Оптимальное управление и управляемость обыкновенных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ И УПРАВЛЯЕМОСТЬ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата <Ензико-математичесюп наук

р Г Я л 1 > I и .4

На правах рукописи

АЙСАГАЛИЕВА СОФИЯ СЕРИКБАЕВНА

УДК 517-938

АЛМАТЫ - 1993

Работа выполнена в лаборатории обыкновенных дифференциальных уравнений Института теоретической и прикладной математики Национальной академии наук Республики Казахстан.

- доктор физико-математических наук, профессор Д.У.УМВЕТЖАНОВ,

- кандидат физико-математических наук, CHG М.И.ТЛЕУЕЕРГЕНОВ.

- доктор физико-математических наук, профессор М.И.РАХИМБЕРДЙЕВ,

- кандидат физико-математических наук, доценг 0•Я.СЕРОВАЙСНИЙ.

- Институт математики HAH Кыргызской Республики.

Защита диссертации состоится " 'fb " (j>etjrü>('% 199 ¿j г. в ii>часов на заседании специализированного Совета Д-53.04.01. при Институте теоретической и прикладной математики HAH PH ( 480021 Алмагы.ул. Пушкина, 125).

С диссертацией можно ознакомится в Центральной научной библиотеке HAH PK.

Автореферат разослан " " ЛмЬ&^Л 199 ¿f г.

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

КУЛАХМЕТОВА А.Т.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Акт2алъность_темы..В последние годы, в связи с развитием математической теории управления.наряду с классическими краевыми задачами (краевые задачи и задачи на собственные значения) возник ряд новых краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений, такие как управляемость и'оптимальное управление системами с закрепленными концами траекторий. Несмотря на глубокие связи между указанными краевыми задачами.теория управляемости и оптимального управления.возникшая из потребностей практики, развивалась самостоятельно- ,

Первоначально в работе Р.Калмана 1'задача управляемости формулировалась так: существует ли хотя бы одно управление из заданного класса,которое переводит траекторию линейной нестационарной системы обыкновенных дифференциальных уравнений из заданного начального состояния в желаемое конечное состояние. Идея Р.Калмана привлекла внимание многих ученых к тео-1 рии управляемости.В работах Р.Габасова, Ф.М. Кирилловой"2) получены критерии управляемости для систем о запаздывающим аргументом, в работе В.Л.Попова 3^приведены различные эквивалентные формы критерия управляемости.Заметим,что,как правило, из критерия управляемости практически невозможна получить алгоритм по-сгфения управления. Поэтому является актуальным построеаие всего множества управлений, каждый элемент которого переводит траекторию' системы из начального состояния в конечное. Этой проблематике посвящается данная диссертация. Следует отметить, в частности, для линейной стационарной системы А.Г.Бутховским 4'предложен метод решения данной задачи на основе теории финитных функций. Однако, из-за отсутствия способа определения множества всех целых.

функций заданной степени, удовлетворяющих интерполяционным условиям, практически по данному методу могут быть определены отдельные управления.

В качественной теории дифференциальных уравнений теоретически малоразработанной является решение задач оптимального управления с закрепленными концами траекторий. В работе Н.Н.Красовского данную задачу для линейных нестационарных систем с закрепленными концами траекторий при наличии функционала, зависящего в явном виде только от управления и представляющего собой норму в выбранном функциональном пространстве предлагается интерпретировать как так называемую 1-проблему моментов Г.Крейна в заданном пространстве функций, что позволяет сформулировать основное правило минимакса, позволяющее определить управление с минимальной нормой. Некоторые задачи оптимального управления, в которых требуется минимизировать величины,зависящие явно и от управления и от самого движения можно в конечном счете свести к проблем© моментов. Однако, решение в этом случае представляет определенную трудность, которая заключается в подборе подходящего функционального пространства.

Для решения задачи оптимального управления с закрепленными концами траекторий разработаны приближенные метода

такие, как метод вариаций в фазовом пространстве ' , ме-

7 1

тод последовательной линеаризации ' , метод локальных вариаций е-метод Бвлакришнана 9*.Но, когда дело доходит

■^Калман P.E. Об общей теории систем управления.Труда I конгресса ИФАК.Изд-во АН СССР,1Э61.

