Операторные методы исследования процессов излучения, переноса и взаимодействия частиц

Жуковский, Константин Владимирович

Операторные методы исследования процессов излучения, переноса и взаимодействия частиц тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Жуковский, Константин Владимирович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Операторные методы исследования процессов излучения, переноса и взаимодействия частиц»

Автореферат диссертации на тему "Операторные методы исследования процессов излучения, переноса и взаимодействия частиц"

московский государственный университет

имени М. В. Ломоносова Физический факультет

На правах рукописи

4858аи

Жуковский Константин Владимирович

Операторные методы исследования процессов излучения, переноса и взаимодействия частиц

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва-2011

- 3 ноя 2011

4858977

Работа выполнена на физическом факультете

Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Официальные оппоненты:

академик РАН доктор физико-математических наук профессор В. Г. Кадышевский,

доктор физико-математических наук профессор О. Е. Шишанин, доктор физико-математических наук профессор Р. Н. Фаустов.

Ведущая организация:

Государственный научный центр Российской Федерации — Институт физики высоких энергий (г. Протвино Московской области)

Защита состоится «¡-/^ » ^^ 2011 г. в Зо на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, дом 1, строение 2, физический факультет, Северная физическая аудитория. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета д. ф.-м. н. профессор

Ю. В. Грац

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Развитие науки в последние десятилетия, разработка новых источников синхротронного излучения (СИ) с составными периодическими полями и заданными характеристиками и лазеров на свободных электронах (ЛСЭ) определяет повышенный интерес к исследованию излучения ультрарелятивистских частиц, движущихся во внешних магнитных полях. Дальнейшее развитие техники ускорителей и сферы применения синхротронного и ондуляторного излучений требует более строгого и математически выверенного описания их свойств с учетом особенностей источников излучения. Аналитические решения, найденные с помощью модифицированных специальных функций и учитывающие влияние ондуляторных параметров, сложные конфигурации поля в ондуляторе и, таким образом, его конструкцию, а также дополнительных полей, например, магнитного поля Земли или остаточного магнитного поля в ондуляторе, позволяют проанализировать вклад каждой из компонент поля и вынести практические рекомендации по улучшению конструкции, компенсации искажений спектра и изменению параметров устройств с целью подавления нежелательных гармоник и усиленной генерации нужных частот. Похожая ситуация складывается и в других областях науки и техники.

Действительно, в последнее время с возросшими возможностями вычислительной техники моделирование различных процессов и явлений как в фундаментальной науке, так и в ее прикладных отраслях все чаще проводится с помощью численных методов. При этом можно легко получить численное или соответствующее графическое описание поведения системы как функцию варьируемых переменных в зависимости от той или иной комбинации параметров. Тем не менее, для глубокого понимания

происходящих явлений и правильного объяснения и описания исследуемых процессов часто оказывается необходимым получение аналитических решений, которые позволяют уяснить суть явлений и их взаимосвязь, выделить факторы, ответственные за те или иные проявления исследуемых систем, и определить соответствующие им математические параметры. Выяснение особенностей протекания физических процессов позволяет правильно построить теоретическую модель и с помощью адекватных математических методов построить решения, позволяющие вынести рекомендации по проведению физических экспериментов и анализу их результатов, по улучшению технологий и для понимания окружающей нас среды.

физические явления, такие как, например, упомянутая выше проблема излучения ондуляторов, а также целый ряд проблем как физики высоких энергий, так и окружающей среды.

Как известно, в последние годы были предложены различные обобщения Стандартной модели электрослабых взаимодействий. Например, В. Г. Кадашевским было предложено введение в теорию новой физической постоянной (фундаментальной массы), связанной с радиусом кривизны импульсного 4-пространства Лобачевского. В то же время были разработаны новые эффективные методы расчета параметров элементарных частиц и их распадов в рамках Стандартной модели. Отметим здесь применение КХД-мотивированной релятивистской кварковой модели, развиваемой Р. Н. Фаустовьм с сотрудниками и основанной на явно релятивистской трехмерной формулировке квазипотенциального метода Логунова-Тавхелидзе. При этом большое значение придается дальнейшему развитию и уточнению методов описания свойств элементарных частиц и их взаимодействий в рамках Стандартной модели, в которой важную роль играют матрицы кваркового смешивания V и нейтринного смешивания £/, которые ответственны за различие между массовыми состояниями кварков и нейтрино и теми их состояниями, которые участвуют в слабом взаимодействии. Нарушению СР-симметрии соответствует комплексная фаза у элементов матрицы смешивания. Нами предложена новая экспоненциальная параметризация матриц смешивания для кварков и для нейтрино, основанная на использовании операторной экспоненты. Показано, что она является наиболее общей формой матриц смешивания, на основе которой получаются все известные параметризации. Подобная параметризация может быть полезна при изучении вопросов нарушения симметрии во Вселенной, эволюция которой, по-видимому, проходила под воздействием нарушения СР-четности как в кварковом, так и в лептонном секторе. Отметим, что параметризация с операторной экспонентой дает

геометрическую интерпретацию СР-нарушающей фазы, позволяет генерировать новые параметризации с выделенным нарушающим СР-четность матричным множителем и выделить соответствующий вклад в разложении по функциям Бесселя. Она также демонстрирует дополнительность смешивания кварков и нейтрино и позволяет продвинуться в поиске новых общих симметрий во Вселенной.

Исследование низкоразмерных моделей квантовой теории поля было стимулировано целым рядом открытий, сделанных в конце 70-х - начале 80-х годов прошлого века. Низкоразмерные модели оказались весьма полезными в изучении квазиодномерных и квазидвумерных сред. Более того, начиная с открытия целочисленного эффекта Холла, сделанного К. фон Клитцингом с сотрудниками в 1980 г., подобные модели в (2+1)-мерном пространстве приобрели особенную популярность. Квантовый эффект Холла объясняется именно благодаря особенностям энергетического спектра двумерного электронного газа в сильном магнитном поле, которое создает сверхпроводимость в двумерной системе. В последнее время была выяснена тесная связь между предсказаниями низкоразмерной квантовой теории поля и целым рядом необычных эффектов, обнаруженных экспериментально в физике конденсированного состояния вещества. В рамках (2+1)-мерной Р-симметричной массивной теории Гросса-Неве было продемонстрировано, что внешнее магнитное поле индуцирует нарушающий Р-четность фазовый переход первого рода, и показано, что в критической точке указанного фазового перехода происходит динамическая генерация члена Черна-Саймонса и дробных спина и статистики у частиц, что представляет интерес в связи с недавно обнаруженными магнитными фазовыми переходами в высокотемпературных сверхпроводниках.

Цель диссертации

Цель работы заключалась в исследовании широкого спектра физических задач — от проблем теории излучения ондуляторов с учетом сложной конфигурации используемых в реальных приборах магнитных полей до задач физики окружающей среды и физики высоких энергий на основе развитого теоретического подхода, базирующегося на операторном методе с широким использованием расширенных и модифицированных форм полиномов и специальных функций.

Научная новизна

• Построена теория движения и излучения заряженных частиц в ондуляторах со сложными конфигурациями магнитных полей, отвечающими реальной экспериментальной ситуации, а также с учетом влияния магнитного поля Земли. Для этой цели в работе развит новый теоретический подход на основе операторного метода, включающий экспоненциальный оператор и специальные функции на основе экспоненты и интегралов, ее содержащих, разложение в ряды по полиномам и специальным функциям, учитывая их расширенные и модифицированные формы.

• Показано, что целый ряд проблем физики окружающей среды, таких как теория распространения звуковых волн в коре Земли, теория процессов переноса, моделирование источников электроэнергии и др. также удается рассмотреть с использованием развитого теоретического метода.

• Продемонстрированы необходимость и полезность дальнейшего применения развитого аналитического подхода к решению проблем в физике вплоть до моделирования процессов физики высоких энергий, что и показано при анализе Стандартной модели электромагнитных и слабых взаимодействий элементарных частиц, а также при исследовании радиационных эффектов квантовой теории поля с учетом влияния

внешнего поля и плотности вещества в пространстве пониженной размерности.

Научная и практическая значимость работы

В диссертации на основе развитого теоретического метода получены новые результаты при исследовании ондуляторного излучения в магнитных полях сложной составной конфигурации, что имеет первостепенное значение для разработки новых источников излучения; развита теория распространения волн в твердом теле, имеющая непосредственное отношение к изучению распространения сейсмических возмущений, с учетом начальных напряжений в земной коре; разработана модель газовых потоков и диффузионных процессов, имеющая применение при моделировании физических явлений в современных устройствах альтернативных источников электроэнергии, таких как водородные топливные элементы, а также для их совершенствования. Предложена новая экспоненциальная параметризация матриц смешивания для кварков и для нейтрино в рамках Стандартной модели, основанная на использовании операторной экспоненты, что может бьгхъ использовано при анализе процессов взаимодействия элементарных частиц. При решении поставленных задач подчеркнута необходимость дальнейшего использования, наряду с численными методами, аналитического подхода к решению проблем в физике и в прикладных отраслях при моделировании физических явлений. Показано, что применение соответствующего математического аппарата при анализе физических явлений может обеспечивать оптимальное решение физических и технологических проблем во многих областях науки и техники. Результаты диссертации могут существенно дополнить содержание учебных курсов, в частности, по теории синхротронного и ондуляторного излучения, теории фундаментальных взаимодействий элементарных частиц и другим затронутым в ней разделам теоретической физики.

Достоверность полученных результатов

Все результаты получены с использованием современных методов теоретической физики на основе развитого автором нового строго обоснованного теоретического подхода к рассматриваемым физическим проблемам. При сравнении полученных результатов с результатами, полученными ранее другими авторами, а также с экспериментальными данными, возникает целый ряд ожидаемых новых следствий, которые лепсо поддаются проверке.

Апробация работы

Результаты исследований, вошедшие в содержание разделов диссертации, неоднократно докладывались на семинарах кафедры оптики и спектроскопии и кафедры теоретической физики физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова, Института физики твердого тела Академии наук Венгрии в Будапеште и физического факультета государственного университета Сегеда (Венгрия), физического факультета университета Камерино и Исследовательского центра новых технологий, энергии и окружающей среды ENEA и Национального института ядерной физики INFN в Риме (Италия).

Они отражены в более чем 30 публикациях в отечественных и международных изданиях и представлены в докладах на российских и международных конференциях, таких как: 7-я, 12-я, 13-я и 14-я Ломоносовские конференции по физике элементарных частиц (Москва, 1995, 2005, 2007, 2009), 18-я международная конференция по оптике рентгеновских лучей и микроанализу (Италия, Фраскати, 2005), Международная конференция по синхротронному излучению SR-2006 (Новосибирск, 2006).

Публикации

Вошедшие в диссертацию результаты опубликованы в работах автора, список которых приведен в конце автореферата. В работах с соавторами вклад автора диссертации является определяющим: им была дана постановка задачи, предложен метод исследования и проведены основные вычисления. Вклад соавторов заключался в проверке некоторых вычислений, предложениях по установлению связей с работами других авторов на ту же тему и обсуждении результатов работы.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Материал изложен на 310 страницах, включает 8 таблиц и 53 рисунка, содержит 299 библиографических ссылок.

Краткое содержание работы

Во введении дано обоснование актуальности темы и формулируется цель диссертации, а также приводится ее краткое содержание.

Глава 1 является вводной и посвящена развитию теоретических методов, используемых в дальнейших главах для решения поставленных в диссертации физических задач. Прежде всего дается обоснование операторного подхода, включающего разложение в ряды по ортогональным полиномам и специальным функциям. С помощью операторного метода исследуются различные семейства полиномов, их обобщения и модифицированные полиномы со многими индексами и переменными. Для решения широкого круга физических задач используются экспоненциальный оператор и специальные функции на основе экспоненты и интегралов, ее содержащих. С помощью производящих функций и интегральных преобразований получены и исследованы модифицированные специальные функции и полиномы, зависящие от нескольких переменных и индексов. Как продемонстрировано в следующих главах диссертации, с

использованием таких методов теоретических расчетов, оказывается возможным точное решение сложных теоретических задач в различных областях физики. Раскрываются новые возможности применения операторной техники для решения широкого класса встречающихся в физике дифференциальных уравнений в частных производных, включая уравнения теплопроводности, переноса и диффузии, волновые уравнения и другие задачи, также включающие производные Лагерра второго порядка. Хорошо известно, что при решении многих математических проблем используется разложение в ряды ортогональных и биортогональных функций, таких как полиномы Эрмита, полиномы Лагерра и родственные им полиномы. Они используются при решении широкого круга физических задач и также имеют прямое отношение к специальным функциям, как, например, функции Бесселя, функции Эйри и их многочисленные модификации и обобщения. Возможности применения специальных функций при решении сложных теоретических задач и моделировании физических процессов настолько широки, что их важность трудно переоценить. Обычные полиномы Эрмита и Лагерра являются хорошо изученными математическими объектами, которые могут быть заданы в виде конечных рядов или операторных соотношений. Их обобщением являются соответствующие полиномы, зависящие от двух переменных. В главе 1 продемонстрировано, как можно конструировать семейства этих и родственных им ортогональных и биортогональных полиномов с помощью метода экспоненциального оператора, который сам по себе имеет важные применения при решении широкого спектра физических проблем.

Использование операторного метода совместно с расширенными формами специальных функций позволяет достаточно просто получить элегантные решения сложных задач. В главе 1 показан, как операторный метод может успешно применяться при решении различных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений с участием

функций Лагерра и Эрмита. Операторные определения и свойства соответствующих присоединенных полиномов играют при этом ключевую роль, а использование обобщенных форм полиномов Лагерра и Эрмита позволяет написать решения в ясной и легко доступной для анализа форме. Операторные методы являются езде более мощным инструментом для решения перечисленных типов уравнений, когда используются вместе с подходящими интегральными преобразованиями. Это видно хотя бы из. задачи с начальными условиями, связанной с несколько измененной формой уравнения, встречающегося в финансовой модели Блэка-Скоулза:

8т Эг2 дв

Уравнение (1) может быть записано в следующем виде:

который позволяет написать его формальное решение экспоненциального

ехр

3 Л-1

г — + —

а* 2

*{/(«}• (3)

Применяя интегральное преобразование ехр(Яс2) = —— Г ехр

для экспоненциала квадратичного оператора и используя соотношение

ехр(АаЭ1){/(1)} = /(е"г), (5)

легко получить интегральное решение задачи с начальными условиями (1) в следующем виде:

Как уже подчеркивалось, экспоненциальный оператор и его применение носят достаточно универсальный характер, что позволяет использовать его во многих различных случаях. Так, например, при его

помощи мы получили решение уравнения Блэка-Скоулза практически немедленно. Более того, техника с использованием экспоненциального оператора может быть развита далее и его применение расширено на такие интересные области математики, как операторы дробного порядка и вычисление производных и интегралов дробного порядка, решение дифференциальных уравнений дробного порядка. Совместное применение операторных соотношений и интегральных преобразований выявляет скрытые связи между, на первый взгляд, не относящимися друг к Другу математическими объектами из различных областей.

