Пентагональное уравнение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

В основе алгебраического подхода к квантовым интегрируемым системам в рамках квантового метода обратной задачи рассеяния [24] лежит (квантовое) уравнение Янга-Бакстера (УЯБ) [82, 15], решения которого обычно принято называть К-матрицами. По этой причине сам квантовый метод обратной задачи рассеяния иногда называется методом 1?-матрицы. Важная роль И-матриц проявляется и в теории точно решаемых двумерных моделей статистической физики [16], теории узлов и зацеплений [37] и в трехмерной топологической квантовой теории поля [79].

Квантовые группы [22], введенные как адекватная абстрактная алгебраическая основа для построения конкретных Я-матриц, являются алгебрами Хопфа с дополнительной структурой — квазитреугольностью — означающей наличие специального элемента, называемого универсальной И-матрицей, в тензорном квадрате алгебры, которая помимо прочего удовлетворяет УЯБ в абстрактном алгебраическом смысле. Типичные примеры квантовых групп — это д-деформированные универсальные обертывающие алгебры полупростых алгебр Ли. Мощный способ построения квантовой группы из произвольной алгебры Хопфа — это конструкция дубля Дринфельда, где универсальная Тч-матрица дается каноническим элементом. Выше упомянутые примеры квантовых групп, например, могут быть построены как дубли Дринфельда своих борелев-ских подалгебр с последующей факторизацией по ценру.

В работах [68, 11, 75, 61] с произвольной алгеброй Хопфа был ассоциирован "дубль Гейзенберга" — ассоциативная алгебра, которая в отличие от дубля Дринфельда не является алгеброй Хопфа, но тем не менее также обладает каноническим элементом в своем тензорном квадрате, удовлетворяющим нелинейному тождеству, известному как пентагоналъное уравнение (ПУ) [14]. Это уравнение в той или иной форме возникает в теории представлений групп, алгебр Хопфа и киральных алгебр двумерной квантовой конформной теории поля. Впервые оно появилось в теории углового момента в форме тождества Биденхарна-Эллиота на 6]-символы или коэффициенты Рака. По существу, ПУ отражает свойство коассоци-ативности алгебры Хопфа и аккумулирует в себе как ее алгебраическую структуру, так и структуру соответствующей теории представлений. В специальной, возможно наиболее общей форме ПУ играет важную роль в теории квазихопфовых алгебр [1] — обобщений алгебр Хопфа путем ослабления свойства коассоциативности.

Основная цель диссертации состоит в исследовании приложений ПУ в теории квантовых интегрируемых систем, а также в теории узлов и зацеплений. Достижение этой цели осуществляется путем решения следующих задач:

• исследование алгебраической природы ПУ и его связи с УЯБ (Глава 1);

• исследование различных вариантов обобщения дилогарифмической функции на основе ПУ (Главы 1,2);

• построение и исследование свойств инвариантов узлов и зацеплений ассоциированных с циклическим квантовым дилогарифмом (Глава 3);

• построение квантовой теории пространств Тейхмюллера двумерных поверхностей с проколами и исследование ее связи с квантовой теорией уравнения Лиувилля (Главы 4, 5).

То, что понятие алгебры Хопфа тесным образом связано и с ПУ, и с УЯБ означает, что эти два уравнения должны быть связаны и друг с другом. Разница между двумя уравнениями отражается в характере их связи с алгебрами Хопфа . Если решения (постоянного) УЯБ фиксируют перестановочные соотношения между образующими элементами алгебры Хопфа [7], то решения ПУ задают правила умножения для линейного базиса в ней [14]. В этом смысле ПУ значительно более сложный объект.

