Операторный метод в теории взаимодействия атомных систем с электромагнитным полем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Р Г 6 Б$фгсский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

" !' ;.....г..,,;.

На правах рукописи

Ж СУАН ХАЙ

УДК 539.187.2 - 530.145

ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД В ТЕОРИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ АТОМНЫХ СИСТЕМ С ЭЛЕКТРОМГНИТНЫ?Л ПОЛЕМ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕ ФЕРА Т

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск - 1993

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Белорусского государственного университета.

Научный руководитель: -Доктор физико-математических наук,

профессор Феранчук И.Д.

Официальные оппоненты :-Член-корр. АН РБ, доктор физ.-мат. наз

профессор Томильчик Л.М.

'Институт физики АН РБ.

-Кандидат физико-математических наук, ведун научный сотрудник НИИ ЯП при БГУ. Тихомиров В.В.

Ведущая организация: Белорусский технологический институт.

Защита состоится ц. 1993 года в Д,о часов на заседали

специализированного совета К 056.03.09 в Белорусском государственно университете /220080, г.Минск,проспект Скорины,4,гл.корпус,к.20б/.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белсрусског государственного университета.

Автореферат разослан "_"__ 1993 г

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физ.-мат. наук

Л

Ивашин А.В

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

онусиьностъ теш.

Проблемы, связанные с 'описанием поведения квантовых систем > внешних полях, всегда составляли важную область исследований в эоретической физике.

Как известно, количество точно решаемых задач в квантовой эханике весьма невелико, а современные потребности эксперимента не зчерпываются только областью слабых или сверхсильных полей, когда эжно применять соответственно квантовомеханическую теории возмущений ли асимптотические методы предела сильной связи . Выход за рамки казенных ограничений связан о численным решением уравнения редингора, если число степеней свободы невелико, либо с спользованием моделей, сохраняющих наиболее существенные физические собенности рассматрлв^г.шх систем, но обладаоди значительно более ростой математической структурой. Пооледгай! подход ваяен в тех лучяях, когда необходимо качественное исследование системы в большом иапазоне амплитуды внешнего поля.

Широко распространенными моделями, иопользуемыми при еследовании взалмодействяя атомных систем с внешними палями, являются модель двухуровневого атома (МДА), списывающая динамику квантовой ■истемы в периодическом поле о частотой, близкой к одной из частот :ереходов в системе , ридберговская модель (РМ), используемая для (писания выооковозбувденных состояний произвольных атомов; модель [ике (МД), которая позволяет адекватным образом рассматривать ;огерентныь эффекты в системе атомов, взаимодейотвуюпда с резонансным голем. Однако несмотря на достаточно упрощенный характер указанных юделей, они, тем не менее, не являются точно решаемыми,, и допускают шалитическое описание только в различных предельных случаях с 5граниченной областью применимости.

Целью настоящей диссертационной работы является рассмотрение шшеуказанных моделей с помощью операторного метода (ОМ) цэибликенного решения уравнения Шредингера (УШ), который впервые 1редложен в работе [1] . Основные достоинства ОМ связаны с тем, что, з одной стороны, его нулевое приближение позволяет построить такую аппроксимацию для собственных значений и волновых функций, которая

имеет достаточно высокую точность во всем диапазоне параметр« гамильтониана системы (равномерно-пригодное приближение), а, с друг* стороны, итерационная охема вычисления последующих приближений ( является сходящейся и дает возможность найти точное решение задач] Научная новизна диссертационой работы состоит в том, что в н( впервые получено точное решение уравнения Шредингера для МДА. и д! анализ возможности применения приближения вращающихся во: (ПВВ),которое,как показало в работе,хорошо описывает да взаимодействующий с внешним квантовым полем,лишь при малых значение коеффицента связи атом-поле и при небольшом числе заполнеш фотонов.Найдена также равномерно-пригодная аппроксимация да собственных значений МДА о помощью ОМ.В рамках такого подхода вперв! получены описание, коллективного состояния ; условия фазово] перехода¡аналитическая оценка статистической суммы;уравнение разнос: заселенноотей уровней о соответствующей температурой Кюри фазово! перехода для системы ДУА, взаимодействующих с одномодов! электромагнитным полем, при любом соотношении между длиной вол! излучения и плотностью атомов вне рамки ПВВ.