В главе 1 рассмотрены также семейства полиномов Аппеля, Шеффера, Эйлера, усеченные экспоненциальные полиномы, гибридные и присоединенные к перечисленным выше полиномам семейства. Рассмотрены операторы Аппеля, обратные им операторы и изучены их свойства. Рассмотрены свойства полиномов высших порядков рассмотренных семейств и связь этих полиномов с числами Стирлинга. Показаны возможности разложения специальных функций, как, например, функций Бесселя, по полиномам этих семейств и возможности операторной техники при этом, что оказывается полезным при работе со специальными функциями и аналитическими выражениями, описывающими многие процессы излучения частиц. Показано, как элементы операторного метода могут применяться для преобразования формул суммирования с участием специальных функций и полиномов. Применение разработанного метода решения уравнений наглядно продемонстрировано на примере обобщенного уравнения теплопроводности

= + (7)

с начальным условием

Я*,0) = /(*)■ (8)

Соответствующее решение может быть написано в терминах оператора эволюции й:

= 17/00, (9)

где

(10)

А = в = ргх, н = д\+/3х. Оператор й в (9) содержит сумму двух некоммутирующих величин и может быть написан как упорядоченное произведение двух экспоненциальных операторов. Действие и на ' функцию начального условия (8) немедленно приводит к следующему решению нашей задачи:

= Ф(х,цр)= (11)

где:

¿ = *)./М, (12)

5 = = + (13)

Из формулы (11) видно, что решение задачи (7Н8) заключается в последовательном применении коммутирующих операторов 5 и £> к функции (8) и умножению на еф"';Я. й по существу является оператором трансляции и действие оператора диффузии Ь на функцию }{х) приводит к решению обычного уравнения теплопроводности в виде преобразования Гаусса-Вейерштрасса. Тогда без каких либо дополнительных предположений о характере функции }(х) (предполагая только сходимость интеграла) получаем следующее решение уравнения (7):

Дх.^е^'Дг + ЯМ)- О4)

Результат действия операторов 5 и б хорошо виден на примере функции /(х) - е~'', в котором решение имеет компактный вид:

«(..с)

Дг,г)|, , ,1 = 4=е ,4*0. (15)

Этот результат можно рассматривать как обобщение так называемого правила Гляйшнера, приводящего к решению обычного уравнения теплопроводности (/3 = 0) с функцией Гаусса в качестве начального

условия.

Операторная техника, использованная нами при решении уравнения (7), может быть успешно применена к уравнению Шредингера для частицы

в поле постоянной силы F:

ihd Ч'(1,0 = -—д^М + Fx4>(x,i), V(x,0) = }(х). (16)

1 2т

Его решение получается последовательным действием оператора эволюции для свободной частицы (диффузии в мнимом времени) D = е"' и оператора трансляции 5 = (г = W/(2m), b = 2Fm/h2) на функцию начального

условия Дх), не считая общего фазового множителя:

= (17)

Без каких-либо специальных предположений относительно Дх) получаем в

результате решение задачи (16) в виде:

4>(х,т) = е-№11'г;Ь1/(^ + Ьгг,гг). (18)

Это может в определенном смысле рассматриваться как формулировка для пропагагора в поле постоянной силы, который состоит из диффузии, трансляции и линейного по координате г набега фазы.

Нами рассмотрен интересный случай начального условия в виде функции Эйрн fix) = Ai(j)> ГДе А — параметр. В этом случае получаем:

V(I,T) = e-№f"ri',Ai(x + 6rJ,ir), = (19)

Выражая этот результат через функцию Эйри одной переменной, получаем важный вывод — динамика пакета Эйри в однородном электростатическом

поле сводится к простой трансляции пакета, а именно: пакет неизменной формы движется равноускоренно.

В главе 2 рассмотрены математические модели излучения ондуляторов с полями сложных составных конфигураций. Техника ондуляторного излучения в последние годы подверглась значительному улучшению не только с точки зрения ондуляторных магнитов, но и с точки зрения концепций их конфигураций. Были предложены новые схемы ондуляторов со сложной конфигурацией магнитного поля, задуманные как устройства, способные генерировать излучение с различными поляризациями, подчеркивать или ослаблять излучение отдельных гармоник.

В главе 2 с помощью специальных функций типа Бесселя, обобщенных на случай многих переменных, и модифицированных функций Эйри получены точные аналитические решения для ондуляторного излучения (ОИ) в различных периодических полях. Аналитически изучается спектр электромагнитного излучения релятивистского электрона, движущегося в магнитном поле, которое осциллирует с различными частотами как в одной, так и в двух взаимно ортогональных плоскостях в пространстве. Исследуется влияние конфигурации магнитного поля и ондуляторных параметров на излучение основной, высших и низших гармоник. В частности, рассматривается ондулятор с магнитным полем, заданным следующим выражением:

что представляет собой обобщение спирального ондулятора с л, и НУ*Н2. Напомним, что в обычном спиральном ондуляторе вращающееся магнитное поле имеет равные друг другу компоненты Ну-Нг и периоды Д|=Я2, электрон в нем движется по спирали, и в приближении длинного ондулятора угловое распределение излучения аксиально-симметрично и лишь одна основная гармоника излучается на его оси. Мы используем

(20)

обобщенные функции Бесселя J[™-r){x,y;u,v), которые являются решениями расширенного уравнения Бесселя и могут быть заданы, например, посредством производящей функции

4tKM(r -fH(" -я- £(21)

Полезным оказывается интегральное представление обобщенных функций Бесселя:

(i, у; и, и) = — f d9 eos [пв - x sin в - y sin тв-и sin p& - v sin (pm0)], (22) 11 ¡

и их разложение в ряд по обобщенным функциям Бесселя двух аргументов:

w) - (23)

Интенсивность ОИ на оси определяется рядами по резонансным частотам

ад = > ¿ U + I Uf]- (24)

Вообще говоря, вектор У, имеет очень сложную форму, но она упрощается на оси, где два аргумента функции Бесселя сводятся к нулю, что позволяет записать его в таком виде

(25)

со следующими аргументами обобщенных функций Бесселя:

^■ф), ■», = >«,■ от

Поляризация излучения перпендикулярна оси ондулятора. Гармоники в спектре двухчастотного ондулятора определяются по индексам функций Бесселя — (п ± р)/2 для У-компоненты поляризации и (п ± 1)/2 для Z-

компоненты поляризации излучения, где п — номер излученной гармоники

и р — гармоническое число ондулятора. Для четных значений р нечетные

гармоники имеют только 2-компоненту поляризации, а четные гармоники только У-компоненту поляризации. Для нечетного р = 3,5,7... четные

гармоники отсутствуют, а оставшиеся нечетные гармоники имеют обе компоненты поляризации.

Доминирующей в излучении является гармоника с номером п = р и

частотой со = рсоу При значениях к г 1 спектр излучения радикально меняется, и высшие гармоники доминируют. Когда гармоническое число ондулятора р>2кк1~к2, спектр приобретает сложную форму, состоящую

из последовательности локальных максимумов и минимумов постепенно уменьшающейся с ростом п интенсивности. Излучение высших гармоник, вообще говоря, имеет сложный характер с несколькими локальными максимумами, в зависимости от значений ондуляторных параметров Ь Для ондулятора с различными частотами <о] Ф минимум излучения высших гармоник не следует значениям ондуляторных параметров = ^ и может

быть найден численно.

Далее в главе 2 обсуждаются свойства и спектр плоского двухчастотного ондулятора (ПДЧО). Показано, как ПДЧО может использоваться для регулирования излучения отдельных гармоник и, таким образом, применяться в технике лазерного излучения для создания устройств высокой эффективности с узким спектром. В таком ондуляторе с линейной поляризацией периодическое магнитное поле имеет две составляющие, осциллирующие на разных частотах в одной плоскости с периодами А„ и XJh, где к —целое число, с разными амплитудами:

Я„ = Я, + ¿ап(ЛМ)]. (27)

Для интенсивности ОИ на оси получаем, следуя обычной процедуре:

где интенсивность излучения на оси определяется, по сути, следующим фактором:

и функции Т. — обобщенные функции Бесселя в интегральном

представлении: i 2*

r„(arg) = — Icos(n0 - £sin(2ф) - sin((7i - 1 )ф) - ^ sin((?¡ +1» - sin(2Ъф)Щ, (30)

2л* ^

Эти функции можно записать через ряд по обычным функциям Бесселя 7„(а:). Так, использование математического аппарата с привлечением

обобщенных функций Бесселя и их дальнейшей модификации и обобщения путем введения дополнительных переменных и индексов естественно возникает в ходе решения задачи об ОИ в магнитном поле с дополнительной периодической компонентой. ПДЧО обладает интересными особенностями, связанными с излучением его гармоник на оси. Для всех четных значений к как нечетные, гак и четные гармоники

могут излучаться на оси. В случае нечетных к четные гармоники не

излучаются на оси. Далее в главе 2 показано, как двухчастотный ондулятор может быть эффективно использован для усиления или ослабления определенных гармоник спектра излучения. Рассмотрены примеры ПДЧО с

(Г.,(паге)+гм,(ггаг6))+|(г^(пах§)+г 4(пахе))] ,(29)

[l + gj] ,arge(í,f_,í„0. OI)

í =

h= 2,3,5. Показано, что при h= 2 вторая гармоника дает слабый сигнал на оси при малых <£ то есть, когда амплитуда второй частоты ондулятора мала (что ожидаемо). Для больших значений d излучение второй гармоники более интенсивно и она становится сильнее, чем первая гармоника при \d\ > 0.4. Первая гармоника не чувствительна к изменению d, в то время как третья сильно зависит от него и может быть даже полностью подавлена соответствующим выбором d (в рассмотренном примере при $ = 0.5). При

нечетных значениях h, когда излучение на оси содержит только нечетные гармоники, также есть возможность регулирования излучения гармоник на оси. Например, при d = 0.5 третья гармоника сильно подавлена. Получены

также другие интересные результаты, которые показывают, как соответствующим выбором параметров hud можно подавить или усилить излучение избранных гармоник в зависимости от значений овдуляторного параметра к Продемонстрировано, что при h = 3 и h = 5 существует область

к < 1, где основная гармоника доминирует при малых значениях d - 0.05 и следующие гармоники играют роль только при к > 1. Выбор d = 0.5 расширяет область, где доминирует основная гармоника излучения вплоть до к - 2. В то же время выбор d = - 0.5 держит более высокие гармоники с п > 3 значительно подавленными, в то время как третья гармоника усилена при соответствующем выборе ондуляторного параметра к ~ 2. Однако при

таком же значении ондуляторного параметра к ~ 2, но другом d = 0.5,

высшие гармоники — пятая и седьмая — подчеркнуты без серьезного ослабления излучения на первой и третьей гармониках. Такое селективное усиление отдельных гармоник может быть использовано при

проектировании лазеров на свободных, электронах (ЛСЭ) для уменьшения деградации зеркал жесткой компонентой ОИ. Изучая эволюцию гармоник в ЛСЭ с использованием стандартных формул из справочников по ЛСЭ, получим, что в случае д, = 0.5 мощность насыщения заметно слабее, чем при

¿ = -0.5 и при (1 = 0.

Далее в главе 2 представлен аналитический метод расчета излучения электрона, движущегося в ондуляторе, где постоянная компонента магнитного поля Ва наложена на периодическое поле ондулятора:

В = Д0(^^ + Бш(^г)>о), кг=(2я/А,), (33)

(34)

к и р — коэффициенты, относящие напряженность постоянной компоненты магнитного поля Д | к амплитуде периодической компоненты ондуляторного поля В . В нашей задаче электрон движется по гораздо более сложной траектории. По сравнению со спектром обычного плоского ондулятора, состоящим из гармоник , где ширина спектральных пиков определяется

параметром расстройки у„:

„ 2*4-^-11 (35)

«. 1 + к " )

спектр ондулятора (33) на оси состоит из пиков с частотами:

.■ п-0,1,2,3.... (36)

где п — номер гармоники. Теперь выражение для резонансных частот на оси (36) включает угол отклонения , который зависит только от суммы квадратов компонент постоянной компоненты магнитного поля, образующими его напряженность. Эффект постоянного поля накапливается вдоль оси ондулятора с каждым периодом и зависит от их числа N.

Интенсивность излучения на оси при условии слабого постоянного магнитного поля определяется рядом резонансных частот, записанных через обычные функции Бесселя и обобщенные функции Эйри. При сравнимых напряженностях постоянного и периодического полей можно использовать обобщенные функции Бесселя четырех аргументов. Постоянная компонента поля Ва приводит к появления четных, гармоник в спектре и модифицирует

нечетные гармоники.

Замечателен тот факт, что интенсивность излучения четных гармоник определяется только модулем напряженности постоянного поля, а не ее направлением. Отсюда следует, что исключить их можно, только ориентировав ось ондулятора по направлению постоянного поля, и никаким другим вращением устранить это влияние нельзя. Физическая причина изменения спектра излучения — не в отклонении электронов в каком-то определенном направлении от оси, а в расстройке когерентности осцилляций электронов в ондуляторе при прохождении электронами постоянного магнитного поля. В главе 2 произведено исследование уширения основной гармоники ондулятора как на оси, так и вне ее, с использованием обобщений функции Эйри иллюстрирующее

влияние постоянного магнитного поля. Продемонстрирован сдвиг резонансной частоты и уменьшение высоты максимума. Показано, что влияние индуцированного угла изгиба 8Н на интенсивность гармоники сильнее, чем влияние отклонения от оси на такой же угол. Вьиснено, что отклонение от оси ондулятора на угол 2 Эя оказывает такой же эффект на интенсивность, как и соответствующее индуцированному углу

Эн поле.

С использованием нового выражения (36) для спектра ондулятора с дополнительным постоянным магнитным полем получено условие применимости хорошо известной формулы (35) для основной частоты

излучения ©^плоского ондулятора при наложении слабого постоянного

Анализ ОИ дополнен рассмотрением эффектов неоднородного уширения спектральных линий, эффективно отвечающего за разного рода потери при распространения пучков в ондуляторах и отклонения формы периодического поля от синусоидальной, чтобы удовлетворялись уравнения Максвелла. Учет влияния постоянного магнитного поля через соответствующий параметр к на форму спектральной линии ондулятора со 100 периодами показывает, что эффект постоянной компоненты магнитного поля в ондуляторе пренебрежимо мал, пока значение к < 10"4. Заметное искажение спектральной линии происходит в дипольном поле напряженности Вц > 1.5-Ю4^. Ситуация значительно изменяется с увеличением числа периодов ондулятора N. Так, для ондулятора с 200

периодами в присутствии постоянного магнитного поля Вл = МО"1 Ба искажения спектральной линии появляются уже при отношении напряженностей постоянного и переменного полей х, ~ 5-10"5. Более того, максимальная разумная напряженность постоянной компоненты магнитного поля Д* для такого ондулятора составляет 7-10'Во. Тогда очевидно, что искажения спектральной линии ондулятора с 200 периодами при В^ = 1-Ю4Я0 очень значительны. Так как магнитное поле Земли имеет как раз такой порядок относительно периодического поля в ондуляторе, то в рассмотренном случае нужно принимать все меры по тщательному экранированию постоянной компоненты поля или ее компенсации внешними катушками с током.

