Тензорный формализм описания фермионов и новый метод вычисления матричных элементов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЕ КСЛЛЕТ РОСС2КСКОЛ СЗДЕРАЩЯ Р Г Б О А по ВЫСШЕМУ ОбРАЗОВШЕЭ

о 7 ПОИ

* ' Ордзпа ДруаЗи нвродоз РоссзЗсгаЭ УшЕсрситот друзЗа народов

На правах р7ксппсп

БУЛИСУН2ИРА СПЛЬВИСТ?

уда 539.12 :539.165 ! 539.172

ГЭЕОПЗП СОШЛИ ОПИСАНИЯ С2КЛ10К0В П ПСЕ1П !ЗТОД ШЧИСЛЕНИЯ НАТК1ЧНЫХ ЗЛС.ЕНТОЗ

( 01.04.02 -тоорэтпческая ©азяка)

АВТОРЕФЕРАТ

дпссвртащш па соискание ученоЗ степепа кандидата Сжшко-цатецатичэскпх наук

Москва - 1994

Рсботс Еипсхшэна па к^фодро теоротичоскоЛ ордопа

Другби пзродоа Российского указорсытота' друхДа игродои.

ПаучшП рупозода-голь-

кшщидат ©юико-ыатематичвских наук.доцонт Н.В.Самсоненко.

0£:эдшш>е:о оппокзнтп: доктор физико-математических наук.профоссор Граишн А.Ф. кандидат физико-математических наук.доцонт С£фш П.Я.

Ездут^я орг£1х:зац;1л: Московский государственный университет цл.М.Б.Ломоносова.

Вацята диссертации состоится «¿.г. И994Г.В

'///..час на оасодашп! специализированного совета 1С 053.22.01 в Российском университете друг.бы народов по адресу: 117923,Х'.^'зс^а.ул.Срд^ксцад^з.З.ЕСЛ 11° 1.

С доссортащшП коглю ознакомиться в научной библиотоко Российского университета дру:;0ы народов по адросу: IШСЭ, г.! !с о;.ио, у л. ^¡аз-хо-'^алая, 6.

Дьтор^эрзт длссортацщ разослан " ." .1934г

сапожрь

кодсаэт с лзшсо-катог гаткч» ских наук.

доцзнт Ю.И.Запароваышй

ОбЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАбОТЫ

Актуальность теш. В последние годы внимание физиков привлекла возможность описания частиц и полей полуцелого спина тензорными уравнениями. Это связано с тем,что использование спиноров в описании фермионных полей в ряде случаев приводит к большим проблемам. Например, с математической точки зрения, определение спиноров связано с выбором специальной системы координат,и при этом.они могут быть определены только в достаточно узком классе пространственно-временных многообразий.В то га время тензоры «окно определить на любом пространственно-временном 'яногообразии. Кроме того,в отличие от спиноров,при релятивистских преобразованиях тензоры преобразуются явно ковариантным образом.Далее.известно.что в теории электрослабых взаимодействий применение спиноров приводит к огромным трудностям при вычислении матричных элементов.Помимо этого,тензорный формализм обладает большой физической наглядностью по сравнению со сшшорным формализмом.Например,в теории электромагнетизма,компоненты Й я Й тензора р являются наблюдаемыми физическими величинами.

Цвль работа состояла в следующем:

1 ) Исследовать возможность тензорного описания частиц s полей со спином 1/2.Показать,что подобно уравнениям Лаксвелла для электромагнитного поля,уравнение Дирака для 1астица со спином 1/2 и произвольной массой m можно такие записать в тензорной форме, через компоненты (2,8) тензора зторого ранга во многом аналогичного тензору

электромагнитного поля P.,v.

2) Построить основные элементы релятивистски совариантной теории для частиц и полей полуцелого спина в терминах "напряженностей " 2 и Й, позволяющие вычислить фостейщие физические характеристики процессов с участием

фермионов.

3) Разработать новый метод вычисления матричных элементов и проиллюстрировать его эффективность на примере рассмотрения ряда практических задач.

Научная новизна. С помощью отображения Картана уравнение Дирака для частицы со спином 1/2 и произвольной массой ш впервые переписано в виде система нелинейных максвеллоподобных уравнений для двух систем полей (Ё,й) и (Е',Й') связанных массовым членом.

