Оператор Урысона в пространствах равномерно непрерывных и почти периодических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

-1. дд

.министерство ндлш, высшей тот а технической

политики российской федерации

УРАЛЬСКИИ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. А.М.ГОРЬКОГО

НЕШШЯЩИХ ИРИН ВИТАЛЬЕВИЧ

ОПЕРАТОР ЛЫСОНД В ПРОСТРАНСТВАХ РАВНСМЕИГО НЕПРЕРЫВНЫХ И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат на соискание ученой степвяз кандидата фазико-матекатичвсхях наук

На правах рукописи УДК 517.388.52

I

Екатеринбург - 1992

Работа выполнена в Пермском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете шпени А.Н.Горького на кафедре теории функций и функционального анализа.

Научный руководитель: кандидат физико-катеывгичвских наук,

профессор 1ЫИСЕРКЕЕВ ИВАН ВАСИЛЬЕВИЧ!.

Официальные оппоненты:

доктор Сизико-математических наук, профессор ЗАЕРЕИКО ПЕТР ПЕТРОВИЧ; кандидат физико-катематичвских наук, старший преподаватель УСТИНОВ ГЕОРГИЙ МИХАИЛОВИЧ.

Официальное учреждение: Московский институт стали и сплавов.

Защита диссертации состоится " ^^ " ЖНЫХрХ-_1993 г.

в -/5" часов на васедании специализированного совета К 063.78.03 по приоуаденшо ученой степени кандидата физико-математических наук в Уральском ордена Трудового фасного Знамени государственном университете имени А.М.Горького ( 620083, г. Екатеринбург, К-83, проспект Левина, 51, комн. 248 ).

С диссертацией мокно ознакомиться в библиотеке Уральского универсиад та. _

Автореферат разослан "7Д" ^екаВ'рХ 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета,

кандидат физико-математич. /1 ¿¡-г.---

наук, доцент Пименов В.Г.

-: •>« ' И ^ I '.¿ГЛ.'".^«!

.; •■ ~ VАктуальность теш. К необходимости исследования нелинейного интегрального оператора Урысона К вида

йи(?)= / Щг,а,и{а))(1з, Б

приводят математические модели (например, в виде систем интегральных и интегродифференциальных уравнений) явлений и процессов из различных областей механики, физики, теории управления. Кроме того, распространенным способом изучения дифференциальных уравнений является сведение их к интегральным с оператором Гаммерштейна, который является примером оператора Урысона. Актуальность исследования оператора К подтверадает полученный совсем недавно С.Сегурой де Леоном результат о представлении оператора из идеального пространства в пространство измеримых функций, удовлетворящего ряду свойств, в виде оператора Урысона.

Впервые оператор Я рассмотрел П.С.Урысон в 1918 г. (работа была опубликована в 1923 г.). С тех пор изучению оператора К и уравнений с ним было посвящено огромное количество работ. В исследование оператора Урысона решащий вклад внесли В.В.Немыцкий, В.М.Дубровский, Н.Н.Назаров, А.И.Некрасов, М.А.Красносельский, Л.А.Ладыженский, П.П.Забрейко, Ван Шен-ван, Т.К.Нурекенов, Р.Ойнаров, М.Отел-баев и другие. Среди достикений отметим правде всего результаты, касающиеся общих свойств оператора, нахождения условий его действия, непрерывности, лнпшицевости или полной непрерывности в функциональных пространствах. К настоящему времени наиболее полно и глубоко оператор Урысона изучен в пространстве С непрерывных на компакте функций и в идеальных пространствах, в частности, в 1р.1

Характерной особенностью оператора К, в отличие, например, от

1 ^ Ладыганский Л.А. Общие услоеия полной непрерывности оператора П.С.Урысона) действущего в пространстве непрерывных функций// Докл.АН GCCP.-I964.-T.3e,J£6-G.II05-II08.

Rang Sheng-Wang. The converse ol a theorem oi Ladyzenakii on the complete continuity oi the Uryson operator//Chinese liath.-1963. -Vol. 4Ч, Ш. -P.275-282.

3' Забрейко П.П. Нелинейные интегральные операторы//Труды семинара по функциональному анализу/Воронен.ун-т.-Воронея,1966.-Вып.8-148 с.

^ Забрейко П.П:.Кошелев А.И..Красносельский М.А. и др. Интегральные уравнения.-Ы.:Науна,1968.-448 с.

Ойнвров Р.,0тел0аев М. Критерий сжимаемости оператора Уры-сона//Докл. АН СССР. -1980. -Т. 255, JS6-C .1316-1318.

оператора Нэмыцкого, является то обстоятельство, что нэомотря на множество достаточных признаков до сих пор даае для пространства О в окончательном виде (без каких либо априорных предположений) не было получено критериев непрерывности, лкпшицевости, полной непрерывности и т.д. Отметим, что наибольших успехов при доказательстве необходимости тех или иных условий в терминах ядра для выполнения различных свойств оператора К добились Ван Шен-ван, Р.Ойнаров, М.Отелбаев, П.П.Забрейко, П.П.Злепко, А.С.Макаров (см., в чвстнос-ТИ, 2>.7).В> ).

Все вышесказанное говорит об актуальности задачи разработать общий подход к нахождению критериев для оператора Урысонв в терминах ядра в различных подпространствах пространства (например, в С или пространствах почти периодических функций), получить на его основе необходимые и достаточные условий действия и непрерывности, ограниченности, равномерной непрерывности (сокращенно р.н.), лип-пшцевости или полной непрерывности оператора К, обобщая и уточняя известные ранее результаты для пространства С.