Итак, в главе 2 нами проведен анализ излучения плоского ондулятора и влияния постоянного магнитного поля на излучение как на его оси, так и под произвольным углом к ней, с применением техники функций Бесселя

поля:

(37)

многих переменных. Для учета постоянной компоненты магнитного поля развита техника обобщенных функций Эйри. Использование обобщенных форм специальных функций многих переменных позволило получить аналитические выражения для спектра и интенсивности ОИ, а также критической величины постоянного магнитного поля, при которой начинаются значительные искажения спектра, формы спектральной линии и пространственного распределения излучения ондулятора, зависящие только

от величины постоянного поля.

Разработанный нами подход позволяет получить аналитическое решение задачи с периодическими полями необычных и сложных составных конфигураций. Несмотря на кажущуюся сложность использования метода обобщенных функций Бесселя, он позволяет проделать точный расчет и учет поля в релятивистском приближении и получить точные аналитические решения для ОИ в различных периодических полях. Становится легко доступным физический смысл полученных решений и их анализ. На его основе мы заключаем, что двухчастотный ондулятор может быть эффективно использован для усиления или ослабления определенных гармоник в спектре ОИ. Компактная аналитическая форма решений позволяет провести анализ вклада каждой из компонент поля. Отметим, что в диссертации найдено аналитическое решение, учитывающее искажение спектра и .уширение спектральных линий, имеющее место в реальных устройствах с заданным числом периодов и другими характеристиками. Элегантные аналитические решения, учитывающие влияние ондуляторных параметров, конфигурации поля в ондуляторе и, таким образом, его конструкцию, а также учитывающие влияние дополнительных полей, как, например, магнитного поля Земли или остаточного магнитного поля в ондуляторе, найдено с помощью модифицированных специальных функций. На основе полученных решений можно дать практические рекомендации по

улучшению конструкции, компенсации искажений спектра и изменению параметров устройств с целью подавления нежелательных гармоник и усиленной генерации нужных частот. Более того, разработанный подход на основе модифицированных специальных функций позволяет аналитически решить вопрос об излучении практически любого ондулятора со сколь угодно сложной конфигурацией периодического поля и его различными искажениями.

Третья глава иллюстрирует применения математического аппарата и эвристического анализа при моделировании физических явлений, лежащих в основе различных процессов в технике и в окружающей среде. Например, рассмотрена математическая модель распространения волн в твердом теле, модель газовых потоков и диффузионных процессов в многокомпонентных смесях газов. Рассмотрены технологические применения построенных моделей. При этом использован наиболее общий физический подход к проблемам. Продемонстрировано, как идентификация физических процессов, ответственных за те или иные явления в окружающей среде и в технике, и их учет с помощью адекватных математических методов приводит к прозрачным для анализа математическим решениям, позволяющим вынести ясные и конкретные рекомендации по улучшению технологий и понимания окружающей нас среды.

Проведено исследование распространения упругих волн в земной коре с учетом начальных напряжений. При этом получены уравнения малых колебаний анизотропной среды для произвольного неоднородного начального напряжения. Рассматривается исходно однородная изотропная среда под воздействием малых, по сравнению с модулями упругости, напряжений сдвига. Изучено распространение плоских волн малой амплитуды в изотропной среде с неоднородным начальным напряжением. Получено решение задачи о распространении волн в среде с начально-неоднородным напряжением. Считая, что в глубоких частях Земли

отсутствуют большие сдвиговые напряжения, и полагая девиатор тензора начальных напряжений малым по сравнению с модулями упругости, описываем среду четырьмя скалярными функциями давления. Требуя однородности начального давления и неоднородности напряжения сдвига (при условии его малости), получаем, что четыре скаляра, описывающие упругий отклик среды, не зависят от координат. Это позволяет решать уравнения колебаний среды, используя теорию возмущений. Начальное напряжение предполагается зависящим от координат в комбинации <р = кт, где вектор к выбран равным к = к0{соа), и £0 находится из дисперсионного соотношения невозмущенного уравнения. Таким образом, предполагается, что начальное напряжение сдвига неоднородно преимущественно вдоль направления к0. Такой подход позволил упростить вычисления и решить уравнение, зависящее от одной скалярной переменной. Показано, что поправка к решению по теории возмущений будет находиться на той же частоте, что и невозмущенное решение. Рассмотрены конкретные примеры начальных

напряжений, зависящих от координат как 1/сЬ(й) и соз(&х).

Случай начального напряжения вида Ь'сЬ <р характерен тем, что невозмущенное решение м® меняется много быстрее, чем начальное напряжение. Начальное напряжение четно относительно <р = 0. При этом, если невозмущенное решение щ" тоже четно относительно куля, например

со ер, то поправка содержит как осциллирующий по <р член, так и затухающий с ростом (р член. В этом случае она непрерывна. Если и°

нечетно, например втр, то поправка к решению имеет разрыв в точке <р = 0. В каждой из областей ср> О и д> < 0 она имеет аналогичные упомянутым выше осциллирующий и затухающий по <р члены.

2) Начальное напряжение вида cos<? характерно тем, что и решение и напряжение меняются резонансным образом по <р. В этом случае поправка непрерывна как при четном, так и при нечетном щ° . Она содержит

осциллирующее с частотой 2(5 слагаемое.

Можно предположить, что если рассмотреть меняющееся скачком в виде функции Хевисайда в(<р) начальное напряжение как предельный случай напряжения вида % го, вероятно, полученный при этом разрыв решения будет описывать трещину. При этом может оказаться, что существуют такие типы волн, которые будут приводить к указанному характеру возможного «снятия» напряжения за счет разрыва среды.

Далее в главе 3 изучены вопросы переноса среды в различных условиях с учетом молекулярных эффектов, возникающих на микромасштабе менее миллиметра. Несмотря на то, что эти вопросы представляют прежде всего инженерный интерес, они также интересны с точки зрения учета физических факторов, ответственных за те или иные явления при построении математических моделей сложных физических процессов, которые не могут быть просто смоделированы описанием всех явлений на микроуровне, но, в то же время, они зависят от них и требуют учета физических эффектов, имеющих место на микромасштабе. Выбор соответствующего математического аппарата, идентификация физических макропараметров, эффективно описывающих происходящее на микромасштабе и влияющих на макрохарактеристики процессов — таких как перенос массы, момента и других величин, представляет не только технический и инженерный интерес, но важно с научной точки зрения. Так, например, нами изучен трехмерный поток сжимаемой среды с учетом молекулярных эффектов и его характеристики при течении в длинных микроканалах. Следует отметить, что до настоящего времени не установлено надежного соответствия между экспериментальными данными и теоретическими предсказаниями в изучении сжимаемых потоков в

микроканалах, где исследования сжимаемых потоков и потоков малой плотности проводились раздельно. С использованием теории возмущений нами проводится разложение уравнений Навье-Стокса по малому параметру (отношение высоты канала к его длине) в случае двух- и трехмерного стационарного изотермического потока. Демонстрируется важная роль сжимаемости и эффектов разряжения в динамике потока среды. Получены решения для продольной компоненты скорости потока, распределения давления и потока массы в канале. Проанализировано влияние эффекта скольжения потока относительно стенок канала, которое имеет место на микромасштабах, на характеристики потока. Из полученных решений следует нелинейный характер распределения давления и потока массы вследствие сжимаемости и молекулярных эффектов. Сжимаемость увеличивает поток массы, и этот эффект проявляется сильнее при большем отношении давлений на входе и выходе. Скольжение потока вдоль стенок канала приводит к еще большему увеличению скорости потока массы среды, более существенному при низких перепадах давления. Так, при большом перепаде давления сжимаемость среды вносит основной вклад в увеличение переноса массы, а при малом перепаде давления заметнее вклад скольжения потока вдоль стенок каналов в увеличение потока массы. Рассматривая нормальную к оси тока компоненту скорости, можно сделать вывод о дрейфе скорости и массы от центральной линии к стенкам вследствие закона сохранения массы. Дрейф развивается с продвижением среды по каналу ближе к выходу, где увеличивается проскальзывание потока относительно стенок, что сопровождается также ростом градиента давления. Полученные выражения для динамических переменных могут быть использованы для расчета скорости, распределения давления и потока массы в каналах различных конфигураций с учетом характерных для их масштабов физических эффектов, влияющих на перенос среды и динамику потока.

Далее в главе 3 изучаются распространение и перенос среды смешанных газов в пористых материалах за счет процессов молекулярной диффузии и вынужденной диффузии под внешним давлением. Построена двумерная модель переноса газа в пористой среде под действием градиентов концентрации и давления. Исследуется распределение в пространстве концентрации кислорода в бинарной смеси газов в процессе переноса массы газов и потоки газовой смеси в пористом материале диффузора. Проводится анализ влияния геометрических и физических свойств материала диффузора на перенос компонентов смеси. Проводится обобщение построенной двумерной модели переноса смеси газов на трехмерный случай. В качестве применения построенной схемы моделируется перенос кислорода в диффузоре водородного элемента питания с полимерным электролитом. Изучается перенос кислорода в составе газовой смеси воздуха и насыщенного водяного пара через пористый диффузор к каталитической поверхности. Рассматривается полное поглощение кислорода на катализаторе, сопровождаемое выделением водяного пара, конденсирующегося в диффузоре. Таким образом, моделируется перенос компоненты газовой смеси в порах в присутствии в ней жидкой воды. Рассматривается механизм удаления жидкости из пор за счет вынужденной конвекции под действием градиента давления. Проводится моделирование неоднородного распределения пористости материала, зависящего от локального значения градиента давления. Последний определяется как физическими параметрами задачи, так и геометрическими особенностями конфигураций каналов для тока смеси газов и водяного пара. В этом контексте разрабатываются новые конфигурации подводящих воздушную смесь каналов с целью максимального использования диффузии и вынужденной конвекции для доставки газовых реагентов к каталитической плоскости и выводу жидкости из пористого материала. Проводится сравнение предсказаний

построенной теоретической модели переноса компонент газовой смеси с экспериментальными данными. Отметим еще раз, что с точки зрения математического моделирования физического процесса имеем нетривиальную задачу, точное описание которой с учетом динамики развития всех составляющих процессов представляется крайне трудно выполнимым. Таким образом, решая задачу о моделировании комплекса физических процессов, мы должны использовать подходящий для описания и соответствующий целям исследования математический аппарат и идентифицировать соответствующий набор макропараметров, учитывающий основные особенности физической ситуации и эффективно описывающий все процессы, лежащие в основе наблюдаемых явлений. При этом желательно получить простое решение, имеющее понятный физический смысл с ясной ролью главных параметров сложных физических процессов и к тому же нацеленное на оптимизацию определенных технических решений. Решение этой задачи и описано в данном разделе. Выполнено моделирование эффективной пористости и извилистости пор введенной зависимостью от локального градиента давления для учета частичного заполнения водой пор диффузора в виде микрокапель. Продемонстрировано влияние этих эффектов на характеристики устройств, вырабатывающих электрический ток за счет электрохимической реакции водорода и кислорода, в которых применяются пористые мембраны для переноса газов.

Результаты, полученные с применением развитой нами модели переноса газовой смеси в условиях перепада давления и концентрации в пористом диффузоре в случае переноса кислорода к каталитическому слою, показали важность аналитического подхода при решении подобных задач. Продемонстрирован эффект локального насыщения диффузора газом при высоких значениях давления и его перепада, когда дальнейший рост давления не приводит к росту потока массы реагента в диффузоре.

Максимальный для данного набора параметров локальный поток реагирующей компонента смеси газов к поверхности реакции выражается трансцендентной функцией, связывающей физические и геометрические характеристики пористого диффузора и сети подводящих к нему газ каналов. Показано, что использование механизма вынужденной конвекции за счет существенного градиента давления, возникающего в предложенной нами новой конфигурации чередующихся каналов, которая совмещает преимущества змеевика и гребенчатой конфигурации, дает возможность поднять на 20-40% ограничение на максимальный ток, вырабатываемый на единице площади топливного элемента по сравнению с известной змеевидной конфигурацией каналов, подводящих газовые реагенты. С учетом проведенного моделирования неоднородного заполнения пор жидкой водой и ее удаления за счет сдвигового потока в диффузоре предлагается использовать более высокие давления и его перепад на выходе сети подающих газовые реагенты каналов.

В главе 4 внимание сосредоточено на физических явлениях, описываемых Стандартной моделью взаимодействий элементарных частиц, в частности, в ее электрослабом секторе. Проанализированы формы матриц смешивания — унитарных ЗхЗ-матриц, которые действуют на физические наблюдаемые массовые состояния кварков или нейтрино, трансформируя их в собственные состояния гамильтониана слабого взаимодействия — линейные суперпозиции массовых состояний. Обычно смешивание кварков описывается матрицей Кабиббо-Кобаяши-Маскава V, которая определена

так, что она действует на физические массовые состояния «нижних» кварков (<¿,$,¡0 с электрическим зарядом -е/3 и трансформирует их в новые собственные состояния слабого взаимодействия

(к. Уш V \ к

,1' = V* У. У,ь

У„ Кь) и,

На практике элементы матрицы смешивания могут быть определены на базе экспериментальных данных. Для этого используются данные о слабых распадах соответствующих кварков и анализ глубоко неупругого рассеяния нейтрино на адронах. Нарушению СР-симметрии в слабых процессах соответствует комплексная фаза у элементов матрицы смешивания и считается, что наблюдаемое нарушение СР-симметрии происходит исключительно за счет отличного от нуля значения этой фазы.

Нами предложены новые экспоненциальные параметризации матриц смешивания для кварков и для нейтрино, основанные на использовании операторной экспоненты:

К = е\ (39)

где А является матрицей 3x3 с дополнительными параметрами а и /?, которая может быть записана в следующей антиэрмитовой форме, чтобы обеспечить унитарность матрицы У:

Л =

О Л аХ2е" - Я 0 - 0Я1 /?Л3 О

(40)

причем параметр <5 отвечает за нарушение СР-симметрии, а параметр X за смешивание кварков. Показано, что новая параметризация является наиболее общей формой матрицы смешивания, из которой получаются все известные параметризации, и обсуждаются ее свойства. Проведено сравнение новой параметризации с генератором пространственных вращений в форме операторной экспоненты. Пренебрегая членом СР-нарушения и предполагая, что элементы матрицы А имеют действительные

значения, получим матрицу смешивания в форме, соответствующей пространственному вращению на угол Ф вокруг фиксированной оси, направление которой задано единичным вектором п = (п,,«,,",):

О -п. п,

М(п,Ф) = еФА', N = п. О-п -0

- п.

Если положить угол вращения Ф = 0, то смешивание между кварками исчезает, и матрица смешивания становится единичной матрицей 1. Наличие СР-нарушающей фазы разрушает эту симметрию, и пропадает описанная простая геометрическая картина смешивания. Обсуждается учет СР-нарушающей фазы в новой параметризации матрицы смешивания в контексте представления матрицы трехмерных вращений на определенный угол вокруг некоторой пространственной оси. Нарушение СР имеет свою геометрическую интерпретацию в экспоненциальной параметризации матрицы смешивания кварков. В частности, ^компонента вектора

направления вращения 5 в представлении угол-ось вращения в пространстве становится комплексной.

