Параметрическая оптимизация упругих тонкостенных систем при многовариантном нагружении тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГБ ОД

веегоролсккй отШ ТРУДОВОГО красного знамени государства® УНИВЕРСИТЕТ ЙМ.Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО

5;э сраках руксг.гск

ЗЕБЗДОВ ПЕТР ЕЛДДККИРОВИ--

ЯАРАИПРйЧьСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ УТОПИ ТтОГ^Ш;.

■ сявт №1 штшшш штат

Сяоашшксогь 01.02.04 - •кошт«-. дафориируеаэго тэвркого теяг

Азторв$ер« 4-йхссертзаиа яа сокс.талнз ученей сг«ж»; капдигатг технических нау;

НяхниЯ Новгород - 1894

Padofa выполнена в научно-исследовательском институте механика при Нижегородском ордена Трудового Красного Замени государствен -ном университете им. К. й. Лобачевского

Научный руководитель - члей-хорресяондент РАЕН, заслуженный петель науки а техники РФ, доктор технических наук, Врофее' -op Manxes В. Е.

Официальные оппонент м: доктор фюихо-катештичесхих наук , Старший научный сотрудник НИИ механики Капустин С. А.; Кандидат технических наук Ess б. П.

В&дуиая организация - ГП " НПО Астрофизика " г. Москва.

Защита состоится " _г •

<7 7

а ' часов на заседании опециаяизаровакного совета К 063.77.10 при Нижегородском государственном университете им. й. Й. Лобачевского С 603600, Н. Новгород, ftp.Гагарина,23, корп. 6 3

С диссертацией bjsao ознакомиться з библиотеке Нижегородского государственного увг^рсйТеТа.

Автореферат разослан " z^^^^J2^ 1994 г.

Ученый секретарь специализированного соаэта, кандидат технических наук

Б. В. Трухкк

- э -

ОШЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Современны® ковструкшга аерхадьных антенн, телескопов а гелиоустановок больших ыоишостей, представляет соЗсг пространственные крупногабаритные конструкция , характеризуемые спохностьо и цвклачность& структур, множеством типовых конструктивных элеыэктоз в уэаовыя соединений. Эксплуатируется они как пра -вяло на открытом воздухе, подвергаясь при этом, кроме весовых де-Форшша постоянного характера, всей гааи климатических воздействий а нагрузок.

Далънейвэе развитие эффективных средств наземной и космической связи, радиоастрономах,освоения космического пространства, использования я преобразования энергия солнца я т.п. требует создавая возьп конструктивных решений данного вида техника.

Среди гаогочнеленных требований, предъявляемых к этим конст -румшям, особое место занимает критерий жесткого ограничения дефор-иативкостг при снижения их катерпалоешсостн. Такое совершенствование ведет к создании а развито новых направлений в соответствуй -иих областях наука, нетрадиционна подходов, эффективных кетодик, алгоритмов, программ анализа и оатккизация, где крэтерием совершенствования последних является время, которое необходимо шшишзи -ровать при достаточной точности расчета.

Диссертационная работа выполнялась в соответствия с програк -иоа Государственного Ко катета РФ по высшему образование и Фунла -иенталыше и прикладные проблемы механики деформируемых сред и ко-вструкций "

Цель диссертационной работы состоит в разработке подходов в методик, поешаавякх эффективность анализа а оптимизации, о точки зрения затрат времени, пространственных упругих систем С типа силовой каркас гелиостата) при многоваркаитном силовом и температурном воздействиях я проиэьг ~ьнех граничных условиях; проведении со-этеэтствуших численных исследований к решении новой задачи.

.-¡аучпаг новмзяа,

1. Разработка подхода к численному анализу упругих пространственных систем МКЭ при аяоговариаятаем нагрухении с использование» пр;::-:х;:пг-оупгапозш и катрка коэффициентов вяяяаяя от единичных юзаейгтзаа.

Разработка котодаа ;*1Хйха<?шг* гериатрических параметров эяерге-т тески эквиБаяеятейа ¿аднй модола объема.

3. Разработка «атэддаа оабйка вмерйало&всоста конструкций на основе энергетического критерия пра шогоагрййятном кагрухешга и заданных огргнгчонлжс на вереыэз,енп«.

4. Рассмотрение способ вкЗора оптимального сага при вычислении коэффициентов чувствительности »¡¿тодом конечнкх разностей С МКР 3.

