Описание поляризованных фермионов в формализме комплексных изотропных векторов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОПИСАНИЕ ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ФЕРМИОНОБ В ФОРМАЛИЗМЕ КОМПЛЕКСНЫХ ИЗОТРОПНЫХ ВЕКТОРОВ

(01.04.02 — Теоретическая физика)

____Автореферат

диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Российского университета дружбы народов.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Самсоненко Н.В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Керимов Б.К. кандидат физико-математических наук, Дубков С.Л.

Ведущая организация

Московский педагогический государственный университет.

Защита диссертации состоится " !-( " сиъкг Ц 1996г. в /Г на заседании диссертационного совета К 053.22.01 в Российском Университета дружбы народов по адресу: 117198, Москва, ул. Орджоникидзе, д.З. ауд. 3>(3сб

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского Университета дружбы народов по адресу: 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, д.6.

Автореферат разослан " " 1996 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук,

доцент В.И. Сант.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ:

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ:

В последнее время все большее внимание физиков привлекает проблема описания фермионов с помощью тензоров. Важность этой задачи связана с трудностями применения спиноров в общей теории относительности, а также с необходимостью единообразного описания частиц разных спинов в будущей теории. В качестве физических

величин, описывающих состояния фермионов, можно в частности

-» -» -»

использовать комплексные изотропные векторы р = к + Ш

( эквивалентные антисимметричным тензорам второго ранга),

+ > > ->

удовлетворяющие условиям связи о, или Е2- н*= о, (Е.Н) = о. Практические потребности расчета громоздких матричных элементов в физике частиц вынуждают искать новые, более эффективные методы вычислений, допускающие относительно простые алгоритмы. Предлагаемые в диссертации методы тензорного описания фермионов в значительной степени удовлетворяют этим условиям. Таким образом, актуальность темы диссертации обусловлена необходимостью разработки нового математического формализма, существенно упрощающего вычисления матричных элементов процессов с участием поляризованных фермионов, а также позволяющего дать более наглядную трактовку ряда трудно воспринимаемых физических величин, таких, например, как спин.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью диссертационной работы является:

1. Изучение свойств вещественных компонентов комплексного

-> -* -»

изотропного вектора ? = Е + (н ( условия изотропности для этих -» -* + +

векторов имеют вид Е2 - н* = о, Е.н =о ).

2. Установление сходства и различий между векторами Е и н и

-* -л

напряженностями электромагнитого поля 8 и

3. Поиск в новом формализме физически наглядной интерпретации собственного момента частицы (спина).

4. Изучение явления "дрожания Шрелинтера" в новом формализме.

5. Поиск волновой функции произвольно поляризованного фермиона в формализме комплексных изотропных векторов.

формализме комплексных изотропных векторов.

6. Иллюстрация эффективности нового метода вычисления матричных элементов на примерах рассмотрения различных процессов рассеяния с участием поляризованных фермионов.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

Научная новизна диссертации определяется нахождением решений

новых максвеллоподобных уравнений для шлей Е и Н, описывающих поляризованные фермионы и подробным изучением свойств этих полей,

демонстрирующих их сходство и отличие от напряженностей

-» +

электромагнитного поля Е и а», а также разработкой нового метода вычисления матричных элементов для процессов с участием поляризованных частиц.

НАУЧНАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ

Полученные в диссертации результаты могут быть использованы для дальнейшего развития формализма комплексных изотропных векторов. Разработанный новый метод вычисления матричных элементов может найти применение в расчетах сечений взаимодействия поляризованных фермионов.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Материалы диссертации докладывались на Ежегодных научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук РУДН (1994-1995), на научных семинарах (1993-1995) кафедры теоретической физики, а также на Научной конференции Отделения ядерной физики РАН "Фундаментальные взаимодействия элементарных частиц", г.Москва, ИТЭФ, 23-27 октября 1995г.

ПУБЛИКАЦИИ

Основные результаты диссертации опубликованы в 5 научных работах.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 80 наименований . Полный объем диссертации

составляет 94 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулирована цель диссертации и перечислены решаемые задачи. Кратко излагается ее содержание.

Первая глава является обзорной. Здесь излагается развитие представлений о спине фермиона в рамках ортодоксальной квантовой механики. Кратко изложена гипотеза Уленбека и Гаудсмита. Обсуждается понятие спина электрона в нерелятивистской теории (уравнение Паули). Показывается, что математическая структура уравнения Дирака и аппарат теории предствлений группы вращений требуют введения спина для обеспечения сохранения полного момента импульса и для построения генераторов представлений группы вращений.

