Переходы колебательных систем к хаотическим движениям через последовательности бифуркаций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ

ПЕРЕХОДИ КОЛИВАЛЬНИХ СИСТЕМ ДО ХАОТИЧНИХ РУХІВ ЧЕРЕЗ ПОСЛІДОВНОСТІ БІФУРКАЦІЙ

01.02.01 - Теоретична механіка

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук

на правах рукопису

ЗАВРАЖИНА Тетяна Вікторівна

Дисертацією е рукопис.

Робота виконана в Київському державному технічному університеті будівництва і архітектури.

Науковий керівник - доктор технічних наук, професор , Гуляев В.І.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор . Лобас Л.Г.

кандидат фізико-математичних наук Олійник В.Н. '

Провідна організація - Національний технічний університет "Київський політехнічний інститут"

Захист відбудеться ой" црш 1995 року о і'О годині на засіданні спеціалізованої рада К 01.03.02 в Інституті механіки НАН України (262057: Київ-57, вул^ П.Нестерова, 3)

З дисертацією можна ознайомитись в,науковій бібліотеці Інституту механіки НАН України

Автореферат розіслано Жашп ,1995 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, доктор технічних наук, професор

В. М. Назаренко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

АКТУАЛЬНІСТЬ І СТУПІНЬ ДОСЛІДЖЕНОСТІ ТЕМАТИКИ. Вивченню явища виникнення детермінованого хаосу в різноманітних динамічних системах присвячено багато робіт останніх років. Вони подані працями Е.Іоренца, Л.Д.Ландау, Д.Рюеля, Ф.Текенса, П.Холмса, М.Хенона, О.Ресслера, І.Помо, П.Манневіля, М.Фей-генбаума, В.І.Арнольда, В.С.АнІщенка, В.І.Гуляева, Г.М.Зас-лавського, П.С.Ланди. Л.Г.Лобаса, Ю.І.Неймарка, Л.П.Шильні-кова, О.М.Шарковського та інших вчених. В результаті цих досліджень були відкриті чотири сценарій переходу до хаосу динамічних систем. Однак найбільш повно вони були вивчені для динамічних систем, які описуються одно- та двовимірними точковими відображеннями. За допомогою методів аналогового та безпосереднього чисельного моделювання досліджені найпростіші коливальні дисипативні системи з одним ступенем волі, які допускають таке моделювання завдяки існуванню атрак-торів. У консервативних системах атрактори відсутні. Тому для аналізу їх коливань застосування методів аналогового та чисельного моделювання утруднено. Цим пояснюється відсутність докладних результатів досліджень закономірностей хао-тизації консервативних коливальних систем. Зокрема питання про побудову скейлінгових функцій траєкторій консервативних систем при переході до хаосу через послідовність біфуркацій подвоєння періоду в літературі не розглядалось. Також практично не досліджені якісні та кількісні закономірності переходів до хаосу коливальних систем з двома ступенями волі. Такім чином питання вивчення еволюції та масштабних властивостей періодичних рухів коливальних систем при переході до хаосу вивчені не достатньо. Тому тема дисертаційної роботи є актуальною.

(ЛЕТА РОБОТИ полягає в розробці та реалізації на ЕОМ методики дослідження еволюції та масштабних властивостей періодичних рухів нелінійних коливальних систем при переході до хаосу через ланцюжки біфуркацій кратного збільшення періоду, а також у застосуванні цієї методики для вивчення реальній механічних систем з одним 1 двома ступеням і чолі.

МЕТОДИКА ДОСЛІДЖЕННЯ основана на сумісному застосуванні методів продовження розв'язку по параметру, критерієв стійкості О.М.Ляпунова 1 Г.Флоке, теорії галуження, теорії скей-лінга та методів високоточного чисельного Інтегрування.

І ’

НАУКОВА НОВИЗНА РОБОТИ. Розроблена нова методика дослідження можливих шляхів переходів від регулярних до нерегулярних режимів руху механічних коливальних систем при наявності глибоких нелінійностей. З її застосоваїшям виявлені нові властивості консервативних та дисипативних коливальних систем з одним та двома ступенями волі. Установлена можливість переходу коливань цих систем до хаосу через універсальні послідовності біфуркацій подвоєння періоду. На базі побудови скейлінгових функцій траєкторій досліджені масштабні властивості знайдених субгармонійних рухів консервативних та дисипативних систем на порозі хаосу. Виявлені характерні якісні та кількісні відмінності отриманих скейлінгових функцій консервативних систем від відомого дисипативного аналога. Показано, що знайдені функції скейлінга дозволяють не тільки підтвердити значення отриманих раніше для одно- та двовимірних точкових відображень універсальних масштабних факторів, але й знайти нові універсальні сталі.