5. Разработка отдельных адаптирования йрогралюшх блоков формирования энергетически эквивалентной замены, оценки материалоемкости конструкции с помоаьв энергетического критерия , выбора оптяйальаого нага для вычисления коэффициентов чувствительности МКР.

6. Решение вовоа оптимизационной задача применительно к пространственной конструкции гелиостата.

Практическая ценность. Практическая реализация гьгае перечне -лгхиых подходов и методик для полного анализа к оптимизации сило -вых пространственных каркасов гелиостатов.

Полученные резу; „тага была использованы е Ш10 " Астрофизика " г.Москва яа условиях г.д. работы.

Предложенные ¡мез ыогут применяться в лракте..е отраслевых НИИ. КБ предприятий для проектирования ьзшшалъных по массе конструкций при ограничениях ка характеристики НДС и геометрические па-оадйэгры о учетом дальнейших резервов .оптимального проектирования.

Лостозеркость результатов. Достоверность результатов подтверждается использованием пркнцкпоз суперпозиции и пропорциональности апробировании: гсрогракжшс средств анализа С МКЗ Э я кш{тацтонасго подхода к параметрической оптикизацки,. а так г..г решением тестовых

Апробация работы. Оснознке результаты докладывались на :

- 2-й Всесоюзной кокференаст " Вопросы налеяяоста и оптимизации строительных конструкций и' машин Севастополь, 1991 г.

- Кэадународной конференции по крупногабаритна космическим конст-

рукции, Новгород, 1933 г.

16-3 Международной конференции по теории сгоязчэк и пластин. Н. Новгород, 1593 г. Публикации. Основныз содержания работы опубликованы в статьях [ 1 ] - [ 8 ] и научно-технических отчзтах С йяв.>й? 02900037637, 02910010425 3.

- б -

Структура раСоты. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глаз, заключен::.!, списка литературы и приложения. Основной печатный текст заннкгет 91 страницу, 14 страниц занииавт иллвстрации С 25 рисунков 3 В страниц - таблицы С 9 таблиц 3 , 18 страниц -список литературы С 162 наименования ), 2 страницы - приложения . В врюогода включен докугге-ат», яодтаержагшвяа анадренае результа -тов разработок.

KPAIK0S'СОДЕРЖАНИЕ' РАБОТЫ

Во_твeg©Kмк к дисс^ртациоакоа работе рассматривается следуи -ай5 вопроса: актуальность темы исследования, указывается цель.'.ра --SoiK, йаучкая гозкзна , достоверность результатов и практическая ценность работы, апробация диссертационной работы, публикации про-ЬёКскакх у.ссяьдовангз, обг,аа и структура работы.-

LjHESSLliOs представлен сбзср сестозаая вопроса и дальнейших перспектив использования солнечной эаергва. На основе автор -схих Гойбретеый, патентов а соотвэтегьзздеа литературы, приведена классификация и висс? модели аналйбй коаструкций высокотемпературных г-пиоусттзок С ВГУ 3.

9 начала дается описан ж прйацийа, устройства а показателей работы ВГУ. Расомотррна' существующая wms и виды главных элементов ВГУ: зеркал, сиасэах каркгсор. опоыйгТЮВоротных устройств и несует опор приемника изяученаа.

Зопрос выоора расчетных схем анализа ВГУ представлен подроб -нам описанием геоыетр.чи проекта, граничных, условий,нагрузок и ма -териала.

Заключительная часть глава содержит анализ методов расчета

напряженно-деформированного состояния С НДС ) несущих элементов С силовых каркасов ) данного или подобного класса конструкций. Среди работ этого направления следует указать работы: Д.X. Аллена. С. А. Зегенрайха, П. Д. Калачева, В. Г. Киселева, А. К. Дзбамого, М-Лутца, В. а. Калкова, Р. Оыбека, В. Г. Оскгова, B.C. Поляка. Н.Ф. Попова, А.Г. Соколова. P.C. Спеха. В.И. Усохина, ,В.Р.Хайслера.Р.И. Хисаыова, _Н. А. Шошунова и др..