Практическая ценность: полученные результаты могут бы-з использованы в астрофизике ¡лазерной технике; изучеш оверхизлучения; описании взаимодействия излучения с вещество! разделении изотопов При термоядерном синтезе; проблеме бистабильносч

спинового вха и микроскопическом анализе фазовых переходов. На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Аналитическая аппроксимация для анергии атома водорда скрещенных и параллельных электрическом и магнитном полях.

2. Аналитическая аппроксимация для анергии и ширины ридберговсю состояний атома водорода вблизи границы ионизации.

3. Точное решение задачи о взаимодействии двухуровневого атома квантовым резонансным полем и анализ применимости широ* используемого приближения вращающейся волны для этой системы.

4. Приближенное описание МДА, равномерно-пригодное при люб! значениях амплитуды внешнего поля и параметра расстройки.

5. Описание в нулевом приближении ОМ собственных значений собственных функций системы в модели Дике при произвольнс соотношении между длиной волны резонансного излучения' и плотностз

атомов без применения ПВВ.

Апробация рабояы:Основные результаты работы докладывались и обоукдались на Всесоюзном семинаре по теории стой он и атомных спектров (Тбилиси - 1988 г.).III Международном сешшаре по атомной спектроскопии (Черноголовка - 1992 г.) и на семинаре кафедры теоретической физики Белгосуниверситста.

Публикации: По материалам диссертации опубликовано 6 работ.

Структура и объел работы: Основной текст диссертации состоит из введения, четырех глав, заключения и содержит 136 страниц машинописного текста,1 таблицу,1 рисунок и 13 графиков. Список литературы включает 130 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во евевзш'л обоснованы актуальность проблеш и выбор те>.ш исследования.Дано кр&ткст изложение цели работы,основных результатов, выводов и положений, выносимыг на защиту.

В первой главе диссертации,имеющей полуобзорный характер, описаны основные соотношения СМ приближенного решения УШ, впервые предложенного в [1].

Первый параграф посвящен проблеме выбора нулевого приближения и . итерационной схеме точного решения УШ в ОМ , детальный анализ которой был излокеп в §1.1, а ее эффективность продемонстрирована на примере ангармонического осцилятора с гашльтошаном:

А 1 А3 А А,

Н = -£-(Р + X2) + Хх1 : Хго . (1)

В §1.2 показано,что ОН моено использовать для вычисления комплексных значений для анергии системы с применением такой не итерационной процедуры, как и при вычислении действительных собственных значений.

В §1.3 описано применение ОМ для исследования УШ системы, находящейся в периодическом поле,в качестве примера рассмотрено уравнение Матье, но схема ее решения является универсальной для УШ с периодическими решениями.

Приведенные результаты в главе 1 позволяй1? утверждать,что ОМ является простым ,но в то ке врэмя эффективным методом регулярного, равномерно- пригодного решения УШ для различных физических систем.

Во Второй главе диссертации показано, что ОМ монет быть

эффективный при исследовании атома водорода в электромагнитном поле, и прежде всего, для качественного анализа в широком диапазоне амплитуды поля, в том числе и в области вблизи порога ионизации.

В §2.2 ОМ использован при решении УШ для окрещенных ß - у полей:

а 1 1 I г 6 в ч 1 а, а Яч

HAlVeExlV' (2)

где ? и хэ , 7 и х4. .' и параллельных ß-y полей и 7 и х3):

* 1 1 ±7 г о а ч ja

НН =2р- г + "*з +"Т? 1ха"эх, " хГ8ха + 5 <x!+xü> 5

А * ■ '

HI|IV =EI.IV • (3)

где Xj (1=1,2,3): орты декартовой системы координат,

а о ■ _

Р = -igj- ,ß и у- безразмерные амплитуды- соответственно

электрического и магнитного полей.

Применение ОМ к втим задачам показывает,что уже его нулевое

приближение с большой точностью совпадает с точными результатами,

полученным другими методами.