В частности, наиболее интересные примеры решений ПУ задаются операторами в бесконечномерных линейных пространствах. По-видимому, именно из-за этого обстоятельства П"У уделялось значительно меньше внимания по сравнению с УЯБ в прикладных задачах математической физики. Соответственно, значительно сложнее и построение явных содержательных примеров решений ПУ. В главе 1 диссертации найдена связь двух уравнений как на уровне явного построения решений УЯБ из решений ПУ, так и на абстрактном алгебраическом уровне: построен ка-ноничекий гомоморфизм дринфельдова дубля в тензорное произведение двух гейзенберговых дублей.

Технически наиболее простыми оказались функциональные решения ПУ, которые посредством квантования могут использоваться для построения более сложных решений. Построены конкретные примеры. В частности, исходя из разложений типа Гаусса в группах Ли, построен обширный класс функциональных решений ПУ, удовлетворяющие дополнительному соотношению, которое отражает тетраэдральную симметрию. Каждое такое решение эквивалентно существованию в некоторой группе Ли в частично определенного инволютивного отображения С —-> С, ]2 = 16. удовлетворяющего уравнению к*у) = зМКщМЯу)), -Цх) = х"'1

Тетраэдральная симметрия §з (группа перестановок трех элементов) здесь реализуется отображениями г,]': г2 = )2 = 1(1, г)1 = )\)

Детально исследован один пример функционального решения ПУ, который при квантовании приводит к (некомпактному) квантовому дило-гарифму (КДЛ), обозначаемому в дальнейшем фьЫ- Эта мероморфная в комплексной плоскости ъ функция зависит также от комплексного параметра Ь. Используемое нами название обусловлено следующим асимптотическим поведением где о

ШО-г)^ есть дилогарифм Эйлера. КДЛ тесно связан с двойным синусом Барнса [53, 34, 72] и обладает целом рядом замечательных свойств, среди которых выделяется пятичленное операторное тождество, впервые найденное Фаддеевым [26] фь(р) фь(ч) = фь(ч)фь(р + ч)<рь(р), [р, я] = {2т)~:

Алгебраически КДЛ связан с гейзенберговым дублем борелевской подалгебры квантовой группы IIр (3(2), точнее с ее модулярным дублем [26]. В квазиклассическом пределе квантовое пятичленное тождество в ведущем порядке воспроизводит найденное Роджерсом почти сто лет назад знаменитое пятичленное функциональное тождество на дилогарифм [69]. Тождество Роджерса само по себе лежит в основе алгебраической К-теории и привлекает в последние годы значительный интерес среди математиков и физиков [23]. В частности, это тождество тесно привязано к трехмерной гиперболической геометрии: в то время как дилогарифм (его мнимая часть) выражает объем идеального гиперболического тетраэдра (по формуле Лобачевского), тождество Роджерса отражает независимость объема произвольного идеального полиэдра от его разбиения на идеальные тетраэдры.

Алгебраические аспекты двух уравнений неразрывно привязаны к их известным геометрическим интерпретациям: УЯБ в терминах конфигураций трех прямых в плоскости или двумерных проекций конфигураций трех непересекающихся некомпланарных пространственных прямых, а ПУ как элементарное преобразование в триангулированном трехмерном многообразии. Эти геометрические интерпретации лежат в основе известных конструкций топологических инвариантов узлов и зацеплений из решений УЯБ [81] и инвариантов трехмерных многообразий из решений ПУ [77] (возникающих как обобщенные 6]-символы квантовых групп). На геометрическом уровне важнейшая разница между уравнениями проявляется в размерностях пространств, фигурирующих в интерпретации: два в случае УЯБ и три в случае ПУ. Это обстоятельство вместе с найденной связью ПУ с УЯБ дает принципиальную возможность использования ПУ для описания (И-матричных) инвариантов узлов и зацеплений в чисто трехмерных терминах, без использования вспомогательной проекции узла на двумерную плоскость. Такое ковариантное описание может не только помочь в понимании структуры известных инвариантов, но и в построении новых. На этом пути в главе 3 диссертации построен инвариант узлов с помощью циклического варианта КДЛ и из анализа его асимптотического поведения обнаружена связь с гиперболическим объемом узла. Этот результат впервые демонстрирует связь квантовых инвариантов с гиперболической геометрией в трех измерениях.

