Тензорный формализм описания фермионов и точный учет взаимодействия их магнитных моментов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

СП СП

министерство общего и с= профессионального

Образования российской федерации

Ордена Дружбы Народов Российский университет дружбы народов

На правах рукописи

Ндахайо Фидель ■

УДК 539.12; 539.16; 539.18

ТЕНЗОРНЫЙ ФОРМАЛИЗМ ОПИСАНИЯ ФЕРМИОНОВ И ТОЧНЫЙ УЧЕТ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ИХ МАГНИТНЫХ МОМЕНТОВ

(01.04.02 — теоретическая физика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фиэико—математических наук

Москва—-1998

Работа выполнена на кафедре теоретической физики ордена Дружбы Народов Российского университета дружбы народов.

Научный руководитель —

кандидат физико-математических наук, доцент Н. В. Самсоненко.

Официальные оппоненты —

доктор физико-математических наук, профессор Грашин А.Ф.

доктор физико-математических наук, профессор Родионов В.Н.

Ведущая организация —

Московский педагогический государственный университет.

Защита диссертации состоится "/"/^Г..".$ 1998 г. в -^Г.^Рчас. на заседании диссертационного совета К 053.22.01 в Российском Университете дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Орджоникидзе, 3, зал N1.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, г.Москва, ул.Миклухо—Маклая, 6.

Автореферат диссертации разослан

1998г. ■

Ученый секретарь диссертационного Совета,

Доктор физико—математических наук, доцент

В.И.Санюк

Научная и практическая ценность.

Полученные нелинейные тензорные уравнения для частиц и полей со спином 1/2 могут быть использованы для исследования и интерпретации свойств этих физических систем.

Разработанный способ построения релятивистски инвариантного лагранжиана, записанного в терминах изотропных векторов может оказаться полезным для поиска релятивистски инвариантного лагранжиана электромагнитного поля, записанного через напряженности £ и Я и их производные.

При нахождений сечений и вероятностей электрослабых реакций разработанный новый метод вычисления матричных элементов позволяет сократить объем вычислительной работы на несколько порядков.

Точный учет магнитного взаимодейств1'л приводит к предсказанию новых физических явлений и разрешению ряда трудностей в существующей квантовой механике.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на Ежегодных научных конференциях факультета физико— математических и естественных наук Российского Университета дружбы народов (1994—1997); на научных семинарах кафедры теоретической физики РУДН (.1993—1997), а также на международном совещании "Свойства ядер, удаленных от долины стабильности" (47 Совещание по ядерной спектроскопии и структуре атомного ядра), Обнинск, 10-13 Июня 1997г.

Публикации.

Основные результаты диссертг дии опубликованы в 8 работах, перечисленных в конце автореферата.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения, списка литературы из 109 наименовании и двух приложений. Ее общий объем 124 страницы машинописного текста, включая 3 рисунка, 11 стр. библиографии и 10 стр приложений.

Краткое содержание диссертации

Во Введении освещена актуальность темы диссертации кратко описано содержание работы.

Псрвя глава (обзорная) посвящена обзору работ, главным результатом которых явилось установление тесное аналогии между спиношгыми уравнениями Вейля и Дирака и уравнениями Максвелла для электромагнитного поля Подробно изложены основы формализма изотропных век торов для описания фермионов. Здесь также содержатся основные сведения, о существующих методах вычисления матричных элементов процессов с участием фермионов i кратко изложена сущность феноменологии формфакторо] для учета структуры в современной теории взаимодействш элементарных частиц.

Во Второй главе исследуются на ковариантность от носительно преобразований Лоренца дифференциальны^ уравнения, описывающие фермионы в рамках формализм; изотропных комплексных векторов. Установлено, что урав нение Рейфлера

Г - rot F = ivkVFk

\f2 = О u

для- изотропного вектора F = Е + iH, описывающего без массовую частицу со спином 1/2 является ковариантным] относительно преобразований Лоренца.