о \

'Габасов Р.,Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов.-М.:Нэукя,197Т. ^Пспов В.М. Гииерус то£чирс-съ автоматических систем.М.: Наука,] .->70.

до реализации этих методов на ЭВМ, обнаруживаются значительные сложности - медленная сходимость, ненадежность результатов, либо оказывается что метод вообще не реализуем на современных ЭВМ.

Поэтому, представляется актуальным поиск общего подхода к решению задач оптимального управления системами с закрепленными концами траекторий.

Цель_работы состоит в построении множества всех управлений из пространства функций, суммируемых с квадратом в смысле Лебега,каждый элемент которого переводит траекторию системы обыкновенных дифференциальных уравнений из заданного начального состояния в желаемое конечное состояние.

В диссертвции решаются следующие задачи: построить множество всех управлений из ]. каждый элемент ко-

торого переводит траекторию линейной системы из'заданного начального в желаемое конечное состояние за фиксированное время при наличии и отсутствии ограничений на управление; задача оптимального управления линейными системами с закрепленными концами траекторий с функционалом общего вида, с квадратичным фукнционалом.с функционалом,заданном в виде ' нормы в Ьг[гоД4),а также задача оптимального быстродействия для линейных систем с закрепленными концами траекторий; построить тожество управлений и(г)€Х2ИсД41, какдый элемент которого переводит траекторию нелинейной системы из заданного начального в желаемое конечное состояние.

Анализ исследуемых за-

4) Бутковский Л.Г. Метод управления системами с распределен-

шми параметрами.М. ".Наука, 1975. ь,Крпссжский H.H. Теория управления движением.М.."Наука, 1971. ^Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем.

М. :Нг!укп,1971. ' '•

дач производится на основе использования фактов общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории оптимального управления, вариационного исчисления и функционального анализа.

Научная_ноЕизна. в диссертации получены следующие новые результаты:

1. Построено множество всех управлений из класса [,^) каждый элемент которого переводит траекторию линейной сио-' темы из заданного начального в заданное конечное состояние за время Найдено преобразование, позволяющее свести

задачу оптимального управления для линейных систем с закрепленными концами траекторий к равносильной задаче оптимального управления для линейных систем со свободным правым концом. Получены необходимые' условия оптимальности. Для задачи оптимального управления линейными системами о квадратичным функционалом получены необходимые и достаточные условия-оптимальности. Предложен численный влгоритм решения задачи оптимального управления линейными системами с закрепленными концами траекторий.

г. Предлагаются новые метода решения краевых задач с минимальной норной управления, с ограниченным управлением и оптимального быстродействия.

3. Исходная краевая задача для нелинейной системы сведена

Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления.-М.:Наука,1978.

8'Крылов И.А..Черноусько Ф.Л. Алгоритм метода последовательных приближений для задач оптимального управления.-ЖВМ и МФ.,1972,12,М I,С.14-34.

9'Balacrishnan A'.V. On a New Computing Technique in Optimal Control and its Application to Minimal-Time Flight Profile Op 11 m 1 e a 11 on., TOT A, 1 , l. '

к равносильной система интегральных уравнений специального вида с произвольным управлением из заданного класса. Предложен конструктивный алгоритм решения интегральных уравнений, основанный на итерационном процессе Ньютона. В явном виде найден обратный оператор.

Приложения,. Результаты и метода данной диссертации могут быть применены к- решению задач расчета и проектирования средств автоматики, роботов,экономических и энергетических систем, к теории устойчивости движения, к теории колебаний v. решению задач на собственные значения.

Публикации^ основные результаты диссертации опубликованы в работах автора /1/-/7/, приведенных в конце автореферата.

Структ£В§_и_объем__диссертацииДиссертационная работа состоит из введения, трех глав, каждая глава содержит заключение. Объем диссертации 119 страниц.Список использованной литературы содержит 52 наименования.

