Ортогональные кинематические разложения в вариационном методе исследования краевых задач механики деформируемого твердого тела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ

РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

на правах рукописи

I МНОЕЙ £,'£

УДК 539.3

ТУЧКОВА Наталия Павловна

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КИНЕМАТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ В ВАРИАЦИОННОМ МЕТОДЕ ИССЛЕДОВАНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

01.02.04. - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2004

Работа выполнена

в Вычислительном Центре им. А.А. Дородницына РАН НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор технических наук, профессор Зверяев Е. М. ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, профессор Березин А. В. доктор физико-математических наук, профессор Рогачева Н.Н. ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского (МАТИ) г.Москва

Защита состоится "_"_2004 г. в_часов

на заседании Специализированного совета Д 200.47.01 в Институте

Прикладной Механики по адресу:

117334, Москва, Ленинский проспект 32А, комната 727.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной механики РАН. Автореферат разослан "_"_2004

Ученый секретарь совета кандидат технических наук

Е. И. Кочемасова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В настоящее время класс прикладных задач механики деформируемого твердого тела, представляющий реальный интерес, существенно расширяется в связи с новыми технологическими и вычислительными возможностями. Проблемы механики, возникшие при разработке новых материалов, требуют развития новых моделей и методов решения (например, проблемы построения механических моделей для полимерных материалов, моделей, учитывающих масштабные эффекты в механике материалов и др.). Наилучшими для корректного (в смысле энергетической постановки задачи) решения этих проблем являются вариационные подходы к моделированию, вариационные методы выделения частных моделей и прямые методы решения, основанные на вариационных постановках. В целом такие подходы обеспечивают корректность и энергетическую согласованность моделей.

Основные этапы развития современных аналитических методов механики деформируемого твердого тела связаны с именами известных ученых: Н.Х.Арутюняна, В.М.Александрова, А.В.Бабешко, В.В.Васильева, В.З.Власова, И.И.Воровича, Л. А.Галина, Г. А.Гринберга, В.Т.Гринченко, В.М.Даревского,

A.И.Каландия, Е.Н.Коваленко, М.Д.Коваленко, Б.Г.Коренева, Н.Н.Лебедева, А.И.Лурье, Н.Ф.Морозова, К.М.Моссаковского, Н.И.Мусхелишвили, Ю.М.Новичкова, П.Ф.Папковича,

B.КПрокопова, ГЛ.Попова, А.Ф.Улитко, Ю.А.Устинова, Я.С.Уфлянда, К.Ф.Черныха, Д.И.Шермана идр.

Широкое развитие получили прямые методы исследования прикладных задач теории упругости, основанные на фундаментальных исследованиях И.Г.Бубнова, Б.Г.Галёркина,

C.К.Годунова, Л.В.Кангоровича, М.В.Келдыша, Н.М.Крылова, С.Г.Михлина, В.Ритца, С.Л.Соболева,

Принципиальные результаты при разработке прикладных моделей новых конструкционных материалов (в том числе композитов), асимптотических и иных приближенных методов исследования деформаций элементов конструкций получены в первую очередь благодаря усилиям ученых В.М. Александрова, А.В. Бабешко, А.В. Березина, В.А. Бунакова, Ванина Г.А., В.В. Васильева, И.И. Воровича, Р.В.Гольдштейна, Э.И. Григолюка, Зверяева Е.М., Н.Ф.Морозова, Ю.В.Немировского,Ю.М.Новичкова, И.Ф.Образцова, А.Н.Полилова, Б.ЕЛобедри, Г.Я.Попова, Н.Н.Рогачевой, Ю.Н.Тарнопольского, С.П.Тимошенко и др.

Актуальность темы Сложность моделей, используемых в настоящее время в механике деформируемого твердого тела, приводит с одной стороны к необходимости разработки методов получения аналитических решений, позволяющих с заданной точностью получать решения в некоторых частных случаях, (например, для канонических областей). С другой стороны, для решения прикладных проблем представляет интерес корректное построение частных решений с заданной кинематикой (например, сингулярных составляющих), а также решение проблемы декомпозиции общего решения на последовательность частных решений.

В связи с этим актуальным является развитие алгоритма построения замкнутых аналитических решений для моделей общего вида с использованием специальных минимизирующих последовательностей. Также актуальным представляется развитие метода ортогональных кинематических состояний (ортогональных проекций) и его приложений к задачам прикладной теории упругости и механике разрушений.

Цель и задачи работы. Целью работы является:

построение общей схемы ортогонализации кинематических состояний, определение структуры ортогональных кинематических состояний для широкого класса вариационных постановок (для

широкого класса моделей механики деформируемого твердого тела);

построение и исследование свойств минимизирующей последовательности, позволяющей выполнить естественные граничные условия при минимизации функционала, разработка алгоритма построения замкнутых аналитических решений в канонических областях;

разработка алгоритма выделения заданных кинематических состояний в приложении к проблемам вычисления эффективных жесткостей неоднородных материалов и коэффициентов эффективности напряжений.

Научная новизна работы заключается в следующем. Для вариационных постановок, соответствующих моделям различной сложности предложен общий алгоритм построения ортогональных кинематических состояний в энергетической норме. Указывается структура ортогональных кинематических подпространств. Показывается, что для задач с обобщенными статическими граничными условиями, где перемещения представляются в форме разложения по системе заданных кинематических состояний, разложение для вектора перемещений, соответствующих объемных поверхностных сил и работы осуществляется с одной и той же системой констант.

Предложено использовать в канонических областях в качестве минимизирующих последовательностей разложения по гармоническим системам функций, неравных нулю вместе со своими производными на концах интервала. Исследуются свойства таких систем.

Получены коэффициенты разложения заданных функций в ряды по предложенной системе функций и системе из их производных. Существенно, что последние не обладают свойством ортогональности. Исследовано поведение разложений по предложенной; системе функций в зависимости от параметра, входящего в граничные условия, определяющие эту систему.

Предложен алгоритм построения аналитических решений в канонических областях с заданной точностью для моделей.общего вида.

Предложен способ выделения заданного кинематического состояния с учетом ортогональности кинематических состояний. На его основе сформулирован алгоритм определения эффективной-жесткости среды (в том числе неоднородной сплошной среды) для выщеленного кинематического состояния. В частности на основе этого алгоритма получен способ определения эффективных модулей упругости, когда кинематические состояния .соответствуют однородной деформации.

Для тел с конечным числом трещин предложен алгоритм определения коэффициентов интенсивности напряжения, основанный на выделении ортогональных кинематических сингулярных состояний.

Практическая ценность. Полученные результаты и предложенные методики могут найти применение при оценке эффективных характеристик материала и неоднородных структур. Построенные зависимости могут быть использованы при оценке приближенных моделей деформирования элементов конструкций. Предложенный алгоритм вычисления коэффициентов интенсивности представляет практическую значимость для расчетов характеристик механики разрушений.

