Операторы, сохраняющие субгармоничность, и некоторые задачи классического комплексного анализа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНА АКАДЕМШ НАУК УКРА1НИ Ф13ИКО-ТЕХН1ЧНИЙ 1НСТИТУТ НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР ¡.м. Б I. В6РК1НА

пгз' с;]

На правах рукопису

ФРИНТОВ Олсксапдр Ь-'вгсшйовхг:

ОПЕРАТОРИ, ЩО ЗББР1ГАЮТБ СУВГАРМОН1ЧН1СТБ, I ДЕЯК1 ЗАДАЧ1

КЛАСИЧНОГО КОМПЛЕКСНОГО АНАЛ13У

01.01.01—математнчшш ана.'пз

АВТОРЕФЕРАТ дпсертащТ на здобутхя наукового ступеня доктора ф1з1псо-математнчш1х наук

Харюв—1995

Дисертащя е рукописном.

Роботу виконано у ф1зико-техшчному шституп низьких температур HAH Украши.

Офщшт оионенти:

1. доктор ф1зико-математичних наук, професор Тамразов Промарз Мелшович

2. доктор ф1зико-математичних наук, професор PohkIh Лев 1саакович

3. доктор ф1зпко-математичнпх наук, доцент Фаворов Ceprift Юр1йович

Провщна оргашзащя:

JlbBiBCbKirfi державний ушверситет, м. JIbbib

Захпст вщбудеться £_ 199£Гр.

//// ....

о Jf_ год. на зас1данн1 спещал1зовано1 ради

Д 02.35.01 при ф1зико-техшчному шститут1 низьких температур iM. Б.1. Веркша HAH УкраУни за адресою: 310164, м. Харк1в, пр. Ленша 47.

3 дпсертащею молена ознайомитися в науковш б1блю-тещ ф1зпко-техшчного шетитуту низьких температур, Хар-юв, пр. Ленша 47.

Вчешш секретар

СпещайзованоУ Ради

доктор ф1зико-математичних наук

Автореферат роз1слано

1995 р.

В.П. Котляров

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОВОТИ

Актуальшсть теми. Предмет дослщження.

----------Як вшоногголовнпм об'ектомдсомплексного аназдзу ^ голо-

морфш фуяктш, тобто фунташ. впзначеш у деяюп вьлкрнтш облаем комплектно']' площпнп I днференщповм у кожшй точщ. , Д п ф о р <-ншшлш 1 с• тъ у комплексшп плопшш. на пш~ лину шд днферешдйовноет1 нн ллпешй оса. накладае доешь жорстш обмеження на поведшку функщй. зокрома, таш функцп у кожному круз1 свое}' облает! внзначення допус-

КНЮТЬ е'Г^ИРНРВ** роЗТМТНРННЯ

1

\ е узагальненням полшомш.

Якщо мп подано голоморфну функгцю у вигляд! сумп п догсно'1 та уявноУ частпн /(;) = и(с) 4- > >'(;,). то функцЙ //(с) та v{z) будуть гармошчнтш. тобто задовольнятпмуть р1в-н)шня Лапласа

. , . , О'2 а д'2и

Ли.(.г + гу) = _+_ = ().

¿ЛИ О у

Якщо фупкщя /(г) е голоморфною, то 1о^|/(с)| б уде гар-ыошчною фушаиею па в с] и обласш внзначення /(-) за вп-ключенням т1еТ множили, до Л?) дор^вшое пулю. \ отясо. задоволвняе ствв}дношення

1/(~о)| = ~ С 1о£ + М

для ветх /> та го таких, пю круг {¡с — < /;} но лястпть КОрРШВ фуНКЦН f. Для Т Л'ПВ. що мкдять коррш функцп

f(z), матиме шсце нер1вшсть

log 1/Ы1 < ^ flog\f(zo + ре*)\йф .

Нагадаемо, що фушгщя f(z) ф — оо називаеться субгар-мошчною в деяюй облаеи, якщо вона там швнеперервна зверху i задовольняе нер^вшсть

1 2jr

u{z0)<~Jo и{2о + ре{ф)(1ф.

Уже згадувалось рашшс. логарифма модул'т голоморф-Ш1х функщи е субгармошчними, хоча клас субгармошчних функщи значно ширшии. 3 imnoro боку, клас субгармошчних функщи побудовашш простшхе, Hi ж; клас логариф\пв модутв голоморфннх функщи, бо

субгармошчн1 функци ухворюють опуклин конус,

максимум субгармошчних функщи е субгармотчною функщею.

Завдякн простои визначення та ткному зв'язку з ана-лгагчшши функщямн, субгармошчш функцй грають дуже важливу роль у класнчному комплексному araumi, бо дуже багато факт1в комплексного анал1зу можуть бути отримаш з використанням тшьки властивоста "субгармошчносп" до-сл1Джуваного об'екту (ощнки гармошчних Mip, р1зного роду теореми единоси для аналшгчних функщи, функщональш нер1вност1 та тлн.). Головним пунктом застосування субгармошчних функщи у комплексному анал1з1 е принщш максимуму, якш! стверджуе: якщо субгармошчна функщя и на межл областгй визначення не перевшцуе деякоУ гармошчноУ

у цш же обласи функцп, то ця нер1вшсть мае мюце також 1 всередит областл визначеиня.