■ Обзор содержания. Во введении к диссертации изложена рассматриваемая в ней тематика и дан обзор результатов, связанных с темой диссертации.

В___первой___главе рассматривается управляемый

процесс,описываемый линейным дифференциальным уравнением i=A(t)x(t)+B(t)u(t)+u(t),x(t0)=xQ,x(t1)=xt,t0<t<t1 (1) u(t> < VVV (2)

где A(t),B(t)~ матрицы порядков n z n, n z г соответственно.^ t)=(u(t).....u(t))~ управление, x0,xte E"\ моменты времени фиксированы. Элементы матриц A(t), B(t) и n-мерной функции n<t)- кусочно-непрерывны. Тогда при каждом фиксированном u(t) е L.tt^, t,l . система (I). имеет единственное решение, исходящее из точки х € Е".

а.

Решаются следующие задачи: Задача I. Найти множество управлений U»{u(t)cl^[t0,t ]| • 2(ti;t0,x0,u}=xi, с L2[to,tt] .

Задача 2. Минимизировать функционал

J(u)-j ro(x(t),u(t),t)dt - Inf (3)

t

о

при условиях (I),(2).

Нак известно, для управляемости системы (I) необходимо и достаточно,чтобы матрица t

W(t0.tl)=/«(t<},t)B(t)B,,(t)<D,t(t0,t)dt

о

была положительно определенной.

Теорема I.I. Пусть система (I) управляема,и пусть существуют матрицы P,(t),Pa(t),t е Ct0,t4l порядков n х n,n х m соответственно такие, что выполнены следующие условия p^Am^m+BmLjt), Р.^ЬО,

P,-A(t)P2(t)+B(t)Ii(t), P2(to)-0, t € [t0,tj,

где Ll(t),IJ!(t)- матрица порядков гхп, rxm соответственно.

2°. Pt(ti)xo^Pa(tl)ß=0, где ß € Г.

Тогда управление

u(t )-B*(t }Ф* (t0 ,t>r* (t0, tt )a+L, (г)х0+Ьг (t )ß,

t

i

где вектор a=®(t0,ti)[x1-«(tl,t0)x<)-i'«^^.t^CtJdtl,

lo

переводит траекторию систему (I) из xD e En в x(e E". Из теорэш IЛ..вытекает следующее утверждение.В виду важности этого утверждения,оно сформулировано в виде теоремы.

Пусть система (I) управляема, и пусть выполнены следующие условия

I? Матрица L2=-B"(t)®''(to.t)r1(to,ti)®(to,tt)Pi(ti). 2? Матрица Р (t),t е является решением дифферен-

циального уравнения

Pi(t)-A(t)P4(t)+B(t)L<l(t). ?4<te)-0, t € tte,tt]. 3°. Вектор ß=x0 e IT, m=n. Тогда управление

U(t)-tIi(t)-B*(t)e*(te,t)ri(te,t1)]Xè+B*(t)e*(tolt) •

• W4<te,tt>*(te.t4)[xt-P,(tâ)xe]-Ma(t), t ç tte,t,l.

где w{t)=-B*{W*(t0,t)4rUb0.\)<I>(t0,\)Îmt,t)V.(t)<lï

'o

переводит траекторию системы (I) из io e ï" в i, e E"-Введем обозначения:

v(t>L4(t)xo, 0(t)-B*(t)®*(te#t)W^{to,t,).

Тогда управление (4) мокно записать в вид©

u(t)-v(t)+C(t)a-C(t)/0(to,t)B(t)v(t)lt (5)

t

о

Таким образом .построено множество управлений Ut .переводящих траекторию системы (I) кз хо <■ Е* в х4 € ET.

^-{utt^VWI u(t)-v(t)+C(t)a-0(t)/o(te,t)B(t) •

• v(t)dt, v(t) € Latt0,ttl) с LaCt0,t43.

i§MMa_IiIi Пусть матрица W(to,t4) положительно определенная. Для того, чтобы значение x(t4;to,xtt,u)-x4, необходимо и достаточно .чтобы управление u(t) было элементом множества Ut, т.е. u(t) € U4.

