Периодические решения квазилинейных гиперболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.956.35

Рудаков Игорь Алексеевич

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

¿^ШУ

Москва 2008

003450586

Работа выполнена на кафедре математики и моделирования экономических систем Брянского государственного университета имени И.Г. Петровского

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор В.А. Кондратьев. Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор С.И. Похожаев, доктор физико-математических наук, профессор В.А. Треногин; доктор физико-математических наук, профессор Ю.А. Алхутов.

Ведущая организация: Московский энергетический институт.

Защита диссертации состоится 28 ноября 2008 г. в 16 ч. 40 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 24 октября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

И.Н. Сергеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Во многих физических задачах, связанных с процессами колебаний, возникают квазилинейные уравнения гиперболического типа. В диссертации рассматриваются уравнения, описывающие процессы колебаний струны, продольные или поперечные колебания стержня, распространение волн в неизотропной среде (сейсмические волны), распространение электромагнитных волн, процессы колебаний мембраны, плоской пластины, идеального газа в некотором объеме. Если внешняя сила, нелинейное слагаемое и коэффициенты периодичны по времени, то естественным образом возникает задача о доказательстве существования периодических по времени решений.

Проблема существования периодических по времени решений нелинейных уравнений, начиная с классических трудов Пуанкаре, является одной из весьма значимых и актуальных. В последние годы интерес к этой проблеме значительно возрос в связи с разработкой новых методов, которые позволили получить приложения, в частности к тем классам уравнений, которые рассматриваются в диссертации. К ним относятся такие, например, методы, как различные варианты "леммы горного перевала" А.Амбросетти, П. Рабиновича1, метод расслоения С.И. Похожаева2, методы Н.Брезиса и Л.Ниренберга, основанные на теории степени отображения3.

Работы 60-х годов прошлого века авторов О. Veivoda4, Н. Lovicarova5, Р. Rabinowitz6 являются одними из первых, в которых исследуется задача о существовании периодического по времени решения достаточно малой амплитуды слабо нелинейного волнового уравнения

' L.Nirenberg. Variational and topological methods in nonlinear problems. Bull. Amer. Math. Soc.(N.S.). 1981, V 4, № 3, P. 267-302.

2 С.И.Похожаев. О методе расслоения решения нелинейных краевых задач. Тр. Матем. Ин-та АН СССР. 1990, Т. 192, С. 146-163.

3 H.Brezis, L.Nirenberg. Characteriations of the ranges of some nonlinear operators and applications to boundary value problems. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, 1978, V. 5, No 2, P. 225-325.

4O.Vejvoda. Periodic solutions of a linear and weakly nonlinear wave equations in one dimension. Czech. Math. J, 1964, V. 4, P. 341-382.

5 H.Lovicarova. Periodic solutions of a weakly nonlinear wave equations in one dimension. Czechoslovak Math. J., 1969, V. 19(94), P. 324-342.

6 P.Rabinowitz. Periodic Solutions of Nonlinear Hyperbolic Partial Differential Equations. Comm. Pure Aple. Math. 1967, V. 20, P. 145-205.

"«-"xc =£g(x,t,ux,ut) с нулевыми граничными условиями Дирихле. В 70-80-х годах в работах X. Брезиса, Л. Ниренберга 3,7, П. Рабиновича8, П.И. Плотникова9, К. Танаки10, Е. Файрайсла11 получены не локальные теоремы существования периодических решений квазилинейного волнового уравнения

«»-и»+*(«)■=/(*>') (1)

с нулевыми граничными условиями Дирихле u(0,t) = u(n:,t) = 0. В работе 7 доказано существование периодического решения при любой правой части /, если нелинейное слагаемое g непрерывно и

| Л0 |+£T < !-£• при \и\>С, (2)

и

где е >0, С >0, Л_х - -3 есть наибольшее отрицательное собственное значение оператора Даламбера □, действующего на гладких 2 п -периодических по t функциях, удовлетворяющих нулевым граничным условиям по х, Л0 -0 есть

собственное значение □ бесконечной кратности. Неравенства (2) являются условием отделимости графика функции y = g(u) при больших значениях |и| от прямых у=\Л0\и и \и. Если оно не выполнено, то есть примеры,

когда уравнение (1) не имеет решения. Для произвольных отрицательных соседних собственных значений оператора Даламбера аналогичный результат получен в 3 лишь для частного случая асимптотически линейных функций

g{u) в том смысле, что существует lim —и Л не является

и-мо и

собственным значением оператора Даламбера. В диссертации существование

7 H.Brezis, L.Nirenberg. Forced vibration for a nonlinear wave

equations. Comm. Pure Aple. Math., 1978, V. 31, № 1, P. 1-30.

' P.Rabinowitz. Large amplitude time periodic solutions of a semilinear wave equations. Comm. Pure Aple. Math., 1984, V. 37, P. 189-206.

' П.И.Плотников. Существование счетного множества периодических

решений задачи о вынужденных колебаниях для слабо нелинейного волнового уравнения. Мат. Сб., 1988, Т. 136(178), № 4(8), С. 546-560. ,0 К. Tanaka. Infinitely many periodic solutions for the equations: u„-u„ ±|u|'"' и = f(x,t) . Comm. in part. diff. equations, 1985, V 10, № 11. " E.Feireisl. On the existence of periodic solutions of a semilinear wave equation with a superlinear forcing term. Chechosl. Math. J., 1988, V 38, № 1, P. 78-87.

периодических решений доказано, если выполнено условие вида (2) с произвольными отрицательными соседними собственными значениями волнового оператора.

В работах7,3 исследован также резонансный случай, когда lim —(либо

и—ко к

верхний или нижний предел) равен собственному значению □. В работах8'11 доказано существование счетного числа периодических решений уравнения (1) в автономном случае, когда нелинейное слагаемое имеет степенной рост. В 9,10 получено счетное число решений уравнения (1) в неавтономном случае, если нелинейное слагаемое имеет степенной рост и однородное. При этом в работе П.И. Плотникова 9 нет ограничений на показатель степени. В работе X. Брезиса12 рассматривается задача о свободных колебаниях струны

закрепленной в точках 0,л. Функция g(u) непрерывна, не убывает и

g(0) = 0. При предположении выполнения условия (2) и g'(0)>IÂ_, | доказано

существование нетривиального решения. Из приведенных выше условий вытекает, что график функции у= -g(и) пересекает линию у =Л^и. Не

трудно доказать, что если при и*0 график функции y=-g(u) отделен от

линий у=Лпи, то имеется только тривиальное решение _у=0. Здесь

Л„ (ne Z) есть пронумерованные собственные значения оператора

Даламбера. В работе J.M. Coron13 с помощью специальных инвариантных подпространств удалось избавиться от условия монотонности. В диссертации существование свободных колебаний доказано без предположения монотонности g (и) при произвольных соседних собственных значениях □, что позволило доказать существование нетривиальных, периодических решений уравнения sin-Гордон на отрезке с граничными условиями 3-го рода и Дирихле.

12 H.Brezis. Periodic solutions of nonlinear vibrating string and duality principles. Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.>, 1983, V. 8, » 3, P. 409-426.

13 J.M. Coron. Periodic solutions of a nonlinear wave equations without assumption of monotonicity. Math. Ann, 1983, V. 262, № 2, P. 273-285.

3

Статья V. Barby, N.H. Pavel14, опубликованная в 1997 г., является одной из первых, в которой рассмотрена задача о периодических решениях волнового уравнения с переменными коэффициентами и однородными граничными условиями Дирихле. Нелинейное слагаемое g(u) непрерывно, не убывает, удовлетворяет условию (2) и глобальному условию Липшица с константой а <|Я_, |. При выполнении данных условий доказано существование

периодического по времени решения. В диссертации аналогичный результат получен без условия Липшица, для произвольных соседних собственных значений волнового оператора с однородными условиями Дирихле и третьего рода.

Начиная с 1991 года в работах И.А. Кузина15, J. Mawhin, J. Berkovits и А.К. Ben-Naoum16,17,18 исследуется задача о периодических решениях многомерного квазилинейного волнового уравнения в шаре. В работе И.А. Кузина15 доказано существование счетного числа радиально симметричных решений, когда нелинейное слагаемое имеет степенной рост. В работах16,17'18 для случая четных размерностей доказано существование радиально симметричных 2л - периодических по времени решений, если нелинейное слагаемое удовлетворяет условию "нерезонансности". В случае нечетных размерностей периодическое решение получено, если правая часть лежит в подпространстве бесконечной коразмерности. В диссертации доказано существование периодических решений при любой периодической правой части для нечетных размерностей и произвольном периоде времени, соизмеримым с радиусом шара, когда нелинейное слагаемое удовлетворяет условию "нерезонансности".

Задача о периодических по х и t решениях нелинейных гиперболических уравнений, содержащих производные первого порядка изучены в работах Т.И. Кигурадзе. В работах Н.Х.Розова и А.Ю.Колесова19 приводятся алгоритмы построения инвариантных торов квазилинейных телеграфных уравнений, исследуется вопрос о существовании и устойчивости их периодических решений, бифурцирующих из нулевого положения равновесия. Отметим также работы Ю.О. Митропольского, Г.П. Хомы, Н.Г. Хомы, С.Г. Хомы-Могильской, в которых получены различные интегральные представления периодических решений волнового уравнения.

14 V.Barby, N.H.Pavel. Periodic solutions to nonlinear one dimensional wave equation with x - dependent coefficients. Trans. Amer. Math. Soc., 1997, V. 349, » 5, P. 2035-2048.

15И.А.Кузин. Существование счетного множества периодических сферически симметричных решений нелиней-ного волнового уравнения. Известия РАН. Серия математическая. 1991, Т. 5. N1. С.110-133.

"а.К.Ben-Naoum, J.Mawhin . Periodic solutions of some semilinear wave equatons on balls and on spheres. Top. Meth. Nonl.Analysis, 1993, V 1, ti 1, P. 113-137.

17 A.K. Ben-Naoum,J. Berkovits. On the existence of periodic solutions for semilinear wave equation on a ball in R" with the space dimension n odd. Nonlinear Anal. TMA, 1995, V 24, If 2, P. 241-250.

18 J. Berkovits, J. Mawhin. Diophantine approximation. Bessel functions and radially symmetric periodic solutions of semilinear wave equatons in a ball. Trans. Amer. Math. Soc., 2001, V. 353, № 12, P. 5041-5055.

19 H.X. Розов, А.Ю. Колесов. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений. М.: Физматлит, 2004,405 с.

Цель работы. Целью работы является систематическое изучение вопросов разрешимости задачи о периодических по времени решениях гиперболических уравнений с различными типами нелинейных слагаемых (имеющих степенной рост, либо удовлетворяющих условию нерезонансности), с различными граничными условиями, с переменными и постоянными коэффициентами, в частности доказательство существования периодических решений волнового уравнения при любой правой части, когда нелинейное слагаемое удовлетворяет условию "нерезонансности" с произвольными соседними собственными значениями оператора Даламбера; доказательство счетной разрешимости задачи о периодических решениях волнового уравнения с переменными коэффициентами и различными граничными условиями, когда нелинейное слагаемое имеет степенной рост; получение условий существования свободных периодических колебаний в нерезонансном случае; доказательство существования периодических решений уравнения эт-Гордон на отрезке с граничными условиями 3-го рода и Дирихле.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказано существование периодических решений волнового уравнения с однородными граничными условиями Дирихле в нерезонансном случае для произвольных соседних собственных значений(обобщение теоремы X. Брезиса-Л. Ниренберга).

2. Доказана разрешимость задачи о периодических решениях волнового уравнения с граничными условиями Неймана и 3-го рода. Исследован вопрос о единственности решения.

3. Доказаны теоремы о существовании периодических решений квазилинейного волнового уравнения с переменными коэффициентами.

4. Доказано существование периодических решений многомерного волнового уравнения в шаре с нулевыми граничными условиями Дирихле в нерезонансном случае для нечетных размерностей и для четных размерностей с произвольным периодом, соизмеримым с радиусом шара.

5. Доказано существование счетного числа периодических решений автономного волнового уравнения с граничными условиями 3-го рода и с переменными коэффициентами с нелинейным слагаемым, имеющим степенной рост. Доказано существование периодического решения неавтономного волнового уравнения с переменными коэффициентами в резонансном случае.

6. Доказано существование нетривиального периодического решения для волнового уравнения с немонотонной нелинейностью (обобщение теоремы X. Брезиса), а также для уравнения колебаний плоской пластины и балки. Доказано существование нетривиального периодического по времени решения уравнения эт-Гордон на отрезке с однородными граничными условиями Дирихле и 3-го рода.

Методы исследования. В диссертации используются методы компактности, малого параметра, конструкция Ляпунова-Шмидта, теория монотонных операторов, топологические методы (теория степени отображения), вариационный метод.

Для исследования случая произвольных соседних собственных значений разработаны методы доказательства существования решений нелинейных уравнений в гильбертовом пространстве (теоремы 1.2, 1.3 главы 1), когда линейная часть уравнения имеет бесконечное ядро и когда обратный к линейной части оператор на дополнении к ядру не является вполне непрерывным. Эти методы применяются в главе 1 при исследовании волнового уравнения с постоянными и переменными коэффициентами, с различными граничными условиями, а также при исследовании радиально симметричных решений многомерного волнового уравнения.

Для доказательства основных результатов главы 2 выведены асимптотические оценки собственных значений оператора Даламбера, с помощью которых удалось получить специальное разложение пространства ¿2 в сумму трех ортогональных подпространств. Это позволило, опираясь на леммы Файрайсла", доказать счетную разрешимость волнового уравнения с переменными коэффициентами и граничными условиями 3-го рода со степенной нелинейностью.

Результаты главы 3 опираются на лемму "горного перевала" А.Амбросетга, П.Рабиновича1. Для ее применения разработан метод построения "зацепляющихся" поверхностей, с помощью которых находятся критические точки соответствующего функционала.

Теоретическая и практическая ценность. Предлагаемая работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в теории нелинейных уравнений в частных производных. Разработанные методы могут быть использованы при доказательстве разрешимости квазилинейных уравнений математической физики20. Разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов для студентов и аспирантов, обучающихся по специальности математика.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на следующих научных конференциях:

•International Petrovskii Conférence "Differential Equations and Related Topics". Moscow M.V. Lomonosov State University, 1985,1986,1991, 2001,2004,2007. •Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, июнь 2008.

•Международная конференция "Тихонов и современная математика", посвященная 100-летию академика А.Н.Тихонова, Москва, МГУ им. М.ВЛомоносова, факультет ВМиК, 2006. •Международная конференция, посвященная 85-летию члена-корреспондента РАН ЛД.Кудрявцева, Москва, РУДН, март 2008. •Всероссийская конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения", посвященная 70-летию проф. В.А.Кондратьева, Самара, 2005. •Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения". Воронеж. 2000,2003.

•Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории

краевых задач". Воронеж. 2000,2003. •Международный симпозиум "Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках", посвященный 80-летию М.А. Красносельского. Воронеж. 2000.

Тезисы докладов опубликованы в сборниках тезисов соответствующих конференций.

20 J. Shuguan. Tune periodic solutions to a nor.Iinear wave équation with x-dependent coefficients. Cale. Var., 2008, N32, P. 137-153

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях следующих научных семинаров:

•МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет: семинар под руководством проф. В.М. Миллионщикова, проф. В.А Кондратьева, проф. Н.Х. Розова (март 2007 г., октябрь 2008 г.).

• МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет: семинар под руководством проф. A.A. Шкаликова, проф. А.Г. Костюченко (февраль 2008 г.).

• МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет: семинар под руководством проф. A.C. Шамаева, проф. В.В. Жикова, проф. Т.А.Шапошниковой (ноябрь 2007 г.).

• МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет: семинар под руководством проф. В.А Кондратьева и проф. Е.В. Радкевича (март 2004 г., февраль 2007 г.).

• МГУ им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет: семинар под рук. проф. М.И. Вишика (1981 г, 1982 г. 1983 г., 1984 г., 1991 г.).

• МГУ им. М.В. Ломоносова, факультет ВМиК: семинар под руководством член-корр. РАН И.А. Шишмарева (март 2007 г.);

•МИ РАН им. В.А.Стеклова: семинар под руководством проф. А.К. Гущина, проф. В.П. Михайлова (март 2007 г.).

•Санкт-Петербургское отделение МИ РАН им. В.А.Стеклова: семинар под руководством проф. H.H. Уральцевой, проф. В.М. Бабича, проф. А.И. Назарова (апрель 2007 г.);

•МЭИ: семинар под руководством проф. С.И. Похожаева и проф. Ю.А. Дуби-нского (1984 г.), семинар под руководством проф. Ю.А. Дубинского (октябрь 2008 г.);

•ВШУ: семинар под руководством проф. В.В. Жикова и проф. Ю.В. Алхутова (октябрь 2008 г);

•МЭСИ: межвузовский семинар совместно с МГТУ им. Н.Э. Баумана под руководством проф. A.B. Филиновского, проф. И.В. Асташовой, проф. В.А. Никишкина (октябрь 2008 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 20 работах автора (16 из них опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК), список которых приводится в конце автореферата. Работ, выполненных в соавторстве, нет.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разбитых в общей сложности на 15 параграфов, списка литературы. Общий объем диссертации составляет 223 страницы, библиография содержит 137 наименований. Нумерация теорем, лемм, формул - двойная: номер параграфа и собственный номер, в каждой главе независимая. Во введении -независимая нумерация формул, а номера теорем совпадают с их номерами в основном тексте.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ Глава 1. Квазилинейные уравнения с нелинейным слагаемым, удовлетворяющим условию нерезонансности.

В §1 доказаны теоремы о существовании решений нелинейных уравнений в сепарабельном действительном гильбертовом пространстве Н, составляющие основной аппарат при доказательстве результатов главы 1. Рассматривается уравнение

Au + B{u) = f, иеН. (1)

Здесь А: Н —» Н есть линейный, самосопряжённый оператор с всюду плотной в Н областью определения. Оператор В : Н —> Н является нелинейным.

В приложениях А является дифференциальным оператором. При различных граничных условиях и коэффициентах могут представиться следующие случаи:

1) dimkeryl < оо; оператор Аг1 : R(A) -» R{A) является вполне непрерывным;

2) dimker Л = оо; Л-1: R(A) —> R(A) вполне непрерывен;

3) dim ker А < оо; A-1: R(A) —> R(A) не является вполне непрерывным.

В автореферате приведем некоторые теоремы, относящиеся к более сложным случаям 2), 3). Обозначим (,) и || • || соответственно скалярное произведение и норму в Н и для любого подмножества М С Н обозначим М и L(M) соответственно замыкание М по норме Н и множество конечных линейных комбинаций элементов М.

Пусть существует полная ортонормированная в Н система Л = {ei, ег,..., е„,...} собственных векторов оператора А и пусть {А„} последовательность соответствующих собственных значений такая, что Аеп = Л„е„, n G N. Будем говорить, что оператор А, удовлетворяющий этим условиям, обладает свойством I.

Свойство II. Пусть A = Ai U Аг U Аз, подмножества Ai, Аг, Аз попарно не пересекаются и

1) L{Ai) = кег А при Aj ф 0;

2) существуют положительные константы а, b такие, что

°1М|2 5: {Аи,и) < b||tí||2 Vtx€iV2 = Z(A¡);

3) на подпространстве N¡ = L(Л3) оператор А~1 : N3-t N3 является вполне непрерывным.

Будем говорить, что для оператора А выполнено свойство III, если А удовлетворяет свойству I, Л = Aj U Л3, Ai П Л3 = 0 и выполнены условия 1),3) свойства II. Обозначим <т(Л) = {Ап|п б N}. Во всех приложениях, за исключением эллиптического случая, <т(А) является не ограниченным ни снизу ни сверху множеством.

Теорема 1.2. Предположим, оператор А: Н Н обладает свойствами I, III. Пусть В : Н —> Н является деминепрерывным монотонным онера-тором, для которого существуют константы С, 7 € (0, +оо) и Л 6 R такие, что

{В(и) - Au, и) > -||B(«) - Ли||2 - С VueH, (2)

7

где

Ае(АД); 7 € (О, А — А); А > 0;

-А, -А € о{А)\ (-1, -А) П ст(А) = 0. (3)

Тогда для любого f £ Н уравнение (1) имеет решение в Я.

Теорема 1.3. Пусть для оператора А : Н —» Н выполнены свойства 1,11. Предположим В : Н -> Н есть деминепрерывный оператор, для которого выполнены условия (2), (3). Если В (u) + au является монотонным оператором, то для любого / € Н уравнение (1) имеет решение в Н.

При доказательстве теорем 1.2, 1.3 использованы конструкция Ляпунова-Шмидта, метод монотонных операторов, теория степени отображения, метод малого параметра, метод компактных операторов.

В §2 рассматривается задача о вынужденных периодических колебаниях

закреплённой на конпах струны:

utt ~ ихх + д(и) = f(x,t), 0 < х < 7T,t е R; (4)

u(0,i) =«(7r,t) =0, te R; (5)

«(ж, t + 2u) = и{х, t), 0<Kf,i6R. (6)

Здесь / есть заданная 27г-периодическая по t функция. Для данной задачи оператор А представляет собой самосопряжённое расширение оператора Даламбера действующего на гладких 2/т-периодических по t функциях, удовлетворяющих (5) (А = □*). Ниже буквой А будем обозначать самосопряжённое расширение соответствующего дифференциального оператора и а(у4)-множество собственных значений А.

Заметим, что оператор А в задаче (4)-(6) соответствует случаю 2) и его спектр а(А) состоит из всех нечетных пелых чисел, кроме -1, и пелых чисел, делящихся на 4, кроме -4. Занумеруем о (А) в порядке возрастания: а {А) = {А„| п е Z} так, что Л) = 0. Обозначим П = [0,7г] X [0,2я]. Основным результатом §2 является следующая теорема.

Теорема 2.1. Пусть функция д{и) непрерывна, не убывает и существуют действительные числа С, е £ (0, +ос) и п £ N U {0} такие, что

|A-n| + e<^<(A_n-i|-£ Vu б (—ос, —С] L [С, -(-ос). (7) и

Тогда для любой 2я— периодической по времени функции f G ¿2(О), задача (4) — (6) имеет обобщенное решение и € Если дополнительно выше-

приведенным условиям g{u) строго возрастает, g 6 C0C(R) и f е Сх(fi), то решение и € Coc(ii).

Обобщенное решение определяется стандартно с помошью интегрального тождества. Условие (7) называется условием нерезонансности. Из него следует, что при |к| > С график функции у = д{и) не пересекает прямых вида у = |А_*|гг, к 6 N U {0}. В ранних работах1,3 данный результат был получен для случая тг = 0, то есть при выполнении условия (2) на с. 2.

Если условие нерезонансности не выполнено, например, когда д(и) = ]A_fc|u, или когда график функции у = д(и) при сколь угодно больших |и| пересекает прямую у = |A_t|u, то задача (4)-(6) может не иметь решения. В §2 приведены соответствующие примеры. Полученное в теореме 2.1 решение, вообще говоря, не единственно. Это доказало в §2 главы 3, где помимо нулевого решения при д{0) = 0 доказало существование нетривиального решения. В §2 главы 1 приведены достаточные условия, при которых решение задачи (4)-(6) единственное. Кроме этого в §2 приведены обобщения теоремы 2.1 на случай произвольного периода Т, соизмеримиого с длиной струны.

В §3 исследуется квазилинейное волновое уравнение с граничными условиями Неймана и Дирихле:

Сначала изучается случай, когда правая часть f(x,t) имеет период Т = 2п по времени. Соответствующий этой задаче линейный оператор А относится к случаю 1). Важные свойства оператора А доказаны в теореме 3.1.

Теорема 3.1. Для любого к £ N и {0} и любой функции / € Нк такой,

P-7IU+I < ck\\f\\t, p-7lk+1 < ckii/ii*, v / g нк.

Здесь fij = [-7г,7г] x [0,2тг], Hk = Hk — W^Sli) - пространства

Соболева, J -есть чётным образом продолженная по х функция / на iîj. Пусть функция g (и) удовлетворяет условию

«и - «и = 9{и) + f[x, t), 0 < х < 7Г, t 6 R; u'(0,i) = u(n,t) = 0, te R.

(8) (9)

что f G Hk, имеют место включения

a<"</3 V«e(-oo,-C7]U[C1+oo)

u

с некоторой положительной константой С. Основной результат для нелинейного уравнения доказан в теореме 3.2. При этом на функцию д не накладывается условие монотонности.

Теорема 3.2. Пусть функция д непрерывна на И и удовлетворяет (10), где [а, 0]Г\а{А) — 0. Тогда для любой 2тг—периодической по времени функции / £ 1/2(0) задача (8), (9), (6) имеет обобщённое решение и € П С(П). Если дополнительно д £ С* (В.) и / £ И^, где к £ 14, то Ъ £ Ик+ъ Если / € Н3, д £ С3(И), то обобщённое решение является классическим.

Точно такой же результат получен для граничного условия и(0,£) = и'(7Г, <) = 0. В заключительной части §3 рассматривается случай произвольного периода времени, соизмеримого с длиной струны:

Т = 2тг-, а,б£]Ч, (а, 6) = 1. (11)

а

Условие (6) перепишем следующим образом:

+ Т) = и(х^) 0<х<тг^вП. (12)

Для нечётных значений Ь полученный результат полностью совпадает с теоремой 3.2. Если Ь является чётным числом, то соответствующий оператор Даламбера А относится к случаю 2) и для нелинейной задачи доказана теорема 3.4.

Теорема 3.4. Пусть выполнено условие (11), Ь является чётным натуральным числом, функция д(и) непрерывна, не убывает и удовлетворяет (10), где

а, /? £ (0, +оо), [-/3, -а] П а(А) = 0. (13)

Тогда для любой Т— периодической функции / £ задача (4), (9), (12) имеет обобщённое Т— периодическое решение и £ 1^(0,).

Здесь и даллее П = [0, я-] х [0,Т]. В §4 исследуется волновое уравнение (4) с граничными условиями 3-го рода:

и(о, г) - /^(о, г) = о, и(п, г) + ^(тг, г) = о, г е и. (14)

Ищется Т— периодическое решение, где для Т выполнено условие (11). Первый пункт §4 посвящен исследованию спектра оператора А. Для этого исследуется ассимптотика собственных значений соответствующей задачи Штурма-Лиувилля, с помощью которой показано, что оператор А относится к случаю 3). Опираясь на теорему 1.3 в §4, доказана следующая теорема.

Теорема 4.1. Пусть выполнено условие (11), функция д(и) непрерывна и удовлетворяет (10), (13). Если функция д(и) + г)\и не убывает на И, то для любой Т- периодической по £ функции / € Ь2(Я) задача (4), (14), (12) имеет обобщенное решение и 6 Ь^П).

Здесь щ есть положительная константа, связанная со спектром А, определенная в §4. Если в граничных условиях (14) либо = 0, либо /12 = 0, то условие монотонности можно опустить. Рассматриваются следующие два типа граничных условий:

ы(о, г) - Аг4(о, <) = о, и(тт, <) = о, г е К; (15)

и(0,г)=0, гфг.^ + Ли^тг,*) =0, ¿6й. (16)

Теорема 4.2. Пусть Ь является нечетным числом, функция д(и) непрерывна и удовлетворяет (10), где [а, /3] П о{А) = 0. Тогда для любой Т- периодической функции / е задачи (8), (15), (12) и (8), (16), (12) имеют обобщенное решение и 6 С(Я).

В §5 первой главы рассматривается нелинейное волновое уравнение с непостоянными коэффициентами и с однородными граничными условиями Дирихле

р(х)иа-(р(х)их)х + д(х,Ь,и) = /(х,1), 0 < а: < 7г, * € Д. (17) Заметим, что уравнение более общего вида

р{г)иа - {ф)иг)г + /1(2,*, и) = /(г,*) приводится к виду (17) с помощью замены х = /

Коэффициент р(х) в уравнении (17) удовлетворяет условиям из работы13, обеспечивающих одностороннюю опенку собственных значений соответствующей задачи Штурма-Лиувилля. Дифференциальный оператор А в уравнении (17) соответствует случаю 3). Обозначим а- модуль наибольшего отрипательного собственного значения А. В первой части §5 рассмотрено волновое уравнение с нелинейным слагаемым не зависешем от х, t:

р(х)ии-(р(х)их)х + д(и) = f(x,t), Q<x<Ti,teR. (18)

Теорема 5.1. Пусть выполнено условие (11), функция g (и) непрерывна, не убывает на R и

<*М ~С< |s(u)| < 7M + С Vu 6 R,

где â, С € (0,+ос), 7 6 (0, а). Тогда для любой Т— периодической ло t функции / G £2(0) задача (18), (5), (12) имеет обобщенное решение и €

ад.

Заметим, что в работе13 данный результат получен при более сильных условиях, когда функция g (и) дополнительно удовлетворяет глобальному условию Липшипа с константой 7 G (0, а).

В теореме 5.2 исследован не рассмотренный в ранних работах случай произвольных соседних собственных значений оператора А.

