Операторные методы в электродинамике анизотропных сред тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

А

ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ИМЕНИ Б. И. СТЕПАНОВА АН БЕЛАРУСИ

На правах рукописи

БОРЗДОВ Георгий Николаевич

ОПЕРАТОРНЫЕ МЕТОДЫ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД

01.04.02— теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Минск — 1993

Работа выполнена в Белорусском государственном университете

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОПШНЕШУ:

доктор физико-математических наук, профессор БАРЫШЕВСКШ В.Г. (Институт ядерных проблем при Белорусском государственном университете, г. Минск)

доктор физико-математических наук, профессор КУЗЬМИН Р.Н.

(Московский государственный университет имени И.В. Ломоносова)

доктор физико-математических наук, профессор ПЕТРОВ Н.С.

(Белорусская государственная политехническая академия, г. Шнек)

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ •• Институт кристаллографии Российской академии наук

Зашита состоится " 1993 года в часов

на заседании специализированного совета Д.006.01.02 при Институте физики имени Б. И. Степанова АН Беларуси (220602, Минск, лр. Скорины, 70) в конференц-зале института.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института физики имени Б.И.Степанова АН Беларуси.

Автореферат разослан "__¿^¿ьсАг-Д 1ддз ГОда

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук Л/Л

Ю.А.Курочкин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАГОТ'И

Актуальность темы. Теория расп[хзстранения электромагнитных волн в однородных и стратифицированных изотропных и анизотропных средах имеет чрезвычайно широкую область применения. В последние десятилетия неослабевающий поток публикаций по математической теории классических волновых полей в значительной степени стимулируется потребностями квантовой электроники, г-оптики, радиофизики, физики плазмы, микроволновой оптики, голографии. С целью более полного и точного учета физических свойств исследуемых материальных сред (анизотропии диэлектрической и магнитной проницаемостей, различных видов гиротропии, поглощения, частотной и пространственной дисперсии, неоднородности, характера движения) интенсивно разрабатываются новые подходы к описанию электромагнитных полей, основанные на использовании ковариантных методов £1-?], теории групп С 5-0], алгебры кватернионов [10-133, исчисления дифференциальных Форм [14-16].

Плоские гармонические волны (собственные волны) относятся к числу основных (базовых) • объектов исследования в электродинамике анизотропных сред. Эти наиболее простые и удобные для анализа решения системы уравнений Максвелла позволяют не только выявить основные закономерности "распространения электромагнитного излучения в рассматриваемой среде, но и исследовать затем более сложные поля с помощью спектральных разложений. Однако в некоторых анизотропных средах, например, поглощающих кристаллах, вдоль сингулярных направлений распространяются волны с линейной зависимостью амплитуды от координат (волны Фойгта) [3,17] и. следовательно, собственные волны не образуют полной системы плосковолновых решений. Корректное построение такой системы с применением прямых методов тензорного исчи~пения ' [1-Б], естественным образом приводит к ковариантному описанию плоских волн на основе введения операторов показателей преломления, частот, волновых чисел, фазовых и групповых скоростей, импедаясов [18-211.

/нелогичная, но значительно болеЬ сложная проблема построения и анализа полной системы базисных функций возникает.

при рассмотрении электромагнитных полей в стратифицированных анизотропных средах. Как показано автором, при вырождении характеристической матрицы слоя в нем могут возникать не только волны с линейной зависимостью амплитуды от координат [3,17.22-24], но и . волны с квадратичной и кубической зависимостями, которые в литературе ранее не рассматривались. При вырождении характеристической матрицы, также как и вблизи вырождения, обычные методы расчета, основанные на использовании собственных волн не применимы. Актуальной задачей является построение достаточно общей теории волн в стратифицированных анизотропных средах. позволявшей определить все типы базисных функций, исследовать их свойства и на этой основе найти общие решения задач отражения и пропускания для таких сред.

Применение ковариантных методов позволило добиться существенного прогресса в изучении волновых свойств различных сред. В то же время некоторое вопросы электродинамики анизотропных сред, представлянцие значительный интерес с точки зрения теоретической и прикладной Физики, остаются пока малоисследованными. К их числу относятся прямые и обратные задачи' отражения и пропускания для покоящихся и движущихся бианизотропных сред, особенно, для сред с частотной и пространственной дисперсией. В значительной степени это обусловлено отсутствием адекватных методов решения таких задач. Методы импедансов и характеристических матриц (эволюционных операторов) разработаны в настоящее время лишь для покоящихся сред, не обладающих пространственной дисперсией. Применяемое в большинстве работ трехмерное описание электромагнитных полей в движущихся средах приводит к громоздким выражениям даже в случае границы раздела двух инерциально движущихся изотропных недиспергирукщих диэлектриков. Релятивистские граничные задачи для анизотропных сред рхгшены только для некоторых частных случаев. Большинство известных решений для движущихся диэлектриков получено без учета дисперсии.

Если среда обладает не только частотной , но и пространственной дисперсией, то прямые и обратные задачи отражения и пропускания радикально усложняются, поскольку

материальные тензоры в локализованных уравнениях связи, записанных для гармонической нгфциальной волны в такой среде, зависят не только от частоты но и от волнового Ректора Существенно, что движущаяся среда, которая обладает лишь частотной дисперсией в своей системе покоя, в лабораторной системе описывается как бианизотрогшая среда с частотной и пространственной дисперсией.

Измерение материальных параметров бианизотропной среды остается очень сложной задачей даже в отсутствие пространственной дисперсии, поскольку тензоры диэлектрической £<"> и магнитной »j<«>> проницаемостей и псевдотензоры тирании а(ш) и в общем случае имеют 38 независимых комплексных

компонент. В настоящее время не существует метода, который позволил бы однозначно определить все эти компоненты путем измерения коэффициентов отражения и пропускания.

Целью диссертации является разработка новых операторных методов решения прямых и обратных задач отражения и пропускания для покоящихся и равномерно движущихся анизотропных и бианизотропных сред, включая среды с частотной и пространственной дисперсией.

Задачи диссертации. В диссертации поставлены и решены 'следующие основные задачи!

1. Построение теории эволюционных операторов электромагнитных полей в ллоскослоисТых анизотропных и гиротропных средах, охватывавшей все типы базисных Функций.

2. Обобщение понятий импедансов и характеристических матриц на случай равномерно движущихся бианизотропных сред.

3. Обобщение ковариантных методов описания электромагнитных волн на случай анизотропных сред с частотной и пространственной дисперсией.

4. Вычисление операторов отражения и пропускания для покоящихся и равномерно движущихся бианизотропных сред.

Б. Определение тензоров диэлектрической и магнитной прожгпемостей и псевдотензоров гираиии бианизотропной среды по заданном (измеренным) операторам отражений и пропускания.