. Решение задачи управляемости,т.е. построение множества U позволяет решить оптимизационную задачу (3),(1)-(2). Лемма_1Л2Л'Пусть выполнены все условия теоремы 1.2. Тогда оптимизационная задача (3),(1)-(2) с закрепленными концами траекторий равносильна оптимизационной задаче со свободным

правым концом траектории: минимизировать функционал t

J(u)=f F0(z(t),3(t4),Y<t),t)dt - Inf (б)

1 о

при условиях

ä(t)=A(t)z(t)+B(t)v(t),z(to)=0,t€[to,t4],v(t)€L2[to,t4](7)

Теорема_1_.6. ( необходимые условия оптимальности). Пусть функция Р0(г.Е.у.Ъ) определена и непрерывна по совокупности своих переменных (а.Е.у.г) £ Ег'хЕпхЕгх[го,г1] вместе с

частными производными по переменным (г,Е,у) е Ег>хЕ"хЕг и ер &5а &?а

функции — , — , — удовлетворяют условию Липшица.Пусть дъ дЕ ду

управление е Ь2С 1^,1^3 и соответствующее решение

€ С 1;о, 1 образуют оптимальное решение задачи (6)-(7). Тогда необходимо вкпэлняются условия

-—-— - в'Чгжиу^од € [г0.г4],

где г,,(г)=2(г.у^¡-решение системы (7) при у=у<1,а фЦНг.у,,)-«|)(г)=-:-=--А*(1)ф(г),гесг г з,

Ф(г )=-;-«и.

Для задачи оптимального управления системой (1)-(2) с квадратичным функционалом получены необходимые и достаточные условия оптимальности. Предложен численный алгоритм решения задачи оптимального управления линейной системой с закрепленными концами траектории на основе градиентного метода и рассмотрен пример.

Во второй главе рассматриваются задачи управляемости . для системы (I) при наличии ограничений на управление. Пусть

почти всюду на [г Л ],а(1)=(а1(г),...аг(г))<

(8)

Р^м^т,...^)) е см;,,.^]). Как следует из результатов, полученных в первой главе, множество V можно записать в виде

v-cuitje^t^.tj |a(t )<v(t)+C(t)a-C(t)i-,'o(t0,t)B(t)x

lo>

x v(t)dUpt) почти всюду яа It0,t1J,T(t) € V^'V» a(t),|3(t) € C[t0,t,]}.

Для определения функций S(t)-(51(t),...,â(t)),p(t)-(P1(t),...,Pr(t)), где â(t)«v(t)<(3(t) предлагается следующий прибликенный способ :Пусть С<рк>- полная ортонормирован-ная система в I^£t0,tt], тогда мокно vt(t) представить в

N _

виде многочлена Фурье v(t)= £ cik<Pk. 1=1 ,г,с - коэффициенты Фурье, N - достаточно большое положительное число. Вводится диагональная матрица r(t)=dtag{ip(t).....<p(t)} порядка г х rN и вектор d=(cif... ,сг) порядка г ж rN, где <p(t)»

(cpl(t),..^M(t)),ci=(cu.....c.N),i-1,r, D(t)=r(t)-C(t) x

i

i

x /i(to,t)B(t)r(t)dt -матрица порядка rxrN.Разобьем отрэ-i

о

зок U . t 1 на ш частей точками t =t__,t , -t..Для

о * 1 о ОО Ol* г От А

t=toj, 7.(10.)=Г(го.)с1, а неравенства (9) запишутся в виде

a<V~C(Va * D(Vd * P^eji-Oit^Ja, (ГО)

Определим v.m<ix(to.) и vimin(toj) из решения следующих задач линейного программирования:

у. (toj)-«max при условиях (Ю);т. (tQj)-raln при условиях (10). Тогда компоненты вектор функций â(t),P(t) могут быть определены как интерполяционные многочлены Лагранжа, проходящие через известные точки { 3=0,11 { v (t .) }, 1=1,г, 3=0,п.

imax 1 û|' ' v *

Рассмотрим следующую задачу оптимального управления: минимизировать функционал (3) при условиях (1},(8).