Во.второй главе изложены подходы и методики,повышайте эффективность модели численного анализа, с точки зрения затрат времени, упругих тонкостенных конструкция при мнэгоззрлантксм силовом и температурной воздействиях и произвольных граничных условиях. Для расчета НДС использован МКЭ, где уравнение равновесия имеет вид

1 К 3 С И > = { F > , С 1 )

< F > = { F* р> > + < Fu,.> + { F*" > + { < F* ^ > , С 2 )

где индексы p,t,e,cr,s указывают на: объемные и поверхностные наг -

рузки, начальные деформации, напряжения и сосредоточенные силы.

В ряде существующих программ анализа упругих конструкций МКЭ отсутствует возможность учета температурки воздействий. В связи с этим были рассмотрены дна варианта учета температуры в правой части С 1 3. В первом варианте - в виде фиктивных силовых нагрузок

tf"" >т = - Я н >т {Р>г dV •<Ftt> >т = - Л N JT<t}T «S • С 3 1

v s

где ( P >т , < I >т - магрицы-векторы соответственно узловых фиктивных С от температуры ) массовых' и поверхностных нагрузок. Во втором - в векторе узловых сил, обусловленных начальной дефор -

нацией < F 'с'> , в которой вектор начальной деформации < ?0>

для изотропного теплового расширения равея

U > * ( с° ;с" ;с° ;r° ;Г° iГ0 >Т» <■ аДТ;аДТ;аДГ;0;0;0 >.' С 4 )

о II гг г J ' i а aj" is

Тогда 2Ш первого случая глобальный вектор нагрузки С 2 ), на основании, принципа суперпозиции принимает вид < ? > *« < > { Ра,> < - < Г<т>I С 5 3

{ Г;Р>> *= { + { Г'р)>т ,< *= { г*11} + { С 6 )

Зо втором, используя С 3 ) , окончательно получаем

! е>

< ? > = - С В ]"[ С ] < 8о = - В Г< 1;1;1;0;0;0 >

у • ]<1У С 7)

V

1ля определения деформаций и напряжений по известным переке -щенияк используются матричные зависимости

{ I ) = I В К и },{ ¿г ) = [ д ] <<$}-<! >}+<ог > . С 8 )

о о

Далее, предложена методика анализа упруг,конструкций пря «ного2ариг.нтном нагруженини с использованием принципа суперпозиция к матриц коэффициентов влияния. Нагрузка определялась законом объемных Г= Г,С х ,х ,к 3 , поверхность,.* 1,= 1.С х ,х ,х ) сил

I I 1 г' 1 г I 1 1гз

У! тепловым воздействием Т=ТС х5.ха,яз).

Представив компоненты г"ремеиенка в произвольной точке тепа при у - а варианте нагружен::я в фррке

( ЦГ> '. И> ( цп <щ -

и . = и С Г , Г , Г ) + и ,,С I . I , I ) + и 1Т . С 1= 1,3

1 1: I л з И г а з 1Т '

( 9 )

выразив силоькэ нагрузки и теипер--уру а взде

< - < Р I ю - ( V) <ЬЛ I р> - щя <р> —

Г ,= Г , ■ А , I I. ( • В , Т » Т • • С . I 1=1.3 ).( 10Э,

- - (р> «Р! IV»

где г 1 , I 4 - функция нагрузки прз А =• < и В »1 соответственно С А и В - максимальные значения массовой в повер--

«ностноз нагрузок ); Т , - функция стационарной темпеватусы пси

V « , Л. < И»

С =1 С С у - максимальное значение температуры при у»-м варианте нагругения ), согласно принципа суперпозиции пслу'.аем выражение

( ¥» - < у> <¥» - I р <у> - (у> сип и I = и 1Г- А + ч и - в + и 1Т- с С 11 3

Я -случае нескольких вариантов нагругения при у - 1,Ф

а ® ®

* -ср> «V» * -<?> <¥» -<!»

V I А + ? и и- 3 . + I « 1Т' с С а2 ;

Аналогично представлены компоненты тензоров деформация и нал-ргггэнЕЭ

4 и =1 «к/1 £и.т"С ' С 13 }

?»=« уп

Е /V» | -'Р «(» | -<У> . .. .

»и "I "и.г-* вЧ.1'В аи.т'С Си)

ра» ЧЬI

Соответствуссша интегральные характеристики НДС г1 и о^ для обиего случая иыоет вид

l - <¥» <У> l .<¥> <f> l - <v> (V,

«« 1 I st.f • A *l сих ' + l £ui ■ G ' C 13 3

^ftst Mat.