Цель работы. I) Получение критериев (без априорных ограничений на ядро) действия и непрерывности, непрерывности с ограниченностью, р.н. (с указанием модуля р.н. в терминах ядра), лншицевости порядка а (с указанием наименьшей константы Липшица в терминах ядра) или полной непрерывности оператора К и одного оператора более общего вида в абстрактных пространствах р.н. функций.

2) Конкретизация этих результатов для широкого класса пространств непрерывных функций и:К—*Х (X - сепарабальное банахово пространство (сокращенно ЕП)): компактных, стремящихся к нулю на бесконечности, почти периодических по Бору, асимптотически почти периодических, компактных почти периодических по Левитану и др.; изучение специфики случая с! 1тХ<«>.

6' Забрейко П.П. К теории интегральных операторов. 1-Ш// Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений. -Ярославль,1981.-С.53-61; 1982.-С.80-89; 1984.-С.8-15.

7' Забрейко П.П..Злепко П.П. 0 мажорантах интегральных операторов Урысона//Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений.-Ярославль,I983.-С.67-76.

Ойнаров Р.,0телбаев М. Критерии липшщэвости и сжимаемости нелинейных интегральных операторов//Сиб.мат.хурн.-1984.-Т25,йй.-С.116-127.

9' Нурекенов Т.К. Условия полной непрерывности интегрального оператора Урысона//Докл.АН СССР.-1991.-Т.321,.Ж.-С.905-909.

3) Еыяонение, какие ив свойств оператора К на 1ю вытекают из свойств на более узком пространстве (например, одном из указанных в предыдущем пункте).

4) Разработка единого метода доказательства необходимости условий в терминах ядра для выполнения различных свойств оператора К.

Общая методика выполнения работы. Выявлены и доказаны те свойства функциональных пространств, локально определенных операторов и порождающих их функций, которые нужны при получении критериев для оператора К в сторону необходимости и которые позволили в довольно компактном виде провести доказательства этих критериев (без априорных предполовений в абстрактной ситуации и сразу для широкого класса функциональных пространств). С этой целью применялись современные методы нелинейного функционального анализа, теории функций, многозначных отображений и т.д.

Научная новизна. I) Обобщение известных критериев полной непрерывности1 '•г),лишшЦ9Вости5',8)> а также достаточного признака непрерывности4' оператора Я в С проведено по следующим направлениям:

а) Получены критерии действия и непрерывности, непрерывности-ограниченности, р.н. с указанием модуля ш(-). лидаицевости порядка et, полной непрерывности, - в которых на ядро й заранее не накладывается никаких ограничений, в том числе в виде условий Каратеодори.

б) Критерии доказаны для обобщенного оператора Урысона, который отличается от классического тем, что ядро S(t,a,x) заменено семейством локально определенных операторов Fопределяемых исключительно своим внутренним свойством, а факт существования "хорошего" ядра й (так что - оператор Немыцкого, порояденный •,•))> вытекает из тех или иных свойств обобщенного оператора Урысона.

в) Вместо конечномерного случая где S - компакт в К"1, рассматривается абстрактная ситуация k:A*M—>Y, где А - множество, наделенное при необходимости топологическими структурами, H<=S*X, (S,2,n) - пространство с мерой, X,Y - сепврабельнне БП. При этом область определения К, Fj - некоторое множество классов эквивалентных измеримых селекторов многозначного отображения Г(а)-{а€Х| (а,а:)еЮ (aeS), а область значений К - некоторое множество функций из А в Y (отдельно рассматриваются случаи, когда интеграл понимается в смысле Бохнэра и в смысле Петтиса).

г) Оператор К изучен в абстрактных пространствах р.н. функций, что позволило получить неизвестные ранее (даже в сторону достаточности в простейшей ситуации 4=S=X=Y=£, и для линейного К) критерии для К в указанных на с.4 функциональных пространствах.

2) Получены новые результаты о свойствах пространств измеримых, р.н. функций, многозначных отображений, локально определенных операторов, которые применяются не только для исследования оператора К, но имеют и самостоятельный интерес.

3) Установлено сохранение свойства р.н. (с тем же модулем) и полной непрерывности оператора Урысона на пространстве р.н. или почти периодических функций при переходе к более широкой области определения Ью (в случае полной непрерывности сохраняется также о£-ласть значений К).

4) Доказаны новые критерии действия и непрерывности, р.н., ли-пшицевости оператора Немыцкого в пространстве р.н. функций, в частности, в указанных на с.4 конкретных функциональных пространствах. На их основе получены менее общие, чем в критериях, но более удобные для проверки условия выполнения тех или иных свойств оператора Урысона, включающие в себя условие непрерывности ядра к по совокупности аргументов.

Практическая и теоретическая ценность. Полученные результаты -новые критерии без предположений относительно ядра в различных подпространствах пространства ограниченных функций, носят законченный характер и являются в определенном смысле неулучшаемыми, окончательными. Они обобщают и довершают упомянутые выше исследования оператора Урысона в пространстве С. Их практическая ценность состоит в возможности устанавливать общие условия разрешимости различных классов интегральных и интегродифференциальных уравнений, сводя задачу к поиску неподвижных точек оператора К или операторов более общего вида, в пространствах непрерывных, р-н., почти периодических по Бору, асимптотически почти периодических функций и др. (см. и.2 на с.4). Это проиллюстрировано в диссертации на простейшем примере новой теоремы существования почти периодического по Бору решения изученного ранее интегродифференциального уравнения, где существенно ослаблены условия, налагаемые на ядро интегрального оператора.