Научная новизна'

- Впервые найдена и исследована полная система базисных Функций для электромагнитного поля в биализотропном слое. Разработала классификация эволюционных операторов этого поля.

- Найден новый обширный класс решений уравнений Максвелла в линейных анизотропных и гиротропных средах - волны с вырожденными эволюционными операторами. Предложена новая ковариантная формулировка уравнения нормалей для бианизотропной среди, удобная для отыскания условий вырождения эволюционных операторов. Впервые найдено уравнение оптических осей в такой среде.

- Впервые найдены условия возникновения и исследованы свойства волн с квадратичной и кубической зависимостью амплитуды от координат в одноосных и двуосных кристаллах.

- Впервые получено общее решение задачи отражения и пропускания для стратифицированной бианизотропной среды.

- Разработан новый прямой теюорный метод в пространстве Минковского, основанный на использовании дуальных внешних алгебр и антисимметричных тензоров типа <г,б>.

- Методы импедансов и эволюционных операторов обобщены на случай равномерно движущихся линейных срец. Введены четырехмерный > тензор поьериностного импеданса й лоренц-инвариантная характеристическая матрица бианизотропной среды. Впервые найдены операторы отражения, и пропускания однородных и стратифицированных движущихся бианизотропных сред.

- Впервые получено и детально исследовано общэе решение задачи отражения и пропускания, для границы раздела двух движущихся изотропных сред.

- Введены обобщенные тензоры диэлектрической и магнитной прюницаемостей и псевдотензоры гирации диспергирующих анизотропных и бианизотропных сред, определенные на множестве эволюционных операторов.

-Операторные методы описания волн обобщены на случай анизотропных и бианизотропных сред с частотной и пространственной дисперсией.

- Впервые найдены точные решения обратных задач отражения и

пропускания для покоящихся и равномерно движущихся бианизотропных сред.

- Разработан операторный импедансный метод расчета пропускания анизотропных каналов с параллельными и произвольно ориентированными границами раздела.

Практическая значимость работы состоит в том, что разработанные операторные методы и полученные ковариалтные соотношения дает теоретическую основу для систематического исследования электромагнитных волн в покоящихся и движущихся стратифицированных анизотропных и бианизотропных средах с учетом частотной и пространственной дисперсии, а также для разработки новых методов измерения материальных параметров таких сред. Полученные результаты могут- найти применение в квантовой электронике, радиофизике, физике плазмы, голографии, интегральной оптике, /-оптике. Некоторые из них применялись при выполнении ряда прикладных работ.

На защиту выносятся следующие основные результаты, полученные в диссертации'

1. 1 {¿¡вариантная теория электромагнитных волн в стратифицированных анизотропных и гиротропных средах.

2. Новый класс точных решений уравнений Максвелла в однородных линейных средах - волны с вырожденными эволюционными операторами. Классификация эволюционных операторов электромагнитного поля в бианизотропном слое и условия вырождения этих операторов.

3. Прямой тензорный метод решения граничных задач электродинамики движущихся сред, основанный на использовании дуальных внешних алгебр и■антисимметричных тензоров типа (г,з>.

4. Лоренц-ковариантные методы импедансов и характеристических матриц. Формулы для расчета операторов отражения и пропускания границы раздела двух бианизотропных сред, движущихся с различными скоростями. и многослойной структуры, состоящей из таких сред.

5. Общее решение задачи отражения " и пропускания для границы раздела двух движущихся изотропных сред. Явные

выражения для доплеровских сдвигов, законов Снелла, критического и бржстеровского углов, коэффициентов отражения и пропускания, силы светового давления.

6. Новый способ введения материальных тензоров диспергируших ализот{хэпных сред. Операторные методы описания волн в анизотропных средах с частотной и пространственной дисперсией.

7. Точные решения обратных задач отражения и пропускания для покоящихся и равномерно движущихся бианизотропных сред.

8. Операторный импедансный метод расчета пропускания анизотропных каналов . с параллельными и произвольно ориентированными границами раздела.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всесоюзных семинарах "Оптика анизотропных сред" (Москва, 1985, 1987), Всесоюзных рабочих совещаниях "Гравитация и электромагнетизм" (Минск, 1988, 1991), на Международной математической конференции, посвященной 200-летию Н.И.Лобачевского (Минск, 1992), на Международном семинаре по электродинамике киральных срхзд "Bianisatropics;'93" (Гомель, 1993), на семинарах Белорусского государственного университета и института кристаллографии РАН.

В целом по теме диссертации опубликовано 45 работ. Основные результаты диссертации опубликованы в 38 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, трех приложении и списка литературы. Общий объем диссертации 309 машинописных страниц. Список литературы включает 273 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, указаны научная новизна и практическая значимость, изложены краткое содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава диссертации посвяшэна построению теории эволюционных операторов электромагнитных воли в плоскос доистой линейной среде с уравнениями связи

р = ¿Е ' all , В = /iE + а'!} , < 1 >

где и, а, р - комплексные несимметричные тензоры, т.е. в общем случае среда обладает анизотропией диэлектрической и магнитной проницаемостей, поглощением, различными видами гиротропии. В §1 сформулированы основные уравнения для поля вида

1=1 expTiik Ьт - ut)1, <2>

. IHr.tiJ I Hi z>) 1 - 1

возникавшего в такой среде в случае косого падения на нее гармонической волны. Здесь z = ч'с. а - нормаль к границе, ь - тангенциальная составлякшая вектора рефракции падакюей волны, ьо = ш/с. в показано, что рассматриваемое поле имеет четырехмерное амплитудное подпространство v, а система уравнений Максвелла для него сводится к блочно-матричному уравнению

~ w = il< MW , W = I ,. I , (Э)

tii - о - ' I I. I »

где = у, jm = (iз- = и, м = м(е,^,а,/-5,ь,у) - блочная матрица с тензорными элементами, ? - проектор амплитудного подпространства (подпространства векторов у).

Электромагнитное поле в однородном слое описывается экспоненциальным эволюционным оператором•■

Wir , t) = ,t>W<0) , <4 >

Zrir,t> = Г expli^Edlexpfifk^b-r - ot>] = (5)

t.-l n J

где - (<0>?/~ - <■>* и = ь + ^д - фазы и векторы рефракции парциальных собственных волн. - с бственные значения

оператора и, р - проекторы инвариантных подпространств.

т = - цр^ - нилыютентные операторы, ^ - их индексы нильпотентности, - 1,..., N. в §1 получены явные выражения для проекторов р и построена классификация эволюционных операторов по значениям их инвариантов, таких как число различных собственных значений N. размерности э и и. собственных и инвариантных подпространств, индексы нильпотентности Полученные соотношения задают полную

систему базисных Функций для электромагнитного поля в рассматриваемом бианиэотропном слое.