Так, например для основного состояния,при учете нулевого и второго порядка. ОМ дает:

го! -т 1 Г 1 а 9 я 53 » 1597 * 93 я а 1 (о» (а) 1Г 1 а 9 а 53 * 1597 * 159 а а 1

Е5 +Еи =- з[1- г*+ ?Ра+ щул+ -тгР - -irf V+.• •] •

Для сравнения приведем асимптотические результаты, полученные по

ТВ :

ТВ 1 Г 9 а Iя 3555 t 53 .159 _ _ ТВ 1 Г 1 а 9 а 53 . 3555 . 93 . . ,

- г I1- 2»а+ irß - Г'* + ]•

В §2.3 |Л001Ютрен вф§вкт Штаркав сильном электрическом поле к показано, что щцювое приближение СМ позволяет найти аналитическук апщюксимЯ1да> для анергии и ширины указанных состояний, с хорошей точность» описывающую 'вою совокупность известных вкспериментальных i теоретических результатов в етой задаче.

С помощью ОМ были найдены аналитические формулы для энергии i

Е = Et—где Etопределяет положение уровня в спектре, а Г - его ширину:

п0

Г = Е0.4Са • '

^ Ггг "М/а A-1'Э т( Да 1 ч1/а 4,1/3]

г»» ва-'-гЩ-т + гг] .+ Щ )

2 9

•Ыа=-2|Ц-Т- + 2Т] + ~2>] "ЦТ + 27] -Т] }•

е<°>2= П° ■_.

Ism*/ Ч] '

д = 2рп;*г0а; со=|£(0)1:

по 1

fi а - ТГ (3 - -—S } Иа Ео ; 1 8 |иа|а 30

К 1

'"а'2 л (аа)3 + ( Иа)3 '

1

о~ 7n~ 1 Га а •

^вДр'4*')**'-.

,1 1-та , . 1 1-т2 n0=nt+l !^=па+1 ;п0=п04-з — snj=n;+ -j- -JT; Были найдены также аналитические оценки для других параметров системы.Так, например, предельная кривая, ооответотвующая п проходит через нуль (порог ионизации) щи СМгп^)3?)»

2е . ' ' . Р = F = —7 = 0.393 I (ТВ двет{ г=о.заз),

О <^4 w

расстояние между уровнями вблизи В4=0 определяется формулой:

аЕ

(О)

311.

ЭЕ

(О)

= рэ/4 =3.5б8рэ/4,(ТВ дает:

Е =0 1

атя.

=3.708рЭ/'4),

Е1=0

где: -параболическое квантовое число,Ы1=2п1;

5 - "приведенная" напряженность электрического поля. Приведем также аналитическое выражение для параболического квантового числа при котором действительная часть энергии

1Кр

проходит через нуль:

,9/4

N.

-м

11

иср с ^ 3|},

В третьей главе проведено исследование МДА в квантовом поле. В §3.1 дана краткая характеристика МДА, ее применения к конкретным физическим системам и обзор методов ее приближенного описания. Далее в §3.2 построен алгоритм точного численного решения этой задачи и найдены стационарные состояния системы при различных значениях ее параметров.

УШ для УДА в безразмерной форме имеет вид:

Н|*> = Е|¥> ;

1

Н= 2 + й(а++а)(а++ О , (4)

|р>

1«»1Х2> + |в>|х4> • (5)

атома находим:

И

(6)

Для верхнего (возбужденного) состояния

|8> = й [ 2 + Е -?а+а] 1(а++а)|ф>; [[ 5 - Е + 5а+а|+ <1а(а4а+)[ ^ + Е ~5а+а] 1 (а++а)] |р>= 0.

Отметим, что о учетом (6) в ||р> будут присутствовать лишь такие состояния |к>, которые соответствуют только четным,либо нечетным к в зависимости от четности квантового числа рассматриваемого состояния п, поэтому для точного решения поставленной задачи представим искомые ненормированные волновые функции в виде разложения:

|9п>= |п> +£в0В|;1,>|2к+1я> 5 ■ -(7)

где п=2п041п ( 1п=1, если п-нечетное число, и 1п=0 если п-четное число).

Тогда рекуррентные соотношения для коаффицентов Вки энергии!

инимает следующий вид:

B^^a^EJB^j+b^EJB^j , (8)

В(-..И 1; в«п) =0 .

В настоящей работе при численном решении системы (8), мы пользовали тот яе подход, который соответствует идеологии ОМ [3]. В стности, в нулевом приближении, мы предполагаем, что основной вклад разложение (7) для вектора состояния о квантовым числом п связан с эффициентом В(п>, а поправки к этому решению определяются

п

реходами в бликайаше состояния. Тогда в данной итерации "достаточно далегаше" коэффициенты в (7) можно отбрасывать и (8) преобразуется конечную систему линейных неоднородных уравнений.