Продемонстрирована возможность генерации новых параметризаций матрицы смешивания с выделенным нарушающим СР-четность членом. Так, матрица А может бьггь представлена в виде суммы действительной и

комплексной частей:

-а?? рХ1 0 V /

удается выделить нарушение СР-четности в отдельном слагаемом РСР:

А = А, + А2.

При выборе в качестве Аг матрицы вращения:

'о Л аЛ*>

(42)

(43)

соэ 2Д 0 к" $т 2Д

Р=Р=е4" =

СР

(44)

к' эт 2Л 0 соб 2Л

д-вЛ'зпЛ к*-«*! (45)

Полученная новая матрица смешивания V = Ры ■ Р„ имеет такие же элементы, как и матрица V, по крайней мере, с точностью до Непосредственная проверка позволяет убедиться в унитарности матрицы V. Написанная выше СР-нарушаюшая матрица напоминает матрицу смешивания Кабиббо, действующую на кварки с! и Ъ с весом к для элементов (1,3) и (3,1):

(Ц^йсоъА + к^Ь&пА, (46)

6'= (¡г~^5тД + бсоБД. (47)

Такое преобразование сохраняет норму:

(<гК) = <6'|Ь') = 1, (48)

и ортогональность:

(4>') = {г>У'} = 0. (49)

Параметризация с операторной экспонентой позволяет выделить соответствующий нарушению СР вклад в разложении по функциям Бесселя и отделить СР-нарушаюшую часть, содержащую фазу 5, от остальных параметров в матрице смешивания следующим образом:

>(у) о

¿Л(2Л)Цу] 0 к* ¿7„(2Л)5т^-

о 1 О

к-рл^)^) 0 1?°(2Л)со{т)

(50)

где

Л = а А*. (51)

Существует эрмитово сопряженная матрица, она же обратная матрица для Рс?, такая, что выполнено следующее тождество:

ЪРс = I <52)

Аналогичные построения матриц можно провести и для нейтрино. Отличие от случая кварков состоит только в присутствии майорановских

фаз. Итак, экспоненциальная матрица нейтринного смешивания, унитарная по построению, задана следующим образом:

V-**, (53)

где аргумент экспоненты:

О Я, Л,е"'4

А =

-ке-

-к

(54)

Так как углы вп и порядка 1, мы не можем установить такую же иерархию, как в случае с кварками, где имеется единственный малый параметр Я, и было возможно задать Л, « X3 и Хг « Яг. Антиэрмитова форма

матрицы А обеспечивает унитарность матрицы нейтринного смешивания 17.

Параметр <5 отвечает за нарушение СР, а параметры л, регулируют

смешивание ароматов.

С помощью параметризации (53)-{54) можно генерировать новую параметризацию на основе экспоненциального представления с матричной экспонентой, которая унитарна и представляет нейтринное смешивание в виде произведения матриц:

в котором выделены матричные множители, отвечающие соответственно чистому вращению

Р= " = ехР

О Я ¡1 -Я О -V -цу О

нарушению СР:

(56)

(57)

А„ =

О 0 Д-1 + е*)' ООО О О

(58)

и майорановским фазам а, и а2:

Р = е , (59)

М,|г

где аргумент экспоненты задан матрицей

д./ 2 0 о'

А..

О аг/2 О О 0 0

(60)

Параметры вращательной часта (56) параметризации (55) определяют угол вращения Ф и единичный вектор оси вращения И следующим образом:

Ф = ±#+Я2+Тг. (62)

Сравнивая (41) с учетом (61), (62) с экспериментальными данными о смешивании нейтрино, получаем следующие значения для параметров экспоненциальной матрицы (56):

Л £ 0.5831,ц = -0.2415, V £ -0.7599. (63)

Новая параметризация наглядно демонстрирует дополнительность смешивания кварков и нейтрино. Из сравнения экспериментальных данных и трибимаксимальной формы матрицы смешивания получаем значение угла поворота Ф = 56'. Более того, вычисляя аналогично (61) компоненты единичного вектора оси вращения для экспоненциальной формы матрицы кваркового смешивания из экспериментальных, данных, получаем, что оси вращения для смешивания нейтрино и кварков составляют угол, близкий к 45 градусам. Этот факт является альтернативной формулировкой гипотезы дополнительности для углов смешивания кварков и нейтрино. Непосредственная проверка подтверждает унитарность матрицы

^МСР =

гг+ и -т (64)

^МСР^МСР 1 > 4 '

и всей экспоненциальной параметризации (55) матрицы смешивания нейтрино:

[TU = 7.

(65)

Действие матрицы смешивания на вектор нейтрино с определенными массами дает вектор нейтрино с определенными ароматами, выделяя вклад нарушающих СР членов для каждого типа нейтрино:

(66)

fio) (\ \\

К) = ми'ис, К)

н м

= -Fk) + G!v:> +НИ-

где М — матрица вращения в представлении угол-ось вращения и

М М

' sin 2д), а, = м. М„

■К ц *___ _ W

Д = и sin — , ЛТ* = it 2

м,

(67)

(68) (69)

Я = sin 2Д + Es eos 2д).

Формулы (67Н69) могут рассматриваться как своего рода вращение на угол 2Д, определенный CP-нарушающей фазой 5 с весами Н, к и их произведениями.

Итак, лептонное и кварковое смешивание имеют много общего — можно провести параллель между матрицами смешивания кварков и нейтрино в Стандартной модели. Экспоненциальная параметризация матрицы смешивания позволяет генерировать ее новые унитарные параметризации с выделенным нарушающим CP членом. Подобная параметризация может быть полезна при изучении вопросов нарушения симметрии во Вселенной, эволюция которой, по-видимому, проходила под воздействием нарушения CP-четности как в кварковом, так и в лептонном секторе.. Нарушение CP, учтенное при помощи дираковской фазы <5, может сочетаться с эффектом майорановских фаз a¡ в матрице нейтринного

смешивания. Их взаимное действие удобно изучать в экспоненциальном представлении матрицы смешивания, где выделен соответствующий матричный множитель, в котором произведено дальнейшее разделение влияния различных фаз в коэффициентах разложения в ряд по функциям Бесселя (ср. (50)). Точный анализ задачи о смешивании нейтрино с учетом всех СР-нарушающих членов может проводиться в стандартной параметризации, но он достаточно сложен, и не ведет к явному легко интерпретируемому результату. В то же время, с использованием предложенной в диссертации экспоненциальной параметризации матрицы смешивания легко трансформировать вектор состояний нейтрино, выделяя вклад нарушающих СР членов для каждого типа нейтрино, как продемонстрировано нами в формулах (ббН«)- Из вышесказанного заключаем, что экспоненциальное представление матрицы смешивания и полученные на ее основе результаты и интерпретации могут быть полезны при анализе и обработке данных по осцилляциям нейтрино в ведущихся в настоящее время и планируемых экспериментах.

В главе 5 представлены некоторые результаты исследования целого ряда радиационных эффектов в (2+1)-мерной квантовой электродинамике (КЭД) во внешнем поле при конечной температуре и плотности. Продемонстрирована возможность генерации члена Черна-Саймонса (ЧС) как за счет включения внешнего поля, так и за счет конечной температуры и плотности, а также проанализирована зависимость радиационного сдвига топологической массы фотона от напряженности поля и энергии фотона. Представлен расчет и дан анализ вероятности фотообразования электрон-позитронных пар во внешнем магнитном поле. Рассчитан радиационный сдвиг массы электрона как функция энергии электрона и напряженности магнитного поля, а также учтен вклад члена Черна-Саймонса в. Вычислена магнитная проницаемость двумерного электронного газа и показано, что член ЧС устраняет ее расходимость в слабых внешних полях.

Продемонстрировано возникновение щели в спектре электронов за счет конечной плотности электронного таза. При этом включение конечного члена ЧС устраняет щель и обеспечивает сходимость радиационного сдвига массы электрона при конечной температуре. С целью получения указанных выводов проведен детальный расчет поляризационного оператора фотона во внешнем магнитном поле. В частности, было проведено исследование случая относительно слабого поля и высоких энергий фотона: Я « Я0 = т'/е, а>>т. Сравнение результатов, полученных для упругого рассеяния фотонов для (2+1)-мерного случая, с результатами (3+1)-мерной электродинамики, показывает, что рост амплитуды процесса с увеличением параметра * = Я»/М при в (2+1)-мерии происходит по закону ,

в то время как в (3+1)-мерии амплитуда растет как *». В то же время в случае * «1 мнимая часть амплитуды рассеяния, определяющая сечение фоторождения е*е--пар, ведет себя в (2+1)-мерии как ¿»е"», а в (3+1)-мерии соответствующая предэкспонента равна Однако реальная часть амплитуды рассеяния фотона Г, которая дает радиационный сдвиг массы фотона д(т2) = 2<вИеГ, при /«1 пропорциональна что совпадает с

результатом (3+1)-мерной КЭД.

Рассчитано однопетлевое выражение для радиационного сдвига энергии электрона в основном состоянии Д*0в магнитном поле с учетом вклада тополошческого члена ЧС и была получена асимптотическая формула для эффективной магнитной восприимчивости двумерного электронного газа, где/ = Я/Я0. Сравнение полученных результатов для специального топологически тривиального случая 0 = 0 с соответствующими результатами в (3+1)-мерии выявляют следующие отличия в поведении магнитной восприимчивости Хм как функции полевого параметра /. В относительно слабом поле расходится логарифмически при / ^ 0, в то время как стремится к конечной

константе. В сильном поле Хм с ростом напряженности поля убывает быстрее, чем хм ■ с учетом конечной топологической массы в устраняется логарифмическая расходимость магнитной восприимчивости Хы в слабом поле (/->0), при этом «Ь(*/т). При конечной температуре и плотности учет члена ЧС в приводит к конечности электронного массового оператора уже в однопетлевом приближении, в то время как он расходится в инфракрасной области на массовой оболочке в случае отсутствия топологической массы в однопетлевом приближении (2+1)-мерной КЭД.

Представлены также результаты исследования влияния конечной температуры и плотности на радиационный сдвиг энергии электрона в топологически массивной (6*0) (2+1)-мерной КЭД:

дИ - Ги,[- е-,У,]-4

4т

(70)

где параметры у.(1 = 1,2,3,4) определены согласно

+ (71)

2тТ

4 ' ■! 2Я»81ПЯ5

= — • " - ъ) * = Г И + 2^) = К ■'

о<с«1, (72)

где

»-I ™

Был детально исследован случай полностью вырожденного электронного газа. В зарядово-симметричном случае электронная эффективная масса была проанализирована в пределе низких (Т « 0'/(2т)) и высоких (в « 2т « Т) температур. Оказалось, что температурный сдвиг массы при низких температурах отрицателен. Однако он мал по сравнению с вкладом безтемпературного слагаемого, определяемого топологической

массой фотона, и поэтому полная радиационная поправка к массе электрона оказывается положительной. С ростом температуры слагаемое Дт(Г) меняет знак и растет, так что в области высоких температур температурный вклад в сдвиг энергии электрона становится доминирующим. Более того, при в-лЪ закон дисперсии принимает вид Е2 = рг +еУ(8*). т. е. эффекты конечной плотности (м — химпотенциал) создают щель в спектре электрона. Однако при любом конечном значении в квадрат энергии ^(Р^О^-Х) и, по крайней мере, в однопетлевом приближении щель

уже не возникает.

Помимо указанных выше результатов, исследован также и такой принципиально важный вопрос, как возможность нарушения калибровочной инвариантности за счет однопетлевых поправок к калибровочному действию в (2+1)-мерных неабелевых калибровочных теориях при конечной температуре, а также возможность ее восстановления с учетом многопетлевых вкладов. Нами получено точное выражение для той части конечнотемпературного эффективного действия в пространстве размерности (2+1), которая индуцируется массивными фермионами, находящимися на фоне одновременно как абелевых, так и неабелевых калибровочных полей в специальной конфигурации, и которая приводит к нарушению Р-четности. Под специальной понимается такая конфигурация, в которой обеспечивается равенство нулю электрических и независимость

от времени магнитных полей.

Таким образом, можно сделать следующие общие выводы по исследованию эффектов понижения размерности в КЭД. Магнитные свойства фотонов при сокращении размерности пространства-времени с (3+1) до (2+1) существенно изменяются. Радиационный сдвиг массы электрона в магнитном поле и эффективная магнитная восприимчивость, т. е. магнитные свойства электронов, также принципиально изменяются при переходе от (3+1)-мерной к (2+1)-мерной КЭД. Учет конечности

топологической массы фотона 6*0 устраняет расходимость массового оператора электрона и магнитной восприимчивости, в то время как конечные температура и плотность способствуют проявлению новых физических эффектов, как, например, возникновение щели в спектре электронов. Последовательный учет всех многопетлевых диаграмм в эффективном действии неабелевого калибровочного поля в (2+1)-мерном пространстве-времени при конечной температуре обеспечивает сохранение калибровочной инвариантности нарушающей четность части действия.

Кроме того, в главе 5 изучено влияние сильного внешнего поля на ассоциативное рождение заряженными лептонами хиггсовских частиц с Ъ-бозонами. Поиск и исследование свойств хиггсовского бозона, масса которого является свободным параметром Стандартной модели электрослабых взаимодействий, является важной задачей современной физики. Константы взаимодействия хиггсовского бозона с другими частицами определяются массами этих частиц. Нами изучено сечение реакции е + уе + Ъ + Я при возможных различных значениях массы хиггсовского бозона. Показано, что в области высоких энергий, например, когда Е >1000 ГэВ, сечение указанного процесса процесса может существенно превосходить

сечение реакции е+ + е —» Z + Я.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации,

выносимые на защиту.

Основные результаты, полученные в диссертации:

1. На основе точных решений уравнений движения частиц с учетом внешних условий (магнитные поля, плотность среды, перенос вещества и др.) проведено моделирование явлений в различных областях физики — от физики окружающей среды, включая процессы переноса и распространение волн в коре Земли, до проблем физики высоких энергий, таких как Стандартная модель электромагнитных и слабых

взаимодействий, излучение быстро движущихся зарядов и радиационные эффекты, влияние внешних полей и плотности материи в пространстве пониженной размерности.

2. Получены точные аналитические решения для ондуляторного излучения в различных периодических магнитных полях сложной конфигурации. Эти решения точно описывают искажение спектра и уширение спектральных линий в реальных ондуляторах заданных конфигураций с учетом влияния внешнего поля — например, магнитного поля Земли или остаточного магнитного поля в ондуляторе. При этом использованы обобщения на случай многих переменных специальных функций типа Бесселя и Эйри. Для получения модифицированных специальных функций и полиномов многих переменных и индексов применены производящие функции и интегральные преобразования, широко использованы экспоненциальный оператор и специальные функции на основе экспоненты и интегралов, ее содержащих.

3. Показано, что на основе разработанного подхода можно получить аналитические решения практически для любого ондулятора со сколь угодно сложной конфигурацией периодического поля с различными искажениями.

4. Проведено моделирование распространения волн с учетом начальных напряжений в земной коре, моделирование газовых потоков, переноса массы и момента газов с учетом молекулярных эффектов, диффузионных процессов в многокомпонентной смеси с возможным присутствием жидкой фазы. Рассмотрены технологические применения построенных моделей в современных альтернативных источниках электроэнергии, таких как водородные топливные элементы.