В §2 предложена новая ковариантная форма уравнения нормалей для бианизотропной среды, удобная для отыскания его кратных корней и. следовательно, условий вьцюждения эволкционных операторов. Это уравнение имеет вид

а (№) = тЬпЗ м)т + ■»•(«£ т> + тЗ т + т-В + Б =0, (6)

о- * и -г- -1 о

где - симметричные тензоры валетности к, зависящие от е. м. а, А- Собственные значения ч - 1,...,ы> оператора м являются корнями уравнения четвертой степени, получаемого подстановкой вектора рефракции »> - ь па в уравнение нормалей (6). Если >> - и-кратный корень этого уравнения, то вектор » = ь + ид удовлетворяет одной из следукчцих систем уравнений!

и = 5: ■ а <т> = О, и-А <м> - О;

о - ' 3 -1 - '

и = 3: а <т> = О, я*А (») = О.

и = <) : а (ю> = О, п-А <ге> =» О.

о - ' - 1 '

д01(т)а = О, 9'[9«а<»)д

где

А(т) = МтЗ т>т + ЗгаЭ м + £3 т + Э , <8а>

*■- - * - - - а- я- -1'

А (п) = бтЭ т + 35 т + Б , <8Ь)

а - - а- 2

А <т> = <*Э т + Э . (8с )

я - *- а

Отсюда немедленно вытекает также условие для оптической оси

а (и) = О, т<А <ю) = О. <(?а,Ь)

о - ' --1 ~

В найдено уравнение оптических осей в бианизотропной срэеде.

уА <и'д = О;

|1

-о,)

(7а ) (7Ь)

<7с >

которое представляет собой условие совместимости уравнений С 9а) и (9ь). Показано, что в любой линейной среде существует бесконечное множество оптических осей Св обит* случае, комплексных).

В §3 найдены условия вырождения эволюционных операторов и исследованы свойства оптических осей различных типов. Найден обширный класс решений уравнений Максвелла в линейных анизотропных и гиротропных средах, описывающих волны с линейной, квадратичной и кубической зависимостью амплитуда от координат. Показано, что в однородной линейной среде с каждой собственной волной ассоциировано бесконечное множество волн вида у (4) с различными вырожденными эволюционными операторами.

В §4 подробно изучены различные типы волн вида

Шг,и = ехр < 1ко гЫн )ехр [г < к^Ь-г - шЫ]|_|<0>, . (10а)

Е(г,и = Г Н<г,и , I Н = II, <10Ь)

_ _> и- ' н-

где

Г = + (Ъ* + сН 1 <11 >

VI I- л н - Н л

- тензор внутренних импедансов,- !н = 11 ~ ~ проектор

двухмерного амплитудного подпространства, он - вектор амплитудной нормали = 0)> £„ ~ произвольный вектор,

удовлетворяющий условию ен-он = !> 11 ~ единичный оператор. К числу таких волн относится, в частности, суммарная преломленная волна, возникахчаая в бианизотропной среде в обдам случае косого падения. В §2 получены ковариантные выражения для параметров -н' мн* гн и тензора поверхностных импедансов г-

В §§ 5, 6 и 7 исследованы волны с линейной, квадратичной и кубической зависимостью амплитуды от координат и найдены операторы отражения и пропускания слоев с вырожденными характеристическими операторами. Все типы амплитудных функций проиллюстрированы на примерах во,1"' в прозрачных одноосных и двуосных кристаллах.

Во второй главе предложен прямой тензорный метод в пространстве Минковского, который значительно упрощает обозначения и вычисления и позволяет обобщить методы импедансов и хнр,штп[ .истических матриц на случай равномерно прямолинейно движущихся материальных сред. Ои основан на использовании.

дуальных внешних алгебр и антисимметричных тензоров. задающих линейные отображения в пространствах г-векторов и 5-форм. В §8 рассмотрены основные операции тензорной алгебры в пространстве Минновского, введена система безиндексных обозначений и некоторые специальные виды антисимметричных тензоров, описывающих операции *, проектирования и псевдообращения. При этом операции ' внешнего ~ и внутреннего *, I умножений естественным образом распространены на антисимметричные тензоры смешанного типа, а также введены двойное внешнее произведение внутреннее умножение а и двойное внутреннее умножение - Все эти операции являются билинейными отображениями и определяются соотношениями

их(сову) = <ихы)4»у , (ы4>у>хсг и Iл(ул>1 (12а)

1ывуЦ1о»и) = и>4>(уло)®у , (15Ь)

ал (со&г) - (о^со) ® V , (шФ V > ли - (Vли> , (1 3 >

(^^»^(оаи) = (1А/чСТ ) 4> < Ули > , (1<|)

( ьЛ» ) XX (и®с/) = () .1_1 (и»чг) = (ихи) 4о < сху) , (15)

где У - АГ(У>, и е ЛЧ<У>, ш е Ат (V* ) , сг е ЛР(У*>,

(н-)", если

< 16)

«1«. если

V л V* - четырехмерное векторное пространство Минковского и дуальное ему пространство. лг<у> и л°<у*> -пространства г-векторов (антисимметричных г-контравариантных тензоров) и ь~4орм (антисимметричных 5-ковариантных тензоров). В диссертации и автореферате ^-векторы и е-форады, связанные операциями поднятия и опускания индексов обозначаемся одинаковыми буквами (сигнатура метрического тензора +2). При этом 5-еекторы выделяются жирным шрифтом, подчеркиванием и использование^ нижних индексов для нумерации.

В §9 сформулированы лоренц-ковариантные уравнения и найдены эволюционные операторы для электромагнитных волн в многослойной структуре, состоящей из бианизотропных сред, равномерно движущихся с различными скоростями относительно

лабораторной системы отсчета. При носом падении на такую структуру плоская гармоническая волна возбуждает электромагнитное поле вида

Г = Г >е?хр( ххЛг > , <17)

где р - тензор электромагнитного тюля, * - четырехмерный радиус вектор, С = о - четырехмерная иорма/гь к границе, 1-форма г - некоторый заданный параметр. Для такого поля релятивистские уравнения Максвелла принимают вид

^ О-чР + = О , %-г 0-1 [5 + ¡тЖ = О . (1Ра,Ь>

ос ~ ~

В отсутствие поверхностных токов и зарядов 2-фэрмы г и о подчиняются граничным условиям

а-лг'1' - г'2') = о, - о'2>> = о. <1?й,Ь)

В главе 2 рассматриваются недиспергирующие бианиэотропнне среды с материальным уравнением вида

с = мг , <ео>

где м - антисимметричный тензор типа (2,2), имеющий в общем Случае 36 независимых компонент <1<1 <:!<'+, 1<к< !<'<).

С помошью формализма, развитого в §8, из соотношений (17)-<20) в &9 получены условия ортогональности

(О^тпмр = о, = о. <ап

<гг>

<гэа> (гзь) значения

тензоров электромагнитного поля в ъ -той и »<и -й средах!