В работе [60] была установлена связь построенных в диссертации инвариантов со специализацией крашеных полиномов Джонса [36] на корни из единицы. Эта специализация, однако, отлична от специализаций крашеных полиномов Джонса на корни из единицы, которые интерпретируются в терминах корреляционных функций операторов вильсонов-ских петель в трехмерной модели Черна-Саймонса с компактной калибровочной группой 511(2) [79]. Квантовая модель Черна-Саймонса — это пример топологической квантовой теории поля, общее аксиоматическое определение которой было дано М. Атьей в работе [13]. С этой точки зрения инвариант, построенный в диссертации, скорее имеет отношение к некомпактной калибровочной группе 51(2,С). К сожалению, квантово-полевой подход через теорию Черна-Саймонса встречает серьезные трудности при попытках рассмотрения некомпактных калибровочных групп Ли [80]. Математически, проблема квантования теорий Черна-Саймонса с некомпактными калибровочными группами интересна как с точки зрения изучения пространств модулей плоских связностей некомпактных групп Ли, так и с возможностью построения (новых) инвариантов трехмерных многообразий, а также узлов и зацеплений в них. Важный и типичный пример некомпактной группы Ли - это группа 51.(2,К). Модель Черна-Саймонса с этой калибровочной группой, согласно работам Ачукарро с Таунсеном [8], а также Виттена [80], на классическом уровне описывает эйнштейновскую теорию (ее половину) 2 + 1-мерной гравитации с отрицательным космологическим членом. Фазовое пространство (его связная компонента) этой модели на поверхности постоянного времени с отрицательной эйлеровой характеристикой отождествляется с соответствующим пространством Тейхмюллера с симплек-тической структурой Вейля-Петерссона. Таким образом, мы приходим к задаче построения квантового пространства Тейхмюллера. Из работы Верлинде [78] следует, что квантовые пространства Тейхмюллера также должны описывать конформные блоки в квантовой теории Лиувилля с центральным зарядом больше единицы.

В главе 4 диссертации решается задача построения квантовой теории пространства Тейхмюллера двумерных поверхностей отрицательной эйлеровой характеристики с проколами. Квантовый дилогарифм естественно возникает при использовании координат Пеннера [64]. Теория характеризуется действительным параметром квантования Ь (постоянная Планка) . Группа классов отображений поверхности проективно реализуется в гильбертовом пространстве квантовых состояний унитарными операторами. Благодаря свойствам дуальности некомпактного квантового дило-гарифма, теория полностью симметрична относительно преобразования Ь <-> Ь-1. Это существенно квантовый эффект в том смысле, что он не может быть обнаружен на уровне квазиклассического или деформационного квантования. Другая особенность построенной теории состоит в том, что область унитарности ассоциированного представления группы классов отображений оказывается шире, чем это можно было ожидать априори, а именно: параметр Ь может быть не только действительным, но и комплексным на единичной окружности, т.е. когда

1 -|Ъ|рЪ = 0

Расширенная область соответствует комплексификации координат Пеннера, при которой квантовое представление группы классов отображений остается унитарным.

Результат вычисления проективного фактора дается целыми степенями величины е™С|-, С1. = 1 + 6(Ь + Ь-1)2 (тос1 2) что согласуется с интерпретацией квантовых состояний в терминах конформных блоков в квантовой теории Лиувилля, т.к. выражение для С[ совпадает с ожидаемым значением соответствующего вирасоровского центрального заряда. При этом упомянутая расширенная область унитарности соответствует тому, что построенная теория описывает квантовую теорию Лиувилля во всей области центрального заряда Сц > 1, включая и область сильной связи 1 < С| < 25.