5. Предложены новые экспоненциальные параметризации кварковой и нейтринной матриц смешивания в Стандартной модели элементарных частиц. С использованием операторной экспоненты показано, что все

известные параметризации содержатся в новой параметризации, которая, таким образом, является наиболее общей формой матрицы смешивания. Обсуждаются ее свойства и демонстрируется возможность генерации на ее основе новых параметризаций с выделенным матричным множителем, нарушающим СР-четностъ.

6. Обсуждается учет СР-нарушающей фазы в новой экспоненциальной параметризации матрицы смешивания в контексте представления матрицы трехмерных вращений на определенный угол вокруг заданной оси. Проведено сравнение новой параметризации с генератором пространственных вращений в форме операторной экспоненты. Показано, как параметризация с операторной экспонентой дает геометрическую интерпретацию СР-нарушающей фазы и позволяет выделить соответствующий вклад в разложении по функциям Бесселя. Новая параметризация также наглядно демонстрирует дополнительность смешивания кварков и нейтрино.

7. Методами квантовой теории поля изучено влияние понижения размерности пространства-времени и сильного внешнего поля на вакуумные эффекты в квантовой электродинамике и теории полей Янга-Миллса в (2+1)-мерном случае с топологическим членом Черна-Саймонса. Рассчитан радиационный сдвиг энергии электрона во внешнем магнитном поле в пространстве пониженной размерности с учетом слагаемого Черна-Саймонса и поляризационный оператор фотона, а также вероятность распада фотона на электрон-позитронную пару.

8. Исследовано влияние сильного внешнего поля на ассоциативное рождение заряженными лептонами хиггсовских частиц с г-бозонами. Изучено влияние конечной температуры и плотности материи на собственную энергию электрона в топологически массивной (2+1)-мерной теории поля. Отдельно рассмотрен вопрос о части действия,

нарушающей Р-четность, в рамках Эи(2)>Ш(1)-калибровочной теории поля при конечной температуре.

Список публикаций автора по теме диссертации

[1]. G. Dattoli, V. V. Mikhailin, P. L. Ottaviani, К. V. Zhukovsky, Two frequency undulalor and harmonic generation by an ultrarelativistic electron, J. Appl. Phys. 100 (2006) 084507.1 -084507.12.

[2]. К. В. Жуковский, В. В. Михайлин, Двухчастотный ондулятор и генерация гармоник ультрарелятивистским электроном, Вестник Моск. ун-та. Физика. Астрономия, 2 (2005) 41-47.

[3]. G. Dattoli, V. V. Mikhailin, 1С Zhukovsky, Undulator Radiation in a Periodic Magnetic Field with a Constant Component, J. Appl. Phys. 104 (2008) 124507.1 - 124507.8.

[4]. Д. Даттоли, К. В. Жуковский, В. В. Михайлин, Влияние постоянного магнитного поля на излучение плоского ондулятора, Вестник Моск. унта. Физика. Астрономия, 5 (2009) 33-38.

[5]. А. С. Вшивцев, К. В. Жуковский, Е. М. Чесноков, Влияние исходно неоднородного напряжения на упругие характеристики изотропного тела, Физика Земли, 5 (1995) 65-72.

[6]. К. В. Жуковский. Течение газовых потоков в длинных микроканалах, Вестник Моск. ун-та. Физика. Астрономия, 3 (2001) 49-54.

[7]. К. В. Жуковский, В. Ч. Жуковский, Трехмерная модель кислородно-азотного переноса в пористом диффузоре водородного топливного элемента с полимерным электролитом, Вестник Моск. ун-та. Физика. Астрономия, 5 (2002) 23-30.

[8]. К. V. Zhukovskii, Three Dimensional model ofgas transport in a porous diffuser of a polymer electrolyte fuel cell, AIChE J., 49, No. 12 (2003) 30293036.

[9]. К. V. Zhukovskii, A. Pozio, Maximum current limitations of the РЕМ fuel cell with serpentine gas supply channels J. Power Sources, 130, Issue 1-2

(2004) 95-105.

[10]. К. V. Zhukovskii, Modelling of the Current Limitations ofPEFC, AIChE J., 52, No.7 (2006) 2356-2366.

[11]. K. Zhukovsky, Mathematical modelling of the high-current regime of PEFCs, Recent Research Developments in Electrochemistry, 8 (2005) 301326; ISBN81-7895-183-5 Transworld Research Network 37/661(2), Port P.O., Trivandrum-695 023, Kerala, India.

[12]. G. Dattoli, K. Zhukovsky, Quark Flavour Mixing and the Exponential Form of the Kobayashi-Maskawa Matrix, Eur. Phys. J. C, 50 (2007), 817821.

[13]. К. В. Жуковский, Д. Датголи, Смешивание кварков и экспоненциальная форма матрицы Кабиббо-Кобаяши-Маскава, ЯФ, 71, № 10 (2008) 1838-1844.

[14]. G. Dattoli, К. Zhukovsky, Quark Mixing in the Standard Model and the Space Rotations, Eur. Phys. J. C, 52, N3 (2007) 591-595.

[15]. G. Dattoli, K. Zhukovsky, Neutrino Mixing and the Exponential Form of the Maki-Nakagaw-Sakata Matrix, Eur. Phys. J. C, 55, N 4 (2008) 547-552.

[16]. В. Ч. Жуковский, А. С. Разумовский, К. В. Жуковский, Вакуумные эффекты в квантовой электродинамике и теории полей Янга-Миллса в (2+\)-мерном пространстве-времени, Изв. вузов (Поволжский Регион), 2 (2003) 80-107 (arXiv:hep-th/0402070v2 N 2).

[17]. В. Ч. Жуковский, А. С. Разумовский, К. В. Жуковский, А. М. Федотов, Действие, нарушающее четность, в SU(2)xSU(l) калибровочной модели при конечной температуре, Вестник Моск. ун-та. Физика. Астрономия, 2 (2003) 27-30.

[18]. П. А. Эминов, К. В. Жуковский, К. Г. Левченко, Ассоциативное рождение хиггсовских бозонов и Z-бозонов заряженными лептонами в сильных внешних полях, ЖЭТФ, 113 (1998) 1979-1990.

[19]. К. В. Жуковский, П. А. Эминов, Ассоциативное рождение хиггсовских

бозонов лептонами в поле электромагнитной волны, Вестник Моск. унта. Физика-Астрономия, 2 (1997) 57-58.

[20].И. М. Тернов, А. В. Борисов, К. В. Жуковский, Радиационный сдвиг энергии основного состояния электрона в постоянном магнитном поле в (2+1)-мерной квантовой электродинамике, Вестник Моск. ун-та. Физика. Астрономия, 1 (1997) 71-72.

[21]. К. V. Zhukovsky, P. A. Eminov, Electron Self-Energy in (2+1) Topologicalfy Massive QED at Finite Temperature and Density, Phys. Lett. B, 359 (1995) 155-158.

[22]. К. В. Жуковский, П. А. Эминов, Собственная энергия электрона в топологически массивной (2+\)-мерной квантовой электродинамике при конечной температуре и плотности, Изв.вузов. Физика, 5 (1995) 61-65.

[23]. К. В. Жуковский, П. А.. Эминов, Поляризационный оператор и амплитуда упругого рассеяния фотона в (2+\)-мерной квантовой электродинамике в постоянном магнитном поле, ЯФ, 59, № 7 (1996) 1265-1269.

[24].V. V. Mikhailin, К. V. Zhukovsky, Two-Frequency Undulator and Harmonic Generation of an Ultrarelativistic Electron, in "Particle Physics at the Year of 250 Anniversary of Moscow University" (Proceedings of the 12th Lomonosov Conference on Elementary Particle Physics), ed. by A.I. Studenikin (World Scientific, Singapore, 2006), p. 393-397.

[25].G. Dattoli, K. Zhukovsky, Quark mixing in the Standard Model and the Space Rotations, in "Particle Physics on the Eve of LHC" (Proceedings of the 13lh Lomonosov Conference on Elementary Particle Physics), ed. by A.I. Studenikin (World Scientific, Singapore, 2009), p. 347-350.

[26]. G. Dattoli, K. Zhukovsky, Exponential form of the Mixing Matrix in the Lepton Sector of the Standard Model, in "Particle Physics at the Year of

Astronomy" (Proceedings of the M"1 Lomonosov Conference on Elementary Particle Physics), ed. by A.I. Studenikin (World Scientific, Singapore, 2010), p. 425^128.

[27]. K.V Zhukovskii, P. A. Eminov, Photon polarization operator and photon elastic scattering amplitude in (2+1) QED in a constant magnetic field, in "Problems of Fundamental Physics" (Proceedings of the 7th Lomonosov Conference on Elementary Particle Physics), ed. by A.I. Studenikin (URSS, Moscow, 1997), p. 85-89.

[28].G. Dattoli, H. M. Srivastava, K. V. Zhukovsky, Orthogonality properties of the hermite and related polynomials, J. Comp. Appl. Math. 182, Issue 1

(2005) 165-172.

[29].G. Dattoli, H. M. Srivastava, K. V. Zhukovsky, A new family of integral transforms and their applications, Integral Transform Spec. Funct., 17, N1

(2006)31-37.

[30].G. Dattoli, H. M. Srivastava, K. V. Zhukovsky, Operational methods and Differential Equations with Applications to Initial-Value problems, Appl. Math. Comput. 184, (2007) 979-1001.

[31].G. Dattoli, K. V. Zhukovsky Appel Polynomial Series Expansion, Int. Math. Forum 5, N14 (2010) 649-662.

[32].P. Blasiak, G. Dattoli, A. Horzela, K. A. Penson, K. Zhukovsky, Motzkin numbers, central trinomial coefficients and hybrid polynomials, J. Integer Seq. 11 (2008) Article 08.1.1,1-11.

[33].G. Dattoli, M. Migliorati, K. V. Zhukovsky, Summation Formulae and Stirling Numbers, Int. Math. Forum, 4, N41 (2009) 2017-2040.

[34].G. Dattoli, K. V. Zhukovsky, Evolution of time dependent linear potentials and non-spreading Airy wave packets, Appl. Math. Comput. 217 (2011) 7966-7974.

Подписано к печати 4 1)7. Н Ттрис Ж-

Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Жуковский, Константин Владимирович

Введение

1. Развитие математических методов решения уравнений для анализа физических моделей

1.1. Операторные методы, полиномы Эрмита и родственные полиномы

1.2. Операторный метод и новое семейство интегральных преобразований - применение к дифференциальным уравнениям с

- начальными условиями

1.3. Операторные методы и интегральные преобразования -применение к избранным задачам с начальными условиями

1.4. Полиномы Аппеля и разложение в ряды по ним

1.5. Гибридные полиномы, числа Моцкина й старший коэффициент трехчлена

1.6. Формулы суммирования и числа Стирлинга

1.7. Эволюция нерасплывающихся волновых пакетов Эйри и линейные потенциалы, зависящие от времени

2. ондуляторное излучение в полях сложной конфигурации

2.1. Генерация гармоник ультрарелятивистским электроном в двухчастошом ондуляторе

2.2. Плоский бигармонический двухчАстотный ондулятор и генерация гармоник

2.3. ондуляторное излучение в периодическом магнитном поле с постоянной составляющей

2.4. Излучение плоского ондулятора в сложном магнитном поле с двухкомпоненгной непериодической составляющей

3. Процессы распространения волн в среде и переноса вещества

3.1. Влияние начально-неоднородных напряжений на упругие характеристики изотропного тела (применение к физике Земли)

3.2. Молекулярные эффекты в динамике потока в длинных микроканалах

3.3. Трехмерная модель переноса газов в пористых материалах (применение к водородному элементу питания с полимерной электролитической мембраной)

3.4. Улучшенная модель переноса кислорода и разработка новых

КОНФИГУРАЦИЙ для ГАЗОВЫХ ПОТОКОВ В ВОДОРОДНОМ топливном элементе с полимерной мембраной

3.5. Модель процессов переноса в пористом материале с жидкостью и разработка новых конфигураций для газовых потоков (применение к водородному топливному элементу с полимерным электролитом)

4. Операторный метод в модели электромагнитных и слабых взаимодействий

4.1. Смешивание кварков и экспоненциальная форма матрицы Кабиббо-Кобаяши-Маскава

4.2. Смешивание кварков в Стандартной модели и пространственные вращения

4.3. Смешивание нейтрино и экспоненциальная форма матрицы Понтекорво-Маки-Накагава-Саката

5. Процессы электромагнитных и слабых взаимодействий в пространстве пониженной размерности и во внешних полях

5.1. Основные уравнения квантовой электродинамики в пространстве с размерностью (2+1)

5.2. Поляризационный оператор фотона в (2+1)-мерной квантовой электродинамике

5.3. Радиационный сдвиг энергии электрона в (2+1)-мерной квантовой электродинамике

5.4. Действие, нарушающее четность, в SU(2)xU(1)-kbантовой теории при конечной температуре

5.5. Ассоциативное рождение хиггсовского бозона лептонами в поле электромагнитной волны

5.6. Влияние внешнего поля, конечной температуры и плотности на радиационные поправки в (2+1)-мерной квантовой электродинамике и теории Янга-Миллса

Введение диссертация по физике, на тему "Операторные методы исследования процессов излучения, переноса и взаимодействия частиц"

В последние годы развитие науки и технологии потребовало разработки новых источников синхротронного излучения (СИ) и лазеров на свободных электронах (ЛСЭ). Это определило повышенный интерес к исследованию излучения ультрарелятивистских частиц, движущихся во внешних магнитных полях. Дальнейшее развитие техники ускорителей и сферы применения синхротронного и ондуляторного излучений требует более строгого и математически выверенного описания их свойств с учетом особенностей источников излучения. В настоящей диссертации получены аналитические решения на основе модифицированных специальных функций, учитывающие влияние ондуляторных параметров, а также дополнительных полей, например, магнитного поля Земли или остаточного магнитного поля в ондуляторе. Полученные решения позволяют проанализировать вклад каждой» из компонент поля и вынести практические рекомендации по улучшению конструкции,* компенсации искажений спектра и изменению параметров устройств с целью подавления нежелательных гармоник и усиленной генерации нужных частот.

Похожая ситуация, требующая применения и, развития современных аналитических методов теоретических- расчетов, складывается1 и в других областях науки и техники. Действительно, с одной стороны, В' связи с возросшими возможностями вычислительной техники моделирование различных процессов и явлений как в фундаментальной науке, так и в ее прикладных отраслях часто проводится с помощью численных методов. При этом можно получить численное или соответствующее графическое описание поведения системы. Тем не менее, для глубокого понимания происходящих явлений и правильного объяснения и описания исследуемых процессов необходимо рассмотреть аналитические решения.

В связи с этим в диссертации отдельная глава посвящена развитию теоретических методов на основе операторного подхода, включающих разложение в ряды по полиномам Эрмита, функциям Бесселя и Эйри. Новые, расширенные и модифицированные формы этих функций, как показано в диссертации, особенно полезны при рассмотрении физических проблем, связанных с движением и излучением заряженных частиц во внешнем электромагнитном поле. Для решения широкого круга задач используются экспоненциальный оператор и специальные функции на основе экспоненты и интегралов, ее содержащих. В работе также подчеркнута необходимость и полезность аналитического подхода к решению проблем в физике и в прикладных отраслях при моделировании физических явлений, включая технологические проблемы с учетом вопросов охраны окружающей среды.