эволюционное уравнение

эволюционный оператор ? для поля в однородной среде!

Р(х) = Т1хУГ(О), ■Г(х) = ехр(1хЛг )Хехр( 1С9С ),

а также оператор . , связываююий граничные

Здесь * - антисимметричный тензор типа (2,2), зависящий от м, о и т, лх = за- = зс, а ^ - проектор амплитудного подпространства. Операторы & (28ь) и (24) позволяют найти эволюционный

оператор, связывающий значения поля в любых двух заданных точках движущейся слоистой среды.

В §10 предложен лоренц-ковариаитный • метод описания собственных волн в однородных бианизотропных средах. Показано, что тензоры р и с такой волны могут быть представлены в виде

Р = КЛ , С - № = *<1, (25)

где ** = о> * = к.1М1.к, / = т = - лоренцчтнвариантные поляризационные параметр«, у - произвольный вектор, удовлетворяющий условию »-«к = 1 > а четырехмерный волновой вектор к удовлетворяет тензорному дисперсионному уравнению

х- о , (26 )

которое эквивалентно скалярному уравнению

(»v) = О . (27)

Показано также, что направления изотропных оптических осей задаются уравнением = а для остальных направлений

собственная волна г<*> = г<о>емрих-1к> имеет одномерное амплитудное подпространство, задаваемое 2-формой

Р = сЛ*—х 1 Л ) , (28 >

где <э1> - базис пространства V*, ас - произвольный 2-вектор. Подстановка £ = т + >;о в соотношение (27) дает уравнение четвертой степени относительно п, корни которого определяют о-компоненты векторов г + г, а парциальных волн в

бианизотропном слое (собственные значения оператора з< (22)). В §10 найден явный вид коэффициентов этого уравнения и условия вырождения эволюционного оператора (23ь) .

Суммарная преломленная волна в движущейся бианизотропной среде описывается соотношениями вида '

f(x) = exp( ix Jr )exp( iCN) f (О) , <E9 I

F = тл) « CUNf , I,f = f, <30)

где i, - проектор двухмерного амллигу.аного подпространства, а м - тензор типа (1,1). В §11 рассмотрены различные типы таких волн и найден явный вид параметров " и i{. ■

В §§ 11 и 12 методы импедансов и характеристических матриц сформулированы в лоренц-ковариантной '1орме и затем применены для отыскания операторов отражения и пропускания движущихся сред. С учетом граничных условий (19) четырехмерный тензор импеданса вводится как линейный оператор, определяемый соотношениями

h = ytp , Оу = ту ~ О , уО = ут = О , (31)

где h = qjb, = <u^v)j<a^F), а и и у - вспомогательные векторные параметры, удовлетворяющие условиям у-Ш = yJt = i. ujr = vjo = о. Лоренц-инвариантная характеристическая матрица слоистой среды с связывает значения полей на первой и последней границах ••

■ р

CL

= с

h

(32)

В терминах 1-форм h и непрерывных на движущихся границах раздела (см.(19)), систему уравнений (18) можно записать в матричной форме

а

(33)

ас

а также перейти к эквивалентной системе уравнений

iay/at, = (у + в* ><А' )"< - вч + с , <3*1 >

öp/en = iJip , <35)

где А", в;, в;, с- и Jf -тензоры типа (1,1), а <А- >~ - псевдообратный тензор:

м^я волны f (29) 2-форму f мо;.гю восстановить по поляризационной 1-Форме f или f с помощью некоторого тензора v

типа (1,2) (F = "»ч = >. а тензор имиедансов имеет вид г - qjmv. в §11 получены явные выражения для тензоров N, л, v, г и характеристической матрицы с (32) в общем случае бианиэотропной среды. В &12 найдены итераторы отражения я пропускания границы раздела двух бианизотропных сред, равномерно .движущихся с различными скоростями, и движущаяся стратифицированной среды.

На этой основе в §13 найдено общее решение задачи отражения и пропускания для границы раздела двух движущихся изотропных сред и получены явные выражения для дошедювских сдвигов, законов Снелла, критического и брюстеровского углов, коэффициентов отражения и пропускания, силы светового давления.

В третьей главе операторные методы, развитые в главах 1 и 2, . обобщены на случай • линейных сред с частотной и пространственной дисперсией.

В §§14-16 рассматривается диспергирующие анизотропные среды с уравнениями связи вид

D(r,t> = JV<R,r)E<r-R,t-r>dRdr , (36а)

H<r,t> = Ö(r,t) . (36Ь>

Как известно, исследование электромагнитных волн в таких средах обычно базируется на использовании тензора «<»-,<»>, который является Фурье образом яда «<£>т) интегрального преобразования (36а). Другими словами, тензор вводится на множестве

гармонических функций вида E<r,t> = Eo<?xp[i<k-r - wt>], для которых это преобразование сводится к локальному алгебраическому соотношению

D(r,t) = £<k,ш)Е(г,t). (37)

В §14 показано, что такой подход обладает рядом существенных недостатков! исключаются из рассмотрения волны Фойгта и другие негармонические базисные функции, для каждой собственной волны необходимо вводить свой тензор диэлектрической проницаемости, усложняется описание оптических осей, тензор>ная функция «=<1с,и> не может быть измерена.

Для устранения этих недостатков в §14 введен обобщенный

1С.

тензор диэлектрической проницаемости определенный на

множестве эволюционных операторов тг с помощью соотношений

[><г,и = .,Е<г,и, .30)

с = = / «<К,т>У <-К,-т)с1Кс1т . (3?)

Тензор г(к,и>> является частным случаем тензора « (39), отвечахшим скал$щгом^ эволюционному оператору ^(К.т) = = еу.р[1 <к-к - «г>], характерному для волн в изотропных средах. Фактически этим неоправданным переносом на анизотропные среды методов, развитых первоначально для изотропных сред, и обусловлены указанные пыш* трудности и недостатки е(к,ь>) -формализма.

14-16 рассматриваются плоские вс ты с эволюционными операторами вида

У <К,т> - ехр[1<ы/с > (««КМ ]ехр<-х«>г > , (40а»

<<|0Ъ> ('»Ос )

где п - единичный вектор волновой нормали, , и оЕ и - операторы показателей преломления, частот и волновых чисел. Получены тензорные дисперсионные уравнения и предложен итерационный метод решения этих уравнений. Исследована взаимосвязь тензоров «<к,ьо и « (39). Найден явный вид операторов , о^, ке и огюратора разовых скоростей , а .также получены спектральные разложения для этих операторов. При этом рассмотрены как суперпозиции собственных изонормальных волн, которые описываются невырожденными эволюционными операторами (40), так и волны с лин'йной зависимостью амплитуды от пространственных координат и от времени, которые описываются вырожденными операторами (40а) и п. (<Юь), соответственно, и рласпрюстраняюгся вдоль сингулярных осей. Показано, что в диспергирукчиих анизотропных средах существуют два. типа таких осей! оси для волн с гармонической зависимостью от времени ехр(-Ьл!и и от коорчдинат е^Р^к-г).