ДОСТОВІРНІСТЬ отриманих результатів забезпечується коректністю поставлених задач, математичною строгістю застосованих методів, перевіркою практичної збіжності розв’язків у конкретних задачах, збігом деяких універсальних масштабних факторів з аналогічними універсальними сталими, отриманими раніше Іншими авторами при аналізі одно- та двовимірних точкових відображень, а також детальним збігом знайдених дисипативних скейлінгових функцій з аналогічною функцією, яка була введена М.Фейгенбаумом для осцилятора Дуффіяга.

ТЕОРЕТИЧНА ТА ПРАКТИЧНА ЦІННІСТЬ роботи полягає з створенні ефективної методики, автоматизованого комплексу прикладних програм, орієнтованих на дослідження механізмів переходу до хаосу нелінійних коливальних систем із застосуванням персональних комп’ютерів серії ІВМ, в побудові скейлінгових функцій траєкторій та визначенні з їх допомогою універсальних масштабних факторів, які описують закономірності переходу до хаосу через каскад біфуркацій подвоєння періоду консервативних, дисипативних, гіроскопічних систем.

ОСОБИСТИЙ ВНЕСОК ДИСЕРТАНТА полягає в створенні методики дослідження шляхів переходу від регулярних до хаотичних рухів нелінійних коливальних систем то масштабних закономірностей перетворення фазових траєкторій систем поблизу переходу до хаосу; в розробці чисельних алгоритмів та комплексу

прикладних програм для вивчення переходів до хаосу реальних механічних систем; у дослідженні на базі запропонованого підходу ряду консервативних та дисипативних механічних систем з одним та двома ступенями волі; в аналізі результатів.

АПРОБАЦІЯ РОБОТИ. Основні результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на 54-ій науково-практичній конференції Київського Інженерно-будівельного ілсти-'туту (Київ, 1993), на 55-ій науково-практичній конференції Київського державного технічного університету будівництва і архітектури (Київ, 1994), а також на науковому семінарі з теоретичної механіки в Українському транспортному університеті під керівництвом д.т.н., проф. 0.0.Рассказова (1995).

• ПУБЛІКАЦІЇ. Основний зміст та наукові результати дисертаційної роботи відображені в 6 друкованих роботах [1-61. В роботі І В.І.Гуляєву, В.Л.Коплсіну належить постановка задачі про дослідження масштабних властивостей періодичних рухів супутника на еліптичній орбіті поблизу переходу до хаосу. Т.В.ЗавражинІй належить чисельний розв'язок задачі.

РІВЕНЬ РЕАЛІЗАЦІЇ НАУКОВИХ РОЗРОБОК. Результати досліджень, які подані в дисертаційній роботі, ввійшли до наукових звітів Науково-дослідного інституту будівельної' механіки Міністерства освіти України при КДТУБА по наступних темах НДР: Я 80/4, 80/6 за 1993 р.; шифр теми 16 ДБ-93; держ. per. Д» QI94TO04900 та J* 4.3/282 за 1995 р.; шифр теми 28 ДБ-94; держ. per. Jt 0I94U020927.

СТРУКТУРА ТА ОБСЯГ РОБОТИ. Дисертаційна робота складається з вступу, п’яти розділів, висновків та списку використаної літератури, який налічує 119 найменувань. Зміст роботи вкладений на 138 сторінках друкованого тексту. В роботі ігр.іведвно 64 рисунка та 28 таблиць.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтована актуальність проблеми дослідження переходів від регулярних до хаотичних режимів руху нелінійних коливальних систем, сформульована мета дисертаційної роботи, відзначена наукова новизна отриманих результатів, їх достовірність та практична цінність, перелічені основні положення, що висуваються на захист.

