Особые периодические решения квазиоднородных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

0 /Г.М?

о/*

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

ОСОБЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ

01.01.02. Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи

ЧУРИН

Юрий Васильевич

Санкт-Петербург

1998

« р е % и д и у м ВАК Р эсси и

ВВЕДЕНИЕ

В качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений за метную роль играют задачи об исчезновении и появлении периодически: решений при изменении параметров системы. По самой своей природе эт! задачи относятся как к теории колебаний, так и к теории бифуркаций, 1 по этой причине имеют также важное прикладное значение.

Рассмотрим систему

правая часть которой непрерывна, удовлетворяет условию единственности и периодична по 2

Допустим, что система (1) имеет ы—периодическое решение х = /л), непрерывно зависящее от параметра ¡1 Е (¿¿о,/^), но непродолжимое с сохранением непрерывности за точку до- Говорят в этом случае, что периодическое решение ^(^Я) исчезает при переходе параметра ¡1 через /¿о- Само значение ¡1$ обычно называют бифуркационным значением параметра.

Наиболее изученным является случай, когда периодическое решение исчезает, оставаясь в ограниченной части фазового пространства. При исследовании этого случая чаще всего используется классический метод малого параметра в сочетании с методом преобразования Пуанкаре или методом точечных отображений.

Менее изучен случай, когда этого не происходит, то есть, когда для любого фиксированного а > 0 график исчезающего периодического решения ф{Ь, имеет точку в множестве

(1;

2 + и>, д) ~ Х(х, ц).

(2)

И„ = {(¡М) е К" х К : ||х|| >сг}

при каком-либо значении параметра, сколь угодно близком к /¿о-

Если реализуется второй из указанных случаев, то следуя В. А.Плиссу [1], будем говорить, что периодическое решение исчезает, уходя в бесконечность При ¡1 —+ /J.Q.

Возникающие при изучении этого случая трудности связаны прежде всего с тем, что множество всех точек (#,£) G Rn х К таких, что

х = lim ty{t,iik) Для какой-либо последовательности {ßk}i стремящейся к

/¿о, должно содержать (если оно непусто) графики решений системы (1) с [1 — /¿о, непродолжимые на отрезок, длина которого равна периоду и. Отсюда, в частности, следует, что амплитуда уходящего в бесконечность периодического решения неограниченно растет при /л —► /¿о- Таким образом, по своей природе описанное явление имеет характер резонанса. По этой причине мы называем резонансным множеством уходящего в

бесконечность периодического решения '0(t, /х). Как уже отмечено выше, на резонансном множестве обязательно присутствуют точки, в которых преобразование Пуанкаре не определено.

Стимулом к более детальному изучению явления, связанного с уходом периодического решения в бесконечность, явилась уже упомянутая выше статья В. А. Плисса [1 ] (более подробное изложение приведенных в ней результатов имеется в монографии [2]), в которой исследован вопрос о максимально возможном числе си—периодических решений у скалярных уравнений вида

где рх,... ,рт — лишцицевы функции, имеющие и своим периодом. Было выяснено, что в случае т^ 4 изменение количества периодических решений у уравнения (4) при изменении его коэффициентов рг,... ,рт вызвано переходом графика какого-либо из его периодических решений в комплексное пространство (х,/) 6 С х К, а затем уходом этого решения в бесконечность. При этом было доказано, что резонансное множество исчезающего

(4)

периодического решения является графиком так называемого особого периодического решения. Ясно, что при обратном изменении коэффициентов Р\) - • • ,Рт ИЗ особого периодического решения будет "рождаться" периодическое решение уравнения (4).

Непосредственным продолжением результатов статьи [ 1 ] явилась работа А. П. Бегуна [ 3 ], в которой доказано отсутствие внутренних точек в множестве уравнений вида (4)ст) 4, обладающих особыми периодическими решениями.

Другим направлением, обобщающим упомянутые результаты В. А. Плисса, явились работы его учеников, касающиеся установления условий существования периодических решений, изучения их исчезновений и выясненния роли особых периодических решений систем их

— = Х(х,1)у Х(х^ + со) ~ (ж,*) емих1, (5)

и> 6

близких в окрестности бесконечности (т.е. в областях ЛС, определяемых равенством (3)) к однородной системе

и Т

^-РЫРМ-х-.РЫРес^т. (6)

Близость систем (5) и (6) определяется условием

||Х(Ж,0-Р(х)|К||Ж|Г-М(||х||), (7)

где М(г) — непрерывная неотрицательная функция, стремящаяся к нулю при г —> +оо.

В случае п = 2ип = 3 отметим прежде всего работы О. А. Иванова [ 4,5 ] и Ю. В. Чурина [6,7]. Немаловажную роль в их исследованиях сыграли результаты Р. Е. Гомори [8,9] о поведении решений квазиоднородных систем.

