Оценки поперечников класса (пси, бета)-дифференцируемых функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Р Г Б ОД

2 НЛЦЮНАЛЬНА АКАДЕМШ НАУК VKPAÏHH 1НСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукопису

СЕРДЮК Анатолш Сергшович

ОЦ1НКИ ПОПБРБЧНИКГО KJXACIB (^,^)-ДИФЕРБНЦШОВНИХ ФУНКЦ1Й

01.01.01 — математнчннн анал'ю

Автореферат дисертаци на одобуття наукопого ступеня кандидата фюико-математичних наук

Кшв — 1995

Дисертац1ев е рукопио

Робота виконана в 1нститут1 математики HAH УхраТвм Наухошй кэр1вэик:

доктор ф1зико-математ1ГС их нвух, црофесор СТЕПАНЕЦЬ 0.1.

0ф1ц1йн1 опоненти:

доктор ф!зико-математичних наук

ITKWHMPflFR О.в. •

кандидат ф1зико-математичнкх наук ООРИЧ В.А.

Провtдня установа:

ДнЬпропетровський державний ун1верситвт.

i

Захиот в1дбудвться 9Ш " 1996 року о 16 годин! на

зас1данн1 спец1ал1зовано1 ради Д 01.66.01 при 1нотятут1 математик* HAH УкраТни аа адреоог:. 252601 Ки1в-4, МОП, вул. Терещвнк1вська,Э.

3 дисертац1ев можна ознайомитися в (ЗКЗлЮтац! 1нотнтуту. Автореферат роз!олано " & ■ 1995 р.

ВчвниА се1фвтар слвц1од1зовано1 ради. доктор ф1зико-мат8иатичних наук

ГУОАК Д.В.

ЗАГДЛЬНД ХАРАКТЕРИС'ГЖА РОБОТИ

Актуаяьн1сть теш. У робот! розглядаоться гаианвя, пов'язан! !з

„„_____ А/ „„„, „................ т-...................

ОиЧИишоНлМ / » —рдЧЩцК ои м'м« с

рзстак апрокскмативних властивоствИ клас!в функцШ у Санахових просторах, ца азначаються настушшм чином :

де зовн!шн!й ¿п( Сереться по всамохливих л!н!йних многонидах роз-м1рност! /V .

Поперечник

с/уГРТ,/)

- це величина, яка показуе , до дану мноюшу Ш. не мокна наблизити лййтщ многовидами розм!рност! N у простор! X з швидк!стю, кращою за ¿^(Ш,<Г) Тому основна роль величин з точки зору теорП

каближання, на нал погляд, полягае у тому, що<3 бути эталоном при оц!нц! апроксимативних власгавостеИ того чи Пятого апарату наблигення. Апарат тип крапзй, чим наближення, що в!н две, блгасчэ до значения

и» ш, х) .

Величина введен! А.Ы.Колмогоров®! у 1936 р.

[I], ним хэ Сули знайден! ! точн! -значения попвречник!в соболевсышх клас!в в простор! . Пхзихив стали

нивчати 1 1нш! подЮн! характеристики, !нш! поперечники (л1н!йн!, проекц!йн!, поперечники по Гельфанду, по Бернштейну та !н.).

ОсобливиЯ 1нтерео до поперечник!в клас!в фунхц!й став проявлятась, починапчи з 60-х рок!в. 3 тих п!р задач! по обчисленню точних значень поперечник!в для р!зних функц!ональнях клас!в у р!зних метриках розв'язуввлись у роботах В.Ы.Тихомирова,

U. П. Корнейчука, в.Ф.Бвбенка, О.П.Буслаева ,0.К.Куше ля, А.ОЛагунэ,

ЮЛ.Ыаковйза, В.П.Моторного, А.П1нкуса , ВЛ.Рубана, П.Ы.СубботШа, В.Т.Шввалд!на та багатьох 1нших.