УЛ?е£шому JOMLB1 поданий обзор досліджень відомих сценаріїв нороходу від регулярних до хаотичних режимів руху ди-

намічних систем. Проаналізовані сучасні підходи до вивчення цієї проблеми. Проведені до цього часу дослідження в галузі хаотичної динаміки не дозволили виявити єдиний механізм переходу до хаосу для різноманітних динамічних систем. Заздалегідь завбачити для якої динамічної системи 1 в якому диа-пазоні значень параметрів реалізується той чи інший сценарій переходу до нерегулярних рухів фактично неможливо. Тому вивчення- універсальних закономірностей переходів до хаотичних рухів динамічних систем складає нову перспективну проблему-хаотичної динаміки. Основним апаратом вивчення цієї проблеми є метод точкових відображень. Він дозволив відкрити та дослідити різні серії біфуркацій, які призводять до виникнення хаотичної поведінки динамічних систем. О.М.Шарковським на основі аналізу відображення прямої в пряму була знайдена закономірність співіснування нерухомих точок відображення різної кратності, наслідком якої є існування широко відомої серії біфуркацій подвоєння періоду. В результаті аналітичних, та чисельних експериментів з одно-, двовимірними та багатовимірними точковими відображеннями були знайдені деякі універсальні закономірності, яким підкоряються нескінченні серії біфуркацій подвоєння та потроєння періоду, а також серії біфуркацій народження та руйнування тору.

Дослідженню універсальних закономірностей переходу до хаосу через нескінченну послідовність біфуркацій подвоєння періоду присвячені роботи М.Фейгенбаума, Ж.Гріна, Р.Мак-Кайя та В.С.Аніїценка. На прикладі одновимірного квадратичного точкового відображення М.Фейгенбаум показав, що кількісно описати цей перехід до хаосу можна за допомогою універсальних сталих, які характеризують масштабні закономірності перетворення фазового простору дисипативної динамічної системи, яка описується цим відображенням, при біфуркаціях подвоєння періоду. Стала 0 = 4,669201609... описує процес зміни масштабу керуючого параметру А при послідовних біфуркаціях подвоєння. Вона являє собою границю послідовності значень С(п> = (Л,<п*1) - \(п))/(Я(п+2) - Л<п+1)) б

та дозволяє за законом геометричної прогресії

м х<п) + <*-(п+1) - *(п> )в/(а ~ 1) завбачити граничне значення параметру на порозі хаосу, до

якого зі швидкістю 0 збігаються біфуркаційні значення параметру \м. Сталі а = 2,502907875..., р'= аг= 6,264547831...

•? ’

описують масштабні властивості зміни відстаней між поблизькими нерухомими точками 2п-пер1одичного відображення (п>>1), які виникають поблизу нерухомої точки, що відповідає максимуму квадратичного відображення, при біфуркаціях подвоєння.

В.С.Аніщенко на прикладі того ж точкового відображення показав, що для дисипативних систем Існує ще одна універсальна стала рт = -1,60119..., яка поряд зі значенням Хв дозволяє завбачити виникнення в системі хаотичної поведінки.

Для гамільтонових систем цей механізм переходу до хаосу досліджений менш детально. Це пов'язано з істотним ускладненням задачі в порівнянні з дисипативним випадком. Деякі результати дослідження таких систем отримані Ж.Гріном та Р.Мак-Кайем для двовимірних точкових відображень. Однак значення універсальних сталих в гамільтоновому випадку б = = 8,721097..., а = 4,018... відрізняються від дисипативних аналогів. Крім того, Існує доповняльна стола р = 16,36..., яка сумісно з а визначає характер самоподібиості фазової площини гамільтонової системи при біфуркаціях подвоєння.

Питання виявлення універсальних закономірностей переходу до хаосу динамічних систем, що описуються звичайними диференціальними рівняннями, досліджені не достатньо повно. Це стосується в першу чергу гамільтонових систем.

У другому розділі подана методика дослідження еволюції та масштабних властивостей субгармонійних рухів нелінійних динамічних систем при переході до хаосу, яса включає аналіз стійкості та біфуркацій субгармонічних розв'язків, знаходження в точках біфуркацій розв'язків, що відгалужуються, вивчення на базі побудови скейлінгових функцій траєкторій універсальних масштабних факторів переходу до хаосу.

Нехай рух динамічної системи описується системою диференціальних рівнянь

х = ?(х, А, о, (І)

до ха)= (х^), х2(1;),..., Хя(г), х,и), 1,(1;)............

(р = 2Ы) - р -вимірній вектор фазових координат, ?(хД,1;) -нелінійна Т - періодична по І вектор-функція вимірності р, неперервно - диференційована по х та А необхідну кількість разів, А. - скалярний параметр, який характеризує інтенсивність зовнішнього збурення.