Пусть функция z(t)=z(t,v)- решение дифференциального

уравнения

l(t)«=A(t)z(t)+B(t)\ (t), z(to)=0, t0 < t < t4 (II) .

vitkV^ivmd^tt^tJI â(t)Cv(t)0(t),t€Cto.tt]} (12)

Тогда управление u(t)€V и соответствующее решение системы

(I) функция z(t)-z(t,u),u€V могут быть представлены в виде

u(tj-v(tJ+C(t)a+A4<t)z<tt).t€tte,t4l. T(t)€V (13)

Zitl-BCtJ+f^t^ttiBttJ.tCl^.tJ. (14)

где At(t),Aa(t),i1(t)- известные функции.

Подставляя заачения u(t),x(t) из (13),(14) в (3), получим t

JtuWOrb/ï^UW.sCtJ.viti.tîdt - Inf (15)

'о

Таким образом, исходная оптимизационная задача (3),(1),(8) сводится к оптимизационной задаче (15),(И)-(12) со свободным правым концом и ограничениями на управление, которая может быть решена известными численными методами,в частности, методом проекции градиента.

Во второй главе рассматривается также решение следующей задачи: найти управление u(t)€l^[t0,t4] с минимальной нормой, которое переводит траекторию системы (I) из начального состояния lei Г в состояние 1". Теорема 8.3. Пусть матрица W(t0,tt) положительно определенная. Тогда управление с минимальной нормой u(t)e La[to, t4J для краевой задачи (I) определяется по формуле

u(t)-B*(t)®*(t0,t)r,(t<>,ti)a, t € tt0.t.l. В § 2.5 Главы II предложен еще один способ построения ограниченного управления, который тесно связан с решением

следующей оптимизационной задачи t

/|C(t)a+A (t)z(t ,v)|adt - Inf (16)

i

о

при условиях .

S(t)»A(t)Z(t)+B(t)y(t)fZ(t0)=D, У (t) £ V С lalt0,tt] (17) Строим последовательность по правилу vn<i(t)=Py(vri(t)-

-aniO(t)a+At<t)z(tt,v)]) « V, n-0,1,2.....где Pv(v)-npo-

екция точки т ç L^СtQ,t4] на множество V,an=i.

Теорема 2.5. Пусть матрица W(to,tt) положительно определенная. Тогда последовательность Сгп) с v является минимизирующей, т.е. limJ(-v )=J -irif J(v),veV, и любая ее сла-

п-ЧО "

бопредельная точка vt(t) является решением задачи <16), (17).Если, кроме того J(y„)=0, то ограниченное управление u(t)=v„(t)eU переводит траекторию системы (I) из х0 в xt.

Пусть момент времени t4 нефиксирован.Рассмотрим оптимизационную задачу: минимизировать функционал

J(t1,v)=/|G(t)a+Ai(t)z(ti,y)dt|ii - lnf t

о

при условиях (18).

Строим последовательности (г"),(v") по правилу:

С'^Г+ЧЛ4• ^'=PY(vn-a^) ,п=0,1,2.....где j;,J;,an-

определяются по известным формулам. Теорема_2л7. Пусть матрица W(t0,t4) положительно определенная и пусть,кроме того пределы t^-t*,v"ftпричем значение J(t*,Yi|i)=0. Тогда t'-оптамалышй конечный момент времени, управление u„(t)=7^(t) переводит траекторию системы (I) из хо в xt.

В_тр§тьей_глав0 рассматривается задача управляемости для нелинейной системы

x(t)=A(t)x(t)+-B(t)u(t)+f(x(t),u(t),t),x(to)=xo,x(ti)=xi

U(t) е yte,t,l. (18).

функция f(x,u,t) непрерывна по совокупности своих переменных вместе со своими частными производными по переменным (х,-и) в области х е E",u € Er, t б It^.tJ и |i(x,u,t)-f(y,u,t)|«p(t)|x-y|,V х.у е E^itkLJ^.t,] |f(x,u,t)Kco(|x| + |u|2)+ci(1;),co50,cii(t)>0,ci(t)iLt[to,ti) ta,^-фиксированные моменты времени, хо,х1 € ^-заданы. Краевая задача (18) равносильна интегральному уравнении

/Ф(го,г)8(1)и<тиГ «(^.гШхШ.иШ.Шг-а, (19)

-о' ' х ' ' I о

'о о

где а-Ф^.^Лх,-®^,^)*^.