Г (Й.г) = ехр(1к-й)рхр<-1тО ),

к - ' - - г к '

Те(К,г) » ехр^[<п«К)КЕ - тОк]| ,

Существенно, что суперпозиции изонормальных волн описываются одним обобщенным тензором диэлектрической щхишцаемости е (39). В частности, если оператор) показателей преломления ne (40а) имеет простую структуру, то выражения (39) и (40а) можно представить в виде

э

« = E>-<ka,u>>p* , (41)

э

2'.<К,т> = £exfj[i<k—g - .u*r>]pe , (42)

Cl- 1

где ta = <w/c)nu¡> - волновые векторы изонормальных волн, а по и р' - собственные значения оператор« мк и отвечающие им поляризационные проекторы. Таким образом, тензор (41) состоит из трех диад * (ка,ь>>р*, каждая из которых задает диэлектрическую проницаемость для одной из парциальных волн.

В §17 рассмотрен обший случай косого падения гармонической волны на бианизотрогшый. слой с частотной и пространственной дисперсией. Введены обобщенные материальные тензоры диэлектрической и магнитной прошшаеыостей и псевдотензоры гирации, а также обобщенный четырехмерный материальный тензор равномерно движущейся диспергирующей ср1еды.

Большинство введенных в главах 1 и 2 ковариантных величин (эволюционный оператор, характеристическая матрица слоистой структуры, тензоры нормальной рефракции и импедансов, операторы отражения и пропускания и т.п.), а также некоторые полученные в этих главах соотношения, например, формулы для операторной отражения и пропускания, применимы и для диспергирующих бианизотропных сред. Однако процедура вычисления поверхностных импедансов и характеристических матриц, которые используется в этих формулах, значительно усложняются, поскольку локальные материальные уравнения (1) и (20) заменяются соответствующими интегральными преобразованиями. Если ядра этих интегральных преобразований или их Фурье образы заданы, то введение обобщенных материальных тензоров позволяет найти тензоры поверхностных импедансов и характеристические матрицы диспергирующих бианизотропных сред с помощью спет альных разложений и итерационна формул, аналогичных формулам, полученным'в 15,10.

В четвертой главе лоренц-ковариант ные методы импедансов и характеристических матриц применены для решения обратных задач отражения и пропускания для покоящихся и равномерно движущихся бианизотропных сред.

В §18 'получены лоренц-ковариантные соотношения, позволяющие однозначно определить четырехмерный материальный тензор недиспергирующей бианизотропной среды по ее операторам отражения и пропускания. Пр>и этом решены следующие вспомогательные обратные задачи:

1) определение четырехмерных тензоров поверхностных импедансов rt и г_ и нормальной рефракции и (см. (34), (35)) преломленных волн, распространяющихся в бианизотропном слое в положительном и отрицательном с-направлениях, по заданным (измеренным) операторам отражения границ слоя и опе(эаторам пропускания слоя (в отсутствие многолучевой

инте(тференции) ;

2) отыскание тензорных коэффициентов А' , в*4, в^, с* уравнения импедансов (34) по заданным тензорам г± и

3) отыскание четырехмерного материального т°нзора м по значениям тензорных коэффициентов amq'.t'), dmo'.t'i, bmq'.t'i, c'(Qj,t'), отвечающих "заданному набору <o\rj; i,j =1,2,3» четырехмерных нормалей к границам слоев и параметров падаюших волн.

Математическая формулировка первой из этих задач соответствует условиям измерений при достаточно больших значениях толщины слоя и угла падения, когда многократно отраженные пучки не дают вкладов в измеряемые операторы отражения и пропускания вследствие конечности поперечных сечений этих пучков. Каждый из этих операторов имеет только четыре независимые компоненты, тогда как тензор м имеет в обтем случае 36 независимых компонент. Поэтому для отыскания тензора м в качестве исходных параметров используются операторы отражения и пропускания трех различных слоев при трхзх различных значениях т.

Полученные в решения обратных задач -применимы к

равномерно движущимся и покоящимся бианизотропным средам. Пр^и определении компонент материального тензора в системе покоя

исследуемой с{*зды целесообразно использовать набор падашлх воли' с одинаковой частотой что позволяет применять

полученные решения для сред с частотной дисперсией. На этой основе в §19 решена обратная задача отражения и пропускания длз бианизотрошюго прямоугольного параллелепипеда с нормалями st> ?а» окруженного изотропной средой. При этом полагаются известными его операторы отражения и пропускания для падающих волн с частотой « и векто|лами рефракции

= * Г» t f » е - е - (1 - 6 le "1 i 1) е , (43)

-±i i -г -a -j V. ij-»

i,j - 1,2,3

где n.j - [■*„'■'„ ~ »"G + £0 и ~ диэлектрическая и

магнитная . проницаемости окружакщей среды, <5.. - символ Кронекера. « -скалярный параметр, задающий углы падения

= arcsiri при i — j И яг = arcsin t*''("о^о)1

при i * j- Векторы е1,^ и m описывают волны, падающие на противоположные грани с внутренними нормалями и ;

j - номер палашей волны. Набор векторов (™±и» *, j = J ,г?,э) выбрал-так, что на каждой грани четырехмерный параметр * (1?) /гадающих волн принимает одни и те же три значения

т = (и/с ) Г» (в + е + в - в ) + в 1 , j = 1 ,г ,3. (44 )

-j L -1 ~2 -э -j ' '

Такое согласование условий измерений для различных граней параллелепипеда значительно'упрощает решение обратных граничных задач и позволяет найти все компоненты тензоров диэлектрической и магнитной прюницаемостей , и и'псевдотензоров гирзации а, /?.

На основе использования обобщенных материальных параметров в §20 найдено лоренц-ковариантное решение обратной задачи отражения и пропускания для бианизотропной срзеды с пространственной и временной дисперсией. Искомыми параметрзами в этой задаче являются четырехмерные волновые векторы ^ и тензорные амплитуды f' , g' парциальных волн в бианизотропном слое и обобщенный материальный тензор м<о,т>, введенный в §17. Решение задачи состоит из следующих этапов-.

- отыскание лоренц-инварэиаитной характеристической с прицы с (32) и дифференциальной матрицы распространения а (33) по эздчнннм ( И:'мрренным) операторам отражения и пропускания

бианизотропного слоя;

- вычисление собственных значении и собственны* пен и^и ¿> натрии с, л и определение ьолновых векто{хш к, п поляризационных 1-форм ь' парциальных волн;

- определение значении о*, г' параметров п и > для ы .¡л-а серии измерений;

- вычисление 2-форм ,г'> исследуемой собственной волны по значениям ее поляризационных па^метров »>'< и е''> '» найденным для двух различных срезов с нормалями о и , соответственно;

- вычисление .обобщенного материального тензора м<о,т>.