Достоверность. Достоверность основныгс научных положений обеспечивается строгим математическим обоснованием предлагаемых подходов, сопоставлением полученных результатов решений с известными результатами, определенныти- другими методами, проверкой практической сходимости результатов в конкретных задачах.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на следующих конференциях, симпозиумах и семинарах: на научном семинаре по «Механике деформирования и разрушения тел с трещинами» 2003 г., ИПМ РАН (рук. проф. Р.В. Гольдштейн); на научном семинаре ВЦ РАН 1998, (рук. Член.-корр. РАН, проф. Ю.Г.Евтушенко); на «9 Международной конференции, по механике композитныгс материалов», Рига, Латвия, октябрь 1995 г., на

Международном семинаре "Актуальные проблемы прочности", 2000, Новгород; на «12 Международном семинаре по вычислительной механике материалов (IWCMM12) сентябрь 2002, Университет Дармштадта, Германия; на «7 Международной конференции по деформации и разрушении композитов (БРС-7)» сентябрь 2003, Университет Шеффилда, Англия.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 печатных работ. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, основных выводов и списка литературы. Работа содержит 117 страниц машинописного текста и иллюстраций. Библиографический список содержит 72 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика диссертации, обоснована актуальность темы и приведена аннотация работы. Введение содержит также краткое изложение истории и современное состояние вопроса.

В первой главе развивается алгоритм представления решения прикладной проблемы теории упругости в форме ортогональных разложения по заданным кинематическим состояниям. Для реализации алгоритма достаточно задать Лагранжиан и пространство кинематических состояний. Предлагаемый алгоритм является достаточно общим и пригоден для построения приближенных решений прикладных задач для моделей сред общего вида. Модель среды полностью определяется видом Лагранжиана. В общем случае рассматривается следующая вариационная постановка:

где

- заданные обобщенные силы на поверхности исследуемой области. являются тензорными функциями координат границы (тензоры валентности к +1), = , У, - вектор-функция, -вектор-перемещение, - является тензором валентности А/,

М — гащС; М = 2(5 +1); СС,Р - мульти-индексы порядка .V. Мульти-индекс ОС (порядка s) будет обозначать, что тензор Аш ,

образован действием оператора

на вектор

Вариационная постановка (1) является обобщением вариационной постановки анизотропной теории упругости. Она включает в себя, в частности, вариационную постановку краевых задач для моделей сред с масштабными эффектами.

Показано, что имеет место разложение решения в форме прямой суммы двух функциональных ортогональных

подпространств:

Система функций -Л* - считается заданной.

Установлена структура подпространства, ортогонального :

где Ак - на известном « к -том» кинематическом состоянии:

скалярное произведение

определяется видом энергии деформации:

гтпк гг*л» %пт спт

где и и = о , о - дельта Кронеккера.

В первой главе доказано также, что если некоторое приближенное решение строится в форме разложения = , то есть = + ЬкК/ , то «квази-объемные» и «квази-поверхностные» обобщенные силы представляются в виде разложений с теми же коэффициентами Ьк :

оператор разрешающего уравнения исходной задачи, а -

граничные операторы исходной задачи.

Последнее соотношение позволяет определить Х( и К/ рг и

сформулировать краевую задачу в ортогональном подпространстве ошибок.

Вторая глава посвящена исследованию специальных систем функций, предлагаемых для построения минимизирующей последовательности для приближенных решений прикладных задач механики деформируемого твердого тела путем прямой минимизации функционалов Лагранжа.

Предлагается использовать следующие системы функций: первая из них образована системой где являются

корнями трансцендентного уравнения

а Л бшА - созЯ = 0 (4)

и их производными, вторая система Хт= {втЯ,,,*:}, гдеЛт являются • корнями трансцендентного уравнения

и их производными. Эти системы функций являются гармоническими и не обращаются в ноль вместе со своими

производныти на концах интервала [—1,1]. Поэтому, их использование в качестве основы для построения минимизирующей последовательности позволяет приближенно удовлетворить разрешающему уравнению и комбинации естественный граничных условий.

Указанные системы функций обладают тем свойством, что они,сами ортогональны, а производные этих функций не обладают свойством ортогональности. Тем не менее доказано, что разложение произвольной функции в ряд по системе Х'к определяется в

замкнутой форме, где Х'к = ^ . Таким образом доказано, что

точно решается проблема определения коэффициентов разложения

00

Кх) - Хт= {со8Ятх}, гдгЛт удовлетворяет (4), й(х) -

*=о

произвольная функция, удовлетворяющая достаточным условиям разложимости в ряд Фурье. Коэффициенты ак задаются

формулами: а, = + ^^' ^ = »

Аналогичные соотношения имеют место для второй системы функций.

Более сложную структуру имеют разложения в двойные ряды по данной системе функций. Во второй главе показано, что проблема определения коэффициентов разложения, возникающая при реализации процедуры метода Ритца, имеет приближенное замкнутое решение, которое может быть получено с любой заданной точностью.

Показано, что если минимизирующую последовательность искать в виде разложения в двойные ряды по предложенным системам функций, то несмотря на отсутствие ортогональности, задача определения коэффициентов, в разложениях в рамках

и

процедуры Ритца решается точно для произвольного самосопряженного оператора с помощью преобразования Фурье. Решение ищется в виде разложения: ]1{хту) = ЪтпХт{х)Уп(у), (6)

где ^ОО - функции из описанного выше семейства

гармонических функций.

Так, например, для обобщенной бигармонической - краевой задачи процедура метода Ритца сводится к следующему соотношению:

dЛmЛ„ЛpЛs(X:(x)X;(xЖr:(y)Y;(ymdxcfy = Ap\ где а,Ь,с,с1-

постоянные коэффициенты, Ар! - известная величина, определяемая по правой части бигармонического уравнения и функциям, входящим в естественные фаничные условия, Xр=

У„= {созЯях}, {сов^х}, Л, удовлетворяют уравнению (4).

Выражения в фигурных скобках определяются видом энергии деформации. Точное значение коэффициентов определяется по формулам:

где

Заметим, что полученное решение является точным, но его реализация затруднена, ибо это связано с необходимостью обращать преобразование Фурье.

Далее во второй главе предлагается итерационная процедура, позволяющая полностью удовлетворить всем граничным условиям в рамках вариационной процедуры метода Ритца. При этом по построенному решению на втором шаге формулируется вариационная задача в ортогональном подпространстве с помощью соотношений (3).

Показано, что при построении решения в канонических областях, итерационная процедура задает сжимающее отображение,

а именно: | /?(,+1) |= 0(—) | где Я^ решение в ортогональном

подпространстве на шаге /, / = 0,1 а- параметр

трансцендентного уравнения, определяющего параметр А . Таким образом, параметр а можно использовать для получения решения в явной форме с любой заданной точностью.

