd

Рис. 6: 3-х и 4-х частичные ЭС процессы, доступные в версии SANC 1.10

ко в аргументах логарифмических функций); А — для фотона, Z,W,H — для бозонов; в названии файлов — то же самое, но под t и 6 подразумеваются топ и боттом-кварки. Четвертый файл (МС) для некоторых процессов SANC — это вклад тормозного излучения в полностью дифференциальном виде (для использования в Монте Карло интеграторах и/или генераторах событий). Эти четыре типа файлов представляют собой аналитические модули SANC.

Согласно принятому в SANC подходу, все ffbb —» 0 процессы могут быть посчитаны с бозонами не лежащими на массовой поверхности, что, в свою очередь, позволит использовать их в качестве строительных блоков для будущего внедрения 5 —> 0 процессов.

• Аналитический уровень внедрения процесса SANC — предполагает вычисление однопетлевых скалярных формфакторов, спиральных амплитуд и сопутствующего тормозного излучения.

Для выполнения аналитических вычислений используется язык FORM (версия 3.3). Все расчеты на однопетлевом уровне точности выполнены с использованием ренормализационной схемы на массовой поверхности (OMS) в R( калибровке с тремя калибровочными параметрами Çz и Ç =

Для параметризации ультрафиолетовых расходимостей используется размерная регуляризация. Петлевые интегралы выражаются через стандартные скалярные функции ПВ: А0, В0, С0, D0 и вспомогательные функции а0, b0, с0, d0.

Реальные поправки состоят из вкладов мягкого ("Soft") и жесткого ("Hard") тормозного излучения. Они вычисляются модулями BR и MC. Мягкое тормозное излучение обладает Борноподобной кинематикой, в то время как фазовое пространство жесткого тормозного излучения содержит дополнительную частицу (фотон или глюон).

Монте Карло интегрирование по фазовому пространству ¿Ф" осуществляется с использованием процедуры Vegas.

Специфика расчета состоит в том, что массами легких фермионов первого поколения пренебрегается повсюду, за исключением КЭД диаграмм с виртуальными и реальными фотонами.

На Рис. 6 открыты файлы для распада t —> Wb, которые вычисляют:

— Ковариантную амплитуду скалярные формфакторы. CA соответствует прямому расчету всех диаграмм, дающих вклад в данный процесс па однопет-левом уровне. Результат представлен в конечном базисе структур, составленном из строк матриц Дирака (иногда свернутых с внешними импульсами) и самих внешних импульсов, свернутых с поляризационными векторами векторных бозонов. Амплитуда параметризована некоторым числом форм-факторов, которые обозначаются как Т. Индекс формфактора отвечает соответствующей структуре. Число формфакторов по построению равно числу структур. Однако для случаев, приведенных ниже, некоторые из формфакторов могут быть равны. Таким образом, число независимых формфакторов может быть меньше числа структур. Для существующих структур древесного уровня соответствующие формфакторы записываются в следующем виде: а

Т = 1 -I--—Т, где "1" отвечает Борцовскому приближению, а Т — одио-

47T.S

петлевому приближению. Традиционно, используются различные константы: <5/, If, (Jf = Vf + a,f, 5f = Vf — a,f, sw=e/g, cw = Mw/Mz. Описана эффективная идеология строительных блоков (Building Blocks, ВВ) SANC для вычислений формфакторов. Информация о главных предвычисленных ВВ сохраняется в базовых *.sav файлах (BSF). Заметим, что для 4-частичных процессов ffbb все ВВ — четырехногие по построению. Этот прием сильно упрощает процедуру проектирования CA на базис независимых структур.

Любой модуль, вычисляющий формфакторы, начинается с загрузки вычисленных ВВ из банка BSF. BSF содержат предвычисленные объекты: собственные энергии, вершины и боксы (иногда с бозонами вне массовой поверхности). Предвычислительные процедуры имеют несколько уровней. В модулях, вычисляющих формфакторы, используются результаты последнего уровня, который содержит уже перенормированные ВВ — пропагаторы и вершины. Например, принимаются во внимание контрчлены и специальные вершины. Однако, в них есть много остаточных UV полюсов и ^-зависимых слагаемых, которые сокращаются в сумме для однопетлевой CA физического процесса. Именно поэтому используется термин "переномировка" в связи с модулями, вычисляющими FF.

Загрузка BSF делается в несколько шагов:

шаг собственных энергий +шаг вершин +шаг боксов — это строительные

блоки. Итог — это суммирование всех вкладов. Конструируются четыре выражения, SumT, отвечающие калибровочным индексам ¡=1(£Л), 2(fz), 3(£), 4(не зависит от любого £). Заключительный шаг — формирование BSF *.sav с 'i' FF: FF'i' (г = 1 — 4) для дальнейшего использования в программном продукте s2n.f.

Полученные формфакторы Т свободны от калибровочных параметров и от ультрафиолетовых сипгулярностей. Аналитические выражения для форм-факторов слишком громоздки для того, чтобы представить их в данной главе диссертации. Они могут быть воспроизведены в режиме реального времени с помощью системы SANC.

— Спиральные амплитуды (НА). Они зависят от скалярных формфакторов,

Символ {А*} означает набор квантовых собственных значений спи-ральностей. Обычно это просто проекции спина на некоторые оси квантования (например, направления внешних импульсов).

— Сопутствующее реальное тормозное излучение (BR). Модуль BR вычисляет

вклад реального тормозного излучения к рассматриваемым процессам в инклюзивной постановке.

В некоторых случаях имеется дополнительный MC модуль, предназначенный для расчета полностью дифференциальных распределений в Монте Карло кодах.

• Численный уровень внедрения процесса SANC Для численных расчетов используются фортранные модули, сгенерированные пакетом s2n.f — частью системы, написанной на языке PERL. Система SANC включает в себя собственную фортранную библиотеку для численных вычислений функций ПВ и использует пакет LoopTools. Для удобства вычислений введен класс вспомогательных функций J (см. раздел 4.4).

Были проведены сравнения наших численных результатов для всех внедренных процессов с другими независимыми однопетлевыми вычислениями существующими в литературе. Борцовский уровень и вклады жесткого тормозного излучения для всех каналов всегда сравниваются с результатами пакета СотрНЕР. Результаты этих сравнений показаны в конце соответствующих параграфов следующего раздела.

В разделе 4.2 по единой схеме описаны расчеты и внедрение ЭС РП в одно-петлевом приближении в систему SANC нескольких ffbb —> 0 процессов.

Получены формфакторы, свободные от УФ расходимостей, и спиральные амплитуды. Для устранения инфракрасных расходимостей учтены вклады мягкого тормозного излучения. Вычислены и внедрены вклады жесткого тормозного излучения. В конце каждого параграфа представлено сравнение полученных результатов с мировой литературой.

В параграфе 4.2.1 диссертации приведен расчет ЭС поправок в однопетлевом приближении для процесса /(p2)/(pi) Z(p3)Z(p4). Представлена ковариантная амплитуда процесса в канале аннигиляции, остальные каналы в данном случае нефизичны. Она содержит 10 левых (7+) и 10 правых (7_) структур:

л,

— кп

i>3l+{P\)v{P2)ii3~î{Sï t) + М+ЫДРг^Л5. t) + фзЛ+б^Т^^, t) hifi'ilul+J'tl) + t) + 7m7+(P2)^8+('S. 0

+ (s, i) + 7л+(рг)

+ 7+ —> 7-, - ^

(39)

где

fco= -

W 8c2 '

7± = I ± 75 ,

V (р)), и (р2) — биспиноры внешних фермионов, е?(м)(Рз(4))~ % бозониые поляризационные вектора.

Обычные инварианты Мандельштама в метрике Паули (р2 = —т2) определены следующим образом:

(Р1 + Р2? = Я2 =(р2 + Рз)2 = г2 = -г, (р2 + Рл)2 = и2 = -и. (40)

В параграфе 4-2.2 приведен расчет ЭС поправок в одпопетлевом приближении для процесса /(р1)/(рг)^(рз)^(р1) -> 0 в канале аннигиляции и канале распада.