Спектральная проблема для операторов, реализующих деновские скручивания (ДС), оказывается точно решаемой. Полный непрерывный спектр дается формулой

8рес(0)={е|2^|5бК>0}) Д5 = + з2 где С[ есть уже упомянутый вирасоровский центральный заряд в квантовой теории Лиувилля. Этот результат также находится в полном согласии с ожидаемым спектром конформных весов в квантовой теории Лиувилля, если использовать формулу

8рес(й) = 8рес(е'27г1ч)) где 10 — стандартный вирасоровский генератор трансляций вдоль "светового конуса" с ожидаемым спектром вида

Эрес^о) ={Д5 + тп|5 Е Е>о, тп £ 2>о}

В главе 5 исследуется квантовая модель дискретного Лиувилля, впервые рассмотренного Фаддеевым и Волковым [29], с точки зрения связи с квантовой теорией Тейхмюллера. Основной здесь результат состоит в нахождении спектра дискретного оператора эволюции вдоль "светового конуса". Оказывается, что этот оператор для модели пространственной длины 2N (т.е. такого числа узлов в соответствующей цепочке) напрямую связан с оператором ДС в квантовой теории Тейхмюллера:

Из этой формулы, принимая во внимание упомянутый спектр ДС, мы получаем спектр дискретного лиувиллевского оператора эволюции II1С:

8рес(и1с) = (е->2п(д5+т)/Ы|5 £ к>0) щ £

Заключение

Подведем итоги, перечислив полученные результаты и обсудив возникающие задачи для дальнейшего изучения.

В данной работе продемонстрировано прикладное значение пентаго-нального уравнения (ПУ) и при этом получены следующие результаты:

• на основе связи ПУ с гейзенберговым дублем алгебр Хопфа найдена связь ПУ с уравнением Янга-Бакстера, а также соответствующее каноническое вложение дринфельдова дубля в тензорное произведения двух гейзенберговых дублей (Глава 1);

• найден целый класс функциональных решений ПУ, ассоциированных с комплексными полупростыми группами Ли, и построены операторные обобщения дилогарифмической функции (Главы 1,2);

• построены квантовые гиперболические инварианты узлов и, на основе анализа их асимптотического поведения в классическом пределе, найдена связь с гиперболическим объемом (Глава 3);

• проквантованы пространства Тейхмюллера проколотых поверхностей, вычислен проективный фактор в соответствующем проективном представлении группы классов отображений, диагонализован оператор деновского скручивания (Глава 4);

• проквантовано дискретное уравнение Лиувилля и, на основе интерпретации в терминах квантовой теории Тейхмюллера, найден спектр оператора эволюции (Глава 5).

Квантовые гиперболические инварианты узлов уникальны в силу их замечательного асимптотического поведения в классическом пределе: экспоненциальный рост с коэффициентом, определяемым гиперболическим объемом узла. Это первый пример связи гиперболической геометрии трехмерных многообразий и квантовых инвариантов узлов, возникших из теории квантовых групп. В диссертации предложена конструкция инвариантов узлов в произвольных ориентируемых компактных трехмерных многообразиях на основе ПУ, где многообразие триангулировано, а узел представлен в виде гамильтонова пути в триангуляции. Эта конструкция, в отличие от И-матричной, использует чисто трехмерные данные и не требует вспомогательной планарной проекции на двумерную плоскость. С точки зрения топологической квантовой теории поля, построенный инвариант соответствует квантовой теории Черна-Саймонса с калибровочной группой 51(2,С).

Квантовая теория Тейхмюллера на проколотых двумерных поверхностях эквивалентна квантовой теории Черна-Саймонса с калибровочной группой 5Ц2,М). В основе метода, предложенного в диссертации, лежит функциональное решение ПУ вместе с дополнительным соотношением, отражающим трехмерную симметрию модели. Этод метод достаточно общий и без сомнения может быть использован для построения квантовой теории Черна-Саймонса с произвольной комплексной полупростой калибровочной группой Ли. Такая возможность обеспечивается существованием функциональных решений ПУ вместе с упомянутым дополнительным соотношением. Они ассоциированы с произвольными комплексными полупростыми группами Ли.

