Оптические и сверхпроводящие свойства псевдощелевого состояния в модели "горячих точек" тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Кулеева Наталья Александровна

ОПТИЧЕСКИЕ И СВЕРХПРОВОДЯЩИЕ СВОЙСТВА ПСЕВДОЩЕЛЕВОГО СОСТОЯНИЯ В МОДЕЛИ "ГОРЯЧИХ ТОЧЕК"

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург 2005

Работа выполнена в лаборатории теоретической физики Института электрофизики УрО РАН

Научный руководитель — академик РАН

М В САДОВСКИЙ

Официальные оппоненты доктор физико математических наук И М Суслов

доктор физико-математических наук Н М Зубарев

Ведущее предприятие — Институт физики металлов УрО РАН, г Екатеринбург

Защита состоится на заседании Дис

сертационного совета 2^01 в Институте электрофизики УрО РАН (620016, г

Екатеринбург, ул Амундсена, д 106)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института электрофизики УрО РАН

Автореферат разослан

Ученый секретарь Диссертационного совета,

доктор физико-математических Н^к /''¿^ ■/%/ Н Н Сюткин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Исследования сверхпроводимости продолжают оставаться в числе наиболее актуальных областей современной физики конденсированного состояния. Это связано прежде всего с открытием в 1986 году замечательного явления высокотемпературной сверхпроводимости (ВТСП). Несмотря на большие усилия как экспериментаторов, так и теоретиков, природа этого явления остается не вполне выясненной.

Общеизвестно, что основные трудности здесь связаны с весьма необычными свойствами этих систем в нормальном (несверхпроводящем) состоянии, без понимания природы которых трудно рассчитывать на окончательное выяснение микроскопического механизма ВТСП. Аномальные свойства нормального состояния ВТСП в области фазовой диаграммы, соответствующей концентрациям носителей тока меньше оптимальной (в том числе поведение оптической проводимости, теплоемкости, спиновой восприимчивости) связывают с появлением псевдощели в электронном спектре ВТСП. Понимание природы и свойств псевдощелевого состояния является центральной проблемой в любом подходе к описанию сложной фазовой диаграммы высокотемпературных сверхпроводников. При этом, возникновение псевдощелевого состояния можно связать с наличием "горячих точек" - точек пересечения поверхности Ферми с магнитной зоной Бриллюэна, в окрестности которых в антиферромагнитной фазе открывается диэлектрическая щель. Соответственно, встает вопрос об изучении влияния этого необычного явления на основные физические свойства ВТСП-купратов не только в нормальной, но и в сверхпроводящей фазе.

Целый ряд аномалий в свойствах металлооксидных высокотемпературных сверхпроводников вызывает обоснованные сомнения в применимости к ним традиционных подходов. Появление ВТСП-систем породило довольно много теоретических моделей с новыми механизмами куперовского спаривания. Наибольший интерес вызывают модели с анизотропным спариванием, так как большинство экспериментальных данных указывает на наличие в ВТСП анизотропной щели с симметрией в,х2_у2-типа.

Структурная и химическая неоднородность ВТСП- систем делает их существенно неупорядоченными. Изучение влияния беспорядка на сверхпроводимость и свойства вещества в сверхпроводящей фазе играет большую роль в физике ВТСП- систем.

Цель работы - - теоретическое исследование псевдощелевого состояния в рамках двумерной модели, основанной на концепции "горячих" точек на поверхности Ферми, и разработка практических методов расчета физических свойств сверхпроводников в таком состоянии как в нормальной, так и сверхпроводящей фазе.

К числу рассматриваемых проблем относятся: влияние псевдощели на физические свойства сверхпроводников с различными типами спаривания как в нормальной, так и в сверхпроводящей фазе, влияние нормального беспорядка на сверхпроводимость в псевдощелевом состоянии, объяснение характерного вида фазовой диаграммы ВТСП-купратов.

Научная новизна В диссертации впервые проведен расчет оптиче ской проводимости в реалистической модели "горячих точек" для различных форм поверхности Ферми Показано, что псевдощелевые флуктуации могут приводить к ряду аномалий в оптической проводимости, в том числе к проявлению эффектов локализации электронных состо яний

В рамках двумерной модели псевдощелевого состояния, выполнен микроскопический вывод разложения Гинзбурга-Ландау для сверхпроводимости с различными типами спаривания ^ или ф, с учртом всех фейнмановских диаграмм теории возмущений по взаимодействию электрона с различными типами псевдощелевых флуктуации ближ него порядка (зарядовые флуктуации (CDW) или спиновые изингов-ского (SDW-I) и гейзенерговского типа (SDW-H)

В диссертации выявлены два возможных типа взаимодействия сверхпроводящего параметра порядка с псевдощелевыми флуктуаци-ями, приводящих к существенно различным энергетическим масштабам их влияния на сверхпроводимость

Проанализировано влияние немагнитных примесей на сверхпроводимость в псевдощелевом состоянии и показано, что разрушение сверхпроводящего спаривания d типа в псевдощелевом состоянии за счет примесного рассеяния (разупорядочения), происходит быстрее нежели в отсутствие псевдощели Определена зависимость критической температуры сверхпроводящего перехода и других характеристик сверхпро водника вблизи Т (глубины проникновения магнитного поля, длины когерентности, верхнего критическою поля, скачка теплоемкости) от параметров псевдощели и величины примесного рассеяния В поведении этих величин наблюдаются существенные аномалии по сравнению с обычными сверхпроводниками

Построена система уравнений Горькова для сверхпроводников с различными типами спаривания, учитывающая как рассеяние на псевдощелевых флуктуациях, так и рассеяние на немагнитных примесях и проведено исследование особенностей сверхпроводящего состояния в широкой области температур ниже критической

Проведено моделирование типичной фазовой диаграммы ВТСП-купратов Показано, что модель формирования сверхпроводящего состояния на фоне псевдощелевых флуктуации ближнего порядка учетом роли примесного рассеяния позволяет получить полуколичественное описание фазовой диаграммы ВТСП-купратов

Практическая ценность работы Псевдощелевое состояние приводит, как известно, к ряду аномалий в физических свойствах ВТСП - систем как в нормальной, так и сверхпроводящей фазе Подобные аномалии наблюдаются экспериментально во всех высокотемпературных сверхпроводниках на основе оксидов меди в области недодопированных составов Понимание природы и свойств псевдощелевого состояния позволяет продвинуться в понимании основных проблем описания сложной фазовой диаграммы ВТСП оксидов

Основные положения, выносимые на защиту

1 Поведение плотности состояний и оптической проводимости для различных форм поверхности Ферми в модели "горячих точек"

2. Результаты расчетов критической температуры Тс сверхпроводящего перехода в зависимости от величины псевдощели и частоты рассеяния на примесях.

3. Модельная фазовая диаграмма высокотемпературных сверхпроводников

4. Зависимости для ряда характеристик сверхпроводящего состояния вблизи температуры Тс (коэффициенты разложения Гинзбурга-Ландау, глубина проникновения, длина когерентности, верхнее критическое поле, скачок теплоемкости) для 5- и ё-спаривания от величины псевдощели.

5. Зависимости основных характеристик сверхпроводящего состояния вблизи температуры Тс (коэффициенты разложения Гинз-бурга-Ландау, глубина проникновения, длина когерентности, верхнее критическое поле, скачок теплоемкости) для 5- и ё-снаривания при заданной величине псевдощели от частоты примесного рассеяния.

6. Зависимость сверхпроводящей щели от величины псевдощели и беспорядка в широкой области температур Т <ТС.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на конференции молодых ученых Института Электрофизики (2002 г., 2004 г.) на XXIX и XXX Международных школах-симпозиумах физиков-теоретиков "Коуровка" (Кунгур, 2002 г.; Челябинск, 2004 г.), на 33-м всероссийском совещании по физике низких температур НТ-33 (Екатеринбург, 2003 г.), на VII и VIII школе-семинаре молодых ученых "Проблемы физики твердого тела и высоких давлений" (Сочи, 2002 г, 2004 г.), на международной конференции по высокотемпературной сверхпроводимости .М25 — НТ8СУП (Рио де Жанейро, Бразилия, 2003 г.), на 1-ой международной конференции "Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверхпроводимости" ФПС'04 (Звени-юрод, 2004 г.), на гордоновской конференции по сверхпроводимости вКС04 (Оксфорд, Великобритания, 2004 г.), на международной конференции "Спектроскопия новых сверхпроводников" (Ситжес, Испания, 2004 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано б научных работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и трех приложений. Она изложена на 140 страницах, включая 54 рисунка и список литературы из 94 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, кратко раскрывается содержание рассматриваемых в ней задач, формулируется цель работы, а также научная новизна и практическая ценность результатов исследования.