Найденный тензор мса.п полностью определяет свойства рассматриваемой диспергирующей среды <0(*> = м<о,гн:<х>> для суммарного поля г <х>, позникакиего в ело., с нормалью ° при падении на него волны с параметром г-

В последней пятой главе приведены решения некотортых задач' электродинамики анизотропных . сред, полученные с помощью развиваемых в диссертации операторных импедансных методов. В §21 найдены Френелевскиз О! -,-раторы. отражения и .пропускания непрерывно-неоднородной плоскослоистой бианизотропной среды и системы однородных слоев, а также установлены соотношения, связывающие эти операторы в отсутствие поглощения. Метод многократных отражений обобщен на непрерывно-неоднородные анизотропные среды. В §22 найдены Операторы отражения и пропускания кристалла с модулированным тензором диэлектрической проницаемости. В §23 предложен импедаисный метод расчета пропускания изотропных и анизотропных каналов с непараллельными границами и метод расчета частотных и поляризационных характеристик анизотропных резонаторов с учетом оптической несогласованности их элементов.

В заключении сформулированы основные результаты.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Построена. теория эволюционных операторов электромагнитных волн в стратифицированных анизотропных и гиротропных средах. Разработана классификация эволюционных операто|хэв по значениям их инвариантов. Путем анализа структура

этих операторов найдены все типы волн, которые могут возникать в однородном анизотропном или бианизотропном слое при косом падении на него плоской гармонической волны.

2. Найден новый обширный класс решений уравнений Максвелла в линейных анизотропных и гиротропных средах - волны с вырожденными эволюционными операторами. На основе новой ковариантной формулировки уравнения нормалей для бианиэотропной среды найдены условия вырождения эволюционных операторов, а также уравнение оптических осей в такой среде. Впервые показано, что в любой линейной среде существует бесконечное множество оптических осей (в общем случае, комплексных), причем в прюизвольно заданной плоскости может быть до двенадцати различных осей.

3. Подробно изучены различные типы волн с двухмерным амплитудным подпространством и найдены их операторы нормальной рефракции, внутренних и поверхностных импедансов. Исследованы свойства волн с квадратичной и кубической зависимостью амплитуды от координат в одноосных и двуосных кристаллах. Впервые получено обшее решение задачи отражения и пропускания для стратифицированной бианиэотропной среды, применимое и в тех случаях, когда характеристические операторы слоев оказываются вырожденными.

4. На основе использования дуальньгх внешних алгебр и антисимметричных тензоров типа (г,5» разработан новый прямой тенэоршй метод в пространстве Минковского, который значительно упрощает обозначения, вычисления и анализ получаемых ковариантных соотношений при * решении различных задач электродинамики движущихся сред.

Б. Сформулированы лоренц-ковариантные уравнения и найдены эволюционные операторы для.электромагнитных волн в многослойной структуре; состоящей из бианизотропных' сред, равномерно движущихся с различными скоростями относительно лабораторной системы отсчета.

6. Дисперсионное уравнение и поляризационные соотношения для собственных волн в однородных бианизотропных средах сформулированы в компактной лоренц-коварйантной форме.

7. Методу импедансов и характеристических матриц обобщены

на случай равномерно движущихся линейных сред. Введены четырехмерный тензор поверхностного импеданса и лоренц-инвариантная характеристическая матрица бианизотропной среда. Впервые найдены операторы отражения и пропус* -шия границы раздела двух бианизотропных сред, движущихся с различными скоростями, и многослойной структуры, состоящей из таких сред.

8. Получено и детально исследовано решение задачи отражения и пропускания для границы раздела двух движущихся изотропных сред в общем случае, когда скорости обеих сред и границы между ними, ориентация плоскости падения и поляризация падающей волны произвольны. .Найдены явные выражения для дсплеровских сдвигов. законов Снелла, критического и брксте[Хавского углов, коэффициентов отражения и пропускания, силы светового давления.

9. Введены обобщенные гензоры диэлектрической и магнитной прюницаемоетей и псевдотензоры гираиии диспергирующих анизотропных и бианизотрхшных сред, определенные на множестве эволюционных операторов■ Показано, что эти материальные тензоры применимы для полного набора плосковолновых решечий уравнений Максвелла, включая негармонические волны.

10. Операторные методы описания волн обобщены на случай анизотропных и бианизотропных сред с частотной и пространственной дисперсией. Найдены .операторы показателей преломления, частот, волновых чисел и фазовых скоростей для плоских волн в таких средах.

11. Впервые найдены точные решения обратных задач отражения и пропускания для покоящихся и равномерно движущихся бианизотропных сред. Четырехмерный материальный тензор равномерно движущейся недиспергирушей бианизотропной среды выражен через ее оператора отражения и пропускания." Получены соотношения, позволяющие однозначно определить все 36 компонент тензоров диэлектрической и магнитной проницаемостей с. м и псевдотензоров тирании Р покоящейся бианизотропной среда с частотной дисперсией по заданным коэффициентам отражения и пропускания этой сре.и,1. Найдено лоренц-коварианЛюе решение обратной задачи отражения и пропускания для бианизотропной

ej.kiÄU'c частотной и пространственной дисперсией.

12. С помощью разбиваемых в диссертации импедансных йетодов найдены френелевские операторы отражения и пропускания для анизотропных плоскослоистых сред с дискретным и непрерывным изменением параметров, а также для кристаллов с модулированным тензором диэлектрической проницаемости и для анизотропных каналов с непараллельными границами. Разработан метод расчета частотных и поляризационных хагактеристик анизотропных резонаторов с учетом отражений на границах вну'фирезйнаторных элементов.

В приложении 1 показано, что развиваемые в диссертации операторные методы могут быть распгостранены на случай упругих волн в анизотропных средах. В приложениях 11 и ш приведены некоторые дополнительные сведения о пленарных и псевдообратных тензорах, используемых в диссертации.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Борэдов Г.Н. Общая формула пропускания света для системы поляризатор - оптически активный кристалл - анализатор // Веси* АН БССР. Сер. Ф^з.-мат. навук.- 1977,- МЗ,- С.85-60.

2. Барковский Л.М., Сорздов Г.Н., Камач Ю.Э., Козловский E.H., Овчинников B.W. Расчет пропускания оптических каналов методом обобщенных импедансов // Онтико-механ. пром.-1980,- N8,- С.4-7.

3. Хил ко В.В., Борздов Г.[f., Барковский Л.М. Отражательный интер>1еренционно-поляризацион)шй светофильтр // Ж. пршгл. спектр,- 1981.- Т.34, Ш. - С 1101 -1103.

