Перенормировка спектра двумерного почти идеального ферми-газа в слабом магнитном поле электрон-электронным взаимодействием тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

£2

1=5 О,

Российская Академия Наук

"Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау

.к_________________

I

На правах рукописи

Алексей Викторович Колесников

ПЕРЕНОРМИРОВКА СПЕКТРА ДВУМЕРНОГО ПОЧТИ ИДЕАЛЬНОГО ФЕРМИ-ГАЗА В СЛАБОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ ЭЛЕКТРОН-ЭЛЕКТРОННЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Черноголовка - 1997

Работа выполнена в Институте теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН

Научный руководитель: доктор физ.- мат. наук Ю.А. Бычков

Официальные оппоненты: доктор физ.- мат. наук Е.11. Фетисов

доктор физ,- мат. наук А.М. Дюгаев

Ведущая организация: Отделение теоретической физики

им. Тамма Физического института РАН им. Лебедева

Защита состоится 29 июня 1997 г. в 11:30 на заседании диссертационного совета Д.002.41.01 Института теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН по адресу: 142432, Московская область, Ногинский район, пос. Черноголовка, Институтский просп. 12; ИТФ РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН.

АотресрерсСГ разослан 22 нлй 199 Я г.

Ученый секретарь диссертационного

совета доктор физ.- мат. наук Л.А. Фальковский

За последние 15 лет значительно вырос интерес к исследованию двумерных (20) электронных систем, помещенных в магнитное поле. Уникальность данной системы заключается в ее энергетическом спектре - он представляет собой эквидистантные спльновырождешше уровни Ландау е„ „ — Ьи>г(п + 1/2) + дрлНа-, где п -номер уровня Ландау, циклотронная частота и>4 = сП/тс, магнетон Бора ¡.¡п — ей/2тс, <т - значение проекции еппйа системы (г = ±1/2). ц - величина фактора Ланде - а также в возможности изменением внешних макроскопических параметров системы (таких как магнитное поле Н и концентрация носителей п6) манипулировать спектром системы и кратностью вырожденности его уровней п# = еН/Ьс (т.е. квантовыми характеристиками). Особенно сильно внимание теоретиков и экспериментаторов было привлечено к данной тематике после открытия целочисленного [1] н дробного квантового эффекта Холла [2] (соответственно ЦКЭХ и ДКЭХ). Несмотря на внешне кажущуюся простоту системы, после многочисленных теоретических работ и численных рассчетов выяснилась поразительная сложность ее возможных фазовых состояний. Помимо ряда ряда важных практических II метрологических приложений (высокоточный и стабильный эталон сопротивлений, возможность прямого измерения постоянной тонкой структуры с« = е2/(Ье)), изучение систем подобного рода представляет интерес и для фундаментальных исследований - оно может пролить свет на общие свойства сильно вырожденных систем. Все, что позволяет отнести ЦКЭХ и ДКЭХ к одной из фундаментальных проблем современной физики твердого тела.

Хотя ДКЭХ и ЦКЭХ п проявляются на эксперименте совершенно одинаковым образом - явление состоит в том, что при больших полях педи-агонадьная часть тензора проводимости пезависимо от температуры (она. должна быть достаточно низкой). размеров, геометрии и природы образца и контактов (важно только, что фактор заполнения V — п,./пя оставался постоянным), равна целой млн дробпой для ДХЭХ части величины е~/Л

- уже после рашшх работ стало ясно, что с теоретической точки зрения ДКЭХ и ЦКЭХ обусловлены совершенно различными физическими явлениями. ЦКЭХ является следствием эффектов 20 локализации, его можно описать простой моделью невзаимодействующих электронов в поле примесей. Для ДКЭХ же существенную роль играет электрон-электронное взаимодействие.

Первым большим достижением в теоретическом описании ДКЭХ стало введение в работе [3] вариационной волновой функции основного иевыролс-денного состояния. Оно может быть описано гак несжимаемая коррелированная жидкость при магнитных поле, соответсвующему фактору заполнения V — 1/3 и может быть обобщено па случай и = 1/2п + 1 (п

- целое). Следующий существенный шаг для более иолпого понимания ДКЭХ был сделан в [4]. В [4] задача 20 взаимодействующего электронного газа в сильном магнитном поле была сведена к исследованию новых частиц

- "составных фермионов'' в эффективном магнитном поле. Существенно,

что точно при поле, соответствующем и = 1/2, в преобразованной системе эффективно не было магнитного поля и что преобразованные частицы остались фермионамп. Эти два. обстоятельства позволили авторам выдвинуть гипотезу, что данная преобразованная система будет ферми-жидкостью и обладать всеми ее свойствами (в частности, выраженной поверхностью Ферми).- Транспортные свойства системы такого рода при изменении магнитного поля должны менятся периодическим образом, демонстрируя осцилляции типа Щубникова - де Гааза. Предельным случаем, этих осцилляции является ЦКЭХ, Таким образом холловские плато ДКЭХ можно объяснить с помощью ЦКЭХ., возникающего в преобразованной системе. Необходимо заметить, что для данного подхода существенное значение имеет вопрос о .том, является лп электронная система даже в слабом магнитном поле фер ми- жидкостью.