В выражении (1), v представляет собой единичный действительный вектор, определяемый соотношением:

. iF х F* ЁхН

= —_—. 2

(F • F') \Ё\2 V 1

Показано, что для любого решения системы уравнений (1) справедливо равенство:

dWF = v^F. (3)

Приравнивая отдельно реальные и мнимые части, из (1) и (3) следует система нелинейных максвеллоподобных уравнений для действительных векторов Е и Я, удовлетворяющих условиям Е2 — Я2 = 0 и Е • Я = 0:

rot Я - = -vkVEk rot Ё + а4 = vkVHk (4)

div Я = v§-tH , V '

div Ё — v§-tE

Здесь и далее по повторя! хемуся индексу ведется суммирование.

Аналогия уравнений (4) с уравнениями Максвелла, подкрепляемая совпадением трансформационных свойств векторов Е и Я с такими же свойствами напряженностей электромагнитного поля, часто служит основанием считать фермионное поле разновидностью некоторого эффективного максвеллопо/' бного тензорного поля F^v.

Построен релятивистски инвариантный лагранжиан в виде:

L = (F ■ FTl/4iF• ■ §? ~ -Р ■ 4ir ~ F''rot F- (5) — F ■ rot F' - ivk{F' ■ V)Ffc + ivk(F • V)F;}. V '

Причем инвариантность лагранжиана (2) относительно преобразований Лоренца существенно связана с изотропностью векторов Р = Е + {Н и = Е—1Н, взятых в качестве динамических переменных.

Функционал "действия"

= J Ld4x, (6)

рассматриваемый на многообразии комплексных векторов, удовлетворяющих условиям изотропности

F2 = О, F'2 = О,

приводит к уравнениям Эйлера—Лагранжа вида:-

-iff + rot F + ivhVFk = A '{x)F-, t'^p + rot F" - i^VF; = A(x)F, F2 = 0, F"2 = 0.

(7)

(8)

В этой системе уравнений функции А(х) и А*(а:), пред-сталзляют собой -неопределенные . ножители Лагранжа. Очевидно, что класс решений системы (8), при частных значениях Х(х) — А*(х) = 0 охватывает все решения уравнений Рейфлера (1).

Третья глава посвящена иллюстрации нового метода вычисления матричных элементов, который основан на формализме изотропных комплексных векторов. Основная идея этогс, метода состоит в том, что характерная спинор. ному формализму операция нахождения шпуров (следов) произведений 7—матриц и спиноров заменяется привыч-. ными и наглядными операциями скалярного и векторного произведения изотропных комплексных векторов. Здесь

этот метод применяется для определения сечений процесса обратного /?—распада

Iу + п-+р+е (9)

и реакции рассеяния нейтрино на электроь ;

V + е и' + е' (10)

в области сверхнизких энергий налетающего нейтрино. Следует отметить, что в настоящее время реакции (9) и (10) хорошо изучены в приближении высоких энергий налетающих нейтрино. Однако при предположении отличия от нуля массы нейтрино появляется возможность рассмотреть поведение сечений этих реакций в приближении сверхнизких энергий (т.е. << т„).

В этом приближении сечение реакции (9) имеет вид:

¿а = СИ 1 + А2) т„Дт(тп + тР)(Зт2 + т\) |Ее|

¿Пе " 8(4тгу т1 ^ • 1 ]

Здесь = 1,027 • 10~5т~2—констаната Ферми слабого — взаимодействия; параметр А = —Сл/Су ~ 1,25 характеризует относительный вклад аксиального нуклонного тока; Дш = т„ — Шр—реально существующая разность масс нейтрона и протона; к„—импульс падающего нейтрино; кс— импульс выходящего э-.ектрона.

Из выражения (11) следует, что отличие от нуля массы нейтрино приводит к увеличению ечения реакции (9) в области сверхнизких энергий налетающих массивных нейтрино (|Аг„| << т„).

