Оценки в L2 и разрешимость одной начально-краевой задачи динамики стратифицированной жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГБ 011 2 7 МЛР 1385

На правах рукописи

ПЯШГЫХ ЩЩШИР ЕГОРОШЧ

ОЦЕНКИ В ¿¿И РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЩЦКОСЯИ

Специальность 01 ."01.02 - дифференциальные уравнения

А в то реферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 1995

Работа выполнена в Воронежском государственном университету

Научный руководитель: доктор физико-математических ш

профессор Глушко В.П.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических не

профессор Успенский C.B.' доктор физико-математических на профессор Стрыгин В.В.

Ведущая организация: Московский энергетический институт

Защита состоится " 1995г; в

на заседании диссертационного совета К СбЗ.48.09 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Воронекско государственном университете по адресу: 394693, Воронеж, Университетская пл.', I, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университете.

/3

Автореферат разослан "_" .

Ученый секретарь диссертационного совета К 063.48.09 "5

В.Г.Задорожний

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.Многие задачи линейной теории волн в стратифицированной жидкости связаны с уравнением гравитационных волн (с учетом или без учета вязкости),представляющим уравнение в частных производных,не разрешенное относительно старшей 1роизэодной по времени.В этот класс задач входит задача о малых голебаниях вращающейся жидкости в сосуде (без учета вязкости), зпервые рассмотренная С.Л.Соболевым.Соответствующее уравнение взывается уравнением внутренних волн (или уравнением Соболева-?альперна).Из большого числа работ,посвященных изучению начальна и начально-краевых задач для уравнения внутренних волн, )тметим здесь работы М.И.Вишика,М.ИДайтхилла,Р.Е.Шоувальтера, \И.Зеленяка,А.М.Ильина,A.A.Дезина,В.Н.Масленниковой,М.Е.Богов-;кого,С.В.Успенского,Г.В.Демиденко,П. Л.Григорье ва,В.А.Яковле ва. Особо отметим работы С.Я.Секеря-Зенькович.Э.В.Теодорович, А.Гсродцова,С.П.Богданова,П.Л.Григорьева,В.А.Яковлева по ис-¡ледованию фундаментального решения оператора внутренних волн.

Достаточно полную библиографию работ,посвященных уравнению шутренних волн,можно найти в монографии Ю.З.Маропольского. '*) Серия работ С.А.Габова (в том числе и в соавторстве) посвя-1ена изучению динамики стратифицированной жидкости.В частности, «осмотрена задача о колебаниях бесконечно тонкого диска в тратифицированной жидкости.

В работах С.А.Габова и Г.О.Малышева,А.Г.Свешникова исследовалась динамика гравитадаонных волн в вязкой стратифицированной идкости (в приближении Буссинеска).Среди дальнейших исследова-ий случая вязкой жидкости укажем работы И.И.Ляшко, .А.Яковлева,А.В.Глушно.Основное внимание при этом уделялось сследованию задачи Коши при негладких начальных данных, то объясняется традиционным интересом теории стратафивдрован-ых жидкостей к явлению растекания пятна одной жидкости в ругой ("коллапо пятна интрузии").Задача представляет и мате-атический интерес,поскольку в этом случае,вообще говоря,

*) Миропольский Ю.З. Динашка внутренних гравитационных волн в океане.-Л.:Гидромегеоиздат,1981.-302с.

отсутствует классическое (по пространственным переменным) решение.

. Настоящая работа представляет развитие того направления исследований,которое было начато в работах А.В.Глушко, В.А.Яковлева.Мы рассматриваем одну начально-краевую задачу в полуплоскости ££ для систем уравнений движения вязкой стратифицированной жидкости.При этом мы отказались от сведения системы уравнений к одному уравнению более высокого пордз ка при помощи перекрестного дифференцирования,поскольку в эт< случае становится труднообозримнм физический смысл начальных граничных условий и,кроме того,повышение порядка уравнения требует от исходных данных задачи повышенной гладкости.