Перечислим задачи, которые возникают на основе результатов данной диссертации:

• обобщение квантовых гиперболических инвариантов узлов путем интерпретации непрерывных параметров циклических представлений квантовых групп в терминах плоских связностей;

• обобщение квантовых гиперболических инвариантов узлов на случай произвольных комплексных полупростых групп Ли;

• построение инвариантов узлов и трехмерных многообразий в рамках квантовой теории Тейхмюллера;

• обобщение квантовой теории Тейхмюллера на случай пространства плоских связностей произвольных полу простых групп Ли;

• обобщение результатов для квантового дискретного уравнения Ли-увилля на трехмерное уравнение Хироты;

Благодарности. Прежде всего, мне хотелось бы выразить искреннюю благодарность Людвигу Дмитриевичу Фаддееву за исключительно благотворное влияние на мое научное мировоззрение и становление, плодотворное сотрудничество и постоянную поддержку. Сама тема этой диссертации возникла на основе его идей, начиная с квантового обобщения дилогарифма.

Я очень признателен моим соавторам: А.Ю. Волкову, И.Г. Корепа-нову, Н.Ю. Решетихину, С.М. Сергееву, О. Тиркконену за плодотворное сотрудничество, а также В.В. Бажанову, Н.М. Боголюбову, А.Г. Изерги-ну, А.П. Исаеву, Й. Йокоте, А.Н. Кириллову, П.П. Кулишу, Ж.М. Майе, В.В. Мангазееву, X. Мураками, Д. Мураками, П.Н. Пятову, П.А. Сапо-нову, М.А. Семенову-Тянь-Шанскому, Ю.Г. Строганову, В.О. Тарасову, Й. Тешнеру, Л. Фрейделю за многочисленные интересные обсуждения.

Отдельная благодарность коллективу и дирекции ПОМИ РАН за помощь в подготовке материалов диссертации.

1. В.Г. Дринфельд, Квазихопфовы алгебры, Алгебра и анализ, т. 1 (1989), вып. 6, 114-148

2. P.M. Кашаев, Инвариант триангулированных зацеплений из квантового дилогарифма. Зап. Науч. Сем. ПОМИ т. 224 (1995), 208 -214

3. P.M. Кашаев, О матричных обобщениях дилогарифма. Теор. Мат. Физ. т. 118 (1999), вып. 3, 398-404

4. P.M. Кашаев, Центральный заряд Лиувилля в квантовой теории Тейхмюллера. Труды МИАН им. В.А. Стеклова т. 226 (1999), 7281, hep-th/9811203

5. P.M. Кашаев, Пентагон ал ьное уравнение и группы классов отображений проколотых поверхностей. Теор. Мат. Физ. т. 123, No. 2 (2000) 198-204

6. P.M. Кашаев, О. Тиркконен. Доказательство объемной гипотезы для торических узлов. Зап. Науч. Сем. ПОМИ т. 269 (2000), 262268

7. Н.Ю. Решетихин, Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев, Квантование групп и алгебр Ли, Алгебра и анализ, т. 1 (1989), вып. 1, 178 207

8. A. Achiicarro, Р. К. Townsend, Chern-Sirnons actions for three dimensional anti-De Sitter supergravity theories, Phys. Lett. В 180 (1986), 89-92

9. С. Adams, The knot book. An elementary introduction to the mathematical theory of knots. W.H. Freeman and Company, N.Y. 1994

10. C. Adams, M. Hildebrand, J. Weeks, Hyperbolic invariants of knots and links, Trans. Amer. Math. Soc. 1 (1991), 1-56

11. A.Yu. Alekseev, L.D. Faddeev, (T*G)t: a toy model for conformai field theory, Commun. Math. Phys. 141 (1991), 413-422