4. Федоров Ф.И., Барковский Л.М., Борздов Г.Н. Тензорные дисперсионные уравнения // Докл. АН БССР.- 1982,- Т.26, N8,-С. 684-687.'

Б. Федоров Ф.И., Барковский Л.М.. Борздов Г.Н., Камач Ю.Э., Овчинников В.М. Расчет пропускания оптических каналов с произвольно ориентированными анизотропными элементами, i. Операторы пропускания и отражения для одной границу раздела // Весц! АН БССР. Сер фхз.-мат. навук.- 1982,- МЗ.- С.Б9-64

6. Федоров Ф.И., Барковский JIM.. Бпрпдов Г.Н., Камач Ю.Э ,

Овчинников В.М. , Расчет пропускания оптических каналов с. произвольно ориентированными анизотропными элементами, п. Операторы пропускания канала // Весц' Л(< [ЗОСР. Сер. ф!з.-»«1. навук.- 1982.- W4.- С.49-54.

7. Баркрвский Л.М., БОрэдов Г.Н., Камач Ю.Э., Овчинников В.М. Операторы отражения п модуляционной кристаллооптике // Оптико-механ. пром.- 1982,- С.6-9.

8. Варковский Л.М., Борздов ГЛ.. Камач Ю.Э., Овчинников В.М Спектральные операторы отражения и пропускания модулированного анизотропного слоя // Ж. техн. Физики.- 1982,- Т.52, N2.-С. 223-228.

9. Борздев А.И., Борадов Г.Н. Расчет анизотропных резонаторов с учетом оптической несогласованности их элементов // Материапы VII Республиканской конференции молодых ученых по физике.--Минск, 1982.- С.40.

10. Баржовский Л.М., Борздов АЛ. , Борздов ГЛ.. Саржевский A.M. Операторный расчет анизотропных резонаторов' с учетом оптической несогласованности их элементов // X. прикл. спект р. - 1983. - Т. 38, Ш - С. 4 38 -196.

11. Баржовский Л.М., Городов АЛ., Борздов ГЛ., Саржевский A.M. Поляриза/шонно-чэстотные ■ характеристики трохзержального резонатора с кварцевой полуволновой пластинкой //Ж. прикл. спектр,- 1983,- Т.39, М5.~ С.822-827.

12. Баржовский Л.М., Порзздов ГЛ., Федоров Ф.И. Операторные ({азы и негар>монические оптические поля в. кристаллах- // прикл. спектр,- 1983.- Т.39, N6. - С.996-1000.

13. Банковский Л.М., Борздов Г.Н.. Федоров Ф.И. Волнов»к оператор« в оптике // Препринт ИФ АН БССР,- №304.Минск. 1983.- 48с.

14. Баржовский Л.М., Борздов АЛ., Городов ГЛ., Камач Ю.Э. , Овчинников В.М. Поляризяиионн»«? характеристики уголковых отражателей // ОггГико-механ. пром. - 1985.- С. 23-Ж.

15. Лавриненко A.B., Городов ГЛ., Барковский Л.М. Ноток энергии несобственной волны в анизотропной среде // Ж. прикл. спектр,- 1985. - Т.42 (Г., - С.849-856.

16. Федоров'Ф.И. . Барковский Л.М., Бородов ГЛ., Жилно В. В. Обратная задача отражения для однородных поглоташих

монокристаллов // Кристаллография.- 1985,- Т.30, №4,-С.629-635.

17. Борздов Г.Н., Барковский Л.М., Федоров Ф.И. Обобщенный тензор диэлектрической проницаемости // Оптика анизотропных сред, - М.-- МФТИ, 1985.- С.4-7.

18. Борздов Г.Н., Барковский Л.М,, Федоров Ф.И. Обобщенный тензор диэлектрической проницаемости // I. прикл. спектр.-1985.-Т.43, Ш,-С.488-495.

19. Федоров Ф.И., Борздов Г.Н., Барковский Л.М. Оператор показателей преломления плоской волны в диспергирующей анизотропной среде // Ж. прикл. спектр,- 1985.- Т.43, №4,-С.659-666.

20. Барковский Л.М., Федоров Ф.И., Борздов Т.Н. Оператор частот плоской волны в диспергирующей анизотропной среде // Ж. прикл. спектр.- 1986.- Т.44, W4.- С.639-646.

21. Барковский Л.М., Борздов Г.Н., Лавриненко A.B. Френелевские оператор« отражения и прюпускаяия для плоскослоистых гироанизотролных сред // Весцi АН БССР. Срр. фхз.-мат. навук,- 1986,- М2.~ C.79-S5.

22. Barkovskii L.M., Bor zdov G.N., Lavrinenkö A.V. Fresnel's reflection and transmission operators -for stratified gyroanisotropic media // J. Phys. A: Math, and Gen.- 1987.-Vol .ao, No.5.- P.1075-1106.

23. Борздов A.H., Борздов Г.Н., Барковский Л.М. Расчет операторов отражения от гироанизотропных периодических систем // Оптика анизотропных сред, - М. •■ «МФТИ. 1987,- С.80-82.

24. Барковский Л.М., Бэродов Г.Н., Лавриненко A.B. Операторы нормальной рефракции и поверхностного импеданса в граничных задачах кристаллоакустики'// Докл. АН БССР.- 1987,- Т.31, N5.-С. 424-426.25. Барковский Л.М., Борздов Г.Н., Лавриненко A.B.

Френелевские тензоры отражения и пропускания акустически анизотропных стратифицированных сред // Акустический журнал.-1987,- Т.33, N5,- С.798-804.

26. Федоров Ф.И., Барковский JI.M., Борздов Г.Н. Эволюционные оператор« в электродинамике диспергирующих сред // Препринт Ш> АН БССР.- АМ63,- Минск. 1987.- 46 с.

27. Barkovsl<ii L.M., Borzdov G.N., Fedorov f" Л . Evolution operators in the electrodynamics of spatially dispersive media П J. Mod. Opt.- 1990.- Vol.37, No.l.- P.B5-97.

28. Boriduv G.N. Waves with quadratic amplitude dependence on coordinates in uniaxial crystals // J. Mod. Opt,.- 1990.-Vol.37, No. 3. - P.281-20'..

29 Boririov G.N. Waves, with cubic amplitude dependence on coordinates in biaxial crystals // Opt. Commun.-- 1990.- Vol.75, flo.3,<t.- P.S03-S07. ' SO. Плодов Г.Н. Эволюционные операторы электромагнитных волн в кристаллах. i. Классификация. Волны с кубической зависимостью амплитуды от координат // Кристаллография.- 1990.- Т.35, N3,-С.835-642.