Во второй главе проводится обзор основных свойств ВТСП, связанных с наличием псевдощелевого состояния в широкой области фазовой диаграммы. Рассматриваются экспериментальные результаты, которые показывают существенные отличия этих соединений от нормальных металлов и традиционных сверхпроводников. Приводятся теоретические соображения о природе псевдощели.

В первом разделе дается описание основных свойств ВТСП-систем, которые не объясняются полностью в рамках традиционной теории БКШ В частности, сверхпроводимость этих систем обусловлена ку-перовским спариванием ё-типа, тогда как в традиционных сверхпроводниках - 8-спариванием.

Во втором разделе рассматриваются экспериментальные факты о псевдощелевом состоянии в спектре элементарных возбуждений ВТСП-систем в области концентраций носителей меньше оптимальных, как в нормальной, так и в сверхпроводящей фазе. Эксперименты по фотоэмиссии с угловым разрешением [1] указывают на наличие максимума псевдощели вблизи точки (ж, 0) в зоне Бриллюэна при полном отсутствии псевдощели в направлении диагонали зоны (точки (тг,7г)). В этом смысле принято говорить о симметрии псевдощели "ё-типа".

В трет ьем разделе описана модель псевдощелевого состояния двумерной электронной системы с "горячими точками" на поверхности Ферми (Рис. 1), приводящая к существенной перестройке спектральной плотности в окрестности этих точках, и основанная на картине развитых флуктуации ближнего антиферромагнитного порядка.

Флуктуации ближнего порядка считаем статическими 1 и гауссов-скими, определив их корреляционную функцию в виде [2, 3] :

где к — — обратная корреляционная длина псевдощелевых флуктуации, а вектор рассеяния берется в виде = (±7г/а, ±тг/а) (а -постоянная решетки). Квазичастицы из окрестности "горячих точек" сильно рассеиваются на вектор за счет эффективного взаимодействия ~ И^^^) (Ш - параметр размерности энергии определяет энергетический масштаб (ширину) псевдощели), тогда как для частиц с импульсами вдали от "горячих точек" это взаимодействие является достаточно слабым. Параметры Жи ( рассматриваются как феноменологические (определяемые из эксперимента).

Имея в виду область достаточно высоких температур 2тТ >> — характерная ча-

стота спиновых флуктуации), можно пренебречь спиновой динамикой, ограничившись статическим приближением

Рис 1 Поверхность Ферми в зоне Бриллюэна и модель "горячих точек" Показаны границы магнитной зоны Бриллюэна, возникающей при удвоении периода, связанным с возникновением антиферромагнетизма "Горячие" точки - точки пересечения поверхности Ферми с границами магнитной зоны, связанные импульсом рассеяния порядка <3 = (±!г/а,±*/а) 7

В третьей главе в рамках модели "горячих точек" построено ре-куррентое уравнение для одночастичной функции Грина Рассмотрено поведение спектральной плотности и одноэлектронной плотности со стояний для различных комбинаторик диаграмм

В первом разделе показано, что использование приведенной выше формы эффективного взаимодействия со случайным полем псевдощелевых флуктуации , позволяет провести полное суммирование фейн-мановского ряда теории возмущений, что приводит к возникновению следующей рекуррентной процедуры для определения одноэлектрон-ной функции Грина

С*(епр) =

1

•6(р) + гЬ*к- Е*(е„р)

МспР) = Ж28(к + 1)Сы(епр)

Здесь £„ = 2жТ(п+ 1/2) (для определенности считаем £п > 0),

(2)

(3)

6

= / и

щ

_ I к

(р + Q)| + + при нечетных к (р)1 + ^(р)! ПРИ четных к

* (4)

]де скорость свободной квазичастицы со спектром ко-

торый берется в стандартном виде виде [2]

£р = — 21(соърха + тяруО.) - 4<' стрха со$руа

(5)

- соответственно интегралы переноса между ближайшими соседями, и между вторыми ближайшими соседями на квадратной решетке /х химический потенциал В данной главе рассматриваются различные характерные соотношения параметров £ и I', ц приводящие к различным формам (топологиям) поверхности Ферми Комбинаторный множитель

(6)

в случае зарядовых флуктуации с соизмеримым С

учетом гейзенберювской спиновой структуры взаимодействия комби-наюрный множитель $(к) в спин-фермионпой модели имеет вид [2]

(7)

Во втором разделе данной главы анализируется спектральная плот ность, соответствующая функции Грина (2), которая демонстрирует нефермижидкостное поведение в окрестности "горячих" точек Спектральная плотность и плотность состояний (см вставку на Рис 2) вычислялась для различных комбинаторик диаграмм и для различных отношений t'/t [А1]

В четвертой главе в рамках модели "горячих точек" построена система рекуррентых уравнений для вершинной части, описывающей взаимодействие электронов с внешним электромагнитным полем. Приведены результаты детальных расчетов оптической проводимости для различных форм (топологий) поверхности Ферми [А1,А2].

В первом разделе получена необходимая для расчета оптической проводимости рекуррентная процедура для вершинной части, учитывающая все графики теории возмущений по псевдощелевым флуктуа-циям:

"Физическая" вершина

Во втором разделе рассматривается оптическая проводимость, которая вычислялась с помощью известного соотношения [5]:

где е заряд электрона, а двухчастичная функция имеет вид:

На Рис. 2, 3 приведены зависимости действительной части оптической проводимости Яеа(ш) в единицах универсальной проводимости

двумерной системы от частоты в спин-

фермионной модели для различных топологий поверхности Ферми (для различных значений параметров I'¡1 и /л/. Проводимость характеризуется наличием ярко выраженного пика поглощения через псевдощель при ш ~ 21¥ и наличием максимума в области малых частот, связанного с локализацией носителей в статическом случайном поле ЛБМ флуктуации. Локализационная природа этого максимума подтверждается его превращением в характерный "друдевский" пик (пунктирная кривая на Рис. 2) при расчетах в "лестничном" приближении, когда комбинаторные множители в(к) = 1, что соответствует "выключению" вклада перекрестных графиков, непосредственно приводящих к двумерной андерсоновской локализации [5, 6].

На Рис. 3 приведены результаты расчетов Де<г(и) для типичной для ВТСП-г^ттратов геометрии поверхности Ферми, описываемой случаем = -0.42 и (1 = —1.3< [А1]. При этом было введено дополнительное слабое рассеяние за счет неупругих процессов путем стандартной замены и) —> ш + ¿7 [7], которое приводит к появлению узкого "друдевского"

Рис 2 Действительная часть оптической проводимости в спин фермионной модели при /х = 0ил.а = 01 для различных значений интеграла переноса I' ¡1 0 - ), 0 2-2, 0 4 3, 0 6 - 4 Пунктир - Ле<т(ш) для ('/4 = -0 4 в лестничной комбинаторике На вставке показаны соответствующие плотности состояний

co/W

Рис 3 Действительная часть оптической проводимости для случая t'/t = —0 4, fi/t = — 1 3 в комбинаторике спин-фермионной модели для ка 0 05-1,01- 2, 02-3 Фактор затухания f/t = 0 005

пика в области частот (разрушение двумерной локализации

за счет процессов сбоя фазы). Полученные зависимости качественно согласуются с экспериментальными данными [8].

В пятой главе проведено исследование влияния рассеяния на псевдощелевых флуктуациях и на немагнитных примесях на основные свойства сверхпроводника. Показано, что в рамках рассмотренной модели "горячих точек" удается объяснить характерный вид фазовой диаграммы высокотемпературных сверхпроводников.

В первом разделе, следуя работам [АЗ,А5Дб], будут рассмотрены вблизи Тс особенности сверхпроводящего состояния, возникающего в псевдощелевом состоянии, в рамках модели "горячих точек" на поверхности Ферми. Анализ проведен на основе микроскопического вывода разложения Гинзбурга - Ландау, с учетом всех фейнмановских диаграмм теории возмущений по взаимодействию электрона с флукту-ациями ближнего порядка и в "лестничном" приближении для рассеяния на нормальных (немагнитных) примесях.