Диссертация посвящена вопросу об исчезновении периодических решений, вызванном их уходом в бесконечность, в классе X = систем, близких к простой однородной степени т > 1 системе (6)

произвольной размерности п. Для определения простой однородной системы целесообразно ввести в Rn \ {О} обобщенные сферические координаты

г = ||х|1, ^ = (8)

Хорошо известно, что в этих координатах система (6) принимает вид

§ = г»<ЗД, f = (9)

где G{(p) - {<р,Р((р)), F(ip) = P(ip) - (ip,P((p))ip, (•,•} — скалярное произведение в IR™.

Наряду с (9) рассмотрим систему

^ = F(<p), <р Е 5»"1, (10)

задающую касательное векторное поле на сфере Sn~l.

Определение 1. Однородную систему (6) будем называть простой, если а) в Rn \ {О} она не имеет ни точек покоя, ни замкнутых траекторий; б) система (10) является системой Морса-Смейла на Sп~1 1.

Пусть Q — множество всех неблуждающих траекторий системы (10). Вводя в рассмотрение числа

^ = г!Тоо 7fjGm)dr (11)

где £(r), г Е М — движение по траектории ( G О, легко убедиться, что требование а) в определении 1 можно заменить на a') z/(£) ф 0 при любом £ Е О.

Обозначая систему (5) ее правой частью, будем писать X Е X — Х(сj,M,P), если X непрерывна на Mn х R, всюду удовлетворяет условию единственности и на некотором множестве Afa справедлива оценка (7). Определяя расстояние между системами Х\ и равенством

dist (Xj, Xj) = sup (12)

1 Относительно систем Морса-Смейла см., например, [10-12].

мы превращаем X в метрическое пространство.

Диссертация состоит из шести глав и по содержанию разбивается как бы на две части, первую из которых составляют главы 1, 2 и 3. Основной целью этой части является исследование поведения решений системы X £ X в окрестности бесконечности, т. е. в множествах На при а достаточно большом. Необходимость такого исследования обусловлена тем, что части уходящего в бесконечность периодического решения ¡л) обязательно попадают в это множество и что резонансное множество 7Z(ip) пересекается с любым Л/*сг. Объединяя ради краткости основные результаты, полученные в этих главах, сформулируем их следующим образом: если (6) является простой однородной системой, то можно указать числа р\ и р2 (р2> рг) и попарно непересекающиеся окрестности О(^) С 5n_1 траекторий Ç G П такие, что справедливы следующие утверэюдения.

Утверждение 1 (теоремы 1. 2.1, 1.3.7 - 1. 3.12, 2.1. 2, 2. 2.102. 2.13, 2.3.1, 2. 3.3). Пусть ï/(£) > 0. Тогда любое решение системы X Е X, начинающееся в области

D(0 = j(*,f) 6RBxR : |М| > Pu G 0(0 j

при убывании t покидает его, a множество Г/0С(£,Х) решений, остающихся в !?(£) при возрастании t, непусто, и каждое из этих решений уходит в

бесконечность при конечном значении t.

Аналогичное утверждение, но с изменением направления t на противоположное, имеет место и в случае z/(£) < 0.

Утверждение 2 (теорема 3.1.10). Любое решение x(t) системы X G X, начинающееся в множестве

H = AfPl\{JD(()

покидает его как при возрастании, так и при убывании t. При этом, если в начальный момент ||ж(£о)|| > Р2, то, покидая Н, решение попадает в U

и если D(p) и D(q) — те две области, в которые решение входит соответственно при убывании и при возрастании i, то в диаграмме системы (10) имеется связь р —» q 2.

Утверждение 3 (теорема 3.2.3). Пусть x(t), t £ (cv, /3) — максимально продолженное решение системы X £ X. Если ||ж|| —> +ос при t —>• /3, то Р < +оо и существуют число £ > 0 и неблуждающая траектория q £ = {<!; £ О : > 0} такие, что (x(t),t) £ D(q) при Vi £ {(3-£,f3).

Аналогичное утверждение справедливо и в случае, когда ||ж|| —» +оо при t а. Но тогда q £ = £ £1 : i/(f) < 0}.

Утверждение 4 (теорема 3.2.4). Какое бы е > 0 ни взять, найдется число а > 0 такое, что время пребывания любого решения системы X в области Ма будет меньше е.

