Оценки постоянных в неравенствах аддитивности и неравенства для норм смешанных дробных производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

где — 1 з а

БЕЛОРУССКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННОЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. ЛЕНИНА

На правах рукописи

АЫЩШДЕР СЕНУОИ

ОЦЕНКИ ПОСТОЯННЫХ В.НЕРАВЕНСТВАХ АДДИТИВНОСТИ И НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ НОРМ СМЕШАННЫХ ДРОБНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

01,Л.01 математический ->яачиз

Автореферат дисоертицни на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск - 1991

Работа выполнена в ордена'Дружбы Народов университете Дружбы Народов имени Иатриса Лумумбы.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

БУРЕНКОВ В.И.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, .

профессор ГОЛЬДМАН М.Л.

кандидат физико-математических наук, доцент КИЛБЛС A.A.

Ведущая организация - Ростовский государственный универеитот.

Защита состоится 14 января 1992 года в 10 часов на заседании специализированного совета К 05В,03.05 в Белорусском государственном университете (220050, Республика Беларусь, г.Минск, Ленинский проспект, 4. Белгосунпверситете, главный корпус, к.206).

Автореферат разослан декабря 1991 года.

С диссертацией можно 'ознакомиться в библиотрке Белорусского госуниверситета.

Ученый секретарь специализированного совета, доцент

II. Н. Князев

" ' ; ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

¡тгя- ,

Лугуальпостъ теми и цель работы. В теории пространств дифференцируемых функций многих переменных и в теории диффе-

уравнений б частных производных хорошо изучены и играют ванную роль теоремы об оценке L j> -норм смешанных производных.' Аналоги этих теорем для нецелого порядка дифференцирования изучены гораздо меньше. Целью диссертации является получение теорем подобного типа для нецелого порядка дифференцирования для достаточно общего класса открытых множеств в lis*' и об изучении возникающего при этом вопроса об оценке постоянных в неравенствах аддитивности.

Научная новизна.

1. Изучены разлишше эквивалентные нормировки пространств типа Слободецкого с нецелым порядком дифференцирования t > 0 ■

2. Выяснен характер зависимости постоянных в неравенствах аддитивности для рассматриваемых пространств от входящих в него параметров.

3. В терминах пространств типа Слободецкого доказаны теоремы об оценках смешанных производных для нецелого порядка диффгфегпщрования для широкого класса открытых множеств SlClR (при О <! d < i допускаются множества со сколь угодно силь ним вырождением).

Все полученные в диссертации результаты являются новыми.

Методика исследования. Систематически используются методы теории функций многих действительных переменных и функционального анализа.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теорети шский характер. Ее результаты могут найти применение в теории функциональных пространств и приложениях н дифференциальным уравнениям в частных производных.

Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения докладывались на научных.семинарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа УДН, на ежегодных научных конференциях факультета физико-математических наук УДН, а также на Т Астраханской весенней математической школе (190» г.), Воронежской зимней математической школе (1989 г.), на Оеверо Кавказской конференции "Линейные операторы в функ-

циональных пространствах" (г. Грозный, 1989 г.), на XV Всесоюзной школе по теория операторов в функциональных пространствах (г.Ульяновск, 1990 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти статьях, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, • трех глав и списка литературы, содержащего 53 наименования.

Объем диссертации 101 страница.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор литературы по теме диссертации, формулируются основпыо определения, постановки задач и излагаются главные результаты диссертации.

В теории пространств Соболева и ее приложения! важную роль играет следующая теорема .об оценке смешанных произвол -ных: если открытое миожество Л с. удовлетворяет условию конуса СьМи Л ¿{«¿оо . то для любых мультитщексоп

таких, что * справедливо следущее неравенство

к>

где Сл не зависит от ^ , производные обобщенные.

Если ввести пространства Соболева и м(и|

характеризующиеся конечностью норм ^

** т.е. найдется такой фиксированный конус , что для

\/х- 6 Л существует конус ^С с веригиной в точке х, конгруэнтный конусу К. » Для которого Злх. Г- •

Vvlf (я)

>L

H\<í

I ff-f II

Ц(Л)

(2)

н i;oui'i!i¡Ti.:TUímno

f I ЛЛ

' '\Mf (A)

llll

Ц>(п.)

ÍLA\ (3)

i o неравенство (I) можно черешхсать в виде

ti

- е

VJp (а)

< С,

(4)

W

гдо

Сь не зависит от £ .

f

С Л) ,

Одной из основных целей диссертации является доказательство этого неравенства для , понимая ^^ как норны н сритиетствующих пространствах типа Олободецкого (ом. ниже определения 1.1 и 1.2)..

