Оптические свойства, динамика и когерентность многочастичных квантовых систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ СПЕКТРОСКОПИИ

На правах рукописи

Шарапов Владимир Александрович

ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА, ДИНАМИКА И КОГЕРЕНТНОСТЬ МНОГОЧАСТИЧНЫХ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ

специальность 01. 04. 02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Троицк - 2005 г.

Работа выполнена в Институте спектроскопии Российской Академии Наук

Научный руководитель :

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

заведующий лабораторией, Юрий Ефремович Лозовик

доктор физико-математических наук Валентин Николаевич Рыжов (Институт физики высоких давлений)

кандидат физико-математических наук Сергей Михайлович Апенко (Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН)

Московский институт стали и сплавов (технический университет)

Защита состоится г. в // часов на заседании

Диссертационного совета Д 002.014.01 при Институте спектроскопии РАН по адресу: 142190 Московкая обл., г. Троицк, Институт спектроскопии РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института спектроскопии РАН.

Автореферат разослан

года.

Ученый секретарь

Диссертационного совета, Профессор, Доктор физико-математических наук

М.Н. Попова

чш/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Изучение свойств бозе-систем при малых температурах имеет большой фундаментальный научный интерес. До сравнительно недавнего времени, вплоть до открытия бозе-конденсации системы атомов в магнитной ловушке, где конденсация происходит при сверхнизких температурах, Hell был фактически единственным объектом для изучения коллективных свойств бозе-систем. Явление бозе-конденсации и когерентности в течение ряда лет обсуждается также в системе электронов и дырок в возбужденных светом полупроводниках (см. JI.B. Келдыш, Ю. В. Копа-ев, ФТТ, в, 2791 (1964), А.Н. Козлов, Л.А. Максимов, ЖЭТФ, 48, 1184 (1965) и цит. лит.). Электронно-дырочные системы исследуются в основном оптическими методами - наиболее экспериментально доступными методами исследования. Ряд экспериментов посвящен поиску когерентной фазы электронпо дырочной системы. Однако еще не до конца изучено, как отразится появление когерентной фазы в электронно-дырочной системе на ее нелинейно-оптических свойствах, которые могли бы дать наиболее убедительные доказательства когерентности. Поэтому актуальны теоретические исследования, посвященные данной теме.

Бозе-Энштейновская конденсация атомов в магнитных ловушках впервые наблюдалась в 1995 году в экспериментах с парами щелочных металлов. В серии теоретических работ, появившихся после открытия бозе-конденсации, детально рассмотрены распределение плотности бозе-частиц в ловушке, основное состояние и спектр возбуждений бозе-конденсата, коллективные осцилляции и динамика расширения газа при выключении удерживающего потенциала, поведение газа при вариации удерживающего потенциала, доля конденсата и термодинамические функции. В связи с этим актуальным является дальнейшее исследование бозе-систем в магнитных ловушках. Например, одним из ин * эъектов является

система двух расположенных рядом ловушек, рассматривающаяся в диссертации [А6]. Эта система, в частности, перспективна для изучения эффекта Джозефсона и т.п.

В 1996 году российско-итальянской группой ученых было предложено новое представление квантовой механики - квантовая томография. Одной из возможных сфер применения квантовой томография является компьютерное моделирование квантово-механических процессов. Дело в том, что использование для моделирования обычных комплексных (волновая функция) или действительных, но знакопеременных (функция Вигнера) величин, описывающих состояние системы, зачастую приводит к трудноустранимой плохой сходимости при вычислении средних значений (например, "проблема знака"при моделировании ферми-систем [D.M. Ceperley and B.J. Alder, Science 231, 555 (1986)]). Одной из причин популярности теории функционала плотности [см. W. Kohn, Rev. Mod. Phys. 7, 1253 (1998)] и ссылки в этой работе) является то, что эта теория описывает состояние системы в терминах неотрицательно определенной величины - плотности в данной точке. Квантовая томография также описывает квантовое состояние с помощью неотрицательно определенной функции, поэтому есть надежда, что ее применение в компьютерном моделировании [AI, A4, А8] может помочь преодолеть такие трудности, как "проблема знака"и пр. Следует отметить, что методы моделирования квантовых динамических процессов развиты гораздо слабее, чем методы для процессов стационарных Тем более актуальным является создание эффективного метода моделирования коллективной квантовой динамики.

В связи с перспективами применения томографического представления представляет интерес исследование некоторых теоретических аспектов данного представления [A3, А5, А7]. В частности, имеет смысл рассмотрение уравнения, описывающего эволюцию матрицы плотности в томографическом представлении. Квантовые эволюционные уравнения в этом пред-

ставлении принимают интегрально-дифференциальную форму, которая в некоторых случаях выглядит более сложно по сравнению с эволюционным уравнением фон Неймана для матрицы плотности. Тем не менее томографическое представление квантовых кинетических уравнений имеет существенное преимущество, так как эти уравнения описывают эволюцию вероятностного распределения, также как классические уравнения в классической статистической механике. Этот факт также является причиной изучения квантовых эволюционных уравнений в томографическом представлении как для закрытых, так и для открытых систем.

Цель работы состоит в

• теоретическом исследовании новых нелинейно-оптических эффектов, возникающих при наличии когерентной фазы в электронно-дырочной системе. Экспериментальное обнаружение этих эффектов могло бы служить надежным доказательством существования когерентности в рассматриваемой системе.

• изучении эффекта увлечения в системе двух близко расположенных магнитных ловушек, содержащих бозе-конденсат атомов.

• исследовании динамики туннелирования, в частности экситона с помощью разработанного метода моделирования - метода квантово-томогра-фической динамики.

• получении выражений для томографических символов оператора (Н— Е)-1, дающих возможность разработать теорию возмущений в вероятностном представлении квантовой механики.

• изучении поведения открытых квантовых систем в рамках томографического представления.

Научная новизна. Рассматривается стимулированное отражение света назад от электронно - дырочной системы в когерентной фазе, связанное

с когерентной рекомбинацией двух экситонов из бозе - конденсата, либо двух скоррелированных электронно - дырочпых (е - Ь) пар в плотной е -Ь системе. Эффект впервые изучается для случая высоких концентраций электронов и дырок, на примерах двумерной электронно - дырочной системы в связанных квантовых ямах ОаАв/АЮаАв и трехмерной системы в СаАз. Получена оценка скорости процесса когерентной рекомбинации двух е - Ь пар с испусканием двух фотонов с противоположными импульсами. Обсуждается возможное экспериментальное наблюдение предсказываемых эффектов.

Изучается эффект увлечения в системе бозе-конденсата атомов на примере двух ловушек, расположенных друг над другом. Вращение одной из ловушек индуцирует вращение другой, за счет взаимодейсвия между атомами в ловушках. Вычислен момент импульса передаваемый изначально неподвижной ловушке.

Предложен новый метод моделирования нестационарных квантовых процессов. В рамках этого метода, для изучения эволюции системы, используется ансамбль траекторий в томографическом пространстве. Таким образом мы избегаем прямого вычисления квантовой томограммы. Разработанный метод применяется к изучению нестационарного туннелирова-ния волнового пакета. С помощью разработанного метода вычисляются такие характеристики туннелирования, как время туннелирования, эволюция распределений в координатном и импульсном пространстве и вероятность туннелирования. Также рассматривается туннелирование экситона и анализируется вероятность его распада вследствие рассеяния на барьере.

Рассмотрен томографический символ функции Грина стационарного уравнения Шредингера. В частности, получено интегральное представление томографического символа оператора (Н — Е)~1, где Н - гамильтониан гармонического осциллятора. Также найдена связь между символом этого оператора и томографическим символом оператора эволюции. Помимо

этого, на примере частицы со спином 1/2 в магнитном поле, рассмотрена схема построения томографических символов операторов, действующих в спинорном пространстве.

Впервые выведено уравнение, описывающее эволюцию матрицы плотности открытой системы в томографическом представлении квантовой механики, в котором квантовые состояния описываются стандартными вероятностными распределениями. Рассмотрен частный случай системы с затуханием, а именно так называемый "затухающий"осциллятор. Изучается эволюция начального состояния осциллятора (основного и когерентного) и поведение параметра "чистоты"в зависимости от параметров определяющих затухание.

Практическая ценность работы. Предсказанные нелинейно-оптические эффекты, связанные с когерентной рекомбинацией двух скоррелированных электронно-дырочных пар, могут быть использованы для разработки новых методов обнаружения когерентной фазы в рассматриваемой системе.

