Оптимизация кубатурных формул на некоторых классах функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ОД

Н *пп- На правах рукопису

..... Ъ.'гА,

ЧОРНА ЄВГЕНІЯ ВІКТОР ЇЗДА

ОГГОШЗАЦІЯ КУБАТУРНИХ • ФОРМУЛ НА ДЕЯКИХ КЛАСАХ ФУНКЦІЙ

' ОІ.ОІ.01 - математичний аналіз'

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-катематичних наук

¿¡ціпропвтровськ - 1990

Дисертація в рукопис.

Робота виконана на кафедрі теорії функцій Дніпропетровського деркавного університету. <

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор МОТОРНИЙ В.П.

Офіційні опоненти - доктор фізико-математичних наук

К 03.01.09 при Дніпропетровському держуніверситеті за адресов:

.320625 м.Дніпропетровськр пр. Гагаріна„ 72, Дніпропетровський держуніверситет, корп. 14, дуд. 405.

З дисертаціє» ножна ознайомитись в бібліотеці Дніпропетровського державного університету.

Вакарчук С.Б.,

кандидат фізико-математичних наук, доцент Пелешенко Б.Г.

Провідна установа - Інститут математики ИШ України /м.Київ/.

Захист дисертації відбудеться "ЪО" ________ 1995р.

о (5-30 годині на засіданні спеціалізованої вчено! ради

Захист дисертації ; о (5-30 годині

Автореферат розісланий

Вчений сек спеціалізованої

Давидов О.В.

/

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ Актуальність теми. Методи наближення інтегралів - це традицій.шй об’єкт дослідження в'-теорії наближень. Спочатку дослідження квадратурних формул було тісно пов’язане з задачами обчислювальної математики. Згодом розвиток методів чисельного аналізу привів до виникнення екстрдияч^но? я«я«гг теорії Хвад««-ур, загальне поставлокнд якої і перші основоположні результати належать С.М.Нікольському. Монографія С.М.Нікольського "Квадратурні формули” привернула увагу багатьох математиків як теоретичного, так і ' прикладного напрямків до дослідження екстремальної задачі теорії квадратур, суть якої полягав в знаходженні найкращої для заданого класу функцій квадратурної формули і обчисленні точної оцінки її похибки. Розв’язанню таких задач для різних класіи функцій присвячена велика кількість робіт. Однак знаходження оптимальної для даного класу функцій квадратурної формули нерідко пов'язане із значними труднощами, особливо у багатовимірному випадку. У зз’язку з цим у теорії квадратур актуальними в також задачі, лов’ язані із знаходженням порядкових оцінок, дослідження« асиилт^гики похибки найкращої для даного класу функцій квадратурної формули, побудуванням послідовності асимптотично оптимальних квадратурних формул. В дисертації розглядається задача оптимізації вагопих кубатурних формул а довільною невіц’омною та інтегровноо за Лебегом вагово» Функцією на класах функцій багатьох змінних, які визначені мажорантоо модуля неперервності по відношенню дг деякої метрики.

Мета роботи: одержати точну асимптотику похибки вагових кубатурних формул, оптимальних для класів функцій багатьох змінних, які задані мажорантою модуля неперервності по від~ ношенню до деякої метрики; побудувати послідовмість асимптотично оптимальних для розглядуваних класів вагових кубатур-них формул.

Методи дослідження. В роботі використані сучасні методи теорії функцій, функціонального аналізу та теорії наближень, . зокрема метод оптииізеції кубатур них формул шляхом оцінки похибки на функціях, які перетворюють на нуль кубагурну суму.

Новизна результатів та їх наукова цінність. Основні результати дисертації в новими. їх зміст полягає в наступному.

Одержана точна асимптотика похибки вагових кубатур них формул з довільною невід’ємною та інтегровною за Лебегом ваговою функцією, найкращих для класів функцій, які визначені мажорантою модуля неперервності по відношенню до деякої норми. '

Одержана асимптотично точна оцінка похибки вагових ку-батурних формул з довільною невід'ємною та інтегровною га Лебегом ваговою функцією,' найкращих для класів неперервних функцій з заданою мажорантою модуля неперервності по кожній змінній.