Далее в работе приведены численные результаты, полученные при тении (8) описаным вше методом с точностью ео*10"3 и проведено их авнение с аналогичными результатами, полученными в рамках ПВВ.

Оказывается, что при вычислении энергетического спектра системы, 3 хорошо работает лишь при малых значениях коэффициента связи d. гда величина d достаточно велика ) начинаются осцилляции ергии в зависимости от d, что может привести к существенному менению временной эволюции МДА из начального состояния под здействием квантового поля, определяемого суперпозицией состояний с зличным числом фотонов.Даже при относительно небольшом значении нстанты связи с увеличением числа фотонов . п, увеличивается солютное отклонение результатов ПВВ от точных решений. В общем учае оказывается, что отклонение ПВВ от точных решений прямо опорционально значениям константы связи и квантового чела полнения фотонов п.

В §3.4 была найдена равномерно-пригодная аппроксимация для бственных значений МДА для основного состояния поля с помощью ОМ, ,е векторы состояния для возбужденного и основного

состояний атома представлены следующим образом:

CjOhitfa"1") |0> "j f C1Bh(va+)|0> '

с нЫи&Ч 10> ' + v '

1авщи ) J 1 ^ c3ch(t;a+)|0>

ей- в общем случае комплексное число,определяющее из уравнения:

SE1 2

— ' = О .

8U

О точности ПВВ и ОМ по отношению к точному решению следующему графику:

можно судить

а> >

а>

г—4

I

&

4.00 п

2.00 -

ад и V

Д

-й.

ы

0.00

---ПВВ

----- ом

Точное решение

I I I I I I I | I I I | I I I I I I I I I I I I I I I I I I

0.00 1.00 2.00 3.00

Л СоирНпд co7гsíа7гí

Зависимость энергии возбужденного состояния атома от ^оэффидента связи п »=0).

В чет&ергаой главе ОМ применяется для рассмотрения известной модели Дике.

Гамильтониан системы ДУА, взаимодействующих < электромагнитным полем, имеет следующий вид:

хорош!

одномодовш

N Ио

Н= Е

~ТГ ^з +еа+а

В N

-я Е (0++сГ). 3 1

.|а е ^ а е 1 I ,

где: II-количество атомов,причем все они идентичны. Соответствующее уравнение Шредингера (УШ): Н !¥„> = Е„|*у> .

причем - собственный вектор состояния о энергией котора;

зависит от некоторого набора квантовых чиоел и.

В соответствии со схемой применения ОМ, сначала необходимс построить некоторое каноническое преобразование для операторов,

(Ю)

(11)

»зволяицее ввести в Н дополнительные параметры. Из физических >едставлений о свойствах рассматриваемой системы (10)-(11)оледует, ■о взаимодействие атомов с электромагнитным полем приводит к >реходу кавдого из них в некоторую суперпозицию основного и >збукденного состояний, зависящую от координаты атома, что можно шсать с помощью соответствующего вращения матриц о-®'. С другой ророны, излучение атомов приводит к возникновению отличного от нуля эеднего значения оператора поля, что соответствует выделению в них даосической компоненты. В результате приходим к следующему тоническому преобразованию [4]:

с(«> = ?(«) + а(«)2+ + 'о~ ; а = +,-,3 ;

а = и+Ъ ; а+ = и*+Ъ+; [Ь,Ь+]=1 , (12)

ричем и является 0-чиолои, а векторы у^ и А^ определяют реобразование спиновых матриц 3-го атома к такому представлению, где сью квантования является вектор

ока и и 7 остаются произвольными величинами, а гамильтониан (10) в

Н = Н

о к

- . N Ио ,„

'а

Н0 = е (|и| +Ь+Ь ) + Е -2-

4- 2 ( >5 + »5 )(«в 1 + и'е •>]

"л

де для простоты опущен знак над новыми операторами.

А

В соответствии с [1] гамильтониан нулевого приближения ОМ Н0 оделяется таким образом, чтобы после проведения канонического греобразования (12) он коммутировал с операторами числа любых возбуждений в рассматриваемой системе.