• В канале аннигиляции /1/1 —> HZ имеются шесть структур в случае, когда препебрегается фермиопной массой:

А,

■ = к

v{pi) (7^7+^t{s,t)+hl+{pi)^i{s,t)

(41)

где к =

+ М+Ы^ t) ) и Ы 4(Pi)

Mz

7i 6j> ^ -^(M) — Ti (s.0

щ _

~ici M2-s

, a два слагаемых 7„7+<т0 соответствуют Борцовскому

приближению. Число 6--2хЗ -- произведение 2 начальных безмассовых спиральных состояний и 3 состояний конечного Z бозона.

• В канале распада Я —> fifiZ структуры могут быть получены следующей простой заменой 4-имнульсов рг —> — р3, р2 —> —Р4, Р4 —> -Ръ Рз —> Рг в структурах выражения (41).

Содержание этого параграфа опубликовано в работе [10] и докладывалось на рабочих совещаниях группы ATLAS в ОИЯЙ и международной конференции ¡22).

В параграфе 4-2.3 диссертации приведен расчет ЭС поправок в однопстлевом

приближении для процесса f (р\) ¡{рг) Н(р3)А(р.\) —> 0 в трех каналах: аннигиляции, распада H бозона, а также рождения H бозопа.

• В канале аннигиляции в вакуум /1/1Я7 —»0 все 4-импульсы входящие. В данном разделе используются обозначения <22, Г2, V2, т.е. подчеркивается, что канал реакции еще не зафиксирован. СА имеет вид:

Л

+

+ г + г

jifiH-i

v{P 1)

1

где fcj =

(Рг)» _ Ы. к2 fei

MPI)» - кгЪ

faiPï)» - hlv 1

Т2 + m2

и к2 =

U2-

Ч

Fv1(Q2,T2,U2) Fv2(Q2,T2,U2)+l5Fa2(Q2,T2,U2)

(42)

"Ы<!(Рз), и rrij — масса начальных фермионов.

h{V2)u ~ k2(pi)u + - (fci + к2)фзЪ 75^i(Q2,T2,Î/2)+M,

FAQ\T2,U2)+liFaZ{Q2,T2,U2) Fv4(Q2,T2,U2)+liFai(Q2,T2,U2) 1

Ковариантные амплитуды могут быть получены из Ур.(42), с помощью следующей перестановки 4-импульсов.

• в канале аннигиляции /i/t —» H7: pi —>pi,P2 Р2,Рз —> —Рз>Р4 ~> — Pi-

• в канале распада H -» /1/1-7: pi -» -p3,p2 -Р4,Рз -+ -Pi,P4 -> p2-

• в канале рождения Я-бозона 7e —> еЯ: pi —> —Рз,Р2 ~> Рг>Рз —> Pi,P4 ~Р4-

Содержание этой главы опубликовано в работе [11] и докладывалось на рабочих совещаниях групп ATLAS в ОИЯИ и CERN.

В параграфе 4-2-4 приведен расчет ЭС поправок в однопетлевом приближении для процесса /fZA —» 0 в трех каналах: аннигиляции, распада Z бозона, а также рождения Z бозона.

Однопетлевые ЭС поправки к этому процессу могут быть параметризованы в терминах 28 скалярных формфакторов Т и соответствующих базовых матричных элементов, 14 векторных и 14 аксиальных. Ковариантная амплитуда такова:

Ähhzi = 0 (Pi)

Str%, {v,J* + аПstf) + £ StrU {H + ъН)

j=i

«Ы^Ы^Ы.

(43)

где

— = г [1 (к2 + к)-у^зЪ + к2 - ъ(Рз)ц) - (МрО* - ^(рг)»^];

— ¿1{Рз) обозначает фотонный поляризационный вектор;

— £д(р4) — г-бозонный поляризационный вектор;

— а — скалярные формфакторы векторных и аксиальных токов;

— и 31г°„ соответствуют матричному элементу в низшем порядке теории возмущений; Манделынтамовские инварианты определены в Ур.(40).

В диссертации даны явные выражения для остальных структур Эи^"13. В Ур.(43) фермионные массы удерживаются так, чтобы сохранялась фотонная по-перечность. Кроме того, масса удерживается в содержащих массу знаменателях Они соответствуют пропагаторам фермионов, которые излучают внешние фотоны, что приводит к массовым сингулярностям.

Базовые структурные элементы, Str^„, выбраны так, чтобы быть полностью поперечными 4-импульс.у фотона, т.е. выполняются следующие соотношения: Str jjp3l = 0.

Ковариантные амплитуды для различных каналов процесса ffZA —» 0 могут быть получены из Ур.(43), используя следующую перестановку 4-импульсов.

• в канале аннигиляции fifi —> Z7: p¡ —> pi,p-z —>Рг,Рз —> ~Рз,Р4 —> ~Ра-

• в канале распада Z-бозона Z —* /1/17: р¡ —> — рз,р2 ~Р4,Рз —> —РьР-4

V2-

• в канале рождения g-бозона 7 -> fxZ: р\ -> -р3,Р2 Рг,Рз ~> РъР4 —>

В параграфе 4-2.5 суммируются выводы.

Содержание этого раздела опубликовано в работе [12] и докладывалось на рабочих совещаниях групп ATLAS в ОИЯИ и CERN.

В разделе 4.3 диссертации представлены результаты расчета ЭС поправок к процессам одиночного рождения í-кварка (на партонпом уровне) и различным каналам его распадов.

Параграф 4-3.1 посвящен CA рассматриваемых процессов в рамках мультиканального подхода работы ¡11).

В параграфе 4-3-2 исследуется инфракрасная регуляризация комплексной массой t кварка, сначала для виртуальных КЭД поправок, а затем для жесткого излучения фотонов.

В параграфе 4-3.3 приводятся численные результаты сравнения этого подхода и стандартного подходов в системе SA.NC (регуляризация массой фотона). Из сравнения видно, что учет ширины í-кварка дает эффект в 1 % для распадов ¿-кварка и порядка 0.1 % для рассмотренных каналов одиночного рождения i-кварка.

В параграфе 4-3-4 формулируются выводы.

Содержание этого раздела представлено в препринте [29] и докладывалось на рабочих совещаниях групп ATLAS в ОИЯИ и CERN.

В разделе 4.4 диссертации рассматривается подход к аналитическому сокращению массовых и инфракрасных сингулярностей в ЭС поправках. В этом разделе описаны введение и вычисление вспомогательных функций J, возникающих при отделении инфракрасных расходимостей из D0 функций в редукции ИВ. Было проведено сравнение с программным пакетом LoopTools, которое подтвердило правильность и быстроту счета по полученным коротким формулам.

В параграфах 4-4-1-4-4-3 приведен расчет вспомогательных функций J для процессов ffbb. Типичный пример таких диаграмм, возникающих в вычислениях одиопетлевых ЭС поправок к процессам ff —> ZZ(ZA, АА), рассмотрен в работе [13]. В этой работе впервые был предложен универсальный подход к вычислению этих функций.

В параграфе 4-4-4Ы-4-7 описано, как подход для расчета вспомогательных функций J работает для процессов с заряженным током (СС): в каналах распада i tfif'i! s (/1/1 *' ib, f 1 — безмассовый фермион) и t (bu —> td и т.п.) каналах одиночного рождения топ-кварка. Содержание этого параграфа опубликовано в работе |14].

В параграфе 4-4-8 сформулированы выводы.

В разделе 4.5 представлены программные продукты и приложения системы SANC. Подробно описаны Стандартные SANC Фортранные Модули (SSFM) и продемонстрированы примеры их применения.

В параграфе 4-5.1 рассматривается использование SSFM в пакетах на партон-ном уровне для быстрого изучения различных свойств некоторых подпроцессов: оценок эффектов, связанных с зависимостью от входных параметров, различных электрослабых схем, взаимного влияния различных вкладов радиационных поправок (ЭС-КХД, КЭД излучения из начального и конечного состояний и их интерференции). Содержание этого параграфа изложено в работах [15],[23]-[25].

В параграфе 4-5.2 представлена реализация идеи экспорта модулей однопетле-вых вычислений в Монте Карло генераторы родственных задач: они были внедрены в генератор WINHAC, улучшив таким образом его возможности. Содержание этого параграфа опубликовано в работе [16].