Побудована послідовність асимптотично оптимальних для розглядуваних класів вагових кубатурних формул у випадку» коли метрика, яка визначає клас функцій, є евклідовою метрикою на площині, або індукована деякою нормою і така, що існує покриття всього простору паралельними перенесеннями замкненої одиничної кулі без перерізів додатної міри, а вагова функція додатна, інтегровна га Лебегом, обмежена звер-

ху та відокремлена від нуля. .

При цьому модулі неперервності, які визначають класи функцій,, задовольняють деяким об., зж.екням.

Крім того, у випадку, коли модуль неперервності, який визначає клас функцій, дорівнює и>(1) = І.**" » Де - і , а метрика задовольняє наведеним аишо уип»я>*5 ди-

елі ппвм;е»* ас;&иїоіичио пптк»**лмпсс для розглядуваних класів функцій вагових кубатурних формул з довільний додатною, інтегровною за Лебегом та відокремленою від куля ваговою функцією. .

*6

Апробація роботи. Результати дисертації доповідались на Міжнародній конференції "Теорія наближень та задачі обчислювальної математики" /м.Дніпропетровськ, 1993 р./, на наукових семінарах ^Дніпропетровського дерхавн.лго університету.

Публікації. По темі дисертації опубліковано в робіт,

список лкчх наведено в кінці автореферату.

Структура і об'вм роботи. Дисертація обсягом 03 сторінки мздіинопису, Складається із вступу, двох розділів та списку літератури, но містять 47 яайменувань.

ЗМІСТ РОБОТУ*

В дисертації розглядаються вагові кубатурні формули,

найіфаші для класів ноперервшіх функцій багатьох змінних,

які визначені мажорантою модуля неперервності.

Нехай у просторі Я. задана метрика р{х,у) , множина

С,сй, вимірна за Жорданом. Позначимо через Н клас

с р С#р

функцій з , визначених на множині Ь- і таких, шо

іКх)- со(р(зс,у)) для усіх ОС, у £ Сг

де (лК’О - заданий модуль неперервності.

Розглянемо інтеграл

5 Р(ос.') сіос. 00

^ & . со

де Моі) - функція, яка належить класу .а

РЫ - довільна невід’ємна та інтегровна на множині С функція. Для наближеного обчислення інтеграла (і) використовується кубатурна формула ’

і РЫ$Ы сіх» І! сі (х) (2)

0 *і • де ” довільні точки множини С- , які

називаються вузлами кубатурної формули (2) , а Сі,С2,.../С(а

- будь-які дійсні числа, які називають коефіцієнтами ку~ багурноТ формули. Функція РЫ мав назву вагової функції, а формули виду (2) будемо називати ваговими кубатур ни ми формулами. Кожна кубатурна формула веду (2) визначається

вектором вузлів X та вектором коефіці-

р і ЇТЛ т 1 ^ ■ ентів Ь " і С. З .Введемо наступні позначення:

«п. ч і .

Жн“ РХ С Кьир иРЫИхМ*-1сДЦ)1 Ь.р ’ »■ "• ЬН“ &

Цр

У випадку і коли Р(зс)=: і . для визначених вище величин будемо використовувати наступні позначення:

.О)

Й (Н. ,0=й (Н“ ,Р)

і» Су,' т о • ■

При цьому кубатурна формула (2) приймав наступний

вигляд: ,

Екстремальна задача теорії кубатур полягає в обчисленні

величини RJH“ ,Р>і знаходженні векторів вуз, V* m . г*

лів д та коефіцієнтів .на яких досягається точна

нижня межа (якщо вони існують) , при цьому мношша векторів вузлів та коефіцієнтів, по якій обчислюється точна нижня межа, може складатися з усіх можливих векторів, або визначатися деякими додатковими обмеженнями. Кубатурну формулу з вектором вузлів X та вектором коефіцієнтів С називають

TSV nv

оптимальною або найкращою серед усіх таких формул на класі

, а величина R,tMr _,Р) має назву похибки

оптимальної для класу кубатурноі формули. Кубатурна

формула (2) 5яка визначена1вектором вузлів X та вектором лО . т-

коефіцієнтів u і є оптимальною по коефіцієнтам при фік-

TTV

сованому векторі вузлів, якщо»

■RW“ P.xra,cM-R(n;,P,xj.