Тогда его собственные векторы и собственное значение очевидны:

П

1^0)> = |(^>.(П.п> = П+ х\ И х7 |п > ;

С 3 Э < ^ 3

I ,п и > J и > J

•де символы (З-} определяют совокупность координат атомов,

шходящихся соответственно в возбужденном х* или основном х^ юстояниях при произвольном пока направлении оси квантования, то

свом представлении принимает следутеии вид:

есть:

= ± |Х*> , п |п> в п|п> , Ь|0> в О ,Ь+Ъ = п.

а величина а^ определяется формулой:

и.

ik.iv # -1к.г

■ч и е

- -Г - г- <'1 ♦ ь >(ив

Искусственно введенные параметры и и 7 определяют из уравнений:

3.-3. - о 7<«г и

Используя полученные соотношения находим спектры в нулевом приближении ОМ:

гВ1 1 (2С+"С)П 1М1

Е10'(С+,п) = 2 и/0 2йД ТЩ + £П "

(14) внергии ст

1

~1Б

Jr

еа 2П&.

-.2 2

• ^ ) •

п

соз (к.г) йг

(1+52и®совв(к.г))

1/2

а

I- 1Г

10 ]| о+еХ008"^))

сов (кг) йт

1/2

1 2КЛ "О

Г ооа(к.г)а1п(к.г)йг ( 2ПА ]г ооа(кг)а1п(кг) й

/2

где :С=Ы/й;С+=И+/й. (Н+:количество атомов в возбужденном состояшш).

Прекде всего заметим, что уравнения (14) имеют тривиальное решение: ио=0, которое приводит к энергетическим

уровням, совпадающим с уровнями системы без взаимодействия: И0

ЕН0) = ~Г (2<Ч - С)А + ей • '

Назовем такое состояние системы нормальной фазой (Н-фазой).

Однако полученные решения показывают, что наряду с указанной фазой системы, возмокно и такое ее состояние, при котором возникает отличная от нуля классическая компонента электромагнитного поля, обусловленная коллективным взаимодействием атомов, в результате которого они находятся в некоторой взаимно-согласованной суперпозиции состояний. Такая коллективная фаза системы (К-фаза) возникает только при значениях параметров, когда существует отличное от нуля решение

уравнения (14):

1

ТЕ

и:

(2С+-С>о

2

3' + О = 1 .

(15)

2ЛД "1 "а

Уравнение (15) в общем олучае можно решить лишь

числено,посмотрим некоторые предельные случае,когда оно решается

аналитически,причем нас интересует 'Только К-фаза.

1. Среда представляет собой тонкую пластинку:

ыа

е веп(2Г -С) е г 1 о . _ „ ,

Хв,<с+.»> " г - ТЕ -а54(2С+-оаоа -1]+ш. (16)

том

I Г1- "" е-где в^(х)¡функция знака.

Из (16) видно, что система может находиться в К-фазе только

случае, когда выполняется условие: 1 а

- - ?2 |2С+ - С|й >1 причем условие (17) одновременно обеспечивает энергетическую выгодность пребывания системы в К-фазс. 2. Среда имеет произвольную тольщину: а.Случай слабого поля:

(17)

1

"к (

в1п4ЛД 16 у 1 1 0»Г ^ )] ]

5

1 Г 16 '

=? I1,

+еп

где введены обозначения:

в = 8' Р1 1

V 14

1

в1п 2пА

(2ЯЛ)2 в1п4ЯЛ

4кД 5

: К =25Л + 2

1 а^гяд

3 +

(2ЯЛ)а в1п4ЯЛ

(1 -оов*2ЯД);

з1п8яд

ЛЛ

8ЛД

ы.

5а(2С4

С>о -

к " 2 £ + Условие енергетической выгодности пребывания системы в К-фазе: г 2 - 2 X -2

>"= или зЫяА- <"2 '

14-

причем чем меньше поле, т.е. величина £и0, тем менее устойчива К-фаза системы по отношению к переходу из К-фазы в Н-фазу.

Ь.Случай сильного поля (£ио» 1): Уравнение (15) решается аналитически только в случае,когда Л является целым числом.Спектр энергии К-фазы тогда определяется формулой:

и2е

1/3

40)(4+>п) [уг <2С+-С)аоа ]

1 в* (2С+-С)а0а 1/э

-£ [54 ^ ] +еп-

Условие того, что система энергетически более выгодно находиться

в К-фазе: и

-Г (2С+-- С)А > - . * 1бг

причем необходимое условие существования К-фааы не содера&т

ограничения на коэффициент связи g , что и естествешю, так как это

ограничение уже входит в предел сильного поля.