В первом параграфе данного раздела рассматривается вершинная часть, описывающая взаимодействие электрона с произвольной флуктуацией сверхпроводящего параметра порядка:

Д(Р.Я) = Аче(р)

где симметрийный множитель берется в виде:

/ \ _ / 1 ( «-спаривание)

^ ' ~ | со8рха - совруй (с^а-уз-спаривание)

(И)

(12)

и спаривание подразумевается синглетным по спину.

Предполагается, что сверхпроводящее спаривание обусловлено потенциалом притяжения следующего простейшего (БКШ) вида:

У„(р,р') = -Уе(р)е(р'),

(13)

где константа притяжения V, как обычно, считается отличной от нуля в некотором слое шириной :2шс в окрестности уровня Ферми (и>с - характерная частота квантов, обеспечивающая притяжение электронов). Интересующую нас вершину удобно записать как:

Г(е„, -е„, Р, -р + я) г Гр(е„, -е„, я)е(р) (14)

Тогда Гр(еп, —еп,я) определяется рекуррентной процедурой следующего вида:

"Физическая" вершина соответствует Гр^=о(еп, — £п,я). Дополнительный комбинаторный множитель г (к) = в(к) для простейшего случая зарядовых (CDW) или изинговских спиновых (SDW-I) псевдощелевых флуктуации. Для случая гейзенберговских спиновых (SDW-H) флуктуации этот множитель равен [2]:

,, > _ I к при четных к | при нечетных к

(16)

Выбор знака перед IV2 в правой части (15) зависит от симметрии сверхпроводящего параметра порядка и типа псевдощелевых флуктуации. Соответствующие варианты перечислены в Таблице I.

Таблица I. Выбор знака в процедуре для вершинной части.

В частности из этой таблицы видно, что в наиболее интересном для нас случае - спаривания и гейзенберговских псевдощелевых

флуктуации следует взять знак "—", так что рекуррентная процедура для вершинной части становится знакопеременной. В тоже время, для случая изотропного 5 - спаривания и флуктуации того же типа следует взять знак " +" и рекуррентная процедура становится знакопостоянной. Такое различие в типах рекуррентной процедуры приводит к двум вариантам качественно отличного поведения всех основных характеристик сверхпроводников.

Во втором параграфе данного раздела рассматривается влияние рассеяния на нормальных (немагнитных) примесях в самосогласованном борцовском приближении. В одноэлектронной функции Грина по сравнению с беспримесным случаем, фактически, происходит замена (перенормировка):

р112

£п ад£, К = 1--£/т<7(епр)

£» р

(17)

где р - концентрация примесей с точечным потенциалом II. В простейшем несамосогласованном приближении, имеем просто: т]е = 1 +где

>.0

0 * \\Ч 0А \ \ Ч ••»»V» \ \

\ \Ч

\ \ \ 20 40 60 \ Э-Ч/вус, \ \sDW-I

' - Н

4 6

ЛЛГ/Тсо

Рис 4: Зависимость Тс/Тсо от WjT,s¡ для знакопеременного случая. На вставке приведены аналогичные зависимости для знакопостоянной процедуры. Тип симметрии и вид псевдощелевых флуктуации указаны на рисунке. Данные приведены для ка = 0 2.

уо = жр^ЩО) - стандартная борновская частота рассеяния на примесях [9] 1(^(0) - плотность состояний свободных электронов на уровне Ферми).

Примесная перенормировка вершины отсутствует в случае спаривания ё-типа, в силу условия Ер е(р) = 0 (см. обсуждение аналогичной ситуации в [10]). Тогда рекуррентное уравнение для вершины имеет вид (15), где в качестве С*.(±£„р) следует использовать выражения для "одетых" примесным рассеянием функций Грина. В вершинной части, описывающей взаимодействие с флуктуацией параметра порядка с 5 - симметрией по сравнению с беспримесным случаем появляется еще один член в правой части (15), т.е. происходит замена:

1 -ий- = 1 + ри2^с(еп,р + Ч)С(-еп,р)Гр(е, -е„Ч) (18)

В несамосогласованном приближении: г]? = г]е = 1 +

При рассмотрении ¿г2-у2 - симметрии нет особой нужды проводить полное самосогласование по примесному рассеянию, т.к. оно приводит к сравнительно незначительным поправкам к результатам несамосогласованного расчета.

В третьем параграфе проведен расчет Тс в сверхпроводниках с s-и с1- типами спаривания. На Рис. 4 приведены зависимости Тс/Тсо от \¥/Тсо (Гсо-температура перехода при IV = 0) для знакопеременной и знакопостоянной (вставка Рис. 4) процедуры для вершинной части (15) (см. Таблицу I). Видно, что во всех случаях псевдощелевые флуктуации приводят к существенному понижению Тс, но в знакопеременном случае такое подавление происходит на порядок быстрее.

Н-----г>-1-■------1---

О 2 4 6 8 10 12

\У/Тсо

Рис. 5: Зависимость Тс/Та от в случае ¿^-„г - спаривания и рассеяния на SDW-

Н флуктуациях для нескольких значений частоты примесного рассеяния, приведенных на рисунке. На вставке показано поведение Тс/Тсо от 7о/!Гсо(И') для трех значение Ж Данные приведены для ка = 0.2.

На Рис. 5 представлены результаты расчетов Тс для наиболее интересного случая d-спаривания и гейзенберговских псевдощелевых флуктуации. Видно, что в присутствии примесей возникает "критическое" значение IV при котором Тс обращается в нуль.

На вставке Рис. 5 показаны зависимости Тс/Тс(\¥) от частоты рассеяния на примесях 70/Тс(\¥) (Тсо^) - "затравочное" значение температуры перехода при заданном значении IV, но в отсутствии примесного рассеяния (70 = 0)) для нескольких значений Ш/Та. Видно, что при наличии пседощелевых флуктуации подавление Тс с ростом беспорядка происходит заметно быстрее, чем это происходит в их отсутствие (ТУ= 0), когда зависимость Тс от 70 в случае - спаривания опи-

сывается стандартной кривой Абрикосова- Горькова [10]. Сверхпроводимость полностью подавляется при некотором критическом значении 70 = 7<т ~ Та.

В сверхпроводнике с s-спариванием Тс слабо зависит от беспорядка.

В четвертом параграфе рассматривается разложение Гинзбурга-Ландау для разности плотностей свободных энергий сверхпроводящего и нормального состояний в стандартном виде:

= а|д,|2 + сд2|дч|2 + ||дч|4. (19)

где - амплитуда фурье-компоненты параметра порядка, который для различных типов спаривания записывается в виде (11). Разложение (19) определяется графиками петлевого разложения для свободной

энергии в поле флуктуации параметра порядка с малым волновым век тором д [И]

Коэффициенты Гинзбурга-Ландау удобно представить в виде

А = А0Ка, С = С0Кс> В = ВцКв,

(20)

где через Ац, Сц и Во обозначены выражения для этих коэффициентов в отсутствие псевдощелевых флуктуации (ТУ = 0) для случая произвольного спекгра и различных типов спаривания

где угловые скобки обозначают усреднение по поверхности Ферми <

•>= Що) ' л ^о(О) плотность состояний на поверхности

Ферми для свободных электронов

Тогда все особенности рассматриваемой модели, связанные с появлением псевдощели, содержатся в безразмерных коэффициентах Ад, Кс и Кв, для которых получены микроскопические выражения В от сутствие псевдощелевых флуктуации все эти коэффициенты равны 1 В пятом параграфе рассматриваются вблизи Тг физические характеристики сверхпроводника с псевдощелью Знание коэффициентов раз ложения Гинзбурга-Ландау позволяет вычислить [12]

квадрат длины когерентности при данной температуре квадрат глубины проникновения магнитного поля

А2(Г) -

В

32тге2 АС"

верхнее критическое поле Яс2 вблизи Тс

Фа Фо А

Нс-> =

2ж?(Т)

2тг С'

(22)

(23)

(24)

где фа = С7г/е — квант магнитного потока,

• наклон .температурной зависимости верхнего критического поля вблизи Тс

• скачок удельной теплоемкости в точке перехода:

где С„, Сп - соответственно удельные теплоемкости сверхпроводящего и нормального состояний.

Все расчеты в данном разделе проводились для достаточно типич-параметров исходного электронного спектра <'/£ = -0.4,

— -1.3.