В силу в1дшченого вшде, актуально значения мають ощн-

---КИ СубгарМОШЧНИХ фуНКЩНгЯК^ ВТГКОрИСТОВуЮТБСЯГу рПНИХ

галузях комплексного ашмгзу (яка е основою р1зного роду теорем единоеп). У 1973 рощ А. ВаегпяГет запропону-вав принципово ново перетворення еубгармошшшх функ-щн, основна властшпсть якого збереження субгармошчно-сть Вш назвав це перетворення т-функшсю. Це перетворення впзначаеться таким чином: нехап «(г) - субгармо-шчна фушшш у кыми 2 — гг"1': г £ г;). тод» ^-функт^тт мае внгляд

Це перетворення дало змогу зводити ощнкн для дуже складно побудованих субгармошчних фунтщш до досить простнх (до ощнок субгармонпших функщн, що мають де-якт в.ластивост1 cimcTpi'i). Введения *-функщн дало змогу A. Baernstein'y розв'ясзати ряд проблем комплексного ана-л1зу. ятеi на гтротяз1 тривалого часу не шддавалпся роз-в'язанню. Серед дпх проблем була вщома гшотеза Little-wood'a щодо точно!" ощнкн £2-норми однолнстих функщн класу S.

У дисертатш будуютъся та досл1джуюгься оператори. що збертпоть субгармониппсть (пчшбно до *-функщ'1 A. Baerns-tein'a). Застосовуючи щ операторп, автор Biipiuiye ряд задач комплексного анал1зу, серед якпх

доведения rinoTC3ii Б. Я. Левша про точну ощнку суб-гармошчно! функци сшнченного степеня та обме женен

на деяюй в1дносно щшьшй множнш д1йсноУ oci;

доведения гшотези Anderson'a про справедливють cos прА-HepiBHocii для цдлих функщй сшнченного порядку, що подаються лакунарнимп степеневими рядами;

доведения-гшотези A. Weitsman'a про точну ощнку L1-норшг функщУ Грша областей, що не м1стять "довгих дуг", та застосування щеУ нер1вност1 для одерлсання точно'У ощнкп у задач1 про максимальш дуга кола \z\ = г, на яких мероморфна функщя сшнченного порядку обмежена.

Побудоваш дисертантом оператори, що збер1гають суб-гармошчшсть, знаходять застосування в роботах iminix ав-TopiB, наприклад, нещодавно, використовуючи одаш з побу-дованпх у дисертащ'У onepaTopiB, А. Солпшн розв'язав задачу В. Дубшша про точну ощнку гармошчноУ Mipn iniep-валу в'цщосно областей, що не мктять "довгих штервал1в".

Поряд з операторашг, що збер1гають субгармошчнгсть, у дисертащ'У розв'язуеться ряд задач комплексного ашипзу, пов'язаних з питаниями повноти експоненщ альшix i полшо-м1алышх систем у функщональних просторах; деяш задач1 комплексного анал1зу, що пршшши з теори ймов1рностей; задач! Teopi'i розподшу значень щлнх та мероморфних функщи, пов'язаш з асимптотичною поведднкою Ух модул1в. Серед них

достатш умовп повноти полшом1в у просторах £2(/х) з дискретнимн MipaMii //, що дають позитивну в1дпов1дь на одне з запптань P. Koosis'a;

одне з узагальнень теореми единосп Масийуге'а для ря-ддв Д1р1хле з лакунами Фепера;

задача про характернзащю Гауссовпх розподш1в лакунами семпнвар1анпв ¡мгаирпопюго розиодыу (роз-в'язання одше"1 з задач Л. Клебанова);-

задача \¥. Наутап'а про можлнву астштотпчну пове-днпсу часткп 1о[>; //(?*, /)/ Л/(г. /) для щлпх фупктй порядку бшыиого однннщ (будуеться контрприклад до його гшотези, що верхня грашщя цього в1дношення не МРНТТТ^ -IV

Результатн дпсертащУ знаходять подалыний розвиток 1 за-стосування у роботах ншшх математшив. Наприклад, ро-звиваючи та застосовуючи методику, запропоновану у робота [5], А. Бор1чев 1 М. Содш одержали достатш умови щодо повноти полшом1в у вагових просторах Ь2(/./) (у деяшй м1р1 таких, що но можуть бути уточнеш); .Т. А. ^'ек.яшаи 1

автор викорпстовувалп екстремальну ощнку фуш{щи Грша областей, що не ьистять "довгнх дуг"; В. Вганш використо-вував контрпрпклад до гшотези \\г. Наутап'а як основу для розв'язання одшел задали, запропонованоТ \\'\ Баушап'ом.