Найдено решение этих нелинейных уравнений для свободной частицы и показано,что существует большая аналогия мевду теорией Дирака и теорией Максвелла.

На основе . тензорного формализма для фермионных полей разработан новый метод вычисления сечений и вероятностей в теории электрослабых взаимодействий.

Нагчнал п практдчвская цапиость: Нелинейные тензорные уравнения для частиц и полей со спином 1/2 могут быть использованы для исследования свойств этих физических систем.

Разработанный тензорный формализм позволяет дать наглядную физичесную интерпретацию и геометрическое представление квантовых явлений и физических величин.

Разработанные способы построения лагранжиана и методы вторичного квантования в терминах напряженностей 2 и Й могут быть распространены и на случай электромагнитного поля.

При вычислении сечений и вероятностей электрослабых реакций' разработанный метод вычисления матричных элементов позволяет сократить обьем вычислительной работы па несколько порядков.

Апробацпя работа : Материалы диссертации докладывались на Екегодных научных конференциях факультета физико-математических наук РУДН(1989-1993г.),на конференции молодых ученых (1990г.),а тага» на научных семинарах (1389-1994) кафедры теоретической физики РУДН.

Публикации: Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах, перечисленных в конце автореферата.

Структура я обьем рсбото: Диссертация изложена на 145 страницах машинописного текста,состоит из Введения, четырех глав, Заключения ц Списка литературы, содержащего 158 наименований.

Во Введении освещена актуальность темы диссертации, кратко описано содержание работы и дан обзор литературы.

Порвал глава (обзорная) посвящена традиционному сшшорному формализму описания частиц и полей со спином 1/2.0бсуядаются различные формулировки уравнений для частиц со спином 1/2,0,1. Уравнения Максвелла записаны в различных формах (в форме Майорана,Дирака и в алгебраической форме).Показано, что хотя все эта фор:ш записи уравнений Максвелла для свободных полей математически эквивалентны, каздая из них мокет оказаться более удобной для решения конкретной физической задачи.

Во второй глава описывается отображение Картана, разработанное в начале '20-го века и устанавливающее связь кеаду трехмерным (но двухкомпонентными) спинорами Паули

КРЛИСС2 С0ДКРЗЛ1Ш ДКССЕРТАЦЕШ

(1)

и трехмерными изотропными (#"=о) комплексными векторами

?=в+1й=1б<е,е), (г)

где

в(С.т) =

(3)

Далее, уравнение Дирака для частицы со спином 1/2 п произвольной массой т

(7^ в^-т)0=0

(4)

записывается в тензорной форме через комплексные изотрошшо вектора ? = 2 + 18 н Р'= 2'- 1Й':

^ (Р.5')1'"

(5)

•12 (?.?')'•

Здесь

2 ОХ

В = - I ¿V, 2

? -

Ё2 "

Разделяя действителыше и мнише части в уравнении (5) получаем систему нелинейных максволлоподобных уравнений для двух систем полей (2,Й) и (Й',Й'), связанных массовым членом

»18* & = у4 ЫЗГв ,

(3 2'+®')'"

(2 5'+®')"'' в* 1 1 (2 Й'+8Й' в* (2 Й'+Ш')"1

Очевидно,что при равенства нулю массы покоя частицы, эта спстема распадается на два независимые системы уравнений для полей (2,Й) и (2',Й'), эквивалентных двум уравнениям Вейля в спинорном формализме. Найдено решение системы (5) в виде плоских волн

? = 2 + 1Й = Г а-216^21®.

(7)

?'= 2'- ей' = в-21а"+21®.

Где

5°= |

2

ш

1 + е в 1 —

Е*

е о

п

5*

81 П <Р + I 8 ООО -9 ООО Ф~ - 008 ф + I 8 ООЗ'б 01 П ф

-I в»вв

(8)

8111 ф + I В 008 "0 ООО ф

- 008 ф + I в оов-б тп ф - I в вигЭ

Здесь Е -энергия частицы,е = ±1-знак энергии (е=+1 соответствует частице и е=-1 соответствует античастице);

В=и -проекция спина частицы на направление импульса., •б.ср -углы направления волнового вектора Й,выбираемого таким образом .что к1+1к1=к ей ггд е1 ^ 1^= к ооа-О. Показано, что кавдая из систем полей (2,й) и (2',8') по отдельности удовлетворяет уравнениям Максвелла для вакуума (с нулевой правой частью).