В случае, когда л. параллелепипед с гранями, параллель ними координатным плоскостям, а и {л?^' (Я)" прост

ранотва, введенные Л.Н.Слободецкшл* *, этот результат приведен в работе О.Гальнрдо***.

П статье В.И.Буренкова***^ доказано, что для таких пространств для о «б < -Г неравенство (4) при ^ - ь справедливо для любых открытых множеств, граница которых локально является

♦ t.)

%■% t )

Олободицкий Л.II. Пространпства С.Л.Соболева дрофюго порядка и пх приложения к краев™ задачам для дифференциального уравнения в частных производных // ДЛИ СССР. -1950,- Т.118. '. 212 246.

Сар,] lardo 15. Ullorlorl proprieta di al cune classldl function! in plu variai)111// HIcercho dl mat. -1959.-V.13- Г.VA [)1.

Л

Ну pen ко» П. И. Некоторые свойства классов \д/|> (Я) 11

VVf'-(fl) при

urea АН СССР.

o<ê/.l // Труди маг. ин-тя им. В.Л.Стек -1()Г,!3.~ Т.77. - п.т,?-па.

*

графиком непрерывной функции. В настоящей работе в духе этой статьи для вводимого в диссертации варианту определения прост -ранств типа Слободецкого vJ j, (si) и v\7p'"'' (л) рассматривает -ся при о < < 1_ существенно более сложный случай i\ > t и, как следствие, получено неравенство (4) для любого .

Следует отметить, что схема рассуждений, использованная в работе В.И. Буренкова для /и. - %, непосредственно на случай /vv> к, не переносится. Для того, чтобы ею воспользоваться • и провести индукцию по размерности пространства, необходимо иметь неравенство типа (4) для сечений множества i"L с постоянной, не зависящей от этих сечений. Для этого нужно выяснить характер зависимости постоянной Ct в неравенстве (4) от Я и наложить соответствующие условия па Л . В свою очередь для этого требуется выяснить зависимость постоянной в так называемом неравенстве аддитивпости, используемом при выводе неравенства (4), от входящих в него параметоров. Возможность доказательства нужного неравенства аддитивности диктует выбор соответствующего определения пространств типа Слободецкого Лл7(5(л) и Wp ' (П-).

Указанные соображения определяют структуру диссертации. В главе первой вводятся определения рассматриваемых в диссер тации вариантов пространств тина Слободецкого и приводится их: сравнения с пространствами, введеными Л.Н.Слободецким, а также с их вариантом, определяемым в духе книги 0.В.Бесова, В.П.Ильина и С.М.Никольского**. Вторая глава посвящена оценке постоянных в неравенстве аддитивности для введенных пространств. Наконец, в третьей, главе для этих пространств доказывается неравенство (4) для любых £->'0 (основным является случай о^ i < i ) -

Перейдем теперь к более подробному, изложению содержания диссертации.

Ввведем некоторые обозпачепия и определения. Пусть Я. открытое множество в . Для * е Я обозначим через ?(->0 Э.Я) расстояние от точки х. до границы "ЭЯ .

*' Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные пред ставления функций и теорема вложения. - М.: Наука, 197П. - 480 С.

Дли У, , у е Si. ПОЛОЖИМ - -fW- ' ecJM

в противном случае.

Определение 1.1. Пусть Rc открытое множество, ■i < Р < со - В случае, когда о i й < i , будем говорить, что | е если \ е. Lp (л1) и для 1 ,< Р<гоо

конечен следующий интеграл а для Р - оо конечно следующее выражение

А(1л) (х,ч)1?

1х *ft-

TZ 7П(Г

В случае, когда 2 £ ПЧ , есть пространство

Соболева с нормой (2). Наконец, при пецелых £ >1 , будем

р Ся

говорить, что Р £ -уТ /Я\ , если £ £. \лГ/ р ('Л! и для

Г ' 0 г Л

каждого мультииндекса «с = ^^^ "ТХ7р (Л).

Через Лj , ^ =• « ш обозначим проекцию множества Лей1,

на плоскость 'Х^ = 0 > а через со^ - () _

проекцию на ось О-х^ множества П. (\ ( ос^'а) ■ где

... • А/, - %САо),

прямая параллельная оси Ох; и проходящая через точку ( х^о). Для эс € Л обозначим через ^ (*) расстояние от точки х до \ :

^51 вдоль оси Ох^ , наконец, для (тсУ,1 ( Д

положим ъ)) -

если (х; - х])или < эЛ •

И Д] (I ,Л.) ^) , С^! эз)) - 0 в противном случае.