У дпссртаци запропоновашш шдх1д до розв'язування гкс-тремалышх задач клас}шно1 теори потенндалу, який засно-вуеться на эаст^с-иванш операторов, пю чбпр1гаттт. с.лгбгармо-нгапсть. Автором знайдеш нов1 оператори з шею властиш-стю. ГЦ оператори усшшно застосовуються автором для ро-зв'язування р1зних екстремальних задач теор1У потенщалу. ])озв'язок якнх не вдавалося одержати ¡ишш; методам!. Варто вищтгш, що метод "субгармошчних оператор1в1' до-

зволяе розв'язувати складш екстремальш задач1 досихь про-стнмн методами. Ощнки, що грунтуються на цьому метод1 у комбшацп з методом граничних функщй, не В1др1зняються звнчайною в таких випадках гром1здк1стю та е доснть прозо-рнмн. У днсертаци подано розв'язкн ряду задач комплексного анализу, що на протяз1 тривалого часу булп в1дкритими проблемами. Результат днсертаци знаходять широке за-стосування в подальших дослщженнях у гаяуз1 комплексного аналЬу, ефектпвно внкорнстовуються шшпмп математиками. Результатн, щодо оператор1в, яю збер1гають субгар-мошчшсть, е доброю базою для створення загальшл теорй таких оператор1в. Вони зарекомендували себе як могутшй аналгагчшш зааб для розв'язування р1зномаштних екстре- , мальних задач комплексного анал1зу.

Мета та методика дослщження.

У днсертаци широко використовуються р!зномаштт методн класично!' теорп потенщалу, таю як класпчна теоргя суб-гармошчних функщй, й сучасш досягнення; методика до-сл!дження асимптотично1 иоведшки щлих та мероморфних функщй, яка грунтуеться на використанш грашгчних функщй; сучасш досягнення теорп потенщалу щодо тонких то-полопй. Особлива увага в дисертацп приддляеться мето-дищ застосування оператор1в, що збер1гають субгармошч-шсть, до р1зномаштних екстремальних задач.

Метою дисертагщ е:

а) Побудування та дослщження властивостей оператор1в, що зберигають субгармошчшсть; розробка методики IX застосування;

б) Розв'язання конкретних задач комплексного анал1зу, що грунтуеться на розроблснпх методах;

Наукова новизна, теоретична 1 практична цтшсть.

Уа результати дщсертацп 6 новими науковими досл1джен-нямп. Як було в1дм1чено В1пце, у дисертащг знайдено роз-в'язок ряду актуальних задач класичного комплексного ана-л1зу. Розроблеш автором методп знаходять широко вшчористания в сучасному анал1з! та дослщженнях укра'шських 1

эрру Г)1 . « ЛГПГ^рМ(Ш1ии1 (>|1МТ1М'Г1М1М\ I М I! 1 V -

доваш автором, та методики 1"х застосування б могутшм за-собом для розв'язання задач комплексного анализу. Вони застосовуються в досл1дженнях ¿нших математшав 1 ефек-тхшно дпоть.

У дисертагщ вперше побудоваш (досить просто конструй-оват) деяш нов! оператори, головною властишстю яких е збереження еубгармошчность Грунтуючпсь на цш вла-стивост! опсратор1в, IX застосування дае ефсктивний розв'язання ряду задач комплексного анал1зу, розв'язок як их не в дакал ое я одсржати iiniiTD.ni методами.

У днсертащУ подано розв'язання ряду шших задач комплексного ана,тпзу (що в тш чп ¿ншш Мф1 сппраються на методики, розроблеш автором), яш були В1дкрнт1ши проблемами. Розв'язкп цих задает, запропоповатн автором дис-ерташ1, дають оетаточну в1дпов1дь на щ питания.

Результати дисертаци використовуються у комплексному анализ! та можуть бути застосоваш для побудови теор1'1 суб-гармошчнпх опернтор1в. яка б давала можлшшлъ в1дносио повного опису оператор1в, що зберщають субгармошчшсть,

та дослщження Ух загальних властивостей з метою викорн-стання останшх у р1зномаштних задачах класично'У теорп потенщалу (таких, як оцшки гармошчних м!р, р13цого Т1шу теорем единоси, ощнки геометричних характеристик мно-жин пшу "мктшсть", метрики Пуассона та таке шше).

На захист вгшосяться таш основш положения:

1. Побудування нових операторгв, що зберЬають субгар-мошчшсть;

2. Застосування побудованих оператор1в для розв'язання конкретних задач анал1зу;

3. Розв'язання деяких задач щодо повноти полшом1альних та експоненщальних систем у функцюнальних просторах;

4. Розв'язання деяких задач, пов'язаних з симетр1защею областей; задач теорп ймов1рностей, розв'язання яких базуеться на розвхшутих автором методах, 1 побудування деяких прикладцв субгармошчних функщй.

Наукова в1рстдшсть результата.

Уел результат дисертаци е математичними твердженнями, як1 доведено на прийнятому у сучасноУ математищ р1вш строгость

Апробащя роботи.