В параграфе 4-5-3 приводятся результаты внедрения модулей в интеграторы и генераторы событий, которые использовались для построения распределений в конечном состоянии с полной кинематикой. Генераторы событий SANC скоордиио-рованно связаны с кодами, генерирующими партонные ливни — PYTHIA и HERWIG. В дальнейшем события могут быть пропущены через полную программную среду, симулирующую экспериментальную ситуацию (детекторы). С помощью этих Монте Карло программных продуктов системы SANC были изучены ЭС РП, неучтенные ранее в программах общего пользования. А именно, чисто слабые (PW) поправки и поправки, обусловленные КЭД интерференцией излучений (виртуальных и реальных фотонов) из начального и конечного состояний (КЭД IFI) в NC(CC) процессах так называемого одиночного рождения Z(W) бозонов типа Дрелла-Яна: рр —» (Z, у) —> е+е~Х {рр —> (IV) —> e+feX). На Рис. 7 приведены распределения 5 = (dapw+[NT/d{x})/(daL0/d{x}) для трех экспериментально наблюдаемых величин: {х} = р\. — верхняя пара рисунков; {х} = |?;е| — средняя рисунков; {ж} = Рт\1]е\ (двумерное распределение) — нижняя пара рисунков. Здесь р? и |т?е| — поперечный импульс и псевдобыстрота электрона (позитрона). Монте Карло моделирование было выполнено с учетом реальных кинематических обрезаний эксперимента. Для получения распределений на адронном уровне использовались кварковые плотности (PDF) CTEQ6L1. Как видно из Рис. 7, неучтенные ЭС РП достигают нескольких процентов, т.е. не являются пренебрежимо малыми (особенно в двумерных распределениях).

Содержание этого параграфа опубликовано в работе [30|, выполненной совместно с экспериментаторами группы ELAN (ATLAS).

Рис. 7: Распределения для PW + КЭД INT составляющей 5 при с.ц.м. энергии ускорителя 7 TeV для процесса рр —> (Z,^) —» е+е~Х: для — левый столбец; для е+ — правый столбец.

В Заключении кратко суммируются основные научные результаты, представленные в диссертации, формулируются положения, выносимые на защиту. Приводится список семинаров и научных конференций, где докладывались и обсуждались основные результаты диссертации. Выражаются благодарности коллегам по совместной работе.

Получено 20 декабря 2010 г.

Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором.

Подписано в печать 21.12.2010. Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,06. Уч.-изд. л. 2.93. Тираж 100 экз. Заказ № 57197.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@jinr.ru www.jinr.ru/publish/

Введение.

1 Проект HECTOR, глубоконеупругое ер рассеяние

1.1 Вычисления лептонных КЭД поправок к глубоконеупругому ер рассеянию в смешанных переменных.

1.1.1 Кинематика процесса ер —>• е*уХ.

1.1.2 Кинематика процесса в смешанных переменных

1.1.3 Устранение инфракрасных расходимостеи.

1.1.4 Конечная часть сечения ер —е^Х

1.1.5 КЭД поправка к процессу ер —> еХ

1.2 Программный продукт HECTOR.

2 Вычисление поправок к поляризованному ¡ле рассеянию

2.1 Введение.

2.1.1 Борновское сечение.

2.1.2 Полные 0(a) радиационные поправки.

2.2 Численные результаты.

3 Переходный период к проекту SANC

3.1 Процесс е+е~ —Ü.

3.1.1 Борновская амплитуда.

3.1.2 Однопетлевая амплитуда для е+е~ —> tt.

3.1.3 Численные результата и выводы.

3.2 Нарушение четности в атомных переходах

3.2.1 Усовершенствование MS вычислений.

3.2.2 APV в OMS схеме.

3.2.3 Теоретическая неопределенность в APV.

3.3 Глубоконеупругое рассеяние нейтрино.

3.3.1 Борновское сечение.

3.3.2 Радиационные поправки.

3.3.3 Численные результаты и выводы

4 Проект S ANC

4.1 База вычислительной среды SANC.

4.1.1 Процедуры вычислительной среды.

4.1.2 Предвычисления.

4.1.3 Аналитический и численный уровни внедрения процессов в систему SANC.

4.2 Фермион-бозонные процессы ffbb —> О.

4.2.1 Внедрение процессов fif\ZZ —■» 0 в среду SANC

4.2.2 Внедрение процессов fifiHZ —» 0 в среду SANC

4.2.3 Три канала процесса fifiHA —» 0 в среде SANC

4.2.4 Три канала процесса fifiZA —> 0 в среде SANC

4.2.5 Выводы и планы.

4.3 Электрослабые радиационные поправки к процессам одиночного рождения топ кварка.

4.3.1 Ковариантная амплитуда.

4.3.2 Инфракрасная регуляризация комплексной массой топ кварка.

4.3.3 Численные результаты.

4.3.4 Выводы и планы.

4.4 J функции в редукции Пассарино-Вельтмана

4.4.1 Функции JjP к процессу ff-*ZZ

4.4.2 Функция j\A к процессу fj

4.4.3 Функция JiA.

4.4.4 Вычисление J функции для распада t —» bud.

4.4.5 Вычисление J для процесса ud —> tb.

4.4.6 Функции J для процессов bq —tq'.

4.4.7 Пакеты SANC функций J.

4.4.8 Выводы.

Актуальность темы исследований.

Стандартная модель (СМ) фундаментальных взаимодействий [1, 2, 3] элементарных частиц — единственная на сегодня теория, которая продолжает оставаться фундаментом прецизионных теоретических расчетов, необходимых для корректной интерпретации экспериментальных данных. Несмотря на хорошо известную критику и первые свидетельства выхода за ее пределы, обнаруженные в нейтринных экспериментах (LSND и MiniBooNE [4]), это не скажется на результатах вычислений в рамках СМ для сверхвысоких энергий из-за огромной разницы характерных энергетических масштабов.

Важная роль ' высокоточных теоретических предсказаний в физике высоких энергий известна со времен экспериментов на LEP1 и LEP2; где точность измерений значительно превысила 0.1% и 1% соответственно. Во времена LEP прецизионные расчеты, в основном, проводились для проверки СМ. Еще большая точность потребуется на будущих электронных линейных ускорителях (ISCLC, CLIC) и мюонных фабриках. На недавно введенном в эксплуатацию адронном коллайдере LHC ожидается точность измерений ~ 1% (по-видимому, ограниченная систематикой для процессов с высокой статистикой). Это потребует соответствующих теоретических предсказаний, по крайней мере, на уровне однопетлевых (NLO) расчетов в электрослабом секторе (ЭС) СМ, а в КХД секторе СМ — двухпетлевых (NNLO) поправок.

Процедура вычисления ЭС радиационных поправок (РП) должна учитывать специфику эксперимента. Строго говоря, эта процедура возможна только с помощью методов Монте Карло. Её можно реализовать лишь в тесном сотрудничестве теоретиков и экспериментаторов, поэтому возникло понятие "теоретическая поддержка" эксперимента.

Диссертация основана на работах по теоретической поддержке экспериментов физики высоких энергий за последние 15 лет.

Первая группа экспериментов — глубоконеупругое (ГНР) ер рассеяние на ускорителях HERA (эксперименты HI и ZEUS [5, 6, 7, 8]), ГНР нейтрино (эксперименты NOMAD и NuTeV [9, 10]) и упругое fie рассеяние (эксперимент SMC [11]).

Версия программного продукта HECTOR [12] 1995 года базировалась на мировых результатах в этой области:

• КЭД и ЭС полные О(ск); (программы DISEP(NC/CC) , TERAD91),

• КЭД, LLA 0(a) + 0(а2); (программа HELIOS).