Теорема 5.2. Пусть функция g непрерывна по всем переменным и

a < < /3 Vu е (-ос, -С] L [С, +ос), (19)

Р(х)и

где для коне таят а,[3 выполнено (13) и С > 0. Если функция g(u) + 26qk не убывает на R , то для любой Т- периодической по t функции f Ç L^Q) задача (17), (5), (12) имеет обобщённое решение и €

Здесь Ьо есть положительная константа, связанная со спектром оператора А и определенная в §5.

В §6 рассматривается задача о периодических решениях уравнения колебаний ограниченной неоднородной струны с однородными граничными условиями 3-го рода:

р(х)иа-(р(х)их)х±д{х,Ь,и) = 0<х<п, t€R; (20)

и (о, г)-Ли4(о,г) = 0;и(тг, г) + ь2и'х(тт,г) = 0, ее II; (21)

и (х, ь + т) = и (х, г), о < х < тг, г е к (22)

Здесь >0, Лг > О, Л1 + /¿2 > 0. Период времени Т удовлетворяет (11). Коэффициент р(ж) удовлетворяет условиям из работы13 и дополнительному условию на концах отрезка [0, тг]. Для исследования спектра дифференциального оператора в начале §6 доказываются асимптотические оценки для собственных значений \п соответствующих задач ПГтурма-Лиувилля:

О < со < п (а„ - (п - ^ < С1 Уп € N5 (23)

О < со < п (А„ - (п - 1)) < С1 Уп € N. (24)

При этом оценка (23) имеет место, если Ь.\Ъ.2 — 0, а оценка (24)-при > О, /г2 > 0.

Если /11/12 = 0, то при нечётном Ь дифференциальный оператор А соответствует случаю 1) и для нелинейного слагаемого д не требуется условия монотонности по и.

Теорема 6.1. Пусть либо = 0, либо /12 = 0, функция д непрерывна по всем переменным и выполнены условия (11), (19), где [а,/3] П сг{А) = 0. Тогда, если Ь является нечётным числом, то для любой Т- периодической по £ функции f € 1/2(П) задача (20) — (22) с "-" имеет обобщённое решение

и е С(П).

Если ^ > 0, /12 > 0, или /11/12 = 0 и Ь-чётное число, то оператор А соответствует случаю 3). С помощью оценок (23), (24) произведено исследование спектра оператора А и доказано существование инвариантных подпространств N2, N3 с ¿2 (О) таких, что оператор А"1 : N3 N3 вполне

16

непрерывен и шЦиЦ2 < (Аи,и) < т?2|Н|2 Уи € Лг, где т]\ > 0. Опираясь на теорему 1.3, в §6 доказаны теоремы 6.2, 6.3.

Теорема 6.2. Пусть > 0, Л.2 > 0 и выполнены условия (11),(19), (13). Предположим дополнительно, что дц(х, £, и) непрерывна в С1 х К и

ди(х,г,и) > -щр{х) V{х,Ь,и) ейхЕ. (25)

Тогда для любой Т— периодической по £ функции / £ ¿г(^) задача (20) — (22) с " + " имеет обобщенное решение и € Ьг(Г2).

Теорема 6.3. Пусть либо — 0, либо Ьч = 0, Ь является чётным числом и выполнены условия (11), (19), (13). Предположим также, что ди(х,Ь,и) непрерывна в П х Л и выполнено условие (25). Тогда для любой Т— периодической по £ функции / е 12 (П) задача (20) — (22) с " +" имеет обобщённое решение и € £2(^1).

В заключительной части §6 рассмотрен случай наибольшего отрицательного собственного значения 77 оператора А. Теорема 6.4 является аналогом теоремы 5.1 для граничных условий (21).

В случае, когда • /12 = 0 и 6 является нечётным числом, условие монотонности функции д можно опустить.

Теорема 6.5. Пусть ■ Л.2 = 0, Ь-нечётное число и выполнено условие (11). Предположим, что функция д(и) непрерывна и существуют константы е > 0, С > 0 такие, что

£< — <М~£ V« е (-оо,-С] и [С, +оо). и

Тогда для любой Т— периодической по Ь функции / £ Ьг(^) задача (18), (21), (22) имеет обобщенное решение и € С(П).

В параграфе 7 рассматривается многомерное квазилинейное волновое уравнение в шаре:

иц-Аи = д(и) + /(\х\,г), (х,г)еВахК; (26)

и (ж, I) = О V (ж, *) <Е Ба х Й; (27)

и(х,г + т) = и(ж, г) V (ж, г) е ва х и. (28)

Здесь а > 0, Ва = {ж € И" | |ж| < а}, 5а = {ж £ В." )|ж| = а},

д2

ж = (хь---,гп) е К", |ж| =

¡=1 «•=!

Период времени Т соизмерим с радиусом шара а. Для определенности положим

а = 5, Т = 2тг—, 6, с е N. (Ь,с) = 1. (29)

^ С

Одна из трудностей, возникающих при изучении многомерного волнового уравнения, состоит в том, что линейная часть уравнения может иметь ненулевые собственные значения бесконечной кратности. Этого можно избежать, если рассматривать радиально симметричные решения. Обозначим Н множество Г—периодических по £ радиально симметричных функций из Ьг(Ва х [О, Т]). Обозначим также Л+ = &{А) П (0, +оо), где ст(А) есть множество собственных значений многомерного волнового оператора, действующего на радиально симметричных функциях, удовлетворяющих условиям (27), (28). Множество ст(А) исследовано в §7. При исследовании волнового оператора А в §7 доказано, что если п > 4 и либо ¿-чётное число, либо п = 3(тпой4), либо п = 1(тпо<24) и с- нечетное число, то оператор А соответствует случаю 3). Для этого случая получена теорема 7.1.

Теорема 7.1. Пусть п > 4 и либо Ь является чётным числом, либо п = 3 (то<М), либо п - 1(тоеМ) и с- нечетное число. Предположим, что выполнены условия (10), (29), где а > 0, С > 0 я [а, ¡3} П Л+ = 0. Если функция д(и)+удП непрерывна и не убывает, то для любой Т-периодической по времени функции / 6 Н задача (26) — (28) имеет обобщенное решение йен.

Здесь 7о есть положительная константа, связанная с оператором А и определенная в §7.

Если п > 4, Ь нечетное и либо л- четное число, либо п = 1(тос14) и о четное число, то оператор А соответствует случаю 1) и условие монотонности для функции д(и) + 7ди можно опустить.

Теорема 7.2. Пусть п > 4, 6- нечетное число и либо п- четное число, либо п = 1(то<М) и с-четное число. Пусть функция д(и) непрерывна и удовлетворяет (10), где [а, /3] Р ст(^4) = 0, С > 0. Тогда для любой Т -периодической функции / € Н задача (26) — (28) имеет обобщенное решение

Таким образом, в теоремах 7.1, 7.2 получены достаточные условия су-шествования периодических решений в неисследованных ранее случаях нечетных размерностях при произвольных периодах времени, соизмеримых с радиусом шара. Случай п = 2 рассмотрен отдельно. Это связано с особенностями спектра волнового оператора на плоскости. Теоремы 7.3, 7.4, являются аналогами теорем 7.1,7.2 для случая п — 2. В трехмерном случае спектр волнового оператора обладает свойствами одномерного оператора Даламбера и теорема существования периодического решения при п = 3 аналогична теореме существования при п = 1 (теорема 2 из16).

Публикации автора по теме главы 1: [1], [2], [5], [6], [8], [9], [14]- [19].

Глава 2. Периодические решения волнового уравнения с нелинейным слагаемым, имеющим степенной рост.

Вторая глава диссертации посвяшена исследованию волнового уравнения с нелинейным слагаемым, имеющим степенной рост. В первом параграфе второй главы рассматривается волновое уравнение с граничными условиями 3-го рода и Дирихле:

иен.

Ни ~ ихх + д(х, г, к) = 0, 0 < X < 7Г, Ь 6 И;

(30)

у(0,г) - Лг4(0,4) = и(тт,<) = 0, I € К; и(х,г + т) = и(х,{), о<х<7г, ген..

(31)

Здесь Л > О, функция д(х,Ь,и) удовлетворяет условию:

Аз1и\р~1-А4 < \д{х,1,и)| < АМ^+Аг У(х,г,и) е [0,тг] х И2, (33) где р > 2, а А\, А2, Аз, А4 есть положительные константы такие, что

Основным результатом §1 является доказательство теоремы 1.1.

Теорема 1.1. Пусть функция g непрерывна на [0,7г] х К2, Т— периодична по £, не убывает по и и выполнены условия (11), (33), (34). Предположим также, что выполнено одно из двух условий: или д не зависит от или

д(х, Ь, -и) = -д{х, Ь, и) \/(х, I, и) Е [0, тт] х И2.

Тогда для любого с? > 0 существует обобщенное решение и € Ьр{0) задачи (30) — (32) такое, что ЦиЦ^ > (I. При нечетном Ь обобщенное решение и € С(П).

Доказательство теоремы 1.1 проводится вариационным методом. Решение задачи ищется как критическая точка соответствующего функционала Г (и), который не ограничен ни снизу, ни сверху. На конечномерных подпространствах топологическими методами (теорема Борсука), опираясь на леммы Файрайсла находятся критические точки Р(и). Далее методом монотонности доказывается существование подпоследовательности, слабым пределом которой, при стремлении размерностей подпространств к бесконечности, является обобщенное решение задачи (30)-(32). Аналогичные результаты доказаны для случая граничного условия 3-го рода на правом конце и условия Дирихле на левом, а также для случая граничных условий 3-го рода на обоих концах (теорема 1.2).

В теоремах 1.3-1.6 существование периодических решений доказано для волнового уравнения с переменными коэффициентами с различными граничными условиями и нелинейностью, имеющей степенной рост. Условиям теорем 1.1-1.6 удовлетворяют, например, функции и) вида

д(х,1,и) = с(х)\и\р~2и — /(х), д{х^,и) = Н{х,1)\и\р~2и,

где функции /(х), с{х) € С[О,7г], функция к(х, Ь)- Т- периодична по времени, непрерывна в Г2, 0 < Аз < к{х, Ь) < Ах, 0 < Аз < с(х) < А1 и для констант Ах, Аз выполнено неравенство (34).

Во втором параграфе второй главы рассматривается волновое уравнение со степенной нелинейностью и с правой частью, зависящей от х и

р (х) ии — (р (ж) их)х + д(х, и) = Н (х, ¿), 0 < х < 7Г, Ь € Я; (35) и (о, *) = и (тг, г) = о, г е я. (36)

Положительная функция р(х) удовлетворяет условиям из работы 13. Ищется периодическое решение с периодом Т, имеющим вид

Т = —, где ве№ (37)

о

Теорема 2.1 Пусть выполнено условие (37), функция д(х, Ь, и) непрерывна на [0,7г] хИ2, Т—периодична по £ и удовлетворяет условиям (33), (34). Тогда для любого положительного числа существует а0 = а0(^1, А], А2, Аз, А4,6) 6 N такое, что при любом о 6 [ао, оо) П N и любой Т - периодической по I и непрерывной на [0,7г]хК функции к(х, ¿) с ||Л||с 5- задача (35),(36),(32) имеет обобщенное решение и € ЬГ(Я).

Заметим, что соответствующий данной задаче функционал не является ограниченным ни сверху, ни снизу. Для поиска седловых критических точек этого функционала используется вариант леммы "горного перевала" Е. Файрайсла.

В теоремах 2.2, 2.3 аналогичный результат получен для случая граничных условий 3-го рода.

Публикации автора по теме главы 2: [1], [4], [5], [12], [13], [17].

Глава 3. Свободные колебания.

Нетривиальные периодические решения.

Третья глава посвящена задаче о свободных нелинейных колебаниях струны, плоской пластины и балки, поставленной X. Брезисом в12. В первом па-

раграфе рассматривается волновое уравнение с граничным условием 3-го рода на одном из концов

Щь — ихх = д(х,Ь,и), 0 < ж < 7г, < 6Й. (38)

Рассмотрим случай граничного условия 3-го рода на левом конце:

и(0,4) - /п4(0, *) = 0, и(тг, ¿) = 0, г € К. (39)

Случай условия 3-го рода на правом конце рассматривается аналогично. Функция д(х,Ь,и) непрерывна при (х,Ь,и) € [0,7г] х И2 и

д{х, г, 0) = 0 У(в, ь) е [о, тг] х II. (40)

Из последнего условия следует, что иг 0 является решением задачи (38), (39), (32). Ищется не равное нулю почти всюду в П решение, которое мы будем называть нетривиальным.

Для наглядностии сформулируем основной результат §1 в случае, когда функция д не зависит от ж, существует д'(0) и запишем уравнение (38) в виде

Щ1 - I = д{и), о < х < 7г, г е и.. (41)

Теорема 1.1. Пусть функция д(и) непрерывна, д( 0) = 0я существуют А2 € о(А) такие, что (Ах, Аг) Л <т(А) = 0, выполнены условия (10), (11) так, что Ь— нечетное число и

[а,0\ С (Аь Аг), </(0) > А2, «/(0) $ °{А). (42)

Предположим дополнительно, что

< А У«еН./{0}, где (43)

и

Аеа(А), А > £г'(0), (р'(0), А) П <?(А) = 0. (44)

Тогда задача (41), (39), (32) имеет нетривиальное обобщенное решение и € С(П).

Заметим, что из условий (10), (42) следует, что график функции у = д(и) при больших |и| лежит между прямыми у = Aiu, у = Агк, где Ai, Аг е о (А), а при малых значениях |u| ^ 0 график д(и) лежит вне сектора, ограниченного этими прямыми и, следовательно, пересекает линию у — A2U. В утверждении 1.1 главы 3 доказано, что если график функлии у — g (и) не выходит из сектора, ограниченного линиями у = Ai и и у = Х^и (точнее у = (Ai -fe)u и У — (Аг — Где £ сколь угодно мало), то задача (41),(39),(32) не имеет нетривиального решения. Теорема 1.1 останется в силе, если график функ-гши у = д(и) при и > 0 выходит из сектора Aiu < у < А2и снизу, то есть условия (42)-(44) можно заменить на условия

Доказывается теорема 1.1 вариационным методом. Решение задачи (41),(39),(32) шлется как критическая точка функционала

Функционал ¥ не ограничен ни снизу, ни сверху. Поэтому критическую точку Р нельзя получить, как точку минимума или максимума. Однако на конечномерных подпространствах с помощью леммы "горного перевала" из

онала ¥. Для этого были построены на конечномерных подпространствах "эапепляюшиеся" поверхности, для которых выполнены условия леммы "горного перевала". Факт "залепления" доказан в приложении к диссертации. Далее решение задачи (41),(39),(32) получается предельным переходом, когда размерность конечномерных подпространств стремится к бесконечности.