Результата дисертащУ доповщалнся на конференщях з комплексного анал1зу в м. Черноголовка МосковськоУ обла-си (1983, 1985рр.), на Банаховському семестр! у Варшав1

(Полыца, 1992р.); прочиташ лекци у лиши школ1 з теорй потенщалу в Иоенсуу (Фщлящця, 1993р.), на Неванлшнов-ському Колокв1ум1 в Иоенсуу (Фшляшця, 1995р.), а також на семшарах:- ЛbBiBCbKirfi держушверснтет (1986р.), Петер-бурзьке в1ддшення Ml ¿м.Стеклова (1985р.). Харшвсыаш держугаверситет (1983-1994рр.), 1ллгнойськ1Ш ушверситет (Urbana, US, 1993р.), университет Purdue (West Lafayette. US, 1993р.), Ваштгтонський ушверситет (St. Louis, LIS, 1993р.), В1рдж1Шськ1П1 хехнологиш1П1 шститут (Blacksbur^,. US, 1993р.), ушверситет штату Kentucky (US. 1993р.). уш-вррсптет Т.ТрркиЛя (ТТТнешя. 1994р.). Копспгагенсъкий утп-версптет (Дашя, 1994р.), технолопчищ"! шститут м.Тронд-хенм (Норвепя, 1994р.), ушверситет Иоенсуу (Фшлян.~ця. 1995р.), а також на ряд1 семшар1в у Ф1знко-Техшчному 1н-CTiiTyxi Низьких Температур у м.Харков^

Публ1каци.

Основшш: зм1ст дисертащ1 опубл1ковано в 11 роботах [1 11].

Структура та обсяг роботи.

Дисертащю викладено анрпнською мовою на 160 сторшьнх тексту, зверстаного на LaTeX (style{12pt. article}). Bona М1стить: 3mict, вступ, чотнри частинн (шшлеш на роздали), craicoK лтфатури (63 шишенувань) та одшг рисунок. Кожна частпна мае невеликий вступ. що е штролуь-щею до й зм1сту. Роздали, як правило, розпочннаються з в ступу, якш1 MicTiixb ocHonrn означения, конкретно огшслння проблем, що розв'язуються у роздан. Деяю роздьхи подьхеш на параграфп, mi мк:тять 3aKiH4eHi положения або дппс-

дення. Нумеращя формул та теорем, що використовуеться у дисертаци, - насщнзна у кожному роздШ; перш1 цифри п вказують на номер роздалу. Нумеращя роздтв^ наскр1зна по вс1н дасертащУ (номер частпнп в нумераци не вщобража-еться). В автореферат! ми цптуемо теореш1 та положения дисертаци, викохшстовуючи таку нумеращю: (ф роздшу.# ствердження).

Перша частина е ядром дисертаци' та мае назву "Операторн, що зберггають субгармошчшсть, та задач1, яти вош1 розв'язу-ють". Основш результатп опублпшваш у [1, 2, 3]

Основою дослщження е така теорема А. Ваеп^еш'а

Теорема (А. Ваеп^ет). Нехай и{г) е субгармотчною функщею у кшьцг А — {\г\ 6 (п, ?'2)}. Тодг функцгя

Ця теорема, що доведена у 1973 рощ, надала могутнього поштовху щодо розв'язання ряду екстремальшк задач теор11 потенщалу, теор1У розподшу значень щлпх та мероморфних функщй, геометрнчноУ теор1У функцш 1 деяких 1нших галу-зен анал1зу.

Дослщження, проведен! у перший частиш дисертащУ, розпочадись !з спробн автора використати *-функцпо А. Ваегп-

ЗМ1СТ

stein'a для такси задач! теорй' потеншалу (вщомо"! же задача Б.Я.Левша):

Hexaíi П = < 1} е смугою та нехай D - задшнена

-----Ашожтша Ha^iñcniii осг,лцо s ^izniociio густою n0"inpÍ7T05T0',~

знай дуться 1 i (S. шо nipa поретину множтат D з кожшш inropn.-глом довжпнп 21 не мошне, ni ж 28. Як добугп нан-кращу ощнку зверху для гармошчней r.iipix мела смуги Olí тпдносяо облаез! П\ D. Bi/аюй!дно до гиютези, шо пропо-лупов Б. и .Левш. така ощнка потлшна. досягатпсь на делгпй екстремальшй футпщ, яка е гармоштшого mídoio naniodn.v.-

п 11 / I i I ¡1НПГМ11 I \ í I / 11 итпигтпл I I - Y Г Г í \ Г' гтп/1Т1ттпптттг ' * " --------

BanÍB довжинн 26 та з в1дста1шяди 21 mí ж центрами сусшпх штервал!в.