В случае спаривания ^г.^-типа и гейзенберговских спиновых (8В\¥-Н) флуктуации было получено, что длина когерентности £(Т) и глубина проникновения А(Т)., практически не отличаются от соответствующих значений теории БКШ (Ш = 0), всюду в области существования сверхпроводимости. При рассмотрении частоты примесного рассеяния -у заметно меньше критической */„ зависимость от беспорядка квадрата длины когерентности и глубины проникновения магнитного поля достаточно слаба. Вблизи усг., где сверхпроводимость почти полностью подавлена, длина когерентности резко уменьшается, а глубина проникновения - растет. Что касается наклона верхнего критического поля и величины скачка теплоемкости в точке сверхпроводящего перехода, то они достаточно быстро уменьшаются по величине, как с ростом параметра 1У/ТсО' так и с ростом беспорядка. Для выявления характерных отличий от случая спаривания -типа было рассмотрено как рассеяние на примесях (беспорядок) в случае 8-спаривания влияет на наклон верхнего критического поля. Было показано, что рост беспорядка приводит к заметному росту этой величины, как и в случае стандартной теории "грязных" сверхпроводников [131.

Найденные зависимости в случае спаривания ах2_уг-типа и гейзенберговских спиновых (SDW-H) флуктуации находятся в качественном соответствии с рядом данных, полученных в экспериментах по изучению сверхпроводимости в области существования псевдощели.

Во втором разделе проведено исследование сверхпроводящего состояния в области Т < Тс на основе анализа решении уравнений Горькова для куперовского спаривания 5- и ё-типа [А4]. Проанализировано влияние псевдощели и немагнитных примесей на температуру сверхпроводящего перехода и на температурное поведение энергетической щели. На Рис. 6 приведены зависимости сверхпроводящей щели Д/Тсо от Т/Тсо для сверхпроводника скгипа. Качественно эти зависимости аналогичны получаемой из теории БКШ (кривая 1 Рис. б). Однако есть и отличие, в частности, в присутствии примесного рассеяния с частотой, соответствующей кривым 2 и 4 на Рис. б (70 = ОЛвГсо), с ростом Ш от нуля до критического значения, при котором сверхпроводимость полностью подавляется, наблюдается двукратный рост отношения 2 Д(Т = 0)/Тс. В случае сверхпроводимости в-типа 2Д(Т = 0}/Тс практически не зависит ни от частоты рассеяния на примесях, ни от ширины псевдощели.

Рис 6 Температурная зависимость сверхпроводящей щели в случае ё-спаривания для ко — 0 2 и различных значений эффективной ширины псевдощели и частоты рассеяния на примесях \У/ГЛ = О, = 0 — 1, №уТЛ = 0, ю/Та = 0 18 -2, Ж/Г«, = 37,

В третьем разделе проведено качественное моделирование типичной фазовой диаграммы ВТСП купратов [А5,А6]. Основная идея состоит в отождествлении параметра ]¥ с экспериментально наблюдаемой эффективной шириной псевдощели Ед(х). Концентрационная зависимость "затравочной" температуры сверхпроводящего перехода Тсо(х), которая существовала бы в отсутствии псевдощелевых флуктуации, не определяется из известных экспериментов, оставаясь подгоночньм параметром теории

На Рис. 7 представлены результаты расчета фазовой диаграммы для системы типа Ьа2-х^г1Сиб4 в нашей модели, для случая независящей от концентрации носителей Т^о, с учетом роли внутренней неупорядоченности, линейной по концентрации легирующей примеси ■у(т) Использованные при расчете значения параметров задачи, соответствующих данной системе, приведены на этом же рисунке "Ромбиками" показаны "экспериментальные" значения Тс(т)., полученные с помощью эмпирической формулы [14]:

(27)

которая дает достаточно хорошее описание концентрационного поведения Т для целого ряда ВТСП купратов. Видно, что во всей области недодопированных составов наша модель дает практически идеальное описание "экспериментальных" данных при вполне разумных значениях Щх).

Шт(х=0)=580К, Тсо=70К ГЛ»-0,25, мЛ^-0,8, ка=0Д, Ттах(х=0,16)=39К 1 - у0-0,15Тео 2 - у0=0,25Тоо

Тсо(х)

\

Т-' ' 1 ' ■-Т——1—

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 х

Рис 7 Модельная фазовая диаграмма для случая рассеяния на гейзенберговских (SDW-H) псевдощелевых флуктуациях (й - спаривание)

При дополнительном разупорядочении, которое можно симулировать введением дополнительного параметра рассеяния на "примесях" 7о, область существования сверхпроводимости сужается (кривые 1 и 2 на Рис 7), что находиться в полном соответствии с экспериментом

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации

1. В рамках двумерной модели "горячих точек" построена система рекуррентных уравнений для одночастичной функции Грина и вершинной части, описывающей взаимодействие электронов с внешним электромагнитным полем Приведены результаты расчетов проводимости для различных форм поверхности Ферми, демонстрирующие как эффекты образования псевдощели, так и эффекты локализации

2. Рассчитана критическая температура сверхпроводящего перехода в зависимости от величины псевдощели Показано, что в зависимости от типа спаривания и вида псевдощелевых флуктуации существует два характерных энергетических масштаба подавления сверхпроводимости

3. Рассчитана критическая температура сверхпроводящего перехода, в зависимости от величины псевдощели и частоты рассеяния на примесях Показано, что в случае й спаривания в присутствии примесного рассеяния псевдощелевые флуктуации сильнее подавляют сверхпроводимость, так что появляется критическое значение эффективной ширины псевдощели, при котором температура сверхпроводящего перехода обращается в нуль В случае 8-спаривания рассеяние на немагнитных примесях слабо влияет на сверхпроводимость

4. На основе микроскопического вывода коэффициентов разложения Гинзбурга Ландау для куперовского спаривания 5— и ё-типа проведен расчет основных характеристик сверхпроводника (длины когерентности, глубины проникновения, наклона верхнего критического поля, скачка теплоемкости) от параметров псевдощели и от беспорядка Выявлены существенные различия в зависимости наклона верхнею критического поля от примесного рассеяния для сверхпроводников 5— и й—типов

5. Построена система рекуррентных уравнений Горькова, одновре менно учитывающих рассеяние на псевдощелевых флуктуациях и на немагнитных примесях Рассчитана температурная зависимость сверхпроводящей щели от величины псевдощели и от степени беспорядка

6. Показано, что в рамках рассматриваемой модели удается провести моделирование (разовой диаграммы ВТСП-купратов при сравнительно небольшом числе "подгоночных" параметров При рассмотрении случая ё-спаривания и гейзенберговских спиновых флуктуации получено полуколичесгвенное описание области существования сверхпроводимости на фазовой диаграмме ВТСП-купратов

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

AI Садовский М.В., Стригина Н.А.(Кулеева H.A.) Оптическая проводимость в двумерной модели псевдощелевого состояния. — ЖЭТФ, 2002, т. 122, вып.3(9), с.610-623. Preprint cond-mat/0203479.

А2 Sadovskii M.V., Strigina N. A. (Kuleeva N.A.). Optical conductivity in the "hot spots" model of the pseudogap state. — Physica C, 2004, v.408-410, p.418-419.

A3 Кучинский Э.З., Садовский М.В., Стригина Н.А.(Кулеева H.A.) Сверхпроводимость в псевдощелевом состоянии в модели "горячих точек", разложение Гинзбурга-Ландау.— ЖЭТФ, 2004, т. 125, вып.З, с.854-867. Preprint cond-mat/0305278.

A4 Кулеева H.A., Кучинский Э.З. Сверхпроводимость в псевдощелевом состоянии в модели "горячих точек": уравнения Горькова— ФТТ, 2004, т.46, вып.9, с. 1557-1565.

А5 Кулеева H.A., Кучинский Э.З., Садовский М.В. Сверхпроводимость в псевдощелевом состоянии в модели "горячих точек": влияние примесей и фазовая диаграмма.— ЖЭТФ, 2004, т. 126, вып.6(12), с. 1446-1464. Preprint cond-mat/0406156.

А6 Kuleeva N. A., Kuchinskii E.Z., Sadovskii M.V. Superconductivity in the "hot spots" model of the pseudogap state.— J.Phys.Chem.Solids, in press. Preprint cond-mat/0405691.