Для дослідження еволюції усталеїшх періодичних рухів періоду КГ (к > 1) динамічної системи, що відбувається зі

зміною параметру А, будуються розв'язки x(t) системи (І), які задовольняють умовам періодичності

2(0) = х(КГ). ' (2)

Розглянемо ш -ий крок чисельної реалізації методу продовження розв'язку по параметру. Нехай при А = Ав відомий в загальному випадку наближений розв'язок 2B(t) системи (І). У припущенні неперервної залежності цього розв'язку від початкових умов 1 (0) та параметру А представимо його у вигляді ■ "xa(t) = х (хю(0), Am, t), (3)

а відповідні умови періодичності у вигляді

Хв(0) = х (xffl(0), АП, ЮС). (4)

При значенні параметру Ая+1 = Ав + бАв близькому до Affl, роз-

в'язок ?B+i(t) системи, який задовольняє умовам періодичності вигляду (4), представимо співвідношенням

1 <t) = і (t) + Сх (t), (5)

П т 1 . D П)

а відповідні йому початкові умови - співвідношенням

2 ЛО) = х (0) + Сх (0). (6)

IB т і ш І»

Невідомий вектор Єхв(0) при заданому бАв можно визначи-

ти із системи лінійних алгебраїчних рівнянь

[г. + 1(И> - Е]е?в(0) = - y^B + 1(M)SAB - «‘‘-’(М). (7)

Матриця монодромії YBt1(kT) = <»хв + ) (К)/ах(0) та вектор

у, , (И!) = ах . (М)/<5А знаходяться відповіддю з нормованої

Лв+1 в +1

фундаментальної матриці розв'язків YBt1(t) лінійного однорідного рівняння у варіаціях

*,+ 1 ■= *«Y. + i <Y»+1(0) = Е) <8>

та частинного розв'язку лінійного неоднорідного рівняння у

варіаціях

= ГА»+, + ?А „ (9)

з періодичними коефіцієнтами і = аі/вї, = оі/ох.

Для збільшення точності при визначеші 6х (0) в (7)

враховувався відхил Rm (kT) минулого ш -го кроку.

Питання про дослідження стійкості знайденого незбурено-ГО руху XBt1(t) системи (І) зводиться до вивчення стійкості тривіальних розв’язків рівнянь збуреного руху першого набли-кення

’ <І0>

Це питання вирішується на основі теорії Г.Флоке шляхом аналізу мультиплікаторів pd (Л=1Тр) системи (10). Вони являють собою власні значення матриці монодромії Ув<1(И) 1 визнача-

о

ються із характеристичного рівняння (кТ) - рЕІ = О.

Випадки, коли існує хоча б один мультиплікатор р^, який задовольняє співвідношенням ір^і = 1, ір11 < 1 ( і*і ), е критичними. У просторі станів їм відповідають точки біфуркації (V А,ь), в яких можлива розгалуження розв'язків. Побудова субгармонійних розв'язків, що відгалужуються, періоду УкТ (ка1, у>1) може бути проведена тільки методами теорії галуження. З цією метою в малому околі точки (хь, Хь) будуються рівняння галуження субгармонічпих розв'язків системи (І). їх найбільш простий тип одержаний з рівнянь (7) з урахуванням квадратичних членів розвинення по Сх&(0) та 6АЬ

[у(Укї) - Е]бхь(0) + у^(7кТ)ЄЛ.ь + ^ [2і(укТ)(ахь(0))г +

+ 22^(УкТ)бхь(0)аАь + ^(укІНб^)2] = 0. (II)

Матриці У(УкТ) = ах(7кТ)/»х(0), гі(укТ) = <»22(УкТ)/<»2(0)г, г^Укї) = агх(УкТ)/ах(0)<»А та вектори у^(УкТ) = <г2(уКГ)/<>*,, 2^(УкТ) = аг1(укТ)/ахг знаходяться з розв'язків задач Коші

Гхї = д21/аіг, ~

Задача про галуження субгармонічних розв’язків зводиться до знаходження при заданому ЗАЬ всіх малих розв'язків бхь(0) системи (II). Отримані 1 векторів бхь(0) зв'язані з 1 напрямками відгалуження УкТ - періодичних розв’язків в просторі станів. Якщо система (II) не має коренів або серед них е кратні, то у рівняннях галуження (II) необхідно врахувати члени розвинення по бхь(0) та 6АЬ більш високого порядку ма-лизни. Система (II) розв’язувалась із застосуванням модифікованого методу Ньютона. Поза біфуркаційним жолом розв'язки продовжувались по параметру вздовж кожного напрямку до наступної точки біфуркації.