Послідовність кубатурних формул (2) , які визначені векторами вузлів та векторами коефіцієнтів , є

асимптотично оптимальною, якщо

Надалі, якщо 'не вказане протилежне, будемо вважати,по на вектори вузлів та коефіцієнтів не накладено ніяких обмежень.

Перші результати по оптимізації кубатурних формул на класах Hq належать ЫЛ.Корнійчуку. В роботі M.Ü.Корнійчука 1966 р. по’ііудовані оптимальні на класі Нг яубатурні формули виду (3J серед кубатурних формул з довільними коефіцієнтами і вузлами в точках довільної прямокутної решітки, при цьому множина G в г\- вимірним паралелепіпедом, G) - до-

вільний модуль неперервності, а метрика р співпадає з одні-ео із наступних метрик

а/а

де ай*бхІ,х4,...,хЛ\ ^(у1,...

довільні модулі неперервності. Із результатів М.П.Корнійчука випливає, шо у випадку, коли m. - і) pC'X.Lj')- ізс-у І найкращої) для класу квадратурною

формулой виду (3) е формула з вузлами зс^ = &+•

(Я-)-і) Сб-а)/( 0,ті) і коефіцієнтами С-(&-иУа.

■3 = 1,2,...,п. *

. Г.К.Лебедем була розглянута задача про оптимальну для

кладу кубатурну формулу виду (2) у випадку, коли Р(х)

- неві;’ ’е.’їна та інтегровиа функція, С - ї~1, ІІ

jlCx.y) = 1 X - Lj і , а СоСО - довільний модуль неперервності. В роботі Г.К.Лебедл 19CÖ р. була отримана оптимальна по коефіцієнтам при фіксованому векторі вузлів кубатурна формули виду (2) , і установлена рівність

Й (Н Р)-ІП$ ІР(зс)и(тта р(х а^сіх т " Ь.Я X С lsi.-тх J

m.

Таким чином, оптимізація квадратурних формуя авидена до мінімізації просо! частини (4) по вузлам. В роботах Г.К.ІІв-

• 10 • бедя 1968 та 1970 p.p. розглянуті деякі випадки такоі мінімізації.

Узагальнення рівності (4) на багатовимірний випадок було отримано В.Ф.Бабенком у 1976 р. для деяких конкретних метрик, при цьоцу доведення легко поширюється на випадок довільної метрики. У випадку,коли Р(х) = J! , рівність (4) доведена О.Г.Сухарввим у 1981 р. для довільних СО і fi .

У першому розділі дисертації розглядається задача обчислення асимптотики {при па-* оо) похибки найкращої для класу Uj. кубатурної формули виду (З) .

Основними результатами першого розділу в наступні теореми. '

Теорема І.2.І. Нехай

С=£зсєЯЛ;

метрика індукована деякою кормою, тобто (

р(ос,у}- II ас- у II t а модуль неперервності со Сі) в таким, во для довільного с>0 існує границя

tim oCcoti/tofa) - Q (с). С5)

*-►+0 ‘ • «9

Тоді ісцув гррниця ’ ■ '

р й <0:V) .

iCm -Л2—Ь£1_ - С ' .

т"в° ■ де 0<Е<о° , СоСх А/П). ’

Теорема 1.2.2. Нехай соС'О-'Ь ,

CsU'6iTi0s»l'si, 1=1,2,...,и,

п

Де Lú.C t) - задані мидулі неперервності, такі, ио для довільних С > 0 í L Є 1, 2,yv} існує границя

tlm. слСсзО/сі^Сх} - (с). ч

ас-* + 0 w * о г

Якшо для усіх • то іс«Ув.