Список литературы

[1] Ding Н , Yokoya Т , Campuzano J С , Takahashi T , Randeria M , Norman M R, Mochiku Т, Kadowaki K, Giapintzakis J Spectroscopic evidence for pseudogap in the normal state of underdoped high-T superconductors — Nature (London), 199G, v 382, p 51-54

[2] Schmalian J , Pines D , Stojkovic В Weak pseudogap behavior in the underdoped cuprate superconductors — Phys Rev Lett , 1998, v 80, No 17, p 3839 3842, Microscopic theory of weak pseudogap behavior in the underdoped cuprate superconductors general theory and quasiparticle properties - Phys Rev B, 1999, v 60, No 1, p 667-686 Preprint cond-mat/9804129

[3] Кучинский Э 3 , Садовский М В Модели псевдощелевого состояния двумерных систем — ЖЭТФ, 1999, т 115, вып 5, с 1765-1785 Preprint cond-mat/9808321

[4] Садовский M В Точное решение для электронной плотности состо яний в одной модели неупорядоченной системы — ЖЭТФ, 1979 т 77, вып 5(11), с 2070-2079

[5] Vollhaidt D , Wolfle P Diagrammatic self consistent treatment of the anderson localization problem in d < 2 dimensions — Phys Rev B, 1980, v 22, No 10, p 4666-4679

[6] Горьков Л П , Ларкин А И , Хмельницкий Д Е Проводимость частицы в двумерном случайном потенциале — Письма ЖЭТФ, 1979, т 30, вып 4, с 248-252

[7] Gogolin А А , Zimanyi G Т Hopping с onductivity and weak localization in two-dimensional disordered systems Sol St Comm , 1983, v 46, p 469-472

[8] Onose Y , Taguchi Y , Ishizaka К , Tokura Y Doping dependence о f pseudogap and related charge dynamic Ndi^xCexCuOi — Phys Rev Lett, 2001, v 87, No 21, p 217001

[9] Абрикосов А А , Горьков Л П , Дзялошинский И Е Методы квантовой теории поля в статистической физике — M Физматгиз, 1962 - 444 с

[10] Посаженникова А И , Садовский M В Разложение Гинзбурга Ландау и наклон верхнего критического поля в неупорядоченных сверхпроводниках— Письма в ЖЭТФ, 1996, т 63, вып 5, с 347352, preprint cond-mat/9512178 Разложение Гинзбурга-Ландау и наклон верхнего критического поля в сверхпроводниках с анизотропным рассеянием на нормальных примесях — ЖЭТФ, 1997, т 112, вып 6(12), с 2124-2133, preprint cond-mat/9706240

[11] Посаженникова А.И., Садовский M.B. Разложение Гинзбурга-Ландау в простой модели сверхпроводника с псевдощелью. — ЖЭТФ, 1999, т. 115, вып.2, с.632-648. Preprint cond-mat/9806199.

[12] П.Дс Жен. Сверхпроводиость металлов и сплавов.— М.: Мир, 1968.- 280с.

[13] Sadovskii M.V. Superconductivity and localization. — World Scientific (Singapore), 2000.- 272c.

[14] Naqib S.H., Cooper J.R., Tallon J.L., Islam R.S., Chakalov R.A. The doping phase diagram of Y\-zCaxBa2{Cu\-vZny)^Oi-i from transport measurements: tracking the pseudogap below T.— Phys.Rev.B, 2005, v.71, p.054502. Preprint cond-mat/0312443.

MW

."'""875

1 ВВЕДЕНИЕ

2 ПСЕВДОЩЕЛЬ В ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СВЕРХПРОВОДНИКАХ

2.1 Основные представления и проблемы физики ВТСП-систем.

2.2 Основные экспериментальные факты о псевдощелевом состоянии высокотемпературных сверхпроводников

2.3 Теоретические соображения о природе псевдощели.

3 МОДЕЛЬ "ГОРЯЧИХ ТОЧЕК"

3.1 Одноэлектронная функция Грина.

3.2 Спектральная плотность и плотность состояний.

4 ОПТИЧЕСКАЯ ПРОВОДИМОСТЬ

4.1 Вершинная часть

4.2 Расчет проводимости и основные результаты.

5 СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ В ПСЕВДОЩЕЛЕВОМ СОСТОЯНИИ

5.1 Разложение Гинзбурга-Ландау

5.1.1 Вершина взаимодействия со сверхпроводящими флуктуациями

5.1.2 Влияние примесей.-.

5.1.3 Расчет температуры сверхпроводящего перехода.

5.1.4 Расчет коэффициентов Гинзбурга - Ландау.

5.1.5 Физические характеристики сверхпроводников с псевдощелью

5.2 Уравнения Горькова.

5.2.1 Уравнения Горькова в сверхпроводнике с псевдощелью.

5.2.2 Сверхпроводник с примесями.

5.2.3 Критическая температура и температурная зависимость щели

5.3 Моделирование фазовой диаграммы.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ

Исследования сверхпроводимости продолжают оставаться в числе наиболее актуальных областей современной физики конденсированного состояния. Это связано прежде всего с открытием в 1986 году замечательного явления высокотемпературной сверхпроводимости (ВТСП). Несмотря на большие усилия как экспериментаторов, так и теоретиков, природа этого явления остается не вполне выясненной.

Общеизвестно, что основные трудности здесь связаны с весьма необычными свойствами этих систем в нормальном (несверхпроводящем) состоянии, без понимания природы которых трудно рассчитывать на окончательное выяснение микроскопического механизма ВТСП. Аномальные свойства нормального состояния ВТСП в области фазовой диаграммы, соответствующей концентрациям носителей тока меньше оптимальной (в том числе поведение оптической проводимости, теплоемкости, спиновой восприимчивости) связывают с появлением псевдощели в электронном спектре ВТСП. Понимание природы и свойств псевдощелевого состояния является центральной проблемой в любом подходе к описанию сложной фазовой диаграммы высокотемпературных сверхпроводников. При этом, возникновение псевдощелевого состояния можно связать с наличием "горячих точек" - точек пересечения поверхности Ферми с магнитной зоной Бриллюэна, в окрестности которых в антиферромагнитной фазе открывается диэлектрическая щель. Соответственно, встает вопрос об изучении влияния этого необычного явления на основные физические свойства ВТСП-купратов не только в нормальной, но и в сверхпроводящей фазе.

Целый ряд аномалий в свойствах металлооксидных высокотемпературных сверхпроводников вызывает обоснованные сомнения в применимости к ним традиционных подходов. Появление ВТСП-систем породило довольно много теоретических моделей с новыми механизмами куперовского спаривания. Наибольший интерес вызывают модели с анизотропным спариванием, так как большинство экспериментальных данных указывает на наличие в ВТСП анизотропной щели с симметрией dx2у2-типа.

Структурная и химическая неоднородность ВТСП- систем делает их существенно неупорядоченными. Изучение влияния беспорядка на сверхпроводимость и свойства вещества в сверхпроводящей фазе играет большую роль в физике ВТСП- систем.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ - теоретическое исследование псевдощелевого состояния в рамках двумерной модели, основанной на концепции "горячих" точек на поверхности Ферми, и разработка практических методов расчета физических свойств сверхпроводников в таком состоянии как в нормальной, так и сверхпроводящей фазе.

К числу рассматриваемых проблем относятся: влияние псевдощели на физические свойства сверхпроводников с различными типами спаривания как в нормальной, так и в сверхпроводящей фазе, влияние нормального беспорядка на сверхпроводимость в псевдощелевом состоянии, объяснение характерного вида фазовой диаграммы ВТСП-купратов.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

В диссертации впервые проведен расчет оптической проводимости в реалистической модели "горячих точек" для различных форм поверхности Ферми. Показано, что псевдощелевые флуктуации могут приводить к ряду аномалий в оптической проводимости, в том числе к проявлению эффектов локализации электронных состояний.

В рамках двумерной модели псевдощелевого состояния, выполнен микроскопический вывод разложения Гинзбурга-Ландау для сверхпроводимости с различными типами спаривания (s или d), с учетом всех фейнмановских диаграмм теории возмущений по взаимодействию электрона с различными типами псевдощелевых флуктуаций ближнего порядка (зарядовые флуктуации (CDW) или спиновые изинговского (SDW-I) и гейзенерговского типа (SDW-H).