^ = I "l.f " A *I.t ' B + ¿ Vi • C * C 16 3

ф • ' " l 1

Два очепш эффективности подхода с использованием принципа суперпозиции '.по сравнению с традиционными методами расчета) был введен численный критерия эффективности по времени в фзрме

\ * Т / Т, С 17. 5

где Т , Т - гоемл ана:льа с помогаю традиционных методов расчета, и о помощью прилета суперпозиции при всех вариантах кагрухения. -

При большом разнообразии параметров внешних нагт/жений эффективно примен.пие матриц коэффициентов влияния,схема получения которых состоит ь следуыаем: на линейно-упругое тело действует j - Я вариант е-'шичучго ь^здейстзия

{ F «J» >*= -С >VJ> >* . Fj<J! = С f* i * * f'iy: 3

Использу.т С 1 ) и С 8 ) проведем базорче расчеты т. е. опре -делим компонен/ы i i¡ 'J' > , < 1 <J)> , <ffIJ>> . Перебирая все единичные закочы воздействия С К 3, получим соответствующе базо -вые расчеты, котсэые в обаем гн«*е формируют матрицы откликов перемещений Си], дгфориацкй tila напряжений [ ff ] .

Варианты внешк;;х нагрухений представим чэрез комбинацию единичных схем воздействия и " весовые " ынояители а . Например: для га - го гарная:а нагруженчя

[Г '»] - £ ай(< Г > ... Да)< Т Ч>1 ... ай,.< ?<к')3 . С 18 )

Действительнее поля перемещений, деформаций п вагтрлгеикз оя -редэлятся из ьатркчных сооткоиепкй

(и ' }=ШКа '"»>, <? <9»Ы5] Са < *> >. (.а ' ЫаК а '*'>.( 16 5 Окончательно для веек вариантов ( И ) имеем С и Ы 5] Д и] . Для приближенной оценки эффективности использования матриц откликов-от единичных воздействий ¿ало предложено отношение

■пй = и / к с го )

Т1о коэффициенту С 20 ) бил проведен сравнительной анализ трек

схем часдапгей сеп.г-гг.гкк НДС гилоього каркяоа гелиостата !р:ю. 15 пр'л кмогогариактком ¿агрузезии с учэток теплегю: воздействий.

С ае,.ьв сокращения времени анализа деформированного СЛС) состояния рассмотрены два варианта эквивалентной замены: по жесткости и энергии. Энергетический принцип состоит в еияояяекии интегрального условия

ОисМ

Д £11 Д (II

А ♦ УА = А ♦ У А

а £—1• к. а ' " в

1.Н

С 21 )

Д - действительная работа внешних и контурных сил в области 5о после эквивалентной заме»* А*" Т02Э Для ш-ой заменяющей области.

Данная методика была показана на примере пластинчато-стержневого каркаса зеркала оптического телескопа С рис.2 ). В качестве критерия перехода к эквивалентной по жесткос.и структуре принкма -лось условие

где А

А = А"' « 22 5

А131 - работа единичных внешних сил при деформировании

эквивалентной и исходной моделей. При ьгом закономер -ность действ..л внешних сил сохранялась.

Для определения толашны Ь эквивалентной шестигранной пластины из условия С 22 Э , заменяемой вместо стержневого каркаса, решалось нелинейное уравнение

Рас, 2

ад.

- А

С 23 )

Параметра швеллера С В,Н,Ь.Ь ) шестигранной раш, вместо пластинчатого бандажа с вырезами , определялись из система 4-х нели

чеша уравнений

С B.H.h.b 3 = А

р-

р.

С B.H.h.b 3 » А

.у

Я. ,у

С 24 3

С B.H.h.b 3 = Д

а. ,1

3. «2

1< э> -

А , B.H.h.b 3 =■ А

я..* .

к. ,*

где а А А А

В Н V * I * »

p. а.,у' I.,s* s. .

компоненты действительное

работа при растяжения по направленно оси ОХ , при изгибе относительно осей 0У.02 и кручении детали баядагса вокруг оси ОХ от соответствующих единичных нагрузок : Рж=1Н,М=1Ни,Мг=1Нм, И, = 1 Нм . Система С243 решалась методом Ньстона-Рафсона на ПЭВМ.

Для проверке методики реальная и эквивалентная модгл.. просчитывались МКЭ

Третья глава посвяыена оценке упругих тонкостенных систем при

ннсговариантном нагругения на основе энергетического критерия СЭКЭ материалоемкости . предложенного В. П. Маяков®.