Множество решений уравнения (19) обозначим через ин.В пространстве С Е го, 1+Ьж I го, 3 наряду с множеством ин рассмотрим множество

I

(Х(1) ,4(1) )€С[10, ^ ] (»1 |и(х )=У("1 )-С('1 ^'фс^ ^ )х

X 1ШХ).и(г)Л)«. V V) с сс^д^+^с^.г.ь

Теорема 3.1.Пусть матрица положительно определен-

ная.Для того,чтобы пара (хШ,иШкСи0Д4)+Ьа[10,г4 3 была решением интегрального уравнения (19).необходимо и достаточно,чтобы (х(г),и(г))£Уя,т.е. множество Введем обозначения

I

Ф4(и.у,х)и1(г)-у(г)+С(г)^<;о1гШх(1;),ии),т1;,

I

о

I I

I I

о о

где v(t)€V,S(t•^=Ф(t,t0)W(t0,t)rí(t0,t1),y(t)»Ф(t,t0)x0+

О

Интегральное уравнение (19) равносильно операторному уравнению. ®(и.т.гыф,(и,ул),®,(и.т,г)>-0,уи) € V (20)

Теорема 3.2. Пусть матрица №(1;0,г4) положительно определенная и пусть функция 1(х,иД) удовлетворяет следующим условиям Липшица

. 01(х+дх,и+ь,г) вг(х,и,г)

|---^-, Ь(|Ах| + |Ь|),

«эх ах

ОКх+Ах.и+ПД) ■ 0Г(х.и,г>

I---1 ^ Ь(| АХ| + |11|),

0и 0и

¥ (х,и,г),(х+Ах,и+й.г) е Е" х Е" х 1го,г4].

Тогда оператор Ф(и,у,х) непрерывно дифференцируем в точке

(x.ukCtt^.t^ÍL^tt^.t^J яри v(t)=n(t)€Uit причём,его производная Фреше равна

"ЛГИ

ф' (u,x) € *(х), Х=С [ t4, tf ] f > t, 3,

» « ai(x,u,t)

0(t){I<S(t0,t)B(t)h(t)dt+f ®(t ,t)[-x

t t Qx

dtiXiM.XT

X AX(t)+ -:-h(t)]lt),

• au • <АГ| «

. ®;<u,x) П =Ax(t)+S(t){fŒ(t0,t)B(t)h(t)dU;®(t ,t) x ' J t l о о

<3f (x,u, t ) 3f (x,u, t )

(ЭХ <9u î

о

t ai(x,u,x) ai(x,u,x)

x h(t)dtff ®(t ,x)[-Ax(x)+-И(х)Их),

i0 ° dx Ou

t

H(t)-u(t)+C(t)a-0(t)/®(to,t)B(t)u<t)dt t

о

Кроме того,производная Ф'(й,х) удовлетворяет условию Липшица. Введем обозначения:B(t)=B(t)+ôi(x,u,t)/au,А(t)=А(t)+df(x,

u,t)/ax,®(t,T)=ê(t)e_,(T:),c(t)=B*(t)4(t;>,t)r4(t0,tt),

'« Sfix.u.t)1 - - -M(t,t)=j «(t ,t)-; ®(t,t)B(t>c(t)dxdt.W(t0,tt)-

dX 4o

t , =jW0,t)B(t)B*(t)®*(to,t)dt.

f ДХ1 - -

Рассмотрим операторное уравнение Ф'(и,х)|^ J=£,t»(Ç4,Ç,)€X. Теорема З.Э. Если матрицы ÎV(to,tt),W(tQ»),(t0,t^>, где 1п-единичная матрица порядка nxn,неособые,то существует

обратный оператор (Ф' (и,х)Г* и верны соотношения:

- , v ai(x,u,t)

h(t)=C(t)D q,q=J" ®(t ,t)B(t)£ (t)dt-f ®(t ,t)-—--X

'.> Ox

t e i —

xj ®(t,T)ÎÇ,(t)-A(a)£,<T)-B(t)Ç.(x)Mxlt,,Ax(t)-J,-«(t,x)ï »

О _ t t о

Кроме того, существует постоянная ш>0 такая, что |[ф' (U,x)]~*fl £ Ш ДЛЯ любых (X,U)€X, t € t^.tj. На основе полученных результатов может быть предложен алгоритм решения уравнения (20).основанный на итерационном процессе Ньютона.

Заметим,что в итерационном методе Ньютона |t(t),£2(t) выбираются paBmim:i1(t)--^(u(t).fi(t).x(tM)--C(t)a(t4) € €lblte.t,J.Ca<t)—®l(u(t),jJi(t),x(t),t)=-S(t)d(t1)-|(t)+ -KP(t,t0)d(t)€C(t0,tt3,rÄe d(t),£(t)- известны.

СПИСОК РАБОТ,ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1.Айсагалиева С.С. Оптимальное управление линейными системами с квадратичным функционалом при закрепленных концах траектории.// Изв.АН PK, сер.физ.-матем.-1990.-* 5.-С.3-7.

2.Айсагалиева С.С. Управляемость и оптимальное управление линейными системами с закрепленными концами траектории при наличии ограничений на управление.// Библиогр.указ. В/НИТИ "Депонир.научные работы".- Ы., 1990.- * 12(230).-C.I37.

3.Айсагалиева С.С. К теории оптимального управления нелинейных систем с закрепленными концами траекторий.//Библиогр. указ. ВИНИТИ "Депонир.научные работы". - М.,1990. -

ЖЗ (233).-С.97.

4.Айсагалиева С.С. Управляемость и оптимальное управление линейными системами при наличии ограничений на управление. // Изв.АН PK,сер.физ.-матем.-1992.-* 3.-C.3-7.

б.Айсагалиева С.С. Оптимальное управление линейными системами.// Изв.АН PK,сер.физ.-матем.-1993.-* I.- С.78.

6.Айсаг&лиев С.А,,Айсагалиева С.С. Конструктивный метод решения задачи управляемости для обыкновенных дифференциальных уравнений.// Дифференц.уравнения.- 1993.- Т.29, * 4.-С.555-567.

7.Айсагалиева С.С. Управляемость и быстродействие линейных систем с ограничениями на управление.//ДАН PK.- 1994. -* I.-C.

Айсагалиева София Серикбай кыаы

Кэд1МГ1 дифференциалдык тевдеулердщ баскарылуы жэне оны оптималды баскару.

Кад1МГ1 дифференциалдык течдеулерд1ц баскарылу жэне оны оптималды баскару страктары карастырылган. Лебег кещсппнде болатын.эр элемент! тецдеуд1Ц шеппшн алгашкы нгктеден соцгы бер1лген нгктеге экелепн барлык баскару жиындары та-былган.Ек! шктел1 оптималдык есеп, мадызы б1рдейл1к, 6ipaK соцгы нгктес! бос,оптималдык есепке келт1р1лген. Алгашкы жэне соцгы нуктелер! бер^лген есептердщ лада шыгару жолдары, баскару функциясына койылган шарттарды ескере отырып, та-былган. .Жалпы кэд^мп дифференциалдык тендеулерд1ц баскарылу есептер! шыгарылган.

Aisagalieva Sofiya Serikbaevna

The Optimal Control and Controllability ol Ordinary Differential Equations.

The questions of controllability and optimal control for the systems of ordinary differential equations are considered. The set of all controls from Lebeague's Bpace,every element of which transfers the trajectory of linear system from initial state to given final one for the fixed time is constructed. The original problem of optimal control lor linear systems with fixed ends of trajectory is solved by the means of reduction to the equivalent problem with free right end.The new methods of boundary problema solution with minimal norm of control, with restricted control and time-optimal control are suggested. The problem of controllability of non-linear systems is solved.