Метод моделирования квантовых систем, разработанный на основе томографического представления квантовой механики, может помочь преодолеть такие трудности, возникающие при моделировании квантовых систем, как "проблема знака"и пр.

Полученные выражения для томографических символов оператора (Н— дают возможность разработать теорию возмущений в вероятностном представлении квантовой механики.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах Института спектроскопии РАН. Ряд результатов был представлен на ХЫ и ХЬГУ научных конференциях Московского Физико-Технического Института (г. Долгопрудный) и на международной конференции "Классические и квантовые интегрируемые системы"(г. Дубна, 2004).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 7 стаг-

тьях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, трех приложений и списка цитируемой литературы из 139 названий. Она изложена на _страницах машинописного

текста, включающих 21 рисунок.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дается краткая характеристика состояния областей современной физики, к которым имеет отношение данная диссертация. Излагаг ется краткое содержание диссертации.

В первой главе настоящей Диссертации изучается эффект обратного отражения света, имеющий место при условии когерентности электронно-дырочной системы в двумерном или трехмерном полупроводнике. До недавнего времени в физике были известны два механизма отражения назад. Первый из них - отражение света от неоднородной среды, связанное с эффектом слабой локализации Андерсона. Второй механизм отражения назад - это андреевское отражение, в котором квазичастица, достигнув границы нормальная металлическая фаза - сверхпроводящая фаза, превращается в античастицу и меняет направление своего движения на обратное. Недавно был предсказан новый механизм, приводящий к отражению лазерного света от бозе-конденсата экситонов [Yu. Е. Lozovik and I. V. Ovchinnikov, Phys. Rev. В 66, 075124 (2001)]. По своей сути этот эффект есть стимулированная внешним лазерным лучом когерентная рекомбинация двух экситонов из конденсата с рождением двух фотонов, которые в силу закона сохранения импульса, имеют противоположные импульсы. Этот эффект был проанализирован как в системе трехмерных экситонов в Си%0, так и в системе двумерных экситонов в связанных квантовых ямах GaAs. В первой главе Диссертации показано, что аналогичный эффект также возможен при взаимодействии света с плотной электронно - дырочной системой, находящейся

Рис. 1: Диаграмма когерентной рекомбинации двух электронно-дырочных пар в ваАб.

в когерентном состоянии [А2] (см. Рис. 1).

Оценки скоростей процессов когерентной рекомбинации двух скоррели-рованных электронно-дырочных пар указывают на то, что эти эффекты могут быть обнаружены экспериментально. Помимо этого, по аналогии со случаем двумерного бозе-конденсата экситонов, показано, что в системе двумерных скоррелированных электронно - дырочных пар их стимулированная рекомбинация проявляет себя не только как отражение лазерного света назад, но и как аномальное прохождение света, при котором меняет знак лишь параллельная квантовым ямам составляющая волнового вектора, стимулирующего лазерного излучения (см. Рис. 2).

Во второй главе настоящей Диссертации изучается поведение системы атомов в магнитной ловушке при сверхнизких температурах. В частности, рассматривается система, состоящая из двух плоских ловушек, расположенных друг над другом и удерживающих бозе-конденсат атомов. При этом исследуется возможность увлечения атомов одной ловушки атомами другой ловушки при вращении последней [А6]. Найдено среднее значе-

Рис. 2: Фотоиндуцированное отражение света назад и аномальное прохождение света. 1 - падающий лазерный луч, 2,3 - стимулированное двухфо-тонное испускание в направлениях (Лц, и — (Лц, к±), 4 - стимулированное аномальное прохождение в направлениях (—, кх), 5 - обычное отражение. (*ц, —*гх); /1 = /2 = /3 = ¿А.

ние момента импульса системы атомов во второй ловушке, индуцированное вращением первой ловушки.

В третьей главе Диссертации посвящена разработке и применению метода компьютерного моделирования, основанного на описании квантовой системы в рамках томографического представления квантовой механики. С помощью разработанного метода [А1, А4] рассматривается туннелирование экситона и анализируется вероятность его распада вследствие рассеяния на барьере. В основу построения техники моделирования в томографическом представлении (метода квантово-томографической динамики (КТД)), лег метод квантово-молекулярной динамики (КМД), основанный на вигнеров-ском представлении квантовой механики. Многие идеи, использованные в КМД, были перенесены на КТД и успешно применены для томографического представления.

Описание метода квантово-томографической динамики и результаты соответствующих расчетов составляют содержание третьей главы настоящей Диссертации. В основном мы применяли КТД для изучения коллективного туннелирования волновых пакетов (см. Рис. 3).

50

Ф

А

• 40

•Г

30

20

■0.4 -0.3 -0.2

Ч, (ал.)

Рис. 3: Времена туннелирования ¿г с погрешностями для нескольких значений начальной средней координаты волнового пакета до- Результаты КТД (квадраты) сравниваются с результатами точного квантового расчета (кру-

С одной стороны, туннелирование - существенно квантовый процесс, с другой - изучение динамического туннелирования имеет сейчас практическое значение в связи с развитием наноэлектроники. В рамках метода КТД для изучения эволюции системы используется ансамбль траекторий в томографическом пространстве. Таким образом мы избегаем прямого вычисления квантовой томограммы. С помощью разработанного метода вычисляются такие характеристики туннелирования, как время туннелирования, вероятность туннелирования, и эволюция распределений в координатном и импульсном пространстве.

В связи с тем, что применение описания квантовых систем в терминах томограмм имеет определенные перспективы (например, в области моделирования), представляет интерес изучение некоторых теоретических аспектов томографического представления квантовой механики.

В четвертой главе настоящей Диссертации, мы рассматриваем построение томографического представления квантовой механики как один из спо-

ги).

собов отображения квантомеханических операторов, действующих в Гильбертовом пространстве, на пространство функций с-аргумента. Ведь выбор конкретного представления квантовой механики определяется выбором набора операторов, с помощью которых осуществляется отображение. Легко показать, что томограммы - это символы операторов, действующих в гильбертовом пространстве. Томографические символы уже были рассмотрены для операторов координаты, импульса и матрицы плотности. Мы рассматриваем томографический символ функции Грина стационарного уравнения Шредингера [АЗ]. В частности, получено интегральное представление томографического символа оператора (Я — Е)~1 , где Н - гамильтониан гармонического осциллятора. Также мы находим связь между символом этого оператора и томографическим символом оператора эволюции. Помимо этого, на примере частицы со спином 1/2 в магнитном поле, рассмотрена схема построения томографических символов операторов, действующих в спинорном пространстве. Полученные выражения для томографических символов оператора (Н — Е)~1 дают возможность разработать теорию возмущений в вероятностном представлении квантовой механики.

Также в четвертой главе Диссертации рассматривается поведение открытых квантовых систем в томографическом представлении. В случае замкнутых систем, уравнение Шредингера для волновой функции и уравнение фон Неймана для матрицы плотости были рассмотрены в томографическом представлении квантовой механики для локальных и нелокальных взаимодействий. В то же время уравнения, описывающие эволюцию матрицы плотности открытой системы, до сих пор не были рассмотрены в вероятностном представлении, хотя подобное рассмотрение является интересной фундаментальной задачей. Эти линейные квантово-кинетические уравнения представляют собой отображение, сохраняющее эрмитовость, неотрицательность и след матрицы плотности. В данной диссертации выводится общее эволюционное уравнение для томограммы квантового состояния

произвольной открытой системы [А5]. Используя это уравнение, мы изучаем эволюцию состояния "затухающего"осциллятора. В процессе эволюции оператор матрицы плотности сохраняет эрмитовость, неотрицательность и нормировку.

Квантовые эволюционные уравнения в томографическом представлении принимают интегрально-дифференциальную форму, которая в некоторых случаях выглядит более сложно по сравнению с эволюционным уравнением фон Неймана для матрицы плотности. Тем не менее томографическое представление квантовых кинетических уравнений имеет существенное преимущество, так как эти уравнения описывают эволюцию вероятностного распределения, также как классические уравнения в классической статистической механике.