Методика дополнена для случая заданных ограничений на перемещения отдельных элементов или конструкции з целом. Определена степень влияния величины внешней нагрузки на значение ЭК.

ЭК для допустимых упругих систем с заданной структурой,распределением материала, граничными условиями под действием заданной" комбинации нагрузок представляет отношение

и - значение действительной энергии деформации, накопленной конструкцией. [ и 1 " возможно-допустимое значение потенциальной

п - и/ [ и 1 > и - ' U 1

С 25 )

знергки, где в случав одного материала.

[ и ] = £ <г Л V /2Е . С £6 )

Со]- допустимое напряжение.

В случае жесткого ограничения ка перемещения , для { Ц ] " лучена функциональная зависимость

I' II « « 1)] = I сг <[ и 1)]* V / 2Е С 27 3

где { а С! и П] = [ Р. СГ и 33) - а* . [ Р С! и 13) - допустим^ тараметр нагрузки, с к- максимальное эквивалентное напряжение при единичном кагругенм; для всей конструкции.

Было установлена, что численно® значение ЭК не зависит от величины параметра внешнего воздействия и определяется только перемещением и напряжением от единичной нагрузки т.е.

- = I и | • Е / а СС и 1) С 23 3

При ограничениях на капрязшгое илн деформированное состояния допустимость варианта конструкции определялась по относительным коэффициентам запаса соответственно К^ , Кц , а для случая одновременного ограничения К - е!п < К^ , ) .

Оценка материалоемкости кесуьей конструкции на основе ЭК бмяа показана на примере силового" каркаса С рис.1 3.Выполнено три базовых расчета. Допустимость варианта конструкции определялась по коэффициентам запаса при трек ограничениях . ЭК вычислялся при трех коэффициентах запаса для кагзой схемы нагругения ( табл. 1 3.

Таблица 1.

N п с х5> Т) С К -3 7) С К 3

1 0.051085 0. 051087 0.051087

а 0.082478 0. 084047 0.034047

3 0.00811 0. 008120 0.008120

Заключительная глава посвяа.ена вопросу параметрической опта -мизации упругих тонкостенных систем при шгагозариантнсм нагруяениа

So введении представлен обзор работ з области оптимального проектирования металлоконструкций саяовях каркасов. Основное направление исследований связано с отысканием конечного числа параметров ил;: конечномерного гектора параметров.обеспечивавшего оптимальность системы по определенному критерии.

Наиболее часто испоякзуеккм явяяетя хратернй мкяямума кассы npii заранее заданных граничных условиях и геометрии проекта. Дан-"оа проблеме лосвяжен» работы; И.О. Волхова, В.Г. Киселева, Д.М. Козлова, В.П. Мапкова, H.A.. Иккипева, И.И. Рабиновича, В.3. Topo -пова. A.A. Филатова, К. Фяери, К.Д. Уаллмерта, И.Р. Хана а др..

Дальнейшее интенсивное развитие в области оптимального проектирования строительных конструкций С антенн, телескопов, гелиостатов 3 определило целью оптадазашш критерий максимальной гестксста. i

Зто нашло отражение в работах Н. В. Баничукг, 3. Я Бервалдса, А. А. Борисова, В.Г. Киселева, В.А. Лебедева, В.П. !.!алкова, B.C. Поляка, Р. И. Розентула, В. А. Цельшшыпа и др..

Особый интерес представляят работы Н.Э. Ёаяпчука, A.A. Комарова,В,П. Майкова, А. Brandt, 2. Was i г. .iyski и др. .где в основу ис-

следований в области оптикизашти положены энергетические критерии.

Другое менее исследованное направление в оптимизации стержневых систем связано с постановкой и решением широкого класса задач в бесконечномерном пространстве. К задачам этого типа относятся ■ задачи определения формы конструктивных элементов.

Далее в главе формулируется постановка задачи параметричес -кой оптимизации, где в качестве критерий выбран ЭК т. е.: найти такой вектор параметров, х , чтобы

5 (iй) » ваг 1) С х ) , СЕЗЗ ? и

в области дояуспгшх значений

О « ( х : 5 0 . г б П . к «= Гы > . С 30)

яринадлегашей области поиска

П = < s : А, < х, < В, , i = ¿Л» > , П с R* с Е„ С 31 )

ill п п

£ вопросе проьеяения анализа чувствительности ЭК к перемен -ныл проектирования предлохенн два способа выбора оптимального шага при вычислении коэффициентов чувствительности С КЧ ) методом конечных разностей. Оценена их погрешность.