Определение 1.2. Пусть Я- с: ГЯ^открытое множество, 15? $ 00 ■ В случае, когда (э<6 ¿1 , будем говорить, что £ с Чл7рй'""' ^(Л), если | е Ьр (}1) и для каждого д ^ л > и Для \ ^ Р <со конечны интегралы

ь, r Д.? ,51) = ( J J TTt--- S ij ) -

Я ДЛЯ f ^ со КСШОЧНН плпдундио шлрпчггшм

'' ..... u.- ^ "

В случае, когда i e N , w f оегь lifwrpniicrfi"

Соболева с нормой (3). Наконец, При нецелом говорит.

птп t> iL г--. ^ г n \ от» J> г "Г. - t'tJj ■■■) , ,. „,,

что .j t w f'"'^ (л-) , если ^ f. Сд)"

каждого i= IjjP,*-[iJ С "-^W, " J <«<

В определенных-выше пространствах при нецелых ' (кп нормы вводятся следующим образом ;

над*) ♦ ««-Vu,

где

Ш

.1

vfui) - ¿^ Kf, С. С€3 А

и, соответственно.

где

''7 i-'>■).

, функция | измерима па Л и || { Ц „.^ (и )< со (соответственно Н-игД"^ (ц)^со), то >■/;;>'м »•спорить, что ^ £ ллГ|Л (Я) (соответственно | ^ - (л) ).

И случае, когда в определениях 1.1 и 1.2 вместо' Д(^/1<) ч Ау (^51) используются обычные разности Л (-р) и Л^ ( р) такие пространство изучались АП.Слободецким.

1! настоящее время широко используются определения типа определений 1.1 и 1.2, в которых вместо разности Д (■[ ,-Н) ип-ч'»пьчуг'тся разность

.(-. , , . - С-.э] с 51 '

¿-Ч Г/^-] Iх) У)/ | 0 , в противном случае

и аналогично определяемые разности Д^ Л) . Обозначим соответствующие пространства через -СХ? ^ (Л-) и соответствен но ',е(л). Г

Теорема КК Для любых £~>0 , 1ччГ<оои для прштз-и'!лгцпгп открытого множества я с Л1

Р - 0 . .

-ъг (п.) - (Я) ,

•гнугпгтстмутщне полунормы экпивалепттш, причем копстаптн зк~ "иг.'иснгности пи зависят от Я .

11ч теоремы 1.1 следует, что для любых открытых множеств и Г. «V - ^м'р(Я) - (я) , и для любых открытых мпо-

^. п, и с V - (л).

Г. г.'ьни: I проведено тпкжо более детальное изучение пкпи чгличггн'л гючунорм в пространстве -иг^ (У)) для одномерного ••п'ритпго гимггстпп Л . Приведем некоторые из г>т;гчтппет'""!чи •< •>!'.•!•(•; и. истмп к сл п ['(черепах и 1.3.

1!.ЧРДГ.ТЦП<! из теорем 12 и 1 .3. Для ливня о < ё <■ I.

I < г < "-Л II ч.!!!' ПрЦЧСН ПЫ'т'О П,(Гр11Т'Ч'Р [.ПК '' !'Р'1 .0, О. (Я '

И'ii Лю - (j ^ 5

^ (Г j

° ЛЛ (A-U) •

L'ii.i О < < 1 , причем константы эквивалентности не зависит от Л. .

В j 1.3 вопрос об эквивалентности ^олупорм рассмотрен ■(июне для более общих пространств ^ ^ ^ (Л) » в определение которых входят разности порядка к - '

Определение 1.3. Пусть i^f^oo , ^ > 0 , к ^ fN j К > С , л ^ & ^ а> , говорят, что функция | € &f если .f измерима на ( а , {» ) и конечна полунорма

при й- 6 < со и при 6 =zoo полунорма

ll II / - iup- ^ i| h\

Здесь Au £ разность порядка K К функций ^ в точке с шагом к , т.е. (AU J = б-')*"* f (х **Л) .

Теорема 1.4. Для любых : j< е itJ , о^ tc к , <9„<ot>

и « )0, ji^|< для произвольного интервала (л, 6)

иричем константы эквивалентности не зависят от л и • .