Цель работы.Исследование корректности одной начально-кра* вой задачи для линеаризованной системы уравнений гидродинамики, описывающей плоское движение вязкой стратифицированной жэд кости.Получение представления решения задачи в пространстве обобщенных функций.Оценка ядер интегральных операторов в формуле представления решения.Доказательство существования и .единственности задачи в пространстве £5. .Оценка норм производных. в решения задачи при определенных условиях гладкости начальных и граничных данных.

Мэтодика исследованид.При построений формулы представлен! решения задачи использован метод "отражения",позволяющий свес ти задачу в полупространстве к задаче Копш.а затем и

к системе дифференциальных уравнений в пространстве обобценш функций -При построении решения системы уравнений I

. используются методы теории обобщенных функций (пре-

образование Фурье в ,£>' .свертка в 3' 11 пр.).При посз роений решения в используются обще методы -

теории.В доказательстве теоремы единственности применены известные утверждения и приемы математической гидродинамики.

Научная новизна,теоретическая и практическая ценность.Все полученные в диссертации результаты являются новыми.Наиболее важные из них:

- формулировка корректной начально-краевой задачи для сис темы уравнений в частных производных,представляющей динеаризс ванную систему уравнений динамики стратифицированной жидкосм в полуплоскости Х£ Я! и времени О

- сведение рассматриваемой начально-краевой задачи к дифференциальному уравнению в прстранстве обобщенных функций,

- получение на этой основе формулы представления решения,

- оценка ядер интегральных операторов в формуле представления фундаментальной матрищ решений - ф.м.р.'), дополняющих и уточняю-[их оценки А.В.Тлушкон^, .

- равномерно по времени Ь оценки норм в ^ (л^) компонент >ешения (и их производных) рассматриваемой начально-краевой задачи [ри однородных граничных условиях,

- оценки в ('О?^ компонент решения (и их производ-1ых) рассматриваемой начально-краевой задачи при однородных гранич-:ых условиях,

- оценки в А^ с весом по £ компонент решения (и их производ-ых) рассматриваемой начально-краевой задачи при однородных началь-ых условиях,

- доказательство теоремы существования и единственности пос-авленной начально-краевой згдачи.

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты и ме-ода могут найти применение в общей теории систем уравнений в частых производных, а также при исследовании начально-краевых задач ля скалярного уравнения Соболева-Гальперна. Тема диссертации связна с задачами математической физики, описывающими малые колеба-ия стратифицированной жидкости с учетом вязкости и гравитационных ил.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на оронежских зимних математических школах (1993г. , 1994г.), на эронежской конференции "Понтрягинские чтения 1У" (1993г.), на ендународной конференции в г.Севастополе (1993г.), на семинаре роф. С.Г.Крейна в Воронежском лесотехническом институте.а также а семинарах проф. В.П.Глушко в Воронежском госуниверситете.

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [1-?\. ээультаты работ [ 1-2], совместных с А.В.Глушко, не вошли в диссер-ацию; В совместной работе [ 7 ^ А.В.Глушко принадлежит постановка эдачи, оценки корней характеристического многочлена и элементов ,м.р., не вошедшие в данную диссертацию.

Глушко А.Ъ. Асимптотика при £ решения задачи коллапса пят-

на интрузии в вязкой стратифицированной жидкости // Математические заметки. -1993. -Т. 53. -Вып.1. -С.16-24.

Структуру а о.б^ем работы.Диссертация содержит 135 страниц машинописного текста и состоит из введения,четырех глав и списка литературы,включающего 43 наименований.