Хорошо известно, что при построении моделей физических систем и анализе связанных с ними процессов на основе методов теоретической физики удается получить аналитические результаты с помощью точных решений как классических, так и квантовых уравнений движения. Достаточно вспомнить ставшие уже классическими работы А. А. Соколова и И. М. Тернова, Н. Б. Нарожного, А. И. Никишова и А. И. Ритуса по теории синхротронного излучения (см., например, [1]) и связанных с ним квантовых процессов. Подчеркнем, что подобные решения выражаются через различные специальные функции или ряды. Часто при решении проблем, связанных с излучением и взаимодействием релятивистских заряженных частиц, возникают обобщенные формы специальных функций и полиномов. Их применение позволяет аналитически решать такие задачи, в которых обычно приходилось ограничиваться численными методами. Точные компактные аналитические решения, полученные с применением операторного метода, специальных функций, интегральных и дифференциальных преобразований позволили нам в данной диссертации выделить и проанализировать вклады отдельных физических факторов в различные физические явления, такие как, например, упомянутая выше проблема излучения ондуляторов, а также целый ряд проблем как физики высоких энергий, так и окружающей среды, рассмотренных в диссертации, например, моделирование процессов переноса массы и момента газов в многокомпонентной смеси с учетом молекулярных эффектов, изучение физических явлений в современных устройствах альтернативных источников электроэнергии, таких как водородные топливные элементы, задача о распространении волн в твердом теле с учетом начальных напряжений в земной коре и др.

Как известно, в последние годы были предложены различные обобщения Стандартной модели электрослабых взаимодействий. Например, В. Г. Кадышевским [2] было предложено введение в теорию новой физической постоянной (фундаментальной массы), связанной с радиусом кривизны импульсного 4-пространства Лобачевского. В то же время были разработаны новые эффективные методы расчета параметров элементарных частиц и их распадов в рамках Стандартной модели. Отметим здесь применение КХД-мотивированной релятивистской кварковой модели, развиваемой Р. Н. Фаустовым с сотрудниками и основанной на явно релятивистской трехмерной формулировке квазипотенциального метода Логунова-Тавхелидзе. При этом большое значение придается дальнейшему развитию и уточнению методов описания свойств элементарных частиц и их взаимодействий в рамках Стандартной модели, в которой важную роль играют матрицы кваркового смешивания V и нейтринного смешивания и, которые ответственны за различие между массовыми состояниями кварков и нейтрино и теми их состояниями, которые участвуют в слабом взаимодействии. Нарушению СР-симметрии соответствует комплексная фаза у элементов матрицы смешивания. Нами предложена новая экспоненциальная параметризация матриц смешивания для кварков и для нейтрино, основанная на использовании операторной экспоненты. Показано, что она является наиболее общей формой матриц смешивания, на основе которой получаются все известные параметризации. Подобная параметризацияможет быть полезна при изучении вопросов нарушения симметрии во Вселенной, эволюция которой, по-видимому, проходила под воздействием нарушения СР-четности как в кварковом, так и в лептонном секторе. Отметим; что параметризация с операторной экспонентой- дает геометрическую интерпретацию СР-нарушающей фазы, позволяет генерировать новые параметризации с выделенным нарушающим СР-четность матричным множителем и выделить соответствующий вклад в разложении по функциям Бесселя. Она также демонстрирует дополнительность смешивания кварков и нейтрино и позволяет продвинуться в поиске новых общих симметрий во Вселенной.

Низкоразмерные модели квантовой теории поля привлекли большое внимание благодаря целому ряду открытий, сделанных в конце 70-х — начале 80-х годов прошлого века. Упомянем лишь открытие целочисленного эффекта Холла, сделанное К. фон Клитцингом с сотрудниками в 1980 г., после чего подобные модели в (2+1)-мерном пространстве приобрели особенную популярность. В последнее время была выяснена тесная связь между предсказаниями низкоразмерной квантовой теории поля и целым рядом необычных эффектов, обнаруженных экспериментально в физике конденсированного состояния вещества. В диссертации на основе развитого теоретического подхода с учетом влияния сильного внешнего поля и конечной температуры проводится изучение влияния понижения размерности пространства-времени на вакуумные эффекты в квантовой электродинамике и теории полей Янга-Миллса.

Таким образом, настоящая диссертация посвящена решению широкого спектра физических задач — от проблем физики окружающей среды до физики высоких энергий на основе развитых нами теоретических методов, основанных на операторном подходе.

Заключение диссертации по теме "Теоретическая физика"

5.6.2. Выводы по исследованию радиационных эффектов в (2+1)-мерной квантовой электродинамике

Таким образом, можно сделать следующие общие выводы. Магнитные свойства фотонов при сокращении размерности пространства-времени с (3+1) до (2+1) существенно изменяются. Точно так же радиационный сдвиг массы электрона в магнитном поле и эффективная магнитная восприимчивость, т. е. магнитные свойства электронов, принципиально изменяются при переходе от (3+1)-мерной к (2+1)-мерной КЭД. Учет конечности топологической массы фотона в Ф О устраняет расходимость массового оператора электрона и магнитной восприимчивости, в то время как конечные температура и плотность способствуют проявлению новых физических эффектов, как например, возникновение щели в спектре электронов.

Последовательный учет всех многопетлевых диаграмм в эффективном действии неабелевого калибровочного поля в (2+1)-мерном пространстве-времени при конечной температуре обеспечивает сохранение калибровочной инвариантности нарушающей четность части действия. Данное утверждение удалось доказать для некоторых специальных конфигураций калибровочных полей.

Заключение

Подводя итоги, перечислим основные результаты, полученные в диссертации:

1. Проведено исследование широкого спектра физических задач — от проблем теории излучения ондуляторов с учетом сложной конфигурации используемых в реальных приборах магнитных полей до задач физики окружающей среды и физики высоких энергий на основе развитого теоретического подхода, базирующегося на операторном методе с широким использованием расширенных и модифицированных форм полиномов и специальных функций.

2. Построена теория движения и излучения заряженных частиц в ондуляторах с составными конфигурациями магнитных полей, отвечающими реальной экспериментальной ситуации.

3. Для этой цели в работе развит новый теоретический подход на основе операторного метода, включающий экспоненциальный оператор и специальные функции на основе экспоненты и интегралов, ее содержащих, разложение в ряды по полиномам и специальным функциям, учитывая их расширенные и модифицированные формы. Для получения модифицированных специальных функций и полиномов многих переменных и индексов применены производящие функции и соответствующие интегральные преобразования.

4. С помощью разработанного в диссертации метода получены точные аналитические решения для ондуляторного излучения в различных периодических полях сложной конфигурации. Эти решения точно описывают искажение спектра и уширение спектральных линий в реальных ондуляторах заданных конфигураций с учетом влияния внешнего поля — например, магнитного поля Земли или остаточного магнитного поля в ондуляторе. Указано, что на основе разработанного подхода можно получить аналитическое решение практически для любого ондулятора, учитывающее, кроме того, и различные искажениями его периодического поля.

5. Новые результаты, полученные в диссертации на основе развитого теоретического метода при исследовании ондуляторного излучения в магнитных полях сложной составной конфигурации, имеют первостепенное значение для разработки новых источников излучения.

6. С использованием развитого операторного подхода, получены решения дифференциальных и интегральных уравнений, моделирующих явления в различных областях физики — от физики окружающей среды до проблем физики высоких энергий.

7. Проведено моделирование распространения волн в твердых телах. Развитая теория может иметь непосредственное отношение к практически важной проблеме распространения сейсмических возмущений с учетом начальных напряжений в земной коре.

8. Проведено моделирование газовых потоков, переноса массы и момента газов с учетом молекулярных эффектов, диффузионных процессов в многокомпонентной смеси с возможным присутствием жидкой фазы.

9. Рассмотрены технологические применения построенных моделей в современных альтернативных источниках электроэнергии. Разработанная модель газовых потоков и диффузионных процессов может иметь применение при моделировании физических явлений в современных устройствах, таких как водородные топливные элементы, а также для дальнейшего их совершенствования.

10. С использованием операторной экспоненты предложена новая экспоненциальная параметризация матрицы смешивания для кварков и для нейтрино в Стандартной модели. Показано, что все известные параметризации содержатся в новой параметризации, которая, таким образом, является наиболее общей формой матрицы смешивания. Обсуждаются ее свойства и демонстрируется возможность генерации на ее основе новых параметризаций с выделенным членом, нарушающим СР-четность.

11. Рассмотрена роль СР-нарушающей фазы в новой экспоненциальной параметризации матрицы смешивания в контексте представления матрицы трехмерных вращений на определенный угол вокруг заданной оси. Проведено сравнение новой параметризации с генератором пространственных вращений в форме операторной экспоненты. Показано, как параметризация с операторной экспонентой дает геометрическую интерпретацию СР-нарушающей фазы и позволяет выделить соответствующий вклад в разложении по функциям Бесселя. Новая параметризация также наглядно демонстрирует дополнительность смешивания кварков и нейтрино. Предложенная новая экспоненциальная параметризация матриц смешивания для кварков и для нейтрино в рамках Стандартной модели, основанная на использовании операторной экспоненты, может быть использована при анализе процессов взаимодействия элементарных частиц.

12. Методами квантовой теории поля, изучено влияние понижения размерности пространства-времени и сильного внешнего поля на вакуумные эффекты в квантовой электродинамике и теории полей Янга-Миллса в (2+1)-мерном случае с топологическим членом Черна-Саймонса. Рассчитан радиационный сдвиг энергии электрона во внешнем магнитном поле в пространстве пониженной размерности с учетом слагаемого Черна-Саймонса и поляризационный оператор фотона, а также вероятность распада фотона на электрон-позитронную пару (у —> е+ е-).

13. Исследовано влияние сильного внешнего поля на ассоциативное рождение заряженными лептонами хиггсовских частиц с 7-бозонами. Изучено влияние конечной температуры и плотности материи на собственную энергию электрона в топологически массивной (2+1)-мерной теории поля. Отдельно рассмотрен вопрос о части действия, нарушающей четность, в рамках 8и(2)хи(1)-калибровочной теории поля при конечной температуре.

14. При решении поставленных в диссертации задач подчеркнута необходимость дальнейшего использования, наряду с численными методами, аналитического подхода к решению проблем в физике и в прикладных отраслях при моделировании физических явлений. Показано, что применение соответствующего математического аппарата при анализе физических явлений может обеспечивать оптимальное решение физических и технологических проблем во многих областях науки и техники. Можно надеяться, что результаты диссертации могут существенно дополнить содержание учебных курсов, в частности, по теории синхротронного и ондуляторного излучения, теории фундаментальных взаимодействий элементарных частиц и другим затронутым в ней разделам теоретической физики.

Автор благодарит профессора В.В. Михайлина, профессора А.Н. Васильева и ведущего научного сотрудника А.Е. Лобанова за полезные советы и обсуждение работы. Хотелось бы выразить особую благодарность профессору A.B. Борисову за многочисленные ценные замечания и конструктивные советы в ходе подробного обсуждение результатов работы.

Список источников диссертации и автореферата по физике, доктора физико-математических наук, Жуковский, Константин Владимирович, Москва

1. А. А. Соколов, И. М.Тернов, Релятивистский электрон, Наука, Москва, 1974.

2. В.Г. Кадышевский, В.Н. Родионов, ТМФ 136, N3 (2003) 517-528.

3. A. Appell and J. Kampé de Fériet, Fonctions Hypergéométriques et Hypersphériques; Polynômes d'Hermite, Gauthier-Villars, Paris, 1926.

4. G. Dattoli, H. M. Srivastava and K. Zhukovsky, J. Comput. Appl. Math. 182 (2005) 165.

5. G. Dattoli, H. M. Srivastava and K. Zhukovsky, Integral Transform. Spec. Fund. 17 (2006)31.

6. G. Dattoli, J. Comput. Appl. Math. 118 (2000) 111.

7. H. M. Srivastava and H. L. Manocha, A Treatise on Generating Functions, Halsted Press (Ellis Horwood Limited, Chichester), John Wiley and Sons, New York, Chichester, Brisbane and Toronto, 1984.

8. A. Erdélyi, W. Magnus, F. Oberhettinger and F. G. Tricomi, Higher Transcendental Functions, Vol. П, McGraw-Hill Book Company, New York, Toronto and London, 1953.

9. D. T. Haimo and C. Markett, J. Math. Anal. Appl. 168 (1992) 89.

10. D. T. Haimo and C. Markett, J. Math. Anal. Appl. 168 (1992) 289.

11. H. W. Gould, C. Markett, Duke Math.J. 29 (1962) 51.

12. G. Dattoli, B. Germano and E. Ricci, Integral Transform. Spec. Funct. 17 (2006) 15.

13. G. Dattoli, H. M. Srivastava, К. V. Zhukovsky, Appl. Math. Comput. 184 (2007) 979.

14. G. Dattoli, P. L. Ottaviani, A. Torre and L. Vázquez, Riv. Nuovo Cimento 20, N2 (1997) 1.

15. J. Kondo, Integral Equations, Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series, Clarendon (Oxford University) Press, Oxford, London and New York, 1991.

16. G. N. Watson, A Treatise on the Theory ofBessel Functions, Second Edition, Cambridge University Press, Cambridge, London and New York, 1944.

17. L. C. Andrews, Special Functions for Engineers and Applied Mathematicians, Macmillan, New York, 1985.

18. G. Dattoli, B. Germano and E. Ricci, Appl Math. Comput. 154 (2004) 219.

19. G. Doetsch, Handbuch der Laplace-Transformation, Verlag Birkhauser, Basel, 1950.

20. K. B. Oldham and J.Spanier, Mathematics in Science and Engineering, Vol. Ill, Academic Press, New York and London, 1974.

21. A. Wiincshe, J. Phys. A: Math. Gen. 31 (1998) 8267.

22. A. Wiincshe, J. Phys. A: Math. Gen. 32 (1999) 3179.

23. W. Wyss, Fract. Calc. Appl. Anal. 3 (2000) 51.

24. F. Gori, Opt. Commun. 107 (1994) 335.

25. G. Dattoli and M. Migliorati, Int. J. Math. & Math Sci. 10 (2006) article ID 98175, 1.

26. G. Dattoli, J. Math. Anal. . &Appl. 284, N2,15 (2003) 447.

27. K. Douak, Int. J. Math. & Math. Sci. 22 (1999) 29.

28. G. Dattoli, K.V.Zhukovsky, Int. Math. Forum 5, N14 (2010) 649.

29. M. Abramowitz and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover, 1972.

30. M. Aigner, Eurocmp. J. Combin. 19 (1998) 663.

31. E. Barcucci, R. Pinzani, R. Sprugnoli, Pure Math. Appl. Ser. A 2 No. 3-4 (1991) 249279.

32. G. E. Andrews and R. J. Baxter, J. Stat. Phys. 47 (1987) 297.

33. G. Dattoli, S. Lorenzutta, A. M. Mancho and A. Torre, J. Comput. Appl. Math. 108 (1999)209.

34. G. Dattoli, H. M. Srivastava andC. Cesarano, Appl. Math. Comput. 124 (2001) 117.

35. J. Kondo, Integral Equations, Clarendon Press, 1991.

36. M. Petkovsek, H. S. Wilf and D. Zeilberger, A=B, A. K. Peters Ltd., 1996.

37. D. Romik, J. Integer Seq. 6 (2003) 03.2.4. 1.

38. A. Prudnikov, Y. A. Brychkov and O. I. Marichev, Integrals and Series: More Special Functions, Vol. 3, Gordon and Breach, 1986.