Во втором параграфе главы 3 рассматривается волновое уравнение (41) с граничными условиями Дирихле

д'{0) < Ai, ¡/(0) i а{А), ^ > A Vu G R/{0}, где

и

А е а(А), А < </(0), (А, </(0)) П а{А) = 0.

1 удалось найти нетривиальную стационарную "седловую точку" функпи-

u(0,i) = u(n,t) = 0, te R.

(45)

При поиске нетривиального решения задачи (41), (45),(32) метод доказательства теоремы 1.1 явно не проходит, поскольку dim ker А = оо и предельный переход не получается. Чтобы преодолеть эту трудность, используется идея J.M. Coron из 13 и решение ишется в инвариантном относительно А и g подпространстве Н С Хг(^) таком, что НГ\кегА = {0}. В теоремах 2.1, 2.2 из §2 главы 3 для задачи (41),(45),(32) доказывается сушествование обобщенного или классического решения (при g € C*(R)) из подпространства Н. Условия и методы доказательств теорем 2.1, 2.2 аналогичны условиям и методу доказательства теоремы 1.1. В утверждениях 2.1-2.4 доказываются достаточные условия, при выполнении которых нетривиальные решения задач (41),(45),(32) и (41),(39),(32) зависят от времени.

В качестве приложения полученных нами результатов рассмотрим уравнение sin-Гордон:

utt — ихх -f sinu = 0, 0 < х < 7г, t £ R. (46)

Уравнение sin-Гордон, возникшее изначально в дифференциальной геометрии, играет важную роль во многих областях физики. Это уравнение является одной из моделей единой теории поля, применяется в теории дислока-пий в металлах, в теории джозефсоновских переходов, при описании нелинейных волновых свойств геофизической среды, имеющей блоковое (фраг-ментированное) строение. В связи с приложениями в геофизике одной из важных особенностей сейсмичности, на которую исследователи достаточно давно обратили внимание, было свойство периодичности - повторяемости наиболее сильных землетрясений в одном месте через определенный интервал времени. Поэтому является актуальной и представляет интерес задача о периодических решениях уравнения sin-Гордон.

Задача о периодических решениях уравнения sin-Гордон была сформулирована в работе Л.Ниренберга 1. В ней сказано, что в случае бесконечной струны для уравнения sin-Гордон доказано сушествование периодического решения и ничего не известно о существовании периодических

по времени решений уравнения вш-Гордон для конечной струны. Доказательство существования периодических решений уравнения вш-Гордон на отрезке получено в пункте 4, §2 главы 3. В теореме 5.2 главы 3 уравнение Бт-Гордон рассмотрено с граничным условием 3-го рода. Здесь доказало, что при Л > | задача (46), (39) имеет нетривиальное 2-к—периодическое по времени решение, зависящее от времени. Как следствие теоремы 2.2 из §2 доказано, что уравнение вш-Гордон (46) с граничными условиями Дирихле (45) имеет нетривиальное, Т = |тг-периодическое по £, бесконечно гладкое решение, которое зависит от времени. Ранее в 13 существование периодического решения было получено только для случая однородных граничных условий Дирихле с достаточно большим периодом, который явно не задается.

В третьем и четвертом параграфах главы 3 методы, разработанные нами в главах 1,3, применяются при решении двумерных и одномерных гиперболических уравнений четвертого порядка: уравнений колебаний плоской пластины и балки. В этих параграфах доказаны (теоремы 3.1-3.3, теоремы 4.1-4.3) теоремы о существовании решений уравнений вынужденных и свободных колебаний плоской пластины и балки. В технических леммах 3.1-3.3, 4.1, 4.2 доказаны свойства оператора А~1, необходимые при регуляризации обобщенных решений. В автореферате сформулируем одну из перечисленных выше теорем, например, теорему 3.1 о свободных колебаниях прямоугольной плоской пластины:

иа + А2и = д(и), (х, у) е Я, г е И; (47)

и = Ди = 0, (х,у)€дП,геП; (48)

и(х,у,1 + Т) = и{х,у,1), (х,у) ел,« 6Й. (49)

Здесь Я = (0, тг) х (0, тг), Д = дхх+дуу. Обозначим также П = [0, тг] х [0,7г] х [О, Г]. В §3 построено инвариантное подпространство Я относительно д и дифференциального оператора А такое, что кег АГ\Н = {0}. Спектр о(А\ц) можно занумеровать в порядке возрастания: с(А\н) — I 6 2} так, что Т7_1 < 0,% > 1. Заметим, что при Т —2п: г}-\ = —11, щ = 9.

Теорема 3.1. Пусть выполнены условия (10), (11), Ь— нечетно, функция д (и) непрерывна язйг существует д' (0) <£ а(А\ц). Предположим, что либо существуют тп € Z, k € N такие, что

[а,0[ С (т7т, Wi), > *7т+*, — < r]m+k+1 Vu е R/{0},

u

либо существуют mgZ.ligNU {0} такие, что

[а,/3] С (i7m,i7m+i). з'(0) < г/т_ь — > Vu € R/{0}.

u

Тогда задача (47) — (49) имеет нетривиальное обобщенное решение u G Cä(fi) П #i(fi). Если дополнительно g б C^R), то и е Сг(П) П Я2(П) П £2((0, Т): Н±(П) Г) Hf(U)).

Публикации автора по теме главы 3: [3], [7], [10], [11], [20].

Автор выражает глубокую признательность руководителям научных семинаров профессорам В.А. Кондратьеву и М.И. Вишику за постановку задач и многочисленные полезные обсуждения. Автор также выражает большую благодарность профессору A.B. Михалеву за помощь и постоянное внимание к работе.

Основные публикации автора по теме диссертации в журналах из официального перечня ВАК

[1] И.А. Рудаков. Периодические решения квазилинейного волнового уравнения с переменными коэффициентами// Математический сборник-2007.- Т. 198.- вып. 7.- С. 91-108

[2] И.А. Рудаков. Нелинейные колебания струны// Вестн. Моск. Ун-та., Сер.1. Матем. Механ - 1984 - N 2 - С. 9-13.

[3] И.А. Рудаков. Задача о свободных периодических колебаниях струны с немонотонной нелинейностью//УМН-1985.-Т. 40 - Вып. 1(241).- С. 215-216.

[4] И.А. Рудаков. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с непостоянными коэффициентами//Матем. заметки.-2004.-Т.76.-вып. З.-С. 427-438.

[5] И.А. Рудаков. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями//Известия РАН. Сер. матем.- 2006.- N 1. -С. 173-184.

[6] И.А. Рудаков. Периодическое радиально-симметричное решение нелинейного волнового уравнения в шаре// Вести. Моск. Ун-та., Сер.1. Маг тем. Механ.- 2004,- N 6.- С. 8-14.

[7] И.А. Рудаков. Нетривиальное периодическое решение нелинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями //Дифференциальные уравнения.-2005 - Т. 41,- N 10.-С. 1392-1399.

[8] И.А. Рудаков. Периодическое по времени решение уравнения вынужденных колебаний струны с однородными граничными условиями//Дифференциальные уравнения.- 2003.- Т. 39 - N 11.- С. 15561561.

[9] И.А. Рудаков. Периодическое решение нелинейного уравнения колебаний струны.//УМН.-1985.-Т. 40.- Вып. 5.- С. 238-239.

[10] И.А. Рудаков. Свободные нелинейные колебания струны// Вестн. Моск. Ун-та., Сер.1. Матем. Механ - 1985 - N 4 - С. 80-83.

[11] И.А. Рудаков. К вопросу о существовании нетривиального периодического решения нелинейного волнового уравнения//УМН.-1986.-Т. 41.-Вып. 4 - С. 161.

[12] И.А. Рудаков. О существовании периодического решения нелинейного телеграфного уравнения //УМН.-1991.-Т. 46.- Вып. 6.-С. 151.

[13] И.А. Рудаков. Периодическое решение нелинейного телеграфного уравнения// Вестн. Моск. Ун-та., Сер.1. Матем. Механ - 1993 - N 4.- С. 3-6.

[14] И.А. Рудаков. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с граничными условиями 3-го рода// Дифференциальные уравнения.-2007. - Т.43- N 6. - С. 854-855.

[15] И.А. Рудаков. Периодическое по времени решение нелинейного волнового уравнения с непостоянными коэффициентами// Фундаментальная и прикладная математика - 2002 - Т. 8.- Вып. 3. - С. 877-886.

[16] И.А. Рудаков. Нелинейные уравнения , удовлетворяющие условию не-реэонансности // Труды семинара им. И.Г.Петровского.-2006.-

Т. 25.-С. 226-248.(I.A. Rudakov. Nonlinear equations satisfying the nonres-onance condition// Journal of Mathematical Scinces. Springer New-York-2006.- V 135.- N 1- P. 2749-2763.)

(Прочие публикации)

[17] И.А. Рудаков. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями//Фундаментальная и прикладная математика.-2006.-Т. 12.-ВЫП. 5.-С. 189-201.(1 А. Rudakov. Periodic solutions of a quasilinear wave equations with homogeneous boundary conditions//Journal of Mathematical Scinces - Springer New-York.- 2008.- V 150.- N 6. -P. 2588-2597.)

[18] И.А. Рудаков. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с граничными условиями Неймана и Дирихле//Известия Вузов. Математика.-2007-N 537.-С. 45-55.

[19] И.А. Рудаков. Нелинейные уравнения, удовлетворяющие условию не-резонансности на бесконечности//Вестник БГУ им. И.Г.Петровского-2005.-N 4. -С. 212-230.

[20] И.А. Рудаков. Нетривиальные периодические решения нелинейных уравнений колебаний плоской пластины и балки//Вестник БГУ им. И.Г.Петровского.-2006-N 4. -С. 161-177.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова

Подписано в печать /¿7 Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 2,0 Тираж /ОО экз. Заказ

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

Содержание---------------------------------.

Введение

Глава 1. Квазилинейные уравнения с нелинейным слагаемым, удовлетворяющим условию нерезонансности

§ 1. Теоремы о существовании решений операторного уравнения в гильбертовом пространстве .—

§ 2. Периодические решения нелинейного волнового уравнения.

Вынужденные колебания —.-.

§ 3. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с граничными условиями Неймана и Дирихле

§ 4. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями 3-го рода

§ 5. Нелинейное волновое уравнение с непостоянными коэффициентами.-.

§ 6. Периодические решения квазилинейного волнового уравнения с непостоянными коэффициентами и граничными условиями 3-го рода.—

§ 7. Периодические решения многомерного квазилинейного волнового уравнения в шаре. Радиально-симметричные решения —.—

§ 8. Квазилинейное эллиптическое уравнение-----------------------------—

Глава 2. Периодические решения волнового уравнения с нелинейным слагаемым, имеющим степенной рост

§ 1. Периодические решения квазилинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями

3-го рода и Дирихле

§ 2. Вынужденные колебания неоднородной струны, с нелинейным слагаемым, имеющим степенной рост —.—

§ 3. Периодическое решение нелинейного телеграфного уравнения —

Глава 3. Свободные колебания. Нетривиальные периодические решения

§ 1. Нетривиальное периодическое решение квазилинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями

1-го и 3-го рода .

§ 2. Свободные колебания струны с закрепленными концами.

§ 3. Гиперболические уравнения четвертого порядка.

§ 4. Периодические колебания балки —.-.

Во многих физических задачах, связанных с процессами колебаний, возникают квазилинейные уравнения гиперболического типа. Приведём примеры некоторых одномерных гиперболических уравнений, исследующихся в диссертации: ии - ихх + д(х,г,и) = /(ж, г), х Е [0,7г], £ е К; (0.1) р(х)иа - {р(х)их)х + д(х^и) = /(М) , х е [0, тг], £ е И; (0.2) ии - ихххх + д(хЛ, и) = ¡(хЛ), х е [0,7г],£ Е и. (0.3)

Приведённые выше уравнения описывают процесс колебания струны ((0.1)), продольные ((0.1)) или поперечные ((0.3)) колебания стержня, распространение волн в неизотропной среде (сейсмические волны) ((0.2)) процесс распространения электромагнитных волн и другие. Процессы колебаний мембраны, плоской пластины, идеального газа в некотором объёме (уравнение акустики) описываются многомерными волновыми уравнениями, которые также рассмотрены в диссертации.

Если внешняя сила / и нелинейное слагаемое д периодичны по времени с периодом Т, то естественным образом возникает задача о доказательстве существования Т- периодических по времени решений. Работы 60-х годов прошлого века авторов О. Уе,]уос1а, Н. Ьоуюагоуа, Р. ЯаМшт^г [29],[30], [88]-[90] являются одними из первых, в которых исследуется задача о существовании периодического по времени решения слабо нелинейного волнового уравнения ии - ихх = ед(х,г) и,их,щ) (0.4) с нулевыми граничными условиями Дирихле на отрезке и(0,г) = и{тт,1) = 0. (0.5)

В этих работах исследуется в различных функциональных пространствах задача о периодических решениях линейного волнового уравнения иа - ихх = /(ж,£) с граничными условиями (0.5), а также доказывается существование периодического решения достаточно малой амплитуды нелинейного уравнения (0.4) при достаточно малом г.

В конце 70-х годов в работах Похожаева С.И., X. Брезиса, Л. Ни-ренберга, П. Рабиновича [77], [21]-[23], [25] получены первые результаты о существовании нетривиальных периодических решений сильно нелинейного гиперболического уравнения и периодического решения для квазилинейного волнового уравнения (0.1) с граничными условиями (0.5). В работах Т.И.Кигурадзе [47], [121]-[123] доказывается существование периодических по всем переменным решений квазилинейных уравнений и систем, содержащих члены с первыми производными. В монографии Н.Х.Розова и А.Ю.Колесова [121] приводятся алгоритмы построения инвариантных торов квазилинейных телеграфных уравнений, исследуется вопрос о существовании и устойчивости их периодических решений, бифурцирующих из нулевого положения равновесия. Отметим также работы [75], [94], [100], [115]—[118], в которых исследуется проблема о периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений.

В первой главе диссертации получены теоремы о существовании периодических решений для неавтономного волнового уравнения для любой правой части, когда нелинейное слагаемое удовлетворяет естественным алгебраическим условиям. В этой главе изучается одномерное и многомерное волновое уравнение с постоянными и переменными коэффициентами, с однородными граничными условиями Дирихле, Неймана и 3-го рода. Перечислим основные результаты главы

1, опубликованию в работах автора [1], [3],[8]-[11], [14], [16]-[20].

В первом параграфе главы 1 доказаны теоремы о существовании решений нелинейных уравнений в гильбертовом пространстве Н, опубликованные в [18], [20] и составляющие основной аппарат при доказательстве результатов главы 1. Рассматривается уравнение

Аи + В(и)=/, иеН. (0.6)

Здесь А : Н —> Н есть линейный, самосопряжённый оператор с всюду плотной в Н областью определения. Оператор В : Н —> Н является нелинейным.