Далее обсуждается явление "дрожания Шредингера", связанное с наличием собственного вращательного момента у электрона, а также гипотеза о том, что спин не является "внутренней" характеристикой электрона, а связан со структурой поля его волны.

Во второй главе применяется отображение Картана, т.е., делается переход от слинорного формализма к формализму комплексных изотропных векторов; обсуждаются особые свойства комплексных изотропных векторов. Здесь же строится математический аппарат спина в новом формализме.

С помощью отображения Картана биспинор Дирака (состоящий из двух двухкомпонентных комплексных трехмерных спиноров £ и т]) отображается в систему двух трехкомпонентных комплексных изотропных векторов:

?

Ф

[5]

г ?2- е2 Ъ1 2

где у = Е +Ш = 1Ъ (£,£)=

к ф

(1)

(га)

Р = Е -Ш = 1Ъ(Т],Т)) = I

к т£)

(2В)

Уравнение Дирака при отображении Картана переходит в систему

максвеллоподобных уравнений для "напряженностей" Е, Н и Е , н .

Далее в этой же главе изучаются свойства введенных полей Е и

н при дискретных преобразованиях. Известно, что при пространственной инверсии напряженности электрического и магнитного полей преобразуются, соответственно, как полярный и аксиальный векторы. В диссертации показано, что изотропные

комплексные векторы Р и Р при р-инверсии переходят друг в друга.

Отсюда сделан вывод, что при этом Е —► Е и н-» -н. Показано,

что, как и в обычной теории, при Р-инверсии система уравнений для левого нейтрино переходит в систему уравнений для правого нейтрино, и наоборот. Далее находится закон преобразования для

векторов Е и н при временном отражении (Т- преобразовании) и при зарядовом сопряжении( с-преобразовании).В результате получаем:

при т- преобразовании: Р -► Р ; тогда из (2) получаем Е —> Е,

н —> -н.

при с-преобразовании: р -> -р ; тогда из (2) получаем Е —» -Е,

н —> -н.

Применяя последовательно обе операции с и Р к системе уравнений для нейтрино, находим, что только при одновременном действии зарядового сопряжения и пространственной инверсии (т.е. при комбинированной операции ср-преобразования) эти уравнения остаются инвариантными.

В этой же главе изучается изменение амплитуд векторов Р и

р'в зависимости от изменения скорости частицы. Ш явный вид для свободной частицы дается формулой:

Р( р')= 1 А(А*) 2

+ (оов^ з1пф

-соБф +(оозтЗ ООБф

-1Б вигб

.Здесь д(А')

1 ± 68 / 1 Ш

-7/1 - ® • (4) 1Г

Верхний знак в формуле (4) относится к нештрихованной величине а, а нижний знак. - к штрихованной амплитуде А', е - знак энергии, з - спиральность частицы.

Отсюда видно, что амплитуды а и а' этих волновых функций в

случае ев = +1 и при изменении скорости частицы в пределах >

0<|У|<1 меняются в следующих пределах : 0 ^ А ^ 2, о $ А $ г.

Отсюда следует, что при больших скоростях, т.е. при |У|—и, в случае ее = -1 имеем А=0, А -2, а в случае ев=1 имеем А=2, А =0. Таким образом, из формулы (2) следует (как и в обычной теории), что при очень больших скоростях частицы и античастицы (когда можно пренебречь их массой покоя) обладают определенной

спиральностью и описываются одной системой векторов либо ( Е,н )

либо ( Е,Н ).

Далее изучаются сходство и различие между новыми векторами Е

и н и нацряженностями электромагнитного поля п к ж. Рассмотрена аналогия между поляризацией электромагнитах волн и нейтринных волн. Показано, что для частиц (к-=1 ) с положительной

спиральностью (з=1 ) вектора Е и н вращаются относительно импульса

£ по часовой стрелке (образуют правую тройку векторов). Для частиц

> >

с отрицательной спиральностью (а=-1) вектора Е и Н вращаются

относительно импульса к против часовой стрелки (образуют левую тройку векторов). Для античастиц получается противоположный результат.

В этой же главе сделана попытка дать физическую интерпретацию спина в новом формализме. С помощью

симметризованного тензора энергии-импульса найдено выражение для спина электрона в тензорном формализме в виде:

- Ш- (5)

Показано, что спин можно интерпретировать как циркуляцию потока энергии.