Третья глава посвящена некоторым примерам приложений ортогональных разложений в механике сплошных сред и в механике разрушения. Сначала указывается класс задач, для которых можно построить аналитические решения. Это частные краевые задачи, для которых энергия деформации записывается только через вторые четные производные искомого решения. В таком случае нулевое приближение в алгоритме, предложенном в главе 2, строится точно,

в форме (6), так как используется свойство ортогональности систем функций Хт (х), Уп (у). Показано, что для канонических

прямоугольных областей разложение (6) дает фактически точное решение исходной задачи, так как уже для первого приближения соответствующее выражение работы, содержащееся в числителе для коэффициентов разложений, может быть приближено к нулю с любой заданной точностью за счет параметров трансцендентного уравнения для Я (4) или (5). Заметим, что это свойство имеет место для любого оператора четного порядка и для всех соответствующих естественных граничных условий.

Предложен итерационный алгоритм вычисления эффективной жесткости для произвольного заданного кинематического состояния. На примере одномерной неоднородной структуры показано, что нулевое приближение для эффективной жесткости дает оценку сверху. Первое приближение вычисляется в точностью до 7%, а второе - до 4%. Для использования этого алгоритма достаточно знать приближенную аппроксимацию полей перемещения в среде.

Предлагается использовать процедуру ортогонализации кинематических состояний для моделирования многомодульной среды, когда требуется получить частные модели, связанные с одним из модулей. Использование приема выделения ортогонального состояния позволяет в рамках вариационного похода понижать порядок краевых задач при получении приближенного решения.

Применительно к механике разрушения развивается метод приближенного вычисления коэффициента интенсивности напряжений. Для этого в случае изолированной трещины требуется выделение сингулярной составляющей (асимптотика решения в

окрестности сингулярной точки ищется известными методами), а коэффициент интенсивности напряжений определяется по формуле:

где - работа сингулярного состояния на заданных

нагрузках, а - энергия деформации сингулярного состояния. Предполагается, что регулярная составляющая решения выделяется

2 и.

в ортогональное подпространство. Приводится алгоритм уточнения коэффициента интенсивности, когда полное решение, включающее регулярную и сингулярную составляющие, ищется в форме разложения по конечной системе функций в рамках прямого вариационного метода.

Заметим, что решение, полученное на основании предложенного алгоритма для гармонической задачи, в точности совпадает с известным аналитическим результатом, полученным В.Г.Мазья и Б.А.Пламеневским.

Рассмотрены примеры. Так, например, для задачи прямоугольной полосы, ослабленной поперечным разрезом (Рис.1, Рис.2), приближенное значение коэффициента интенсивности для гармонической задачи определяется по формуле:

А 1 2 /

Ъ = (— +1)"4 соэС-агс/я(--)) где

1

2 ° / 2 / * Г 2 Л

ь

20

♦

Н=1

Л

15

10

*—►

I

5

0.02 0.04 0.06 0.08

0.1

Л

Рис. 1.

Рис. 2.

На Рис. 2 пунктирной линией представлен график зависимости коэффициента интенсивности напряжений Ь от параметра сплошная линия соответствует решению

П.Париса и Дж.Си, полученному для полосы с бесконечным разрезом. Для Л > 0.1 отличие от решения П.Париса и Дж.Си становится весьма малым.

Сингулярные составляющие решения, получены для гармонических и обобщенных бигармонических задач. На их основе получены приближенные зависимости для коэффициентов интенсивности напряжений.

Алгоритм обобщается на случай конечного числа трещин в конечном теле. При этом проблема отыскания коэффициентов интенсивности конечного числа трещин сводится к решению конечной системы линейных алгебраических уравнений.

Основные результаты и выводы. В предложенной работе были получены следующие основные результаты:

1. Предложен общий алгоритм построения ортогональных кинематических состояний в энергетической норме для вариационных постановок, соответствующих моделям различной сложности.

2. Построены и исследованы свойства минимизирующих последовательностей, позволяющей выполнить в среднем естественные граничные условия при минимизации функционала.

3. Предложен алгоритм построения аналитических решений в канонических областях с заданной точностью для моделей общего вида. В качестве примера приводится решение обобщенной бигармонической краевой задачи в прямоугольной области со статическими граничными условиями.

4. На основе ортогональных разложений кинематических состояний предложен алгоритм приближенного вычисления эффективных жесткостей.

5. Предложен алгоритм редукции исходной многомодульной модели среды к последовательности более простых моделей. При этом возможно понижение порядка вспомогательных задач.

6. Для тел с конечным числом трещин предложен алгоритм определения коэффициентов интенсивности напряжения, основанный на выделении ортогональных кинематических сингулярных состояний.

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

1. Лурье С.А., Криволуикая И.И., Тучкова Н.П. Применение концепции обобщенных упругих оснований к прикладным задачам элементов конструкций из неоднородных композиционных материалов. Конструкции из композиционных материалов, М., ВИМИ, N 1-2,1998, С. 3-15.

2. Lurie S., Tuchkova N., Belov P. The application of the Multiscale Models for description of the Dispersed composites. 7th International Conference on the Deformation and Fracture of Composites. The university of Sheffield, 2003 .

3. Lurie S., Belov P., Volkov-Bogorodsky D., Tuchkova N.. Nanomechanical modeling of the nanostructures and dispersed composites /Ant. J. Computational Materials Science28 (2003)529-539.

4. Тучкова Н.П. Об определении проекций решений краевых задач на заданное линейное подпространство функций. М.: ВЦ РАН 2003, 32 с.

5.Tuchkova N., Lurie S. About new exact solution in fracture mechanics for finite elastic body with cracks. Proceedings of Applied Mathematics and Mechanics Vol. 3, (2003) Annual Scientific Conference 2003 at Abano Terme - Padua, Italy, on March 24-28,2003.

Тучкова Наталия Павловна

Ортогональные кинематические разложения в вариационном методе исследования краевых задач механики деформируемого твердого тела

Подписано в печать 26.02.2004 Уч.-изд.л. 0,7. Усл.-печ.л. 1 Тираж 100 экз. Заказ 3. Бесплатно

Отпечатано на ротапринтах в Вычислительном центре им. А. А. Дородницына РАН 119991, Москва, ул. Вавилова, 40

N2- 453 2

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Об определении проекций решений краевых задач на заданное линейное подпространство функций 10

§1.1.0 вариационной формулировке краевых задач 10

§ 1.2. Формулировка обобщенной краевой задачи 15

§ 1.3. Ортогональные разложения решения краевой задачи 20

В настоящее время; значительно расширился класс прикладных задач механики? деформируемого твердого тела (МДТТ). В связи с развитием современных технологий возникла потребность. проведения: новых исследований в механике материалов, что в свою очередь связано с. существенными достижениями в технике проведения г экспериментальных исследований. Проблемы механики, возникшие при разработке новых материалов,, требуют развития, новых моделей и методов решения; Так, развитие технологии с одной стороны и техники проведения экспериментов с другой привели • к; тому, что во многом изменилось понимание характера взаимодействия элементов,ктуры материалов на: различныхктурных уровнях. Возможность учета физических явлений в материалах на разных масштабных, уровнях привели к дальнейшему развитию методов исследования в механике материалов. Рядом несомненных перспектив обладают методы прямого численного моделирования материалов, связанные: с учетом реальнойктуры материалов; на атомно-молекулярном I уровне. Тем: не: менее, методы, МДТТ, основанные; на развитии: новых континуальных и континуально-дискретных моделях являются * формально более; обоснованными. В частности," они лежат в основе современной механики материалов. Поэтому весьма актуальными остаются < проблемы, связанные с развитием, именно методов решения прикладных задач МДТТ, с возможностью их применения в сложных моделях: механики материалов.