В приложениях А является дифференциальным оператором. При различных граничных условиях и коэффициентах могут представиться следующие случаи:

1) сИткегЛ < оо; оператор Л"1 : Я(А) -> Я{А) является вполне непрерывным;

2) сИткег А = сю; А^1 : Я(А) -» Я(А) вполне непрерывен;

3) сНткег А < оо; А~1 : Я(А) —> Я(А) не является вполне непрерывным.

В теоремах 1.1-1.4 доказаны достаточные условия существования решения уравнения (0.6). При этом теоремы 1.1, 1.2 относятся к случаям 1), 2) соответственно, а теоремы 1.3, 1.4 относятся к случаю 3). Доказательства теорем 1.1-1.4 используют конструкцию Ляпунова -Шмидта [108], теорию монотонных операторов, разработанную в [63]-[67], [76], [79], [80], [86], теорию степени отображения (принцип Лере -Шаудера)([80], [108]), метод компактности и метод малого параметра.

В §2-8 главы 1 перечисленные выше теоремы используются при решении одномерных и многомерных нелинейных гиперболических и эллиптических задач. Сформулируем основные из полученных здесь результатов.

В §2 рассматривается задача о вынужденных периодических колебаниях закреплённой на концах струны: ии ~ ихх + д{и) = 0 < х < еК; и(О^) = и(тг,1) = О, í Е Н; и(х, £ + 2-Л") = и(х, ¿), 0 < X < 7Г, £ Е И.

0.7) (0.8) (0.9)

Здесь / есть заданная 27г-периодическая по Ь функция. Для данной задачи оператор А представляет собой самосопряжённое расширение оператора Даламбера □, действующего на гладких функциях, удовлетворяющих (0.8), (0.9) (А = □*). В задачах, рассмотренных в последующих параграфах, также буквой А будем обозначать самосопряжённое расширение соответствующего дифференциального оператора.

Заметим, что оператор А в задаче (0.7)-(0.9) соответствует случаю 2). Спектр и {А) оператора А представляет собой дискретное не ограниченное ни снизу, ни сверху множество. В данном случае (т(А) состоит из всех нечётных целых чисел, кроме -1, и целых чисел, делящихся на 4, кроме - 4. Занумеруем сг(А) в порядке возрастания: а(А) = {Ап| п Е г} так, что До = 0. Основным результатом параграфа 2 является следующая теорема, опубликованная в работе [1].

Теорема 2.1. Пусть функция д(и) непрерывна, не убывает на Л и существуют числа п Е N и {0} и а, ¡3 Е К такие, что

0.10) (0.11)

-¡3, —а] С (Ап1, Ап); д(и т д{и) т-а < ит-< нт и->оо и и—>оо и

3.

Тогда для любой 27г— периодическом по I функции f Е =

0,7г] х [0, 27г]) задача (0.7) - (0.9) имеет обобщенное решение и Е 1/2 Если дополнительно к вышеприведенным условиям д(и) строго возрастает и д Е С00(К), / Е С00(О), то обобщенное решение и Е С°°(О) является классическим.

Обобщённое решение определяется стандартно с помощью интегрального тождества. Условия (0.10), (0.11) называют условиями не-резонансности и они означают, что при больших |п| график функции у = д (и) лежит между прямыми у = |Ап1|гг, у = |Ап|м и не пересекает прямых вида у = [Л-к\и, к 6 N и {0}.

В работах X. Брезиса, Л. Ниренберга [21], [22] данный результат был получен только для случая п = 0 (когда при больших \и\ график функции у = д(и) лежит между прямыми у — |Ао|и = 0 и у = [А1 ¡гг = 3и). В случае произвольного п Е N и {0} существование периодического решения задачи (0.7) - (0.9) ими было получено в [21] ( теорема 1.8) только для частного случая асимптотически линейных функций д(и) в том смысле, что существует

Теорема 1.8 из [21] является следствием нашей теоремы 2.1.

Если условие нерезонансности не выполнено, например, когда д(и) = |Аа;|и, или когда график функции у = д(и) при сколь угодно больших |и| пересекает прямую у = |Ад;|и, то задача (0.7)-(0.9) может не иметь решения. В §2 главы 1 приведены соответствующие примеры.

Полученное в теореме 2.1 решение, вообще говоря, не единственно. Это доказано в §2 главы 3, где помимо нулевого решения при д(0) = 0 доказано существование нетривиального решения. В §2 главы 1 приведены достаточные условия, при которых решение задачи (0.7)-(0.9) единственное. Кроме этого, в §2 главы 1 приведены обобщения теоремы 2.1. на случай произвольного периода Г, соизмеримого с длиной струны и на случай, когда д зависит от то есть на уравнение

В §3 исследуется квазилинейное волновое уравнение с граничными условиями Неймана и Дирихле: и

0.1). иы-ихх= д{и) + 0 < ж < 7г, £ е К; (0.12) и'{ 0, ¿) = и( тг, ¿) = 0, (0.13)

Сначала изучается случай, когда правая часть /(х,£) имеет период Т = 27г по времени. Соответствующий этой задаче линейный оператор А относится к случаю 1). Важные свойства оператора А доказаны в теореме 3.1.

Теорема 3.1([18]). Для любого к Е N и {0} и любой функции / Е Нк такой, что / Е Н/,. имеют место включения

Л-1/ € Нк+1 п С(П), Е Нк+1 п С(П1) и существует константа Ск такая, что

А~1 П\к+1 < Ск\\!\\к; \\А^7\\нк+1 < Ск Ц/11*, У/еЯ*.

Здесь П = [0,7г] х [0, 2тг], ^ = [—тг, тг] х [0, 2тг], Я* = Я* =

- пространства Соболева, / -есть чётным образом продолженная по х функция / на

Основной результат для нелинейного уравнения доказан в теореме 3.2. При этом на функцию д не накладывается условие монотонности.

Теорема 3.2([18]). Пусть функция д непрерывна на К и удовлетворяет (0.11), где [а,Р] П о {А) = 0. Тогда для любой функции / Е Ьг(^) задача (0.12), (0.13), (0.9) имеет обобщённое решение и € Н\ П С(О). Если дополнительно д Е С/:'(К) и / Е Нк, где к Е N. то и Е Нк+\. Если / Е Яз, р Е С3 (И) , то обобщённое решение является классическим.

Точно такой же результат получен для граничного условия ад(0,£) = и'(тг,г) - 0. 9

В заключительной части §3 рассматривается случай произвольного периода времени, соизмеримого с длиной струны:

Т = 2тг~, а,Ье 1М, (а,Ь) = 1. (0.14) сь

Условие (0.9) перепишем следующим образом: и(ж,£ + Т) = и(х,г) 0<х<тт,1еИ. (0.15)

Для нечётных значений Ь полученный результат полностью совпадает с теоремой 3.2. Если Ь является чётным числом, то соответствующий оператор Даламбера А относится к случаю 2) и для нелинейной задачи доказана теорема 3.4.

Теорема 3.4([18]). Пусть выполнено условие (0.14), Ь является чётным натуральным числом, функция д(и) непрерывна, не убывает и удовлетворяет (0.11), где а, Ре (0, +ос), [-/3, -а] П а (А) = 0. (0.16)

Тогда для любой Т— периодической функции f € ¿г(^) задача (0.7), (0.13), (0.15) Имеет обобщённое Т— ПерИОДИЧеСКОе решение и 6 1/2

Здесь О = [0,тг] х [0,Т].

В §4 исследуется волновое уравнение (0.7) с граничными условиями 3-го рода: и(0, £) - /г1?4(0, £) = 0, и(я-, £) + к2и'х(тт, £) = 0, £ € К. (0.17)

Ищется Т— периодическое решение, где для Т выполнено условие (0.14) Первый пункт §4 посвящён исследованию спектра оператора А. Для этого исследуется соответствующая задача Штурма-Лиувилля, для собственных значений которой доказана важная асимптотическая оценка (4.9). С помощью этой оценки показано, что оператор А относится к случаю 3). Опираясь на теорему 1.3 в §4, доказана следующая теорема, опубликованная в [9].

Теорема 4.1. Пусть выполнено условие (0.14), функция g (и) непрерывна и удовлетворяет (0.11), (0.16). Если функция g (и) + щи не убывает на R, то для любой Т— периодической по t функции f G L^^ï) задача (0.7), (0.17), (0.15) имеет обобщенное решение u G £2 (fi)

Здесь гц есть положительная константа, связанная со спектром А, определенная в (4.12). Если в граничных условиях (0.17) либо h\ = 0, либо /¿2 = 0, то условие монотонности можно опустить. Рассмотрим следующие два типа граничных условий: w(0, t) - hux{ 0, t) = 0, м(тг, t) = 0, te R; (0.19) u(0,t)=0, u{n,t) +hu'x{n,t) = 0, t G R. (0.20)

Теорема 4.2, доказанная в параграфе 4 и связанная с этими граничными условиями, была опубликована в [14].

Теорема 4.2. Пусть b является нечетным числом, функция g(u) непрерывна и удовлетворяет (0.11), где [а. /3} Г) а (А) = 0. Тогда для любой Т— периодической функции f G 1/2(fi) задачи (0.12), (0.19), (0.15) и (0.12), (0.20), (0.15) имеют обобщенное решение u G C(fi).

При четных значениях b оператор А соответствует случаю 3). В заключительной части §4 доказана теорема 4.3.

Теорема 4.3. Пусть выполнено условие (0.14), функция g{u) непрерывна и удовлетворяет (0.11), (0.16). Если функция g (u) + Ь0и не убывает на R, то для любой Т— периодической функции f G ¿2 (fi) задачи (0.7), (0.19), (0.15) и (0.7), (0.20), (0.15) имеют обобщенное решение u G £2(0).

Положительная константа в условии теоремы 4.3 связана со спектром оператора А и определена в §4.

В §5 первой главы рассматривается нелинейное волновое уравнение с непостоянными коэффициентами и с однородными граничными условиями Дирихле р{х)ии-(р(х)их)х +д(и) = / (х,г) , 0 < ж < тг, Ь Е Я. (0.21) Заметим, что уравнение более общего вида р(г)ии ~ 0Ф)их)* + Цг, г, и) = ¡(г, *)

Одной из первых работ, в которой исследуется задача о периодических решениях волнового уравнения с непостоянными коэффициентами, является работа 1997 года V.Barby, N.H.Pavel [35]. В этой работе существование периодического решения доказано с помощью принципа сжимающих отображений. В нашей работе [8] уравнение (0.21) исследуется с использованием теории степени отображения вполне непрерывных операторов. Коэффициент р(х) в уравнении (0.21), как и в [35], удовлетворяет условиям (5.4), обеспечивающих дискретность и положительность собственных значений соответствующей задачи Штурма-Лиувилля. Дифференциальный оператор А в уравнении (0.21) соответствует случаю 3). Обозначим а- модуль наибольшего отрицательного собственного значения А. Опираясь на теорему 1.4, в §5 доказана теорема 5.1, опубликованная в [8].

Теорема 5.1. Пусть выполнено (0.14), функция д(и) непрерывна, не убывает на R и где 6, С Є (0,+оо), 7 Є (0,о;). Тогда для любой Т— периодической по Ї функции / Є ¿2задача (0.21), (0.8), (0.15) имеет обобщенное решение и Є ¿2(0).

Заметим, что в работе [35] данный результат получен при более сильных условиях, когда функция д(и) дополнительно удовлетворяет глобальному условию Липшица с константой 7 Є (О.а). приводится к виду

5\и\ - С < \д(и)\ < ч\и\ + С Vm Є R,

Чтобы исследовать не изученный ранее случай произвольных соседних собственных значений оператора А, волновое уравнение в заключительной части §5 представлено в следующем виде: р(х) ии - (р{х) их)х +д(х,Ь,и) = / (ж, і), 0 < х < 7Г, £ Є Я. (0.22)

С помощью теоремы 1.3 доказана следующая теорема из нашей работы ([13]).

Теорема 5.2. Пусть выполнено (0.14), функция д(х,Ь,и) непрерывна по всем переменным и д(х,і,и) а <

Р(

X )и

Р V |и| > С, где а, (З Є (0, +оо), [-/?, -а] П а {А) = 0, С > 0.

Если функция + 26ом не убывает по и при всех (ж, I) Е О, то для любой Т— периодической по £ функции / € 1-2 задача (0.22), (0.8), (0.15) имеет обобщенное решение и Е -¿2(0).

Здесь 60 есть положительная константа, связанная со спектром оператора А (см.(5.7)).

В §6 рассматривается задача о периодических решениях уравнения колебаний ограниченной неоднородной струны с однородными граничными условиями 3-го рода: р(х)ик-(р(х)их)х± д(х,Ь,и) = f (х,Ь) , 0 < х < 7г, Ь Е И; (0.23) и (0, "£) - /^<(0, ¿) = 0;и(тг, ¿) + /г2<(тг,£) = О, Ь Е И; (0.24) и(ж, ;£+ Т) = и(ж, ¿) , 0 < ж < 7Г, г Е и. (0.25)

Здесь Л-1 >0, /г.2 > 0, /¿1 + /^2 > 0. Период времени Т удовлетворяет (0.14). Коэффициент р(х) удовлетворяет (5.4) и дополнительному условию на концах отрезка (6.12), или (6.21), или (6.22) (глава

1). В начале §6 доказываются важные асимптотические оценки для собственных значений Хп соответствующих задач Штурма-Лиувилля: с0 < п - (п - < С1 Уп € N5 (0.26) с0 < п (Ап - (п - 1)) < а УпЕ N. (0.27)

Здесь со, с\ некоторые положительные константы. При выводе оценок (0.26), (0.27) используется теорема Штурма о сравнении. Отметим здесь работы [68]-[72], [74] Кондратьева В.А., в которых исследутся проблема об ассимптотике собственных функций и собственных значений задачи Штурма-Лиувилля.

Если в условиях (0.24) либо Н\ = 0, либо /12 = 0, то при нечётном Ъ дифференциальный оператор А соответствует случаю 1). Теорема 6.1 ([20]). Пусть либо = 0, либо /12 = 0, д(ж,£,-и) непрерывна на [0, тс] х К2, Т — периодична по £, (0.28) и , . £,и) -ГГ-,— д(ж,£,«) а(ж,£) < Ііт ——- < Ііт ——тр[х)и р(х)и

Р{х,і)

0.29) равномерно по (х,і) Є П, где а(х, £), ¡3(х, £) Є Ь°°(П), а < а(х,і) < /3(х,і) < /3 п. в. в О

0.30) и [а, ¡З] П сг[А) = 0. Тогда, если Ь является нечётным числом, то для любой Т- периодической по £ функции / Є £-2(0) задача (0.23) — (0.25) с "-" имеет обобщённое решение и Є С (О).