12. J.W. Alexander, Trans. Amer. Math. Soc. 20 (1928), 275-306

13. M. Atiyah, Topological quantum field theories. Publ. Math. IHES, 68 (1989), 175-186

14. S. Baaj, G. Skandalis, Unitaires multiplicative et dualité pour les produits croisés de C*-algèbres. Ann. scient. Éc. Norm. Sup., 4e série, t. 26 (1993), 425-488

15. R.J. Baxter, Partition function of the eight-vertex lattice model, Ann. Phys. 70 (1972), 193-228

16. R.J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics, Academic, London 1982

17. R.J.Baxter, S.B. Kelland, F. Y. Wu, J. Phys. A: Math. Gen. 9 (1976), 397-406

18. V.V. Bazhanov, N.Yu. Reshetikhin, "Remarks on the Quantum Dilogarithm", Preprint ANU/SMS/MRR-005-95

19. L. Chekhov, V. V. Fock, Quantum Teichmiiller spac,. Theor. Math. Phys. 120 (1999), 1245-1259, math.QA/9908165

20. J.H. Conway, An enumeration of knots and links and some of their algebraic properties, Computational Problems in Abstract Algebra, Pergamon Press, New York (1970) 329-358

21. M. Dehn, Papers on group theory and topology, J.Stillwell (eds.). Springer Verlag, Berlin-New York, 1987

22. V.G. Drinfeld, Quantum groups, Proc. I.C.M. Berkeley 1986, Amer. Math. Soc., Providence, RI, vol. 1 (1987), 798-820

23. J.L. Dupont, C.H. Sah, Commun. Math. Phys. 161 (1994), 265-282

24. L.D. Faddeev, Integrable models in (1 + 1) dimensional quantum field theory, in Les Houches Lectures XXXIX Elsevier, Amsterdam (1982), 563-608

25. L.D. Faddeev, Discrete Heisenberg-Weyl group and modular group, Lett. Math. Phys., 34 (1995), 249-54

26. L.D. Faddeev, Modular double of quantum group, Preprint math.QA/9912078

27. L.D. Faddeev, R.M. Kashaev, Quantum Dilogarithm, Mod. Phys. Lett. A, Vol. 9, No. 5 (1994) 427-434

28. L.D. Faddeev, R.M. Kashaev, A.Yu. Volkov, Srongly coupled quantum discrete Liouville theory. I: Algebraic approach and duality. Preprint hep-th/0006156, to be published in Commun. Math. Phys.

29. V. V. Fock, Dual Teichmiiller spaces, preprint dg-ga/9702018

30. D. Friedan, S. Shenker, The analytic geometry of two-dimensional conformal field theory. Nuclear Phys. B 281 (1987), 509-45

31. G. Gasper, M. Rahman, Basic hypergeometric series, Cambridge University Press 1990

32. S. Gervais, Presentation and central extensions of mapping class groups, Trans. Amer. Math. Soc. 348(8) (1996), 3097-132

33. M. Jimbo, T. Miwa, Quantum KZ equation with q[ = 1 and correlation functions of the XXZ model in the gapless regime, J. Phys. A: Math. Gen. 29 (1996), 2923-2958

34. D. Johnson, Homeomorphisms of a surface which act trivially on homology, Proc. of Amer. Math. Soc. 75 (1979), 119-25

35. V.F.R. Jones, A polynomial invariant for knots and links via von Neumann algebras. Bull. Amer. Math. Soc., 12 (1985), 103-111