Кроме того, методика исследования в работе заключает в себе потенциальную возможность сравнительно легко получать критерии выполнения тех или иных свойств оператора К, который не нашли отражения в диссертации.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на XIII Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Куйбышев,1988 г.), III Уральской региональной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Пермь, 1988 г.), II конференции молодых ученых Сибири и Дальнего Востока (Новосибирск,1988 г.), XII Воронежской зимней математической школе

-

(Вороноя,1989 г.). научно-практических конференциях молодых ученых

Пермского университета (1986,1988 гг.)> Пермском городском семинаре по "Функционально-дифференциальным уравнениям" (1988,1991 гг.), семинарах в Пермском и Уральском университетах (1989,1992 гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано II работ.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, указателей обозначений, условий, сокращений и списка цитированной литературы. Объем диссертации составляет 165 страниц машинописного текста, включая 19 страниц указателей и списка литературы.

Библиография. Список литературы содержит 161 название.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении кратко изложено состояние вопроса и основные результаты работы. $0 содержит обозначения, некоторые определения и известные факты.

В главе I. изучаются свойства пространств Т,г, которые будут выступать соответственно в качестве области определения и значений обобщенного оператора Урысона'.

Пусть {А,и) - предкомпактное равномерное пространство (РП), {А*,1) - его хаусдорфоЕО пополнение, 1ЮЦ,Х) - БП р.н. функций из А в ЕП К, Г:А—- многозначное отображение, где Вд - совокупность непустых замкнутых выпуклых подмножеств X, семейство ЯЦГ)= ={Т1:А*-±В5\{Ча{_А) Г(з)=(Г^«()(з), Г7 полунепрерывно снизу} упорядочено по включению, М(11)=1Т:А—>35|1Л(Г)И0}. В §1.1 изучаются свойства 1!С(А,Х), ЩИ), в частности, в теореме 1.1.2 показано, что отображение, определяемое соотношением осуществляет изоморфизм множества 0(4*,Г*) непрерывных селекторов отображения Т*=аир т(Г) на иС(А,Т)-1иеПС(А,Х)| и - селектор Г}.

Пусть С - хаусдорфэва локально компактная абелева топологическая группа (сокр. С€®), I - подгруппа группы характеров С. Основная цель §1.2 - показать, что многие классические БП функций и:С—*Х можно рассматривать как при наделении С соответствующей

равномерностью 11. Таковы, например, НП С°(0)={я:(?—(Уе>0) (3 компакт ЯcG)(Ví€G\Я):Iu(í)I<E}, Сс(С) непрерывных компактных функций, СЛР^С^ почти периодических по Бору функций с группой частот I 'воли I плотно в С ), СЬ4Р^(С) компактных почти периодических по Левитану функций с группой частот I (если I плотно в С' ),

=СЛР21(й)+С°(С) асимптотически почти периодических функций,

СМ^(С)=С14Р£(С)+С°(С) и др. Соответствующие равномерности будем

обозначать символами V1 (1=0,5) и положим для удобства Н{(С,Х)=

=иС(С^{Д), Яги,Г)={иЦ | иеЯг(СД)- селектор Г) (Асв, Т:^^).

В §1.3 формулируются критерии предкомпактности множеств в БП Н1(А,Х), обобщающие известные ранее.

В диссертации, отвлекаясь от конкретной природы функционального пространства, мы рассматриваем локально определенные операторы и оператор Урысона в БП ИС(А,Х), т.к. многие свойства зависят лишь от равномерности и на А. Из них уже как тривиальные следствия вытекают неизвестные ранее результаты о свойствах операторов в БП Нг(ЛД)

(1-0^5).

Рассмотрим пространство с мерой (5,2,р.), где 5 - множество, 2 - о-алгебра с единицей Б, р.:2—»10,та] - мера. Будем придерживаться следующих обозначений: 2£=1АеХ\Ас£У,

2§=£.4€2Е|Е\Л€20}, 2*=2£, 2°=2§, 2Р=2§ (Ее2). Пусть 10 - класс пространств (3,2,ц) с полной (т.е. [Е€2°]=>[(УЛсЕ) Ле2]) локально конечной (т.е. [Е€2\2°]=»[2^.\2°?!0]) мерой, для которой [ЕсЯ, (У^Е*) £П4е2]=»[Е€2]. Очевидно Г^оГ^сХф, где - класс пространств с полной о—конечной мерой, а I^ — класс пространств с мерой, обладающих свойством прямой суммы. Далее считаем

В $1.4 изучаются множество классов эквивалентных измеримых функций из Б в сепарабельное БП X с топологией сходимости по мере на множествах конечной меры; пространство ^ из тех же элементов, но с более слабой топологией, порожденной базой окрестностей нуля

{Уш(Е,£,6)|Ее2*, е,а>0>, где 7ш(Е,е,б)={ аир ц{зеЕ|

аеВ

|<и(е),а>|>е}<0 > (В - единичный шар в X ); пространства 1щ(Х), 1Ш(Х),Ь°(Х) классов эквивалентных измеримых функций из 5 в X, соответственно интегрируемых по Бохнеру, по Петтису, существенно ограниченных и компактных с нормами

|и|?=Ли(а)|ц№), |и| =зир Л<и(з),а>:ц(с2з), ЦиЦ^игса зир|и(а)|. ^ абВ ^ зео

Если В - символ У4, Хш или а Г:5—то 0(Г) - подмножество Х){Х) классов эквивалентных селекторов Г.

В §1.5 изучены полезные для дальнейшего свойства измеримых пространств и измеримых многозначных отображений.