Викладена методика дозволяє прослідкувати шляхи розвитку нестійкостей, які призводять до виникнення хаотичних ру-

Ь І ї

X

(ї(0) = Е),

(5^(0) = °>*

(Й^О^О), (12)

К = М*. * \

(2^(0) = 0),

хів в системі (І) га, зокрема, побудувати послідовності біфуркацій подвоєння періоду .

(А<п), 2(п>(1;), О < г і Т , Т = 2ПТ, п = 0,1,2,...). (ІЗ)

п п

Вивчення масштабних властивостей Т -періодичних рухів системи (І) поблизу переходу до хаосу базується на побудові та аналізі скейлінгових функцій траєкторій (СФТ). Побудова СФТ може .бути виконана у кожній фазовій площині (х^ (1;), і^Х)) (3 = 17Н) по кожній фазовій координаті. СФТ по координаті х^і;) та швидкості (ї) вводяться співвідношеннями

о<п)и/т ) = <п',)(г)/сз<п)(і), о « г < т , (14)

*3 “ *з *з

о<п)(г/т ) = <і(п'1>(ї)/й(п)(г), о < і < т . (15)

*з п хз хз “ -

Тут сі(п,(г), і!п)(1;) - обчислені в точці біфуркації Л = А.<п)

* 4

компоненти вектора

а(">(ї) = (?<п)(і) - г'п)(г 4 т 4))/і^<">(і)П, о ^ і < т ,

0 З 3 п -1 Д п

г<п)(г)=(х'п)(г),і'п)(і)), ібг<п><г)і»=у/(і‘п>(і))2+(х^п}(г>)г. В цій роботі введена узагальнена СФТ

о(п)(г/т ) = {(«і<“-1>(і))г + (йЦ“-1 ><г))г)/<<а«“>(«))* +

3 »• з з з

(й!п)(г))г)]1/г, о « г < т , . <іб)

з і

яка відрізняється від функцій (14) та (15) більш упорядкованим виглядом, оскільки вона мес у знаменнику меншу кількість нулів.

Дослідження СФТ потребує високої точності при визначенні членів біфуркацШюї послідовності (ІЗ), а тому використання методів високоточного чисельного інтегрування. Задачі Коші (8), (9) (а в точках біфуркації (12)) інтегрувалися сумісно методом Еверхарта II порядку. В околі точок біфуркації уточнення значень параметру А.(п) та початкових умов х<п>(0) проводилось методом половинного ділення по параметру \ до отримання 15 вірних знаків.

У третьому розділі виклалоні результати дослідження явища хеогизації коливань дисипативних та консервативних осциляторів з одним ступенем волі: осцилятора Дуффінга

х + цх + сх + ах3 = \slnwt, (17)

маятників сталої

х + цх + свіпх = Шіто* (18)

та змінної довжини .

З

« »о

- (1 + Гф)ф + пр + б8ІПф.= Лзіпиі; (19)

при зміні параметру А. інтенсивності зовнішнього гармонічного збурення, о також супутника на еліптичній ороїті

(1 + ecoзv)7 - (2езіт>)у + пгзіп7 - 4езіт> (20)

при зміні ексцентриситету е орбіти. Для систем (17) та (18) розглянуті по дві групи значень параметрів. Одна з них відповідає наявності в системі дисипації енергії, а інша - відсутності дисипації. Установлено, що як у дисипативному, так

і в консервативному випадках при деяких граничних значеннях параметру в системах (17), (18) виникають хаотичні коливання. Вони зароджуються в результаті реалізації побудованих -нами послідовностей біфуркацій подвоєння періоду. Результати дослідження еволюції періодичних рухів систем (17), (18) подані у вигляді біфуркацій них. діагрям, дерев галуження, отриманих розтинанням фазової поверхні системи гіперплощиною х(1>) = 0 або х(ї) = 0, а також фазових портретів систем та відповідних їм орбіт відображення Пуанкаре, побудованих в точках біфуркації субгармонічшх каскадів. Виникнення хаотичного режиму коливань дисипативних осциляторів на границі субгармонічного каскаду ілюструється зображеннями "дивного" атрактору, отриманими методом січної гіперповерхні Пуанкаре.