Meto робота. Осноенз мета дасертацН полягае у обчисленн! точних значонъ поперечник iE d*/( ffl у вшгадках, коли у рол! наступать введен! ОЛ.Отепанвдм [2] гласи (ß )-дафарвнц1йовних функц!й L£t, та Cj?ta> в матриках в!дпов!дао L^L(та C = CLo,Mj при певншс обметаниях на VO)

У робот! вивчаетъся штання 1снування та единост! 1н?ерполяцШшх SH -сплайн 1в, що введен! О.К.Кушзелэы 13], 1а р!вшм!рнш розпод!лом вугл!в 1нтерполяд!1 у нов», ранйзо не досл!доша, ситуац!ях. Одержан! результата, в одзого боку, внкористовуються для отримання наоах!дгшх оц!нок зшзу попервчншив, е 8 1ШОГО, на наш погляд, мають самзстШшй !нторас.

У дисертацН обчиолдагься величина (JffJx - пайкрагцпх ваблшканъ агаданих вщв клас!в (V,/)-двфэрашЦаошшх функц1й триго-иоиетричнЕШ пол ¿номами Тп.{ (■) порядку ио витого, н!з n-i у раи1ша не досл!дкэкнх вшадках, що двло коглкв!сть зааЗта оцйиш вверху в!дпов1дних поперечшк!в (ffl¡X) 1 ДОЕасти точн!сть

отримашх оц!лок.

Катода доаа1дав1шя. Оцйпси знкзу попзрочнпя1а вдаеться отримата на боа! розраблапога О.К.Кушшшм аяарату . ^ -сплайнts для клас!а вгорток, породхоних ядрами, «о задоаольияють уиозу Су, ¿.-l ' яа до-покогоа в!доцах для досл!дшп£1в даяого кола садзч, кэтод!в (В.Ы.Тихомирова {4,51 то 1н.)., Для. одэрашня точнях виачвнь вэличзп! найкрщпх набляЕэнь трггойсштрпчкжо! ткористакия

класичних иетод1в розв'язання задач такого типу (розровланих

0.и.ПОюльсыст 16], В.К.Дзядаком 17}) доеднуеться 1з ólzia nlantm результатами, отримвними Нгуен Тхи Тх'еу Хоа [В].

Осяонк! угягльтатз* zp Еййййться аа загас«:

1. Знайдено оценки зниау цопэрвчник1в за Колмогорошш в pímoMíp-Hta та iHTerpajibata метриках клас!в ( v, J>)- дифэранцШовних фуик-Uíñ.HKt в ряд! конкретное ситу ад ta е точними.

2. Об числа но точн! значвння величин найкращнх каближень тригонометричними пол!номами клас!в ()-дифэренц1йовних функдШ в píBHOMipHía та 1нтегрвльн1й метриках у ранtas не розглядуваних випадках .Ц1 значвння сп!впали 1з вгаданши ввдэ оЩикамн внизу поперечникГв в1доов1дних клао!в. Таким чином, знайдено точн! значвння цнх поперечннк1в.

3. У новтос, ранЬзв не дося1днвних ситуац1ях встановден! Юнування тв един1оть 1нтерполядШшх SU -сплайн1в 1а р!вном1ршш р08Под1лом вузл!в сплайн1в та сталим асувом вуал!в ЫтерполяцН.

Наукова новизна. Отриман! результата дисертацН е новями 1 вгарше опуОлЬсован! в роботах, нерол ík яких наведено в к!нц1 автореферату.

Практична значения. ДвсертвцШа робота носить теоретичний характер. I! результата мохуть анайти заотосування для шдалывого pon-вятку теорИ íHTepnojumíT тв теорИ наблихення функц!й.

Дпробвц1я робота. Основы! результата дотов Ждались на :

- Всеукра1нськ!й конференцИ молодих вчених (Ки1в, травэнь 1994 р.);

- Трет!й ЫйиароднМ науковШ конференцИ 1м.академ1ка М.Кравчука (УкраТна, Ки1в, травень 1994 р.);

- Четверт!й М1хнародн1й науков!й конференцИ 1и.акадвм1ка М.Кравчука • (Укра1на, Ки1в, травень 1995 р.);

- оем!нарах в!дц!лу теорН функцИ 1нституту математики НАН УкраЛнл.