В §1.6, являющемся основным в гл.1, определен класс ЗВ троек (Б,Т,Т), где (5,2,ц)е10, измеримо и существует такой ком-

пакт D=X, что Г(з)ГШ/0 (VsçS), а Г - множество селекторов Г о вир-метрикой, для которых Ешолнено одно из свойств: (I) Г=2£(Г) - семейство компактных селекторов Г; (2) существует хаусдорфова предко-мпактная равномерность U=li(S,T,T) на S, что 2 содержит о-алгебру B?(Sy) борелевских подмножеств (VEçS) цВ=аир{|Ы|^сВ, А

компакт), TiH(U) (при A=S, см. описание }I.I), T=UC(Sy,T). Семейство ЗВ определяется как Ш, только при U=U(S,T,T) дополнительно гтред-предполагается замкнутость Г. Если роль X играет БП Y, то вместо ЗВ

будем писать В(У). Г при (S,r,T)€ÏB (или T-T/Q^ с vrai аир-метрикой) в гл.2,3 будет выступать в качества области определения различных операторов. Такая постановка естественна и носит довольно общий характер. К примеру, если S<zGt<S, (пополненная) мера Хаара на G,

rteii(ivl) (в частности, 1ЧСе%), Г{=г{(5,Г{)', то (5,Г{,Г{)еШ (i=CV5).

ТЕОРЕМА I.6.1. Пусть (5,Г,Г)еШ, EeS*, и^- измеримые селекторы Г, Ujj—>uQ,n—*» по мере на Е и s>0. Тогда найдутся Ae2g, подпоследовательность Сп^) (nQ=0) и VfrtT (йе20) такие, что ц(Е\Л)<е,

СО m

U (S) предкомпактяо в X, Ь №eZ0) и u^u0,îî-«o, при-

чем при и0€Г можно взять

Вторая глава посвящена исследованию свойств локально определенных операторов, примерами которых являются операторы Немыцкого вида fu=/(•,"(•))- В }2.2 доказаны критерии действия, непрерывности, ограниченности, м(')-р-н. (р.н. с модулем ш(-) ) и (q,а)-л. (т.е. липшицевости порядка et с наименьшей константой Липшица q) оператора Немыцкого, порожденного функцией f:A*D—>Y (А- предкомпак-тное РП, DcX, X,Y- БП) из UC(A,D) в VG(A,Y), в частности, из

В^(А,В) в Яl(A,Y) (1=0,5), обобщающие или дополняющие некоторые известные результаты М.А.1фасносельского, И.В.Ыисюркеева, А.В.Поно-сова и других.

Далее всюду считаем, что (5,Г,Г)еШ, X,Y сепарабельные БП, F:P(,T)—>7 (У - множество классов ц-еквивалентных функций из S в У) есть локально определенный оператор. Напомним, что F называется локально определенным, если CEtS, Xj^X]?'-1 ' ^Хе^^Хе^1' 1 ( Xg( • ) - ха-характеристическая- функция множества Е).

В J2.3 доказывается ряд результатов для локально определенного оператора F независимо от его природы, в частности, устанавливаются свойства F на £т по информации на более узком множестве Т, а в }2.4 изучается, когда F порождается функцией f:grT—»Y (так что F есть оператор Немыцкого) с некоторыми хорошими свойствами типа условий

Каратеодори.

ТЕОРЕМА 2.3.1. Значения F на fJ(r) однозначно определится значениями на Т и (Г))<=[Р(Г) в частности, P:<P(T)-&{Y) ( [-Itp - замыкание в 7s(У) ).

ТЕОРЕМА 2.3.3. [ (S,r,r)eS, (У) ]=>tP:lg(r)-»Lf (У) 1.

СЛЕДСТВИЕ 2.3.Б. [(S,r,T)e&, Угс0, Угт-»^^)]—

(У2с0 означает, что У не содержит подпространства , изоморфного БП cQ ).

Пример 2.3.1 показывает, что в етих двух утверждениях нельзя В заманить us 3D.

Определим операторы h, F*,h* равенствами

ftu=(B)J Fu(s)p.(da) (ue^tD), (I)

S

F*u=FurFu2, h*u={B)J F*u(a)n(ds), (и=(и;,п2)е^(Г)), S

hp.tij^ определяются как ft, ft*, с заменой интеграла Бохнера интегралом

Петтиса. Важность операторов ft, ftp для исследования оператора

Урыоона объясняется тем, что последний можно интерпретировать как

семейство операторов ft^ (4еЛ) вида (I).

Рассмотрим абсолютно суммирующую константу m m

(здесь и далее В ~ единичный шар в У). Известно [тс(У)<:оо]«->[сИтУ<а>].

Для r,:S—»2х положим Г(Г7 ЬСиеТ^и- селектор Г^>. Пусть 2

V(s,г,г)=(г|сг;сг2]&[эиет,и2ег(г7)]&[(s,rr,T(r?))€®(x2)},

V1{S,T,T)=lVleV(,S,V,T)\ (V3€S)(V(i,y)er70)):(y,2-)tr?(a)>.

Предположим, что V1tV(,S,V,Т), а величины Ь,Ьр,Ьш,Ь? определяются равенствами

Ь= аир Jft*u|, bn= аир |hfu|, Ъ,.,= sup |Р*и|,.„ b,= вир !Р*и|, иб!Г(Гг) Р ueT(rf) Р '«>' 1 ue^iV^ 1

(априорно их существование не предполагается).

ТЕОРЕМА 2.3.5. I) Если Р:!Г-^(У), то существуют Ь^.Ь^СО,®],

для которых Ьи)Ф1Ч%(У)Ью.

2) Если Ьр€Ю,»], то Р^П-^У) и Ърфш^гьр, причем при

T^V^S.T.T) ър=ъю.

3) [Ь_€[0,°о], dimy<oo]==»[b€tO,oa]]-»tb=bn].

СЛЕДСТВИЕ 2.3.6.

2) [РгГ—>Ьг(У) и ограничен]=>[Р:1°(Г)—(У) и ограничен],

3) [У2с0, Ир-.Т—>У и ограничен]=>[У:ЬОТ(Г)—»^(У) и ограничен].