Для розглянутих дисипативних та консервативних осциляторів проведене дослідження масштабних властивостей перетворення фазових траєкторій при біфуркаціях подвоєшія. По формулах (14), (15) та (16) виконана побудова СФТ. Аналізуються характерні відмінності дисипативних та консервативних СФТ.

Виділені характерні властивості отриманих дисипативних СФТ. Ііа рис. І приведені СФТ по координаті математичного маятника. Установлено, що дисипативні СФТ мають Оагатоступін-чату форму з.явним переважанням двох яскраво виражених рівнів. їх вигляд практично не залежить ні від номеру біфуркації п (п>>1), ні від характеру нелінійності осцилятора. Вони володіють властивістю симетрії.

Для дослідження кількісних закономірностей дисипативних СФТ визначені їх значення в околі характерних точок г = = ЗТп/8 та 1; = Тп/8. За аналогією з параметрами подібності а та Р' , які були введені м.ФеЯгенбаумом при дослідженні квадратичного точкового відображення , розглянуті масштабні фактори а(п) = о*п)(г/?п)|, Р' <п) = а'п)()|ІП< Зі

збільшенням номору біфуркації параметри а(п> і Р'<п) тпішія-

Ча

ч а . •il'J»V'

. ^»м» t • ;і: ■Ф ЛНсії ULM.V.V

. -

лм/.'.ол '/11*?*. ї ТІ*.

ій

Рис

ють збіжність до значень а = 2,5029... та (3* = 5,4560.... Таюш чином, на границі Сіфуркаційної послідовності масштабний фактор а<л) збігається зі значенням універсальної сталої а , знайденим для одновимірних точкових відображень. Однак р. (п) такого збігу з квадратом значення Р' не дає. При збільшенні п масштабний фактор 0(п) = (А.(п'г) -А.(п"1))/

(д_(п-і>_ ^(п)} дисипативідїх систем збігається до універсальної сталої в . Тоді відношення 7(п> = а(п)С(п)/р' <п) знайдених у дисипативному випадку масштабних факторів із збільшенням п збігається до універсальної сталої

7 = 2,14.... (21)

Отримані нами в консервативному випадку для задач (17), (18), (19), (20) згідно з (14), (15) СФТ мають якісні відмінності від дисипативного аналогу. Вони полягають у наступному: СФТ по координаті та швидкості залежать від номера біфуркації та з його збільшенням ускладнюються; вид СФТ декілька відрізняється для моделей осциляторів з різними типами нелінійності. ІГа рис. 2 показана СФТ по координаті маятника змінної довжини. СФТ, побудовані за запропонованою нами формулою (16), не мають цих особливостей. Вони практично не залежать ні від номеру біфуркації, ні від характеру нелінійності системи. Отримані функції універсальні для всіх розглянутих коливальних систем (рис. 3).

Всі консервативні СФТ мають багатоступінчату форму. Виділити при цьму два яскраво виражених рівня, властивих дисипативним СФТ, не вдалося. Проте консервативні СФТ мають ряд характерних ділянок в околі двох груп точок

• х1= ЗТп/8, гг= 7Т/8 (23)

ь = т /16, г = зт /іб, г = 9Т /"б, ї,= ііт /іб. (23)

З п 4 п 5 п от\

Першу з них знайдено в околі точки 1; , яка розглядалась у дисипативному випадку. Проте друга ділянка в околі точки г = = Тп/8, яка властива дисипативним СФТ, у консервативному випадку знайдена не була. Замість неї виникають дві характерних ділянки в околі точок ^ та ї . Аналіз консервативних масштабних факторів а(п' = о'п)(Х/Тп)|г, р(п) =

= о*п) (ї/Т„) |х_< та 0(п) показав їх швидку збіжність до

універсальних сталих а , р , 0 , знайдених для двовимірних точкових відображень. Масштабний фактор 7(п)= а(п)0(п)/р(п), обчислений в консервативному випадку, виявляє збіжність до тієї ж універсальної сталої ■» = 2,14..., що П у диснпптишіо-

л

му випадку. Цей факт дозволяє припустити, що знайдена нами стала 7 е единил універсальним масштабним фактором дасипа-тивішх та консарЕативних систем. .