Концепция фермн-жндкости позволяет вместо системы сильнодействующих фермиояов рассматривать систему квазичастиц, пренебрегая взаимодействием между ними. Анализ, проведенный в работах [5] и [6], показывает, что взаимодействующие электроды в достаточно слабом магнитном поле описываются стандартной теорией ферми-жидкости. В работе [5] было показано, что зависимость собственно-энергетической части одночастич-пой функции Грина Е от магнитного поля учитывается не только обычной калибровочно-инвариантной зависимостью вида р — (е/с)А, но п выраженным явно по Н вкладом, имеющим порядок величины где й -размерность системы, р - химпотеипиал. В случае А — 3 н достаточно слабых полей второй поправкой можно пренебречь по сравнению с первой. Для размерности же & — 2 малый параметр входит в нулевой степени и корректность ферми-жидкостного подхода должна быть тщательно исследована.

Другая важная проблема, общая для систем подобного рода, возникает из-за вырожденности уровней Ландау. Согласно основам квантовой меха-кики, "включение" даже очень слабого взаимодействия между частицами может тем или иным образом частично снять это вырождение. Это может привести к весьма, нетривиальным структурам перенормированных уровней Ландау.

Цель работы

. Она состоит в определении спектра квазцчастпчных возбуждений взаимодействующей системы 20 фермнонов в слабом магнитном поле от параметров системы. Для этого последовательно будут применены методы диаграммной техники. Мы собираемся получить наглядные результаты для дальнейшего стимулирования физической интуиции. Учет электрон-электронного взаимодействия на спектр квазичастичных возбуждений сне-.темы будет произведен для простой.модели короткодействующего потенциала. После того, как нами будут получены соотношения, описывающие перенормпрованкый спектр, мы сможем указать область применения фершг-

жидкостного описания.

Аналогичный анализ для подобной модели взаимодействия был произведен для ЗБ [7] п '20 систем в отсутствии магнитного поля [8], системы в слабом магнитном поле [9]. Все перечисленные случаи являются примерами ферми-жидкости Ландау.

Научная новизна работы

Результаты, представленные в диссертации являются оригинальными. Впервые с помощью методов дпаграмной техники описан характер перенормировки спектра квазичастичных возбуждений 2Б электронного газа с короткодействующим взаимодействием в слабом магнитном поле. На основании произведенного анализа получен перенормированпый спектр системы. Обнаружено и описано характерное для 2В элекроиного газа "резонансное'' взаимодействие частиц, дающее сингулярные вклады в собственно-энергетическую функцию Грина. Данный эффект для случая полного заполнения уровня Ландау Л'о, соответствующего химпотенциалу системы ¡1. так, что Лго = вызывает расщепление затравочных уровней

Ландау. Изучено, какое влияние на перенормировку оказывает отличие заполнения верхнего уровня Ландау от полного. Получен критерий применимости Ферми-жидкостного описания для рассматриваемой системы.

Практическая и теоретическая ценность работы

В диссертации обнаружен новый эффект. характерный для любой взаимодействующей 20 электронной системы в магнитном поле - расщепление затравочных уровней Ландау при "включении" электрон-электронного взаимодействия. Для модельного потенциала взаимодействия исследовано, к какому виду одной из основных фундаментальных физических характеристик системы - ее спектра - он может привести при изменении внешних параметров. Полученные результаты могут быть проверены непосредственно на эксперименте. С теоретической точки зрения данная проблема нредстап-ляет интерес как простая и наглядная модель, с помощью которой можно попытаться описать поведение общего случая вырожденных электронных систем.

Содержание работы

Диссертация состоит из введения, двух частей, пяти глав, заключения, списка цитируемой литературы и 11 пояснительных рисунков. Во введении произведена постановка и мотивация проблемы, дан обзор необходимой литературы н кратко аннотированы результаты. В заключении сформулированы полученные результаты и выводы, обсуждена их применимость

В Части I настоящей диссертации получен перенормированный спектр затравочных уровней Ландау для случая, когда уровень Ландау, характеризуемый номером Л'о > 1 п соответствующий химпотенциалу р, полностью занят.