Внедрение нового поколения конструкционных материалов позволяет решать проблемы совершенствования: конструкций, увеличения: сроков их службы и снижения материалоемкости, однако, это требует дальнейшего развития методов решения < прикладных задач и расчетных моделей,, учитывающих особенности* деформирования* материалов. Механика материалов' связана с определением? моделей деформирования ? материалов и построением соответствующих математических моделей (формулировкой краевых задач), в то время как: конкретные свои свойства материалов проявляются в элементах конструкций. Поэтому класс задач, связанных с. развитием уточненных моделей деформирования конструктивных элементов и численно-аналитических методов исследования их поведения при различных условиях нагружения, также представляется актуальным.

Наилучшими (в смысле энергетической постановки; задачи) для решения прикладных проблем МДТТ являютсявариационные подходы к моделированию, вариационные методы выделения частных моделей и прямые методы решения, основанные на вариационных постановках задач. Такие подходы обеспечивают корректность и энергетическую согласованность моделей. Вариационные подходы являются идеальным средством построения моделей сред со сложными свойствами[52], и могут быть использованы как основа для получения корректных вариантов моделей деформирования конструкций, получения критериев корректности; и согласованности (например, при использовании уточненных моделей стержней, пластин и оболочек). Наконец, вариационные методы исследования дают мощные средства для построения решений прикладных задач (прямые методы решения).

Отметим, что с точки зрения прикладных задач имеет место два взаимно дополняющих, подхода: разработка методов получения, наиболее точных аналитических и численных решений задач теории упругости ортотропного тела для широкого класса краевых задач;: разработка алгоритмов получения приближенных, частных решений, являющихся основой для проведения качественного анализа деформирования материалов и конструкций. Как правило, характер изменения частных решений заранее известен из физических соображений; или из решения в рамках вспомогательных частных моделей (например, можно считать известным для пластин и оболочек характер изменения частных решений: типа краевых эффектов или асимптотик сингулярных решений в задачах механики разрушения). Тогда решение сводится к корректному определению соответствующих амплитудных характеристик. Наилучшей основой для обоих этих подходов является вариационный метод исследования.

Поэтому разработка методов получения на базе вариационных подходов, как численно-аналитических, так и приближенных решений, связанных с частным характером изменяемости: перемещений (решения), представляется! актуальной задачей и имеет значительный практический интерес. Исследованию этих вопросов - посвящена диссертация.

Перейдем к обзору работ, посвященных проблемам, обсуждаемым, в диссертации. Отметим, что при этом не ставится задача дать полное сравнительное. описание. способов построения новых моделей материалов, уточненных моделей деформирования конструктивных элементов, методов построения « аналитических и численных решений задач теории, а также вариационных подходов и методов. Имеются известные подробные обзоры , в монографиях [1, 4, 5, 6, 7, 11, 15, 25, 37,41-43, 47, 48, 59, 61], обзорных статьях [10, 16, 19, 29, 52, 62 и др.].

Принципиальные результаты при; разработке, прикладных моделей; новых, конструкционных материалов (в том числе композитов), асимптотических итерационных т иных приближенных методов исследования деформаций элементов конструкций получены в первую очередь такими * учеными как: А.В.Бабешко, А.В.Березин, В. А.Бунаков, Г. А.Ванин,-В.В.Васильев, И.И.Ворович,. Р.В.Гольдштейн, Э.И.Григолюк,. Е.М.Зверяев, Н.Ф.Морозов, Ю.М.Новичков, И.Ф.Образцов,. А.Н.Полилов, Б.Е.Победря, ГЛ.Попов,- Н.Н.Рогачева, Ю.Н.Тарнопольский, С.П.Тимошенко и др. Отметим универсальность алгоритма построения уточненных моделей с использованием вариационной постановки[52]. При вариационно-энергетическом ' методе весь процесс моделирования заменяется заданием формы, потенциальной энергии деформации и сводится к определению списка аргументов. По списку аргументов устанавливается конкретная г форма потенциальной энергии. Например, для линейных процессов потенциальная энергия должна записываться как квадратичная форма от аргументов с учетом их тензорной размерности[27]. Следует также особо отметить, что весьма эффективными в этом направлении являлись асимптотические методы [11, 16,20,22,30, 31, 51, 60, 67, 71, 72], методы гипотез в механике композитных стержней, пластин и оболочек [5, 10, 16, 69], итерационные схемы [17, 33, 71, 72] и др.

Основные этапы развития современных аналитических методов механики деформируемого твердого тела связаны с именами таких известных ученых как: Н.Х.Арутюнян,

A.Я.Александров, В.М.Александров, В.А.Бабешко, В.В.Болотин, В.В.Васильев, В.В.Власов, И.И.Ворович, Л.А.Галин, Г. А.Гринберг, В.Т.Гринченко, В.М.Даревский, А.И.Каландия, Б.Г.Коренев, Н.Н.Лебедев, А.И.Лурье, Н.Ф.Морозов, К.М.Моссаковский, Н.И.Мусхелишвили, П.Ф.Папкович, Б.Е.Победря, В.К.Прокопов, Г.Я.Попов, В.Л.Рвачев, А.Ф.Улитко, Ю.А.Устинов, Я.С.Уфлянд, К.Ф.Черных, Д.И.Шерман и др.

Широкое развитие получили; прямые методы исследования - прикладных задач теории упругости, основанные на фундаментальных исследованиях И.Г.Бубнова, Б.Г.Галёркина, С.К.Годунова, Л.В.Канторовича, М.В.Келдыша, Н.М.Крылова, С.Г.Михлина, В.Ритца, С.Л.Соболева, Е.Трефтца.