В §4.4 получена аналитическая оценка статсуммы системы ДУА,

1

взаимодействующих с одномодовым электромагнитным полем

Б

^постоянная Больцмана;Т:температура):

и2

Ъ =ехр{ -1п( 1-е~^Е) + Ш.п(1+иа) - N --г 1пи2 +рша

п - 1+и ■

0 (2<к -И) ■ а1/а ,

-9 -д--—Р(2*Д,|1) (1-11г)1/г ] .

Прежде всего отметим, что в этом случае также существуют тривиальное и нетривиальное решения. В случае решения о и=0, у (г)=0, у (г)=1, Ъ можно вычислить без всяких приближений, поэтому было рассмотрено лишь нетривиальное решение.например,в случае А« 1,тогда

1 ао

С8|й| > 1

4 е

Параметр «я определяется из уравнения для разностей засоленностей уроней:

и2-1 5 ( йг б л , га2с б % 5=2<к-М _ , = С тг) = (18)

а и-из уравнения (15) с заменой С^к/й.С^/й, где 4^(0)1/2.

Уравнение (18) аналогично уравнению для намагниченностей I равновесной теории ферромагнитизма в приближении среднего поля

отличным, однако, значением а = 2daC/jc ejj. зависящим теперь помимо

Б

температуры, также и от интенсивности и частоты световой волны поля

излучения и не зависящим от разности энергий уровней. Критическая

температура, при которой происходит фазовый переход, определяется

формулой: Т0 = 2Cd2/£k .

Б

В заключении приведены основные выводы диссертации.

Основные результаты диссертации олубликованы в следующих работах:

1 . Feranch.uk I.D. ,ly Хиап Hat Analytical estimation of the energieB

and widths of the Rydberg states oi a Hydrogen atom in a electric field.//Phys.Lett.A.1988,137(7,8),385.

2 . Феранчук И.Д. ,Jlu Суан Хай Аналитическая оценка для энергии

ридберговских состояний атома водорода в электрическом поле. //Оптика и спектроскопия.1990,68(2),243.

3 . Феранчук И.Д..Ли Суан Хай Аналитическая оценка энергии высоковозбуяденных состояний атома водорода в электрическом поле. //Тез.докл.Всесоюзного семинара по теории атомов и атомных спектров.Тбилиси-1983,с.68.

4 . Феранчук И.Д.,Ли Суан Хай Точное решение задачи о двухуровневом

атоме во внешнем поле.//Тез.докл. III Международного семинара по атомной спектроскопии. Черноголовка-1992.о.

5 . Ie Van Hoang,Ly Хиап Hat,Komarov L.I. .Romnava T.S. Relativistio

analogy of the Aharonov-Bohm effect in the presence of a Coulomb field and a magnetic charge.//J.Phys.A:Mat.Gen..1992,25,6461. 6. Феранчук И.Д., Jlu Суан Хай Операторный метод в задаче о взаимодействии системы двухуровневых атомов с одномодовым квантовым полем.// Вестник БГУ,1993. К публикации.

Цитированная литература:

1.Feranchuk I.D..Komarov L.I. The operator method of the арргох1п^ё solution of the Schredinger equation.//Physics betters A. 1982,88(5),212.

2.Коларов Л.И..Таланова Т.С. Алгебраический метод решений для водородоподобных атомов.//Известия АН СССР : Серия физ.-мат. наук.1982,2,98.

3.By Нгок Тыок,Феранчук И.Д. Модификация операторного метода решения уравнения Шредингера для системы с нарушенной симметрей.//Весц! АН БССР:Сер.Физ.-Мат.наук.1991,2,75.

А.ТяОликов С.В. Методы квантовой теории магнетизма.М.:Наука,1975.с.56

Ли Суан Хай

ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД В ТЕОРИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

АТОМНЫХ СИСТЕМ С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ

Специальность 01.04.02-теоретическая и математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати ¿о-ои.92, Формат 60x84 1/16

Бум.шсч. К 1. объем 0.7 п.л. 06 уч.-изд.л. 'Тираж 100 екз.

З.М ДЬ1^ Бесплатно

220080, г.Минск

Отпечатано на ротапринте Белгосуниверситета Ул .'Бобруйская, 7.