Если > 0, /12 > 0, или /11/12 = 0 и 6-чётное число, то оператор А соответствует случаю 3). С помощью оценок (0.26), (0.27) произведено исследование спектра оператора А и доказано существование инвариантных подпространств N2, N3 С ^(П) таких, что оператор А: N3 -» Щ вполне непрерывен и а(А\^2) С [771,772], где 771 > 0. С помощью теоремы 1.3 в §6 доказаны теоремы 6.2, 6.3([20]).

Теорема 6.2. Пусть > 0, /12 > 0 и выполнены условия (0.14), (0.29), а > 0, \—(3, —а] П сг(/1) = 0. Предположим дополнительно, что да(х. I, и) непрерывна в £1 х К и и) > -г]1р(х) У(ж, и) Е О х II. (0.31)

Тогда для любой Т— периодической по £ функции / Е Ь<2.{Щ задача (0.23) — (0.25) с "+" имеет обобщенное решение и Е Ьг(О).

Теорема 6.3. Пусть либо = 0, либо = 0, Ь является чётным числом и выполнены условия (0.14), (0.29), (0.30), (0.16). Предположим также, что ди(х^,и) непрерывна в О х И и выполнено условие (0.31). Тогда для любой Т— периодической по £ функции / Е 1/2 задача (0.23) — (0.25) с " + " имеет обобщённое решение и Е .¿^(П).

В заключительной части §6 рассмотрен случай наибольшего отрицательного собственного значения г/ оператора А, существование которого доказано в лемме 6.2. Волновое уравнение записано в виде р(х)ии - (р{х)их)х-\-д(и) = / (х^), 0 < х < 7Г, £ Е И. (0.32)

Опираясь на теорему 1.4, доказана теорема 6.4 из нашей работы [20].

Теорема 6.4. Пусть > 0, /¿2 > 0 и выполнены условия (0.14), (5.4), где с1 > 1. Предположим, что функция д(и) непрерывна, не убывает на Л и существуют константы С > 0,7 Е (0, \г]\) такие, что

- С < \д{и)\< 7Н + С \Jue~R.

Тогда для любой Т— периодической по I функции / Е задача

0.32), (0.24), (0.25) имеет обобщенное решение и Е 1^2

В случае, когда • /12 = 0 и Ь является нечётным числом, условие монотонности функции д можно опустить. Последней теоремой в §6 является теорема 6.5, доказательство которой приведено в §6 и не опирается на теоремы 1.1-1.4.

Теорема 6.5 ([20]). Пусть h\ ■ = 0, b-нечётное число и выполнены условия (0.14), (5.4) с d > 1. Предположим, что функция g(u) непрерывна и существует a £ (0, \т]\) такое, что

9{и)

О < Hm < Hm а. и—УОО XI и—>0С у

Тогда для любой Т— периодической по £ функции / £ -¿^(О) задача (0.32), (0.24), (0.25) имеет обобщенное решение и £ С(О).

В параграфе 7 рассматривается многомерное квазилинейное волновое уравнение в шаре: utt ~ Au = g (и) + / (|ж|, t) ; (ж, t) £ Ba х R;

0.33) и (ж, t) = 0 V (ж, *) £ 5а х R; (0.34) и(х, t + T) = и(х, t) V(x,t)eBaxR. (0.35) Здесь а > 0, Ba = {х £ Rn | \х\ < а} , 5а = {ж £ Rn ||ж| = а} , ; * " " 5 ^ Ii j rt n ffi i—l i—1

Период времени Т соизмерим с радиусом шара а. Для определенности положим а = Т = 2тт-, 6,с£К, (6,с) = 1. (0.36) С

Одна из трудностей, возникающих при изучении многомерного волнового уравнения, состоит в том, что линейная часть уравнения может иметь ненулевые собственные значения бесконечной кратности. Этого можно избежать, если рассматривать радиально симметричные решения. В §7 решение и задачи (0.33)-(0.35) ищется на множестве радиально симметричных функций.

Заметим, что работы [32], [34], [45], [46] являются одними из первых, в которых доказывается существование радиально симметричных периодических решений многомерного волнового уравнения в шаре. В работе [45] рассматривалось слабо нелинейное волновое уравнение вида ии - Аи = ед{\х\^и) . (0.37)

Периодические решения малой амплитуды для уравнения (0.37) с граничными условиями Дирихле (0.34) получены в [45] при достаточно малых значениях е.

В работах [32], [46] получены радиально симметричные периодические решения многомерного волнового уравнения в шаре в случае, когда нелинейное слагаемое удовлетворяет условию нерезонансности, размерность п есть чётное число и Ь = с = 1. Если п - нечётное число, то обратный оператор Даламбера на дополнении к ядру не является вполне непрерывным. В этом случае в работе [46] доказано существование периодических по времени радиально симметричных решений не для всех правых частей /(|ж|,£), а для функций /(|ж|,£) из подпространства, имеющего бесконечную коразмерность. В работе [34] период времени Т и а несоизмеримы, а линейное слагаемое удовлетворяет глобальному условию Липшица.

В §7 диссертации рассматривается задача (0.33)-(0.35) с произвольным периодом Т , соизмеримым с а, нелинейное слагаемое д(и) удовлетворяет условию нерезонансности и доказывается существование периодического решения для любой правой части /(|ж|, из пространства интегрируемых с квадратом функций.

Обозначим Л+ = сг(Л) П (0,+оо), где сг(А) есть множество собственных значений многомерного волнового оператора, действующего на радиально симметричных функциях, удовлетворяющих условиям (0.34), (0.35). Множество сг(А) исследовано в §7. При исследовании волнового оператора А в §7 доказано, что если п > 4 и либо Ъ-чётное число, либо п = З(тосМ) и либо п = 1 (тос14) и с-нечетное число, то оператор А соответствует случаю 3). Для этого случая получена теорема 7.1.

Теорема 7.1 ([10]). Пусть п > 4 и либо Ъ является чётным числом, либоп = 3(то(!4), либоп = 1 (то(14) и с-нечетное число. Предположим, что выполнены условия (0.11), (0.36), где а > 0 и [а, /?] П Л+ = 0. Если функция д(и) + ^¡¡и непрерывна и не убывает, то для любой Т-периодической по времени функции / Е Н задача (0.33) — (0.35) имеет обобщенное решение и Е Н.

Здесь Н есть множество радиально симметричных функций из Ь2(Вах [0,Т]), а 7о есть положительная константа, связанная с оператором А и определенная в (7.15).

Если п > 4, Ь нечетное и либо п- четное число, либо п = 1(тос14) и с-четное число, то оператор А соответствует случаю 1). В §7 из теоремы 1.1 выводится теорема 7.2, в которой отсутствует условие монотонности.

Теорема 7.2 ([10]). Пусть п > 4, Ь- нечетное число и либо п-четное число, либо п = 1 (тпосМ) и с-четное число. Пусть функция д(и) непрерывна и удовлетворяет (0.11), где [а, /3] П <т(А) = 0. Тогда для любой Т - периодической функции / £ Н задача (0.33) — (0.35) имеет обобщенное решение и Е Н.

Случай п = 2 рассмотрен отдельно. Это связано с особенностями спектра волнового оператора на плоскости. Теоремы 7.3, 7.4, опубликованные в [10], являются аналогами теорем 7.1,7.2 для случая п = 2.

В трехмерном случае спектр волнового оператора обладает свойствами одномерного оператора Даламбера и оператор А соответствует случаю 2). Существование периодического решения волнового уравнения для случая п = 3 доказано в теореме 7.5, которая является аналогом теоремы 2.1.

В §8 методы, разработанные в §1, применяются для доказательства существования решений задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений. Нелинейное эллиптическое уравнение исследовалось в большом количестве работ (см., например [21], [36], [41], [108]). В пункте 1 §8 рассматривается одномерное эллиптическое уравнение, то есть обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка и" + д(и) = f(x), х Є (0, 7г); и(0) = и(тг) = 0.

0.38) (0.39)

В работе С. Фучика и А. Куфнера [36] существование решения задачи (0.38), (0.39) доказано с асимптотически линейными функциями д(и) в том смысле, что существует 1нп ^ = А ^ с (А), гДе

Аи d2 и Е і?і(0,7г). В нашей теореме 8.1, опубликованной в

16], от условия асимптотической линейности для д(и) удалось избавиться.

Теорема 8.1. Пусть функция д{и) непрерывна на R и либо

-оо < lim ^ < TST^ < 1 (0.40)

ТГЧж u ~ U-^CC и либо для некоторого n Е N п2 < lim ^ < < (n + I)2. (0.41)

U-4оо u ~ U

Тогда для любой функции /(ж) Е 7г) задача (0.38) — (0.39) имеет обобщенное решение и Е С1 (0,7г) П Щ(0,7г).

Доказательство теоремы 8.1 опирается на теорему 1.1. Во второй части параграфа 8 рассматривается эллиптическое уравнение в ограниченной области О С К", имеющей гладкую границу:

Lu — g(u) + f(x), х G íl;

0.42) и\дп = 0. (0.43)

Здесь Ь есть равномерно эллиптический оператор второго порядка с гладкими коэффициентами. Занумеруем спектр сг{Ь) оператора Ь в порядке возрастания cr(L) = {An| п Е N}.

Теорема 8.2([13]). Пусть функция д(и) непрерывна и либо a (u) ^—о (и) < lim и—5*00 и и—>сс ^ либо для некоторого п Е N

-оо < lim ^ < ЖГ^ < АЬ (0.44)

- «■ — и—» сс ' 47

Ап < lim-< lim —< An+i. и—>СС И—^00

Тогда для любой функции /(ж) Е задача (0.42) — (0.43) имеет обобщенное решение u е Я? (О) п Я2(П).

Доказательство теоремы 8.2 также опирается на теорему 1.1. В заключении §8 доказывается теорема 8.3, которая является обобщением теоремы 8.2 на случай, когда функция g зависит от ж и t.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию волнового уравнения с нелинейным слагаемым, имеющим степенной (суперлинейный) рост. Волновое уравнение с суперлинейной нелинейностью и с нулевыми граничными условиями Дирихле исследовано в работах X. Бре-зиса, JL Ниренберга, П. Рабиновича, Е. Файрайсла, П.И. Плотникова [25], [27], [28], [40], [43].

В первом параграфе второй главы рассматривается волновое уравнение с граничными условиями 3-го рода и Дирихле:

Щ% ~ uxx + g{x, t,u) = 0, 0 < х < 7г, t Е R; (0.45) u(0,t) -hu'x(0,t) =u(n,t) = 0, iE R; (0.46) u(x,t + T) = u(x,t), 0 < ж < ж, t E R. (0.47)

Здесь h > 0, функция g(x,t,u) удовлетворяет условию:

Аъ\и\р~1 - A4 < \g{x,t,u)\ < A^uf'1 + A2 V(x,t,u) E [0, тг] x R2,

0.48) где p > 2, a Ai, A2, A3, A4 есть положительные константы такие, что

Ф > ^ + (0.49)

2 р

Основным результатом §1 является доказательство теоремы 1.1.

Теорема 1.1 ([14]). Пусть функция g непрерывна на [0,7г] х R2, Т— периодична по /;, не убывает по и и выполнены условия (0.14), (0.48), (0.49). Предположим также, что выполнено одно из двух условий: или д не зависит от t, или д(х, t, —и) = —д(х, t, и) \/(ж, t, и) 6 [0, тг] х R2.

Тогда для любого d > 0 существует обобщенное решение u € LP(Q) задачи (0.45) — (0.47) такое, что ||«||р > d. При нечетном Ь обобщенное решение и £ С (О,).

Доказательство теоремы 1.1 проводится вариационным методом. Решение задачи ищется как критическая точка соответствующего функционала F(u), который не ограничен ни снизу, ни сверху. На конечномерных подпространствах топологическими методами (теорема Борсука) находятся критические точки F(u). Далее методом монотонности доказывается существование подпоследовательности, слабым пределом которой, при стремлении размерностей подпространств к бесконечности, является обобщенное решение задачи (0.45)-(0.47). Аналогичные результаты доказаны для случая граничного условия 3-го рода на правом конце и условия Дирихле на левом, а также для случая граничных условий 3-го рода на обоих концах (теорема 1.2).

В теоремах 1.3-1.6 существование периодических решений доказано для волнового уравнения с переменными коэффициентами с различными граничными условиями и нелинейностью, имеющей степенной рост.

Условиям теорем 1.1-1.6 удовлетворяют, например, функции д(х, t, и) вида д(х, t, и) = с(х)\и\р~2и — /(ж), д(х, t, и) = h(x: t)\u\p~2u, где функции f(x),c(x) G С[0,7г], функция h(x,t) -Т— периодична по времени, непрерывна в £7,

О < Л3 < h(x, t) <Ai, 0<AZ< c(x) < Аг и для констант Ai,Az выполнено неравенство (0.49).

Во втором параграфе второй главы рассматривается волновое уравнение со степенной нелинейностью и с правой частью, зависящей от х и t: р (х) utt — (р (х) их)х + д(х, t,u) = h(x,t), 0 < х < тг, t Е R\ (0.50) и (0, t) = и (тг, t) = 0, teR. (0.51)

Положительная функция р{х) удовлетворяет условиям из работы 13. Ищется периодическое решение с периодом Т, имеющем вид

Т= —, где ае N. (0.52) а

Используя вариационный метод , доказана теорема 2.1, опубликованная в нашей работе [11].

Теорема 2.1 Пусть выполнено (0.52), функция д(х, t, и) непрерывна на [0,7г] х R2, Т—периодична not и удовлетворяет условиям (0.48), (0.49). Тогда для любого положительного числа d\ существует ao — ao(d\,Ai, /Ь, j N такое, что при любом a £ [ao, оо) п N и любой Т - периодической по t и непрерывной на [0,7r]xR функции h(x,t) с \\h\\c < d\ задача (0.50),(0,51),(0.47) имеет обобщенное решение u Е LP(Q,).

Заметим, что соответствующий данной задаче функционал не является ограниченным ни сверху, ни снизу. Для поиска седловых критических точек этого функционала используется вариант леммы "горного перевала" из работы [56] (лемма 2.3, глава 2).

В теоремах 2.2, 2.3 аналогичный результат получен для случая граничных условий 3-го рода.

В третьем параграфе второй главы рассматривается нелинейное телеграфное уравнение

Зщ + jux + utt -uxx + g(x,u) = f{x,t), 0 < х < тг, t G R; (0.53) и(0,г) = и(тг,*) = о ш е и; и{х,Ь + Т) = и(х,г) Ух е (0,тг), V* е к.