В настоящей работе в рамках вариационной процедуры развивается способ построения приближенных решений, в форме разложений по специальной системе тригонометрических функций. Поэтому кратко остановимся на: методах получения решений прикладных задач теории упругости с помощью разложений по заданной системе функций;

Один из распространенных подходов в развитии методов решения двумерных задач теории упругости связан с представлением решения с помощью разложения- в тригонометрические ряды Фурье. При исследовании краевых задач с неперекрестными граничными условиями решение, как правило, сводится к определению искомых коэффициентов в разложениях из бесконечной системы алгебраических линейных уравнений. Важные результаты в разработке этих методов получены Б.Л.Абрамяном, Н.Х.Арутюняном,

B.Т.Гринченко и А.Ф.Улитко, Г.Я.Поповым, В.М.Даревским и другими учеными, в работах которых не только строятся эффективные приближенные решения, но и. исследуются полученные бесконечные системы алгебраических уравнений, оценивается , сходимость к точному решению. Для построения? эффективных методов решений существенным представляется выделение сингулярных составляющих решений в окрестности особых угловых точек области в частное решение. Построению сингулярных решений в математическом плане посвящены фундаментальные исследования A.B.Кондратьева, О.А.Олейник, В.Г.Мазьи, Б.А.Пламеневского, а в приложении к. задачам механики В.Т.Гринченко, А.И.Каландия,

C.Е.Михайлова, Н.Ф.Морозова, С.А.Назарова, Г.П.Черепанова и др. Существенный прогресс в совершенствовании методов решения двумерных задач теории упругости вызван развитием метода однородных решений и его модификаций; В трудах В .М. Александрова, ИИ.Воровича, Г.А.Гринберга, А.И.Лурье, Б.М.Нуллера, П.Ф.Папковича, В.К.Прокопова и др., посвященных развитию этого подхода в задачах МДТТ, получены новые фундаментальные результаты. Большое распространение. получили методы,. использующие идею разделения1 переменных, в частности, решения Файлона и Рибьера плоской задачи теории упругости и Навье и Леви задач теории изгиба пластин, в которых искомые функции представляются в виде рядов Фурье по тригонометрическим функциям [2, 16, 28, 43-47, 55, 61 и др.]. Интегральный аналог тригонометрических рядов - интегральное преобразование Фурье используется для построения точного решения плоской задачи; теории упругости для бесконечной полосы, причем, на бесконечные граничные условия выполняются интегрально, в смысле Сен-Венана [51].

Представление решения в виде одинарных тригонометрических рядов соответствует использованию ортогональных однородных решений. В общем случае ортогональные однородные решения * позволяют построить - точные решения • только тогда, когда на > двух противоположных границах области заданы перекрестные граничные условия, при которых одновременно задаются, например, нормальные составляющие внешних усилий и касательные составляющие перемещений. Ряд работ, в которых ортогональные однородные функции используются для получения замкнутых и приближенных решений прикладных задач отмечен в обзоре [16]. Следует отметить, что интенсивное развитие методов. решения задач теории упругости! во многом связано с практической потребностью решать сложные задачи смешанного типа. Последним посвящены книги и обзоры [1, 11, 19, 22, 39, 47]. Ряд интересных схем решений краевых задач теории упругости можно найти в работах [1,4, 8, 10, 11, 17, 20, 22, 30,31,54,59,69,71,72].

Новый этап в¡. развитии; методов < решения задач теории. упругости > для канонических областей связан с решением проблемы; разложения. функций по неортогональным системам; однородных функций. Если использовать терминологию, введенную А.И.Лурье, то отмеченный подход можно отнести г к: методу однородных решений (нетривиальные решения уравнений« теории упругости, удовлетворяющие однородным: граничным условиям на части поверхности упругого тела). В ; 1867 году Файлон, используя методы контурного интегрирования, получил разложение полинома в ряд по неортогональным собственным функциям. В дальнейшем метод Файлона нашел применение: в работах А.И.Лурье[26] и был существенно развит В.К.Прокоповым[50]. Однородные функции, не образуя ортогонального семейства, подчиняются, некоторым соотношениям ортогональности. Эти соотношения, являющиеся аналогом формул Фурье, после публикации, работы В.К.Прокопова[50] стали, называться.: условиями обобщенной; ортогональности. П.Ф.Папкович[45, 46], получивший условия обобщенной ортогональности, позволяющие в некоторых случаях точно • решить проблему

ВВЕДЕНИЕ 5 разложений двух различных вещественных функций, неоднократно указывал на фундаментальную роль разложении по системам однородных функций. Метод полимоментов, при' котором граничные условия выполняются не для самих граничных функций, а для их интегральных характеристик, использован в работе А.В. Костарева [19], В.К. Прокопова [50] и других авторов.

Отметим еще одну особенность построения, решения в форме разложения неоднородным решениям (ортогональным или неортогональным). Так как речь идет о построении решения; в; канонических областях с угловыми точками, то при некоторых типах граничных условий; на части границ, примыкающих к угловым, точкам, последние* могут стать иррегулярными.1 Тогда напряжения, вычисленные по соответствующим решениям, становятся неограниченными при приближении к особым точкам из области. В общем случае особенность имеет вид: гр 1п гаШ{г, 0), где IV(г, 0) < - регулярная функция.

Однако, от функций, представляемых в виде равномерно сходящихся на; рассматриваемых интервалах^ разложений; по однородным решениям, требуется по крайней 5 мере ограниченное изменение • на этом интервале/ Т.е. так определяются только регулярные составляющие искомого решения. Поэтому при построении этого решения в виде разложения по однородным функциям необходимо предварительно выделить сингулярную составляющую в частное решение.

Отметим, что изучение сингулярных составляющих решений представляет и самостоятельный интерес, потому что такие. решения используются < в: упруго-пластическом анализе работы конструкции и являются основой анализа прочности в механике разрушений* [37-39,59].

Исследованию решений? эллиптических: краевых задач в областях с коническими! точками посвящены; работы[22, 30, 31, 37, 38, 59, 60,, 63, 64] и другие. В; них выводятся асимптотические представления решений вблизи конических точек. Коэффициенты линейных комбинаций являются функционалами от правых частей исходной краевой задачи, и в теории, упругости носят название: коэффициентов интенсивности. Явные - интегральные: формулы, содержащие специальные решения; однородной сопряженной задачи, для* коэффициентов в асимптотике решений общих эллиптических краевых задач были изучены в статье В.Г.Мазья и Б. А.Пламеневского[31].

Общий метод построения асимптотических разложений, решений эллиптических краевых задач в областях с малыми локальными возмущениями границы области предложен в книге В.Г.Мазья, СА.Назарова,. Б.А.Пламеневского[30, 31 и др]. В частности, там содержится алгоритм нахождения асимптотики решений линейных для областей с затупленными углами и конусами, малыми отверстиями, узкими щелями и сглаженными ребрами. Следует отметить важный и трудный случай построения асимптотического разложения решения задачи Дирихле для оператора Лапласа в трехмерной области с исключенной тонкой трубкой или полостью, исследованный г в работах М.В.Федорюка [60] и В.Г.Мазья, С.А.Назарова, Б.А.Пламеневского[31].

Особо следует отметить вариационные методы решения краевых задач; Задачи математической < физики, а также теории упругости обычно сводятся ; к дифференциальным уравнениям; в частных производных, которые далее интегрируются / при соответствующих краевых или начальных условиях.

С практической точки зрения наибольший интерес представляет получение численных точных и приближенных значений искомых величин. Для решения краевых задач достаточно хорошо применимы «прямые методы» решения (по определению С.Л.Соболева[53] «прямыми называются; такие методы приближенного решения; задач- теории дифференциальных, и интегральных уравнений, которые сводят эти: задачи к; конечным: системам алгебраических: уравнений»). Широкое развитие получили исследования прямых методов в прикладных задачах теории- упругости, основанные на фундаментальных, исследованиях И.Г.Бубнова, Б.Г.Галёркина, С.К.Годунова, Л.В .Канторовича, М.В.Келдыша,. Н.М. Крылова, Р.Куранта,-. С.Г.Михлина, В.Ритца, Е.Трефтца. П.Ф.Папковича, С.П.Тимошенко.