Пубд1кац11 • По том! дасертацН опублЬсовано 5 роб!т. РоОоти [I , 2] написан! сум!сно в науковим к0р!вником. Список опублйсавашх роб!т наводиться нижчэ.

Структура та обе яг робота. Дисертац!я складаеться 1з вступу, трьох розд!л1в, цо м!стять 8 параграф!в, списку осноених позначень та списку цктовано! л1таратури, цо ы!стить 71 найменування. Обояг робота складае 117 стор!нок машинописного тексту..

ОСВОЕНИИ ЗМ1СТ Д НСЕИОДН

У вступ! даеться стислий огляд доал!джеш>, близыскх до теки дасертацН, обгрунтовуеться актуальн!сть дисертад!йно1 теш,а такая викладаються основн! результата, щр виносятьая на захиот.

У розд!л! I ласл!дхуеться питания про 1сну2ання та

едан1сгь ЬггарполяцШшх 5Л/-сплайн1в ЬУ^Ь) ~ да

п.

роабитто А „ = /з7 -¿Л'/л} ( , тобто функцш, що в вдаться

РЙШОСТятг

^ - 0>1 , п. > деяка неперервна функц!я виду

, оо

, <- $ * */ - дов!льна посл!довн1сть дМсних чисел) I

аадовольшготь 1нтерполяц1йн1 умови

jf.fi)

в точках у^Ъ+у . > £(■) . дов1льыв 2*-

перЮдачиа неперервна функцхя.

Якщо И^*«"* , ... ,то е

гол!вом1альниш! сплайнами м!н Пильного дефекту порядку 1 дана

вадача була розв'язана при £ , мгЛУ та Дв.ДлОвргом,

Е.НЬвьооном та Дз.Уолаен [9]; при г , г*е№ Га у^/л- -

Суббот ¡шаг Й.Ы. (10].

--г

П.В.Галк1ним Ш) було доведено, що для того, щоб при ,

, г«//>»// , 1втерцоляц1йний салвйн

1снував при у =<? для дов1льно! функцП С , наобх1дао 1 доо-татньо, цоб число л розбитт!в пром!жку 10,2x1 було нэпврнкм.

б

Згодом А.А.НенсикОаев 112] роаповсвдяв цв твердження на випадои дов1льних *t№\ {ij, <f = Jr(f

Ю.М.0уббот1н [133 t незалеюга в!д нього А1л.Еенсик0аев [12} вотановшш 1снування та едайоть сплайн1в при

В.Т.ШеваддЫ [143, [15] розв'язав цроОлему 1сяуванвя i едпност!: *нтерпсшщ1йнях силайы1в при - К , Z>0 , I

= />*/* . , <?< J>< 1 , у шпадках, кола

Z°> , Щ.} f двдо ß %pe Ж j

( О, ST/n) , smpp'j/tH ,/>*Ж i

, якщо ¿tp^jKMp + l aöo bp-tX<ji<4p-t3 i%t-jf] , ямцо ебо ,^2,

а число Я вузл!в ЮТершляцИ парна. /

В загальнШ ситуацИ питания про 1сшуввння та едан1оть 1нтэрполяц1йних SA?-сшшйн!в ittfj ') досл!дауввлось

О.К.Кушэлем [3,16] у отладках у-О тв jf "T/k

У §1.Г (теорема I.I.I) доавдоя! 1шувгшня га едев1сть йкерполяцИних SM -сплайн!в ) , для функцШ

виду (1)г у якгх ^ Гх=/ - шнотошо

Гб

сзпадна пооаЗдовнЮть, у'хасгг гггэдрии;

1) i f?cMtpeI ;

Lrt :

2) - опукла вниз, ¡/ ^^/п 1 -ц

3) {т, - трич! конотоннв \

4) •{ - трт! монотонна, ^ 1

цеК , ,

о такок отрямане представления ЗА7 -сшшйн!в через

фундаиантальн! сплайна » л , тобто через

лункцИ, гр шзначаютъся умовага

Тим самим теорема 1Л.1 увагвльнке та доповнюе наведен! вище результата Дж.Алберга, Е.Шльоона , Дж.Уоляз, Е.Ы.Суббот1на, А.А.Еенсвкбаева, О.К.Кушэля та В.Т.Шевалд!на, що в!дносяться до аитвння 1снування та едшюст! розв'язку задач! р!вном!рно! БА? -оплвйн 1нтерполяц!1.