0.54) (0.55)

Нелинейное слагаемое д удовлетворяет следующим условиям: существуют константы такие, что д{х: и)\ < а\и\р + 6, д(ж, и)и > —с\и\ - с? У(х, и) Е [0,7г] х К. (0.57)

Задача о периодических решениях квазилинейного телеграфного уравнения рассмотрена в работах [21], [59], [60], [61] и других. В работе [59] рассмотрено телеграфное уравнение с суперлинейной нелинейностью без слагаемого их. В связи с этим метод работы [59] не проходит для задачи (0.53)-(0.55). Основным результатом §3 главы 2 является теорема 3.1, опубликованная в [7].

Теорема 3.1. Пусть функция д непрерывна на [0,7г] х К и выполнены условия (0.14), (0.56), (0.57), Ъ— нечетное число и |7| < \j3\-Тогда для любой Т~ периодической по £ функции / Е Ьг(^) задача (0.53) — (0.55) имеет обобщенное решение и Е С(О) П

При доказательстве теоремы 3.1 на конечномерных подпространствах банахова пространства С(0)П1/1(П) с помощью теории степени отображения (принцип Лере-Шаудера) доказывается существование приближенных решений поставленной задачи. Точное решение получается при предельном переходе, когда размерность подпространств стремится к бесконечности.

Третья глава посвящена задаче о свободных нелинейных колебаниях струны, плоской пластины и балки, поставленной X. Брезисом в [23]. В первом параграфе рассматривается волновое уравнение с граничным условием 3-го рода на одном из концов а > 0,6 > 0,с > 0,6? > > 1

0.56) ии - ихх = д(х,1,и), 0 < х <7г, £ е К.

0.58)

Рассмотрим случай граничного условия 3-го рода на левом конце: и(0,і) - ки'х{0,і) = 0, и(тг,£) = 0, і ей. (0.59)

Случай условия 3-го рода на правом конце рассматривается аналогично. Функция д(х,Ь,и) непрерывна при Є [0, тг] х К2 и д(х, г, 0) = 0 У(х, г) Є [0, тг] х К. (0.60)

Из последнего условия следует, что и = 0 является решением задачи (0.58),(0.59),(0.55). Ищется не равное нулю почти всюду в О решение, которое мы будем называть нетривиальным.

Для наглядностии сформулируем основной результат §1 в случае, когда функция д не зависит от существует д'(0) и запишем уравнение (0.58) в виде ии - ихх = д(и), 0<ж<7г,геК. (0.61)

Теорема ([12]). Пусть функция д(и) непрерывна, д(0) = 0 и существуют Аі, Аг Є а(/1) такие, что (Аі, Аг) П ст(А) = 0, выполнены условия (0.11), (0.14) так, что Ъ— нечетное число и [а,(3] С (Аі, А2), д'(0)>\2, д'(0)£а(А). (0.62)

Предположим дополнительно, что

А УиєН/{0}, где (0.63) и

А Є <7(4), А></(0), (¿/(0), А) П сг(А) = 0. (0.64)

Тогда задача (0.61), (0.59), (0.55) имеет нетривиальное обобщенное решение и Є С(О).

Заметим, что из условий (0.14), (0.62),(0.63) следует, что график функции у = д(и) при больших \и\ лежит между прямыми у — Аіи, у = Х2и, где Аі, Аг € сг(-Л), а при малых значениях \и\ ф 0 график д(и) лежит вне сектора, ограниченного этими прямыми и, следовательно, пересекает линию у = Аг« (согласно (0.62)). В утверждении 1.1 главы 3 доказано, что если график функции у — д(и) не выходит из сектора, ограниченного линиями у = А1« и у = Аг^ (точнее У = (-^1 + £)и и У = (Аг — £)и, где £ сколь угодно мало), то задача (0.61),(0.59),(0.55) не имеет обобщенного решения.

Доказательство этой теоремы опубликовано в нашей работе [12]. Теорема 1.1 из первого параграфа главы 3 диссертации является обобщением только что приведенной теоремы на случай, когда д = д(х, и). Отметим, что приведенная теорема останется в силе, если график функции у — д(и) при и > 0 выходит из сектора А^ < у < \2и снизу, то есть условия (0.63), (0.64) можно заменить на условия

Доказывается теорема 1.1 вариационным методом. Решение задачи (0.58), (0.59), (0.55) ищется как критическая точка функционала

Функционал ^ не ограничен ни снизу, ни сверху. Поэтому критическую точку ^ нельзя получить, как точку минимума или максимума. Однако на конечномерных подпространствах с помощью леммы "горного перевала" из [38] получилось найти нетривиальную стационарную "седловую точку" функционала Г. Для этого удалось построить на конечномерных подпространствах "зацепляющиеся" поверхности, для которых выполнены условия леммы "горного перевала". Факт "зацепления" доказан в приложении к диссертации. Далее решение задачи (0.58),(0.59),(0.55) получается предельным переходом, когда размерность конечномерных подпространств стремится к бесконечности.

А Е а (А), А < ¿/(0), (А,</(О))Пег(А) = 0.

Во втором параграфе главы 3 рассматривается волновое уравнение (0.61) с граничными условиями Дирихле

При поиске нетривиального решения задачи (0.61), (0.65),(0.55) метод доказательства теоремы 1.1 явно не проходит, поскольку сНткег А = сю и предельный переход не получается. Чтобы преодолеть эту трудность, найдено инвариантное относительно Аид подпространство Я С 1/2(П) такое, что Н П кег А = {0}.

В теоремах 2.1, 2.2 из §2 главы 3, опубликованных нами в работе [2], для задачи (0.61), (0.65),(0.55) доказывается существование обобщенного или классического решения (при д Е С1 (И)) из подпространства Н. Условия и методы доказательств теорем 2.1, 2.2 аналогичны условиям и методу доказательства теоремы 1.1.

В утверждениях 2.1-2.4 доказываются достаточные условия, при выполнении которых нетривиальные решения задач (0.61), (0.65), (0.55) и (0.61), (0.59),(0.55) зависят от времени.

В качестве приложения полученных нами результатов рассмотрим уравнение синус-Гордона:

Уравнение синус-Гор дона (sin-Gordon), возникшее изначально в дифференциальной геометрии ([113]), играет важную роль во многих областях физики. Это уравнение является одной из моделей единой теории поля, применяется в теории дислокаций в металлах, в теории джозеф-соновских переходов, при описании нелинейных волновых свойств геофизической среды, имеющей блоковое (фрагментированное) строение [112]-[114]. В связи с приложениями в геофизике одной из важных особенностей сейсмичности, на которую исследователи достаточно давно обратили внимание, было свойство периодичности - повторяемости u(0, t) = u(tt, t) = 0, teR.

0.65)

Щг — uxx + sinu = 0, 0 < x < 7Г, t E R.

0.66) наиболее сильных землетрясений в одном месте через определенный интервал времени [112].

Задача о периодических решениях уравнения (0.66) поставлена в работе Л.Ниренберга [38]. В ней сказано, что в случае бесконечной струны для уравнения синус-Гордона доказано существование периодического решения и ничего не известно о существовании периодических по времени решений уравнения синус-Гордона для конечной струны. В пункте 4, §2 главы 3 получен положительный ответ на этот вопрос. В теореме 5.2 главы 3 уравнение sin-Гор дон рассмотрено с граничным условием 3-го рода. Здесь доказано, что при h > ~ задача (0.66), (0.59) имеет нетривиальное 2-7Г—периодическое по времени решение, зависящее от времени. Как следствие теоремы 2.2 из §2, доказано, что уравнение sin-Гордон (0.66) с граничными условиями Дирихле (0.65) имеет нетривиальное, Т = |7г-периодическое по t, бесконечно гладкое решение, которое зависит от времени. Отметим, что в случае однородных граничных условий Дирихле, данное утверждение является улучшением результата Ж.Корона [24], поскольку в [24] доказано существование периодического решения уравнения sin-Гордон с большим периодом времени Т таким, что Т > 8тт. Для уравнения sin-Гордон с граничным условием 3-го рода в ранних работах существование периодических решений доказано не было.

В третьем и четвертом параграфах главы 3 методы, разработанные нами в главах 1,3, применяются при решении двумерных и одномерных гиперболических уравнений четвертого порядка: уравнений колебаний плоской пластины и балки. В этих параграфах доказаны (теоремы 3.1-3.3, теоремы 4.1-4.3) теоремы о существовании решений уравнений вынужденных и свободных колебаний плоской пластины и балки. В технических леммах 3.1-3.3, 4.1, 4.2 доказаны свойства оператора А~г: необходимые при регуляризации обобщенных решений.

В данном введении сформулируем одну из перечисленных выше теорем, например, теорему 3.1 о свободных колебаниях прямоугольной плоской пластины: utt + А2и = д{и), (х,у) g II,t g Я, (0.67) и = Аи = 0, (х, у) g дД, £ g R; (0.68) u{x,y,t + T) = u{x,y,t), (х,у) g n,t g R. (0.69)

Здесь П = (0,7г) х (0,7г), Д = дхх + дуу. Обозначим также i) = [0,7г] х [0,7г] х [0, Т]. В §3 построено инвариантное подпространство Н относительно g и дифференциального оператора А такое, что ker А п Н — {0}. Спектр а(А\н) можно занумеровать в порядке возрастания: а{А\н) — {тц\ I g Z} так, что i < 0,% > !• Заметим, что при Т = 2тг:г/1 = -11, 770 = 9.

Теорема 3.1([15]). Пусть выполнены условия (0.11), (0.14), Ь— нечетно, функция g(u) непрерывна на R и существует д'(0) ^ ст(А|#). Предположим, что либо существуют m g Z, k g N такие, что a,f3] С (i7m,?7m+l)> ^'(0) > ^«г+Ь ^^ < tal Vti G R/{0}, L либо существуют m 6 Zi GNU {0} такие, что a,(3] с (r7m,77m+i), g'(0) < ^^ > Vm-k-i Vu g R/{0}.

Тогда задача (0.67) — (0.69) имеет нетривиальное обобщенное решение u g с5(п) п Hi(Q). Если дополнительно g g c^r), то и Е сх(п) п

Н2(П) п Ь2{{0, Т) : Я4(Я) П #?(#)•

Доказывается теорема 3.1 вариационным методом, таким же, что и теорема 1.1 из главы 3.

Основные результаты диссертации опубликованы в [1]-[20]. Смотрите также [127]-[137].

1. Н. Brezis, L. Nirenberg. Characteriations of the ranges of some nonlinear operators and applications to boundary value problems//Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa.-1978.-V. 5, No 2.-P. 225-325.

2. H. Brezis, L.Nirenberg. Forced vibration for a nonlinear wave equa-tions//Comm. Pure Aple. Math-1978.- V. 31, No 1,- P. 1-30.

3. H. Brezis. Periodic solutions of nonlinear vibrating string and duality principles//Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.)-1983.- V. 8, No 3.- P. 409-426.

4. J.M. Coron. Periodic solutions of a nonlinear wave equations withaut assumption of monotonicity.-Math. Ann.-1983.- V 262, No 2. P. 273-285.

5. P. Rabinowitz. Free vibrations for a semilinear wave equation//Comm. Pure Aple. Math.- 1978.- V 31, No 3.- P. 31-68.

6. К. Tanaka. Infinitely many periodic solutions for the equations: uu — uxx ± |w|s1 = f(x,t)//Comm. in part. diff. equations.-1985.- V 10, No 11.

7. П.И. Плотников. Существование счетного множества периодических решении задачи о вынужденных колебаниях для слабо нелинейного волнового уравнения// Мат. Сб.- 1988.- Т. 136(178), N4(8).- С. 546-560.

8. Е. Feireisl. On the existence of periodic solutions of a semilinear wave equation with a superlinear forcing term//Chechosl. Math. J.- 1988.-V 38, No 1,- P.- 78-87.

9. H. Lovicarova. Periodic solutions of a weakly nonlinear wave equations in one dimension//Czechoslovak Math. J.- 1969. V. 19(94).- P. 324342.

10. P. Rabinowitz. Periodic Solutions of Nonlinear Hyperbolic Partial Differential Equations // Comm. Pure Aple. Math-1967.- V. 20.- P. 145-205.

11. P.J. McKenna. On solution of a nonlinear wave equation when the ratio of the period to the length of the interval is irrational//Proc. Amer. Math. Soc. -1985.- V. 93.- P. 59-64.

12. A.K. Ben-Naoum, J. Mawhin . Periodic solutions of some semilinear wave equatons on balls and on spheres//Top. Meth. Nonl.Analysis.-1993. V 1, No 1. - P. 113-137.

13. B.M. Бабич, H.C. Григорьева. Ортогональные разложения и метод Фурье. Л.:Изд-во Ленингр. ун-та, 1983.

14. J. Berkovits, J. Mawhin. Diophantine approximation, Bessel functions and radially symmetric periodic solutions of semilinear wave equatonsin a ball//Trans. Amer. Math. Soc-2001 V. 353, No 12.- P. 50415055.

15. V. Barby, N.H.Pavel. Periodic solutions to nonlinear one dimensional wave equation with x dependent coefficients// Trans. Amer. Math. Soc.-1997. V.-349, No 5.- P. 2035-2048.

16. А. Куфнер. С. Фучик. Нелинейные дифференциальные уравнения. М.:Наука, 1988.

17. P. Rabinowitz. Multiple critical points of perturbed summetric functional// Trans. Amer. Math. Soc.-1982.-V. 272, No 2.

18. L. Nirenberg. Variational and topological methods in nonlinear problems// Bull. Amer. Math. Soc.(N.S-). -1981.- V 4. N 3,- P. 267-302.

19. M.A. Красносельский, П.П. Забрейко. Геометрические методы нелинейного анализа.- М.: Наука. 1975.

20. H. Brezis, J.M. Coron, L. Nirenberg. Free vibrations for a nonlinear wave equations and a theorem of P.Rabinowitz//Comm. Pure Aple. Math-1980.- V. 33.- P. 667-689.

21. С.И. Похожаев. О методе расслоения решения нелинейных краевых задач//Тр. Матем. Ин-та АН СССР.- 1990.- Т. 192.- С. 146163.

22. Е. Feireisl. On the existence of multiplicity periodic solutions of equation of rectangle thin plate//Chechosl. Math. J.- 1987.- V 37, No 2.-P 334-341.

23. P. Rabinowitz. Large amplitude time periodic solutions of a semilinear wave equations// Comm. Pure Aple. Math-1984.- V. 37.- P. 189-206.

24. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. M.: УРСС, 2003.

25. M. Yamaguchi. Free and forced vibrations of nonlinear wave equations in ball// J. Diff. Eq.-2004- V. 203. P. 255-291

26. A.K. Ben-Naoum,J. Berkovits. On the existence of periodic solutions for semilinear wave equation on a ball in Rn with the space dimension n odd// Nonlinear Anal. TMA 1995.- V 24.- No 2.- P. 241-250.