В Главе I введена модель короткодействующего потенциала межэлек-троноого взаимодействия. Потенциал предпологается борцовским (т.е. существенно только . Коротко обсужден метод изучения спектра системы. Задача заключается в определении одночастичкой функции Грина и нахождении с ее помощью квазичастичного спектра возбуждений системы и сводится к выбору ряда наиболее существенных членов собственно-энергетической части Е. Показано, что учет электрон-электронного взаимодействия в 20 случае в магнитном поле приводит к сингулярным "резонансным" членам в Б. Данный эффект проинтерпретирован во втором порядке теории возмущений, где С2' ~ как расщепление начального затравочного уровня Ландау на два подуровня с характерной анергией расщепления ,г ~ Г'/у^сь гДе - параметр теории возмущений. Видно, что в этой задаче возникает физический эффект первого порядка по параметру теории возмущений. Это существенно отличается от стандартной теории ферми-жидкости, где поправки от взимодействня в модели короткодействня реиориируют спектр возбуждений и ска.чок на поверхности Ферми лишь во втором порядке.

После объяснения возникающих в 2Б особенностей обсужден дальнейший алгоритм вычислений. Нужно найти все возможные резонансные члены с максимальной степенью знаменателя в каждом порядке теории возмущений, при этом важно, что определяемая ими поправка к спектру была, бы того же порядка, что и поправка от

В Главе II для случая полного заполнения уровня с. номером Л'о реализована программа, намечепая в предыдущей главе. Показано, что все существенные диаграммы, дающие тот же порядок перенормировки энергии, что и описываются единой скелетной диаграммой. Это означает,

что для рассматриваемой модели распалные процессы, при которых любая частика (дырка), присутствующая в данной скелетной диаграмме может распасться далее "перепрыгивая" на уровень Ландау, расположенный по энергетической шкале ближе к уровню Ландау Д о с рождением двух частип и одной дырки (двух дырок и одной частицы), оказываются важнее, чем все прочие эффекты взаимодействия частиц ц дырок.

Выведены уравнения Дайсона. для каждого уровня Ландау. Предложена схема, позволяющая вычислить функпии Грина и перенормнрку спектра системы для каждого номера уровня Ландау. При этом гриновская функция каждого последующего номера (т.е. более удаленного на энергетической шкале от уровня Л'о) зависит от всех предыдущих пропагаторов. Эта. схема дает в принципе возможность определить число подуровней, на которое расщепляется данный затравочный уровень Ландау. Она также позволяет дать аналогичную критерию Ладау оценку уровня Ландау АГп+&. до которого применимо ферми-жидкостное описание: кУ/^/Щ -С Ь.и>с.

Исследована поправка к числам заполнения уровней Ландау, Она определяется иерезонансными членами собственно-энергетической части и оказывается второго порядка по теории возмущений, в полной аналогии с обыч-

ной теорией ферми-жидкости.

Анализ проблемы в случае полного заполнения существенно облегчает невырожденность основного состояния системы. Указанное обстоятельство позволяет польчоваться формализмом временной диаграммной техники, что обуславливает отсутствие членов, пропошюнальных обратным степеням температуры в

Напротив, в Части П, где рассмотрен случай неполного заполнения уровня Ландау N1 (так, что - фактор заполнения уровня Д^, а Агд и все расположенные ниже уровни полностью заполнены), необходимо пользоваться температурной днаграшюй техникой. Физически, '»то обочнпчает необходимость учета возможности многократного рождения электрон-дырочных пар.

В Еааве_Щ произведена общая постановка проблемы, описан метод ее изучения п введены существенные процессы, определяющие перенормировку спектра для случая щ ф 1. 'Задача теперь состоит в нахождении зависимости спектра от трех мал)ых параметров (1/Ао, (1 — щ) н параметра теории возмущений V"), нахождения критерия применимости ферми-жидкостного описания п определения величины (1 —1/0), до которой результаты главы II еще применимы.