Предполагая, что у нейтрино есть также ненулевой аномальный магнитный момент, гамильтониан взаимодействия, описывающий процесс (10), представляется в виде:

Я = & + Яет, (12)

где Нш— гамильтониан слабого взаимодействия, в котором учитываются взаимодействие как заряженных, так и нейтральных токов, Нет— гамильтониан электромагнитного взаимодействия, т.е. взаимодействия электронного электромагнитного тока с нейтринным (связанным с аномальным магнитным моментом нейтрино) электромагнитным током. Матричный элемент гамильтониана (12) для процесса (10.) вычисляется с помощью метода изотропных комплексных векторов и находится в виде комплексного числа. Дифференциальное сечение процесса (10) пропорционально квадрату модуля матричного элемента гамильтониана (12) и имеет вид суммы трех слагаемых:

с1а ( ¿ст \ ( ¿а \ ( ¿а \ . ч

+ ЬН + ЬН 03)

с/П„. \<Ш„< J \dQui J

mt

Первое слагаемое в правой части (13) выражает вклад слабого взаимодействия, второе — вклад электромагнитного взаимодействия, третье - вклад корреляции (интерференции) слабого и электромагнитного взаимодействий е общее Сечение (10).

В приближении сверхнизких энергий налетающего массивного нейтрино (^ — 1 = 8 « 1 ^ имеем:

<м (м:

У 8тг2

( da \ a2FHq2) /0 ч .

Ж" 1= о ч 2*, 3 +cos 15.

da \ GFmvgevaFi(q2)

dil^i ) . , 2'7гш,

v tnf c

(16

Здесь a = ^ — постоянная тонкой структуры, F2 — пау левский формфактор нейтрино, задающий его аномальны! магнитный момент.

Проведенная оценка для Р2 = Ю-10 (в единицах магнетона Бора) и ти = 1 еУ показала, что в области сверхнизких энепгий вклад электромагнитного взаимодействия в общее дифференциальное сечение процесса (10) значительно преобладает над остальными вкладами.,

В четвертой главе произведен более точный учет (по сравнению с традиционным методом) магнитного спин— спинового и спин—орбитального взаимодействий в связанных двухчастичных системах. Установлено, что включение электромагнитного взаимодействия с помощью процедуры удлинения производных и добавления паулевских членов в релятивистской теории поля приводит в нерелятивистском приближении к двухчастичному эффективному потенциалу вида:

Здесь положительные коэффициенты а, Ь, с, с! однозначно определяются характеристиками (зарядами, массами и магнитными моментами) двух взаимодействующих частиц. Знак "+" или "—" в (17) определяется знаком произведения зарядов двух частиц и взаимной ориентацией их спинов и магнитных моментов.

В конкретном'случае системы, состоящей из электрона и протона потенциал (17) имеет яму даже в отсутствие центробежного члена (т.е. при Ъ = 0). Данная яма расположена на расстоянии примерно 10-12см и ее глубина, равная 150 КэВ допускает возможность того, что у систе:^ л "электрон—протон" может быть локализованное состояние с энергией связи порядка нескольких КэВ. При отличии от нуля центробежного члена (Ь ф 0) поведение (17) определяется, главным образом, двумя первыми членами (кулонов-ским и центробежным).

В другом частном примере системы из протона и пей-

трона потенцна.' взаимодействия имеет вид

V = + 1/55.Д5.

Здесь потенциал взаимодействия разбит на чисто ядерную часть и член, учитывающий (в общем случае нецентральное) спин—спиновое и спин—орбитальное взаимодействия. В диссертации показано, что точный учет электромагнитного взаимодействия даух частиц удлинением производной и добавлением паулева ого члена в релятивистское уравнение Дирака и последующим переходом к нерелятивистскому уравнению Паули для пары нейтрон—протон приводит к короткодействующему потенциалу (в системе с = Н = 1) вида

Здесь соответственно зп, ар, а„, 5 — оператор орбитального момента, оператор спина нейтрона, аномальные магнитчые моменты протона и нейтрона, оператор полного спина.