Можно показать, что неравенства в теореме 2.3.5 неулучшаемы. Пример 2.3.2 говорит о том, что требование хаусдорфовости и-11(3,Т,Т) в определении 3 принципиально. Без него, например, когда З^Я, Т - пространство 1-периодических функций, теоремы 2.3.3, 2.3.5 оказываются неверными.

ТЕОРЕМА 2.3.6. [?1р:Т—»У и непрерывен^ЕР^П^-^У) и непрерывен ].

При <3(тУ<°° в теореме 2.3.6 можно заменить на Р(У), но

для любого бесконечномерного У это невозможно, о чем говорит пример 2.3.3.

В теореме 2.4.1 проясняется связь между различными свойствами функции f:grT^•Z (О - суслинское, I - сепарабельное метрические пространства, Г^-^Р0- измеримое отображение с непустыми замкнутыми значениями) и порожденного ею оператора Немыцкого Р. В частности, показано, что стандартная функция / (т.е. (3

(0) (2)>-измеримо ), порождающая непрерывный Р:^(Г)—^(У), удовлетворяет условиям Каратеодори. Тем самым обобщен соответствующий результат И.В.Шрагина, доказанный в предположении о-конечнооти ц, полноты и локальной компактности I) и Г(.)3С-

Возвращаясь к ситуации 52.3, определим £0(Л (Л,¿^'(Л как семейства функций >У, порождающих локально определенный опе-

ратор Рг^ЧГ)—у! и удовлетворяющих соответственно условиям (Т)-(З) ( под измеримостью понимается (X)(У)>-измеримость ):

(1) (т2*)(ЗАеф: /15Ггп(А-Х) измеримо;

(2) / измеримо, (УзеБ) /(э,•) непрерывно на Г(а);

(3) / измеримо. (ЧзцБ) /(а,-) слабо непрерывно на Г(а) ( т.е. (УаиВ) '"/(а, ■),а> непрерывно ).

Если замыкание множества простых селекторов Г в ^(Х) содержит Т или известно, что Р:Г—»^(У), то в определении £] измери-

мость / можно заменить <2,В?(У)>-измвримостью /(•,.г):Г~'({.г})—»У при каждом аеЯ (так что условия больше будут напоминать обычные условия Каратеодори), а в общем случае этого сделать нельзя, о чем говорит пример 2.4.1. Очевидно (Лс£0(Л, а при ЛшУ<«>

ТЕОРЕМА 2.4.3. 7) Пусть либо (5,2,ц)еГ;, либо <НтХ<либо Ьр-.Т—>У и ограничен. Тогда Шр-.Т-*У и нвпрврыввн]=»[£У(?)^0].

ТЕОРЕМА 2.4.4. Если Г^гЯ—»2х с непустыми замкнутыми значениями измеримо, Г^сГ и Д£0(Л, то

Теоремы 2.4.3, 2.4.4, 2.3.5 будут играть при установлении необходимости тех или иных условий в терминах ядра для выполнения свойств обобщенного оператора Урысона решающую роль. Они позволят■ нам в 53.2 провести довольно "компактные" по объему доказательства основных критериев диссертации. Можно сказать, что наиболее нетривиальная часть втих доказательств представляет собой последовательно доказываемую цепочку утверждений глав 1.2. На мысль сформулировать упомянутые теоремы §3.3, 3.4 и использовать их как инструмент для исследования оператора Урысона нас натолкнули результаты Ван Шен-вана об обращении теоремы Ладыженского1'>2', хотя в нашей ситуации схема рассуждений существенно переработана. Выделение в отдельные главы результатов, касающихся функциональных пространств и локально определенных операторов, не зависящих от специфики оператора ■Урысона, кажется нам оправданным и логически верным, поскольку они не только используются для исследования оператора Урысона, но представляют и самостоятельный интерес. В частности, утверждения §2.3, 2.4 дополняют или обобщают ряд известных результатов М.А.Красносельского , П.П.Забрейко, Ю.Аппеля, И.В.Шрагина, А.В.Поносова и других, а также позволяют на основе их легко доказать известные и новые критерии действия, непрерывности, ш(-)-р*н. и (д,с()-л. опера-оператора Р (П, Ьр) из Т или 1ц, (Г) в 1^(У) или 1щ(У) (соответственно в У).

Перейдем теперь к описанию основных результатов, полученных в главе 3. Пусть А - множество, Х,У - сепарабельные БП, (5,Г,Г)е®, гс.ТА. Операторы Урысона К, Яр с ядром к:А»£гТ—>У определяются равенствами

ЯиЦ)= (В)/ т,з,и(з))Мвз), Ярии)= (Р)/ А(Г,а,и(з))ц№). (2)

г 5

Очевидно это есть примеры операторов

Яи(П= (В)/ Яр1х»)= (Р)/(3)

5 я

где ЦеЛ) - однопараметрическое семейство локально определенных

операторов из £"(Г) в У. Операторы (3) назовем обобщенными операто-

рами Урысона. Очевидно, для (2) Ft есть оператор Немыцкого, порожденный функцией k{t,',') (.ttA). Как вытекает из сл.2.3.1, в предположении континуум-гипотезы при континуальности Т (в частности, если (j.- мера Лебега в любой оператор (3) представим в виде (2). Однако это представление не носхи конструктивного характера, а операторы (3) в большой степени определяются своим внутренним свойством, поэтому выбор в качестве основных объектов исследования именно операторов (3) вполне обоснован.

Определим семейства ядер оператора К^ вида (3):

П(Кр)={fe:Л-grГ—>У| (Vi€/4) k(t,- ,-)f_£(Ft)}, где С есть или iff, а П - соответственно Пд.П^ или П^'.