В диссертации выявлены два возможных типа взаимодействия сверхпроводящего параметра порядка с псевдощелевыми флуктуациями, приводящих к существенно различным энергетическим масштабам их влияния на сверхпроводимость.

Проанализировано влияние немагнитных примесей на сверхпроводимость в псевдощелевом состоянии и показано, что разрушение сверхпроводящего спаривания rf-типа в псевдощелевом состоянии за счет примесного рассеяния (разупорядочения), происходит быстрее нежели в отсутствие псевдощели. Определена зависимость критической температуры сверхпроводящего перехода и других характеристик сверхпроводника вблизи Тс (глубины проникновения магнитного поля, длины когерентности, верхнего критического поля, скачка теплоемкости) от параметров псевдощели и величины примесного рассеяния. В поведении этих величин наблюдаются существенные аномалии по сравнению с обычными сверхпроводниками.

Построена система уравнений Горькова для сверхпроводников с различными типами спаривания, учитывающая как рассеяние на псевдощелевых флуктуадиях, так и рассеяние на немагнитных примесях и проведено исследование особенностей сверхпроводящего состояния в широкой области температур ниже критической.

Проведено моделирование типичной фазовой диаграммы ВТСП-купратов. Показано, что модель формирования сверхпроводящего состояния на фоне псевдощелевых флуктуаций ближнего порядка с учетом роли примесного рассеяния позволяет получить полуколичественное описание фазовой диаграммы ВТСП-купратов. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ

Псевдощелевое состояние приводит, как известно, к ряду аномалий в физических свойствах ВТСП - систем как в нормальной, так и сверхпроводящей фазе. Подобные аномалии наблюдаются экспериментально во всех высокотемпературных сверхпроводниках на основе оксидов меди в области недодопированных составов. Понимание природы и свойств псевдощелевого состояния позволяет продвинуться в понимании основных проблем описания сложной фазовой диаграммы ВТСП оксидов. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ:

1. Поведение плотности состояний и оптической проводимости для различных форм поверхности Ферми в модели "горячих точек" .

2. Результаты расчетов критической температуры Тс сверхпроводящего перехода в зависимости от величины псевдощели и частоты рассеяния на примесях.

3. Модельная фазовая диаграмма высокотемпературных сверхпроводников.

4. Зависимости для ряда характеристик сверхпроводящего состояния вблизи температуры Тс (коэффициенты разложения Гинзбурга-Ландау, глубина проникновения, длина когерентности, верхнее критическое поле, скачок теплоемкости) для s• и dспаривания от величины псевдощели.

5. Зависимости основных характеристик сверхпроводящего состояния вблизи температуры Тс (коэффициенты разложения Гинзбурга-Ландау, глубина проникновения, длина когерентности, верхнее критическое поле, скачок теплоемкости) для s- и d-спаривания при заданной величине псевдощели от частоты примесного рассеяния.

6. Зависимость сверхпроводящей щели от величины псевдощели и беспорядка в широкой области температур Т < Тс.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Основные результаты диссертации докладывались на конференции молодых ученых Института Электрофизики (2002 г., 2004 г.) на XXIX и XXX Международных школах-симпозиумах физиков-теоретиков "Коуровка" (Кунгур, 2002 г.; Челябинск, 2004 г.), на 33-м всероссийском совещании по физике низких температур НТ-33 (Екатеринбург, 2003 г.), на VII и VIII школе-семинаре молодых ученых "Проблемы физики твердого тела и высоких давлений" (Сочи, 2002 г., 2004 г.), на международной конференции по высокотемпературной сверхпроводимости M2S — HTSCVII (Рио де Жанейро, Бразилия, 2003 г.), на 1-ой международной конференции "Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверхпроводимости" ФПС'04 (Звенигород, 2004 г.), на гордоновской конференции по сверхпроводимости GRC'04 (Оксфорд, Великобритания, 2004 г.), на международной конференции "Спектроскопия новых сверхпроводников" SNS'04 (Ситжес, Испания, 2004 г.). ПУБЛИКАЦИИ

По теме диссертации опубликовано 6 научных работ [57, 58, 73, 74, 75, 76]. СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и трех приложений. Она изложена на 140 страницах, включая 54 рисунка и список литературы из 94 наименований.

6 ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Основные результаты

В заключение сформулируем основные результаты, полученные в диссертации:

1. В рамках двумерной модели "горячих точек" построена система рекуррентных уравнений для одночастичной функции Грина и вершинной части, описывающей взаимодействие электронов с внешним электромагнитным полем. Приведены результаты расчетов проводимости для различных форм поверхности Ферми, демонстрирующие как эффекты образования псевдощели, так и эффекты локализации.

2. Рассчитана критическая температура сверхпроводящего перехода в зависимости от величины псевдощели. Показано, что в зависимости от типа спаривания и вида псевдощелевых флуктуаций существует два характерных энергетических масштаба подавления сверхпроводимости.

3. Рассчитана критическая температура сверхпроводящего перехода, в зависимости от величины псевдощели и частоты рассеяния на примесях. Показано, что в случае d-спаривания в присутствии примесного рассеяния псевдощелевые флуктуации сильнее подавляют сверхпроводимость, так что появляется критическое значение эффективной ширины псевдощели, при котором температура сверхпроводящего перехода обращается в нуль. В случае з-спаривания рассеяние на немагнитных примесях слабо влияет на сверхпроводимость.

4. На основе микроскопического вывода коэффициентов разложения Гинзбурга-Ландау для куперовского спаривания s— и d—типа проведен расчет основных характеристик сверхпроводника (длины когерентности, глубины проникновения, наклона верхнего критического поля, скачка теплоемкости) от параметров псевдощели и от беспорядка. Выявлены существенные различия в зависимости наклона верхнего критического поля от примесного рассеяния для сверхпроводников 5— и d—типов.

5. Построена система рекуррентных уравнений Горькова, одновременно учитывающих рассеяние на псевдощелевых флуктуациях и на немагнитных примесях. Рассчитана температурная зависимость сверхпроводящей щели от величины псевдощели и от степени беспорядка.

6. Показано, что в рамках рассматриваемой модели удается провести моделирование фазовой диаграммы ВТСП-купратов при сравнительно небольшом числе "подгоночных" параметров. При рассмотрении случая ^-спаривания и гейзенберговских спиновых флуктуаций получено полуколичественное описание области существования сверхпроводимости на фазовой диаграмме ВТСП-купратов.

В заключение выражаю глубокую благодарность за постоянную помощь и поддержку моему научному руководителю М.В.Садовскому, высокая научная требовательность которого во многом определила содержание диссертации.

Автор искренне благодарен Э.З.Кучинскому в соавторстве с которым выполнено большинство работ.

Автор признателен М.В.Медведеву за интерес к работе и обсуждение результатов.

Автор признателен также руководству Института электрофизики УрО РАН за создание благоприятных условий для работы.

1. Bardeen J., Cooper L., Schrieffer J.R. Theory of superconductivity.— Phys.Rev., 1957, v.108, No 5, p.1175-1204.

2. Bednordz J.C., Muller K.A. Possible high-Tc superconductivity in the Ba — La — Си — О.— Z.Phys.B., 1986, v.64, p.189-193.

3. Tallon J.L., Loram J.W. The doping dependence of T* what is the real high-Tc phase diagram? — Physica C, 2001, v.349, p.53-68. Preprint cond-mat/0005063.

4. Annet J., Goldenfeld N., Leggett A.J. Physical properties of high temperature superconductors.— World Scientific (Singapore), 1996, v.5, p.375-456. Preprint cond-mat/9601060.

5. Tsui C.C., Kirtley J.R. Pairing symmetry in cuprate superconductors.— Rev.Mod.Phys., 2000, v.72, No 4, p.969-1016.

6. Максимов Е.Г. Проблема высокотемпературной сверхпроводимости. Современное состояние.— УФН, 2000, т.170, No 10, с.1033-1061.

7. Kulic М. Interplay of electron-phonon interaction and strong correlations: the possible way to high-temperature superconductivity. — Phys.Reports, 2000, v.338, p.1-264.

8. M.Kulic. Electron phonon interaction and strong correlations in high-temperature superconductors: one can not avoid unavoidable. Preprint cond-mat/0404287

9. Anderson P.W. The theory of superconductivity in the high Tc cuprates. — Princeton: Princeton University Press, 1997.-446p.