Кр!м того, . в 51Л доведено (нвол!док 1ЛЛ), що при

виконаын! п.4) теореш IЛ Л для того, щоб ?снував единнй сплайн ') для дов!льно1 функцИ fe С »то Ытарполюг II в

точках , * , $ У'2"п ' (а.

отае , з урахуванням теорем 1ЛЛ 1 1.1.2 при во1х ^ е Щ. )f необх!дно i достатньо, щоб число п. точок розбиття Лп прои!хку tO.STC] було непарним. Тим самим узвгальншться аналоПчн! твердввнгя П.В.Галк1на та А.А.Женсикбаева, ¡mi эгадувались вщв.

Результата 51Л опубл!ковая! у сум!снiñ робот! II] автора 1 наукового кер!вняка ОЛ.Ствпанца.

ЭрозумЬло, що властивост! функц!й

виду (I), а,

отжа, ! породившее ними 5/-сшшйн!в SVjifí) , суттево залажать

в!д характеру та швидкост! прямування до нуля шая1довност! í^j^.

Як показувть досл1дхення сапере дник!в, функцП f ¡ц0

/ V л ¥

входять до означения мнонин L та Cj> ? доц1пьно вибирати опуклиин

до низу i такими, що ~ ^ .

При цьому впявляеться зручним вважати, eso вначешш е

гаухениям на мношну натуральних чисал деяко! опукло!

доцизу функц'Н наперврвноги аргументу t , t-? 1 , для яко!

¿tn -о

Шохину таких функц!й Vft) шзквчавть чаров ¿ft (дшз Л 2 , 0.93]}.

Шохина Ш далеко на однор!дна по шэдаост! спадакпя до нуля Сшпщ!й yF(t) .В зв'язку з цьш при визчапн! шрокспштиЕнях влас-тшззетей juacls ¿/та ta mossüss Ш ввд!ляать п1дмно!шт Ш0 > M¿ . ¡ttM зг!дао з пасту плов характеристикой.

Haxcür *t¡fll , ¡¿(t)^^, t) -4ункц1я, поа'язана !з ч-f-J

plHHtora

Batuca в силу отрого! монтонноптt <*«hh!!í? u//y.' , г'"*'

Í-' / вияйвЧйГТТ-.СЯ C~Q2HÜ4ÜÜ:

. y'Ljnt)]

Покладвно . .

До мнохини ^ в!даооять bcí функц!!

, для кохно! 3

яких величина f*(%t) обнажена вверху деяким додатним числом (валехним в!д ^ ), до множили Sftс - bcí функцИ wtfl , для яких внаЯдутьоя так! додатн! чиопа ^< t kJ¡_ (взагал! залежн! в!д Ч> )), що <f( V/ ¿Jé (¿i <*° .до мнозшни -

boí функцИ Уб Ш , для яких /4 (Vi t) при t монотонно вростае t па обмахана вверху, тобто

Через Ш * гозначиио ынояну функц1й v* Ы таких, цо для кожво! в них величина f(V, обмвхэяа внизу деяким додатним числом (взагал! залежниы в!д V ).