Основные результаты диссертации можно сформулировать следующим образом:

1. Рассмотрен эффект стимулированного отражения света назад от когерентной фазы электронно - дырочной системы в связанных квантовых ямах ваАв, и в трехмерном йаАв, связанный с когерентной рекомбинацией двух скоррелированных е - Ь пар. Исходя из сделанных оценок для скорости двухфотонного испускания, мы приходим к выводу, что эффект стимулированного отражения света можно обнаружить экспериментально, как в случае высоких, так и низких концентраций электронов и дырок. В случае высоких концентраций электронов и дырок возможна когерентная рекомбинация нескольких скоррелированных электронно - дырочных пар, что аналогично явлению когерентной многоэкситонной рекомбинации в случае низких концентраций. Экспериментальное подтверждение рассматриваемых эффектов может служить доказательством существования когерентной фазы в электронно - дырочной системе, т.к. стимулированное отражение света

возможно лишь в системе с когерентной фазой. Другую возможность наблюдения когерентной рекомбинации двух е - Ь пар (в плотной е -Ь системе) с испусканием пары скоррелированных фотонов с противоположными импульсами дает эксперимент типа Хенбери Брауна -Твисса с детектированием пары скоррелированных фотонов с помощью двух соответствующим образом расположенных детекторов.

2. Рассмотрен эффект увлечения в системе, состоящей из двух плоских ловушек, расположенных друг над другом и удерживающих бозе-конденсат атомов. Вращение нижней ловушки в приближении Хартри-Фока индуцирует меняющийся во времени эффективный потенциал для атомов верхней ловушки, за счет чего и происходит увлечение. При этом оказывается возможным проанализировать среднее значение момента импульса системы атомов в верхней ловушке, индуцированное вращением нижней ловушки.

3. Представление симплектической томографии, в рамках которого квантовое состояние полностью описывается функцией распределения вероятности, было использовано для создания принципиально нового метода моделирования квантовых нестационарных процессов. Этот метод - квантово-томографическая динамика (КТД) - был применен для изучения задачи о туннелировании волнового пакета через потенциальный барьер, а также для изучения туннелирования волнового пакета составной частицы - экситона. В КТД квантовая томограмма использована в некотором смысле как функция распределения для ансамбля траекторий в пространстве X, д, г/, где X = д+р- координата, измеренная в повернутой и растянутой системе отсчета, q,p - координата и импульс системы, соответственно. Траектории развиваются во времени в соответствии с уравнениями, напоминающими уравнения движения Гамильтона, поэтому может быть использован аналог

метода молекулярной динамики. Результаты моделирования воспроизводят имеющееся аналитическое решение или прямой точный численный расчет с большой точностью. Получены различные величины, характеризующие туннелирование (вероятность прохождения за барьер, время туннелирования и др.). Развитый метод обладает теми преимуществами, что для описания квантового состояния используется действительная положительно определенная функция, что может оказаться полезным при моделировании ферми-систсм, где существенные трудности ("проблема знака") связаны с тем, что используемая для описания квантового состояния функция не является знакопостоянной.

4. Найден томографический символ оператора (Н — Е)~1, соответствующего функции Грина стационарного уравнения Шредингера. Показана

•■й>

связь между эволюционным оператором е ,л' и оператором в томографическом представлении, в виде линейного интегрального соотношения, связывающего томографические символы этих операторов. Томографический символ оператора (Я - Е)~1 для случая гармонического осциллятора получен в явном виде. Найдено интегральное соотношение, связывающее классический пропагатор и томографический символ эволюционного оператора. На примере частицы со спином 1/2 в магнитном поле, рассмотрена схема построения томографических символов операторов, действующих в спинорном пространстве. Полученные выражения для томографических символов оператора (Я - Е)~1 дают возможность разработать теорию возмущений в вероятностном представлении квантовой механики.

Получено общее эволюционное уравнение для матрицы плотности открытой системы в вероятностном (томографическом) представлении квантовой механики. В этом представлении эволюция состояния опи-

сывается эволюцией обычной функции распределения вероятностей. Рассматривается эволюция "затухающего"осциллятора. Показано, что эволюция состояния существенно зависит от выбора параметров, характеризующих затухание.

Публикации по теме диссертации:

Al А.С. Архипов, В.И. Манько, Ю.Е. Лозовик, В.А. Шарапов, "Томография центра масс и применение вероятностного представления к проблеме моделирования туннелирования частицы", Теоретическая и Математическая физика, 142, 371 (2005).

А2 Ю.Е. Лозовик, И.В. Овчинников, В.А. Шарапов, "Оптические свойства когерентной фазы электронно-дырочной системы: стимулированное отражение света назад и многолучевые процессы", ЖЭТФ, 98, 582 (2004).

A3 В.И. Манько, В.А. Шарапов , "Green functions of stationary Schrodinger equation and tomographic representation of quantum mechanics", J. of Russian Laser Research, 25, 370 (2004).

A4 Yu.E. Lozovik, V. A. Sharapov and A.S. Arkhipov, "Simulation of tunneling in the quantum tomography approach", Physical Review A, 69, 022116 (2004).

A5 V.I. Man'ko, V.A. Sharapov, E.V. Shchukin, "Tomographic representation of evolution equation for density matrix of open systems", Physics Letters A, 309, 176 (2003).

A6 M. В. Демин, Ю. E. Лозовик, В.А. Шарапов, "Эффект увлечения бозе-конденсата в системе двух связанных ловушек", Письма в ЖЭТФ, 76, 166 (2002).

А7 V.I. Man'ko, V.A. Sharapov, E.V. Shchukin, "Quantum tomography of multimode systems with quadratic Hamiltonian", J. of Russian Laser Research, 22, 401 (2001).

A8 A. S. Arkhipov, Yu. E. Lozovik, V.I. Man'ko and V. A. Sharapov, Proceedings of the International Conference "Classical and quantum integrable systems",

Dubna, Russia (2004).

172 10

РНБ Русский фонд

2006-4 13488

i

Введение ,/ 1 Оптические свойства когерентной электронно - дырочной системы: стимулированное отражение света назад и многолучевые процессы

1.1 Введение.

1.2 Когерентные оптические процессы и аномальные функции Грина.

1.3 Разреженная 2Б когерентная фаза экситонов.

1.4 Высокие концентрации электронов и дырок. Плотная 2Б экситонная фаза.

1.5 Отражение света назад от трехмерной плотной экситонной фазы в прямом полупроводнике.

2 Эффект увлечения бозе-конденсата в системе двух связанных ловушек

2.1 Введение

2.2 Эффективный потенциал.

2.2.1 Случай ш\х = ш\у =

2.2.2 Случай и>1Х ф

3 Квантово-томографическая динамика

3.1 Введение

3.2 Метод моделирования.

3.2.1 Описание квантовой эволюции с помощью траекторий в пространстве

3.2.2 Вычисление средних значений.

3.2.3 Модельная физическая задача.

3.3 Волновой пакет в гармоническом осцилляторе.

3.4 Моделирование туннелирования волнового пакета

3.4.1 Вероятность реакции.

3.4.2 Эволюция волнового пакета и время туннелирования.

3.5 Моделирование туннелирования экситона.

4 Томография квантовых систем

4.1 Функции Грина и вероятностное представление квантовой механики.

4.1.1 Общая схема построения символов операторов

4.1.2 Томографические символы.

4.1.3 Функции Грина как операторы в томографическом представлении

4.1.4 Классический пропагатор и томографический символ эволюционного оператора.

4.1.5 Спиновая томография.

4.2 Эволюция открытых систем в вероятностном представлении.

4.2.1 Уравнение эволюции

4.2.2 Эволюция "затухающего"осциллятора.

Изучение свойств бозе-систем при малых температурах имеет, большой фундаментальный научный интерес. До сравнительно недавнего времени, вплоть до открытия бозе-конденсации системы атомов в магнитной ловушке (конденсация происходит при сверхнизких температурах), Hell был фактически единственным объектом для изучения коллективных свойств бозе-систем. Со времени предсказания, явление бозе-конденсации и когерентности в течение ряда лет обсуждается также в системе электронов, и дырок в возбужденных светом полупроводниках.

В первой главе настоящей Диссертации изучается так называемый эффект обратного отражения света, имеющий место при условии когерентности электронно-дырочной системы в двумерном или трехмерном полупроводнике. До недавнего времени в физике были известны два механизма отражения назад. Первый из низ - отражение света от неоднородной среды, связанное с эффектом слабой локализации Андерсона. Второй механизм отражения назад - это отражение Андреева, в котором квазичастица, достигнув границы нормальная : металлическая фаза - сверхпроводящая фаза, превращается в античастицу и меняет направление своего движения на обратное. Недавно был предсказан новый механизм, приводящий к отражению лазерного света от бозе-конденсата экситонов [1, 2]. По своей сути этот эффект есть стимулированная внешним лазерным лучом когерентная рекомбинация двух экситонов из конденсата с рождением двух фотонов, которые в силу закона сохранения импульса, имеют противоположные импульсы. Этот эффект был проанализирован как в системе трехмерных экситонов в СщО, так и в системе двумерных экситонов в связанных квантовых ямах (GaAs). В первой главе Диссертации показано, что аналогичный эффект также возможен при взаимодействии света с плотной электронно-дырочной системой, находящейся; в когерентном состоянии. Оценки скоростей; процессов когерентной рекомбинации двух скоррелированных электронно-дырочных пар указывают на то, что эти эффекты должны быть обнаружены экспериментально. Помимо этого, по аналогии со случаем двумерного бозе-конденсата экситонов, показано, что в системе двумерных скоррелированных электронно дырочных пар их стимулированная рекомбинация проявляет себя не только как отражение лазерного света назад, но и как аномальное прохождение света, при | котором меняет знак лишь параллельная квантовым ямам составляющая волнового вектора стимулирующего лазерного излучения.