В диссертации изучается начально-краевая задача для линеаризованной системы уравнений плоского движения вязкой стратифицированной жидкости

где ЩХ,-^ - искомая вектор-функция, Х =

МХ^ОбЬЫх^бМ^о!,^0- 11 -ВД-

зонтадьная (вдоль оси окл ) и вертикальная (вдоль оси ОХ*. ) составляющие скорости движения частицы жидкости в точка X £ момент времени -Ь. . - отклонение плотности от ста-

ционарной в точке X в момент времени ,и 1/ц

давление жидкости в точке X в момент времени -ь , С коэффициент вязкости жидкости, Ш0 - частота Вяйсяля-Брента, $ - ускорение свободного падения.Здесь и в дальнейшем мы полагаем для упрощения записи среднюю плотность жидкости "Т" - знак транспонирования.

Система (I) изучается при начальных условиях

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

(2)

и условиях на границе полупространства Я

+ X

оХд. V ' 1 + 0 '

= 0 ±70

(3)

В глаие I методом "отраяения" проводится редукция задали (1)-(3) к обобщенной задача в :

(4)

гае ^АФЧКМ _ Щ® ХьЪО,

¡ = "V] (*<M,Í)= о да Х1>/0, -liO, / = 1Л;

1Щ KLcO , i-г-,Ь)

л

%>txW Ш) YcísW^W 0

ч

Г - дельта-Функция Дирака.

Аналогично строятся V«,j по "LT0|j (^j - iTb) и YJ(1 " по U"v .

Компоненты VUx,-fc) (1м7<) решения уравнения (4) могут быть записаны в виде

VL u,t) = Re,i сх.ъ4) + R^LCx.t) ;

3 (5)

Ral * Vo¿ lx) ; » -Z\>tíAX<.*zfi) * M >

(Xi,i)

J=<

(X)

где

функции - элементы матрицы ММ),

-1 ^гУг + С-О1 (стЭДЦшь ^/^О*У/г ~ К°РКИ характеристичес кого многочлена системы - ¡(1а+|М5>1г)1Ь*г+ и>е ^ (Н;*-)} '

обратное преобразование Фурье в .матрица &(.$,*)

имеет следующий вид

г"

uJo iS< Si

sf

Наряду с элемента;®

Isi^fjf+ílSI^ ^(jf+PlSi2)

¿¡.j ( Сч.4j = <í,3> ) фуддаменталь-

ной матрицы решений (ф.м.р.) системы (I) вводится в рассмотрение модифицированная матрица с элементами £lJ№,t) причем ¿Lj^.t) - С^-Д,)^' (X,i) ,где числа <¡ ? О будут выбраны в дальнейшем.Заметим,что с помощью £tJ (x,-t) функции Roi.(x,fc) в (5) Moiyr быть записаны в виде

Ro,i<*,*) = Z £4U,t) * Го,; (Ю .

Приводимые ниже оценки функции £lJ (х,-0 дополняют и уточняют оценки,полученные в работе А.В.Глушко (см. ссылку на стр. 5)

Теорема 1.4.4. Пусть числа б;j = </ для всех индексов (i,j не равных , = •ТогДа ПРИ EGex * £ Ri. к

t > 0 справедливы оценки

Г

0<О

IX»

при ( при ( при ( при ( при ( при (

,j )=(2,2),

)=(I,I).(2,3),(3,2), )=(I.2),Í2,I), ,i )=(1,3),(3,1), ,¡ )=(4,I),(4,2), ,]• )=(3,3), (4,3),

где

t > 0 .а оценки равномерны по

В главе Ц устанавливаются равномерные по Ь оценки норм в функций , [ = .определенных в (5).

Теорема 2.2.1. Пусть функции "\/о,) (X) принадлежат ^дДИх) С 1=-<75>).Тогда для функций ( к= нТч ) справедливы следуя

щие оценки

ИКо.кМНбсЙи^-н^^.

^ ' (6)

где ,|| || - норма в ¿2.С^г.) .а постоянная С>0 не зави-

сит от -ь .