Система, описываемая потенциалом (19), не имеет син-глетного локализованного состояния (т.е. связанного состояния с квантовым спиновым числом 5 = 0). Триплетное (т.е. 5 = 1) состояние с орбитальным квантовым числом £ — 0 оказывается единственным возможным стабильным связанным состоянием.

Анализ потенциала (19) показывает, что для энергии связи допустимо значение порядка нескольких МэВ. Харак-" терные размеры данного состояния сравнимы с размерами ядра дейтерия.

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

+ (19)

Выводы.

Основными результатами, полученными в диссертации, являются следующие:

1. Установлено, что тензорные уравнения Рейфлера для нейтрино являются коваринтными относительно преобразований. Лоренца:

2. Построен релятивистски инвариантный лагранжиан, записанный через изотропные вектора F = Е + ill и

их производные.

«

3. Сформулирован условный вариационный принцип в ' рамках Лагранжева формализма, который приводит

к обобщенным уравнениям Рейфлера.

4. Развит и проиллюстрирован новый метод вычисления матричных элементов, основанный на формализме изотропных векторов. Показано, что отличие от нуля массы нейтрино может приводить к значительному увеличению сечения взаимодействия реакции i/-fn—>р4-ев области сверхнизких энергий.

5. Показано, что наличие у массивного нейтрино аномального магнитного момента (/1 ~ 10~1О^в) может привести к ощутимому увеличению сечения реакции рассеяния нейтрино на электроне (т.е. процесса и + е —> и' + е') в области сверхнизких энергий.

6. Произведен более точный учет спин—спинового и спин—орбитального взаимодействий (по сравнению с традиционным подходом) в связанных состояниях систем двух частиц. Показано, что их учет приводит к появлению в эффективном потенциале взаимодействия для радиальной волновой функции коротко-

действуюц их членов, которые могут образовать по-тенциальнь ч ямы на очень малых расстояниях г = Ю-12 4- 10~и см, сравнимых с ядерными расстояниями г и 10~13см.

Результаты диссертации опубликованы в работах:

1. И.Н.Данилова, Ф Ндахайо. Эффективные заряды и токи в уравнении Рейфлера для нейтрино. //Вестн. РУДН, сер.физ.-19^5. — N1, С.132-136.

2. X.V.Samsonenko, D.V Tahti, F.Ndahayo. On the Barut-Vigier Model of the Hydrogen Atom.// Phys.Lett.A220 (1996) 297-301.

3. N.V.Samsonenko, D.V.Tahti, F.Ndahayo. Reply to the comment on "On the Barut-Vigier Model of the Hydrogen Atom".// Phys.Lett.A229 (1997) 133-134.

4. H В.Самсоненко, Ф.Ндахайо, Э.Харелимана. Тензорный формализм описания процессов прямого и обратного /?- распада, реакций рассеяния и захвата.// Сборник тезисов докладов 47 Совещания по ядерной спектроскопии и структуре атомного ядра, стр.291, С.-Петербург, 1997 г.

5. Н.В.Самсоненко, Ф.Ндахайо, Э.Харелимана. Тензорный- формализм описания процессов прямого и обратного 0- распада, реакций рассеяния и захвата.// Изве-, стия РАН, серия физическая,- 1998. Т.62N1, С.12-20.

6. Ндахайо Фидель. Ковариантная формулировка тен-. зорного описания фермионов.// Тез. докл. XXXII На

учн. Конф. Фак. Физ.-Мат. и Естеств. наук РУДН. М.:РУДН.-1996. Ч.1.—С.45.