Во второй главе настоящей Диссертации изучается поведение системы атомов в магнитной ловушке при сверхнизких температурах. В частности, рассматривается система, состоящая из двух плоских ловушек, расположенных друг над другом и удерживающих бозе-конденсат атомов. При этом исследуется возможность увлечения атомов одной ловушки атомами другой ловушки при вращении последней; Найдено среднее значение момента импульса системы атомов во второй ловушке, индуцированное вращением первой ловушки.

Третья глава Диссертации посвящена разработке и применению метода компьютерного моделирования, основанного на описании квантовой системы в рамках томографического представления квантовой механики. С помощью разработанного метода рассматривается туннелирование экситона и анализируется вероятность его распада; вследствие: рассеяния на, барьере. В основу построения>■ техники моделирования в томографическом представлении 5 (метода квантово-томографической динамики (КТД) [3, 4]), лег метод квантово-молекулярной динамики (КМД), основанный на вигнеровском представлении квантовой механики. Многие идеи, использованные в КМД, были перенесены на КТД и успешно применены для томографического представления - вообще говоря, более сложного для понимания, чем вигнеровское. Описание метода КТД и результаты соответствующих расчетов; составляют содержание второй главы настоящей Диссертации. В основном мы применяли КТД для изучения коллективного ту ннел ирования; волновых пакетов .С одной стороны, туннелирование - существенно квантовый процесс, с другой - изучение динамического тун-нелирования имеет сейчас практическое значение в связи с развитием наноэлектроники. В рамках метода КТД для изучения эволюции системы используется ансамбль траекторий в томографическом пространстве. Таким образом мы избегаем прямого вычисления квантовой томограммы. С помощью разработанного метода вычисляются такие характеристики: туннелирования, как время туннелирования, вероятность туннелирования, и эволюция распределений в координатном и импульсном пространстве.

В связи с тем, что применение описания квантовых систем в терминах томограмм имеет определенные перспективы (например, в области моделирования), представляет интерес изучение некоторых теоретических аспектов томографического представления квантовой механики. В четвертой главе настоящей Диссертации, мы рассматриваем построение томографического представления квантовой механики как один из способов отображения кван-томеханических операторов, действующих в Гильбертовом пространстве, на пространство функций с-аргумента. Ведь выбор конкретного представления квантовой механики определяется выбором набора операторов, с помощью которых осуществляется отображение. Легко показать [5], что томограммы это символы операторов, действующих в Гильбертовом пространстве. Томографические символы уже были рассмотрены для операторов координаты, импульса и матрицы плотности [5]. Мы рассматриваем томографический символ функции Грина стационарного уравнения Шредингера. В частности, получено интегральное представление томографического символа оператора (Н — Е)~г, где Й - гамильтониан; гармонического осциллятора. Также мы находим связь между символом этого оператора и томографическим символом оператора эволюции. Помимо этого, на примере частицы со спином 1/2 в; магнитном поле, рассмотрена схема построения томографических символов операторов, действующих в спинорном пространстве. Полученные выражения для томографических символов оператора (Я—Е)~1 дают возможность разработать теорию возмущений в вероятностном представлении квантовой механики.

Также в четвертой главе Диссертации рассматривается поведение открытых квантовых систем в томографическом представлении. В случае замкнутых систем, уравнение Шредингера для волновой функции и уравнение фон Неймана для матрицы плотости [6] были > рассмотрены в томографическом представлении квантовой механики для локальных [7] и нелокальных взаимодействий [8]. В то же время уравнения, описывающие эволюцию матрицы плотности открытой системы (см. [9, 10]) , до сих пор не были рассмотрены в вероятностном представлении, хотя подобное рассмотрение является интересной фундаментальной задачей. Обобщенное уравнение, описывающее эволюцию матрицы плотности открытой системы обсуждалось также в работах [11, 12]. Эти линейные квантово-кинетические уравнения представляют собой отображение, сохраняющее эрмитовость, неотрицательность и след матрицы плотности. Это соответствие (для неограниченных систем) изучалось также в работе [13].

В данной Диссертации выводится общее эволюционное уравнение для томограммы квантового состояния произвольной открытой системы. Используя это уравнение, мы изучаем эволюцию состояния "затухающего"осциллятора. В процессе эволюции оператор матрицы плотности сохраняет эрмитовость, неотрицательность и нормировку.

Отметим, что существуют примеры открытых систем [14], которые не описываются уравнениями типа обсуждаемых в работах [11, 12]. Тем не менее кинетическое уравнение, выведенное в работе [14], сохраняет эрмитовость, положительность и нормализацию матрицы плотности.

Квантовые эволюционные уравнения в томографическом представлении принимают инте--грально-дифференциальную форму, которая в некоторых случаях выглядит более сложно по сравнению с эволюционным уравнением фон Неймана для матрицы плотности. Тем не менее томографическое представление квантовых кинетических уравнений имеет существенное преимущество, так как эти уравнения описывают эволюцию вероятностного распределения, также как классические уравнения в классической статистической механике. Этот факт является основной причиной изучения квантовых эволюционных уравнений в томографическом представлении как для закрытых, так и для открытых систем.

1 Оптические свойства когерентной электронно - дырочной системы: стимулированное отражение света назад и многолучевые процессы

1.1 Введение

Как известно, электронно - дырочная система в полупроводниках или полуметаллах при температурах Т < Тс, где Тс - критическая температура перехода, должна находиться в когерентном состоянии; [15, 16, 17, 18, 19, 20, 21]. Экспериментальное наблюдение этого явления как в трехмерных, так и в двумерных системах представляет значительный интерес. За последние годы в этой области наблюдается большой экспериментальный прогресс, в особенности, для квазидвумерных систем межъямных экситонов в связанных квантовых ямах [22, 23, 24, 25] для которых ранее был предсказан ряд аномальных транспортных свойств, сверхтекучесть, эффекты увлечения, аналог эффекта Джозефсона и т.п. [26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44]

Для электронно - дырочной системы могут осуществляться два предельных режима по концентрации, отвечающих, соответственно, высоким (па% 1 - в трехмерном [15] и пад ^ 1 - в двумерном [26] случаях) или низким (пагв -С 1 для трехмерных систем [17, 18] или па% 1 для двумерных [27, 28]) концентрациям носителей щ ав - радиус Бора.

При низких концентрациях в системе существуют экситоны, которые при температуре Т < Тс переходят в когерентное состояние. Это когерентное состояние отвечает бозе - конденсации экситонов в трехмерном случае [17, 18], либо, в двумерном случае, - возникновению кроссовером локального бозе - конденсата с флуктуирующей фазой параметра порядка и последующим переходом в низкотемпературную фазу Березинского - Костерлица - Таулеса с квазидальним порядком (см. например [29] и цит. лит.).

В случае высоких концентраций электронов и дырок изолированные экситоны отсутствуют, и при низких температурах Т< Тс возникает когерентная фаза электронно - дырочной системы, аналогичная состоянию БКШ в сверхпроводниках1, с размером электронно - дырочных пар, существенно большим среднего расстояния между ними [15, 16, 20]. В квазидвумерной е - Ь системе состояние БКШ рассмотрено в работах [26, 29]. В работах [26] состояние БКШ рассмотрено для пространственно разделенной е - Ь системы. Случай промежуточной плотности, отвечающий жидкой фазе квазидвумерных экситонов был детально рассмотрен в работе [31]. Фазовая диаграмма и свойства такой системы при Т < Тс рассматривались в работах [26, 29].