Для розглянутих систем досліджені значення ще одного. масштабного фактору коливальних систем р<п>. Це значення максимального по модулю мультиплікатора Т - періодичного руху системи в тсчці нагромадження біфуркаційної послідовності. Для дисипативних систем значення р(п) 1г збільшенням п збігаються до універсальної сталої , отриманої для од-новимірних точкових відображень. Наші установлено, що аналогічною властивістю володіють 1 консервативні системи. Однак універсальна стала рт приймає Інше значення

рм = -2,057... (24)

У четвертому розділі подані результати дослідження явища х&отизації вимушених коливань дисипативних механічних систем з двома ступенями волі. Розглянуті коливання системи зв'язаних осциляторів з різними видами нелінійних відновлюючих сил та балки з двома пружними опорами на кінцях. Обговорюються питання про вплив характеру нелінійності відновлюючих сил на особливості переходу до хаосу зв'язаних нелінійних осциляторів. Установлено, що для випадків симетричних та несиметричних пружних характеристик у цих системах хаотичні коливання виникають у результаті універсальних послідовностей біфуркацій подвоєння періоду. Найбільша досліджена кратність періоду при цьому дорівнює 512. Для кожної задачі знайдене критична значення параметру А, , після якого в системі спостерігається хаотичний атрактор. За межами біфурка-ційних ділянок із застосуванням методу Пуанкаре виконана побудова хаотичних атракторів. Установлено, що зміна тішу нелінійності впливає на характер залежності деяких складових коливального процесу, зокрема, призводить до зміни об'єме фазового простору розглянутої системи. Підтвердженням цього Факту служить зміна відповідних площин фазових площин, які займають фазові портрета, дерева галуження, дивний атрактор. Однак дослідження масштабних властивостей субгармонічних рухів цих систем показало, що поведінка систем поблизу переходу до хаосу універсальна. Тип нелінійності не впливає не тільки на вид СФТ, побудованих по кожній фазовій координаті системи, ал8 й на значення обчислених з їх допомогою мас-огаЗних факторів а , р- , 7. Установлено, видимо вперто, що

дисипативні СФТ коливальних систем з двома ступенями волі мають ті ж самі якісні та кількісні закономірності, що й дисипативні СФТ коливальних систем з одним ступенем волі.

У п'ятому розділі викладені результати досліджень еволюції та масштабних властивостей періодичних рухів дисипативної системи з двома ступенями волі при наявності гіроскопічних сил інерції при переході до хаосу. Були знайдені ті ж самі типи біфуркацій, що й для розглянутих у розділі 4 дисипативних систем з двома ступенями волі. Серед них виявлені як субгармонічні біфуркації, так 1 біфуркації Хопфа. Знайдена послідовність біфуркацій подвоєння періоду, яка призво-„дить до виникнення хаотичних коливань гіроскопічної системи. Трансформування фазового портрету системи, яке відбувається при зміні параметру А. в результаті послідовних біфуркацій, можна спостерігати на дереві галужень (рис. 4), що отримане розтинанням фазової поверхні (х2(и, хга),Х) системи гіпер-площиною х2(ї) = 0. В точках біфуркацій подвоєння періоду побудовані фазові портрети системи, що відповідають 2ПТ -періодичним (п = 073,9) коливанням (рис. 5,а-д). Хаотичний фазовий портрет показаний на рис.5,е. Аналіз закономірностей самоподібності знайдених субгармонічних рухів, виконаний на базі побудови СФТ, дозволив зробити висновок, що на границі субгармонічного каскаду поведінка гіроскопічної системи описується тими ж універсальними сталими, які були знайдені для дисипативних систем з двома ступенями волі.

ВИСНОВКИ. Основні результати дисертаційної роботи :

1. Розроблено методику та створено автоматизований комплекс прикладних програм для теоретичного дослідження еволюції та масштабних властивостей періодичних рухів нелінійних коливальних систем при переході до хаосу через послідовність біфуркацій кратного збільшення періоду.

2. На базі запропонованого підходу вивчені закономірності переходів до хаотичних рухів консервативних та дисипативних осциляторів з одним ступенем волі: осцилятора Дуффін-га, маятників сталої .та змінної довкгаш, супутника на еліптичній орбіті. За допомогою знайдених Функцій скойлінга підтверджені деякі значення універсальних масштабних факторів, отриманих раніше для одно- та двовимірних відображень. Виявлено ряд нових універсальних сталих.