В теории и- практике применения: прямых методов , во многих случаях задачу интегрирования» дифференциального уравнения можно заменить равносильной задачейi об определении ; функции, сообщающей ; некоторому интегралу наименьшее значение, то есть «вариационной задачей». Так, например, можно свести интегрирование в задаче теории упругости при обычных; статических краевых условиях, к отысканию - минимума1, энергии упругого тела. Этот наиболее; важный; из вариационных методов известен: в; технической литературе как «энергетический».

К наиболее известным! прямым методам, в которых используется' вариационная* постановка задачи, можно отнести: метод Ритца [68], Бубнова-Галёркина [12], метод Власова-Канторовича [21], вариационно-разностная схема • метода; сеток,. метод конечных элементов; (метод гибридных конечных элементов, структурный конечных элементов, метод равновесных^ граничных элементов, метод сил, метод перемещений)[54]. Исторический обзор вариационных методов в математической физике сделан, в • частности, С.Г.Михлиным[32], приближенных методов - А.П.Филиным[61].

Вальтер Ритц1 предложил (1908) метод приближённого решения вариационных и тех краевых задач, которые сводятся к вариационным («метод Ритца»).

Пусть задан? функционал F(y(x)) и требуется найти такую функцию-принимающую в точках х0 и л, заданные значения а = и b = y(je,), на которой

1 Ритц Вальтер (Ritz Walter) (22.2.1878, Сьон,-7.7.1909, Гёттинген) - немецкий физик и математик. Учился в Цюрихском (1899-1900) и Гётгингенском (1900-02) университетах. Работал в Лейдене, а также в Тюбингене и Гётгингене (с 1908). Теоретическое обоснование метода дано советским математиком Н. М. Крыловым (1918)

ВВЕДЕНИЕ 7 функционал Г(у(х)) будет достигать экстремума. Значения исследуемого на экстремум функционала рассматриваются не на всех допустимых в данной задаче функциях

00 а лишь на всевозможных линейных комбинациях вида: у„(х) = Дх) с постоянными коэффициентами а, составленных из и первых функций некоторой: выбранной системы Фх (л), <р2 (*),., (р„ (*),. (от удачного выбора этой системы функций зависит эффективность применения метода к решению конкретных задач). Необходимым условием выбора системы функций5 <рх{х) является требование, чтобы функции уя(л;) удовлетворяли условиям уп(х0) = аи уп(х1)-Ь для всех значений параметров а,. При таком выборе функцийул(;с) функционал ^(^(д:)) превращается в функцию Ф(а1,а2,.,ап) коэффициентов а,, последние выбирают так, чтобы эта функция» достигала экстремума, т. е. определяют их из системы дФ уравнений: — = 0, (/ = 1,2,.,и). да,

Известно много вариантов, метода Ритца, используемых для приближённого решения вариационных и краевых задач.

Метод Галёркина2 (Бубнова —Галеркин). Решение краевой задачи представляется в виде линейной комбинации функций, принадлежащих полной системе и удовлетворяющих всем однородным граничным условиям. Коэффициенты в этой комбинации находятся из условия ортогональности в области результата подстановки указанной выше комбинации в левую часть дифференциального уравнения (уравнение представлено в форме, при которой в правой части имеется нуль — свободный член перенесен в левую часть) с каждой из функций системы, использованной в комбинации: .

Метод Треффтца. Искомое решение краевой задачи представляется в виде линейной комбинации; функций, принадлежащих полной системе и удовлетворяющих однородному дифференциальному уравнению. Коэффициенты в этой комбинации находятся из условия ортогональности на границе области результатов подстановки указанной выше комбинации в левую часть граничных условий (граничные условия представлены в форме, при которой в правой части имеется нуль---свободный член перенесен в левую часть) с каждой из функций системы, использованной в комбинации. Таким путем получается приближенное решение, сколь угодно (при достаточно большом п ) близкое к действительному.

2 Метод получил распространение после исследований Б. Г. Галёркина (1915); ранее (1913) он применялся для решения конкретных задач теории упругости И.Г.Бубнова, в связи с чем иногда именуется методом Бубнова -Галёркина. Теоретическое обоснование метода принадлежит М. В.Келдышу (1942).

Метод Канторовича3 позволяет привести краевую задачу для дифференциального уравнения с частными производными к краевой задаче для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Отличие метода Канторовича от методов Ритца и Бубнова—Галеркина состоит в, том, что в последних произвол, за счет которого обеспечивается возможность используемое разложение считать решением, представлен числовыми коэффициентами в разложениях. Эти коэффициенты находятся из некоторых алгебраических уравнений. В методе же Канторовича произвол представлен функциями, отыскиваемыми из некоторых дифференциальных уравнений. В методе Канторовича априорная часть решения меньше, чем в методах Ритца или Бубнова—Галеркина. Сходство идей вариантов метода Канторовича с идеями методов Ритца и Бубнова — Галеркина послужило: основанием для некоторых авторов считать метод Канторовича модификацией указанных методов.

В работах К. Фридрихса (Friedrichs К.) и Р.Куранта (Courant R.) «энергетический метод» и проблема его обоснования получили дальнейшее развитие. Эти авторы изучали вариационные задачи, отвечающие уравнениям более общего вида; изучение сходимости приближенных решений по Ритцу они заменили изучением более общей проблемы сходимости «минимизирующей последовательности». Многие результаты работ перечисленных ученых изложены в книге Р.Куранта и Д.Гильберта [23]

Пример прямого применения метода Ритца для получения, численных решений - метод конечных элементов4.

Проблемы оценки погрешностей приближенных методов, основанных на минимизации функционалов в методе Ритца, вопросы выбора минимизирующих последовательностей, оценки сходимости к решению уравнения и естественным граничным условиям в соответствии с теоремой о минимуме функционала полно и последовательно освещены в монографиях С.Г.Михлина[32-36].

В - настоящей работе изучаются вопросы использования вариационного подхода к проблемам построения приближенных решений; краевых задач, формулировке прикладных частных моделей и решению некоторых прикладных задач механики твердого деформируемого тела.

3 Канторович Л. В. Об одном прямом методу решения задачи о минимуме двойного интеграла. Изв. АН СССР, 1933, №5.

4 Еременко С.Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел. - X. Изд-во Основа при Харьк. Унте, 1991.-272 с.

В диссертации последовательно рассмотрены следующие вопросы:

В первой главе на основе вариационной постановки краевых задач механики твердого деформируемого тела в перемещениях исследуется вопрос о возможности представления решения в виде ортогональных кинематических подпространств.

Во второй главе исследуется минимизирующая система функций, позволяющих обеспечивать приближенное выполнение разрешающих уравнений и естественных граничных условий в рамках вариационной процедуры.