границя ,

* ' ¡j ^ ї[' h t"¡ -*Г w <"■ ÍV»

ÍTl, і 4 1 . Ґ / / • • П- І Г V L. y

* »i •* *» ^ b^p »P

де •

WpU)*yf¿U/x\

• •

4p(x) - w'1 (ót) (x).,. w^íoc),

W. (^)= СО. (xí, якщо <У- Ы з строго зростаючою на

Ь, ъ ? к

(0+оо) функцією, у протилежному випадку

W.(x)=(4* «я/'Ьх) di,

w"1 w'1 U>'1 - обернені функції.

1 1 .......-л > \p . П -ҐІІйЗ

Асимптотично точна ouiHKá величини К V Нр п > 1)

СТП. ЧЯ

. е одиничним кубом, CúC-t)=t ,

а метрика J3 дорівнює '

j)(x,y)=p3fat,yV‘'na'x .

була отримана у спільній роботі Маунг Чжо Ньюна та І.ФЛІа-ригіна у І97І р. Точна асимптотика величини $ (Цг , і)

„ «і ь D

для метрик * *

‘ /п , чо\і/а

№&(&*•■-, п-й.

~ Clxl'-l^U|')> Ті - довільне,

*»« 'd' vsi' <» ' ’

установлена В.Ф.Бабенкой в работах 1976 та 1977 p.p. для довільного модуля неперервності і довільної вимірної

за Жорданом множини Cr^R. , при цьому у випадку, коли *

і п=2, наведений результат отриманий В.Ф.Бабенкам w спільно з А.О.Лигунои. О.Г.Сухаревий в 1982 р. одержана точна асимптотика похибки найкращої для класу Hq ^кубат^рної формули виду (З) у випадку, коли множина & вимірна за ■Жорданом;,а метрика JJ індукована деякою нормою і така, що паралельними перенесеннями без перерізів додатної міри можна покрити весь простір..

Другий розділ дисертації присвячений оптимізації вагових кубатурних формул на класах Н ^ .

В.Ф.Бабенком у роботах 1976 р. була отримана точна асимптотика .похибки найкращих для класів Иг п вагових кубатур' *rtPr . .

них формул у випадку, коли р = , абоjj-pj , j -1,4 і

П- 2.; co(V) = ^ , де ± , а вагова функція Р 60

невід'ємна, обмежена зверху і вимірна за Йорданом на множині G- . .

*

Для необмежених вагових функція відомий наступний результат, який належить В.П.Моторному(1990 p.). .

' Теорема І. Нехай n=¿. , Сг=£-1,і] , Со(¥) = t ,

0|x-Lj| , функція P(x) інтегрована на С-i, , майже всюди додатна, неперервна на інтервалі (~і, і У .і монотонна у деяких околах точок - 1 та d , якщо там РЫ в необмежено». Тоді

І І fJL^

Точна есиютотика похибки няаигтт,««- --- , _

' " 45і

eiui'uönx ксубятурних у і», ".оля t знай-

дена В.Ф.Бабенком у 1993 р. за умови, шо Г1= і. , С-“Го,&3, вагова функція Р(х) неперервна на проміжку ia.il, р(ї,у)=|ас-у| , а модуль непэрервнос« <üCk) задовольняє наступному обмеження. Нехай <ь?(х) = S OjCk^clt.

Для довільних с>0 і ос>0 визначимо величину чГ Гэс)

с*

із рігняння ' .

cQ(x)-Q(tfc(aci). .

Потрібно, шоб при кожному С»0 функція #£ Гх)/ос була монотонною у деякому правому околі нуля. Це обмеження s більш строгим, ніж вимога існування границі (о) .

Основним результатом §2.1 з наступні теорема.

Теорема 2.1.1. Нехай множина С-“- R. вимірна за Жорданом, модуль неперервності ¿üCt") та ve”p;;Tta рСсс, у ) задовольняють умовам теореми 1.2 Л, функція Pix) невід’ємна та інтегровна за Лебегбм на множині С- , S Р (х) СІХ 5*0 Тоді ■ ^

ис.