3. Досліджені еволюції та масштабні властивості тріо--

X,в) I

Рис. 5

дачних рухів дисипативних коливальних систем з двома ступенями волі як при наявності гіроскопічних сил Інерції, так 1 при їх відсутності. Для системи зв'язаних осциляторів з різними видами нелінійних відновлюючих сил, балки з двома пружними опорами на кінцях та гіроскопічної системи побудовані універсальні послідовності біфуркація подвоєння періоду. Установлено, що дисипативні механічні системи з двома ступенями волі володіють тими ж якісними та кількісними закономірностями, то й дисипативні системи з одним ступенем волі. Показано, що вид скейлінгових функцій траєкторія дисипативних систем з одним та двома ступенями волі універсальний.

Результати дисертації викладені в наступних роботах:

1. Гуляев В.И., Завражина Т.В., Кошкин В.Л. Универсальности подобия перехода к хаотическим колебаниям спутника на эллиптической орбите У/ Киев. гос. техн. ун-т стр-ва и архитектуры. - Киёв, 1994. - 35 с. - Деп. в ПГГБ Украины

13.12.94 № 2369 - УК 94.

2. Завражинв Т.В. Некоторые закономерности перехода к хеосу нелинейных осцилляторов // Киев. гос. техн. ун-т стр-ва и архитектуры. - Киев, 1994. - 30 с. - Деп. в ПГГБ Украины 13.12.94 Л 2370 - УК 94.

3. Завражина Т.В. Перехода от регулярных к хаотическим режимам движения диссипативной системы с двумя степенями свободы // Киев. гос. техн. ун-т стр-ва и архитектуры. -Киев, 1994. - 23 с. - Деп. В ГНТБ Украины 13.12.94 Н 2372

- УК 94. . ■

4. Завражина Т.В. Универсальности подобия в хаотизвции колебания консервативных механических систем с одной степенью свобода // Киев. гос. техн. ун-т стр-ва и архитектуры.

- Киев, 1994. - 19 с. - Деп. в ПГГБ Украины 15.05.94 * 970 -

УК 94. V

. 5. Завраиша Т.В. Эволюция и масштабные свойства субгармонических движений системы связанных нелинейных осцилляторов при переходе к хаосу // Киев. гос. техн. ун-т стр-ва и архитектуры. - Киев, .1994. - 38 с. - Деп. в ГНТБ Украины

13.12.94 Л 237Г - УК 94.

6. Заррвккна Т.В. Некоторые закономерности хпотизации периодических колебаний // Тез. докл. 54- й ноучно-практич. конф. проф.-пропод. состгк.'.,- асп. и студ. КИСИ, апрель, 1993. - Киев, 1993. - С. тг\

За вр ангин а Т.В. Перехода колебательных, систем к хаотическим движениям через последовательности бифуркаций (рукопись). Диссертация на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.02.01 - теоретическая механика, Ин-т механики НАН Украины, Киев, 1995.

Защищается 6 научных работ, которые содержат теоретическое исследование явления возникновения нерегулярных движений в детерминированных колебательных системах, а также возможных путей перехода к хаотическим движениям реальных нелинейных колебательных систем и масштабных закономерностей, качественно и количественно описывающих перестройку форм колебаний этих систем вблизи перехода к хаосу. Установлено, что в диссипативных , консервативных и гироскопических системах хаотические колебания зарождаются в результате универсальных последовательностей бифуркаций удвоения периода. С помощью найденных функций скейлинга подверждены --значения некоторых универсальных постоянных, полученных ранее для одно- и двумерных отображений. Обнаружен ряд новых универсальных постояшшх.

Zavrazhina T.V. Vibrational System Transitions to Chaotic Motions through Sequence of Bifurcations (typescript).

Thesis for application of Ph.D. degree (Mathematics and Physics) in speciality 01.02.01 - Theoretical Mechanics, Institute of Mechanics of the Ukranlan National Academy of Sciences, Kiev, 1995. '

The six published scientific works are defended which contain the theoretical investigation results of the phenomenon of initiation of Irregular motions in the determinate vibrational systems, as well as the possible pathes of the real nonlinear vibrational systems to chaotic motions and scaling regularities, qualitatively and quantitatively describing the system vibration mode reformation nearby the chaos. It is established, that in dissipative, conservative and gyro-scoplcal systems the chaotic vibrations are generated as a result of period-doubling bifurcation sequence. Some universal constants found earlier for one- and two-dimensional mappings are validated with the help of revealed scallng-functlons. A number of new universal constants are discovered. -

КЛЮЧОВІ СЛОВА: стійкість, біфуркація, атрактор, хаос.

J.0 . '