Теорема 2.2.2. Пусть функции ¿^"^(Х); ¿^¡¿^¡.(Х); ■^Уо,^)} Л/о]0<) принадлежат ^(ЭД (Ыд , .Тогда для

функций (?о,к (Х,-ь) справедливы следующие оценки

II | М" у N Ф Ш^Л И^Л + II г0,,||);

III М- « с^Уо, II - II щТ0,г II + II «) / (7)

где -Ь£ .постоянная С > О не зависит от Ь

При дополнительных условиях гладкости на Щ} равномерные по -Ь оценки вида (6)-(7) а ¿¿(И^) получены и для любых производных {<Ум<)п(д/дХ1)т (Щ)*

3 третьей глава диссертации устанавливаются оценки б ¿¿(^ *(0;оо)) компонент решения задача (1)-(3) и их производных при однородных граничных условиях (3).На этой основе доказывается разрешимость в $7.(Я;[х(0;оо)) задачи (1)-(3) при

г Теорема^з.2.1. Пусть"У^^б (И,5),а функции

ЪрУо.ъ); С*) принадлежат ¿¿(.Кг) .Тогда для функций

1 (чо,1(.Х,±) С ^ справедливы следующие оценки

^ ' (8)

где Ц1-1Ц - норга в о ;<»)) , ||-|| - Н0Рма в

Теорема 3.2.2. Пусть Л^ДОе ; (-(^¿аАМ

).Тогда для функций (1м,ч) справедливы оценки

^ (9)

С}(|||(гА^МУадЦ),

^ - С*С ]]] , тг

При дополнительных условиях гладкости на Ц^ оценки типа (8)-(9) в *(0,о«)) получены для любых производных

Будем говорить, что функция 0. (х,-ь) (. К £ , > 0 ) принадлежит Ц<а> (^ х (о, о°)) > х (о, оо)) , если

соответственно конечны нормы

11 <С 1й<-.чГ - и&аи" |011э%оиГ+ ш|в|Г],

где ||-Ц+ - норма в ,1И'1|Г+ - норма в

Поскольку сужение на х КО, с») Евктор-функции

есть решение У системы (1),то с помощью теорем 3.2.Г и 3.2.2 доказывается

Теорема 3.4.2.Пусть функции 1Г0^(.х), ¡-Т^Ь принадлежат пространству Соболева и удовлетворяют дополнитель-

ным условиям ДЯ^Л I =1Г I =0- — ~\Г + 2. т г

Тогда функции Ч^^с.к О^кгмо.с») , принадлежат

'Ъ/щ € ^(Кг*^00') ) = 1>г. и являются компонентами решения У(к,-ь задачи (1)-(3) при '"Ц^х^нО .причем справедливы следующие оценки

С ,

№Г * с 2 ||1Гс-|

¿С {111^11% ¿||¥0.||Ч;

X & + (10)

OCttoo ^ j = Y

Здесь ||• , ¿-i)2. - норма e пространстве Соболева Wi(Kl) . ||-|Г=1|'11о • l-l - нор® E ^(Ц«) .Постоянная С > 0 .Отметим,что начальные (2) и однородные граничные условия (3) выполняются в смысле (10).

Четвертая глава диссертации посвящена разрешимости задачи (1)-(3) при однородных начальных условиях (2) и неоднородном граничном условии (З).Для построения решения в этом случае следует рассмотреть величины R^i, , I = yi .введенные в (5).

Б этой главе мн будем рассматривать функцию VTл как абстрактную функцию в по -tfe (-ос, ао) со значениями

в пространства W.^(R,) , f Z 0 .Соответствующее пространство будем обозначать lx( W/, {-ьз)0о)) с нормой

<Х,,3} ={ ГI

где IvlS Т + UJvMI^S,.

1 'OB '

Очевидно,что при f-0 i^W/,(-«>,<*>)) = ¿.¿(Rj.) . Аналогично определяется пространство W^,lo,oo)) - функций в по

-Ьб (О, о«?) со значениями в W^(R^).