-7-----------v»*;r ;тЧ

EU(«xYr*cU)a V.W

о .

де константа fc та функція "V визначені у теоремі 1.2Л,

, СО . .

о

**•= £°д„(¿¿щ со(ахУсо(ос)).

• О* *-»-.+0

• Теорема 2.1.2. Нехай множина (усй. вимірна за Жорданом, модуль неперервності со(іг') та метрика р(х,і|) задовольняють умовам теореми 1.2.2, функція Р(эс) невід'ємна та* ін-тегровна за Лебегом на множині 0 , і Р(х)с1х •» 0, . "

Тоді . ' .

я 1НГ ,Р) -- •

о * ш &,р ' ' ,

Іип. ---------------г——---—------------ С £

т~мЕ(НРУ)^сіх) ■ '

де константа Е та функція ФЫ визначені у теоремі 1:2.2, . Р

Ьо (Іспа озСах)/^^)-) 1-і 2 . тс

' *' ЧА х**Ч0 '

Параграф 2.2 присвячений побудуванню послідовності

И СО

£ вагових кубатурних формул. . .

Асимптотично оптимальні для класів (-| ^ кубатурні формули виду (3) у випадку, коли , П.= £ , соСО-І,

а множина 0 о одиничним кубом побудовані у спільній роботі Мдунг Чжо Ньвна та 1.Ф.йаригхна 1971 р. В.Ф.Бабенком у І97С р. вказана послідовність асимптотично оптимальних для класу н £ р вагових кубртурних формул у випадку, коли аоо , ^*£,4 і П.-2. , множина Сг вимірна за

Йорданом, a gj(-L) довільний модуль неперервності.

Результати О.Г.Сухарева 1982 р. дозволяють легко будувати асимптотично оптимальні для класу Hg. р кубатурні формули виду t3) у випадку,коли множина G-вимір-

на за Жорданом, а метрика J3 індукована деякою нормо» і та-

tftt тгч nonui)6vttnitm ял» — — •—: - “ г ■ ~ . ... * .*

. - ------------------- — - . — ....» v^tu * AJ «І А

без перерізів додатної-міри ксг:на заповнити увесь простір.

У параграфі 2.2 побудована послідовність асимптотично оптимальних вагових кубатурних формул при одному з наступних обмежень:

І) множина вимірна за Жордеікои^ Jl6c/y)-H'3C-^

де норма І|*І| є такою, шо паралельними перенесеннями замкненої одиничної кулі без перерізів додатної міри можна покрити увесь простір, модуль неперервності 03(-і} 0 таким,що

для кожного С>0 існує границя i_tna СоСс.'Х)/со(зс\

-х-*+0

а вагова функція Р(х) інтегровна за Лебегом на множині Су

і така, що для кожного х Є Gr > Р (be/2) П.-2,, множина С- .модуль не-

перервності та вагова функція задовольнить умовам І) ;'

3) G)(0= де 0<чС-і , метрика та

множина Gr задовольняють вимогам І), а вагова функція інтегровна за Лебегом' на множині G і така,що для кожного *

-xgG- 0<01^Р(ос');

4Усо(^=-Ьв1, де pfoybp^y), a=2_,

множина Gr вимірна за Жорданом, а вагова функція Р(х) ІН-тегровна за Лебегом на множині Сг і така, що для коткого

xfeG- О*-qas р(*\ .

. Висловлюю щиру вдячність моєму* вчителеві і науковому керівімкові Моюрному Віталію Павловичу за постановку задач,

. 16

постійну підтримку і увагу до роботи.

: Основні положення дисертації

опубліковані в наступних роботах

1.. Черная Е.Б. Об оптимизации кубатурны* формул на некоторые, классах непрерывных функций // приближение функций и суммирование рядов. - Днепропетровск: Днепропетр. университет. - 1992. - с. Ь8-64.