Эти программы не вошли в диссертацию, но о них необходимо упомянуть, как о теоретическом фундаменте HECTORa. Программы серии DISEP реализуют вычисления полных ЭС поправок 0(a) в кварк-партонной модели (QPM) на основе работ группы авторов (Д. Бардин, Ч. Бурдик, Т. Риманн и П. Христова [13, 14, 15]); работы выполнены в 1987-1989гг. Программа TERAD91 [16] аккумулирует многолетний опыт Дубна-Цойтен группы радиационных поправок (Dubna-Zeuthen Radiative Correction Group, DZRCG) (авторы А. Ахундов, Д. Бардин, Л. Калиновская и Т. Риманн) по вычислению КЭД поправок в различных кинематических переменных, не основываясь на QPM (так называемый модельно-независимый подход); цикл работ выполнен в 1993-1997гг [17, 18, 19, 20]. Программа HELIOS (автор Й. Блюмляйн) реализуют вычисления КЭД поправок 0(а)+0(а2) в технике ведущих логарифмов; работы выполнены в 1990-1995гг [21, 22, 23]. КХД поправки внедрены авторами программы HECTOR в NLO приближении. Для уже закончившихся экспериментов на ускорителе HERA вычисление КЭД РП для ГНР ер рассеяния было важным при измерении структурных функций протона (кварковых распределений PDF). В этих экспериментах РП были велики и зависели от кинематических переменных, в терминах которых описывались экспериментальные данные. Был необходим учет поправок второго порядка, хотя бы в приближении ведущих логарифмов. Эти циклы в диссертации были дополнены двумя работами по вычислению: 1) КЭД+ЭС поправок 0(a) в QPM в терминах смешанных переменных [24] и 2) модельно-независимого сечения NC ер ГНР с тагированными фотонами при энергиях ускорителя HERA [19]. На основе этих работ, вошедших в диссертацию, и при использовании всего имеющегося мирового опыта в этой области, была создана и применена для анализа данных программа HECTOR [12] — один из основных результатов диссертации.

Главной целью эксперимента коллаборации SMC с поляризованным мюонным пучком было измерение спиновых структурных функций, а для этого требовалось точное знание поляризации мюопов. Для мониторинга поляризации измерялось упругое це рассеяние, про которое было известно, что КЭД РП в полном фазовом объеме оказывались весьма значительными. Естественно необходимыми представлялись расчеты в реалистических экспериментальных условиях [25, 26]. На базе работы [27], вошедшей в диссертацию, создана программа fíela.

Вычисление полных ЭС радиациоршых поправок является несравненно более сложной задачей, чем КЭД РП, из-за присутствия большого числа диаграмм и энергетических масштабов (массы бозонов, топ-кварка). В силу этих причин в последние годы стала актуальной проблема автоматизации вычислений ЭС РП. Известными примерами таких компьютерных систем являются FeynArt s /FeynC al с [28] и GRACE-loop [29].

В течение ряда последних лет в ЛЯП ОИЯИ была создана и продолжает развиваться компьютерная система SANC. Первая публикация о проекте — это работа [30], а первые доклады были представлены на конференции АСАТ2002 в Москве (МГУ) [31, 32, 33, 34]. Большая часть работ, вошедших в диссертацию, связана с проектом SANC. Компьютерно-ориентированный проект SANC — это IDE (Integrated Development Environment: интегриро-ваннная среда разработки), реализованная как клиент-серверное приложение. Сетевая система SANC (Support of Analytic and Numerical calculations for Colliders) v.l.10 [35] предназначена для внедрения процессов, представляющих интерес физики на LHC и ILC и мюонных фабриках. SANC клиент для версии v. 1.10 может быть скачан с серверов в CERN http://pcphsanc.cern. ch/ и в ОИЯИ http://sanc.jinr.ru/

В диссертацию вошли работы, посвященные созданию ЭС сектора системы SANC (физическая часть). Для выполнения аналитических вычислений используется язык FORM. Все расчеты на однопетлевом уровне точности выполнены с использованием ренормализационной схемы на массовой поверхности (OMS). Для параметризации ультрафиолетовых расходи-мостей используется размерная регуляризация. Петлевые интегралы выражаются через стандартные скалярные функции Пассарино-Вельтмана (ПВ) [185].

Один из первых примеров использования системы SANC — это ревизия поправок к эффектам нарушения чётности в атомах [36], а также расчётов однопетлевых радиационных поправок для процессов е+е~ —>• ff [37].

Нейтринные эксперименты (NOMAD, NuTeV, CHORUS) достигли значительного прогресса в изучении ГНР нейтрино. Их прецизионные измерения сделали необходимым улучшение уровня точности теоретического описания процессов. Ранее созданные и востребованные экспериментаторами программы (NuDISl и NuDIS2, 1985-198бгг [38]) было необходимо осовременить. Следующим примером использования системы SANC было новое вычисление ЭС РП, дополненное учетом лидирующих КЭД РП в приближении ведущих логарифмов [39]. В расчетах по ГНР нейтрргао были приняты во внимание экспериментальные условия регистрации частиц и отбора событий присущие требованиям эксперимента NOMAD.

Вторая группа экспериментов, теоретической поддержке которых посвящена диссертация, — эксперименты на адронных коллайдерах Tevatron и LHC. Прецизионные расчеты взаимодействия элементарных частиц особенно важны для процессов с высокой статистикой. В диссертации представлены результаты однопетлевых вычислений для ряда таких процессов. Высокая точность измерений потребует поддержки теоретических расчетов соответствующих наблюдаемых с теоретической неопределенностью 0.25%, чтобы не вносить дополнительную систематику и в полной мере использовать высокую точность экспериментальных измерений для интерпретации данных.

Одними из основных процессов, представляющих большой интерес для реализации физической программы прецизионных измерений на установках ATLAS и CMS (LHC) и на DO и CDF (Tevatron), являются процессы типа Дрелла-Яна для заряженного и нейтрального токов, называемые также процессами одиночного рождения W и Z} соответственно. (В рамках проекта S ANC эти процессы рассматривались в работах [40, 41], не вошедших в диссертацию.) Эти процессы легко регистрируются в детекторах и имеют большое сечение, ~ 30 нб и 3 нб, соответственно, при 14TeV. Измерения процессов типа Дрелла-Яиа используются для определения партонных функций распределения, уточнения значений параметров М.\у, sin rV, мониторинга светимости ускорителя и калибровки детекторов. Для достижения требуемой точности необходимо учесть электрослабые и КХД поправки и их взаимное влияние.

В диссертацию входят работы по изучению ряда процессов, также представляющих интерес для физики LHC, таких как рождение бозонных пар [42, 43, 44], одиночное рождение топ-кварка [45], а также основные выходные программные продукты системы — Стандартные SANC модули (Standard SANC FORM/FORTRAN Modules, SSFM) [46, 47, 48].

Представленные результаты аналитических вычислений и соответствующие фортранные коды имеют модульную структуру. Модульность — очень важное свойство, позволяющее легко отделять вклады различной физической природы: КХД, КЭД, чисто слабые и т.п. Вычисления КХД и ЭС РП продвинуты до уровня создания модулей для многих процессов. На использовании SSFM основаны Монте Карло интеграторы и генераторы S ANC. Актуальность прецизионных расчетов для этих процессов подтверждается проведением нескольких международных совещаний по согласованному сравнению результатов, в которых принимала участие и группа SANC. Предпринята успешная попытка внедрить модули SSFM процессов типа Дрелла-Яна в генератор WINHAC [49, 50, 51]. Результаты, полученные с помощью Монте Карло интеграторов и генераторов SANC для процессов типа Дрелла-Яна, уже находят свое применение при анализе первых данных эксперимента ATLAS на LHC [52].

Там, где это возможно, проводится сравнение результатов с результатами известных кодов или компьютерных систем. На древесном уровне мы сравниваемся с GRACE-fcree [53], CompHEP [54], PHOTOS [55, 56], PYTHIA [57], в то время как однопетлевые результаты сравнивались с результатами программ: HORACE [58, 59, 60], WGRAD2 [61, 62], ZGRAD2 [63, 64], Ш.Диттмайера и М.Крамера [65] и с результатами компьютерных систем FeynArts/LoopTools [66, 67] и GRACE-loop [29].

Цель диссертационной работы состоит в теоретической поддержке экспериментов на ускорителях HERA (эксперименты HI и ZEUS), SPS (эксперименты SMC, NOMAD),' LEP и LHC (эксперимент ATLAS). Эта цель достигнута путём создания программных продуктов с удобными интерфейсами, в которых реализованы расчеты соответствующих наблюдаемых на однопетлевом уровне точности в СМ с теоретической неопределенностью лучшей, чем ошибки эксперимента.