36. V.F.R. Jones, Hecke algebra representations of braid groups and link polynomials, Ann. of Math. 126 (1987), 335-388

37. V.F.R. Jones, Pacific J. Math. 137 (1989), 311-334

38. V. Kac, Vertex Algebras for Beginners, AMS, Providence 1998

39. R.M. Kashaev, Quantum dilogarithm as a 6j-symbol Mod. Phys. Lett. A, Vol. 9, No. 40 (1994) 3757-3768

40. R.M. Kashaev, The Heisenberg double and the Pentagon relation. Алгебра и анализ, т. 8 (1996), вып. 4, 63 74

41. R.M. Kashaev, A link invariant from quantum dilogarithm. Mod. Phys. Lett. A, Vol. 10, No. 19 (1995), 1409-1418

42. R.M. Kashaev, The hyperbolic volume of knots from quantum dilogarithm. Lett. Math. Phys. 39 (1997), 269 275

43. R. M. Kashaev, Quantization of Teichmiiller spaces and the quantum dilogarithm. Lett. Math. Phys. 43 (1998), 105-115

44. R.M. Kashaev, The non-compact quantum dilogarithm and the Baxter equations. J. Stat. Phys. Vol. 102, Nos. 3/4 (2001) 923-936

45. R.M. Kashaev, The algebraic nature of quantum dilogarithm in: Geometry and integrable models (Dubna, 1994), 32-51, World Sci. Publishing, River Edge, NJ, 1996

46. R.M. Kashaev, Quantum hyperbolic invariants of knots, in: Discrete integrable geometry and physics (Vienna, 1996) 342-359, Oxford Lecture Ser. Math. Appl., 16, Oxford Univ. Press, New York, 1999

47. R.M. Kashaev, On the spectrum of Dehn twists in quantum Teichmuller theory, preprint HIP-2000-44/TH, math.QA/0008148

48. R.M. Kashaev, The quantum dilogarithrn and Dehn twists hi quantum Teichmuller theory, to be published in proc. of Kiev Conference "Quantum integrable systems", 2000

49. R. M. Kashaev, S. M. Sergeev, On pentagon, ten-term, and tetrahedron relations. Commun. Math. Phys. 195 (1998) 309 -319

50. L.H. Kauffman, In: Knots, Topology and Quantum Field Theories, pp. 179-334, World Scientific, Singapore 1989

51. A.N. Kirillov, Dilogarithrn identities, Prog. Theor. Phys. Suppl, 118 (1995), 61 '

52. N. Kurokawa, Multiple sine functions and Selberg zeta functions, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 67 (1991), 61-64

53. J.H. Lu, On the Drinfeld double and the Heisenberg double of a Hopf algebra,Duke Math. J. 74 (1994), 763-776

54. F. Luo, A presentation of the mapping class groups, preprint math.GT/9801025

55. J. Milnor, Ann. of Math. 76 (1962), 137

56. G. Moore, N. Seiberg, Classical and quantum conformal field theory, Commun. Math. Phys. 123 (1989), 177-254

57. H. R. Morton, The coloured Jones function and Alexander polynomial for torus knots, Proc. Cambridge Philos. Soc. 117 (1995), no. 1, 129-35

58. L. Mosher, Mapping class groups are automatic, Annals of Math., Vol. 142 (1995), 303-384

59. H. Murakami, J. Murakami, The colored Jones polynomials and the sirnplicial volume of a knot, Preprint math.GT/9905075

60. S.P. Novikov, Various doublings of Hopf algebras. Algebras of operators on quantum groups, complex cobordisms, Uspekhi Mat. Nauk 47 (1992), no. 5, 189-190; English transl., Russian Math. Surveys 47 (1992), no. 5, 198-199

61. U. Pachner, Konstruktionsmethoden und das kombinatorische Homuomorphieproblem für Triangulationen kompakter semilinearer Mannigfaltigkeiten, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 57 (1986), 69 -85

62. U. Pachner, Homeomorphic manifolds are equivalent by elementary shellings, Europ. J. Combinatorics, 12 (1991), 129-45

63. R. C. Penner, The decorated Teichmüller space of punctured surfaces, Commun. Math. Phys. 113 (1987), 299-339

64. R.C. Penner, The moduli space of punctured surfaces. In: Mathematical aspects of string theory, ed. S.T. Yau. World Scientific 1987