Ця задача здавалась "очевидною" з точки зору и фхзич-ho'í штерпретацй' як розподшення температурп у середиш смугн, коли на "и меж! п!дтримуеться температура 1, а на миояапп D 0. Алс мп б бажалп застерегтп шд фЬпч-Hoí ^>чев1!дностГ хпдтхтдь Цьому е дуже доорни приклад: кожкт'т ф!зик знае\ якщо р'озеунутн обкладки конденсатора (зСилъшпш в!дстаиь uomí>k шш, не змшюючп Yx форма), то míctkíctí> конденсатора зменнгл хься. Давайте зараз у таимо, шо обкладки конденсатора складаютьея з юлькох пластин, i лш зСНлышшо вщетань тшыш mí ж дежтш з них. не змппо-Ю'Ш положения решти. Запнтанте першого-л!пшого ф1зика, то станет!,с я з мк:гюсгю у цьому вииадку? У 99% вштл-ídíi зи почуете цповыеиу вщповщь, що мктшеть ¿меншшъся. Але чудовгш приклад, побудовашш П.М.Тамразовим в иого робот!, присвячешй розв'язанню одше!" з задач Гончара про мп-тпзащю míctkoctí плоских кондонсатор!в. демонструе. що це не зав леди так. У деяких вппадках míctkíctl не змен-

шуеться, а збьпынуеться!

Задача Б.Я.Левша, незважаючи на ïi "ф1зичну очевид-шсть", не тддавалася простому розв'язанню, a ïï "ф1зична очевидшсть" була лише уявною, бо маючи на уваз1 ïi тем-пературну штерпретащю, ми мимовол1 припускали, що на меж1 шдтримуеться не по спина температура, а що межа е джерелом тепла деяко'1 послйно!' штенсивност1, яким напри-клад, е дайсний холодильник або нагр1вник!

Спроба застосувати *-функщю для розв'язання задач1 не уынчалась усшхом. Потам була зроблена ¿нша спроба: по-будувати будь-якйй новий оператор, що збер1гав би субгармошчшсть (як це робить *-функщя) та який би дозволяв розв'язати поставлену задачу. Цим оператором впявилось побудоване автором узагальнення *-функщ'1 A. Baernstein'a, яке означаешься таким чином:

u*,(reie) = sup{JEu(re^)dilj : mes (Е) = 20, diam(Е) <21}

вщзнака якого вщ *-функци лише у тому, що супремум бе-реться не по есш множинам Е kipii 2в, а лише по тих Î3 них, яга можна розмгстити у будъ-якому ттервалг довжини 21. Зрозумшо, що область значения визначеноУ вище функ-Щ1 шша, шж область визначення *-функци (це не щле шв-юльце, а лише шльцевий сектор arg в € (0, /)). Але цей оператор 36epirae субгармошчшсть та ефективно розв'язуе задачу Б.Я.Левша (див. роздал 3, частина 1).

Дал1 була поставлена мета знайти деяш imiii оператори, що зберигають субгармошчшсть. Незважаючи на те, що на-справда можливо побудувати щлу cîm'io таких оператор1в,

виходячи i3 зображенйя

(Au)(rei0)= sup f u{rchl') (1ц{ф)

V€M(0)J _____

якщо дати в1дпов1дний omie сам'Г Mip M(0). що забежать В1Д 9. Ми обмежнлися у дисертащУ лише операторами и* i и (останнш внзначаеться

й(ге") = sup и(г^),

\Ф\<\0\

тому що вош1 е найпростшпшп. та шо важлипо. тпмп з них. що вже ¿нашили ^ф«»ктттт?н^ застосувания при розв'язанш екстремальних задач.

У роздьщ 2, прнсвяченому доведению субгармошчногт1 та дое.лидла'нню властивостеп onepaiojja й, ми також застосо-вуемо цеи оператор для доведения гшотези Андерсона, яка складаеться з того, що щла функщя f(z), що може бути зображена лакунаршш степеневим рядом з .тишиною гшль-шстю показншлв Д, та порядсж якоУ не перевпщуе (>. />-\ < 1. задовольняе нер1вшеть

v Ьб|/(Г)| . .

hill sup --777—77 > COS 7Г/)А .

r—oo log М (?•,/)

В1Шористовук)Ш1 техшку граничннх функшп та субгар-мошчш властивост1 оператора, мн июдимо ию задачу ю аиалопчноУ задачi у клап субгармотчних функшн «4(A). тобто таких що

111аxuire'" ) = mnxti(r< " )

v i

для будь-якого шторвалу I довжпнп 2тгЛ. Попм. впкори-стовуючи оператор й, ефективно розв'язуемо п. Водночас

1 ь

ми приводимо результат, що узагальнюють гшотезу Андерсона, яш дастаються застосуванням Tiei же технжи.

У розд^ 4 ми досл'щжуемо даю оператора и] на дельта-субгармошчш функщГта доводимо деяга теореми, зм1ст яких можна охарактеризувати таким чином: функщя ujf, де и - дельта-субгармошчна функщя, може бути перетворена до субгармотчног за допомогою деякого ефективно шдь браного доданка, який компенсуе супергармошчнии внесок функци и. Трудноцц е у тому, що цей доповняльшш доданок можна вибрати не единим чином, i тому це треба зробитн так, щоб створена таким чином функщя була б не тшьки субгармотчною, але i гармотчною для широкого класу по-чаткових функщй. Правило тут дуже просте - чим ефек-тившше ni добрано цей доповняльний доданок, тим ефектив-шше застосування цього оператора для розв'язання iiei чи mmoi екстремальноУ задача

Доведен! теореми про субгармошчшсть дають ефективне розв'язання задач1 А. Weitsman'a щодо найкращо! ощнки зверху для

Г 1) dxfi,

J—7Г

де G{z^) е функщею Грш:а област1 Q, яка характеризуемся умовою: Q не мштить дуг розхилу бшьше, шж 21 для ycix ш |z| = г, Vr > О, (область не е обов'язково однозв'язною, та ми означаемо, що функщя Грша дор1внюе нулю, ягацо 2 або £ не належать Q). Зпдно з гшотезою точна нер^вшсть мае досягатися на функцй' Грша кута | argz| < /.