Диссертация посвящена прецизионным расчетам физических наблюдаемых в процессах: глубоконеупругого ер рассеяния, упругого ¡ле рассеяния, глубоконеупругого нейтринного рассеяния, нарушения четности в атомных переходах, а также расчетам псевдо- и реалистических наблюдаемых для процессов типа ffbb и ff ff (где /, Ъ — любой фермион, бозон СМ) на основе созданной процедурной платформы аналитических вычислении проекта SAMC и внедрению этих расчетов в программы анализа данных ряда экспериментов.

Научная новизна результатов диссертации состоит в следующем:

• впервые предложен единый подход к расчету широкого круга процессов в СМ на однопетлевом уровне точности, основанный на полуавтоматических символьных вычислениях на языке FORM;

• впервые предложен и применен мультиканальный подход к вычислениям однопетлевых электрослабых поправок к ряду фермион-бозон-ных и 4-х фермионных процессов в каналах нейтрального и заряженного токов;

• предложен новый систематический подход для вычисления вспомогательных функций, типа .D-функций Пассарино-Вельтмана, удобных для анализа природы инфракрасных и массовых сингулярностей однопетлевых амплитуд;

• впервые ширина нестабильной частицы (топ-кварка) использована для регуляризации инфракрасных расходимостей как виртуальных, так и реальных амплитуд; проведено сравнение со стандартным подходом;

• реализована концепция "стандартных модулей", как основного выходного программного продукта системы SAWC, и продемонстрирована их применимость для приложений в анализе данных конкретных экспериментов и использования в Монте Карло генераторах других групп.

Достоверность результатов контролировалась посредством многочисленных внутренних тестов: аналитическое сокращение калибровочных параметров, выполнение тождеств Уорда и т.п., а в случаях, где это было возможно, путем сравнения с результатами вычислений других групп.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения и списка цитируемой литературы, содержащего 217 наименований. Общий объем диссертации — 257 страниц. Диссертация содержит 63 таблицы и 71 рисунок.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах:

Лаборатории Теоретической Физики им. H.H. Боголюбова ОИЯИ,

Лаборатории Ядерных Проблем им В.П. Джелепова ОИЯИ,

Института Физики Высоких Энергий в Цойтене (Германия),

DESY (Гамбург, Германия),

CERN (Женева, Швейцария); Рабочих Совещаниях:

Физика на HERA"(29-30 Октября 1991г., Гамбург, Германия),

Глубоконеупругое рассеяние"(6-10 Апреля 1992г., Тойпиц, Германия),

ECFA-DESY (12-15 Апреля 2002, Сан Мало, Франция),

ECFA (12-16 Октября 2003, Монпелье, Франция), по физической программе ATLAS в ОИЯИ (28 апреля и 25 ноября 2005 г., 14 апреля и 22 декабря 2006 г., 25 декабря 2007 г. и 21 апреля 2008 г.); совещаниях рабочих групп (Монте Карло генераторов и Физики СМ) эксперимента ATLAS в CERN (14 января 2006 г., 8 октября 2007 г. и 9 сентября 2008 г.); международных конференциях:

CALC2006 и CALC2009 (Дубна, 15-25 июля 2006 г. и Дубна, 10-20 июля 2009 г.),

АСАТ2002 (Москва, 24-28 июня 2002 г.),

АСАТ2007 (Амстердам, 23-27 апреля 2007 г.),

АСАТ2008 (Эриче, Сицилия, 3-7 ноября 2008 г.).

Публикации.

По результатам диссертации опубликовано 30 работ, в том числе 16 работ из перечня изданий, рекомендованных ВАК для докторских диссертаций.

Благодарности.

Я выражаю благодарность Юре Калиновскому за любовь и веру в меня. Благодарю моих дочерей Ольгу Райхерт и Анну Калиновскую за исключительную поддержку, заботу и понимание.

Я благодарю замечательную команду — группу SANG: Д.Ю. Бардина, С.Б. Бондаренко, П.Х. Христову, A.B. Арбузова, А.Д. Андонова, В.А. Колесникова, Л.А. Румянцева, P.P. Садыкова, A.A. Сапронова, Е.Д. Угло-ва, Г.С. Нанаву за то, что они принесли в мою жизнь радость созидания нашего совместного проекта SANC.

Спасибо вам, Дима Бардин и Пена Христова за то, что так щедро делились со мной своими исключительными знаниями.

Благодарю тебя, Дима Бардин за бесценную помощь и терпение в общей работе со мной.

Благодарю тебя, Серж Бондаренко за чувство локтя.

Мне нравится работать с вами и верить в успех.

Глубоко ценю огромное влияние моих коллег по совместным проектам: A.A. Ахундова, Э.Э. Бооса, Ж.П. Пассарино, A.A. Глазова, Й. Блюм-ляйна, П. Зёдинга, М. Кляйна, У. Кляйн, Т. Риманна, Б. Баделек, В. Пла-чека, А. Сьёдмока, С. Ядаха.

Заключение

Основные научные результаты, представленные в диссертации.

Цель настоящей работы состояла в теоретической поддержке экспериментов на ускорителях HERA, SPS, LEP и LHC. Она достигнута путём создания программных продуктов, в которых реализованы прецизионные расчеты физических наблюдаемых на одиопетлевом уровне точности в Стандартной Модели для процессов: глубокоиеупругого ер рассеяния (проект HECTOR), упругого fie рассеяния (проект fíela,), глубокоиеупругого нейтринного рассеяния (эксперимент NOMAD), нарушения четности в атомных переходах, типа ffbb и ff ff (где f,b — любой фермион, бозон СМ) на основе созданной процедурной платформы аналитических вычислений проекта S ANC.

Практическая и научная ценность диссертации состоит в применении созданных программных продуктов в процедурах анализа уже завершенных экспериментов па ускорителях HERA, SPS и LEP, что подтверждено их высокой цитируемостыо (в период с 1995 по 2005гг). Созданные в рамках проекта SANC программы востребованы экспериментаторами ATLAS на LHC, что подтверждено участием диссертанта в работе коллектива авторов, подготавливающих процедуру анализа данных (см. ATL-COM-PHYS-2010-325).

1. S. L. Glashow, Nucl. Phys. 22 (1961) 579-588.

2. A. Salam and J. C. Ward, Phys. Lett. 13 (1964) 168-171.

3. S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 19 (1967) 1264-1266.

4. G. Mills, New Observation from the MiniBooNE Experiment. Talk given at ICHEP, 2010, Paris, France.

5. ZEUS Collab., Technical Proposal, Hamburg, 1986; HI Collab,. Technical Proposal, Hamburg, 1986; HI Collab,. I. Abt et al., The HI Detector at HERA, DESY Preprint 93-103 (1993).

6. ZEUS Collab., M. Derrick et al, Phys. Lett. B303 (1993) 183.

7. HI Collab., T. Ahmed et al., Phys. Lett. B299 (1993) 385.

8. W. Hollik, Invited talk given at 13th Warsaw Symp. on Elementary Particles, Kazimierz, Poland, Ma}' 28 Jun 1, 1990; W. Hollik et al., Invited talk given at Workshop on Physics at HERA, Hamburg, Germany, Oct 29-30, 1991.

9. The NOMAD experiment at the CERN SPS, Nuclear Instruments and Methods Phys. Res. A (CERN-PPE/97-059, May 26th, 1997); D. Autiero et ai, The NOMAD experiment at the CERN SPS, CERN-PPE/97-150.

10. D. Harris et al., Nucl. Instrum. Methods, A447 (2000) 377.

11. G. Baum, The SMC experiment. High energy spin pl^sics: proceedings of the 9th international symposium, FRG, 6-15 September 1990.

12. A. Arbuzov, D. Y. Bardin, J. Blumlein, L. Kalinovskaya, and T. Riemann, Comput. Phys. Commun. 94 (1996) 128-184, hep-ph/9511434.

13. D. Y. Bardin, C. Burdik, P. K. Khristova, and T. Riemann, Study of electroweak radiative corrections to deep inelastic scattering at HERA, Proceedings of the Workshop on Physics at HERA, Hamburg, FRG, Oct 12-14, 1987.