Существенным оказывается обстоятельство, что физически интересный результат (поправка к спектру системы) определяется параметром первого порядка теории возмущений. Это дает возможность использовать в качестве факторов заполнения, возникающих при вычислении конкретной диаграммы в И, их затравочные значения. Очень важным следствием этого факта является отсутствие для используемого модельного межэлектронного взаимодействия вкладов в И. пропорциональных обратным степеням температуры. Данное утверждение может быть доказано с помощью алгоритма Латтинжера [10], физически оно соответствует запрету "прямого" рождения электрон-дырочных пар на данном уровне Ландау из-за того, что у короткодействующего потенциала только частицы с противоположнонаправлениы-ми спинами взаимодействуют. В отличие от предыдущей части, неравенство

ф 1 дает возможность "косвенного" рождения электро-дырочных пар. Так, дырка, находящаяся на уровне Д*0' может перескочить на уровень если одновременно е ней на уровень Д"(| перескочит один электрон. Эффект оказывается мал п меру малости (1 — иц). однако из за него при отборе существенных диаграмм необходимо теперь оставить диаграммы.' имеюшпг в данном порядке теории возмущений минимально возможный параметр (1 — Ц1) . 'Это приводит к тому, что кроме рас паяных диаграмм, по-прежнему содержащих минимально возможную степень 1/Уц, возникает новый ряд. содержащий минимальную степень (1 — щ). В зависимости от того, рассматривается ли электрон пли дырка, в этой новой последовательности будет существенную роль играть вершина куперовского или ноль-звукового тина.

Еще одним следствием невозможности взаимодействия частиц и дырок на уровне Л/,} является то, что перенормированное значение энергии этого уровня совпадает г затравочным.

В главе Главе IV будут выведены уровнения Дайсона для всех уровней Ландау для случая Л'0(1 — iai) < 1 ч определена ренормировка энергетического спектра системы.

Из оценки двух основных последовательностей, приведенных в предыдущей главе, ясно, что характер перенормировки уровней Ландау будет существенно отличаться для двух предельных случаев, определяемых неравенствами jVo(l -i/o)> 1 и Лго(1 — ид) <С 1. В каждой из этих ситуаций становятся существенными два различных ряда диаграмной техники. Сначала изучена ренормировка близжайшнх к Аг0' уровней Nq -flu A'q . Анализ показывает, что для этих двух уровней существенные диаграммы учитываются уравнением Дайсона, у которого все точные гриновскне функции заменены затравочными, а вершина совпадает с вершппой куперовского типа для Лр| + 1 или ноль-звукового типа для Ад. Опенка полученного уравнения Дайсона дает в результате сдвижку обоих уровней в одном направлении, причем величина сдвижки совпадает для обоих уровней: .г ~ l'"(l— va). Перенормировка уровней ArJ -f 1 и A'J - i представляет собой расщепление каждого из них па два подуровня.

Для всех прочих уропней Ландау, расположенных далее по энергетической шкале от уровня A'J, можно утверждать, что при Аго(1 — щ) <С 1 характер перенормирования энергии в системе будет по существу совпадать со случаем щ = 1- Поправка от процессов, обусловленных отличием i/q от 1, оказывается даже меньше, чем поправка от от процессов следующего порядка теории возмущений, рассмотренных при анализе в главе II.

Напротив, в Главе V рассматривается ситуация, для которой характер перенормировки епстсмы существенно отличается от ситуации и0 = 1.

Сначала, как к в предыдущей главе, анализируется перенормировка близжа.йших к Аг0' уровнен для случая Л'о(1—0 1. Показано, из каких соображений можно вывести уравнения Дайсона. Теперь в них нельзя заменить полные гршювекие функции на затравочные. Для уровня Ar0' -f 1 берется куперовская, для Л'(] - иоль-звуковая вершина. Оценка решения уравнения Дайсона показывает, что перенормировка спектра, как и в главе IV, представляет собой сдвижку уровней Ландау на величину х ~ V(i — г/0). Величина сдвижки тождественна для обоих рассматриваемых уровней. Этот результат, а также отсутствие многократных распадных процессов и невозможность "прямого" взаимодействия с частицами it дырками на уровне .V,', (запрет по спину), позволяет заключить, что растепление уровней ,Vr! + I и А'(| — 1 и его величина, найденная в предыдущей главе, сохранится.

Утверждения, о характере спектра, сделанные в настоящей главе, верны для любых значений А'о( 1 — i/o) при {1 — i>o) -С Г Если же начать рассматривать более удаление от А*,', уровни, необходимо будет учитывать комби-

нации "старых' процессов. определявших расщепление для случая 1/п — 1 и процессов, определявших в прошлой главе перенормировку блпзлежавших к 4 уровней (при щ = 1 он» отсутствовали). Характерная перенормировка .энергии "старыми" процессами с V,, а "новыми": г ~ Г(1

Ясно, что перенормировка спектра будет существенно отличаться для 1 > (1 — > 1/^ I' 1/^ > {1 — Щ) > 1/Л'о- Далее мы проведем анализ только случая первого неравенства.