Появление когерентной фазы в системе экситонов при температуре Т < Тс должно сопровождаться возникновением ряда новых оптических свойств этой системы [45,46, 47, 48,1, 2]. Одним из оптических проявлений когерентной фазы является возникновение интенсивной узкой линии в спектре флуоресценции, отвечающей рекомбинации экситонов из бозе - конденсата, интенсивность которой пропорциональна бозе - фактору щ - плотности бозе -конденсата. Но для сильно взаимодействующей системы экситонов, в основном состоянии системы довольно велика концентрация надконденсатных экситонов. На фоне их спектра рекомбинации, выделить линию, отвечающую бозе - конденсату экситонов, непросто. Поэтому хотелось бы найти качественный эффект, который бы более однозначно свидетельствовал о когерентности электронно - дырочной системы.

В данной главе мы рассматриваем когерентную рекомбинацию двух электронно - дырочных пар с испусканием двух фотонов (в плотной когерентной е-Ь системе), выражающуюся

1Для перехода полуметаллов или плотной, созданной лазерной накачкой, квазиравновесной электронно

- дырочной системы в когерентную фазу необходимо выполнение с определенной точностью условия конгруэнтности - совпадения формы участков Ферми - поверхностей электронов и дырок, Ур5р < Д, где ьр

- скорость Ферми, 6р - раздвижка Ферми - поверхностей спаривающихся частиц, Д - щель возникающая при спариваннии. При этом температура перехода достаточно медленно убывает с уменьшением размера конгруэнтных участков Ферми - поверхностей [21]. В небольшой области раздвижек 5р может также осуществляться состояние типа Фулде - Феррела - Ларкина - Овчинникова с неоднородной щелью [49]. Конкурирующим типом основного состояния является жидкая металлическая электронно - дырочная фаза ("электронно - дырочные капли"), стабилизации которой способствует многодолинность полупроводников (типа Се и [50]. через аномальные функции Грина и потому однозначно свидетельствующую о когерентных корреляциях в системе. В разреженном случае рассматривается когерентная рекомбинация двух экситонов из бозе - конденсата, выражающаяся через аномальную, беляевскую функцию Грина [1].

Двухэкситонная рекомбинация - процесс второго порядка по экситон - фотонному взаимодействию, но малость эффекта компенсируется тем, что, в отличие от рекомбинации одного экситона из бозе - конденсата, вероятность процесса когерентной рекомбинации из бозе - конденсата пропорциональна бозе - фактору а не По.

Поскольку оба экситона из бозе - конденсата имели нулевой импульс, то суммарный импульс пары родившихся фотонов также равен нулю. Следовательно, в трехмерной системе импульсы рожденных фотонов противоположны по направлению, а в двумерной экситон-ной системе, в силу сохранения лишь импульса вдоль плоскости системы - противоположны их компоненты вдоль плоскости. Такой процесс может быть обнаружен, в частности, по зависящей от времени угловой корреляции числа фотонов - с помощью эксперимента типа Хенбери Брауна - Твисса с соответствующим образом размещенными детекторами, работающими в режиме счета фотонов [46, 51].

Если индуцировать вышеописанную когерентную двухэкситонную рекомбинацию лазерным лучом (скажем, с импульсом к), то, поскольку это единый процесс, индуцируется не только фотон с импульсом к, но и с противоположным импульсом —к (или, в двумерной системе, с противоположной компонентой импульса вдоль плоскости системы). Это можно рассматривать как фотоиндуцированное отражение света назад (по отношению к падающему лучу). В двумерной же системе противоположной компоненте импульса соответствуют два индуцированных луча (см. Рис. 5) - отраженный назад и аномально проходящий. Отметим, что как в системе бозе - конденсированных экситонов, так и в когерентной электронно - дырочной системе, возможен ряд многофотонных эффектов, связанных с когерентной многоэкситонной рекомбинацией [1, 2].

Рис. 1: Связанные квантоые ямы СаАв/АЮаАБ. Слои А и В разделены барьером.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. А.С. Архипов, В.И. Манько, Ю.Е. Лозовик, В.А. Шарапов, "Томография центра масс и применение вероятностного представления к проблеме моделирования туннелирова-ния частицы", Теоретическая и Математическая физика, 142, 371 (2005).

2. Ю.Е. Лозовик, И.В. Овчинников, В.А. Шарапов, "Оптические свойства когерентной фазы электронно-дырочной системы: стимулированное отражение света назад и многолучевые процессы", ЖЭТФ, 98, 582 (2004).

3. В.И. Манько, В.А. Шарапов , "Green functions of stationary Schrodinger equation and tomographic representation of quantum mechanics", J. of Russian Laser Research, 25, 370 (2004).

4. Yu.E. Lozovik, V. A. Sharapov and A.S. Arkhipov, "Simulation of tunneling in the quantum tomography approach", Physical Review A, 69, 022116 (2004).

5. V.I. Man'ko, V.A. Sharapov, E.V. Shchukin, "Tomographic representation of evolution equation for density matrix of open systems", Physics Letters A, 309, 176 (2003).

6. M. В. Демин, Ю. E. Лозовик, В.А. Шарапов, "Эффект увлечения бозе-конденсата в системе двух связанных ловушек", Письма в ЖЭТФ, 76, 166 (2002).

V.I. Man'ko, V.A. Sharapov, E.V. Shchukin, "Quantum tomography of multimode systems with quadratic Hamiltonian", J. of Russian Laser Research, 22, 401 (2001).

A. S. Arkhipov, Yu. E. Lozovik, V.I. Man'ko and V. A. Sharapov, Proceedings of the International Conference "Classical and quantum integrable systems", Dubna, Russia (2004)

Благодарности

В заключение я выражаю благодарность моему научному руководителю, профессору Ю.Е. Лозовику и профессору В.И. Манько за постановку задач, обсуждения, и неоценимую поддержку на всех этапах работы, а также всем сотрудникам лаборатории нанофизики Института спектроскопии РАН за полезные обсуждения результатов на семинарах лаборатории.

Заключение

Рассмотрен эффект стимулированного отражения света назад от когерентной фазы электронно - дырочной системы в связанных квантовых ямах ваАв, и в трехмерном СаАв, связанный с когерентной рекомбинацией двух скоррелированных е - Ь пар. Исходя из сделанных оценок для скорости двухфотонного испускания, мы приходим к выводу, что эффект стимулированного отражения света можно обнаружить экспериментально, как в случае высоких, так и низких концентраций электронов и дырок. При наличии в стимулирующей лазерной моде порядка 102 — 105 квантов, скорость двухфотонного испускания сравнима со скоростью однофотонной рекомбинации. Отметим, что в случае высоких концентраций электронов и дырок возможна когерентная рекомбинация нескольких скоррелированных электронно - дырочных пар, что аналогично явлению когерентной многоэкситонной рекомбинации в случае низких концентраций. Экспериментальное подтверждение рассматриваемых эффектов может служить доказательством существования когерентной фазы в электронно - дырочной системе, т.к. стимулированное отражение света возможно лишь в системе с когерентной фазой. Другую возможность наблюдения когерентной рекомбинации двух е - Ъ пар (в плотной е - Ь системе) с испусканием пары скоррелированных фотонов с противоположными импульсами дает эксперимент типа Хенбери Брауна - Твисса с детектированием пары скоррелированных фотонов с помощью двух соответствующим образом расположенных детекторов.

Рассмотрен эффект увлечения в системе, состоящей из двух плоских ловушек, расположенных друг над другом и удерживающих бозе-конденсат атомов. Оказывается, что вращение нижней ловушки в приближении Хартри-Фока индуцирует некий меняющийся во времени эффективный потенциал для атомов верхней ловушки, за счет чего и происходит увлечение. При этом оказывается возможным проанализировать среднее значение момента импульса системы атомов в верхней ловушке, индуцированное вращением нижней ловушки.

Представление симплектической томографии, в рамках которого квантовое состояние полностью описывается функцией распределения вероятности, было использовано для создания принципиально нового метода моделирования квантовых нестационарных процессов. Этот метод - квантово-томографическая динамика (КТД) - был применен для изучения задачи о туннелировании волнового пакета через потенциальный барьер, а также для изучения туннелирования волнового пакета составной частицы - экситона. В КТД квантовая томограмма использована в некотором смысле как функция распределения для ансамбля траекторий в пространстве Х,1л,ь> где X = - координата, измеренная в повернутой и растянутой системе отсчета, - координата и импульс системы, соответственно. Траектории развиваются во времени в соответствии с уравнениями, напоминающими уравнения движения Гамильтона, поэтому может быть использован аналог метода молекулярной динамики. Результаты моделирования воспроизводят аналитическое решение или точный численный расчет с большой точностью. Получены различные величины, характеризующие туннелирование (вероятность прохождения за барьер, время туннелирования и др.). Развитый метод обладает теми преимуществами, что для описания квантового состояния используется действительная положительно определенная функция, что может оказаться полезным при моделировании ферми-систем, где существенные трудности ("проблема знака") связаны с тем, что используемая для описания квантового состояния функция не является знакопостоянной.