Доказательство теоремы 1.4 основывается, на интегральном неравенство для разностей, установленном в теореме 1.5, характерным частным случаем которого является следующее неравенство: пусть -1 „< f « со , ■£><? , _со $ ioc, тогда

Мы приведем те из них, которые неносредствено используются в главе III. Используемые ниже пространства хО и

а) отличаются от wf (6-) и wffi"""1 (ß-)

тол[>ко тем, что в их определении вместо разности Д рассматривается разпость

Теорема 2.4. Для любого Й>0 , лд. € ftJ, {■jq , i<P<«> существует такое Сч - Сч U,"*/1 р)>о,что для любых ограниченных открыт?,ix множеств л. и любых открытых параллелепипедов 'Ы с с грапями, параллельными координатным'плоскостям, где L-Ä7<* , удовлетворяющих условию (6) с & = tfcL'»-».л,, справедл1шы неравенства

(7)

Р

г

Нам также понадобятся более просто доказываемые неравенства, обратные к неравенствам (7) и (8).

Теорема 2.5.' Для любых Ж. Ч [Ц, ъ й], Ьо С<со ,

существует такое С{ ~ <<(. Ф 0>что Длп ™<5ых открытых

множеств Я, Я»,___, Лж таких, что и П.,.' - Яи кратность

п ^ 1

покрытия ^ 14 не превышает . справедливы неравенства

(9)

(. - |

В f 2.3 n одномерном случае выясняется точный характер ?.лр1Н'шт°г"пт imc'j'onnrioii в неравенстве аддитиппости (5) для т-д,

Р

<<>*(я) =' II ^Ц4 (А) •

Лч-биЙ ФУНКЦИИ , ИЗМЕРИМОЙ На ( , % ) С!фгШ|!ПЛ1Ш"

Л л.

А. 1. 41

Ь|>идл!>л'»М|Н1Ш1, что Ливан часть этою неравенства коиичии. Втирая глава посвящена вопросу о неравенствах аддптив ■ дли различных функциональных пространств. Пусть П соткрытое мшместпо и для даоого откри-гг,1о множества & с. Л определено пространство ¿(С-) функции, заданных, на & , и на этом пространств!? задан шзотриц.ч-¡.'.лышй функционал ^•> ^]» Будем говорить, что.функционал < •>,//! аддитивен относительно множеств ¿г* , если

С I рл ' '

.чин некоторого с, > о для любых. £ С Л гСб.) вшюлня-

' 1 1= I

1!!гн неравенство

ия'мюио этой терминологии в £ 1 в теореме 2.1 ую-аигшлиоаит-г.н, что иь аддитивности функционала <"•> ¿^¡относительно

.VI Л К, и 11Л й, , Х'де Л, и ■ - открытые параллелепипеды с гранями, параллельными координатным плоскостям, имеющие 1/0щую проекцию па какую-либо из координатных плоскостей, при сделанных предположениях, следует его аддитивность относительно множеств П'Ус' • 1=1,/» • а 'U¿ - лвоыо откры-

ты;; параллелепипеды с гранями, параллельными координатным плед; костям, такие, что дли некоторого £> о ,

я с. .0 (4-1 . (£]

|([х)мс того, при ле/юторих дополнительных предположениях в теореме 2.2 иьшешштен характер зависимости постоянной от и,,.

В $ 2 н теоремах 2.3 и'2.4, исходя из теорем 2.1 и 2.2 } получен рад неравенств оддитйшшптв для приетргшет иг (л), ГлГр (Л) и соответственно и^'"'' (Я) . (д.)-

Тгсрпмд ?.б. Пусть 2>0, 51, и Лг открытые множества .. I?,' , причем кпэтдый составляющий интервал множества Л, : окет быть представлен в виде объедипепия не более, чем ^ составляющих интервалов множеств Л, и Л, . Тогда

Г,ели Д Я,) точная (наименьшая возможная) постоянная в тгом неравенство, то

Г£1 -иЛ г -,№+1-4

< >

где супремум берется по всем множествам Л, и Я4, удовлетворяющим указанной. выше условию.

Третья глава посвящена теоремам тина теоремы об оценке .-метанных производных для пространств с дробными производными. 1ля формулировки этих теорем нам понадобится ввести классы открытых множеств с разрешимой грапицей и некоторые более гзкпе классы.

Определение 3.1. Пусть 9. С. (Я - открытое множество. Зудем говорить, что 6 (другими словами граница -.. .

разрешима), если существуют такие т-6 (>/, 5>0 и параллеле-пшеды г^¿ - | х. е 'V : < < ^к^^где - со ^ а;к I -1, гул' , что выполнено условие (б) и для любого { - ¡7^ или -лХс- с: Я ИЛИ такое, что

Л п %' = [ х € (Я4 : Щ < ^ <Г -С; ( *0)Л < (¿к

Я А - [ х. & Л* : ^ < , < Ьк, К*^] ,

е.