65. N.Yu. Reshetikhin, M.A. Semenov-Tian-Shanskii, Central extensions of quantum current groups, Lett. Math. Phys. 19 (1990), 133-142

66. L.J. Rogers, Proc. London Math. Soc. 4 (1907) 169-189

67. M. Rosso, V. Jones, On the invariants of torus knots derived from quantum groups, J. Knot Theory Ramifications 2 (1993), no. 1, 97112

68. L. Rozansky, Higher order terms in the Melvin-Morton expansion of the colored Jones polynomial, preprint q-alg/9601009

69. S. N. M. Ruijsenaars, First order analytic difference equations and integrable systems, J. Math. Phys. 38 (1997), 1069-1146

70. K. Schmiidgen, Operator representations of Uq{si{2,R)), Lett. Math. Phys. 37 (1996), 211-222

71. M.P. Schiitzenberger, Une interprétation de certaines solution de l'équation functionelle. C. R. Acad. Sci. Paris 236 (1953), 352-353

72. M.A. Semenov-Tian-Shanskiï, Poisson-Lie groups. The quantum duality principle and the twisted quantum double, Theoret. Mat. Fiz. 93 (1992), no. 2, 302-329; English transi., Theoret. and Math. Phys. 93 (1992), no.2, 1292-1307 (1993); hep-th/9204042

73. V.G. Turaév, Russ. Math. Surv. 41 (1986), 199

74. V. Turaev and O. Viro, State sum invariants of 3-manifolds and quantum 6j-symbols, Topology 31 (1992), 865-902

75. H. Verlinde, Conformai field theory, two-dimensional quantum gravity and quantization of Teichmiiller space, Nuclear Phys. B 337 (1990), 652-680

76. E. Witten, Quantum field theory and the Jones polynomial, Commun. Math. Phys. 121 (1989), 351-399

77. E. Witten, 2+1 dimensional gravity as an exactly soluble system. Nucl. Phys. B, 311 (1988/89), 46-78

78. F.Y. Wu, Rev. Mod. Phys. 64 (1992), 1099-1131

79. C.N. Yang, Some exact results for the many-body problem in one dimension with repulsive delta-function interaction, Phys. Rev. Lett. 19 (1967), 1312-131531.2 Коэффициенты Клебша-Гордана.5231.3 бфсимволы.53

80. Построение инвариантов узлов.5532.1 Декорирование и тетраэдральная симметрия . 5632.2 Топологическая квантовая теория поля.60

81. Я-матричная конструкция .64

82. Инвариант зацеплений в трехмерной сфере .66

83. Связь с трехмерным определением.69

84. Связь с гиперболическим объемом.71

85. Асимптотика инварианта для торических узлов.7337.1 Доказательство теоремы 8.75

86. Квантовые пространства Тейхмюллера 79

87. Пространства Тейхмюллера проколотых поверхностей . 8041.1 Обозначения.8041.2 Координаты Пеннера.8141.3 Пространство Тейхмюллера как система со связями 8442 Квантование.9042.1 q-Дeфopмaция. 9042.2 Представления. 9242.3 Квантовый функтор. 94

88. Спектр деновских скручиваний. 9844 Центральный заряд.10144.1 Поверхность рода три с одной выколотой точкой . . 10344.2 Связь с лиувиллевским центральным зарядом . 10545 Плетение и И-матрица.10645.1 Отношение к алгебре Хопфа.108

89. Квантовая дискретная модель Л иу вил ля 11251 Формулировка модели.11251.1 Алгебра наблюдаемых.11251.2 Уравнения движения.11352 Уравнения Бакстера.11452.1 Вывод уравнений Бакстера.11552.2 Частный случай N=1 .

90. Отношение к квантовой теории Тейхмюллера.53.1 Выбор другой триангуляции.53.2 Описание в переменных дискретного Лиувилля . . .1. Заключение