2. E.V. Chornaya On the optimization of weighted cubature formulae on certain classes of continuous functions // fleet Journal of approjcimationB. - Voluma 1, Number 1 ■ (1995). - p. 47 - 60.

3. Черная Е.В. Точная асимптотика погрешности весовых куба-

туру формул, наилучших для некоторых классов непрерывных функций // Днепропетровский государственный университет .-Днепропетровск ,1995. - 21 с. - Деп. в УкрРГЛСЬТИ 4.04.9&, » С89-Ук95. '

4.. Черная Е.В.. Оптимизация весовых кубатурных формул на классах функций, задаваемых мажорантой модуля непрерывности // Днепропетровский государственный университет. -Днепропетровск,' 1995. - 30с. - Деп. в УкрРГЛСЬТІІ,

» 688-Ук9Ь.

Б. Черная Е.В. Об оптимизации кубатурных формул на некоторых классах непрерывных функций // Теорія наближення та задачі обчислювальної математики: Тези доповідей міжнародної конференції / Дніпропетровськ, 26-28 траа. 1993 р./. -Днепропетровск, 1993. - с.201.

б. Черна/ Е.З. Об оптимальной оценке погрешности ївсаМШ «у-

батурных формул на некоторід классах непрерывных функций // Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ: Тезисы докладов международной конференции /Москва 27 апреля - 3* мая/. - Москва, 1995. - с. 293-294.

А Ш’л m і /пт л»т

Chornaya E.V. Optimization of cubature formulae on certain classes of functions. Dissertation for the degree of candidate of physical and mathematical sciences in speciality 01„01«01 "mathematical analysis", Dnepropetrovsk State University, Dnepropetrovsk, 1995.

Optimization of weighted cubature formulae on classes

U ^ '

Hp is investigated. Functions $ , definpd on certain

“ rcDa

Jordan measurable set I; ll , aie considered. The clasnea

uy ' ,

Up are defined by. the ma^orant GO of the modulus of continuity of with respect to the distance p in a . Asymptotically exact estimates of the error, of the best weighted

cubature formulae is obtained in the classes j“| _ in the ; • .

following case: weighted function is any Lebesgue Integrable and nonnegative function, defined on the set C" , pfoc.yKlloC-yl! » the llmlt Gj(eCc)/CoC'x) exists for

every C>0 • The sequence of asymptotically optimal veighted

CO

cubature formulae in the classes Hp is constructed under

* Kp

certain additional conditions. For CoCt)- "t • exact asymptotic of the error of optimal weighted cubature formulae is

obtained in the classes H,. for certain distance functions, which are not generated by norms.

The scientific results are published in 6 works.

АННОТАЦИЯ

Черная Е.В. Оптимизация Натурных формул на некоторых классах функций. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 "Математический анализ" ,• Днепропетровский государственный университет, Днепропетровск, 1995.

• Исследуется оптимизация весовых кубатурных формул на

классах Ир • Рассматриваются функции £ , определенные '•Р Р Л^-« -11 со

на измеримой по Жордану множестве Vе к . Классм Пг. оп-

с

ределены мажорантой со модуля непрерывности а по отношению к метрике р в пространстве й. . Получена асимптотиче-

II ^

ски точная оценка погрешности наидучших для класса Нг. ве-

* Чр

совик кубатурных формул в случае, когда йесовая функиия интегрируема по Лебегу и неотрицательна на множестве О, рОх.уЫЬе-^ для любого С»0 существует предел ?лт При некоторых дополнительных ограничениях построена последовательность асимптотически оптимальных для класса Ц„

1>,р

весовых кубатурных форцул. В случае, когда асимп-

тотика погрепиости оптимальных для классов Н<~ весовых ку-батурнмт форцул установлена для некоторых метрик, которые не могут бить определены при помощи норм.

По темо диссвртишя опублияовано б ргбет.

Ключові олова: інтеграл, кубатурна формула, функція, похибка.

вагова

hiLisi. <к>ГЧ -і&г-. Q54- -~(со