Оценка области притяжения в критических случаях теории устойчивости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

5 ГБОД-

1 6 ОКТ 1335

На правах рукописи

КАЛИНИНА Мария Витальевна

ОЦЕНКА ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ В КРИТИЧЕСКИХ СЛУЧАЯХ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

01.01.02. Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1995

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор, член-корреспондент Российской Академии наук ПЛИСС Виктор Александрович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор РОЗОВ Николай Христович;

кандидат физико-математических наук, доцент ТОКАРЕВ Сергей Петрович.

Ведущая организация — Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.

Защита состоится 2- И-Си^^Р 1995 года в 13 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 063.57.30 в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Петродворец, Библиотечная площадь, д. 2. Математико-механический факультет.

Ауд. 4526.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им.М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9.

Автореферат разослан _ 22. од.

_ 1995 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 063.57.30

Ю.А.Сушков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ

В классических задачах устойчивости движения весьма существенную роль играет оценка области притяжения нулевого решения. Эта оценка гарантирует величину начального возмущения, при которой возмущенное решение остается в малой окрестности начала и стремится к нулю при возрастании времени. В тех случаях, когда удается построить функцию Ляпунова, обеспечивающую асимптотическую устойчивость нулевого решения, сама по себе эта функция позволяет получить такого рода оценку. В классических случаях Ляпунова одного нулевого и двух чисто мнимых корней сам А.М.Ляпунов указал функции, обеспечивающие асимптотическую устойчивость. Эти функции, разумеется, позволяют оценить область притяжения. Однако, такие оценки существенно зависят от номера шага, на котором появляется ляпунов-ская константа д.

В настоящей работе строится функция Ляпунова, позволяющая дать универсальную, не зависящую от номера шага, оценку.

ЦЕЛЬ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Целью работы является построение универсальной оценки области притяжения.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

В работе используются классические методы теории устойчивости движения, а также методы теории аналитических функций многих переменных.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

В диссертации впервые дается универсальная оценка области притяжения, не зависящая от номера шага процесса Ляпунова.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ

Результаты диссертации могут найти применение в многочисленных проблемах теоретической механики, связанных с устойчивостью движения.

АПРОБАЦИЯ

Основные результаты диссертационной работы докладывались на заседаниях научных семинаров кафедры дифференциальных уравнений математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения и трех глав. Объем работы — 120 страниц. Библиография содержит 32 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение состоит из обзора содержания диссертации.

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней рассматривается случай, когда матрица линейного приближения гурвицева, строится соответствующая функция Ляпунова, важная для дальнейшего.

Во второй главе рассматривается случай одного нулевого собственного числа матрицы первого приближения. Именно, рассматривается система дифференциальных уравнений

х = Х(х,у)

у = Ay + Y(x,y), {Ч

где х, Х(х,у) — скаляры, y,Y(x,y) — n-мерные вектор-столбцы с компонентами у,, Yi соответственно, все собственные значения матрицы А имеют отрицательные действительные части и А имеет вещественный канонический вид. Ряды, представляющие скаляр X и компоненты вектора У, начинаются с членов не ниже второго измерения, абсолютно сходящихся при |гс| < г, |j/| < г.

Хорошо известно, что существует такая постоянная М > 0, что ряды X и компоненты вектора Y мажорируются прогрессией

к+к1 + ...кп> 2 Vr/ К Г J \rJ

Замена переменных

У = F(x),

где F(x) есть решение уравнения Ay -+- Y(x, у) = 0, приводит систему (1) к виду

х = Х(х,у) . .

z = Az ■+ Z(x, z). ( >

с

По матрице А можно указать такие числа М\ и гх, что в новой системе (2) ряды, представляющие X и Z, будут мажорироваться прогрессией

к+к1^...кп>2 \Г1/ \Г х/ \Г Х)

Ляпунов показал, что система (2) имеет следующие свойства.

Пусть Х(ж, 0) = дхт -{-..., т.е. ряд, представляющий Х(ж,0), начинается со степени т, тогда

Я,-(®,0) = д&'п+1 + ...,

т.е. ряды, представляющие начинаются со сте-

пеней не ниже (т + 1)-ой.

Ляпунов доказал, что если га = 2к или т = 2к + 1 и д > 0, то нулевое решение неустойчиво, а если т. = 2к +1 и д < 0, то нулевое решение асимптотически устойчиво. Только этот последний случай и рассматривается.