Найден томографический символ оператора (Н — Е)-1 , соответствующего функции Грина стационарного уравнения Шредингера. Показана связь между эволюционным оператором е~*т и оператором в томографическом представлении, в виде линейного интегрального соотношения, связывающего томографические символы этих операторов. Томографический символ оператора (Н — Е)~г для случая гармонического осциллятора получен в явном виде. Найдено интегральное соотношение, связывающее классический пропагатор и томографический символ эволюционного оператора. Также, на примере частицы со спином 1/2 в магнитном поле, рассмотрена схема построения томографических символов операторов, действующих в спинорном пространстве. Полученные выражения для томографических символов оператора (Н — Е)~г дают возможность разработать теорию возмущений в вероятностном представлении квантовой механики.

Получено общее эволюционное уравнение для матрицы плотности открытой системы в вероятностном (томографическом) представлении квантовой механики. В этом представлении эволюция состояния описывается эволюцией обычной функции распределения вероятностей. В этом смысле, полученное уравнение, написанное в терминах томограмм, является обобщением эволюционного уравнения Мойала, написанного для функции Вигнера. В качестве примера, рассмотрена эволюция "затухающего"осциллятора. Было показано, что эволюция состояния существенно зависит от выбора параметров, характеризующих затухание.

1. Yu. Е. Lozovik and I. V. Ovchinnikov, "Stimulated light backscattering from exciton Bose condensate", JETP Lett., 74, 318 (2001).

2. Yu. E. Lozovik and I. V. Ovchinnikov,"Many-photon coherence of Bose-condensed excitons: Luminescence and related nonlinear optical phenomena", Phys. Rev. B, 66, 075124 (2001).

3. Yu.E. Lozovik, V. A. Sharapov and A.S. Arkhipov, "Simulation of tunneling in the quantum tomography approach", Phys. Rev. A, 69, 022116 (2004).

4. A. S. Arkhipov and Yu. E. Lozovik, "New method of quantum dynamics simulation based on the quantum tomography", Phys. Lett. A, 319, 217 (2003).

5. O.V. Man'ko, V.I. Man'ko and G. Marmo, "Alternative commutation relations, star products and tomography", J.Phys.A, 35, 699 (2002).

6. J. von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Springer, Berlin, 1932.

7. S. Mancini, V.I. Man'ko and P. Tombesi, "Symplectic tomography as classical approach to quantum systems", Phys. Lett. A, 213, 1 (1996).

8. V. I. Man'ko and R. V. Mendes, "Lyapunov exponent in quantum mechanics. A phasespace approach", Physica D, 145, 330 (2000).

9. E. B. Davies, Quantum Theory of Open Systems, Academic, London, 1976.

10. C. W. Gardiner, Quantum Noise, Springer-Verlag, Berlin, 1991.

11. G. Lindblad, "On the generators of quantum dynamical semigroups", Comm. Math. Phys., 48, 119 (1976).

12. V. Gorini, A. Frigerio, V. Verri, A. Kossakowski, and E.C.G. Sudarshan, "Properties of quantum Markovian master equations", Rep. Math. Phys., 13, 149 (1978).

13. K. Kraus, States, Effects and Operations: Fundamental Notions of Quantum Theory, Springer, 1983.

14. A. S. Holevo, "Covariant quantum Markovian evolutions", J. of Math. Phys., 37, 1812 (1996).

15. JI. В. Келдыш, Ю. В. Копаев, "Возможная неустойчивость полуметаллического состояния относительно кулоновского взаимодействия", ФТТ, 6, 2791 (1964).

16. А. Н. Козлов, JI. А. Максимов,"О фазовом переходе металл диэлектрик. Двухвалентный кристалл", ЖЭТФ, 48, 1184 (1965).

17. С. А. Москаленко, "Обратные оптико-гидродинамические явления в неидеальном эк-ситонном газе", ФТТ, 4, 276 (1962).

18. JI. В. Келдыш, А.Н. Козлов, "Коллективные свойства экситонов в полупроводниках", ЖЭТФ, 54, 978 (1968).

19. I. М. Blatt, К. W. Boer, and W. Brandt, "Bose-Einstein condensation of excitons", Phys. Rev., 126,1691 (1962).

20. D. Jerome, Т. M. Rice and W. Kohn., "Excitonic insulator", Phys. Rev., 158, 462 (1967).

21. S.A.Moskalenko and D.W. Snoke, "Bose-Einstein Condensation of Excitons and Biexcitons and Coherent Nonlinear Optics with Excitons", Cambridge University Press, New-York, 2000.

22. A. A. Dremin, V. B. Timofeev, A. V. Larionov, et. al., "Phase diagramm of the bose condensation of interwell excitons in GaAs/AlGaAs double quantum wells", JETP Lett., 76, 450 (2002).

23. L. V. Butov, А. С. Gossard, D. S. Chcmla,"Macroscopically ordered state in an exciton system", Nature, 418, 751 (2002).

24. S. A. Moskalenko, M. A. Liberman, D. W. Snoke, et. al., "Polarizability, correlation energy, and dielectric liquid phase of Bose-Einstein condensate of two-dimensional excitons in a strong perpendicular magnetic field", Phys. Rev. B, 66, 245316 (2002).

25. V. V. Krivolapchuk, E. S. Moskalenko, A. L. Zhmodikov, "Specific features of the indirect exciton luminescence line in GaAs/AlxGal-xAs double quantum wells", Phys. Rev. B, 64, 045313 (2001).

26. Ю. E. Лозовик, В. И. Юдсон, "О возможности сверхтекучести разделенных в пространстве электронов и дырок при их спаривании: новый механизм сверхпроводимости", Письма в ЖЭТФ, 22, 556 (1975).

27. Y. Е. Lozovik, А. V. Poushnov, "Magnetism and Josephson effects in a coupled quantum well electron system", Phys. Lett. A, 228, 399 (1997).

28. Yu.E.Lozovik, M.Willander, "Excitons and magnetoexcitons in coupled quantum nanostructures: the role of a dirty environment", Appl.Phys. A 71, 379 (2000).

29. Ю. E. Лозовик, О. Л. Берман, "Фазовые переходы в системе из двух квантовых ям", Письма в ЖЭТФ, 64, 526 (1996).

30. Yu. Е. Lozovik, О. L. Berman, V. G. Tsvetus, "Phase transitions of electron-hole and unbalanced electron systems in coupled quantum wells in high magnetic fields", Phys. Rev. B, 59, 5627 (1999).

31. Yu. E. Lozovik, O. L. Berman and M. Willander, "Superfluidity of indirect excitons and biexcitons in coupled quantum wells and superlattices", J. Phys. C, 14,12457 (2002).

32. D.Yoshioka, A.H.MacDonald, "Double quantum well electron-hole systems in strong magnetic fields", J.Phys.Soc.Jpn., 59, 4211 (1990).

33. X.M.Chen,J.J.Quinn, "Excitonic charge-density-wave instability of spatially separated electron-hole layers in strong magnetic fields", Phys.Rev.Lett., 67, 895 (1991).

34. G.E.W.Bauer, "Electron-hole magnetoplasmas in quantum wells", Phys.Rev.Lett., 64, 60 (1990).

35. Xu.Zhu, P.B.Littlewood, M.S.Hybertsen, and T.M.Rice, "Exciton Condensate in Semiconductor Quantum Well Structures", Phys.Rev.Lett., 74, 1633 (1995).

36. Y.Naveh, B.Laikhtman, "Excitonic Instability and Electric-Field-Induced Phase Transition Towards a Two-Dimensional Exciton Condensate", Phys.Rev.Lett., 77, 900 (1996).

37. Ю.Е.Лозовик, A.M. Рувинский, "Магнитоэкситонное поглощение в связанных квантовых ямах", ЖЭТФ, 112, 1791 (1997).

38. A.Imamoglu, "Phase-space filling and stimulated scattering of composite bosons", Phys.Rev.B, 57, R4195 (1998).

39. S.Conti, G.Vignale, A.H.MacDonald, "Engineering superfluidity in electron-hole double layers", Phys.Rev.B, 57, R6846 (1998).

40. A.V.Korolev, M.A.Liberman, "Superfluidity of excitons in a high magnetic field", Phys.Rev.Lett., 72, 270 (1994).

41. S.I.Shevchenko, "Phase diagram of systems with pairing of spatially separated electrons and holes", Phys.Rev.Lett., 72, 3242 (1994).