Теорема 4.2.1. Пусть (-о.,о.)), 0< ¿с 1 .

Тогда для функций fc^i. (i-Q) справедливы следующие оценки

где j^.a. , |||-III - норма в IxCR»,).

Теорема 4.2.2. Пусть Мб i^W^R«),(-Тогда для функций R^ilx.t) С -»,u^ справедливы следующие оценки

Теорема 4.2.3. Пусть (x«,t)€ IZ(W¿/l(R<)t (-0* ;<*)); ¡¡rV^AtbWhWt'^li^)- Тогда для функций R,(Ux,t)

(Ьч.з ) справедливы оценки при 0 < £ < 1

* о , . . э

Vea

w^1Н1ёМИс<<\А/д .

Теорема 4.2.4. Пусть функции H+ltl)2""^ (х< t);

u+& M; ; n+ifci)3 ¿^(V) г

принадлежат (-<*;<*>)) ,a функции (1+

принадлежат .Тогда для функций R^iU.t) (i-чч )

справедливы следующие оценки

№ ' R 1,11!! 4 ^ ;

■gt2- И1 "o )

с3э

Поскольку вектор-функция V = { Яц ЯаД^ является (обобщенным) решением уравнения (4) при Д/^¿у^г-О, то для построения решения (в ) задачи (1)-(3) 1/"= - достаточно доказать существование

(в ') всех производных компонент V .входящих в систему

(I) и установить выполнение начальных (2) и граничных (3) условий .На основе теоремы 4.2.4 доказывается

Теорема 4.4.3. Пусть функция принадлежит

(о,«)) функции (и о31Г1И (1 + -ь)5 ^ принад-

лежат ¿г^^Ш, Що°)) , функция H+t)^1/^^, принадле

жит ,(<?,<*>)) = х(о,о>)) ; а также удовлетворяет условиям

и,

Тогда функции

Оое) . * ЯВЛЯЮТСЯ

компонентам! решения l/(x,-fc) ' системы уравнений (I) в KI * о®) причем справедливы оценки

I||MS III I и;||Г +

Vi

++

• ИК^ГС + ) ;

IHIM!ЧнГ* С ^ ;

+

где !И\1 + + -норма в (0,0?)) , С'^р - - норма в прост-

ранстве £г(и//(1?1), (о,оо)).

Кроме того,при 1>0 справедливы оценки

( к.=-гтз, (п)

гДе |-f0 - норма в iilRO , Оо - норма в В силу неравенства (II) функции IX . к. = 4,3 удовлетворяют однородным начальным условиям (2).

Если дополнительно потребовать,чтобы функция 1

принадлежала ¿¡¡.(R^io,^)) и при некотором в & (О ; ^/г) выполнялось обобщенное условие Гельдера

Q

ке!дьI \/Ш< (12)

с постоянной Ке >0 .зависящей or 1С

4 , ТО

йт 1 Р = 0 (13)

где Jb(t)= -1 + fc .Отметим,что в условии (12) предполагается, что"Ц;и(Х<.фО при t < о .

Из (13) к (14) вытекает выполнение граничных условий (3). Теоремы 3.4.2 и 4.4.3 позволяют сформулировать общую, теорему существования решения (г ) задачи (1)-(3).

Теорема 4.4.4.Пусть функции V0,\ 00 , j = M удовлетворяют условиям теоремы 3.4.2,а функция U",^ - условиям теоремы

4.4.3.Тогда функции Vk0(,t)= Rp.k^^+^q^ + хСо,<>®) «

являются компонентами. решения iji[*|fc) задачи (1)-(3), причем справедливы оценки

IIIp'&uiT* lllf И&иГ*lll/^llft +III?Vir« (i

IIIHl^iyfVigj«"

*iii p Vj+с (| и v,-, ¡ii t i ku(, »;);

i-1

■ Z lllf С (| IV,¡C t «pUAl)