Очевидно, що для мнохин Ш0 , 0С , Ша, , Ш в!рн! кшзчешш

т„итс<*м*- №csйГоЛм*:

Хз множила 37оо(зг1дао !з [2 , с. 218]) вад!ляпть п1дмножини

функц!й, для яках ty(t) ~ t обмехена зверху деяким додатниа

числом tf' (зш18ешш в1д у )

mL -í^m^i^t)**' vt*<y

У 51.2 досл1дхуються деяк! властивоот! клао!в Ш* i в ffl¿x> , як! поа•язая! !з моалав1стю представления 1х ел9кэнт1в чэрвз даяк! "характера!" для цих множин функцН. Еокраив остановлено, щ. клас Ш * складаеться 1з тих i т!льки тих функц!а $7 , дяя якпх

3 1>0 . t 3 fd) :

4>(i) = wtjt'*, г?о <2>

(теорема I.2.I); клас складаетьсп а тех 1 т!яыоз тех функцш Ч>ьШсо , для яхях 3 J> (0*f<<)t 3 : :

(3)

.(теорема 1.2.2), причому в [2) 1 (3) фунвдИ во .

эроотвють. '

У роздШ 2 знаходяться од шеи вназу ' /V -вии!рш5х поперечЕик1в по Колмогорову, тобто ведичпн взгляду

djnj)-= ¿»t ir^-ilL

* ' / : féU А '

у кшадку, коли /f e utío npooTtp. L 2я-гар1од1?ЕЕ1Х оуыошых (руякцШ 1з Ksfcweiffioa коршз

l¡jO)¡!L = jlM¡dt} .

«Со прост 1р С Еошзрэрваа фушщШ f1з :;орисзй

II fltc - j f(i)¡ . Y¿ -asaca функц1й, щр назнача-

ться узагадымнои )-пох1дпоа, а /,у - п1даростора la X

розм1рност1 N.

Crrt^ü X {¿В*. ,Мят<{Я!!»Я», ß J } . 25ÜW / ¿ ¿, ±

oo , ' ' "

5 [ / J r "53 •+ 4tk leX)

~ КЧ

-Î! ряд ©yp'e. Hoxaâ, fíajit, ). -дов!льна фушсц1я натурального аргуиэнту I J2> -фйссоваяз д!йсна число.' Явдо ряд

£ г/

с рядок Sур'е деяко! ©дозШ з , .то па ивзявгагь (^Л-

сзг1даш ®7йкц12 AW i позявпаэть /;• Г* J . Иаозану фушсцИ: •/ ,

/ +

цо вадоводьнстгь теку уггову, псаначат» ¿- Js • ß ров£ кгсгяи будут;. пгкщштл iwtust

= i / « l; : II •a il <e « 11, p »<w /?

Vxzzzi Елгг-гйг,;, r»cO '¿гела zacsîaosaoôïi булл

додатазмэ, кхгэшпзэ ярямуваш до нуля, î, itpîa того» зодююяышя swas\ язе е. нзобх1даоя для тога,

"^гсшс?язтретЖ Oy — "ITP'Í) ;

со

T' О

¿T, * ......

Яй raasssas is рапанпа 1.7.3 рооотп ' 123, a.-ftbciar штгадау огэшптя кяодг ¿X.P будь-.-звку J) í Gl шгугь oyes прологаszaaî у гкгл,^

оумоваа

фувкц!я ., ряд Фур'с яхоТ мае вигляд

] ч>Ск) СМ (кг

При цьому майхэ скр!зь сп!впадве в С ) 1 р!вн1оть в (Б) розум!етьоя яд р!вн1оть двох функцШ 1з I. , тобто майхе окрХвь.

В (2.1 ва баз! викориотання влаотивоотей фундаментальна* -сплайн1в отрикуються оц!нки внизу поперечник ( Сд ,С)

та с()я., (а такох встановлмотьоя нов! доотатн! умов* включения ^ б ^ та 2.1.1» 2.1.2).

В {2.2 доведав! нергваоот!

(6)

п£Ис, (7)

Г вдаздк?, кой! ) аадэвольшшть умови

•¿•//С 4 /)

> К — » (8)

да , яицо^« 2" 1" \ ащз ^/Ж

{теорама 2.2.1)*прп цьоиу якщо ^ # отринан! оцЬпси е точники, ?обто шшаугяьоа р!ввоот1

djn-t(LX L) - i (t) * iijn im à tL

-¿ ---

Устава (8), як показано в 51.2 (паол!док 1.2.2), Ейконуяться» тацб е внапоппякя а тотеах к - ... фужцП WW , vtf

1 гарангуить MoxmnsicTb рэгудяркого продоетлшя в 1 Jm ZI функц!й .