39. N. J. A. Sloane, Encyclopaedia of Integer Sequences, http://www.research.att.com/ ~njas/sequences, 2007.

40. P. Blasiak, G. Dattoli, A. Horzela, K. A. Penson and K. Zhukovsky, J. Integer Seq. 11, 2008 08.1.1. 1.

41. J. L. Burchnall, and T. W. Chaundy, Quart. J. Math., Oxford series 12, N9 (1941) 112.

42. G. Dattoli, II Nuovo Cimento 119B, 5 (2004) 479.

43. G. Dattoli, S. Lorenzutta and A. Torre, Acc. Sc. Torino-Acc. Sc. Fis. 134 (2000) 231.

44. G. Dattoli and A. Torre, " Theory and Application of Generalized Bessel Functions" Aracne Editrice Rome, 1996.

45. W. Lang, J. Integer Seq. 3 (2000) 00.2.4 1.

46. K. A. Penson, P. Blasiak, G. Duchamp, A. Harzela and A. I. Solomon, J. Phys. A, Math. Gen. 37 (2004) 3475.

47. J. M. Sheffer, Duke Math. J. 5, N3 (1939) 590.

48. J. M. Sheffer, Bull. Amer. Math. Soc. 51, (1945) 739.

49. Shy-Der Lin, Shih-Tong Tu and H. M. Srivastava, Rend. Sem. Univ. Pol. Torino, 59 (2001) 199.

50. G. Dattoli, M. Migliorati, K.Zhukovsky, Int. Math. Forum 4, N41 (2009) 2017.

51. O. Vallée and M. Soares, Airy Functions and Application to Physics, World Scientific London (2004).

52. J. S. Mondragon and K. B. Wolf (eds.) Lie Methods in Optics, Springer-Verlag (1986).

53. M. V. Berry and N. J. Balazs, Am. J. Phys. 47 (1979) 264.

54. M. Feng, Phys. Rev. A 64 (2001) 034101.

55. C. Lung Lin, T. Chih Hsiung and M. Jie Huang, EPL 83 (2008) 30002.

56. K. B. Wolf, Integral Transform in Science and Engineering, New York Plenum Press (1979).

57. G. Dattoli, S. Khan and CTP. E. Ricci, Int. Trans. Spec. Functions, 19 (2008) 1.

58. D. V. Widder, Am. Math. Monthly, 86, (1979) 271.

59. G. Dattoli, Appl. Math. Comput. 141, (2003) 151.

60. G. Dattoli, J. Math. Anal. Appl, 284, (2003) 447.

61. P. C. Rosenbloom and D. V. Widder, Trans. Am. Math. Soc. 92 (1959) 220.

62. J. E. Avron and I. W. Herbst, Commun. Math. Phys 52 (1977) 239.

63. G. Dattoli, K. Zhukovsky, Appl. Math. Comput. 217 (2011) 7966.

64. I. M. Ternov, V. V. Mikhailin, V. R. Khalilov, Synchrotron Radiation and its Applications, Moscow, 1980.

65. A. A. Sokolov, I. M. Ternov, Synchrotron Radiation, Akademie Verlag, Berlin, 1968.

66. A. A. Sokolov, I. M. Ternov, Synchrotron Radiation from Relativistic Electrons (edited by C. W. Kilmister), American Inst, of Physics, New York, 1986.

67. V. A. Bordovitsyn ed., Synchrotron Radiation Theory and its Development (in the Memory of I.M.Ternov) Series on Synchrotron Radiation Technique and Applications. Vol. 5, World Scientific Publishing, Singapore, 1999.

68. E. E. Koch ed., Handbook of Synchrotron Radiation, North Holland, Amsterdam, 1983.

69. G. Dattoli, L. Gianessi, P. L. Ottaviani, H. P. Freund, S. G. Biedron, S. Milton, Nucl. Instr. and Meth. in Phys. Res. A 495 (2002) 48.

70. A. A. Sokolov, D. V. Gal'tsov, V. Ch. Zhukovsky, Zh. Tekhn. Fiz. 43 (1973) 682.

71. K-J. Kim, Nucl. Instr. andMeth. in Phys. Res. A246 (1986) 67.

72. O.E. Шишанин, Письма в ЖЭТФ 57 (1993) 772.

73. O.E. Shishanin, Nucl. Instr. and Meth in Phys. Res. A558, Issuel (2006) 74.

74. О. E. Шишанин, Прикладная физика, 5 (2008) 82.

75. W. В. Colson, С. Pellegrini, A. Renieri eds., Laser Handbook, vol.VI, North Holland, Amsterdam, 1993.

76. D. Iracane, P. Bamas, Phys. Rev. Lett. 67 (1991) 3086.

77. L.D.Landau, E.M.Lifshits, The Classical Theory of Fields, Pergamon, New York, 4th edition, 1975.

78. J. D. Jackson, Classical Electrodynamics. 2d edition, Wiley, New York, 1975.

79. H. R. Reiss, Phys. Rev. A22 (1980) 1786.

80. A. I. Nikishov, V. I. Ritus, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 46 (1964) 776.

81. L. S. Brown, T. W. B. Kibble, Phys.Rev. 133 (1964) 704.

82. G. Dattoli, L. Gianessi, L. Mezzi, A. Torre, Nuovo Cimento 105B (1990) 327.

83. G. Dattoli, A. Torre, S. Lorrenzutta, G. Maino, C. Chiccoli, Nuovo Cimento 106B (1991)21.

84. G. Dattoli, A. Renieri, A.Torre, Lectures on the Free Electron Laser Theory and • Related Topics. World Scientific, 1993.

85. G. Dattoli, S. Lorrenzutta, G. Maino, A. Torre, G. Voykov, C. Chiccoli, J. Math. Phys. 35, N7(1994)2626.

86. G. Dattoli, S. Lorenzutta, G. Maino, A.Torre, Ann Numer. Math. 2 (1995) 211.

87. G. Dattoli, A. Doria, L. Giannessi, P. L. Ottaviani, Nucl. Instr. and Meth in Phys. Res. A507 (2003) 388.

88. G. Dattoli, L. Mezi, P. L. Ottaviani, S. Pagnutti, J. Appl. Phys. 99 (2006) 044907.

89. G. Dattoli, P. L. Ottaviani, S. Pagnutti, J. Appl. Phys. 97 (2005) 113102.

90. К. В. Жуковский, В. В. Михайлин, Вестник Моск. Унив. Физика-Астрономия 2 (2005)41.

91. G. Dattoli, V. V. Mikhailin, P. L. Ottaviani, К. Zhukovsky, J. Appl. Phys. 100 (2006) 084507.

92. G. Dattoli, V. V. Mikhailin, K. Zhukovsky, J. Appl. Phys. 104 (2008) 124507.

93. Д. Даттоли, К. В. Жуковский, В. В. Михайлин, Вестник Моск. Унив. Физика-Астрономия 5 (2009) 33.

94. Л. В. Никитин, Е. М. Чесноков, Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли N3 (1981) 20.

95. Е. М.Чесноков, Сейсмическая анизотропия верхней мантии Земли. М.:Наука, 1977.

96. Б. В. Костров, Л. В. Никитин, Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли N9 (1968) 30.

97. А. Грин, Дж. Адкинс, Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.'.Мир, 1965.

98. У. Вустер, Применение тензоров и теории групп для описания физтеских свойств кристаллов. М.: Мир, 1977.

99. JI. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теория упругости М.: Наука, 1970.

100. А. Д. Седов, Механика сплошной среды, том1. М.:Наука, 1970.

101. Д. Д. Иваненко, А. А. Соколов, Классическая теория поля. М.:ГИТТЛ, 1951.

102. Т. Д. Шермергор, Теория упругости микронеоднородных сред. М.:Наука, 1977.

103. И. Д . Цванкин, Е. М. Чесноков, Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 5 (1987) 3.

104. М. Б. Виноградова, О. В. Руденко, А. П. Сухорукое, Теория волн. М.:Наука, 1990.

105. А. С. Вшивцев, К. В. Жуковский, Е. М. Чесноков, Физика Земли 5 (1995) 65.

106. В. А. Магницкий, Внутреннее строение и физика Земли. М.:Наука, 1965.

107. R. Edwards, Low density flows through tubes and nozzles, in Rarefied Gas Dynamics, J. Potter.ed., New-York NY: American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1977.

108. Т. M. Adams, S. I .Abdel-Khalik, S. M. Jeter, Z. H. Quereshi, Int. J. Heat Mass transfer 41, N6-7 (1998) 851.

109. E. B. Arkilic, M. Schmidt, K. Breuer, Gaseous flow in microchannels, in Application to ss, ASME Winter Annual Meetings, Chicago, IL, 57-65, 1994.

110. E. B. Arkilic, A. Schmidt, K. S. Breuer, J. MicroElectroMechanical Systems 6, N2 (1997)167.

111. H. van den Berg, C. Seldam, P. Gulik, J. Fluid Mech. 246 (1993) 1.

112. J. Harley, Y. Huang, H. Bau, J. N. Zemel, J. Fluid. Mech. 284 (1995) 257.

113. C.-M. Ho, Y.-C Tai, Ann Rev. Fluid. Mech. 30 (1998) 579.

114. X. F. Peng, G. P. Peterson, Int. J. Heat Mass Transfer 39, N12 (1996) 2599.

115. J. Pfahler, J. Harley, H. Bau, Gas and liquidflow in small channels (In symposium on Micromechanical Sensors, Actuators and systems), ASME DSC-32, 49-60, 1991.

116. E. Pickos, K. Breuer, DSMC modeling of micromechanical devices, 1995, AIAA Paper 95-2089.

117. K. Pong, С. Ho, J. Liu, Y. Tai, Nonlinear pressure distribution in uniform microchannels, in Appl. Microfabrication to Fluid Mechanics, ASME Winter Annual Meetings, Chicago, IL, Nov. 51-56, 1994.

118. R. Prud'homme, T. Chapman, J. Bowen, Appl. Sci. Res. 43 (1986) 67.

119. В. X. Wang, X. F. Peng, Int. J. Heat Mass Transfer 37, suppl. N1 (1994) 73.

120. F. M. White, Viscous fluidflow. New York, NY: Mc. Draw Hill, 1991.

121. К. В. Жуковский, Вестник Моск. Унив., Физика и Астрономия, 3 (2001) 49.

122. P. Y. Wu, W. A. Little, Cryogenics 24, N8 (1983) 273.

123. Т. Е. Springer, T. A. Zawodzinski and S. Gottesfeld, J.Electrochem. Soc. 138 (1991) 2334.

124. M. L. Perry, J. Newman, E. J. Cairns, J. Electrochem. Soc. 145, N1 (1998) 5.

125. D. M. Bernardi, M. W. Verbrugge, AIChE Journal 37, N8 (1991) 1151.

126. D. M. Bernardi, M. W. Verbrugge, J. Electrochem. Soc. 139, N9 (1992) 2477.

127. Y. W. Rho, S. Srinivasan, Y. T. Kho, J. Electrochem. Soc. 141, N8 (1998) 2089.

128. D. M. Bernardi, Electrochem Soc. 137, N11 (1990) 3344.

129. T. F. Fuller, J. Newman, J. Electrochem. Soc. 140, N5 (1993) 1218.

130. J. C. Amphlett, R. M. Baumert, R. F. Mann, B. A. Peppley, P. R. Roberge, T. J. Harris, J. Electrochem. Soc. 142, N1 (1995) 1.

131. V. Gurau, F. Barbir, H. Liu. J. Electrochem. Soc. 147, N7 (2000) 2468.

132. W. He, J. S. Yi, T. V. Nguyen, AIChE Journal 46, N10 (2000) 2053.

133. T. V. Nguyen, J.Electrochem Soc. 143, L103 (1996) 1.

134. J. S. Yi, T. V. Nguyen, J. Electrochem. Soc. 145 (1998) 1149.

135. F. M. White, Viscous Fluid Flow, New York NY: Mc. Draw Hill, 1991.

136. К. В. Жуковский, В.Ч.Жуковский, Вестник Моск. Унив.: Физика-Астрономия 5, (2002) 23.

137. R. В. Bird, W. Е. Steward, Е. N. Lighfoot, Transport phenomena, New York NY.: John Willey & Sons, 1960.

138. ASHRAE Handbook, Fundamentals, American Society of Heating, Refrigerating and

139. Air Conditioning Engineers, Inc., 1981. 140JH.-K. Hsuen, J. Power Sources. 126 (2004) 46.

140. J. Newman, W. Tiedemann, AIChE Journal 21 (1975) 25.

141. К. V. Zhukovskii, AIChE Journal 49, N12 (2003) 3029.

142. К. V. Zhukovskii, A. Pozio, J. Power Sources 130 (2004) 95.

143. M. Prasanna, H. Y. Ha, E. Y. Cho, S.-A. Hong, I.-H. Oh, J. Power Sources 131 (2004) 147.

144. R. Roshandel, B. Farhanieh, E. Saievar-Iranizad, Renewable Energy 30 (2005) 1557.

145. H. K. Lee, J.-H. Park, D.-Y. Kim, T. H. Lee, J. Power Sources 131 (2004) 200.147JH.-S. Chu, Y. Chung, F. Chen, J. Power Sources 123 (2003) 1.

146. H.-K. Hsuen, J. Power Sources 137 (2004) 183.

147. K.V. Zhukovskii, AlChE Journal 52, N7 (2006) 2356.

148. K.V.Zhukovsky, Mathematical modeling of the high-current regime ofPEFCs in Recent Research Developments in Electrochemistry 8, p301, Transworld Research Network, Kerala, India, 2005.

149. S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 19 (1967) 1264.

150. A. Salam, in Elementary Particle Theory, Ed. By N. Svartholm, Almquist Forlag AB, 1968.

151. S. L. Glashow, Nucl. Phys. 22 (1961) 579.

152. P. W. Higgs, Phys. Lett. 12 (1964) 132.

153. D. Colladay, V.A. Kostelecky, Phys. Rev. D58 (1998) 116002.

154. D. Ebert, V. Ch. Zhukovsky, A. S. Razumovsky, Phys. Rev. D70 (2004) 025003.

155. В. Г. Кадышевский, Д. В. Фурсаев, ТМФ 83 N2 (1990) 197.

156. V. G. Kadyshevsky, V. N. Rodionov, Theor. Math. Phys. 136, N3 (2003) 1346

157. D. Ebert, R. N. Faustov, V. O. Galkin, Phys. Rev. D72 (2005) 034026. 1601 D- Ebert, R.N. Faustov V. O. Galkin, Phys. Rev. D 82 (2010) 034019.