Для рационального выбора управлявши параметров и их формирования рассмотрено построение нормированной матрицы чувствительности. Данная матрица имеет вид

п ? и -

?«. * „

Л 4 ^

^ К1 ^ Иг

Л»

11 мя

С 32 )

•* •»

Д С, С я ) ♦ ,, Д С. С х Э где = -1-. . ?. = п а х { -^- } .

^ Л х^ 5 * ' .< 1 < к Ч Д х ^

Сравнение каждого элемента С 32 ) с единицей позволяет дать Ьцеяху его влияния на изменения аппроксимированных функция в пре -делах области анализа и ояттагазадяя.

В таблице 2 приведены численные значения нормированных ксэф -5;«лшентоз чувствительности массы и ЗК силового каркаса гелиостата С рис. 1 ) к зсесткостккм переменяны и переменным форвд.

Таблица 2.

й п н К Ч Жасткостные ПП ПП формы

Толэдна ребер Х4 Толщина пилонов Х2,м Радиус каркаса Хз,м

|ДМ/Д*, |/ пах <|ДМ/Дх |> 1 1. . 2638344 .252172-10" 2

1йт)/Дх. \/ шах С|Дг)/Дх |> 1 1 . 5038506 1. .655669'10" 3

В конце главы рассматривается пример оптимизации по массе каркаса гелиостата. Задача поставлена и решена как задача параметрической оптимизации с использованием имитационного подкола. Материалоемкость конструкции оценивалась в исходном и оптимальном проектах. Из результатов следует,что масса оптимального проекта меньше массы исходного в 2.8 раза, а значение ЭК материалоемкости увеличилось в 2. 5 раза.

В заклгчзнии приведены выводы по диссертационной работе, ко -торые в основном состоят в следусаем :

1. Рассмотрен подход к численному анализу С МКЭ 3 упругих систем при аноговаркантном нагружекии и .использованием принципа суперпо -зиции. Получены матрицы коэффициентов влияния от единичных воздействий.

2. Предложена методика нахождения геометрических параметров энер -гетичэски эквивалентной упругой модели объекта.

3. Разработана методика оценки материалоемкости конструкций с по -мощыэ энергетического критерия при многовариантном нагрухении и заданных ограничений на перемещения.

4. Рассмотрен способ выбора оптимального шага при вычислении коэффициентов чувствительности методой конечных разностей С МКР X

5. Разработаны отдельные адаптированные программные блоки формирования эквивалентной замены на основе энергетического принципа, опенки материалоемкости конструкций с помощью энергетического критерия, выбора оптимального шага для вычисления коэффициентов чув -ствительности.

6. Решены новые задача параметрической оптимизации С каркаса гелиостата 3 с использованием имитационного подхода,

ПУБЛИКАЦИИ ГО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. йвездов П. В., Псвеликин В. П. Принцип суперпозиции в анализе НДС упругих конструкция при многовараантяом кагруженни// Прикладные проблемы прочности и пластичности С ПППП 3. Исследования и оптимизация конструкций: Всесо.сз.меззуз.сб. / Няяегород. ун-т, 1991.

С. 66-72.

2. Эвездов П.В., Малхов В. П.. Повышение анализа упругих конструкций с учетом тепловых воздействий// ПППГМетоды резений: Вып. 50 : Медауз.об. / Кигегород. ун-т, 1992.

3. Ззездов П. 3., Малксв В. П. Деформационный анализ упругих систем За основе энергетически эквивалентной замены//. ПШТП. Вып. 51: Мегоуз. сб. / Нижэгород. ун-т, 1992.

а. Эвездов П. В. Эффективность численного анализа конструкций// ПППП. Был. 51: Меэсзуз. сб. / Ниг.егорол. ун-т, 1932.

5. Звездоз П. В., Малков З.П. Оценка упругих систем на основе энергетического критерия// ПППП. Вып. 32: Межвуз. сб. / ННГУ, 1992.

б. Эвездов П. В., Малков В. П. Анализ чувствительности энергетических характеристик упругих систем// ПППП. Выл 53: Мехвуз.сб./ Нижегород. ун-т, 193^.