ЛЕЖА 3.1.1. Пусть Kp:T-^{Yf,i) непрерывен (т не слабее топологии поточечной сходимости), и либо (S,2,|o,)tIj, либо dlmX<<n, либо

(Vte4) оператор (Кр.) (t) :Г—>У ограничен. Тогда

Лемма 3.1 Л наглядно показывает, что критерии для оператора (3) могут быть сформулированы, в терминах достаточно хорошего ядра ftelij(Kp) (так что оператор принимает вид (2)). Если на А задана некоторая мера, то при изучении оператора Урысона в идеальных пространствах (так что область значений есть класс эквивалентных функций) естественно рассматривать ядра k(t,s,x), измеримые по совокупности аргументов (t,а)3)>4),6),7),9)_ в нашей же ситуации область значений есть пространство функций, и подход к исследованию, связанный с фиксацией аргумента t. полностью оправдан, поскольку именно в такой постановке получаются критерии в законченном виде без априорных предположений относительно ядра k (не предполагаем даже факт его существования).

В диссертации параллельно рассматриваются операторы К и Кр,. а на области значений Z предполагается заданной равномерность равномерной сходимости на элементах некоторого покрытия множества А. Для удобства далее в автореферате ограничимся случаем Кр при Y2cQ (отметим, что при dlmY«x> К=Кр) и (т.е. Z наделено равномер-

ностью равномерной сходимости). В соответствии с этим приводимые ниже условия и теоремы носят несколько более конкретный характер, нежели в диссертации, однако позволяют составить полное представление о существе результатов. Рассмотрим ряд условий: Ар(У). (3u€V):Xpue2 (Vc^(D), Б*. (Vx,t/€X)(VEiCe€2|ecr_i (Сх})ПГ~' (CyJ)):

(P)J-(F,a:-F.y)(a)n(d3)€Z (4)

E

(для r(0=-D» очевидно, это равносильно условию (Vx,yf_D) (VEeS) выполнено (4)),

ВШ(У). (Э&еПf(Kp))(VueV):

Zim sup Г sup I <i?(i,s,x)-ie(i,s,u(s) ),а> |ц(с2э)=0,

ß—>0 teA,aeB s хеГ(а),|i-u(s)|^5

Гш. (ЭйсП^Яр)):

ww(0)= аир Г аир I <fc(t,s,x)-fe(t,s,u),a>|u(ds)->0,ö->0,

(ЗйеП^(Кр)): aug шш(8)б_а<м (саш(0),да не зависят от выбора ядра ВД]^(Кр)), Eg*. (Эйей^(Хр))(УгеД(Г))(VaeB)

аир г sup |<is(i,s,i)-R(i,3,y),a>|u.(d3)<<o ttA s х,уеТг(а) (здесь и далее Я(Г)=Сг>0| (VaeS) Гг(а)=Г(э)П{кЕХ| ),

Hp(V). (Vt£il)(Vr€B(r)): CXpU(i)|ueV(rr)} предкомпактно в Y,

где У<^(Г), V(rr)=7n^(rr),

ujf*. {ЭкеЩ(.кр)) (УгеД(Г)) (Vs>0) (BUtZO (V (t,h)€lO:

sup Г sup |<&(t,a,x)-fc(t,3,y)-&(h,a,:r)+S(h,3,2/),a>||j.(d3)e. aeS s i.yel^fa) ((А.Ю-Ш).

Пусть Zcy4 наделено равномерностью равномерной сходимости на 4 и полно относительно этой равномерности, 7>sll - пересечение множества Ри ограниченных функций из А в У с замыканием Z в топологии поточечной сходимости (Рц и его подмножества наделяются аир-нормой). ТЕОРЕМА 3.2.2. I) Если (S,2,n)elj или dlmX<то

[Kp:T->Z и непрерывен]« СВШ(Г)].

2) [ZcPu, Kp'.T-*Z, непрерывен и ограничен]=» 1ВШ(Т), Е®*, Kpit^iD^Zg^ и ограничен].

3) [ZcPu, ip:!T->Z и ш(.)-р.н.]=»[Гш, Яр^Г)-^, ш(0-р.н.

и ограничен, (б>0)].

4) [ZcPu, Kp-.T-*ZK (д,сО-л.]=»[Д£[, Яр:Ью(Г)->2аи, (д,а)-л. и

ограничен, .

ТЕОРЕМА 3.2.5. Пусть Г таково, что множество классов эквивалентных простых селекторов Г плотно в Ь£(Г) (напр.,Г(•)=BiEs), Z -

замкнутая подгруппа У"4 (в частности, подпространство БП Рц), Мр

есть условие Ар(1°(Г)) & Б*. Тогда

X) Если (S,S,n)€lj или dimX<«¡, то

СМр & Bw(L°(T))l<=>lKp:L°(T)->Z и непрерывен].

2) Если ZcPu, то

[Мр & ВШ(Х£(Г)) & í-Z, непрерывен и ограничен].

3) СМр & г"1]«« :í£(r)->Z и (!/"(• )-р.н.].

4) СМр & »Z и

TEOPBJA 3.2.6(1,5). lKp:T-*Z и компактен, (3íeelíj(йр)) <=»[Кр:Г—*Z и вполне непрерывен (в.н.)l^IKpii^tr)—*Z и в.н.]«=» «=»[ (УгеЛ(Г)) Kp:^(Tr)—>Z и непрерывен, Яр(I"(Гг) > предкомпактно в Z).

ТЕОРЕМА 3.2.8(5). Пусть Z - БП р.н. функций из предкомпактного РП (A,U) в У с аир-нормой. Тогда

Up{LJT)) & Яр(Т) & и в.н.].