П §2.3 отркмаао iwpîBHOCTi (S) í (7) у вклада, кода! фупкц1я W-J подаеться у ветдад!

, X , Wt ' и- ( (/, Oí fOOr ... > J3'

тако!, що , Ае - ( ^ , j, f> Z,

- ^ je > о -Í 7< {>

,чо Ж*) - вудь-нка спздна послгдовп!сть додагагх чиоал, r;o е tjkhí монотонно» пра , у 2' .о /? ("fffî) андиоольяяйть

спЬви^ютшшя

п á(d 7 C(ji)) ,

дэ ... , sr^ßtZ HOC ... „ }Ш50

Jb'/ 2 (тосфчга Я.3.1). У cxtyeaAliji* £ вря додзяковску oümsaimí, ко - опукла црд /• * 2р-1. , оЩшга (С) i

(7) с Tcnsiiaí, ¿oú'lv вяканутсггьоя písnoorí (ö).

В {2.4 одерsano оцйпа: (6) í (7) у напздку, ката ф/1кц1я Vf>-J продстевляеться у зягляд! .

да fi*-) - будь-яка спадна посл!довн!сть додатних чисел така, вд Wk) е трич! монотонною при j>nt2f>-1 , р с Ж , апеМ вадовольшшгь умови

да е(р) ~0,3t,W..< , яйцор* Ж, або cfp) = f „що

//Z (теорема 2.4.1).При t додатковМ умов!, щр

опукла при jJ5^-/, BipHi р!вноот! (9)(теорема 2.4.2). '

- В уо!х випадках, холи вначення гопвречюпс!в d¡ц.<tC) « d^aj^l) удаеться обчислити точно, екстремальшшн дна клаой Cjttm в простор! О та для Lj>if в простор! I виявилнсь п!дпроотори триговометричних пол!ноы!в порядку"-' .

Результата ((2.1-2.2 опубл!кован! у сум!сн!й робот! [2] автора 1а науковим кер!вником ОЛ.Степанцем. Реаультати ((2.3-2.4 опубл!кован! у самостШшх роботах [43 t [Б] автора.

У. роэдШ 3 досл!дхушьоя питания ш обчисленшо величин Е„, (Y{)x няй^Ради наблшвень клао!в XI просторами триго-водатрзчшас шйвом1в Т„ч 0) порядку п-1

коей- Л с 0 ебо i, о в роз! миозин виступають в!дпов!дно

kjkse. вбо .

Шташи отрагиння точка: бпвчвнь величин (Cjî^)? ! ^п-1 (i- а » вавчавЕоь рак!ие у випадку - ¡г , ,

JbeIR с роботах Е.Сшйра , ИЛ.Ах!езара ! Н.Г.Крейна , а.11.Н!хаш>сьЕ0Г0 , 0.B.0te4KtHa , Оунь Ш-gohb , В.К.Дзпдака та is.

(дав., пвпршигвд, коментар! та б!бл1ограф1чн1 пказ1тга до розд!лу 6

к

робота [2]); у вападку 4>(к) - , 0<- в роботах Ы.Г.Крзйна (.р^ 2 ) 1 В.Т.ШапАлп^яА ( **Р - 0 ¿^х

ВИЛЯНИЙ* ,

В!дзначшло, цо во! в!догл1 на сьогодп!ен12 день точн! аначешш ваятсш Е„ч 1 ^-1(^,1)1 отряжая! для класй агорток 1з

ядрена, ер задовольшдагь умову , звпропоновану О.Н.Школьським

16}» або нав!ть ОЗлът горстку, н!л А,*укову Мп*. (дав. 12 , 0. 205Л: для ©ункцИ ^¿/^снуе талйкм 7Ц"?) 1 топка £ ,