7. Н.В.Самсоненко, Э.Харелимана, Ф.Ндахайо. Упругое рассеяние массивных нейтрино и антинетрино на электронах с учетом ненулевой массы и аномальнго магнитного момента нейтрино при сверхнизких энергиях.// Тез.Докл. XXXIII Научн. Конф. Фак. Физ.-Мат. и Естеств. наук РУДН. М.:РУДН.-1997.-Ч.1.— С.48.

8. Ф.Ндахайо, Э.Харелимана. Дельтаобразное решение уравнения Шредингера для классического атома водорода в з- состоянии.// Тез.Докл. XXXIII Научн. Конф. Фак. Физ.-Мат. и Естеств. наук РУДН. М.:РУДН.-1997. Ч.1.—С.ЗО.

Ндахайо Фидель

Тензорный формализм описания фермионов и точный уч«.т взаимодействия их магнитных моментов.

Аннотация

Развит формализм описания фермионов с помощью изотропных комплексных векторов, эквивалентных антисимметричным тензорам второго ранга. Установлена ковариантность дифференциальных уравнений Рейфлера, описывающих безмассовую частицу со спином 1/2 относительно преобразований Лоренца. Построен релятивистски инвариантный лагранжиан, записанный через изотропные вектора и их производные, взятые в качестве динамических переменных и который приводит к обобщенным уравнениям Рейфлера.

Проиллюстрирован новый метод вычисления матричных элементов, основанный на формализме изотропных комплексных векторов. Показано, что отличие от нуля массы нейтрино может приводить к увеличению сечения взаи-модейс ['вия реакции I/ + п 4 р + е в области сверхнизких энергий. Кроме того, показано, что наличие массивного нейтрино аномального магнитного момента (р ~ 10-1О^д) может привести к повышению сечения рассеяния нейтрино на электроне (и + е г/' + е') в области сверхнизких энергий за счет электромагнитного взаимодействия.

Произведен более точный учет спин—спинового и спин-орбитального взаимодействий (по сравнению с традиционным подходом) в связанных состояниях системы двух частиц. Показано, что учет дополнительных слагаемых приводит к появлению в эффективном потенциале^взаимодей-ствия короткодействующих членов, которые могут образовать потенциальные ямы на очень малых расстояниях г =. Ю-13 -г- 10-15см, сравнимых с ядерными расстояниями г и 10~13см.

NDAHAYO FIDELE A Tensor Description of Fermions and a Precise Account of their Magnetic Dipoles Interaction.

Abstract

A tensor formalism to describe half-spin particles is developped. It is established that Reifler's equations for an isotropic complex three-vector F = E + iH, which is equivalent to an antisymmetric tensor Ffi„ and-describes a massless half-spin particle's states, transform covariantly under Lorentz transformations. One notes that the real vectors E and H transform as the electromagnetic field strengths and satisfy Maxwell—like nonlinear equations. A Lorentz invariant lagrangian, depending on isotropic vectors F = E + iH; F" — E — iH and their derivatives, taken as dynamical variables, has been found. The functional "action" defined by the above . mentioned lagrangian leads to generalized Reifler's equations as Euler—Lagrange's ones.

A new method for calculating matrix elements has been developped on the basis of isotropic vectors formalism. It is shown that a non-zero neutrino rest—mass leads to an . increasing differential cross—section for the reaction v + n —> p + e at the low neutrino's impulses, i.e. ]fc„| << mv. In the process u + e —> v' + e' it was established that a hypothetical neutrino abnormal magnetic dipóle generates electromagnetic neutrino—electron interaction wich becomes predominant comparatively to weak interaction in the low energies range (i.e. ¡¿„I << mv).

Fermionic fields, being described by isotropic comp^x vectors appear to be electromagnetic like. One thinks that an accurate consideration of fermions magnetic dipoles interaction should throw some light on the meaning of that analogy. It was shown that fermions magnetic dipoles interaction is short-ranged and generates potential wells at distances r = 10~12 -r-10-15cm comparable with nuclear distances r = 10~13cm.