Легко видеть, что утверждение 1 по существу является теоремой о существовании положительно интегрального множества Г/ос(£, X) в окрестности исключительного направления (если £ — точка покоя) или в окрестности исключительного конуса (если £ — замкнутая траектория) квазиоднородной системы X. Теория интегральных множеств детально разработана (см., например, монографию В.А.Плисса [13]. Одной из классических теорем существования такого рода является теорема Ляпунова—Перрона. Ввиду того, что мы не требуем липшицевости правых частей системы (5), в диссертации при доказательстве существования Г/ос(£, X) используется топологический принцип Важевского [14]. Теоремы 1.4.2 и 2.3.6 диссертации показывают, что если на правые части рассматриваемых систем наложить условия Липшица, то множество Г/ос(£, А") из утверждения 1 окажется (2 + dimH/s(£))—мерным многообразием.

2 Это означает, что траектории р ш q лежат в 1), различны и неустойчивое многообразие У/и{р) траектории р пересекается с устойчивым многообразием ^(д) траектории д.

В дополнение к выше изложенному следует заметить, что в математической литературе вопрос о поведении решений однородных и близких к ним систем весьма полно изучен. Кроме упомянутых выше статей P.E. Гомори [8,9] отметим также работы: Г.Е.Шилов [15], В. В. Немыцкий, В.В. Пот-лов [16], Р.М.Минц [17], А. А. Шестаков [18-21], Л.Э.Рейзинь [22-25], К. Коулмен [26], И.З.Маневич [27,28], Е.А.Назаров [29], М. А. Красносельский, П. П. Забрейко [30], Г.С.Осипенко [31], Э.Мухамадиев [32] и М.И.Камачо [33-35]. Список можно существенно продолжить. Заметим, однако, что основная масса работ, затрагивающих упомянутую проблему, посвящена автономному случаю. В тех же статьях, в которых рассматриваются неавтономные системы, доказательство существования множества Г/0С(£,Х) проводилось, как правило, лишь вблизи исключительных направлений. Кроме того, поведение решений в области int Н, не содержащей исключительных множеств, оказывалось недостаточно изученным (по крайней мере для наших целей).

Переходя к содержанию оставшейся части диссертации, состоящей из глав 4, 5 и 6, введем понятие особого периодического решения. Отметим, что согласно утверждению 3 всякому максимально продолженному решению x(t) системы X Е X, определенному на ограниченном интервале т. е. такому, что ß — а < +оо, можно поставить в соответствие пару {р, q} € х П+ неблуждающих траекторий системы (10), таких, что

при некотором е > 0.

Из утверждения 1 следует, что условие (13) определяет траектории р и д однозначным образом. Ради краткости, это условие будем записывать в виде

Определение 2. Особым периодическим решением системы

для Vi Е (от, а + е) для Vi G (ß-£,ß)

(13)

X НЧ-

{p,q} х

X G X — X{uj,M,P) называется а;—периодическая функция h(t), имеющая на периоде конечное число точек разрыва to < t\ < ... < ts = to + си, и такая, что

1) функции h]c(i). являющиеся сужениями функции h(t) на интервалы (tk-i,tk), являются максимально продолженными решениями системы X при к = 1,2,..., s;

2) в диаграмме системы (10) имеются связи

qi Р2, 42 РЗ, • • • , Qs-l Ps, qS Ps+l = Pi, (14)

где pk и qk определяются соответствиями

hk {рк, Як} G О" х = 1,2,..., s).

Наличие связи q^ —» pk+\ из (14) будем называть условием согласованности в точке разрыва tj..

Важность введенного понятия проясняет прежде всего следующий результат главы 4.

Утверждение 5 (теорема 4.3.1). Пусть каждая из систем последовательности С X имеет периодическое решение фп(£). Если

lim^Xn = Xq 6 X и существует t* 6 М такое, что ^imj|^>n(i*)|| = +оо, то из последовательности {фп} можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к особому периодическому решению системы Xq.

Далее в главе 4 исследуется вопрос об исчезновении периодического решения системы (1), вызванного его уходом на бесконечность, при условии, что при любом фиксированном ¡л £ К. эта система принадлежит пространству Х(ш,М,Р). Следующие два утверждения описывают структуру резонансного множества решения ф{1,, ¡i).

Утверждение 6 (теорема 4.3.9). Если периодическое решение ф^, р), (t, ¡i) £ К х (^о, Hi) системы (1) исчезает, уходя в бесконечность при fi —> (1q, то в его резонансном множестве Р,(ф) лежит хотя бы одно особое периодическое решение системы Xq = (l),x=IMy

Утверждение 7 (теорема 4.3.10). Если выполнены условия предыдущего утверждения, то через любую точку множества Т1(ф) проходит либо периодическое (периода и>), либо особое периодическое решение системы Хо.

В конце главы 4 приводятся некоторые достаточные условия отсутствия подобного рода исчезновений.