10. Demler E., Hanke W., Shou-Cheng Zhang. Theory of antiferromagnetism and superconductivity.— Preprint cond-mat/0405038.

11. Scalapino D.J. The case for dxivi pairing in the cuprate superconductors. — Phys.Reports, 1995, v.250, p.329-365.

12. Moriya T.,Ueda К. Spin fluctuations and high temperature superconductivity.— Adv.Phys., 2000, v.49, No 5, p.555-606.

13. Chubukov A.V., Pines D., Schmalian J. A spin fluctuation model for d-wave superconductivity // "The physics of conventional and unconventional superconductors"/ Edited by Bennemann K.H. and Kitterson J.B. — Springer, 2002; Preprint cond-mat/0201140.

14. Yanase Y., Jugo Т., Nomura Т., Ikeda H., Hotta Т., Yamada K. Theory of superconductivity in strongly correlated electron systems.— Phys.Reports, 2004, v.387, p.1-149.

15. Varma C.M., Nussinov Z., Wim van Saarlos. Singular or non-Fermi liquids.— Phys.Reports, 2002, v.361, p.267-417.

16. Sadovskii M.V. Superconductivity and localization. — Singapore: World Scientific,2000. 272p.

17. Timusk Т., Statt B. The pseudogap in high-temperature superconductors: an experimental survey.— Rep.Progr.Phys., 1999, v.62, p.61-122.

18. Садовский M.B. Псевдощель в высокотемпературных сверхпроводниках.— УФН,2001, т.171, No 5, с.539-564. Preprint cond-mat/0102111.

19. Мотт Н.Ф., Дэвис Э. Электронные процессы в некристаллических веществах. — М.: Мир, 1974.- 662с.

20. Sadovskii M.V. Models of the pseudogap state in high-temperature superconductors.— Preprint cond-mat/0408489.

21. Ding H., Yokoya Т., Campuzano J.C., Takahashi Т., Randeria M., Norman M.R., Mochiku Т., Kadowaki K., Giapintzakis J. Spectroscopic evidence for pseudogap in the normal state of underdoped high-Tc superconductors.— Nature, 1996, v.382, p.5154.

22. Norman M.R., Randeria M., Ding H., Campuzano J.C. Collective modes and the superconducting state spectral function of Bi2Sr2CaCu2Os-— Phys.Rev.B, 1998, v.57, p.11089-11092.

23. Armitage N.P., Lu D.H., Kim C., Damascelli A., Shen K.M., Ronning F., Feng D.L., Bogdanov P., Z.-X.Shen. Anomalous electronic structure and pseudogap effects in A^bssCecnsCuOt.— Phys.Rev.Lett, 2001, v.87, No 14, p.147003.

24. Norman M.R., Ding H., Randeria M., Campuzano J.C., Yokoya Т., Takeuchi Т., Takahashi Т., Mochiku Т., Kadowaki K., Guptasarma P., Hinks D.G. Destruction of the Fermi surface in underdoped high-Tc superconductors.— Nature, 1998, v.392, p.157-160.

25. Onose Y., Taguchi Y., Ishizaka K., Tokura Y. Doping dependence of pseudogap and related charge dynamics in Nd2-xCexCu04. — Phys.Rev.Lett, 2001, v.87, No 21, p.217001.

26. Basov D.N., Pushkov A.V.,Hughes R.A., Strach Т., Preston J., Timusk T. Disorder and superconducting-state conductivity of single crystals of Y Ва2Си30&^5.— Phys.Rev.B,1994, v.49, No 17, p.12165-12169.

27. Basov D.N., Dabrowski В., Timusk T. Infrared probe of transition from superconductor to nonmetal in УВа2{Сщхгпх)40ц. — Phys.Rev.Lett., 1998, v.81, No 10, p.2132-2135.

28. Singley E.J., Basov D.N., Kurahashi K., Uefuji Т., Yamada K. Electron dynamics in NdisbCea.xbCuOi+s- evidence for the pseudogap state and unconventional c-axis response. — Phys.Rev.B, 2001, v.64, p. 224503.

29. Randeria M. Precursor Pairing Correlations and Pseudogaps. — Varenna lectures, 1997. Preprint cond-mat/9710223

30. Geshkenbein V.B., Ioffe L.B., Larkin A.I. Superconductivity in a system with preformed pairs.— Phys.Rev.B, 1997, v.55, No 5, p.3173-3180.

31. Emery V., Kivelson S.A., Zachar O. Spin-gap proximity effect mechanism of high-temperature superconductivity.— Phys.Rev.B, 1997, v.56, No 10, p.6120-6147.

32. Barzykin V., Pines D. Magnetic scaling in cuprate superconductors.— Phys.Rev.B,1995, v.52, No 18, p.13585-13600.

33. Садовский М.В. Об одной модели неупорядоченной системы (к теории "жидких полупроводников").— ЖЭТФ, 1974, т.66, вып.5, с.1720-1733.

34. Садовский М.В. Теория квазиодномерных систем, испытывающих пайерлсовский переход.— ФТТ, 1974, т.16, вып.9, с.2504-2511.

35. Садовский М.В. Точное решение для электронной плотности состояний в одной модели неупорядоченной системы.— ЖЭТФ, 1979, т.77, вып.5(11), с.2070-2079.

36. Садовский М.В., ТимофеевА.А. Оптическая проводимость высокотемпературных сверхпроводников в модели "спиновых мешков": точное решение?— СФХТ, 1991, т.4, вып.1, с. 11-23.

37. Sadovskii M.V., Timofeev A.A. The two-particle Green function in a model of a one-dimensional disordered system: An exact solution?— J.Moscow Phys.Soc., 1991, v.l, p.391-406.

38. McKenzie R.H., Scarratt D. Non-Fermi-liquid behavior due to short-range order.— Phys.Rev.B, 1996, v.54, No 18, p.R12709-R12712.

39. Ren H.-C. An analytical approach to the pseudogap in Boson-Fermion model and its possible relevance to cuprate superconductors.— Physica C, 1998, v.303, No 1-2, p.115-130.

40. Кучинский Э.З., Садовский М.В. Модели псевдощелевого состояния двумерных систем.— ЖЭТФ, 1999, т.115, вып.5, с.1765-1785. Preprint cond-mat/9808321

41. Schrieffer J.R., Wen X.G., Zhang S.C. Dynamic spin fluctuations and the bag mechanism of high-Tc superconductivity.— Phys.Rev.B, 1989,v.39, No 16, p. 1166311679.

42. Изюмов Ю.А. Магнитизм и сверхпроводимость в сильно коррелированной системе.— УФН, 1991, т.161, No И, с.1-44.

43. Monthoux P., Balatsky A., Pines D. Weak coupling theory of high-temperature superconductivity in the antiferromagnetically correlated copper oxides.— Phys.Rev.B, 1992, v.46, No 22, p.14803-14817.

44. Monthoux P., Pines D. YBaiCu^Oj: A nearly antiferromagnetic Fermi liquid.— Phys.Rev.B, 1993, v.47, p.6069-6081; Spin-fluctuation-induced superconductivity and normal-state properties of YBa2Cu307 — Phys.Rev.B, 1994, v.49, No 6, p.4261-4278.

45. Millis A., Monien H., Pines D. Phenomenological model of nuclear relaxation in the normal state of YBa2Cu307 — Phys.Rev.B, 1990, v.42, No 1, p.167-178.

46. Изюмов Ю.А. Спин-флуктуационный механизм высокотемпературной сверхпроводимости и симметрия параметра порядка.— УФН, 1999, т. 169, No 3, с.225-254.

47. Посаженникова А.И., Садовский М.В. Разложение Гинзбурга-Ландау в простой модели сверхпроводника с псевдощелью. — ЖЭТФ, 1999, т. 115, вып.2, с.632-648. Preprint cond-mat/9806199.

48. Virosztec A., Ruvalds J. Nested-Fermi-liquid theory.— Phys.Rev.B, 1990, v.42, No 7, p.4064-4074.

49. Ruvalds J., Riec C.T., Tewari S., Thoma J., Virosztec A. Nesting mechanism for d-symmetry superconductors.— Phys.Rev.B, 1995, v.51, No 6, p.3797-3805.

50. Zheleznyak А.Т., Yakovenko V.M., Dzyaloshinskii. Parquet solution for a flat Fermi surface. — Phys.Rev.B, 1997, v.55, No 5, p.3200-3215.