27. T. Kiguradze. On periodic in the plane solutions of nonlinear hyperbolic equations//Nonlinear Anal. TMA.-2000.-V 39.-P. 173-185.

28. A. Bahri, H.Brezis. Periodic solutions of a nonlinear wave equation// Proceedings of the Royal Society of Edinburg. -1980.-V. 85A.-P.313-320.

29. E. Feireisl. Weakly damped quasilinear wave equation: existence of time-periodic solutions// Nonlinear Anal. TMA.- 1991.- V 17 No 8.- P. 711-723.

30. Q-H. Choi, T. Jung. Multiplicity results for nonlinear wave equations with nonlinearities crossing eigenvalues// Hokkaido Math. J.-1995.-V. 24.-P. 53-62.

31. J. Poschel. Quasi-periodic sjlutions for a nonlinear wave equa-tion//Comment. Math. Helvetici.-1996.-V.71.-P. 269-296.

32. Y. Ding, L.Shujie. Periodic Solutions of Symmetric Wave Equation/Journal of differential equations.-1998.-V.145.-P.217-241.

33. S. Yuming, L. Tat-tsien, Q. Tiehu. Periodic travelling wave solutions of nonlinear wave equations// Nonlinear Analysis.- 1999.- V 35.— P. 917-923.

34. M. Yamaguchi.Periodic Solutions of Nonlinear Equation of String mith Periodically Oscillating Boundaries//Funkcialaj Ekvacioj.-2002.-V.45.-P. 397-416.

35. J. Berkovits, H. Leinfelder, V.Mustonen. Existence and multiplicity results for wave equations with time-independent nonlinear-ity//Topological Methods in Nonlinear Analysis.-2003.-V. 22.-P. 273295.

36. E. Feireisl. Time periodic solutions to a semilinear beam equation// Nonlinear Anal. 1988.- V. 12. - P. 279-290.

37. E.R. Fadell, S.Y. Husseini, P.H. Rabinowitz . Borsuk-Ulam theorems for arbitrary S1 actions and applications// Trans. Amer. Math. Soc. 1982. - V. 274. - N 1,- P. 345-360.

38. Ж.-JI. Лионе. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач// "Едиториал УРСС", г. Москва, 2002 .

39. W.S. Kim. Boundary value problem for nonlinear telegraph equations with superlinear growth//Nonlinear Analysis. T.M.A. -1988.-V. 12.-P. 1371-1376.

40. S. Fucik, J.Mawhin. Generalized periodic solutions of nonlinear telegraph equations// Nonlinear Analysis.-1978.-V. 2. P.- 609-617.

41. J. Mawhin . Periodic solutions of nonlinear telegraph equations in Dynamical Systems (Edited by Bednark and Cesari)-NewYork: Acadimic Press, 1977.

42. Ф.А. Березин, M.A. Шубин. Уравнение Шредингера- M., 1983.

43. М.М. Вайнберг. Вариационный метод и метод монотонных операторов-М.: "Наука", 1972.

44. М.И. Вишик. Краевые задачи для квазилинейных сильно эллиптических систем уравнений, имеющих диввергентную форму//ДАН.-1961.-Т. 138.-N З.-С. 518-521.

45. М.И. Вишик. Решение системы квазилинейных уравнений, имеющих диввергентную форму при периодических граничных условиях//ДАН.-1961.-Т. 137.^ З.-С. 502-505.

46. М.И. Вишик. О разрешимости краевых задач для квазилиней-ных параболических уравнений высших порядков// Математический сборник.-1962.-Т. 59(доп).-С. 289-325.

47. М.И. Вишик. Квазилинейные сильно эллиптические системы дифференциальных уравнений, имеющие диввергентную форму//Тр. Моск. мат. об-ва-1963.-Т. 12.-С. 125-184.

48. В.А. Кондратьев. Элементарный вывод необходимого и достаточного условия неколеблемости решений линейного дифференциального уравнения второго порядка//УМН-1957.-Т. 12.-К 3. С. 159160.

49. В.А. Кондратьев. Достаточные условия неколеблемости и колеблемости решений уравнения у" + р(х)у — 0//ДАН СССР-1957.-Т. 113.^ 4. С. 742-745.

50. В.А. Кондратьев. О колеблемости решения линейных дифференциальных уравнений третьего и четвертого порядка//ДАН СССР-1957.-Т. 113-К 4. С. 742-745.

51. В.А. Кондратьев. О нулях решений уравнения у"+р(х)у = 0//ДАН СССР-1958.-Т. 120.-^т 6. С. 1180-1182.

52. В.А. Кондратьев. О колеблемости решений линейных уравнений третьего и четвертого порядка//Труды ММО-1959.-Т. 8.-К 4. С. 259-281.

53. В.А. Кондратьев, О.А. Олейник. О периодических по времени решениях параболического уравнения второго порядка во внешних областях// Вестник МГУ. Сер. 1. Матем. Мех.-1985 N 4-С. 3847

54. В.А. Кондратьев, Ю.В. Егоров. Об оценках первого собственного значения в некоторых задачах Штурма-Лиувилля// УМН-1996.-Т. 51.-N 3. С. 73-144.

55. А.П. Буслаев, В.А.Кондратьев, А.И. Назаров. О периодических решениях нелинейного уравнения //Дифференциальные уравнения-1997.-Т. 33.-N И. С. 1569.

56. Ю.А. Дубинский. Квазилинейные эллиптические и параболические уравнения любого порядка//УМН-1968.-Т. 23.-вып. I.- С. 45-90.

57. С.И. Похожаев. О периодических решениях некоторых нелинейных гиперболических уравнений//ДАН.-1971.-Т. 198.-N 6.-С. 1274-1277.

58. С.И. Похожаев. О периодических решениях нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений// Дифференциальные уравнения-1980.-T. 16.-N 1.-С. 108-116.

59. И.В. Скрыпник. Применение топологических методов к уравнениям с монотонными операторами//Укр. Матем. ж.-1972 -T. 24.-N 1.-С. 69-79.

60. В.А. Треногин. Функциональнвй анализ-М.: "Наука", 1980.

61. H. Amann, E.Zehnder. Nontrivial solutions for a class of nonresonans problems and applications to nonlinear differential équations//Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa- 1980.- V. 8.- P. 539-603.

62. H. Amann, E.Zehnder. Multiple periopdic solutions for a class of nonlinear autonomous wave equations//Houston Journal of Mathematics-1981.- V. 7.- N 2,- P. 147-173.

63. A. Bahri, H.Brezis. Periodic solutions of a nonlinear wave equa-tion//Proc. Roy Soc. Edinburg-1980.-V. 85A.-P.313-320.

64. H. Brezis, J.M. Coron. Periodic solutions of nonlinear wave equations and Hamiltonian systems//Amer. J. Math-1980.-V. I03.-No 3.-P. 559-570.

65. F.E. Browder. Nonlinear monotone operatos and convex sets in Ba-nach spaces//Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.)-1965.- V. 71.-N 5.-P. 780-785.

66. G. Minty. Monotone (nonlinear) operators in Hilbert spase//Duke Math. J.-1962.-V. 29-N 3. P. 341-346.

67. J.Leray, I.L.Lions. Quelques résultats de Visik sur les problems ellip-tiquess non lineaires par les methods de Minty-Browder//Bull. Soc. Mhath. France-1965.-V. 93.-P. 97-107.

68. P. Rabinowitz. Time periodic solutions of a nonlinear wave equation// Manus, Math.-1971- V. 5.- P. 165-194.

69. К.С. Chang, L.Sanchez. Nontrivial periodic solution of a nonlinear beam equation// Math. Meh. in the Appl. Sci.- 1982.-V. 4.-P. 194205.

70. W.S. Hall. On the existence of periodic solution for the equation Dttu+ (-1 YDfu = <•/(., ■,«)//J. Diff. Eq.-19T0.-P.509-526.

71. И.Г. Петровский. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.-М.: наука, 1970.

72. С.И. Похожаев, В.П. Пикулин. Практический курс по уравнениям математической физики.-М.:МЦНМО, 2004.

73. М.А. Шубин. Лекции об уравнениях математической физики.-М.: МЦНМО, 2003.

74. А.Н. Тихонов, А.А.Самарский. Уравнения математической физики.-М. :Наука, 1977.

75. Б.М.Будак, А.А.Самарский, А.Н.Тихонов. Сборник задач по математической физике.-М.:Физматлит, 2003.

76. B.C. Владимиров. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1981.

77. А.Ф. Филипов. Введение в теорию дифференциальных уравнений.-М.: УРСС, 2004.

78. X. Гаевский, К.Грегер, К. Захариас. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. -М.: Мир, 1978.

79. К. Tanaka. On the range of wave operators//Tokyo J. Math.-1985.-V. 8. N 2.-P. 377-387.

80. K. Tanaka. Density of the range of a wave operator with nonmonotone superlinear nonlinearity//Proc. Japan Acad.-1986.-V. 62. N 4.

81. К. Tanaka. Infinitely many periodic solutions for a superlinear forced wave eqation//Proc. Japan Acad.-1985.-V. 61 Ser. A.

82. K. Chang, C. Hong. Periodic solutions for the semilinear spherical wave eqation//Acta. Math. Sinica. N. S.-1985.-V. l.-N l.-P. 87-96.

83. A.I. Bobenko, S.B.Kuksin. The nonlinear Klein-Gordon equation on an interval as a perturbed sin-Gordon equation//Comm. Math. Helv.-1995.-V. 70.-P. 63-112.

84. J.K. Kim, N.H.Pavel. Existence and regularity of weak periodic solutions of the 2-D wave equation//Nonlinear Analysis. T.M.A. 1998.-V. 32.-N 7.-P. 861-870.

85. JI. Ниренберг. Лекции по нелинейному функциональному анализу.-М.: Мир, 1977.

86. V. Benci. Some critical point theorems and applications//Comm. Pure Appl. Math.-1980-V. 33.-P. 147-172.

87. M. Berty, P. Bolle. Multiplicity of periodic solutions of nonlinear wave equations// Nonlinear Analysis-2004 V. 56.-P. 1011-1046.

88. A. E. Мирошниченко, А.А. Васильев, С.В. Дмитриев. Солитоны. Столкновения и взаимодействия солитонов.

89. А.В. Викулин. Физика волнового физического процесса.

90. В.И. Санюк, Л.В.Хорунжая. Псевдосферические поверхности и уравнение синус-Гор дона// Вестник РУДН. Серия Физика. -2004.-N 12.-С. 27-40.

91. В.Ю. Новокшенов. Введение в теорию солитонов. М. 2002.

92. Т. Хаяси. Нелинейные колебания в физических системах.-М.: Мир, -1968.

93. S. Sedziwy. Nonlinear periodic boundary value problem for a second order ordinary differential equation//Nonlinear analysis, T.M.A.-1998.-V. 32.-N 7.-P. 881-890.

94. A. Ambrosetti, V. Coti Zelati. Closed orbits of fixed energy for a class of N-body problems// preprint S.N.S.-1990.-April.

95. A. Ambrosetti, U. Bessi. Multiple periodic trajectories in a relativis-tic gravitational field// preprint S.N.S.-1990.

96. P. Rabinowitz. Multiple critical points of perturbed symmetric func-tional//Trans. Amer. Math. Soc. -1982.-V. 272.-N 2.

97. JI. Бере, Ф. Джон, M. Шехтер. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Иностр. л-ра, 1964.

98. Т. Kiguradze. On periodic in the plane solutions of second order linear hyperbolic systems// Arhivum mathematicum (brno).-1997.~ V. 33.-P. 253-272.

99. T. Kiguradze. On unique solvability of the periodic problem in the plane for linear hyperbolic equations// Mem. Differetial Equations Math. Phys.-1997.-V. 10.-P. 129-131.

100. Т.И. Кигурадзе. О двоякопериодических решениях одного класса нелинейных гиперболическх уравнений// Дифференциальные уравнения. 1998.-Т. 34.-N 2.-С 238-245.

101. А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений.-М.: Физматлит,-2004.

102. Ю.О. Митропольский, С.Г. Хома-Могилска. Умови існування ро-звя'язків крайовоі періодичноі задачі для неоднорідного лінійного гіперболічного рівняння другого порядку//Укр. мат. журн. 2005.Т. 57.-N 7.-С 912-921.

103. Г.П. Хома, Н.Г. Хома, С.Г. Хома-Могилска. Про розвя'язки періодичної задачі для гіперболічного рівняння другого по-рядку//ПІ Всеукр. наук. конф. "Нелінійні проблеми аналізу"(9-12 вересня 2003 p., Івано-Франківськ): Тези доп. С 108.

104. И.А. Рудаков. Свободные нелинейные колебания прямоугольной тонкой пластины и стержня// Материалы Воронежской зимней математической школы " Современный анализ и его приложения", посвященной М.А.Красносельскому.- 2000- С. 147-148.

105. И.А. Рудаков. Периодическое по времени решение нелинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями// Материалы Воронежской весенней математической школы "Современные методы в теории краевых задач"-Понтрягинские чтения-ХІ.- 2000.-С. 126.

106. И.А. Рудаков. Периодические по времени решения волнового уравнения с суперлинейной нелинейностью// Материалы Воронежской весенней математической школы "Современные методы в теории краевых задач"-Понтрягинские чтения-XIV.- 2003.-С. 124-126.

107. И.А. Рудаков.Периодические решения квазилинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями//Материалы международной конференции в МГУ памяти И.Г.Петровского "Differential Equations and Related Topics".-2004.-C. 180-181.

108. И.А. Рудаков. Решение нелинейных дифференциальных уравнений, удовлетворяющих условию нерезонансности // Материалы Всероссийской конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" в г. Самара.-2005.-С. 67-69.

109. И.А. Рудаков. Периодические решения квазилинейного волнового уравнения с непостоянными коэффициентами/ /Материалы международной конференции в МГУ "Тихонов и современная математика".-2006.-С. 221-222.

110. Е.Б. Гаврилова, И.А.Рудаков. О существовании периодического решения волнового уравнения с граничными условиями 3-го рода и Неймана//Вестник БГУ им. И.Г.Петровского.-2006-N 4, -С. 111-114.

111. И.А. Рудаков. О периодических решениях волнового уравнения с граничным условием 3-го рода// Вестник БГУ им. ИГ.Петровского.-2007-N 4, -С. 46-66.

112. И.А. Рудаков. Периодические решения квазилинейного волнового уравнения//Материалы Международной конференции посвященной 85-летию члена-корреспондента РАН, профессора Л.Д.Кудрявцева в РУДН. Москва.-2008.-С. 309.