Далее сделана попытка рассмотреть "дрожание Щредингера" в случае нейтрино в формализме комплексных изотропных векторов. Получено выражение для оператора Гамильтона в новом формализме в следующем виде:

х = [- (эт)(Бр) - <тр) +4(5)]. (6)

Здесь Б =(Эх,Бу,Бг)- матричный вектор, компонентами которого являются Зхз-матрицы генераторов группы о(з) трехмерных вращений,

V— скорость частицы, р-оператор импульса. Используя этот гамильтониан, находим выражение для оператора скорости в представлении Гейзенберга:

^ = (та)в - у +(Б ]. (7)

Далее получено уравнение для описания эволюции спина в виде:

=1( +Из*Р)каГУкР, )ар - V, (зк >ар^Р(Х^р - ЧаРЛър),

^ (8) где е - антисимметричный тензор 3-ого ранга Леви-Чивиты. Кратко обсуждаются возможные методы решения этого нелинейного уравнения.

В третьей главе найдено выражение для волновой функции произвольно поляризованного фермиона в формализме комплексных изотропных векторов в виде:

(9а) <9В)

где амплитуды р° и Р° являются функциями спина в и импульса р частицы.

Далее формулы (9а,б) применяются для расчета процесса рассеяния поляризованных электронов поляризованными протонами:

-гЦехг - кг -

р = р° е

, -2í(ext - кг -

р = р° е

е р -> е + р . (10)

Матричный элемент такого процесса в формализме комплексных

изотропных векторов дается в виде:

2

(4тсе (Р' Р )(Р Г )+ (Р * Р ) (Р ' Р )

у _ __е 0 р р _'е- е р- р

^ с * * ^

[ <С > (рр- >)

(Р . У ) (Р Р ) ~ (Р * Р ) (Р » Р )

я о р р_ э о х р*_р

((рв,рв)(рр,рр))

)(Р* Р ) - ( Р*'х Р')(Р* X Р )

4 л' о ' Л р' р '_' в' о ' 4 р' р '

(Р* р )(Р* р )|

'о- в р- р '}

+

(Р Р ) (Р Р ) + ( Р X

' О' » р' Р в-

) (Р X Р ) р~ р

(11

* * * * ' ' ^

(Р , р )(Рр ) I

в- в р- р J

*

Учитывая кинематику процесса для л-системы и предполагая, что

реакция происходит в плоскости "хг", при больших энергиях

( Ев>>шв, Ев. > > тв, ), находим диференциальное сечение для процесса (5) в виде:

ая ¿л [1 ~ ЧхРа| ]. (12)

Здесь А,в и А. - продольные компоненты векторов поляризации электрона и протона,

г -1

А, [.-.■-.]

(13)

Е(Е )-' энергия начального (конечного) электрона, м - масса протона, й - переданный импульс, -в - угол рассеяния. Первый множитель в формуле (12) представляет собой классическую формулу ■Розенблюта.

В следующем параграфе разработан новый метод для прямого вычисления квадрата модуля матричного элемента |ы|2 без применения операции вычисления шпуров 7 матриц. Идея метода

заключается в следующем: пусть для процесса а + Ь ->- о + й

матричный элемент дается формулой:

М = ~~ ( ЕДЛЕ,)1" Н. (14)

В ток-токовой теории величина н = является комплексным

числом; здесь -е^- лептонный ток, а Х^-адронный ток. Тогда н*= (¿^ Ту

1Н!2 = ГДв ^ V' 3 V* Тг>); ^ = °'1.г'3-

Выражение для квадрата модуля |Н|2 можно написать по компонентам:

|Н|г = Т - -с Т - -с. Т. + -е Т. . . (15)

1 1 ОО ОО Оь й1 I О I О 4 1]

Здесь ,5 =1,2,3.

Далее компоненты лептонного и нуклонного тензоров можно

вычислить, используя явный вид волновых функций Р и Р', не применяя операции взятия шпуров 7-матриц. Наконец, для квадрата модуля матричного элемента из формулы (14) получаем:

|м|2 =( еа№ Iй! • (1б)

Преимущество этого метода иллюстрируется на примере расчета сечения захвата нейтрино нейтроном:

V + п-- р + е~. (17)

Правильность этого метода проверена на примере вычисления квадрата модуля матричного элемента процесса (17) в л-системе, с учетом массы нейтрино. Затем вычислено дифференциальное сечение этого же процесса в системе центра масс.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные

-11в диссертации, и сделаны обобщающие выводы.

"В конце"диссертации приводится - список литературы, состоящий из 80 наименований.

ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИЙ

В диссертации получены следующие основные результаты:

-V

1. Изучены свойства векторов В и н, являющихся вещест-

> -> ->

венными компонентами комплексного изотропного вектора Р= Е + Ш. Найдены законы преобразования этих векторов при дискретных

преобразованиях. Показано, что трансформационные свойства > ->

векторов Е и Н при с,р и т преобразованиях отличаются от

-*

трансформационных свойств напряженностей электромагнитного поля т,

и ж. Однако, при преобразованиях Лоренца вектора ( Е,Н ) и ( 8,ж ) преобразуются одинаковым образом.

>

г. Исследована зависимость векторов Е и н от скорости

V. Показано, что при скорости частицы приближающейся к скорости света ( когда можно пренебречь массой покоя), она обладает определенной спиральностью з и тогда ее можно описывать одной

системой векторов ( Е,н ) либо ( та',н') -

3. Изучены сходство и различие между новыми векторами Е и Н

и налряжекностями электромагнитного поля е и ж. Показано, что соответствие между спиральностью фотона и поляризацией электромагнитных волн аналогично соответствию между спиральностью б

-к ->

фермиона и поляризацией векторов Еин, описывающих фермион.

4. В новом формализме дана физически наглядная интерпретация спина. Показано, что спин можно интерпретировать как циркуляцию потока энергии.

5. Найдена волновая функция произвольно поляризованного фермиона в формализме комплексных изотропных векторов, которая использовалась для вычисления матричных элементов процесса

е + р -► е + р с участием поляризованных частиц. На примере

вычисления дифференциального сечения этого процесса

проиллюстрирована эффективность нового прямого метода вычисления сечений.

6. Также разработан новый нековариантный метод вычисления матричных элементов. Его эффективность проиллюстрирована на

примере вычисления сечений слабого процесса V + п-> р + е- в

л-системе и ц-системе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Джена Р., Буликунзира С. Волновые функции произвольно поляризованного электрона в тензорном формализме. // Тезисы докладов ххх научной конференции факультета физико-математических и естественных наук. М. : Изд-во РУДЕ, 1994.- С. 42.

2. Ндонтчуэнг М.М., Джена Р. Волновая функция произвольно поляризованного электрона в тензорной формулировке.// Вестник РУДН, Сер. физика. М. :Изд-во РУДН, 1995.-N0.1.- С.117-121.

3. Джена Р.,Ндахайо Ф., Буликунзира С. Понятие спина в тензорной формулировке. // Тезисы докладов XXXI научной конференции факультета физико-математических и естественных наук. М.: Изд-во РУДН, 1995.- С. 74.

4. Ндонтчуэнг М.М., Джена Р. Рассеяние электронов продольно поляризованными протонами в тензорной формулировке. // там же. С. 76.

5. Ндонтчуэнг М.М., Джена Р. Рассеяние поляризованных электронов поляризованными протонами в формализме комплексных изотропных векторов. // Деп. в ВИНИТИ, 19.05.1995, И1413-В195.

Джена" Раджашри"(Индия) - -Описание поляризованных фермионов в формализме комплексных изотропных векторов.

Показано, что описание фермионов в формализме комплексных

изотропных векторов Р= Е + Ш тлеет аналогии с описанием фотона с

помощью напряженностей электромагнитного поля % и ж. Однако, при

дискретных преобразованиях шля (в,н) и (£,%) преобразуются по-разному. Показано, что спин можно интерпретировать как циркуляцию потока энергии. Получена волновая функция для произвольно поляризованного фермиона в формализме комплексных изотропных векторов. Разработан новый метод, в котором непосредственно вычисляется квадрат модуля матричного элемента |М|2 без операции взятия шпуров 7- матриц. Эффективность нового метода вычисления матричных элементов проиллюстрирована на примерах вычисления

сечений электромагнитного е + р ->- е'+ р и слабого

V + п -► р + е- процессов.

-14-

Jena Ra.iashree (India)

A DESCRIPTION OP POLARIZED FERMIONS IN THE FORMALISM OP ISOTROPIC COMPLEX VECTORS.

It has been proved that description of fermions in isotropic

complex vector formalism ( by the vector P = E +ÎH ) is analogous

to the description of photons by the strength E, % of the

electromagnetic field. However, new fields (E,H) and

electromagnetic fields (£ 7t) are transformed differently under desorete C, P, T transformations. It has also been proved that spin can be interpreted as the circulation of energy flux. The wave function has been derived for an arbitrary polarized fermions in isotropic complex vector formalism. A new method has been developed which enables one to calculate |M|Z directly

through wave functions P and P without taking traces of 7 matrices. The effectiveness of such a method has been illustrated

1 »

by the examples of electromagnetic e + p -*■ e + p and weak

v + n -y p + e~ reactions.