Ця задача розв'язуеться у роздал! 4, а в роздии 5 ми нада-емо доведения гшотези А. Weitsman'a про те, що довжпна

дуги /

В (г) — максимальна дуга{л : м(~) > 0} П {|г| = г} .

де и дельта-субгармошчна функщя порядку р з Неванлщ-

новськпм дефектом задовольняе таку нер1вшсть

1ипяпр (9(г) > тт(27г14/)-' агент \А*>/2) .

7'—'СО

Цен результат е ¡етотним уточнениям теоремп А. Ваегп-кГеш'а, яка етверджуе. гцо остання ощнка мае м1еце не для максимально! кутово'У довжини дуги, а для кутово'У м1рн тпеУ множпнн.

Друга частина дпсертащУ прнсвячена розв'язанню двох задач, пов'язаних з питаниями повноти експоненщальних та полшом1альних систем в фушшдональних просторах. Основш результати надруковано в [4, 5].

У розддл1 7, присвяченому проблем! Машнтайра, ми маемо справу з так званимп Мюнцевськими системами. тобто системами можвпв х"к, де £(!/».£.) < Зпдно з вгдомою теоремою Мюнца система е неповною в простор! Ь2[0. 1]. тобто не колена штегровна функщя з Ь2 може бути добре апроксимована полшомамп, утвореними з пих монодив. Ана-лопчне ствердження е в1рнпм для функцюнальноУ спстеми ехрА^.г у простор! Ь2( — оо.О). ОдноУ такоУ неповноти досить для доведения такоУ теоремп Макштаира:

Теорема (Макштапр). Цша функция

де ряд 1 /Л/, збггавться та Л/. > 0. не може бути обмеже-ною на дтент прямгй, якщо вона не тотожний нуль.

1 7

Ппотеза Машнтайра полягае у тому, що ця функщя не мо же бути також обме женою на будь-якш кришн, яка не-обмежена справа. На жаль, для доведения щеТ гшотезы не-достатнъо тшьки факту про неповноту Мюнцевсько'У системи на будь-яшй настиш ид 61 криво!, що обмежена справа (по-значимо таке обмеження як/уу = 7 П < у}). Насправдц, розв'язання ще1 проблеми пов'язано з таким питаниям: ж ощнити вщстанъ у шдоадшй метрищ Ь2(■уу) м1ж будь-якпм фшсованим представником системи ехр А ¡¡г 1 л1шйною обо-лонкою функщй, що залишилися у систем!. Якби вдалося отримати таку ощнку, що не залежить вщ уУ1 то гшотезу Машнтайра було б доведено.

Ми доводимо таку теорему единостк

Теорема 7.1. Цгла функцъя /(г), що може бути зобра-жена рядом Д1р1хле з лакунами Фейера, не може бути обмеженою на множит яка е необмеженою справа та е об'еднанням вгдр1зк1в фъксовано'г довжини та будъ-яког ор1ентацп. /

3 щеУ теореми випливае ппотеза Макштайра в окремому В1шадку, коли крива е ламаною, що чистить несшнченну множнну ланок довжини, яка бшыие деякого фиссованого числа.

У роздш 8, що присвячуеться питаниям повноти поль ном1в у вагових просторах Ь'2((1), доведен! достатш умови повноти для м1р ц, що зосереджеш у коренях деякоУ щлоУ функщУ» Ф(,г) класу Гамбургера, ц{\} = (1/Ф'(А))2. Достатш умови на множину корешв функцп Ф, що забезпе-чуватимуть таку повноту, подаються в геометричних термь нах. Тнтерес до щх особливих вагових простор!в не е вн-

иадковим: справа у тому, що з кожною проблемою моменив Гамбургера пов'язана (можлпво побудувати) деяка функщя класу Гамбургера, та питания про опис розв'язтпв проблемп момекпв Т1Сно пов'язашш з питаниям чи е полшоми скр!зь пи л ь н о к> мно>1.;иною у ваговому простор! ¿2(/<)-

Достатш умови, що доведен! нами, хоч !. е ведьмн далекими вы псоГшдтшх. однак то е перша спроба надати яку-нобудь геометричну характеристику ICopeIíeвlIX множин функшй класу Гамбургера, що забозиечуе повноту полшомт у Щ1Х вагових просторах. Нами доведено, що коли множила

КППРИ1П Прнгаатгс (лтчо^т/ч^ I? , -,ГТТТ-г. - - - —„-—^г1 <"Г .