42. A.Parlangeli, P.C.M.Christianen, J.C.Maan, I.V.Tokatly, C.B.Soerensen, P.E.Lindelof, "Optical observation of the energy-momentum dispersion of spatially indirect excitons", Phys.Rev.B, 62, 15323 (2000).

43. H.C.Tso, P.Vasilopoulos, F.M.Peeters, "Coulomb coupling between spatially separated electron and hole layers: Generalized random-phase approximation", Phys.Rev.Lett., 70, 2146 (1993).

44. J.S.Thakur, D.Neilson, M.P.Das, "Electron superconductivity in coupled electron-hole layers", Phys.Rev.B, 57, 1801 (1998).

45. В. А. Гергель, P. Ф. Казаринов, P. А. Сурис, "Оптические свойства экситонного конденсата в полупроводниках", ЖЭТФ, 53, 544 (1967).

46. В. Laikhtman, "Coherence of the exciton condensate luminescence", Europhys. Lett., 43, 53 (1998).

47. H. Shi, G. Verechaka and A. Griffin, "Theory of the decay luminescence spectrum of a Bose-condensed interacting exciton gas", Phys. Rev. B, 50, 1119 (1994).

48. Yu. E. Lozovik, A. V. Poushnov, "Manifestation of exciton Bose condensation in induced two-phonon emission and Raman scattering", Phys. Rev. B, 58, 6608 (1999).

49. P. Fulde, R. A. Ferrel, "Superconductivity in a Strong Spin-Exchange Field", Phys. Rev., 135A, 550 (1964);

50. Т. Райе, Дж. Хенсел, Т. Филлипс, Г. Томас, "Электронно дырочная жидкость в полупроводниках", изд."Мир", Москва, 1980.

51. A.Olaya-Castro, F.J.Rodriguez, L.Quiroga, C.Tejedor, "Restrictions on the Coherence of the Ultrafast Optical Emission from an Electron-Hole-Pair Condensate", Phys.Rev.Lett., 87, 246403 (2001).

52. P.Kner, S.Bar-Ad, M.V.Marquezini, D.S.Chemla, R.Lovenich, W.Schafer, "Effect of magnetoexciton correlations on the coherent emission of semiconductors", Phys.Rev.B, 60, 4731 (1999).

53. S.R.Bolton, U.Neukirch, L.J.Sham, D.S.Chemla, V.M.Axt, "Demonstration of Sixth-Order Coulomb Correlations in a Semiconductor Single Quantum Well", Phys.Rev.Lett., 85, 2002 (2000).

54. K.Elsayed, D.Birkedal, V.G.Lyssenko, J.M.Hvam, "Continuum contribution to excitonic four-wave mixing due to interaction-induced nonlinearities: A numerical study", Phys.Rev.B, 55, 2456 (1997).

55. M. H. Anderson et al, "Observation of Bose-Einstein condensation in a dilute atomic vapor", Science, 269, 198 (1995).

56. К. B. Davis et al, "Bose-Einstein Condensation in a gas of sodium atoms", Phys. Rev. Lett., 75, 3969 (1995).

57. С. C. Bradley et al, "Evidence of Bose-Einstein condensation in an atomic gas with attractive interactions", Phys. Rev. Lett., 75, 1687 (1995).

58. Л.П. Питаевский, "Вихревые нити в неидеальном бозе-газе", ЖЭТФ, 40, 646 (1961).

59. Е.Р. Gross, "Hydrodynamics of a superfluid condensate", Journal of Math. Phys., 4, 195 (1963).

60. F. Dalfovo, S. Giorgini, L. P. Pitaevskii and S. Stringari, "Theory of Bose-Einstein condensation in trapped gases", Rev. Mod. Phys., 71, 463 (1999).

61. Л. П. Питаевский, "Возе конденсация в магнитных ловушках. Введение в теорию", УФН, 168, 641 (1998).

62. S. Giorgini, L.P. Pitaevskii, and S. Stringari, "Thermodymamics of a trapped Bose gas", Journal of Low Temperature Physics, 109, 309 (1997).

63. P. A. Ruprecht, M.J. Holland and K. Burnett, M. Edwards, "Time dependent solution of the nonlinear Schrodinger equatioin for Bose-condensed trapped neutral atoms", Phys. Rev. A, 51, 4704 (1995)

64. F. Dalfovo and S. Stringari, "Bosons in anisotropic traps: ground state and vortices", Phys. Rev. A, 53, 2477 (1996).

65. G. Baym and C.J. Pethick, "Ground-state properties of magnetically trapped bose-condensed rubidium gas", Phys. Rev. Lett., 76, 6 (1996).

66. A.L. Fetter, "Ground state and excited states of a confined condensed Bose gas", Phys. Rev. A, 53, 4245 (1996).

67. S. Stringari, "Collective excitations of a trapped Bose-condensed gas", Phys. Rev. Lett., 77, 2360 (1996).

68. M. Edwards, P.A. Ruprecht and K. Burnett, R.J. Dodd and C.W. Clark, "Collective excitations of atomic Bose-Einstein condensates", Phys. Rev. Lett., 77, 1671 (1996).

69. A. Griffin "Condensate oscillations, kinetic equations and two-fluid hydrodynamics in a Bose gas", arXiv: cond-mat/0006382

70. A. Smerzi and S. Fantoni, "Large amplitude oscillations of a Bose condensate", Phys. Rev. Lett., 78, 3589 (1997).

71. F. Dalfovo, C. Minniti and L.P. Pitaevski, "Frequency shift and mode coupling in the nonlinear dynamics of a Bose-condensed gas", Phys. Rev. A, 56, 4855 (1997).

72. V.M. Perez-Garcia, H. Michinel, J.I. Cirac, M. Lewenstein, P. Zoller, "Low energy excitations of Bose-Einstein condensate: a time dependent variational analysis", Phys.Rev. Lett., 77, 5320 (1996).

73. Y. Castin and R. Dum, "Bose-Einstein condensates in time dependent traps", Phys.Rev. Lett., 77, 5315 (1996).

74. P. A. Ruprecht, M. Edwards, K. Burnett, and C. W. Clark, "Probing the linear and nonlinear excitations of Bose-condensed neutral atoms in a trap", Phys. Rev. A, 54, 4178 (1996).

75. Yu. Kagan, E. L. Surkov and G.V. Shlyapnikov, "Evolution of a Bose gas in anisotropic time-dependent traps", Phys. Rev. A., 55, R18 (1996).

76. S. Giorgini, L.P. Pitaevskii, and S. Stringari, "Scaling and thermodynamics of trapped Bose-condensed gas", Phys. Rev. Lett., 78, 3987 (1997).

77. M. Edwards, C.W. Clark, P. Pedri, L. Pitaevski and S. Stringari,"Consequence of superfluidity on the expansion of a rotating Bose-Einstein condensate", arXiv: cond-mat/0106080

78. M. Edwards, R.J. Dodd and C.W. Clark, P.A. Ruprecht and K. Burnett, "Properties of Bose-Einstein condensate in an anisotropic harmonic potential", Phys. Rev. A, 53, R1950 (1996).

79. Yu. Kagan, G.V. Shlyapnikov, and J.T.M. Walraven, "Bose Einstein condensation in trapped atomic gases", Phys. Rev. Lett., 76, 2670 (1996).

80. D. S. Petrov, M. Holzmann, and G. V. Shlyapnikov, "Bose-Einstein condensation in quasi 2D trapped gases", Phys. Rev. Lett., 84, 2551 (2000).

81. B. P. van Zyl, R. K. Bhaduri, and J. Sigetich, "Dilute Bose gas in a quasi two-dimensional trap", arXiv: cond-mat/0106410.

82. F. Zambelli, S. Stringari, "Moment of inertia and quadrupole response function of a trapped superfluid", Phys. Rev. A, 63, 033602 (2001).

83. E. Wigner, "On the quantum correction for thermodynamic equilibrium", Phys. Rev., 40, 749 (1932).

84. J.G. Kirkwood, "Quantum statistics of almost classical assemblies", Phys. Rev., 44, 31 (1933).

85. E.C.G. Sudarshan, "Equivalence of Semiclassical and quantum mechanical descriptions of statistical light beams", Phys. Rev. Lett., 10, 277 (1963).

86. R.J. Glauber, "Coherent and incoherent states of the radiation field", Phys. Rev., 131, 2766 (1963).

87. R.J. Glauber, in Quantum Optics and Electronics, edited by C. DeWitt, A. Blandin and C. Cohen-Tannoudji (Gordon and Breach, New York, 1965).