дп ^ - цело горал функция, заданная па прзкции Д; израл- ^ еленпнеда II," на плоскость ^ ~ С •

Определение Пусть Ьо , э«. 6 и/, Л.с йО"- открытое истгетп». Рулем говорить, что э>г £ ^ , если в дополнение ^ '-пречелешно 3.1 (с фиксированным Ь ) кратность покрытия | " Нргигия-.т д?- ■

ЛИ

Определение 3.3. Пусть б>0 , '"c^tlki, SI о |Я - открытое множество. Если Л. ограничено, то будем говорить, что

ЪИ\ С , если выполняется условие а Я. С ¿

5 ) ¿1J Эе.

а тагасе условие ^Л.^ LS , для любого т , ¿ <т < ■>.

2Геи'м» Л п\ , ZC "

и любого сечепия П„ множества я т ~ мерной плоскостью, параллельной каким-либо . га координатным осям. Если множество П неограшченно, то будем говорить, что ЪЛ £ ,

если f¡.>o К Л Л 6(0|А)) £ •

Определение 3.4. Пусть f>o , HLíH, "h>i.. SI с/¡Г- открытое множество. Будем говорить, что -йЯ. € ^ . если ЪЯ €<Х' и для любого о«) i í" rw^-h-i и ддя любого указанного выше сечешш выполняется условие £ •

Сразу после этих определений приводятся характерные примеры открытых множеств, принадлежащих введении классам . В частности отмечается, что если *-f - непрерывная монотонная возрастающая функция на £ о } аз) f(o] - о,то Для множества Л R' ; x(V кЦ^М J существуют такие

2Г> О и , что jft f ^ . Таким образом, классы

Я -j содержат области со сколь угодно сильным вырождением.

Основным результатом главы III является следующее утверждение .

Теорема 3.1. Для любых ¿ i , é W . 1 ¿ f <oo и при ^ s X> Для любых открытых множеств si a. IR* . Для которых 'ЬЛ é , а при для любых открытых множеств Я- с

для которых для некоторых т5>о и <д£ е IN .. ЪЯ 6 существует такое С\ ■=. C¿ ¡J¿/ р/л. ,л)^о;что для любой функции $ С ^^справедливо неравенство

Если при <Ъ. } Ъ , <3 jl Q £у)Эс '» то мошо считать, что в этом неравенстве зависит только от f, i DZ, •

Теперь сформулируем утверждение о справедливости неравен -ства (4) для любых L > О .

Теорема 3.2. Для любых tjQ , ^ ¿ f <; оо , для любых открытых множеств Д с. , удовлетворяющих условию конусл ,

ь Л £ S' , а'при для некото-

Ж С IN . ЭЛ t £>gx существует такое

С, -

таких, что при

pi,IX ЦъО

''" - ... в с^. ( -4,$i)>Ö, что для любой функции ^ £ Wp ^ ' (-11)

справедливо неравенство

Wr

(п.)

< С.

\N

(Л)

Публикации по тиш; диссертации:

1. Буренков В.И., Сепуси А. Об одном интегральном неравенстве для разностей// XXV научная конференция факультета физике --математических и естественных наук УДИ. Тезисы докладов. М.: УДН. - 1989. - с. 49

2. Сеыуси А. Неравенства аддитивности для пространств Гельдера // XXVI научная конференция факультета физико-математических и естественных наук УДН. Тезисы докладов. - М.: УДН. - 1990. с. 35.

3. Буренков В.И., Сенуси А. Об оценках смешанных дробных производных^XV всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов. Часть I. -Ульяповск. - 1990. - с.43.

4. Burenkov V.I., Senouci A. Sur les estimations do derivee.s mixtes d'ordre non entier// International Congress of ttatlio-maticans. Abstracts of shorts communications. Kyolo. -Japan - 1990. - P. 108.

5. Burenkov V.I. Senouci A. Estimates ior norms of mixed derivatives of fractional order// International symposium on functional analysis and related topis. Abstracts. - Sapporo. Japan. - 1990. - P.12.

fi. Буренков В.И. , Сенуси А. Об эквивалентных полунормах в пространствах Никольского-Весбва. Сборник научных трудоя: под ред. В.Н. Масленниковой. - М.: Изд.'УДН им. ПЛумумбы / в печати /.

Подписано к'печати <<3/0^.

Формат 60x84/16. Бумага №

Тираж 100 экз. Заказ № Бесплатно

Отпечатано на ротапринте БГУ им.В.И.Ленина

220050, Минск, Бобруйская, 7.