14. D. Y. Bardin, C. Burdik, P. C. Khristova, and T. Riemann, Z. Phys. C42 (1989) 679.

15. D. Y. Bardin, K. C. Burdik, P. K. Khristova, and T. Riemann, Z. Phys. C44 (1989) 149.

16. A. A. Akhundov, D. Y. Bardin, L. Kalinovskaya, and T. Riemann, TERAD91: A Program package for the calculation of the cross sections of deep inelastic NC and CC scattering at HERA, 0807.0822 hep-ph.

17. A. A. Akhundov, D. Y. Bardin, L. Kalinovskaya, and T. Riemann, Fortsch. Phys. 44 (1996) 373-482, hep-ph/9407266.

18. A. A. Akhundov, D. Y. Bardin, L. Kalinovskaya, and T. Riemann, Phys. Lett. B301 (1993) 447-453, hep-ph/9507278.

19. D. Y. Bardin, L. Kalinovskaya, and T. Riemann, Phys. C76 (1997) 487-497, hep-ph/9612203.

20. D. Y. Bardin, J. Blumlein, P. Christova, L. Kalinovskaya, and T. Riemann, Acta Phys. Polon. B28 (1997) 511-528, hep-ph/9611426.

21. J. Blumlein, Z. Phys. C65 (1995) 293-298, hep~ph/9403342.

22. J. Blumlein, On the Theoretical Status of Deep Inelastic Scattering, hep-ph/9512272.

23. D. Y. Bardin, P. Christova, L. Kalinovskaya, and T. Riemann, Phys. Lett. B357 (1995) 456-463, hep-ph/9504423.

24. Spin Muon (SMC) Collaboration, D. Adams et al., Phys. Lett. B396 (1997) 338-348.

25. Spin Muon (SMC) Collaboration, D. Adams et al., Phys. Rev. D56 (1997) 5330-5358, hep-ex/9702005.

26. D. Y. Bardin and L. Kalinovskaya, QED corrections for polarized elastic ¡ie scattering, hep-ph/9712310.

27. T. Hahn, Comput. Phys. Commun. 140 (2001) 418-431, hep-ph/0012260.

28. G. Belanger et al., Phys. Rept. 430 (2006) 117-209, hep-ph/0308080.

29. D. Bardin et al., Project 'CalcPHEP': Calculus for precision high energy physics, hep-ph/0202004.

30. A. Andonov et al, Nucl. lustrum. Meth. A502 (2003) 576-577.

31. L. V. Kalinovskaya, Nucl. Instrum. Meth. A502 (2003) 581-582.

32. P. Christova, Nucl. Instrum. Meth. A502 (2003) 578-580.

33. G. Nanava, Nucl. Instrum. Meth. A502 (2003) 583-585.

34. A. Andonov et al., Comput. Phys. Commun. 174 (2006) 481-517, hep-ph/0411186.

35. D. Y. Bardin, P. Christova, L. Kalinovskaya, and G. Passarino, Eur. Phys. J. C22 (2001) 99-104, hep-ph/0102233.

36. A. Andonov et al., Phys. Part. Nucl. 34 (2003) 577-618, hep-ph/0207156.

37. D. Y. Bardin and V. A. Dokuchaeva, On the radiative corrections to the neutrino deep inelastic scattering, JINR-E2-86-260.

38. A. B. Arbuzov, D. Y. Bardin, and L. V. Kalinovskaya, JHEP 06 (2005) 078, hep-ph/0407203.

39. A. Arbuzov et al., Eur. Phys. J. C46 (2006) 407-412, hep-ph/0506110.

40. A. Arbuzov et al., Eur. Phys. J. C54 (2008) 451-460, 0711.0625 hep-ph.

41. D. Bardin et al, Comput Phys. Commun. 177 (2007) 738-756, hep-ph/0506120.

42. D. Bardin, S. Bondarenko, L. Kalinovskaya, G. Nanava, and L. Rumyantsev, Eur. Phys. J. C52 (2007) 83-92, hep-ph/0702115.

43. D. Bardin et al, Eur. Phys. J. C54 (2008) 187-197, 0710.3083.

44. D. Bardin, S. Bondarenko, L. Kalinovskaya, V. Kolesnikov, and W. von Sclilippe, Electroweak radiative corrections to single top production, 1008.1859 hep-ph., D0I: 10.1140/epjc/sl0052-010-1533-x.

45. D. Bardin, L. Kalinovskaya, V. Kolesnikov, and W. von Schlippe, Jad. Fiz. 73 (2010) 1-17, 0912.3893 hep-ph.

46. V. Kolesnikov et al., PoS ACAT08 (2008) 110.

47. A. Andonov et al, Comput. Phys. Commun. 181 (2010) 305-312, 0812.4207 physics.comp-ph.

48. W. Placzek and S. Jadach, available from http://cern.ch/placzek/winhac.

49. D. Bardin and L. Kalinovskaya, http://indico.cern.ch/conferenceDisplay. py?confld=25360.

50. D. Bardin, S. Bondarenko, S. Jadach, L. Kalinovskaya, and W. Placzek, Acta Phys. Polon. B40 (2009) 75-92, 0806.3822 hep-ph.

51. M. Aharrouclie,. L. Kalinovskaya,.et al., An Analysis of the Z, W Cross Section Determination in the Electron Channels with ATLAS. ATL-COM-PHYS-2010-325.

52. F. Yuasa et al, Prog. Thcor. Phys. Suppl. 138 (2000) 18-23, hep-ph/0007053.

53. CompHEP Collaboration, E. Boos et a I., Nucl. lustrum. Meth. A534 (2004) 250-259, hep-ph/0403113.

54. E. Barberio and Z. Was, Comput. Phys. Commun. 79 (1994) 291-308.

55. P. Golonka and Z. Was, Eur. Phys. J. C45 (2006) 97-107, hep-ph/0506026.

56. T. Sjostrand, S. Mrenna, and P. Skands, JEEP 05 (2006) 026, hep-ph/0603175.

57. C. M. Carloni Calame et al, Phys. Rev. D69 (2004) 037301, hep-ph/0303102.

58. C. M. Carloni Calame et al., JEEP 05 (2005) 019, hep-ph/0502218.

59. C. M. Carloni Calame et al, JEEP 12 (2006) 016, hep-ph/0609170.

60. U. Baur, S. Keller, and D. Wackeroth, Phys. Rev. D59 (1999) 013002, hep-ph/9807417.

61. U. Baur and D. Wackeroth, Phys. Rev. D70 (2004) 073015, hep-ph/0405191.

62. U. Baur, S. Keller, and W. K. Sakumoto, Phys. Rev. D57 (1998) 199-215, hep-ph/9707301.

63. U. Baur et al., Phys. Rev. D65 (2002) 033007, hep-ph/0108274.

64. S. Dittmaier and M. Kramer, Phys. Rev. D65 (2002) 073007, hep-ph/0109062.

65. J. Kublbeck, M. Bohm, and A. Denner, Comput. Phys. Commun. 60 (1990) 165-180.

66. T. Hahn and J. I. Illana, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 160 (2006) 101-105, hep-ph/0607049.

67. D. Y. Bardin, J. Blumlein, P. Christova, and L. Kalinovskaya, Recent developments in radiative corrections at HERA, hep-ph/9609399.

68. D. Y. Bardin, J. Blumlein, P. Christova, and L. Kalinovskaya, O(alpha) QED corrections to polarized elastic mu e and deep inelastic 1N scattering, hep-ph/9711228.

69. D. Y. Bardin, L. Kalinovskaya, and G. Nanava, An electroweak library for the calculation of EWRC to e+e~ —> ff within the topfit, project, hep-ph/0012080.

70. D.Y. Bardin, L.V. Kalinovskaya, and F.V. Tkachov, New algebraic-numeric methods for loop integrals: Some 1- loop experience, hep-ph/0012209.

71. A. Andonov et al, Project SANC (former CalcPHEP): Support of analytic and numeric calculations for experiments at colliders, hep-ph/0209297.