31. Борздов Г.Н. Эволюционные операторы электромагнитных волн в кристалла*. п. Волны с линейной зависимостью амплитуды от координат // Кристаллография,- 1990.- Т.35, W3.- С.543-ББ1:

32. Борздов Г.Н. Эволюционные операторы электромагнитных волн в кристаллах, ш. Волны с ква-ратичной зависимостью амплитуды от координат // Кристаллография, - 1990,- T.3S, N3.-С.552-658.

33. Еарковский Л.М., Борздов А.Н., Борздов Г.Н., Лавриненко А.В., КамачЮ.Э., Козловский Е.Н. Анализ характеристик пропускания электрооптических призм из кристаллов КDP // Оптико-механ. пром.- 1990.- N9,- С.22-25.

34. Барковский Л.М., Борздов Г.Н.-, Лавриненко А.В. Эволюционные операторы в кристаллоакустике с учетом пространственной дисперсии // Докл. АН БССР, - 1990.- Т.34, Ш.-С. 508-611.

35. Барковский Л.М., Борздов А.Н., Борздов Г.Н. Операторы частот, волновых чисел и фазовых скоростей плоских волн в диспергирующих анизотропных средах // Ковариантные' методы в теоретической Физике. Оптика и акустика.- Минск* ИФ ДН БССР, 1991.- С.29-36.

36. Borzdov G.N. Lorentz-covariant surface impedance and characteristic matrix methods with applications to measurements of material parameter;- of linear media // Opt. Coirmun.- 199S.-Vol.9'1, No . 1 . - P.159-174.

37. Doridov G.N. An intrinsic tensor technique (n Minkowski

spaca with applications to boundary value problems // J. Math, f'hys.— 1 793 . - Vol.3<».- No. 7,- f> .31 62-3196 .

38. Борздов Г.Н. Алгебра 1'рассмана в граничных задачах электродинамики инерциалыго движущихся материальных сред // Тезисы докл. Междунар. матем. конференции, посвященной 200-летию Н.И.Лобачевского. Минск, 1993,-С.98.

ЦНШРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Федоров Ф.И. Оптика анизотропных ■ сред. - Минск-- Изд-во АН БССР, 1958.- 380 с.

2. Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах,- М.: Наука, 1965,- 388 с.

3. Федоров Ф.И. Теория гиротропии.- Минск: Наука и техника, 1976 - 456 с.

4. Федоров Ф.И., Филиппов В.В. Отражение и преломление света прозрачными кристаллами.- Минск: Наука и техника, 1976,- 224 с.

5. Федоров Ф.И. Группа Лоренца,- М.: Наука, 1979,- 384 с.

6. Ковариантные методы в теоретической физике. Физика элементарных частиц и теория относительности,- Минск: ЙФ АН БОСР, 1981,- 160 с; 1986,- 156 с; 1991,- 178 с.

7. Ковариантные методы в теоретической физике. 'Оптика и акустика,- Минск: ИФ АН БССР, 1981.- 169с; 1986,- ,188 с; 1991,- 122 с..

8. Барковский Л.М., Ханг to Тхи Нгует. Векторная параметризация группы вращений в задачах отражения света слоистыми анизотропными средами /У Докл. АН БССР,- 1987,- Т.31, Ш,- С. 523-625.

9. Ханг Фо Тхи Нгует, Барковский л.М. Группа вращений зо<з,с> в задачах отражения света кристаллами //Опт. и спектр.- 1989. -Т.67, МЗ.;- С.629-632.

10. Березин A.B., Толкачев Е.А., Федоров Ф.И. Дуально-инвариантные уравнения связи для покоящихся гиротропных сред // Докл. АН БССГ.- 1985,- Т.29, N7,- С.595-597.

11. Березин A.B., Толкачев F..А., Трегубович Л.Я. . Федоров Ф.И. Кватернионнне уравнения связи для движущихся гиротропных с[ед // прикл. спектр!. - 1987,-т. 47.'Ш,- С. 113-118.

12. Бензин A.B.. Толкачев Е.Л., Тршубонич А.Я. Уравнения

связи Федорова для произвольных движущихся сред ь квагьрлиинал // Коаариантные методы в теоретической Физике. Физика элементарных частиц и теория относительности - Минск s №t> АН БССР. 1986,- С.37-43.

13. Березин A.R. , Курочкин Ю.А., Толкачев Е.А. Квагерш,они в релятивистской Физике,- Минск: Нчука и техника. 1989,- 198с.

14. Левашов А.Е. Движение и двойственность в релятивистской электродинамике.- Минск: Изд-во ПТУ, 1979,- 320 с.

15. Luehr С.P., Rosenhaum M. intrinsic vectur and tensur techniques in Minkowski splice with applications to special relativity // J. Math. Phys.- 19i,B.- Vol.9, No.a.- P.S84-a9B.

iß Deschamps G.A. E le?c tromayr,.: 11 cs ana differential forms / Proc. IEEE.- 19B1.~ Vol.¿9, Mo.6.- P.676-69h.

17. Федоров Ф.И., Гончаренко A.M. Распространение света вдоль круговых оптических осей поглошгшцих кристаллов // Опт. и спектр, - 1963,- Т. 14, Ml . - 0.100-105.

18. Барковский Л.М. 0 тензоре показателей преломления ь кристаллооптике // Кристаллография'.- 1976,- Т.21 , №3.-С. 445-449.

19. Барковский Л.М. Спектральные разложение олерато|оь показателей преломления в кристаллах // Ж, прикл. спектр.-1979,-Т.30. Ml.-С. 115-123.

20. Барышевский В,Г. Ядерная оптика поляризованных сред -Минск: Изд-во БГУ, 1976,- 144 с.

21. Барковский Л.М., Борздов Г.Н., Федоров Ф.й. Волновш операторы в оптике // Препринт ИФ АН БССР,- Ш04,- Минск, 1983,- 48с.

22. Федоров Ф.И., Петров Н.С. Особый случай неоднородных электромагнитных волн в прозрачных кристаллах // Опт. и спектр,- 1963,- Т.14, М2,- С.256-261.

23. Петров Н.С., Федоров Ф.И. Новый вид плоских электромагнитных волн в поглощающих кристаллах //Опт. и спектр, - 1963,- Т. 15, №. - С.792-796.

24. Федоров Ф.И., Петров U.C., Филиппов ВВ. Особые Bomiii и прозрачных двуосных кристаллах // Ж. прмкл. спектр, - HWï Т.42, N5.-С.844-849. ■

БОРЗДОВ Георгий Николаевич ОПЕРАТОРНЫЕ МЕТОДЫ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД

Подписано к печати /&]С ^Формат 60x841/16 Усл.печ.л. -/£3. Тираж /0(7 экз.Бесплатно.Заказ 9*/!. Ш1П Госэкономплапа Республики Беларусь.

ПИП ЕелНИИПТИ. 220004, Минск, нр. Маниюна, 23.