Итак, в теореме 3.2.2 действие Кр из Ьт(Г) или .¡^(Г) в Zsu и каждое из свойств: ограниченность, ш(0-р-н. и (д,ос)-л. выводятся из соответствующих свойств на более узком множестве Т, а также доказана необходимость условий Вш(0. Е^*, Гш, Д^ и указаваются ш(-) и q в терминах ядра. В теореме 3.2.5 формулируются критерии действия Кр:1°(Г)—*Z и его непрерывности, непрерывности-ограниченности,

(1)ш(-)-р-н. и (д^,а)-л. Заметим, что в теореме 3.2.2 даже в простей-сей ситуации A-S-ÍO, 1 ], Г{' нельзя заменить Z^ на Z, а в

теореме 3.2.5 - ь£(Г) на Т (из липшицевости Я в С на следует даже действие К из в С). В примере 3.6.2 указан (линейный I) ограниченный как в С, так и в Z,^ оператор, но не действующий из в С. Теорема 3.2.6 говорит о том, что в случав полной непрерывности такая ситуация невозможна, более того, для в.н. Kp:T—»Z выполнено, на первый взгляд, существенно более жесткое последнее высказывание цепочки из теоремы 3.2.6. Теорема 3.2.8 есть критерий действия и полной непрерывности Кр из Г в Z.

§3.3-3.8 посвящены анализу и конкретизации основных результатов §3.2, сопоставлению их с известными ранее фактами.

Достаточные признаки выполнения тех или иных свойств оператора К- из приведенных теорем останутся справедливыми, если отбросить условие Ар(•) и при этом условия Б*, Е®*, И^'* заменить соответственно условиями Бп, Ец , ]/[{F, где Бг: (V«X)(VEf.{ee2|ecr"'({x))}):

(P)J (P,x)(a)n(da)çZ, a E^ , Иуш формулируются так же, как и Е

условия со », только неравенства из этих условий заменены соответственно неравенствами

аир Г аир |<ft(i,a,x),a>|p.(ds)<oo, te4 s xtTr(a)

аир Г аир \<k{t,a,x)-k{h,B,x)fa>\\Hd8)<e. aeB s х€Гг(з)

Эти условия не являются, вообще говоря, необходимыми для выполнения тех или иных свойств оператора Яр (об этом говорят примеры 3.6.1, 3.6.3 диссертации), в частности, неточен упомянутый выше результат Ван Шен-ванаг). Однако, как показано в 53.3, указанная замена условий возможна для широкого класса 0(V) таких операторов (3), что для некоторого Ftv=FpV, t,peA ( V=I^(.V) в теореме 3.2.5 и V=Lœ(T) в теореме 3.2.8 ). Очевидно, для произвольного Яр вида (3) имеет место Яр€П(7), где KpU=XpU-XpU для некоторого фиксированного veV (например, ЯрИ=8у, в етом случае KpCCHtiO) ), поэтому уравнения с произвольным оператором Яр всегда можно свести к уравнениям с оператором из класса

В п.1° {3.4 разбирается возможность замены семейства Щ(К„) в основных результатах другими семействами ядер, в п.2°- возможность замены 2 в условиях Бр.Бр более узкими семействами £с2. Например,

если S=[a,b], Т=С, то можно взять £={(а,с)|cç(a,b)}, что облегчает проверку условий в конкретных ситуациях. В п.3° изучается специфика ситуации dimX<œ, а в п.4°- ситуации dlmY<<».

При сПтУсю результаты §3.2, 3.3 останутся справедливыми, если

из неравенств условий ^If^lf* убрать внешний

supremum по аеВ и под знаками интегралов выражение вида |<-,а>| заменить на 1 ♦ | _ Например, аналогом величины cow(ô) будет

со*(8)= аир J „ Jfc(t,a,x)-fc(t,a,b)hi(da)

teA g x,i/êP(a)f Ii-î/|î8 . Приведем часть результатов в этом направлении. Определим условия: Г. .(ЭШ^К)): w1 (8)->0,0-*0;

3. (Э&еПу(К)) (VreH(D) (Vte-4): J вир |ft(îfafi)|n(da)«xi;

g ЛТСГр(З)

и/,. (afeen,(K))(vr€iî(r))(ve>o)(3E;em(V(t,h)€ff):

kAk,t,h,r)= S ЭЙР |ft(t,a>x)-ft(hfa,i)|M.(da)<s.

4 S i.yel^(a)

ТЕОРЕМА 3.4.5. Пусть dimY4co, множество классов эквивалентных простых селекторов Г всюду плотно в 1£(Г), КеП(1£(Г)),

Z - замкнутая подгруппа Ри. Тогда

2в) [Х:Миш(.)-р.н.МГ, Кр-.Ъ^Т)^^ и и(.)-р.н.,

ы(5)=<ои'(б)«о,(5)^(У)шш(б) (8>0)1

Зв) СБр & ГЫК^^нг и )-р.н.].

4) Если (А,и) - предкомпактное РП, г=иС(А,У), то [3 & ^»[Яр:!1—>2 и в.н.]»Г(Угей(Г)) Яр:^(Гг)—и непрерывен,

Кр(У(Гг)) предкомпактно в 2].

Заметим, что модуль р.н. в т.3.4.5 останется прежним, и только в случав У=Я юи'(б)=ы1 (б).