В третьей главе на основе метода ортогонализации кинематических состояний предлагается алгоритм построения приближенных решений ряда прикладных задач механики деформируемого твердого тела, механики разрушения.

Основные результаты, полученные в диссертации, можно сформулировать следующим образом:

1. Предложен общий алгоритм построения ортогональных кинематических состояний в энергетической норме для вариационных постановок, соответствующих моделям различной сложности.

2. Построены и исследованы свойства минимизирующих последовательностей, позволяющех выполнить в среднем естественные граничные условия при минимизации функционала.

3. Предложен алгоритм построения аналитических решений в канонических областях с заданной точностью для моделей общего вида. В качестве примера приводится решение обобщенной бигармонической краевой задачи в прямоугольной области со статическими граничными условиями.

4. На основе ортогональных разложений кинематических состояний предложен алгоритм приближенного вычисления эффективных жесткостей.

5. Предложен алгоритм редукции исходной многомодульной модели среды к последовательности более простых моделей. При этом возможно понижение порядка вспомогательных задач.

6. Для тел с конечным числом трещин предложен алгоритм определения коэффициентов интенсивности напряжения, основанный на выделении ортогональных кинематических сингулярных состояний.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Для моделей достаточно общего вида развита вариационная схема разложения решения на ортогональные подпространства, одно из которых определяется линейной оболочкой заданной конечной линейно-независимой системой функций; Процедура разложения основана на требовании отсутствия перекрестных членов в выражении' потенциальной энергии.

2. Показано, что для заданной, конечной системы кинематических состояний (системы вектор-функций) всегда существует такая их линейная комбинация, что имеет место указанная ортогонализация, и энергия деформации представима в аддитивной форме.

3. Указана структура кинематических состояний в подпространстве, ортогональном» подпространству линейной оболочки заданных состояний.

4. Показано, что коэффициенты определяющие ортогональное подпространство обеспечивают соответствующие разложения и объемных и поверхностных распределенных нагрузок.

5. Изучена последовательность минимизирующих функций, позволяющих в процессе минимизации функционала Лагранжа приближенно удовлетворить разрешающему уравнению и естественным (статическим) граничным условиям. В качестве такой системы -функций для прямоугольных областей рассматриваются гармонические функции, которые не обращаются в ноль на границах области вместе со своими производными. Эта система функций определяется с точностью до вещественного параметра.

6. Исследованы свойства неортогональной системы функций (обобщенная ортогональность, достаточные условия сходимости разложения функции по этим системам, сходимость минимизирующих последовательностей). Показано, что несмотря на то, что системы функций, составленные из производных этих функций, не ортогональны, коэффициенты Фурье в разложении по этим системам находятся точно.

7. Установлено, что использование гармонических неортогональных систем функций в процедуре минимизации функционала Лагранжа также позволяет точно найти' коэффициенты разложения искомого решения в ряды по: этим системам функций через интегральное преобразование Фурье.

8. Предложен приближенный способ вычисления коэффициентов в виде простых алгебраических выражений (в явном виде для любого члена ряда). Для тестовой-гармонической задачи исследуется численная сходимость решения-к граничным условиям, дается численная оценка погрешности в зависимости от параметра, определяющего заданную систему функций.

Приводятся примеры использования процедуры ортогонализации кинематических состояний для приближенного решения некоторых прикладных задач.

9. Предлагается алгоритм построения последовательности приближенных решений, в котором решение каждого последующего приближения ищется из подпространства ошибок предыдущего приближения. Особенности алгоритма заключаются в том, что коэффициенты в разложении искомого решения на каждом шаге приближения находятся по одним и тем же: формулам. Корректируются лишь выражения: работы внешних сил . с учетом: решения предыдущего приближения. Показано, что в случае канонических областей может быть реализовано сжимающее отображение.

10. Предложен алгоритм приближенного определения эффективных жесткостей. При этом амплитудный коэффициент, при> исследуемом векторе перемещения; трактуется как податливость, соответствующая выбранному перемещению. При; вычислении эффективной' жесткости (податливости) на каждом шаге приближения используется> алгоритм уточнения; потенциальной энергии деформации. На примере показано, что уже в первом приближении; предложенный алгоритм дает результат, хорошо приближающий точное решение. Первое приближение дает погрешность, непревышающую 7%, второе - 4%.

И. Предложен алгоритм построения частных решений, связанных с заданной» изменяемостью кинематических состояний с использованием ■ процедуры ортогонализации. При этом вариационная процедура позволяет корректно определить граничные условия для частных моделей, для - которых разрешающий- оператор имеет порядок. меньше,, чем в. исходной, общей задаче. Алгоритм позволяет отыскивать частные решения для многомодульных сред.

12. Предложен метод приближенного: определения коэффициентов интенсивности1 напряжений в задачах механики разрушения, основанный на представлении решения в форме прямой суммы ортогональных кинематических подпространств, включающих, соответственно, сингулярную и регулярную составляющую * решения. Метод позволяет приближенно определить коэффициент интенсивности для конечного тела с конечным? числом трещин (конечного числа особенностей). Для этого достаточно знать асимптотики сингулярных решений в окрестности особенностей.

13. Получены приближенные формулы для? определения коэффициентов интенсивности для гармонической» и: бигармонической задач5 механики разрушения? (с гармоническим и бигармоническим оператором). На- примерах показано, что полученное приближенное решение хорошо согласуется с имеющимися в литературе решениями.

1. Александров В.M., Коваленко Е.В. Задачи механика сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986.334 с.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. 1989, Наука, М.

3. Бабешко В.А. Среды с неоднородностями (случай совокупностей включений и трещин). — Известия РАН. Механика твердого тела, 2000, № 3, с. 5-9.

4. Березин А:В. Влияние повреждений на деформационные и прочностные характеристики твердых тел. М.; Наука. 1990.135 с.

5. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. -М.: Машиностроение, 1980. 375 с.

6. Ванин Г.А. Микромеханика композиционных материалов. Киев: Наукова думка, 1985.-304 с.

7. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. -Машиностроение, 1988.-272 с.

8. Векуа ИН. Новые методы решения эллиптических уравнений, М.:— Л., 1948;

9. Владимиров В. С. Уравнения математической физики, М., 1967.

10. Ворович НИ. Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек. Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Выпуск 3. 1964.

11. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи » теории упругости. М.: Наука, 1974, С. 456.

12. Галёркин Б.Г. Стержни и пластинки. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок, "Вестник инженеров", 1915, т. 1, № 19, с. 897908.

13. Гельфанд ИМ., Фомин C.B. Вариационное исчисление. М., Физматгиз, 1958.

14. Голъдштейн Р.В., Осипенко Н.М. Разрушение и формирование структуры. — ДАН, т. 240 (1978), 829-832.

15. Григолюк Э.И., Филыитинский JI.A. Регулярные кусочно-однородные структуры с дефектами. М.: Наука, 1994. - 336 с.