88. К. E. Cahill, R. J. Glauber, "Ordered expansions in boson amplitude operators", Phys. Rev., 177,1857 (1969); "Density operators and quasiprobability distributions", Phys. Rev., 177, 1882 (1969).

89. В.И. Татарский, "Вигнеровское представление квантовой механики", УФН, 139, 587 (1983).

90. К. Vogel and Н. Risken, "Determination of quasiprobability in terms of probability distributios for the rotated quadrature phase", Phys. Rev. A, 40, 2847 (1989).

91. D.T. Smithey, M. Beck, M.G. Raymer and A. Faridani, "Measurment of the Wigner distribution and the density matrix of a light mode using optical homodyne tomography: application to squeezed states and the vacuum", Phys. Rev. Lett., 70, 1244 (1993).

92. S. Schiller, G. Breitenbach, S.F. Pereira, T. Muller and J. Mlynek, "Quantum statistics of the squeezed vacuum by measurement of the density matrix in the number state representation ", Phys. Rev. Lett., 77, 2933 (1996).

93. M.G. Raymer, M. Beck and D.F. McAlister, "Complex wave field reconstrustion using phase-space tomography", Phys. Rev. Lett., 72, 1137 (1994).

94. M. G. Raymer, D. F. McAlister and U. Leonhardt, "Two-mode quantum-optical state measurement: sampling the joint density matrix", Phys. Rev. A, 54, 2397-2401 (1996).

95. J. Ashburn, R. Cline, P. van der Burgt, W. Westerveld and J. Risley, "Experimentally determined density matrices for H(n=3) formed in H+-He collisions from 20 to 100 keV", Phys. Rev. A, 41, 2407 (1990).

96. O. Carnal and J. Mlynek, "Young's double-slit experiment with atoms: a sample atom interferometer", Phys. Rev. Lett., 66, 2689 (1991).

97. D. W. Keith, C. R. Ekstrom, Q. A. Turchette and D. E. Pritchard, "An interferometer for atoms", Phys. Rev. Lett., 66, 2693 (1991).

98. T. J. Dunn, I. A. Walmsley and S. Mukamel, "Experimental determination of the quantum mechanical state of a molecular vibrational mode using fluorescence tomography", Phys. Rev. Lett., 74, 884 (1995).

99. G. G. Amosov and V.I. Man'ko, "Quantum probability mesuares and tomographic probability densities", Phys. Lett., A 318, 287 (2003).

100. V.V. Dodonov and V.I. Man'ko, "Positive distribution description for spin states", Phys. Lett., A 229, 335 (1997).

101. S. Mancini, V. I. Man'ko and P. Tombesi, "Different realizations of the tomographic principle in quantum state measurment", J. Mod. Opt., 44, 2281 (1997).

102. O.V. Man'ko and V. I. Man'ko, "Quantum states in probability representation and tomography", J. Russ. Laser Res., 18, 407 (1997).

103. V.I. Man'ko, "Conventional quantum mechanics without wave function and density matrix", arXiv: quant-ph /9902079.

104. V.I. Man'ko, V.A. Sharapov, E.V. Shchukin, "Tomographic representation of evolution equation for density matrix of open systems", Phys. Lett. A, 309, 176 (2003).

105. S. Weigert, "Quantum time evolution in terms of nonredundant probabilities", Phys. Rev. Lett., 84, 802 (2000).

106. O.V. Man'ko, V.l. Man'ko and G. Marmo, "Star-product of generalized Wigner-Weyl symbols on SU(2) group, deformations and tomographic probability distribution", Phys. Scr., 62, 446 (2000).

107. S. Mancini, O.V. Man'ko, V. I. Man'ko and P. Tombesi, , J. Phys. A, 34, 3461 (2001).

108. M. A. Man'ko, V. I. Man'ko, and R. V. Mendes, "Tomograms and other transforms: a unified view"J. Phys. A, 34, 8321 (2001).

109. U. Leonhardt, "Discrete Wigner function and quantum state tomography", Phys. Rev. A, 53, 2998 (1996).

110. A.B. Klimov, O.V. Man'ko, V.l. Man'ko, Yu.F. Smirnovand V.N. Tolstoy, "Tomographic representation of spin and quark states", J. Phys. A, 35, 6101 (2002).

111. O. Castaños, R. Lopez-Peña, M.A. Man'ko and V.l. Man'ko, "Kernel of star-product for spin tomograms", J. Phys. A, 36, 4677 (2003).

112. G.M. D'Ariano, L. Maccone and M. Paini, "Spin tomography", J. Opt. B, 5, 77 (2003).

113. D.G. Welsch, W. Vogel and T. Opatrny, in Progress in Optics, edited by E. Wolf, (Elsevier, Amsterdam, 1999).

114. M. G. Raymer and A. C. Funk, "Quantum state tomography ot two-mode light using generalized rotations in phase space", Phys. Rev. A, 61, 015801 (2000).

115. G.M. D'Ariano, S. Mancini, V.l. Man'ko and P. Tombesi, "Reconstructing the density operator by using generalized field quadratures", J. Opt. B, 8, 1017 (1996).

116. S. Mancini, V.l. Man'ko and P. Tombesi, "Density matrix from photon number tomography", Europhys.Lett., 37, 79 (1997).

117. A. Wünsche, "Ordered moments and relation to Radon transform of Wigner quasiprobability", J. Modern Opt., 47, 33 (2000).

118. V. I. Man'ko, L. Rosa and P. Vitale, "Time-dependent invariants and Green functions in the probability representation of quantum mechanics", Phys. Rev. A, 57, 3291 (1998).

119. A. S. Arkhipov, Yu. E. Lozovik and V. I. Man'ko, "Rotated and scaled center of mass tomography for several particles", J. Rus. Las. Res., 24, 237 (2003).

120. V.I. Man'ko, L. Rosa and P. Vitale, "Probability representation in quantum field theory", Phys. Lett. B, 439, 328 (1998).

121. E. W. Piotrowski and J. Sladkowski, "Quantum market games", Physica A, 312, 208 (2002).124. , V.A. Andreev and V.I. Man'ko, "Quantum tomography of spin states and the Einstein

122. Podolsky-Rosen paradox", J. Opt. B, 2, 122 (2000).

123. C.H. Mak and R. Egger, "Monte-Carlo methods for real-time path integration", Adv. Chem. Phys., 93, 39, (1996).

124. W. Kohn, "Nobel lecture: electronic structure of matter-wave functions and density functionals", Rev. Mod. Phys., 7, 1253 (1998).

125. A. Donoso and C. C. Martens, "Quantum tunneling using entangled classical trajectories", Phys. Rev. Lett., 87, 223202 (2001).

126. I. A. Malkin, V. I. Man'ko, Dynamic symmetries and Coherent States of Quantum Systems in Russian], Nauka, Moscow (1979).

127. Yu.E. Lozovik, A.V. Filinov and A.S. Arkhipov, "Simulation of wave packet tunneling of interacting identical particles", Phys.Rev.E., 67, 026707 (2003).

128. M. Biittiker and R. Landauer, "Traversal time for tunneling", Phys. Rev. Lett., 49, 1739 (1982).

129. Y. Aharonov and D. Bohm, "Time in the quantum theory and the uncertainty relation for time and energy", Phys. Rev., 122, 1649 (1961).

130. J. J. Wlodarz; "Quantum arrival-time distributions from intensity functions", Phys. Rev. A, 65, 044103 (2002).

131. A. D. Baute, I. L. Egusquiza and J. G. Muga, "Quantum times of arrival for multiparticle states", Phys. Rev. A, 65, 032114 (2002).

132. S. Longhi, P. Laporta, M. Belmonte and E. Recami, "Measurment of superluminal optical tunneling times in double-barrier photonic band gaps", Phys. Rev. E, 65, 046610 (2002).

133. R. Landauer, Th. Martin, "Time-delay in wave packet tunneling", Sol. St. Com., 84, 115 (1992).

134. D. Sokolovski and J. N. L. Connor, "Quantum interference and determination of the traversal time", Phys. Rev. A, 47, 4677 (1993).

135. Ю.Е. Лозовик и A.B. Филинов,"Времена туннелирования волновых пакетов сквозь барьеры", ЖЭТФ, 115, 5, 1872 (1999).

136. V. Delgado and J. G. Muga, "Arrival time in quantum mechanics", Phys. Rev. A, 56, 3425 (1997).

137. E. H. Hauge and J. A. Stovneng, "Tunneling times: a critical review", Rev. Mod. Phys., 61, 917 (1989).