Асснметрия( найденная нами, когда перенормировка уровней Л'д — 1, Л"д и Лгп 4-1 имеет различный порядок сравнительно с ^, Лго 4- 1 сохранится для всех уровнен Ландау. Характерная перенормировка энергии зависит от спина уровня Ландау. При этом ренормировка-уровней с проекцией спина "вверх" будет иметь величину г ~ 1'(1 - 1У0), существенно большую, чем у уровней с проекцией спина "вниз''.

Т.о. может быть сформулирован критерий применимости ферми-жидкостного описания системы. Оно применимо для случая 1 (1 — 1/0) 3> 1 До уровня Дго, + к, где кУ/у/Щ -С Ьи,., при этом должно быть

выполнено: Г(1 — у») <С Ьт,-.

Основные результаты

Для рассматриваемой в диссертации модели короткодействующего меж-частпчного взаимодействия для исследования 20 электронного газа в слабом магнитном поле пролучены следующие результаты:

1. Обнаружено, что при "включении" электрои-электрошюго взаимодействия из-за эквидистантности затравочных уровней Ландау в '20 газе в собственно-энергетической части одночастнчной функции Грина будут возникать резонансные члены. 'Эти члены сингулярны при значениях энергии, соответствующим уровням Ландау, что существенно отличается от обычной теории фермтг-жндкостн Ландау.

2. Для случая полностью заполнчшого уровня Ландау найденное "резонансное" взаимодействие будет вызывать расщепление затравочных уров-пей. Показано, ка кпм образом может б* тть определено число расщепнвшцхс я уровней и дана опенка характерной энергии расщепления в зависимости от номера уровня.

3. Исследовано влияние отличия фактора заполнения верхнего частично заполненного уровня Ландау от единицы на перенормировку спектра системы. Предсказан характер перенорпрования для двух случаев: 1. Д'а(1-¡/0) <С 1 и '2. I (1 — щ) 1/у/Щ. Показано, что в первом случае общая картина расщепления, найденная для щ — 1 сохраняется. Напротив, во втором случае спектр может быть описан как перенормровка зеемановскпх уровней.

4. Проведена аналогия с обычной феми-жпдкостью Ландау п выведен критерий, определяющий условия, когда слабо взаимодействующая электронная система- в слабом магнитном поле может быть описана теорией ферми-жидкости Ландау.

Аппробация работы

Результаты работы докладовались на заседаниях ученого совета Института теоретической физики им. J1.Д. - Ландау (1996, 1997 гг.), на общемосковском твердотельном семинаре Б.А. Волкова теоротдела ФИАНа, на второй международной школе им. Л.Д.Ландау (1994 г.), на. семинаре теоретической группы ироффесора R.Lipperheide из Halm-Meitner-Institute, Берлин (199G г.) и на теоретическом семинаре института РТВ ироффесора W.Ape! (1997 г.) Браушпва.йг, Германия.

Публикации по теме диссертации

1. Ю.А.Бычков. А.В.Колеснпков, Слабо неидеальный Ферми-газ в магнитном поле, Письма в ЖЭТФ 58 349 (1993)

2. Ю.А.Бычков, А.В.Колеснпков, Почти идеальный Ферми-газ в слабом магнитном ноле, ЖЭТФ 107 1933 (1995)

3. A.V.Ivolesnikov, Nearly ideal Fermi gas in a week magnetic field, submitted to Phys.Rev. В (1996)

Литература

[1] К.von Klitzing, G.Dorda, and M.Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980)

[2] D.C.Tsui, H.L.Stormer, and A.C.Gossard, Phys. Rev. Lett. 48', 1559 (1982)

[3] R.B.Laughlin, Phys. Rev. Lett. 50, 1395 (1983)

[4] B.I.Halperin, P.A.Lee, and N.Read, Phys. Rev. 47,7312 (1993)

[5] J.M.Luttinger, Phys.Rev 121, 1251 (1961)

[6] Ю.А.Бычков Л.П.Горьков. ЖЭТФ 41, 1592 (1961)

[7] В.М.Галицкпй. ЖЭТФ 34. 151 (1958)

[8; P.Bloom, Phys. Rev. 12. V2b (1975) , '

Щ И.А.Ахиезер, С.В.Иелетмннскнй ЖЭТФ 39, 1308 (I960) [10] J.M'.Luttinger. Phys. Rev. 121, 942 (19(30)