Кроме того,выполняются начальные условия (2) в следующем -смысле:при -t > 0 и любом R > О

Ъ Roe л

Z И ¡Vkfa/ifl-Vcpfa.Xt)! dXiCf/i^

KM О-оо ^

Если удовлетворяет дополнительным условиям теоремы'

4.4.3,то выполняются и граничные условия (3):

Завешает главу доказательство единственности решения задачи (1)-(3). ф

Теорема 4.4.5. Пусть ~U~= {Т^ТЛ.,"^,"1^j - решение задачи (I)-(3) при Vcl1-lTcli=V'0i=V~11 = 0 , удовлетворяющее /словиям: -

1 дЬ ) Щ > ' 9Xi ' дКг. > Vk>

Ц - принадлежат при любом cL>0/

и Wk . ЭЦц т г

ЭХ-< > э/2. > К ) И0СЛ9 умножения на

(\ +1)* принадлежат r£ х (.

'огда = О при почти всех X £ Rt и ,

Следствие 4.4.2. При выполнении условий X и Ц георе-

щ 4.4.5 однозначно определены в (0,4.)) при любом оС>0

элементы решения "U* задачи (I)-(3) "IT, . "U1 > и

р- "[Д , 2. "Щ ,где "Ц - локально квадратично интегри -

руемая в (о,4) функция, имеющая обобщенные'производные

. (Д , принадлежащие При выполнении условий на С/0- ,¡=1,3 и V(теоремы 3.4.2 и 4.4.3) решение задачи (1)43) 7 » гДе

у := г о -+-К. \1 , К =1,4 принадлежит классу единственност*

ок

задачи (1)-(3), т.'е. удовлетворяет условиям I и П теоремы 4.4.5 I следовательно, единственно в этом классе в смысле, указанном в следствии 4.4.21

Работы автора по теме диссертации

1.' Глушко А.В.1, Щербатых В.Е. Задача типа Неймана для системы уравнений движения вращающейся жидкости и принцип локализации/ Воронекйюс.ун-т. -Воронеж, 1984. -14с. -Деп. в ВИНИТИ II.-07.5 № 5560-84."

2.' Глушко АЛЗ., Щербатых В.Е.' Асимптотика при решения задачи типа Неймана для системы уравнений движения вращающейся жидкости / Воронеж .то с.ун-т. -Воронеж, 1984? -59с. -Дел.- в ШНИИ 22.11.84, № 7891-84.

3. Щербатых В.Е.' Начально-краевая задача для уравнений движения вязкой стратифицированной жидкости в полупространстве / Вороне гос.ун-т. -Воронеж, 1992. -47с; -Дат. в ШНШИ 02.12.92,

№ 3430-В92.

4. Щербатых В.Е. Оценки производных решения начально-краевой задг чи для уравнений движения вязкой стратифицированной жидкости I полупространстве // Теория функций." Дифференциальные уравнения в математическом моделировании: Тез.'докл.школы.-Воронеж, 1993. -С.148.

5. Щербатьк В.Е. Оценки производных решения начально-краевой заде чи для уравнений движения вязкой стратифицированной жидкости I полупространстве // Весенняя Воронежская математическая школа "Понтрягинские чтения 1У": Тез.докл. (3-3 мая 1993г.).-Вороне» 1993. -С.209.

6. Щербатых В.Е. Разрешимость одной начально-краевой задачи динамики стратифицированной жидкости // ХХУТ Воронежская зимняя ме тематическая школа: Сб-к науч.трудов. -Воронеж, 1994V -С.ЮЗ.

7. Глушко А.В., Щербатых В.Е. Об'одной начально-краевой задаче ди намики стратифицированной жидкости // Докл. АН -1994.-Т.32

№ 5. -С.607-609. __

Заказ 81 от 6.3.95 г. Тир. 100 экз. формат 80X90 1/16. Объем I п.-" Офсетная лаборатория В1У.