таг!, ар р!зшщл У{/>&} - Тг!* (■() змйпзв знак на [0,275] в точках Су, - £,*г = 11 ! тглыга в них (в цьому

гашадну будомо ппсата Ц^ с-/}{*) •

У §3.1 встановлгеться, гцо виконшшя для коеф1ц!ецт1в ряду

(I), що е рядом Оур'е функц!2 нвступних нор!вдостой

и

у •/

< .„-, > (Ю)

с доотатяъоп удавоп шсявченая дг.п довЬиная^'^ 1

на основ! чого, по схем! м!ркуваяь робота В.К.Дзядака [143, для в1дпов1дшхх клао1в згорток обчиолвються точл! втачают.*! кшггап Л/Л * ¿V, ^Съ- ^ ' (таорвм 0.1.1), У {3.3, ПКПЙ НОСИТЬ г^ЕСТра'ППЗЖЙ характер,, , неводяться яртяздз фушщ1& 1з рядом Эур'е (1)^. вое©Щ!еати Ч'М. якого

вздозолышать у:-к>вн (10) црл ксхт. люур&шяп: 11 , ало да б -ддргш (озпачо1Шя 3.2.1). ' . ' .

Результате §53.1-3.2 опубл!коавн! у робот! ввтора [Я]. Автор васлзалге гглру эдячп!сть науковоау кер1квпгоя! Одонсвадру

1веноаачу Отепашде за повсякчасну п1дтрякху Ьгаэрзс тз увпгу да робота.

Описок щгговаво1 л1тературя

1. Kolmogoror A.N. Uber die best Annäherung топ Funktionen einer

gegebenen 7u]ctlonenklasae//Ann.of liath.-l 936.-37,Hl .-а.10ГГ-110.

2. Отепавец А.И.Класгавикацил г приближение периодических функций.-

Киев: Наук, думка, 1967.- 267 о.

3. Кушал. А.К.Экстремальные своИотва сплайнов я поперечники клао-оов периодических функций в проотранотве .-Киев,1964.-41с.-(Црепринт/АН УООР. Ин-т натематики; 84.26).

4. Тихомиров В.М. Поперечники множеотв в* функциональных простран-отвах в теория приближения// Успехи ыатем.наук.-1960.-1Б, ЖЗ.-0 >61-120.

Б* ТКит-сл*^ 8.U. Наилучшие методы приближения в интерполирования з х^хлрвзотва ОС-1,1 ]// Лзт.сб.-1969.-ао.жг.-0.290-304.

6. Никольские O.Ei. ЦркФжзаше функций тригонометрическими юлино-шт в оредази//Шш.АН С00Р.С0р,мат.-1Э46.-10.-0.207-256.

7. Даядак В.К. О Еаалучаеа приблккзаса на классах периодических функци®, определяема* интегрслами от линейной комбинации абвашиво монотонных ядер//Ыат.8ам8ТКП.-1974.-16.-0.691-701.

8. Нгуен Тхи Тхьву Хоа. Оператор Dd^+I)"..."(0*+nz) н тригонометрическая интерполяция//Anal. Kath.-19e2.-15,N4.-P.291-306.

9. Ahlborg J.H., iillson H.N. ,Saleeii J.h. Beat approximation sad convergence properties of Higher-order spline approximations// J.Uath.and Kech.-1965.-14.-p.231-243.

10. Оубботин D.H. О связи между конечными разностями и соответствующими производными//Тр.мат.ин-та АН 600Р.-1965.-78.-0.24-42.

11. Галкин П.В. О разрешимости задачи периодической сплайн-интерполяции// Мат.заметки.-1970.-8, JS 5.-0.563-573.

12. Ненсыкбаов А.А. Некоторые вопросы приближения сплайнаг-и а функциональных пространствах: Автороф.дис... .канд.фаз.-мат.наук.-Днепропетровск, 1973.-11 с.