Утверждение 8 (теорема 4. 4. 2). Если в диаграмме системы (10) отсутствуют связи вида

д-^р: (р,д) х (15)

то ни одно из периодических решений системы (1) не может исчезать, уходя в бесконечность.

Утверждение 9 (теорема 4.4.3). Существует число с0 — сд(М, Р), такое, что, если период со правой части системы (1) удовлетворяет неравенству

ш < 2с0, (16)

то ни одно из ее о;—периодических решений не может исчезать, уходя в бесконечность.

Отметим существенное отличие между этими двумя условиями отсутствия исчезновений периодических решений. При выполнении условия (16) может происходить исчезновение ки—периодического решения, где к достаточно большое натуральное число. При выполнении же условия (15) это невозможно.

Утверждение 10 (теорема 4.4.5). Пусть выполнено условие утверждения 8. Тогда существует константа А, такая, что для всякого продолжимого на всю вещественную ось К решения х(£) любой системы А" £ А' справедлива оценка

' 8ир||а:(*)||^А (17)

¿€Ж

и

Следует отметить, что если в диаграмме системы (10) отсутствуют связи вида (15), то однородная система (6) не имеет ненулевых ограниченных решений. По этой причине утверждение 10 является частным случаем следующей теоремы.

Теорема. (О. А. Иванов, Ю. В. Чурин [ 36, теорема 1 ]) Если система (6) не имеет ненулевых ограниченных решений, то существует число А\. такое, что для любого глобально продолжимого решения х(€) системы (5). удовлетворяющей условию (7), справедлива оценка

вир ^ А\. (18)

teш

При этом требование периодичности правой части системы (5) является излишним.

Как отмечено в [36], различие между последней теоремой и утверждением 10 (как следует из их доказательств) состоит в том, что оценка (18) в отличие от оценки (17) не является эффективной.

В главе 5 изучаются особые системы.

Определение 3. Система X £ X называется особой, если она обладает особым периодическим решением.

Сформулируем основные результаты этой главы, обозначая через Во множество всех особых систем.

Утверждение 11 (следствие 5.1. 2). Существует натуральное число (I такое, что всякое особое периодическое решение любой системы X £ Во имеет на периоде не более й точек разрыва.

Утверждение 12 (теорема 5.1.3). Во является замкнутым подмножеством пространства X.

Обозначим через Вк (к £ Лг) множество всех систем из X, имеющих особое периодическое решение, у которого число точек разрыва на периоде больше к.

Утверждение 13 (теорема 5. 2.2). Если в диаграмме системы (10) нет цепочки —» £2 —* £з £4 такой, что t>(£i) и положительны,

а ^(£2) и ^(£4) отрицательны, то Ви является замкнутым подмножеством пространства X при любом натуральном к.

В главе 6 мы возвращаемся к вопросу об исчезновении периодических решений.

Определение 4. Пусть периодическое решение (t, р) Е К х (/¿o,//i) системы (1) исчезает при переходе параметра р через /¿о- Будем называть это исчезновение простым, если для любого t Е М существует конечный или бесконечный предел lim ifj(t,p). (Этот предел мы называем бесконечным, если р)\\ +оо при р, —> pq.)

Очевидно, что условие (У"о) Для некоторого to Е R существует конечный или бесконечный предел Jim /i)

является необходимым условием простого исчезновения. Если исчезновение происходит в ограниченной области фазового пространства, то это условие является и достаточным. Иначе обстоит дело в случае, когда периодическое решение исчезает, уходя в бесконечность. Выяснение причин этого и является основной целью главы 6.

Отметим основные результаты.

Как и раньше, мы предполагаем, что система (1) при любом фиксированном р принадлежит простраству X — X(üj,M, Р). Пусть ее периодическое решение ip(t, /г), Е М х (/¿о,/^) исчезает, уходя в бесконечность при

Р (IQ.

Утверждение 14 (теорема 6.1. 2). Решение ф(1;, р) имеет простое исчезновение тогда и только тогда, когда его резонансное множество Л(ф) является графиком особого периодического решения системы (1)^-^.

В двух следующих утверждениях дополнительно предполагается, чтс система (1) удовлетворяет условию Липшица по ж и t.

Утверждение 15 (теорема 6.1. 4 ). Пусть выполнено условие (Yq) Тогда для того, чтобы периодическое решение имело простое исчезновение достаточно, чтобы в диаграмме системы (10) не было двух связей вида

qi ~+Pi ■ v{qi) > 0, v{pi) < 0, dim W8(qx) ^ 1. (19;

q2->p2 : v(q2) > 0, v(p2) < 0, dim Wu(p2) ^ 1. (20]

(Случаи qi = q2 и p\ = p2 не исключаются.)

Утвержден