В §3.5 исследованы случаи конкретных Т,г. Из §1.2, 1.6 следует, в частности, что если А^Сев, БсБ^З, - пространство с

пополненной мерой Хаара, {,./£{0,.. .5>, ГеМШ() (роль А в определении И(-) из описания §1.1 играет 5;), то во всех результатах

§3.2-3.4 можно взять Г=Н{ (й.Г{), При этом результаты,

касающиеся непрерывности, р.н. или лишицевости останутся без изменений, а критерии полной непрерывности будут отличаться условиями типа Иу.Иу1". Наблюдаемую при этом закономерность проследим на примере Л=Яг(Л,У)={и|/} | иеСАР^.У)), где Ь - подгруппа группы характеров С'. Пусть У обозначает логическую цепочку

(¥г€Д(Г)) (ЭлеМ) (3\?,... (33>0)

(Уи./г^Л-СаеСК-'-а»:-,!, )-1 \ 1, п))

Тогда г={тУл\ у: \и^+П)-иЦ)1<е}, условие (у: зир

щн

<е) означает равностепенную непрерывность и равностепенную почти периодичность семейства Я (оно присутствует в критерии предкомпак

тности Я в Ъ из §1.3), а условие в критерии полной непрерывности К из Г в 2 (см. теорему 3.4.5(3)) имеет вид

(Зй€П, (К)) (УгчЯ(Г) )(У): Д4(й, иъ, t,r)<s. Заметим, что полученные критерии для пространств почти периодических по Бору, асимтотически почти периодических и компактных почти периодических по Левитану функций не были ранее известны даже в сторону достаточности при Г(- )-м4-5-Ь-Х-У«К и для линейного К.

В §3.6, который является продолжением §3.5, в качестве Т (2) берется пространство непрерывных функций из г в (из <4 в У),

где 5,4 - ТП, в частности, компакты. Приводимые ь §3.6 результаты наглядно показывают, каким образом в диссертации обобщаются некоторые результаты работ1 ).г).4),5),8)_

В §3.7 формулируются менее общие, но более легко проверяемые

достаточные условия действия и непрерывности, непрерывности с ограниченностью, р.н., лишицевости порядка а или полной непрерывности оператора К вида (2) в пространствах р.н. и почти периодических функций, включающие в себя условие непрерывности ядра по совокупности аргументов. Пример 3.7.2 диссертации наглядно подтверждает тот вывод, что даже класс линейных в.н. операторов из Г) в UG(A,Y) существенно шире своего подкласса операторов с непрерывным ядром

(при фиксированном в). Это подчеркивает важность именно общих результатов J3.2-3.6 для исследования интегральных и интегродифференциальных уравноний.

В 83.8 кратко указан один из возможных путей конкретизации основных результатов для случая операторов с переменной областью интегрирования и в качестве иллюстрации возможного приложения приводится (теорема 3.8.2) непосредственное обобщение известной теоремы В.Ш.Бурда о существовании почти периодического по Бору решения ин-тегродифференциального уравнения

^(t)+4(t)u(t) = \ J fc(t,3,u(a))<2s

(жесткое достаточное условие полной непрерывности нелинейного интегрального оператора заменено критерием).

В заключении намечены возможные пути дальнейшего исследования по теме диссертации.

Пользуюясь случаем, автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору И.В.Мисюркееву за постановку задачи, постоянное внимание к работе и полезное обсуждение результатов.

Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях:

1. Мисюркеев И.В..Непомнящих Ю.В. Почти периодические решения одного класса нелинейных интегродифференциальных уравнений в банаховых пространствах/Перм.ун-т.-Пермь,1937.-49 с.-Деп.в ВИНИТИ

19.06.87, Й4477-В87.

2. Непомнящих Ю.В. Исследование оператора Урысона и разрешимость интегродифференциальных уравнений в пространстве почти периодических функций//Тез.11 конф.молодых ученых Сибири и Дальнего Востока ,Новосибирск,янв.1988 г.-Новосибирск,1988.-С.99-102.

3. Непомнящих Ю.В. Исследование оператора Урысона о приложениями к задаче о почти периодичеоких решениях интегродифференциальных уравнений/Перм.ун-т.-Пермь,1988.-99 с.-Деп.в ВИНИТИ 28.09.88, J??I63-B88.

4. Непомнящих 1>.В. Необходимые и достаточные условия действия и непрерывности оператора Урысона в пространствах;почти периодических функций//ХШ Всесоюзн.школа по теории операторов в функциональных пространствах,Куйбышев,окт.1988 г.:Тез.докл.-Куйбышев,±988.-С.138-139.

5. Непомнящих Е.В. О почти периодических решениях одного класса нелинейных интвгродиф£эренциальных уравнений//7Ш Октябрь с кие чтения.Исследования молодых ученых в области физ.-мат.наук:Тез. докл./Мегшуз.научно-практ.конф.,Пермь,окт.1988.-Пермь,I988.-С.7-8.

6. Непомнящих D.B. Почти периодические решения нелинейных интегродифференциальных уравнений//Функционально-дифференциальные уравнения.-Пермь,1989.-С Л37-143.

7. Непомнящих Ю.В. Действие и липшицевость оператора Урысона

в подпространствах пространства ограниченных функций//Краевые задачи .-Пермь,1989.-С.94-100.

8. Мисюркеев И.В..Непомнящих Ю.В. Критерий полной непрерывности оператора Урысона//Изв.вузов.Математика.-1991.-Я4.-С.32-43.

9. Непомнящих D.B. Обобщение одной теоремы И.В.Шрагина//Фун-кционально-дифференциальные уравнения.-Пермь,1991.-С.152-154.

10. Шрагин И.В..Непомнящих Ю.В. О гипотезе Немыцкого//ХУ1 Всеоовзн.скола по теории операторов в функциональных пространствах, Ннаний Новгород,сант.1991 г. гТев.докл.-Ншяшй Новгород,I991.-С.250.

11. Непомнящих Ю.В. Свойства оператора Урысона в пространствах равномерно непрерывных и почти периодических фушщий/Перм.ун-т.-Пермь,1992.-165 с.-Доп.в ВИНИТИ I5.0g.9Z, JS787-B92.

Подписано к печати 26.11.92. Формат 60»84 1/16. Печать офсетная. Уол. пач. л. 0.93. Тираж 100 экз. Заказ й5Ъ5. Бесплатно.

Типография Пермского университета. г.Пермь, ГСП, ул.Букирева, 15.