Построен лагранжиан для системы .уравнений (5) в виде

иГР/г)*'* 1° 11 42 (??•)*"]

+ —^т— Го Г - V (б г ) + I В « Э?' + ® -1-^11 1).

(9)

На основе теоремы Натер с помощью формулы (9) выписаны выражения для основных динамических характеристик (энергии,импульса,спина и заряда) и произведена операция вторичного квантования электронного и нейтринного полей в терцинах напряиенностей (Ё,Й) и (В',Й').

В тратьоЯ х'лсва разработан новый метод вычисления матричных элементов. С помощью отображения Картана токи и гамильтониан слабых взаимодействий записаны через комплексные изотропные вектора 5=2+18 и ?'=Ё'-чЙ'. Например, выражения для токов

в = Ш'З, (Ю)

(11) (12) (13)

Р= Штз®.

V

V ШУ3®.

Va 3 V7'®' (15)

гда V =i (W7vV'

2i

переписнваются в виде

s » (**í'/2)""+(í */2)1',> (16)

P = [(?*?'/2)"*-(? ?'*/2)"*]. (17)

V[(?*?/2)"z+ (?'Р'*/2)"г, (18)

? ' t*'- g'*, 1 Mo)

2(¥¥/2)"г ZWI^/Z)1"!'

(РР'*/2)"г. (20)

^ (21)

T =-(ÎJLIL g » I (22)

ol 2 (P */2 )%Уг J*

Г =-ч s iSlilL ' I (23)

Я =-fîll_2L. . ? « ? I (2Д)

LpîtM?*/?!'-1 ' pfî?

7. = e f2li_î2_ _ g » 1 i251

' ¡- j

>-2(î"?/2)'"1 2 (? ?'*/2)

ж-токовыЯ гамильтониан слабого взаимодействия.

для двухчастичного процесса с участием фермионов

а+Ъ—«о+й, (27)

где

V ®07ц(1+73)®0. (28)

V®« <р, V*'7И7°+Р* V»'*''V7»V-V Рг V- )Шь' (29)

записанный через изотропные комплексные векторы принимает вид

к?;* (?; '

[ (?: * ) * >+ (?' *» ) «•?/)] (Р +Р ) —2-2-*-1-с . а-*-^ +

• ' Г) ?ь)]"г

V-' „>;•».,,>:..,г-

15 с»; •»:) (!;"■»„ >*• % <Р; *■(;) ч-'-Рь )»;•<»• > о>;

■..... +

3' \ „ /V' * а< \ /в*.^' а- \ /в- *.

„ к) Чо -к > <*;«*; >

т х г (в' * 3' \ >3* II1"

(30)

В этой формуле и в формуле (29) величины Р1 ,РА.Р1.Рт являются формфакторами структурных частиц ь и а. В частном случае точечных частиц, гамильтониан слабых взаимодействий традиционной (7-1) теории

н = % 10сТа<1+Т3 )®в ] Пл1аЪ+0Л > ®ь 1 (31)

могно перешсать в виде

= Ъ К- °л>

я I у А [(?;* ?;) (?; ?ь)]*

(п . о \ „ с_а Д_Ь_ I

* А 5?; )(?/ Р; У

(32)

Используя явный вид векторов 5? и (см.ф-лу 7), получено общее выражение для матричного элемента в виде комплексного числа ¡м=а+1 ь двухчастичной реакции а+Ь—«о+л с учетом структуры частиц ь и <1 и с учетом продольных поляризаций всех четырех частиц. Далее вычислен квадрат модуля матричного элемента по формуле |и|=аг +ь2.