пор;ТД7._. ,, < 1/2), хо ±пКе1 .~.1ноли1на ь королевою миожхшого деякоУ функци Гамбургера, що забезпечуе повноту полшо-м1в у цих просторах. Доведения грунтуеться на безпосе-редньому ощнюванш пол!ном!альш1Х мажорант Т1шу Холла - Мергеляна. Деякш! час здавалося, що такии шдхщ до оцшок Мергеляшвських мажорант не зможе дати будь-яких геометричннх достатн!х умов, що ¡? блнзыаши до необх!дних (через епецпфжу вихчористува.ния повед!нкн функщи з коре-нями на /?-множпнах), однак зовс1м недавно, застосовуючи техшку ощнювання Мергеляшвських мажорант, розробдену в дисертацй", А. Бор!чову ! М. Сод!ну вдалося отриматн до-статш (у деякому смпсл! таю, що не можна иол!пшитн) гео-метричш умови на коренев! множинп, що забезпечують повноту полшом!в в щгх просторах (зараз Ух робота готувться до публшащУ).

У частит III дано розв'язання двох задач, кор!ння яких лежать у теорп имов!рностеп. Основш результати надруко-вано в [6, 7, 8].

Наведемо ощш !з результат!в щодо питания, як багато ла-

кун мо же махи послщовшсть семинвар1ашлв 1мов1рностного розподшу.

Теорема 10.3. Нехай <p(z) - exj) f(z) е аналътичною характеристичною функцгею у точц{ 2=0. Якщо f(z)

та А = limk/Xk — 0, то е характеристичною функщею ГаусЫвсъкого розподшу.

Якщо в умовах ще\' теоремн функщя f(z) е щлою, то аиа-лопчне ствердження в1рне при А < 1/2.

Питания, що розв'язуються в роздии 9, пов'язаш з точною ощнкою зверху для максимально можливого порядку зростання цших характеристичних функщи, яга не мають корешв всередиш деякого кута, якин оточуе уявну в1сь (або мае в1дносно небагато корешв у цьому кут1). Використо-вуючп техшку перетвореиня субгармошчних функщи, вда-еться отримати точш ощнкн для порядку (mi зале жать вщ обсягу кута, у якому функщя не мае корешв).

Основш результати частини IV надруковано в [9, 10, 11]. У чаетиш IV роздшу 12 дисертатщ будуеться контрприклад до одн1б1" з гшотез Хеимана. Було вщомо, якщо порядок щло'У функцп < 1, то верхня грашщя частки log //(г, /)/ log М(г, /) (логарифма м1шмуму до логарифма максимуму) не менше, Hi ж -1. 3 1ншого боку, якщо ми замжшо у останшй частщ мппмум на значения функцй на будь-ягаи Kpimifi, то ця не-piBHicTb буде задовольнятися кожною щлою функщею (на-BiTb несшнченного порядку). Якщо порядок сшнченшш, але досить великий, то був вщомий приклад Хеимана, що частка log //(г, /)/ log М(г, /) може бути великим вщ'емним числом.

Питания, що в1дбудеться з щею часткою, коли порядок е досить близький до 1, був в1дкритим, i г1потеза Хеймана припускала, якщо е е досить малим, та порядок функщ'1 <1 + 6, то ця частка не менше, шж -1.

Нами побудовано приклад шло'! функщУ будь-якого наперед завданого порядку р > 1, для якого верхня грашщя nil частки менше, шж -1. Побудування прикладу використо-вуе техшку перетворень субгармошчних функщй, що була розроблена рашш у дисертацп, та апрокстшапи'Уш теореми В. Азартна.

У роздш 13 подано нове доведения теореми В. Дуб1-

iiiiiii iliiij iw. iiii> ivii riijviri.ii hhir^ 1Н/1ЧГННи i'-Hllui iHiuHi Ч М111И К11ЧЯ

В1ДИ0СН0 круга з радшльшши розр1замп досягапшеться на icpy3i з р1внорозподшеннмн розр1зами. На наш погляд, по-дане доведения е значно просткшш, нЬк того, що подано В. Дубшшим (воно грунтуеться тыыш на дисиметризащй-ному принциш Дубшша та не вимагае будь-яко!" попередньоУ роботи, використовуючи лише м1шм1защйний принцип для штегра.;ив Д1р1хле).

У розд1л1 14 ми подаемо коктрпрхшлад до ozoiiei з rino-тез А. Солшпна. Цей приклад виявляе, то незавждп ро-зв'язання екстремальноУ задали для MiciKocxi веде до роз-в'язку аналог] чноУ знлач1 для гармошчноУ Mipir.

ТТубл1катт1л

[I] Fryntov A. Subharmonic junctions and cos{tt\)-thco~rcuui jor entire junctions represented by gap series // Advances in Soviet Mathematics, 1992, V.ll, P.205-222.

[2] Fryntov A. One extremal problem of potential theory // Soviet Math. Dokl., 1988, V.37, P 754-755.

[3] Fryntov A. Extremal properties of Green functions and A. Weitsman's conjecture // Transactions of Л MS, 1994, V.345, No.'2, P.511 -525.