16. Дудченко A.A., Лурье С.А:, Образцов И.Ф. Анизотропные многослойные пластины и оболочки. Итоги науки и техники, сер. Механика деформируемого твердого тела,т. 15, 1983, С.3-68.

17. Зверяев ЕМ Декомпозиционные свойства принципа сжатых отображений в теории тонких упругих оболочек //ИПРИМ РАН, Механика композиционных материалов и конструкций. 1997. т.З. N 2. с.3-19.

18. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. Т. 1,2. Из-во МГУ, 1985.

19. Костарев A.B. Применение соотношений расширенной ортогональности к решению краевых задач теории упругости. // Изв. АН Арм.ССР. Сер. механика. 1973. Т. 26. No 1.С. 15-24.

20. КаландияА.И. Замечания об особенности упругих решений вблизи углов. // ПММ. 1968. Т. 33. Вып. 1. С. 132-135.

21. Канторович Л.В. и Крылов В. И. Приближённые методы высшего анализа^ 5 изд.,. Л.-М., 1962.

22. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с. коническими или угловыми точками. Труда моек. мат. об-ва. 1967, т. 16, с. 209292.

23. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т. 1, т.2. М., ГТТИ, 1951.

24. Лаврентьев М. А., Люстерник Л.А. Курс вариационного исчисления. М.-Л. ГИТТЛ, 1950.

25. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. Гостехиздат, M., 1950.

26. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.

27. Лютцау В.Г., Махутов Н.А., Полипов А Н. Проблемы и перспективы применения композитов в машиностроении // Машиноведение. 1988. - № 2. -С. 3-12.

28. Мазъя В.Г., Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Об асимптотике решений задачи Дирихле в трехмерной области с вырезанным тонким телом. ДАН СССР. 1981, г. 256 №1, с. 37-39.

29. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач вблизи • конических точек. Докл. АН СССР,.1974, т. 219, №2, с. 286-289.

30. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике, 2 изд., М. Л.', 1970.

31. Михлин С.Г. Погрешности вычислительных процессов. Институт прикладной математики имени акад. Векуа, Тбилиссского государственного университета,1983, с. 260.

32. Михлин С.Г. Проблема минимума квадратичного функционала. Гос. изд-во технико-теоретичекой лит-ры, М.-Л.Д952. -с.216.

33. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. 1966.432 с.

34. Михлин С.Г. Курс математической физики. / С.Г. Михлин.- 2-е изд., стереотип. -СПб.: Лань, 2002. 575 е.: ил.

35. Морозов Н.Ф: Избранные двумерные задачи теории упругости. Л.: 1980.

36. Морозов Н.Ф., Паукшто Дискретные и гибридные модели механики разрушения. Л.: 1995

37. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения, 3 изд., М., 1968.

38. Образцов И.Ф., Васильев В.В., Бунаков В.Н. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материавлов. М.: Машиновтроение, 1977. - 144 с.

39. Овчинский А.С. Процессы разрушения копмозиционных материалов: имитация' микро-макромеханизмов на ЭВМ. М.: Наука, 1988 - 278 с.

40. Попкович П. Ф: Теория упругости. М.-Л.: Оборонгиз. 1939. 640 с.

41. Попкович П.Ф. Два вопроса теории изгиба тонких упругих плит. // ПММ. Т. 5. Вып. 3. 1941. С. 359-374.

42. Попкович П.Ф: Об одной форме решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной полосы. // Доклады АН СССР. 1940. Т. 27. N0 4.

43. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука. 1982.342 с.

44. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов.- М.Ж Из-во Моск. Ун-та,1984. -336 с.

45. Полипов А.Н., Работное Ю.Н. Развитие расслоений при сжатии композитов // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1983.-№ 4. -С. 166-171:

46. Прокопов В.К. Обзор работ по однородным решениям теории упругости и их приложениям; // Труды ЛПИ. N0 279. С. 31-46.

47. РогачеваН.Н. Об условиях типа Сен-Венана в теории пьезоупругих оболочек. ПММ, 1984, Т.48, N2, с.302-306.

48. Седов Л.И. Математические методы построения новых моделей сплошных сред.// Успехи математических наук. Т.ХХ, вып.5 (125), 1965,121-180.

49. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. M.-JI. Гостехиздат. 1947 г.

50. Тарнополъский Ю.М., Розе A.B. Особенности расчета деталей из армированных пластиков Рига: Зинатие, 1969. - 275 с.

51. Тимошенко С.77. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1979. 560 с.

52. Тихонов А. Н., Самарский А: А. Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966.

53. Трефтц Е. Математическая теория упругости, (под. общей ред. А.И.Лурье) 1934.

54. Тучкова Н.П. Об определении проекций решений краевых задач на заданное линейное подпространство функций. М.: ВЦ РАН 2003, 32 с.

55. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. Наука, М., 1974,' 640 с.

56. Федорюк М.В. Асимптотика решения задачи Дирихле для ? уравнения Лапласа и, Гельмгольца во внешности тонкого > цилиндра. Известия АК СССР, сер. математика. 1981, т. 45, с. 167-186.

57. Филин А.П. Приближенные методы анализа. Л.: Изд-во лит-ры по строительству, 1971.

58. Яновский Ю.Г, Образцов И. Ф: Некоторые аспекты компьютерного моделирования структуры и микромеханических свойств перспективных полимерных композиционных материалов.- Физическая мезомеханика, Т 1, № 1 1998 С. 135-142.

59. Bueckner Н.Р. A novel principle for the computation of stress intensity factor. Z. angew. Math. Mech. 1970. vol. 50, p.529-546.

60. Friedrichs К. On the boundary-value problems of the theory of elasticity and Korn's inequality, Ann. Math. 48, № 2.1947.

61. Lurie S., Tuchkova N., Belov P. The application of the Multiscale Models for description ■ of the Dispersed composites. 7th International Conference on the Deformation and Fracture of Composites. The university of Sheffield, 2003 .

62. Lurie S.~, Belov P;, Volkov-Bogorodsky D., Tuchkova N. Nanomechanical modeling of the nanostructures and dispersed composites //Int. J. Computational Materials Science 28: (2003) 529-539.

63. Rice J.R. Some remarks on elastic crack-tip stress fields. Int. J. Solids Structures, 1972, vol.8, № 5, p.751-753.

64. Ritz W., Über еще neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der, mathematischen Physik, "Journal für die reine und angewandte Mathematik", 1909, Bd 135.

65. Rogacheva N. The Theory of Piezoelectric shells and plates. CRC Press, Roca Raton, Ann Arbor, London, Tokyo, 1994,; 260 p.

66. Zveriaev E.M., Karpov A.I. Connection between the contraction mapping principle and asymptotic deformable bodies // Proc. of Second Int. Conf. "Asymptotic in Mechanics. Sankt-Peterburg, 1997, p. 293-298.

67. Zveriaev E.M. Qualitative Method for the evaluation of stresses in thin shells.//Proc. Int. Colloquium on Light Weight Sructures in Civil Engineering. 30 Nov.-4 Dec., 1998, Poland, Warsaw.