158. R. N. Faustov, Ann. of Phys. 78, N1 (1973) 176.

159. A. A. Logunov, A. N. Tavkhelidze, Nuovo Cimento 29 (1963) 380.

160. M. Kobayashi, T. Maskawa, Progr. Theor. Phys. 49 (1973) 652.

161. Particle Data Group (K. Nakamura et al.), J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 37 (2010) 075021.

162. L.-L. Chau, W.-Y. Keung, Phys. Rev. Lett. 53 (1984) 1802.

163. H. Harari, M. Leurer, Phys. Lett. В 181 (1986) 123.

164. H. Fritzsch, J. Plankl, Phys. Rev. D 35 (1987) 1732.

165. F. J. Botella, L.-L. Chao, Phys. Lett. В 168, (1986) 97.

166. N. Cabibbo, Phys. Rev. Lett. 10 (1963) 531.

167. L.Wolfenstein, Phys. Rev. Lett. 51 (1983) 1945.

168. G. Dattoli, G. Maino, C. Mari, A. Torre, Nuovo Cim. A 105 (1992) 1127.

169. Ф. P. Гантмахер, Теория матриц. Chelsea, New York, N.Y. 1959.

170. G. Dattoli, E. Sabia, A. Torre, Nuovo Cim. A 109 (1996) 1425.

171. Z. Z. Xing, Phys. Rev. D 51 (1995) 3958.

172. A. J. Buras, M. E. Lautenbacher, G. Ostermaier, Phys. Rev. D 50 (1994) 3433.

173. Ayres, F. Jr. Theory and Problems of Matrices. New-York: Schaum, 1962.

174. A. Ali, D. London, Z. Phys. С 65 (1995) 431.

175. G. Dattoli, K. Zhukovsky, Eur. Phys. J. С 50 (2007) 817.

176. H. Goldstein, Classical Mechanics. Cambridge, MA: Addison-Wesley, 1950 399.

177. A. R. P. Rau, W. Zhao, Phys. Rev. A71 (2005) 063822.

178. M. В. Smy et al. (Super-Kamiokande Collaboration), Phys. Rev. D 69 (2004) 011104.

179. T. Ataki et al. (KamLAND Collaboration), Phys. Rev. Lett. 94 (2005) 081801.

180. Y. Ashie et al. (Super-Kamiokande Collaboration), Phys. Rev. D 71 (2005)112005.

181. M. Apollonio et. al. (CHOOZ Collaboration), Eur. Phys. J. С 27 (2003) 331.

182. В. Pontecorvo, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 33 (1957) 549.

183. B. Pontecorvo, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 53 (1967) 1717 Sov. Phys. JETP 26, (1968) 984].

184. Z. Maki, M. Nakagawa and S. Sakata, Prog. Teor. Phys. 28 (1962) 870.

185. H. Murayama and T. Yanagida, Phys. Lett. В 520 (2001) 263.

186. G.Barenboim et.al., JHEP 0210 (2002) 001.

187. M. C. Gonzalez-Garcia, M. Maltoni, T. Schweiz, Phys. Rev. D 68 (2003) 053007.

188. L. Wolfenstein, Phys. Rev. D 17 (1978) 2369.

189. С. П. Михеев, А. Ю.Смирнов, Я. Ф. 42 (1985) 1441, S. P. Mikheev and A. Yul Smirnov, Sov. J. Nucl. Phys. 42 (1985) 913].

190. H. Minako, K. Yee, O. Naotoshi, T. Tatsu, A Simple Parameterization of Matter Effects on Neutrino Oscillations',YYYV vol.05-52; p.73P(2006), arXiv:hep-ph/0602115vl.

191. B. Aharmin et.al (The SNO Collaboration), nucl-ex/0502021.

192. T. Araki et.al (The KamLAND Collaboration ), Phys. Rev. Lett. 94 (2005) 081801.

193. Y. Suzuki, XXII Int Symp. On Lepton and Photon Interactions at High Energies (Lepton-Photon 2005), Uppsala, Sweden, July 2005.

194. C. Bemporad (the Chooz Collaboration), Nucl. Phys. Proc., Suppl. 77 (1999) 159.

195. Z. Z. Xing, Phys. Lett. B533 (2002) 85.

196. J. D. Bjorken, P.F. Harrison, W. G. Scott, Phys. Rev. D74 (2006) 073012.

197. A. Datta, L. Everett, P. Ramond, Phys. Lett. В 620 (2005) 42.

198. S. Antush, S. F. King, Phys. Lett. В 631 (2005) 42.

199. G. Altarelli, F. Feruglio, Y. Lin, Nucl. Phys. В 775 (2007) 31.

200. E. Ma, Mod. Phys. Lett. A22 (2007) 101.

201. S. F. King, arXiv:hep-ph/0710.0530.

202. N. Li, B.Q.Ma, Phys. Rev. D 71 (2005) 017302.

203. К. В. Жуковский, Д. Даттоли, Я. Ф. 71 N10 (2008) 1838.

204. G. Dattoli, К. Zhukovsky, Eur. Phys. J. С 52, N3 (2007) 591.

205. H. Minakata, A. Yu. Smirnov, Phys. Rev. D70 (2004) 073009.

206. M. Raidal, Phys. Rev. Lett. 93 (2004) 161801.

207. M. Fukugita and T. Yanagida, Phys. Lett. В 174 (1986) 45.

208. V. Kusmin, V. Rubakov, M. Shaposnikov, Phys. Lett. B155 (1985) 36.

209. S. Pascoli, S. Petcov, W. Rodejohann, Phys. Rev. D68 (2003) 093007.

210. W. P. Su, J. R. Schrieffer, A. J. Heeger, Phys. Rev. Lett. 42 (1979) 1698.

211. K. von Klitzing, G. Dorda, M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45 (1980) 494.

212. R. Jackiw, S. Templeton, Phys. Rev. D 23 (1981) 2291.

213. N. Schonfield, Nucl. Phys. В 185 (1981) 157.

214. А. С. Вшивцев, Б. В. Магницкий, В. Ч. Жуковский, К. Г. Клименко, ФЭЧАЯ, 29 вып.5 (1998) 1259.

215. В. Ч. Жуковский, К. Г. Клименко, В. В. Худяков, Д. Эберт, ПисьмаЖЭТФ, 73 вып.З (2001) 137.

216. В. Ч. Жуковский, К. Г. Клименко, ТМФ 134, N2 (2003) 289.

217. S. Deser, R. Jackiw, S.Templeton Ann. Phys. (N.Y.) 140 (1982) 372.

218. S. Deser, R. Jackiw, S.Templeton Phys. Rev. Lett. 48 (1982) 975.

219. S. Pisarski, S. Rao Phys. Rev. D 32 (1985) 2081.

220. И. Я. Коган, Письма в ЖЭТФ 49 (1989) 194.

221. Г. М. Зиновьев, С В. Машкевич, X. Сато, ЖЭТФ 105 (1994) 198.

222. Н. О. Girotti et al. Phys. Rev. Lett. 69 (1992) 2623.

223. F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 48 (1982) 1144.

224. J. Leinaas, J. Myrheim, Nuovo Cim. 37 (1977) 1.

225. Y. S. Wu, Phys. Rev. Lett. 53 (1984) 111.

226. F. Wilczek, Fractional statistics and anyon superconductivity, Singapore: World Scientific, 1990.

227. R. E. Prangle, S M. Girvin, Quantum Hall effect N. Y.: Springer-Verlag, 1987.

228. К. Ishikava, Prog. Theor. Phys. Suppl. 107 (1992) 167.

229. R. B. Laughlin, Science 242 (1988) 525.

230. R B. Laughlin, Phys. Rev. Lett. 60 (1988) 2677.

231. Y. H. Chen et al., Int. J. Mod. Phys. В 3 (1988) 1001.

232. A. L. Fetter, С. B. Hanna, R. B. Lauglin, Phys. Rev. В 39 (1989) 9679.

233. I. Dzyaloshinskii, Phys. Lett. A 55 (1991) 62.

234. A. L. Fetter, С. B. Hanna, R B. Lauglin, Int. J. Mod. Phys. В 5 (1991) 2751.

235. Р. В. Wiegmann, Prog. Theor. Phys. Suppl. 107 (1992) 243.

236. D. S. Randjbar, A .Salam, Nucl. Phys. В 340 (1990) 403.

237. M. Ю. Новиков, А. С. Сорин, M. Ю. Цейтман, В. П. Шемет, ТМФ 69 (1986) 25.

238. В.В. Скалозуб, А.Ю.Тищенко, ЖЭТФ 104 (1993) 3921.

239. В. Ю. Цейтлин, Письма в ЖЭТФ 55(1992)673.

240. В. Ю. Цейтлин, Я. Ф. 49 (1989) 712.

241. S. Forte, Phys. Rev. Lett. 71 (1993) 1303.

242. А. С. Вшивцев, К. Г.Клименко, Б. В.Магницкий, ЖЭТФ 107 (1995) 307.

243. А. С. Вшивцев, К. Г. Клименко, ЖЭТФ 109 (1996) 954.

244. P. Ceci, Phys. Rev. D 32 (1985) 2785.

245. К. В. Жуковский, П. А. Эминов, Я.Ф. 59 (1996)1265.

246. И. М. Тернов, А. В. Борисов, К. В. Жуковский, Вести. Моск. Унив. Физ. Астр. 1, (1997)71.

247. I. К. Rulikov, P. I. Pronin, Europhys. Journ. 17 (1992)103.

248. К. В. Жуковский, П. А. Эминов, Изв. вузов. Сер. Физ. 5 (1995)61.

249. К. V. Zhukovskii, P. A. Eminov, Phys. Lett. В 359 (1995)155.

250. В. Ч. Жуковский, Н. А. Песков, А. Ю. Афиногенов, Я.Ф. 61 (1998) 1514.

251. В. Ч. Жуковский, Н. А. Песков, С. А. Денисов, Я.Ф. 64 (2001) 1607.

252. D. Ebert, V. Ch. Zhukovsky, Mod. Phys. Lett. A12 (1997) 2567.

253. K.G. Klimenko, Teor. Mat. Fiz. 92 (1992) 166.

254. K.G. Klimenko, Teor. Mat. Fiz. 95 (1993) 42;

255. V. Zeitlin, E-print hep-th/9612225; E-print hep-th/9701100

256. A. N. Sissakian, O. Yu. Shevchenko, S. B. Solganik, hep-th/9608159; hep-th/9612140

257. K.S. Babu, A. Das, P. Panigrahi, Phys. Rev. D36 (1987) 3725.

258. N. Bralic, C. Fosco, F. Schaposnik, Phys. Lett. B383 (1996)199.

259. D. Cabra, E. Fradkin, G. Rossini, F. Schaposnik, Phys. Lett. B383 (1996) 434.

260. G. Dunne, K. Lee, Ch. Lu, Phys. Rev. Lett. 78 (1997) 3434.

261. C- Fosco, G- Rossini, F- Schaposnik, Phys. Rev. D56 (1997) 6547.

262. F. Brandt, A. Das, J. Frenkel, K.Rao, Phys. Lett. B492 (2000) 393.

263. F. Brandt, A. Das, J. Frenkel, Phys. Rev. D62 (2000) 085012.

264. A. Das, G. Dunne, J. Frenkel, Phys. Lett. B472 (2000) 332.

265. В. Ч. Жуковский, А. С.Разумовский, К. В. Жуковский, А. М. Федотов, Весник Моск. Ун-та 2 (2003) 27.

266. S. М. Carroll, G. В. Field, R. Jackiw, Phys. Rev. D 41 (1990) 1231.

267. R. Jackiw, V.Alan Kostelecky, hep-ph/9901358.

268. A.A. Andrianov, P. Giacconi, R. Soldati, http://jhep022002030.

269. C. S. Meijer, Nederl. Akad. Wetensch., Proc. 49, 1946.

270. Y. G. Kao, Phys. Rev. D 47 (1993) 730.

271. Y. C. Kao, M. Suzuki Phys. Rev. D 31 (1985) 2137.

272. S. Coleman, B. Hill, Phys. Lett. В 159 (1985) 184.

273. V. D. Spiridonov, F. V. Tkachev, Phys. Lett. В 260 (1991) 109.

274. В. А. Фок, Работы no квантовой теории поля Л.: Изд-во ЛГУ, 1957.

275. Ю. Швингер, Частицы, источники, поляг. 1, М.: Мир, 1973.

276. И. М: Тернов, В. Ч. Жуковский, А. В. Борисов, Квантовые процессы в сильном внешнем поле. М.: Изд. Моск. ун-та, 1989.

277. В. И. Ритус, Труды ФИАН 111 (1979) 5; Никишов А И Труды ФИАН 111 (1979) 152; Баталии И А, Шабад А Е ЖЭТФ 60 (1971) 894; Нарожный В Б ЖЭТФ 55 (1968) 714; Ритус В И ЖЭТФ 57 (1969) 2176.

278. A. S. Vshivtsev, V. К. Peres-Fernandes, Dokl. Akad. Nauk USSR 309 (1) (1990) 70.

279. Y. C. Kao, Mod Phys. Lett. A 6 (1991) 3261.

280. M .V. Novikov, A. S. Sorin, V. U. Tseitlin, V. P. Shelest, Teor. Matem. Fiz. 69, N1 (1986) 25.

281. К Fujikawa, Phys. Rev. Lett. 42 (1979) 1195; Phys. Rev. D21 2 (1980) 848.

282. А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев, Интегралы и ряды М., 1981.

283. А. N. Redlich, Phys. Rev. D29 (1984) 2366.

284. A. J. Niemi, G .W. Semenoff, Phys. Rev. Lett. 51 (1983) 2077.

285. В. Ч. Жуковский, А. С. Разумовский, К. В. Жуковский, Изв. Высш Уч. Зав. Поволжский Регион, N2 (2003) 80 (arXiv:hep-th/0402070v2).

286. В. Ч. Жуковский, А. С. Разумовский, К. В. Жуковский, А. М. Федотов, Вестник Моск. Унив. Физ.-Астр., 2 (2003) 27.

287. К Barger, К Cheung, R. J. N. Phillips, B. A. Kniehl, Phys.Rev. D46 (1992) 3725.

288. K. Barger, K. Cheung, A. Djouadi et. al., DESY 93-064.

289. E. Boos, M. Sachwitz, H. J. Schreiber, S. Shishanin, DESY 93-089.

290. K. Hagiroaka, L.Watanabe, P. M. Zerwas, Phys. Lett. B278 (1992) 187.

291. О. J. P. Eboli, M. C. Gonzales Garcia, S. F. Novaes, Р/улу. Pev. D49 (1994) 91.

292. А. А. Соколов, И. M. Тернов, В. Ч Жуковский, А. В. Борисов, Калибровочные поля. М., 1986.

293. В.И. Ритус, Труды ФИАН 111 (1979) 5.

294. П. А. Эминов, К. В. Жуковский, К. Г. Левченко, ЖЭТФ 113 (1998) 1979.

295. К. В. Жуковский, П. А. Эминов, Вестник Моск. Унив. Физ.-Астр., 2 (1997) 57.