[4] Фрмнтов A.E. Об одной теореме единственности для рядов Дирихле с лакунами Фейера // В сб. Теория функ., функц. анал. и их пр., 1993, Т.57, Харьков, С.128-131.

[5] Фрмнтов А.Е. Об одной теореме единственности, связанной с полиномиальной аппроксимацией на дискретных множествах Маг. фишка, анализ, геометрия, 1994, T.I. No.2, С.252-264.

[li] Фрмнтов А.Е. Характеризация Гаусс.овского распределения послсдо-вчпи лыюстью его семиинвариантов // Теория вероятностей, 1988. Т. I. С.<«7 (¡93.

[7] Фринтов ().(-'. Характеризацгя Гаусслвс.ъкого розподыу лакуналт в i)o(\iidoenocmi ceAtiiueapianmie // ДАН УРСР, Сер.А, 1987, Т.З, С.22 24.

[8] Фрмнгон А.Е. 06 одном свойстве конуса, порожденного мультипликативными сдвигами субгармонической хребтовой функции // 1} « Г». Аналитические методы в теории вероятностен и теории операторов. Киев. Наукова думка, 1990, С.33-39.

[9] Fryntov А., Л counterexample concerning the maximum and minimum of a subharmonic function // Proceedings of AMS, 1994, V.122, No.l. P.97--103.

[10] Fryntov A. On an estimate of Harmonic measures // ДАН Украины, t'ep.A, 10(1994). Т. 10, C.20-22.

[11] Fryntov A. A simple proof of Dubinin's theorem //Мат. физика, анализ, геометрия, 1995, Т.2, No.3, рр.347-355.

Abstract

Alexander Fryntov. Operators Preserving Subharmonicity and Some Problems of Classical Complex Analysis Thesis for a Doctor Degree in Physics

and Mathematical Sciences. Speciality 01.01.01— Mathematical Anal-______

ysis. B.I.Verkin Institute for Low Temperature & Engineering of National Academy of Sciences of Uknaine. Kharkov - 1995.

There are defended 11 scientific works in which there are constructed and investigated operators preserving subharmonicity and a series of problems of classical analysis are solved with application of these operators. Among them are a problem of B.Ya. Levin on extremal estimate of subharmonic functions of finite degree and bounded on a relatively dense set of the real <> luobieiu of A. vveii.xiniin <»! я «harp fTim^tp ¿4-norm of the O'rccn function of domains not containing arcs of opening greater than some fixed number I; an Anderson problem on extension of cosxA-relation on gap series.

There are solved a number of problems of classical complex analysis that pertain to the following topics: weight polynomial approximation (sufficient conditions for completeness of polynomials in discret weighted spaces, giving a positive answer to one of questions by P. Koosis), probability theory (characterization of Gaussian distributions by gaps of the sequence of. their semi-invariants), value distribution theory of entire and meromorphic functions (counter example to a W. Hayman conjecture).

There are solved some other relative problems as well.

Аннотация

Фрынтов Александр Евгеньевич. Операторы, сохраняющие субгармонгчность, и некоторые задачи классического комплексного анализа. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических паук. Специальность 01.01.01 — Математический Анализ. Физико-Техничесшй Институт Низких Температур гш.Б.И.Псркнии ИЛИ Украины. Харьков - 1995.

Защищается 11 научных работ, в которых строятся и исследуются операторы, сохраняющие субгармоничность, решается ряд задач классического анализа з помощью применения таких операторов. Среди них задача Б.Я.Левина об экстремальной оценке субгармонических функций конечной степени и ограниченных на относительно плотном множестве вещественной оси, задача А. Вейцмана. о точной оценке Л1-нормы функции

Грина для областей, не содержащих дуг раствора больше, чем некоторое фиксированное число одна задача Андерсона, связанная с обобщением совя-А-теорем на лакунарные ряды.

Решен также ряд задач классического комплексного анализа, относящихся к следующим областям: весовая полиномиальная аппроксимация (достаточные условия полноты в весовых дискретных пространствах дающие положительный ответ на один из вопросов П.Кусиса), теория вероятностей (характеризация Гауссовских распределений лакунами последовательностей их семиинвариантов), теория распределения значений целых и мероморфных функций (контрпример к одной из гипотез У.Хеймана).

Также приведены решения некоторых родственных задач.

Ключов1слова: субгармошчна функщя, гармошчна функция, щла функщя, мероморфна функщя, дельта-субгармо-шчна функщя, функщя Грша, гармошчна мера, полшо-мяальна апроксимащя, полшом1альна мажоранта, хребтова функщя, характерист1гчна функщя, ймовхрностний розпо-Д1Л, 1 ауссов розподш, снметр1защя, мктшсть, конденсатор штеграл Дф1хле, лакунаршсть, екстремальна ощнка

Ответсвенный за выпуск Г.М. Фельдман

Подписано к печати 30.10.1995 г. физ. п.л. 2 Уч.-изд. л. 2 Заказ № kl , Тираж 100 экз.

Ротапринт ФТИНТ HAH Украины, Харьков 164, пр. Ленина, 47.