72. D. Bardin, P. Christova, and L. Kalinovskaya, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 116 (2003) 48-52.

73. D. Bardin, L. Kalinovskaya, et al., AC AT 2007 PoS (2007).

74. D. Y. Bardin, L. V. Kalinovskaya, and L. A. Rumyantsev, Phys. Part. Nucl. Lett. 6 (2009) 30-41.

75. TeV4LHC-Top and Electroweak Working Group Collaboration, C. E. Gerber et al, 0705.3251.

76. C. Buttar et al., Standard Model Handles and Candles Working Group: Tools and Jets Summary Report, 0803.0678 hep-ph. .

77. D. Bardin, W. Hollik and G. Passarino (eds.), Reports of the working group on precision calculation for the Z resonance, CERN 95-03 (1995).

78. E. Byckling, K. Kajanti, Particle Kinematics, Izdatelstvo Mir, Moscow 1975 (in Russian).

79. J. Blumlein, Phys. Letters B271 (1991) 267.

80. D. Y. Bardin and N. M. Shumeiko, Nucl. Phys. B127 (1977) 242.

81. W.J. Marciano, A. Sirlin, Nucl.Phys.B88 (1975) 86.

82. D. Bardin, P. Christova, L. Kalinovskaya and T. Riemann, Phys. Letters B357 (1995) 456.

83. H. Plothow-Besch, PDFLIB: Nucleón, Pion and Photon Parton Density Functions and as Calculations, version 4.13 (1993), CERN Program Library entry W5051, Item 1-3-34.

84. H.L. Lai et al, Phys. Rev. D51 (1995) 4763.

85. M. Glück, E. Reya and A. Vogt, Z. Physik C67 (1995) 433.

86. M. Glück, E. Reya and A. Vogt, Z. Physik C53 (1992) 127.

87. A.D. Martin, W.J. Stirling and R.G. Roberts, Phys. Rev. D50 (1994) 6734; Phys. Letters B354 (1995) 155.

88. N. Volkonsky and L. Prokliorov, Sov. J. Exp. Theor. Phys. Letters 21 (1975) 389.

89. S. Stein et al, Phys. Rev. D12 (1975) 1884.

90. F. W. Brasse et al, Nucí Phys. B110 (1976) 413.

91. F. Fainstein, Note SMC/95/04 and references therein.

92. A. Nikischov, Sov. J. Exp. Theor. Phys. Lett. 39 (1960) 757.

93. P. van Nieuwenhuizen, Nucl Phys. B28 (1971) 429.

94. T. V. Kukhto, N. M. Shumeiko, and S. I. Timoshin, J. Phys. G13 (1987) 725-734.

95. D. Bardin and L. Kalinovskaya, /iela, version 1.00. The source code is available from http: //www. if h. de/~bardin.

96. S.M. Bilenky, Introduction to the Physics of Electroweak Interactions. Oxford, Uk: Pergamon, 278p, 1982.

97. A. B. Arbuzov, D. Y. Bardin, and A. Lcike, Mod. Phys. Lett. A7 (1992) 2029-2038.

98. S. Eidelman and F. Jegerlehner, Z. Phys. C67 (1995) 585-602, hep-ph/9502298.

99. M. Beneke et, al, Top quark physics, hep-ph/0003033.

100. F. Piccinini, Nucl Phys. Proc. Suppl 89 (2000) 31-36, hep-ph/0005305.

101. A. Denner et al, Nucl Phys. B58T (2000) 67-117, hep-ph/0006307.i

102. D. Y. Bardin et al., Comput. Phys. Commun. 133 (2001) 229-395, hep-ph/9908433.

103. D. Y. Bardin and G. Passarino, Oxford, UK: Clarendon (1999) 685 p.

104. J. Fleischer and F. Jegerlehner, Phys. Reu. D23 (1981) 2001-2026.

105. F. Jegerlehner, Talk presented at Topical Conf. on Radiative Corrections in SU(2)-L x U(l), Trieste, Italy, Jun 6-8, 1983.

106. F. Jegerlehner and J. Fleischer, Phys. Lett. B151 (1985) 65-68.

107. F. Jegerlehner and J. Fleischer, Acta Phys. Polon. B17 (1986) 709.

108. J. Fleischer, F. Jegerlehner, and M. Zralek, Talk presented at 11th Int. School of Theoretical Physics, Testing the Standard Model, Szczyrk, Poland, Sep 18-22, 1987.

109. W. Beenakker, S. C. van der Marek, and W. Hollik, Nvcl. Phys. B365 (1991) 24-78.

110. W. Beenakker and W. Hollik, Phys. Lett. B269 (1991) 425-431.

111. W. Beenakker et al., Nucl. Phys. B410 (1993) 219-244.

112. V. Driesen, W. Hollik, and A. Kraft, Top pair production in e-f e- collisions with virtual and real electroweak radiative corrections, hep-ph/9603398.

113. A. Andonov et al, Further study of the e+e~ —> ff process with the aid of CalcPHEP system, hep-ph/0202112.

114. D. Bardin, L. Kalinovskaya, and G. Nanava, FORTRAN code eeffLib, December 2000.

115. D. Bardin, M. Bilenky, P. Christova, M. Jack, L. Kalinovskaya, A. Olchevski, S. Riemann, and T. Riemann, ZFITTER v.6.30, obtainable from http://www.ifh.de/~rlemann/ and from /afs/cern.ch/user/b/bardindy/public.

116. The code was taken from http://www.hep-processes.de. (Courtesy W. Hollik.).

117. W. Hollik and C. Schappacher, Nucl. Phys. B545 (1999) 98-140, hep-ph/9807427.

118. J. Fleischer et al., Complete electroweak one-loop radiative corrections to top-pair production at TESLA: A comparison, hep-ph/0202109.