51. Садовский М.В., Стригина Н.А.(Кулеева Н.А.) Оптическая проводимость в двумерной модели псевдощелевого состояния.— ЖЭТФ, 2002, т.122, вып.3(9), с.610-623. Preprint cond-mat/0203479.

52. Sadovskii M.V., Strigina N.A. (Kuleeva N.A.). Optical conductivity in the "hot spots" model of the pseudogap state. — Physica C, 2004, v.408-410, p.418-419.

53. Sadovskii M.V. Models of the pseudogap state in cuprates.— Physica C, 2000, v.341-348, p.811-814.

54. Bartosch L., Kopietz P. Exact numerical calculation of the density of states of the fluctuating gap model — Phys.Rev. B, 1999, v.60, No 23, p.15488-15491.

55. Millis A., Monien H. Pseudogaps in one-dimensional models with quasi-long-range order.— Phys.Rev. B, 2000, v.61, No 18, p. 12496-12502.

56. Садовский M.B. Диаграмматика. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.-336с.

57. Zhou X.J., Bogdanov P., Kellar S.A, Noda Т., Eisaki H., Uchida S.,Hussain Z., Z.-X.Shen. One-dimensional electronic structure and suppression of d-wave node state in {La^&Ndo.eSro^CuO^— Science, 1999, v.286, No 5438, p.268-272.

58. Damascelli A., Lu D.H., Z.-X.Shen. From Mott insulator to overdoped superconductor: evolution of the electronic structure of cuprates studied by ARPES.— J. Electron Spectr. Relat. Phenom., 2001, v.117-118, p.165-189. Preprint cond-mat/0107042

59. Monthoux P., Scalapino D.J. Electronic correlations near a Peierls-charge-density-wave transition.— Phys.Rev.B, 2002, v.65, p.235104.

60. Vollhardt D., Wolfle P. Diagrammatic self-consistent treatment of the anderson localization problem in d < 2 dimensions.— Phys.Rev.B, 1980, v.22, No 10, p.4666-4679.

61. Горьков JI.П., Ларкин А.И., Хмельницкий Д.Е. Проводимость частицы в двумерном случайном потенциале.— Письма ЖЭТФ, 1979, т.ЗО, вып.4, с.248-252.

62. Gogolin A.A., Zimanyi G.T. Hopping conductivity and weak localization in two-dimensional disordered systems.— Sol.St.Comm., 1983, v.46, p.469-472.

63. Садовский М.В. Оптическая проводимость в простой модели псевдощелевого состояния двумерной системы.— Письма ЖЭТФ, 1999, т.69, с.447-452. Optical conductivity in a simple model of the pseudogap state.— Physica C, 2000, v.341-348, p.939-940.

64. Кучинский Э.З., Садовский М.В. Сверхпроводимость в простой модели псевдощелевого состояния.— ЖЭТФ, 2000, т.117, вып.З, с.613-623. Preprint cond-mat/9910261.

65. Кучинский Э.З., Садовский М.В. Сверхпроводимость в псевдощелевом состоянии, вызванном флуктуациями ближнего порядка.— ЖЭТФ, 2001, т.119, вып.З, с.553-566. Preprint cond-mat/0008377.

66. Кучинский Э.З., Садовский М.В. Сверхпроводимость в точно решаемой модели псевдощелевого состояния: отсутствие самоусредняемости.— ЖЭТФ, 2002, т.121, вып.З, с.758-769. Preprint cond-mat/0110013.

67. Кучинский Э.З., Садовский М.В., Стригина Н.А.(Кулеева Н.А.) Сверхпроводимость в псевдощелевом состоянии в модели "горячих точек", разложение Гинзбурга-Ландау.— ЖЭТФ, 2004, т. 125, вып.З, с.854-867. Preprint cond-mat/0305278.

68. Кулеева Н.А. (Стригина Н.А.), Кучинский Э.З. Сверхпроводимость в псевдощелевом состоянии в модели "горячих точек": уравнения Горькова— ФТТ, 2004, т.46, вып.9, с.1557-1565.

69. Кулеева Н.А. (Стригина Н.А.), Кучинский Э.З., Садовский М.В. Сверхпроводимость в псевдощелевом состоянии в модели "горячих точек": влияние примесей ифазовая диаграмма.— ЖЭТФ, 2004, т.126, вып.6(12), с.1446-1464. Preprint cond-mat/0406156.

70. Kuleeva N.A.(Strigina N.A.), Kuchinskii E.Z., Sadovskii M.V. Superconductivity in the "hot spots" model of the pseudogap state.— J.Phys.Chem.Solids, in press. Preprint cond-mat/0405691.

71. Горьков JI.П. К теории сверхпроводящих сплавов в сильном магнитном поле вблизи критической температуры.— ЖЭТФ, 1959, т.37, вып.5, с.1407-1416.

72. П.Де Жен. Сверхпроводиость металлов и сплавов.— М.: Мир, 1968.- 280с.

73. Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике.— М.: Физматгиз, 1962.- 444 с.

74. Radtke R.J., Levin К., Schuttler H.-B., Norman M.R. Predictions for impurity-induced Tc suppression in the high-temperature superconductors.— Phys.Rev. B, 1993, v.48, No 1, p.653-656.

75. Loram J.W., Mirza K.A., Cooper J.R., Liang W.Y., Wade J.M. M.B. Electronic specific heat of УВа2Си30б+х from 1.8 to 300K. — Journal of Superconductivity, 1994, v.7, No 1, p.243-249.

76. Posazhennikova A., Coleman P. Quenched disorder formulation of the pseudogap problem.— Phys.Rev.B, 2003, v.67, No 16, p.165109.

77. Pines D. Pseudogap behavior in underdoped cuprates.— Preprint cond-mat/0404151

78. Naqib S.H., Cooper J.R., Tallon J.L., Islam R.S., Chakalov R.A. The doping phase diagram of Yi^xGaxBa2(GuiyZny)z07-6 from transport measurements: tracking the pseudogap below Tc .— Phys.Rev.B, 2005, v.71, p.054502. Preprint cond-mat/0312443.

79. Presland M.R., Tallon J.L., Buckley R.G., Liu R.S., Flower N.E. General trends in oxigen stoichiometry effects on Tc in Bi and T1 superconductors.— Physica C, 1991, v.176, p.95-105.

80. Fukuzumi Y., Mizuhashi К., Takenaka K., Uchida S. Universal superconductor-insulator transition and Tc depression in Zn-substituted high-Tc cuprates in the underdoped regime. — Phys.Rev.Lett, 1996, v.76, No 4, p.684-687.

81. Tallon J.L., Bernhard C., Williams G.V.M., Loram J.W. Zn-induced Tc reduction in high-Tc superconductors: scattering in the presence of a pseudogap.— Phys.Rev.Lett, 1997, v.79, No 26, p.5294-5297.

82. Карькин A.E., Давыдов С.А., Гощидкий Б.Н., Мошкин С.В., Власов М.Ю. Кинетические свойства радиационно-разупорядоченных монокристаллов УВа2Си3Ох (х = 6.4 6.95).— ФММ, 1993, т.76, No 5, с.103-113.

83. Tolpygo S.K., Lin J.-Y., Gurvitch M., Hou S.Y., Phillips J.M. Universal Tc suppression by in-plane defects in high-temperature superconductors: Implications for pairing symmetry.— Phys.Rev. B, 1996, v.53, No 18, p.12454-12461.

84. Rullier-Albenque F., Alloul H., Tourbot R. Influence of pair breaking and phase fluctuations on disordered high-jTc cuprate superconductors.— Phys.Rev.Lett, 2003, v.91, No 4, p.047001.

85. Посаженникова А.И., Садовский M.B. Эффекты разупорядочения в сверхпроводниках с анизотропным спариванием: от куперовских пар к компактным бозонам.— Письма в ЖЭТФ, 1997, т.65, вып.З, с.258-262. Preprint cond-mat/9612188.

86. Haran G., Nagy A.D.S. Role of anisotropic impurity scattering in anisotropic superconductors — Phys.Rev.B, 1996, v.54, No 21, p.15463-15467.

87. Valla Т., Fedorov A.V., Johnson P.D., Li Q., Gu G.D., Koshizuka N. Temperature dependent scattering rates at the fermi surface of optimally doped Bi2Sr2CaCu2Os+s.~ Phys.Rev.Lett, 2000, v.85, No 4, p.828-831.