В четаэртсЗ глава для иллюстрации преимуществ

разработанного метода вычислены дифференциальные сечения и вероятности некоторых процессов с участием фермиочов. В частности, найдено сечение реакции рассеяния электрона па кулоновском центра, реакции поглощения нейтрино нейтроном (ъч-п—) с учетом массы покоя нейтрино. В последнем примере показано,что при сверхнизких энергиях (|й|<<пгу) сечение возрастает обратно пропорционально импульсу нейтрино. Показано, что разработанный метод сокращает обьем вычислений ка несколько порядков.

В заклэгаашш сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

БИВ0ДЫ

Новыми научными результатами,полученными в диссертации являются следующие:

1. С помощью отображения Картана уравнение Дирака для частицы со спином 1/2 и произвольной массой т записано в тензорной форме в виде системы нелинейных максвеллоподобных уравнений для двух наборов'полей (2,й) и (2',Й').

2. Получено решение этих нелинейных уравнений для свободной частицы с отличной от нуля массой покоя и для безмассовой частицы.

3. Показано,что решение уравнения Дирака,записанного в тензорной форме удовлетворяет такие и уравнениям Максвелла для вакуума (с нулевой правой частью).

4. Впервые построен релятивистски инвариантный лагранжиан в терминах напрягенностей "электрического" и "магнитного" полей 2 и Й .описывающих электронное поле.

5. Произведена операция вторичного квантования электронного и нейтринного полей в,терминах напрякенностей Ё и Й.

6. На основе тензорного формализма для фермиошшх полей разработан эффективный метод вычисления матричных элементов; который состоит из следующих основных этапов.

a) С помощью отображения Картана слабые и электромагнитные токи записываются через комплексные изотропные вектора У=£к8 и 5'=£'-чЙ'.

b) Находится выражение для гамильтониана слабых или электромагнитных взаимодействий через комплексные изотропные вектора Р = &к Й и = 2' -IЙ'.

о) Вычисляется новши методом матричный элемент и квадрат модуля матричного элемента реакции а+ь—»о+й с учетом продольных поляризаций всех четырех частиц а также с учетом

структуры частиц ь и а.

7. Для иллюстрации разработанного метода вычислений матричных элементов приведены конкретные примеры реакций с участием фергаонов.

Результата диссертация опубликованы в работах

1.Семсоненко Н.В.,Буликунзира С. Уравнение Дирака-Корбена в векторной форме // Тезисы докладов Х%У научной конф.факультета физико-математических и ест.наук.-Н.:Изд-во УДН,1989г.-С.43.

2. Самсоненко Н.В..Ривасплата А.,Буликунзира С. О лагранжиане нейтринного поля в тензорной формулировке //Тезисы докладов ххт научной конф.факультета физико-математических и ест.наук.-М.:Изд-во УДН,1991.-С.11.

3. Самсоненко Н.В.,Буликунзира С..Нэвсгай А.Д. О рассеянии нейтрино сверхнизких энергий на нейтроне // Тезисы докладов Ххущ научной конф. факультета физико-математических и ест.наук, 4.1.-П.:Изд-во РУДГ,1992.-С.25.

4. Самсонешсо Н.В.,Буликуизира С. О новом методе вычисления матричных элементов // Тезисы докладов научной конф. факультета физико-математических и ест.наук.Ч. 1.4,1. :Изд-во РУДН.1993.-С.66.

5.Буликунзпра С. Новый метод вычисления матричных элементов в формализма комплексных векторов. -М., 1994. -гэС.-Деп. в ВИНИТИ 11.04.94Г.,Н°8бб-В94.

BULDWNZIM SILVESTRE Description oí íemlons in tensor íornaliBm and a пей mot hod lor calculating matrix elements

ANNOTATION

Via Cartan map Dirao equation for half-spin patioles has been written in tensor formalism in the form of non-linear Uaxwell-like equations for two folds (S,B) and (S'.B' ). These fields have the вате properties as 2,Й components of tensor óf eleotroagnetio field.It is

prooved that solution of these non-linear equations for the free partióles as well fulfils Maxwell equations for vaouuo (with zero at the right side).

A new method for oaloulating matrix elements has been developed on the basis of tensor formalism to desoribe half-spin partióles and fields.

Объем 0.75»л. Тир. ICO

Тип. РУДН, Орджоникидзе, 3

'¿ах. 238