119. J. Fleischer and M. Tentyukov, A Feynman diagram analyser DIANA: Graphic facilities, hep-ph/0012189.

120. G. Montagna et al, Comput. Phys. Commun. 117 (1999) 278-289 hep-ph/9804211.

121. G. Montagna et al, Comput. Phys. Commun. 76 (1993) 328-360.

122. G. Montagna et al., Nucl. Phys. B401 (1993) 3-66.

123. C. S. Wood et al., Science 275 (1997) 1759-1763.

124. P. A. Vetter et al, Phys. Rev. Lett. 74 (1995) 2658-2661.

125. CLEO Collaboration, R. Ammar et al., Phys. Rev. Lett. 74 (1995) 35343537.

126. D. M. Meekhof et ai, Phys. Rev. Lett. 71 (1993) 3442-3445.

127. M. J. D. Macpherson et al, Phys. Rev. Lett. 67 (1991) 2784-2787.

128. S. A. Blundell, J. Sapirstein, and W. R. Johnson, Phys. Rev. D 45 (1992) 1602-1623.

129. Particle Data Group Collaboration, D. E. Groom et al, Eur. Phys. J. C15 (2000) 1-878.

130. W. J. Marciano and A. Sirlin, Phys. Rev. D27 (1983) 552.

131. W. J. Marciano and A. Sirlin, Phys. Rev. D29 (1984) 75.

132. G. Passarino and M. J. G. Veltman, Phys. Lett. B237 (1990) 537.

133. J. Erler, Global fits to electroweak data using GAPP, hep-ph/0005084.

134. J. Fleischer, O. V. Tarasov, and F. Jegerlehner, Phys. Lett. B319 (1993) 249-256.

135. B. A. Kniehl, Nucl Phys. B347 (1990) 86-104.

136. K. G. Chetyrkin, J. H. Kühn, and M. Steinhauser, Phys. Rev. Lett. 75 (Nov, 1995) 3394-3397.

137. G. Degrassi and P. Gambino, Nucl. Phys. B567 (2000) 3-31, hep-ph/9905472.

138. NOMAD Collaboration, P. Astier et al, Nucl Lustrum. Meth. A515 (2003) 800-828, hep-ex/0306022.

139. K. S. McFarland et al., Int. J. Mod. Phys. A18 (2003) 3841-3855.

140. CHORUS Collaboration, A. Kayis-Topaksu et al, Phys. Lett. B575 (2003) 198-207.

141. Dubna — http://sanc.jinr.ru, CERN — http://pcphsanc.cern.ch.

142. T. Kinoshita, J. Math. Phys. 3 (1962) 650-677.

143. T. D. Leo and M. Nauenberg, Phys. Rev. 133 (1964) B1549-B1562.

144. J. Kripfganz and H. Perlt, Z. Phys. C41 (1988) 319-321.

145. H. Spiesberger, Phys. Rev. D52 (1995) 4936-4940, hep-ph/9412286.

146. M. Roth and S. Weinzierl, Phys. Lett. B590 (2004) 190-198, hep-ph/0403200.

147. K.P. Diener, S. Dittmaier, and W. Hollik, Phys. Rev. D69 (2004) 073005, hep-ph/0310364.

148. W. A. Bardeen et al., Phys. Rev. D18 (1978) 3998.

149. F. A. Berends, W. L. van Neerven, and G. J. H. Burgers, Nucl. Phys. B297 (1988) 429.

150. E. A. Kuraev and V. S. Fadin, Sov. J. Nucl. Phys. 41 (1985) 466-472.

151. M. Skrzypek, Acta Phys. Polon. B23 (1992) 135-172.

152. A. B. Arbuzov, Phys. Lett. B470 (1999) 252-258, hep-ph/9908361.

153. G. Altarelli, Phys. Rept 81 (1982) 1.

154. B. Mele and P. Nason, Nucl. Phys. B361 (1991) 626-644.

155. A. Arbuzov and K. Melnikov, Phys. Rev. D66 (2002) 093003, hep-ph/0205172.

156. J. F. Wheater and C. H. Llewellyn Smith, Nucl. Phys. B208 (1982) 27.

157. H. L. Lai et al., Phys. Rev. D55 (1997) 1280-1296, hep-ph/9606399.

158. E. A. Paschos and L. Wolfenstein, Phys. Rev. D7 (1973) 91-95.

159. Particle Data Group Collaboration, K. Hagiwara et al., Phys. Rev. D66 (2002) 010001.

160. S. Alekhin, Phys. Rev. D68 (2003) 014002, hep-ph/0211096.

161. S. Avvakumov et al., Phys. Rev. Lett. 89 (2002) 011804, hep-ex/0203018.

162. G. P. Lepage, J. Comput. Phys. 27 (1978) 192.

163. A. Denner and T. Sack, Nucl. Phys. B306 (1988) 221.

164. A. Denner et al, Z. Phys. C56 (1992) 261-272.

165. A. Barroso et al, Nucl. Phys. B267 (1986) 509-530.

166. A. Abbasabadi et al., Phys. Rev. D52 (1995) 3919-3928, hep-ph/9507463.

167. A. Djouadi et al, Nucl. Phys. B491 (1997) 68-102, hep-ph/9609420.

168. A. Denner and S. Dittmaier, Nucl Phys. B398 (1993) 265-284.

169. M. L. Ciccolini, S. Dittmaier, and M. Kramer, Phys. Rev. D68 (2003) 073003, hep-ph/0306234.172. 0. Brein et al, Precision calculations for associated W H and Z H production at hadron colliders, hep-ph/0402003.

170. T. Hahn and M. Perez-Victoria, Comput. Phys. Commun. 118 (1999) 153-165, hep-ph/9807565.

171. URL: http://pdg.lbl.gov/2006/tables/contents tables.html.

172. C. M. Ankenbrandt et al, Phys. Rev. ST Accel Beams 2 (1999) 081001, physics/9901022.

173. Muon Collider/Neutrino Factory Collaboration, M. M. Alsharoa et al, Phys. Rev. ST Accel Beams 6 (2003) 081001, hep-ex/0207031.

174. American Linear Collider Working Group Collaboration, T. Abe et al, hep-ex/0106055.

175. American Linear Collider Working Group Collaboration, T. Abe et al. hep-ex/0106056.

176. American Linear Collider Working Group Collaboration, T. Abe et al, hep-ex/0106057.

177. American Linear Collider Working Group Collaboration, T. Abe et al, hep-ex/0106058.

178. ATLAS Collaboration, CERN-LHCC/99-14.

179. E. Gabrielli, V. A. Ilyin, and B. Mele, Phys. Rev. D56 (1997) 5945-5961, hep-ph/9702414.

180. E. Gabrielli, V. A. Ilyin, and B. Mele, Phys. Rev. D58 (1998 Erratum.) 119902.

181. A. T. Banin, I. F. Ginzburg, and I. P. Ivanov, Phys. Rev. D59 (1999) 115001, hep-ph/9806515.

182. G. Passarino and M. J. G. Veltman, Nucl. Phys. B160 (1979) 151.

183. A. Arbuzov et al, Eur. Phys. J. C51 (2007) 585-591, hep-ph/0703043.

184. D. Bardin et al, Phys. Part. Nucl. Lett. 7 (2010) 72-79, 0903.1533 hep-ph.

185. DO Collaboration, R. Schwienhorst, 0805.2175 hep-ex.

186. W. Bernreuther, J. Phys. G35 (2008) 083001, 0805.1333 hep-ph.

187. DO Collaboration, V. M. Abazov et al, Phys. Rev. Lett. 98 (2007) 181802, hep-ex/0612052.

188. DO Collaboration, V. M. Abazov et al, Phys. Rev. Lett. 103 (2009) 092001,0903.0850 hep-ex.,

189. CDF Collaboration, T. Aaltonen et al, Phys. Rev. Lett. 101 (2008) 252001,0809.2581 hep-ex.

190. CDF Collaboration, T. Aaltonen et al, Phys. Rev. Lett. 103 (2009) 092002,0903.0885 hep-ex.,

191. S. Frixione et al, JEEP 03 (2006) 092, hep-ph/0512250.

192. E. E. Boos et al, Phys. Atom. Nucl 69 (2006) 1317-1329.

193. M. Beccaria et al, Phys. Rev. D74 (2006) 013008, hep-ph/0605108.

194. M. Beccaria et al, Eur. Phys. J. C53 (2008) 257-265, 0705.3101.

195. M. Beccaria et al, Phys. Rev. D77 (2008) 113018, 0802.1994.

196. E. Mirabella, Nuovo Cim. 123B (2008) 1111-1117, 0811.2051.

197. N. Kidonakis, Phys. Rev. D75 (2007) 071501, hep-ph/0701080.

198. A. Pukhov et al, CompHEP: A package for evaluation of Feynman diagrams and integration over multi-particle phase space. User's manual for version 33, hep-ph/9908288.

199. A. Arbuzov et al, Eur. Phys. J. C50 (2007 Erratum.) 505-506, hep-ph/0506110.

200. R. Sadykov et al, PoS TOP2006 (2006) 036.

201. A. Andonov et al, Phys. Part. Nucl Lett. 4 (2007) 451-460.

202. A. B. Arbuzov and R. R. Sadykov, J. Exp. Theor. Phys. 106 (2008) 488494, 0707.0423.

203. A. Andonov et al, Phys. Atom. Nucl 73 (2010) 1810-1818, 0901.2785 hep-ph.

204. R. Sadykov, http://indico.cern.ch/conferenceDisplay.py?confId=37194.

205. R. Sadykov, http://indico.ccrn.ch/conferenceDisplay.py?confId=6818.

206. V. Kolesnikov, http://indico.cern.ch/conferenceDisplay.py?confId=6818.

207. S. Jadach and P. Sawicki, Comput. Phys. Commun. 177 (2007) 441- 458, physics/0506084.

208. T. Hahn and M. Perez-Victoria, http://www.feynarts.de/looptools.

209. J. Alwall et al., Comput. Phys. Commun. 176 (2007) 300-304, hep-ph/0609017.

210. T. Sjostrand, S. Mrenna, and P. Skands, Comput. Phys. Commun. 178 (2008) 852-867, 0710.3820.

211. M. Balir et al, Eur. Phys. J. C58 (2008) 639-707, 0803.0883.

212. R. Sadykov, http://indico.cern.ch/conferenceDisplay.py?confId=10887.

213. D. Wackeroth and W. Hollik, Phys. Rev. D55 (1997) 6788-6818, hep-ph/9606398.

214. W. Placzek and S. Jadach, Eur. Phys. J. C29 (2003) 325-339, hep-ph/0302065.