13. Subbotln Yu.H. Interpolating ор11поз//Арргох1аа!.1оп theory.' Proceed. Coni.Poznan, 22-26 Aug (972 y.-Vfarsara.-FKi, 1975.-p.221-234.

14. Шйвалдил В.Т. Поперечники классов сверток с ядром Пуассона //Ыат.задатка.-1Э92.-51 „ шп.6- 0.126-136.

16. Шезалдад В.Т. Оценки снизу поперечников классов периодических функций о ограниченной дробной прогаводной//Ыат.заметки.-1993.-53, вып.2. 0.145-151.

'/

16. Кушполь А.К.Si-сплайны и точные оценки поперечников функциональна классов в пространстве .-Кпаэ,1985.-47с.-(Препринт /АН УОСР. йн-т математики; 85.51).

ОСПОШП ПШЮЗЕШЯ ДИСКРШД1 0ПУБЛШ0ВАН1 7 ТАКИХ РОБОТАХ:

1. Степеней А.И., Оердак А.О. О существовании интерполяционных SK-сшшйнов//УКр.иат.курн.-1994.-46, » 11.-0.1646-1554.

2. Отепанец А.И., Сердш А.О. Оценка снизу поперечников классов сверток периодических функций в метриках О и V/Укр.мат.нурн. -1995.-47, J» 8.-0.1119-1128.

3. Оердпк А.О. О наилучшем приближении клаооов сверток периодических функций тригонометрическими полшюмами//Укр.мат. «УРН.-1995.-47, * 9.-0.I255 -1261.

4. Оердш А.О. Оценки n-поперечников по Колмогорову клаооов сверток периодических функций //Теаи допов!дей ТретьоХ Шхнарод-но! аауховоХ конференцН Хм.академХка М.Кравчука, КьХв, 1994р.-

' КиТ>,. I994.-C. 108.

6. Оердш А.О. 0ц1нки поперечник 1в деяких клаоХв перХодичних функ-Ц1й //Теаж доповХдей Четверто! МХжнародноХ науковоХ конференцН йа.акадаыШа Ы.Кравчука, КиХв, 1995р.-Кий, 1995.-а 219.

Сердюк А.О. функций".

Диссертация из соискание ученой атегюпя '—

Л- ИПР'ПТ Г41 ,С1 .С* - ¡оатекгтггсссо!

еззлпз. »Глстлтут математики НАН Украшш, й:эв,1Э95.

Диссертация посвящена вичислекив точных вначегшй п-поперочншсоа по Колмогорову классов (г, )-дхзфгерэнцируекых функций в равномерней п интегральной иатриках.

В работе устанавливаются оуществоваше и единственность пнтерполяцаовкад З/^-сплпЗиоз с раапсмэрнш рэсхгродолошгам узлзз интарполяцпи, а такта вычисляется величины наилучших приблжсенЕй: классов ( V } ъ )-длф^раицЕруо!/.их . функций тригономэтрнчэсгспка

Зегйуи'г А.5. "ЕагАм^ео оГ иШЬа гог о1азнза оГ ( у,)-йШагтаШа! Гшо«1овэ".

ТЬйЕЛз Хо? а йс£гео о Т. СзяйШаЮ сГ 3oicr.cc 1л Йъ-шси епй КагпшаЯоа, аресХангу 01.01.01 '-На«1гааПса1 опа1ув1а. ХпоШиЬе о 1 . МаШжП1сз, Кагюпа! Асайесу о! Зс1ег:сеа оГ Пйта1пе , 1994.

The thesis la devoted to the calculation of exact values of Kolaogorov's n-wldths for classes( )-differentiable function 1e uniform and Integral metrics.

In this work the existence and uniqueness of Interpolation SK - splines with uniformly distributed Interpolation nodes are established'and the errors of the best approximations for olasees ( v , j& )-dlfferentlable functions by the trigonometric polynomials are calculated as well.

Клвчов1 оловаi ( 4>tJ* )-даференц1йовна функц!я, поперечник sa Колмогоровим, SK -сплайн, С -ядро, найкраще наближеннд функц!онального класу, клао вгорток.