Доказательство Ляпунова факта асимптотической устойчивости опирается на функцию, зависящую как от д, так и от т. Таким образом, если для оценки области притяжения использовать эту функцию, то оценка будет зависеть как от д, так и от т. Однако, удается построить такую функцию Ляпунова, которая не зависит от тп, и это позволяет найти оценку области притяжения, не зависящую от тп. Точнее говоря, справедливо следующее утверждение. ТЕОРЕМА 1. Существует функция

Р(А,М,д,т) > О

такая, что если постоянная Ляпунова д < 0, а тп — нечетно, то шар

{*2 + И2</з}

располагается в области притяжения нулевого решения.

В третьей главе исследуется случай двух чисто мнимых собственных чисел матрицы первого приближения. Рассматривается система

х = -Лу 4- Х(х, у, г) у = \х + У(х,у,г) (3)

£ = Аг + г(х,у,г),

где х, у, X, У — скаляры, г, 2 — п-мерные вектор-столбцы с компонентами г;, Z^ соответственно, все собственные значения матрицы А имеют отрицательные действительные части и матрица А имеет вещественный канонический вид. Ряды, представляющие скаляры X, У и компоненты вектора Z, начинаются с членов не ниже второго измерения и мажорируются прогрессией

к+к'+к.+.-.к^ 2 \Г/ \ Г / \Г/

Следуя Ляпунову, приведем систему (3) к виду с1р

¿8 =

— = Агг + <Э(в,р,2),

(4)

где А\ = —А, а скаляр р11(9, р, г) и компоненты векто-Л

ра (¿(9, р, г) представляются в виде степенных рядов по р и компонентам вектора г с 2ж—периодическими по в коэффициентами. Эти ряды начинаются с членов не ниже второй степени. При этом удается указать постоянные М\ и т-1, зависящие только от А, А, М и г, такие что ряды, представляющие рЯ(0, р, г) и компоненты вектора С}(в, р, г), мажорируются прогрессией

Е

+ .../:_>2 \Г, / V

к+к1 + ...к„>2

Г\1 \Г1) \Г1/

Заменой Ляпунова, система (4) приводится к следующему виду

ЛГ

ав

^ = А1г1+Н(в,С,г1).

При этом ряд, представляющий С, 0) начинается с

члена дС'\ гДе т — нечетное натуральное число, а д — постоянная Ляпунова. Ряды, представляющие компоненты вектора Н(9,£, 0), начинаются с членов не ниже (тпЧ- 1)-ой степени. Для рядов, представляющих Г(в, т/) и компоненты вектора Н(в,С,г]), удается построить мажорирующую прогрессию

£ мЛ Л

к + к1+...к„>2 \Г2/ V Г2/ \Г21

в которой Мг и г2 зависят только от А, А, М и г. Если постоянная Ляпунова д отрицательна, то начало координат асимптотически устойчиво. Здесь также строится функция Ляпунова и даются оценки области притяжения нулевого решения.

ТЕОРЕМА 2 . Существует функция

/3(\,А,М,г,д) > 0

такая, что если постоянная Ляпунова д < 0, то шар

К2 + Ы2</3}

располагается в области притяжения нулевого решения.

Таким образом, теоремы 1 и 2 дают универсальную, не зависящую от шага ляпуновского процесса, оценку.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. ЛЯПУНОВ А. М. Общая задача об устойчивости движения. Собрание сочинений, том И. М.-Л. 1956,

с. 7—264.

Основные результаты опубликованы

2. КАЛИНИНА М. В. Оценка области притяжения в критическом случае одного нулевого корня. Ред.ж."Вестн.С.-Пб.ун-та". Деп. в ВИНИТИ. 29.05.1995. N 1511-В95. 43 с.

3. КАЛИНИНА М. В. Оценка области притяжения в критическом случае двух чисто мнимых корней. Ред.ж."Вестн.С.-Пб.ун-та". Деп. в ВИНИТИ.

22 .08.1995. N2487-895. 33 с.

4. КАЛИНИНА М. В. Оценка области притяжения в критических случаях теории устойчивости движения. //В сб. научных трудов Бокситогорского филиала Ленинградского областного педагогического института. Вып. 1. С.-Петербург, 1995.