Периодические решения ограниченной эллиптической задачи трех тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА г ' М^НИКО-ЛиТЕМАТИЧЕСКИИ ФАКУЛЬТЕТ

2 /4 пит •

. ' 1 м' I :. На правах рукописи

ШКРОБА Станислав Петрович

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

ТРЕХ ТЕЛ

Специальность 01.02.01 — теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1994 г.

Работа выполнена -на кафедре физики и высшей математики Великолукской Государственной сельскохозяйственной академии.

Научный руководитель — профессор, доктор физико-математических наук В. П. Евтеев.

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор Московского Государственного университета им. М. В. Ломоносова В. Г. Демин.

Кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник института теоретической и экспериментальной физики Ю. Н. Исаев.

Ведущая организация: Московский Государственный авиационный институт (технический университет).

Защита состоится « //» 1994 г. п № час,

на заседании специализированного Совета по механике Д 053.05.01 при МГУ по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан « т» ^Лу -Я- 1994 г.

Ученый секретарь специализированного Совета п п томит!*

Д 053.05.01 при МГУ Д>

д. ф.-м. н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Задача трех тел—знаменитая проблема классической механи-, над которой работали исследователи многих поколений. Рас-[атривается движение системы трех тел, взаимно притягиваю-яхся по закону Ньютона. Аналитическое исследование движения ждого тела в этой задаче, несмотря на очень простую структуру мой системы, связано с большими математическими трудпостя-I, эта задача не может быть проинтегрирована в квадратурах в мкнутом виде. Ввиду этого усилия ученых были направлены в орону изучения ее вырожденных и частных случаев, построения риодических и условно периодических решений, исследования [зличных качественных свойств решений (устойчивости по Ла-анжу, Ляпунову и т. п.).

Ограниченная задача трех тел — один из предельных вариан-в задачи трех тел, в котором предполагается, что одно из тел (ходится под действием сил притяжения к двум другим телам, но мо влияния на их движение не оказывает; при этом активно авитирующие тела движутся по софокусным кеплеровским ор-[там вокруг их общего центра масс. В зависимости от типа этих (бит ограниченная задача трех тел разделяется на круговую, эл-штическую, параболическую и гиперболическую задачу трех тел.

Наиболее полно изучена круговая задача трех тел, история ис-[едования которой берет свое начало от работ Л. Эйлера и Ж. Л. агранжа. Ее изучение было продолжено К. Г. Якоби и значи-лыю позднее Э. Хиллом, А. Пуанкаре, Т. Леви-Чивита и Дж. лркгофом.

Большой и исключительно важный вклад в ограниченную за-1чу трех тел сделал Ш. Делоне, который при построении движе-1я Луны развил аппарат интегрирования дифференциальных >авнений движения, основанный на гамильтоновом формализме, гот метод вошел в аналитическую механику как метод канони-:ских переменных «действие—• угол».

Известно, что ограниченная задача трех тел имеет пять рав-)весных решений, два из которых называются треугольными, а ш остальных — коллинеарными точками либрации.

Интерес к точкам либрации сильно возрос в связи с практи-:скими потребностями космических исследований. Хорошо из-:стна классическая проблема устойчивости треугольных точек ^брации в ограниченной задаче трех тел, которая получила окон-пельное решение лишь в наше время, да и то лишь для плоско-

го случая. С этой целью были привлечены новейшие методы йсслё-дования — теория Колмогорова — Арнольда — Мозера. Астрономические обсерватории, запущенные в треугольные точки либрации системы «Земля — Луна», в случае устойчивости их орбит будут «вечными» в отличие от спутниковых орбит в ближайшей окрестности Земли. Одной из наиболее важных задач о точках либрации является проблема существования и построения периодических орбит в их окрестности.

Для ограниченной круговой задачи она рассматривалась обстоятельно и неоднократно во многих работах Е. П. Аксенова 10. А. Рябова, В. Г. Демина, А. Депри, В. Себехея и т. д. Дл? ограниченной эллиптической задачи трех тел эти вопросы на ос нове линеаризованных уравнений достаточно полно изучены А. П Маркеевым. В работах В. П. Евтеева эта проблема решалась i рамках плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел, гд( после введения специальной подвижной системы координат уран нения движения пассивно гравитирующего тела были сведены i одному дифференциальному уравнению относительно нек0Т0р01 комплексной переменной как функции эксцентрической аномалии Далее, для решения проблемы существования и построения пе риодических решений этого уравнения привлекался метод малоп параметра. Были рассмотрены вопросы о существовании и пост роепии 2я</-периодических решений (q^ 1, q— целое) в окрестно сти каждой коллинеарной точки либрации на основе уравпени: первого приближения для отдельных значений параметра масс i целого числа q. Для треугольных точек либрации было доказан^ только существование таких решений и построены некоторые се мейства периодических решений первых пяти уравнений последо вательных приближений периода 4я и 6я. В работе Т. М. Поле новой были построены этим же методом другие семейства 4л-пе риодических решений в окрестности треугольных точек либрации Следует подчеркнуть, что построение таких решений было связа но с громоздкими аналитическими преобразованиями и потребе вало огромной прямой вычислительной работы. В целом, однакс указанная проблема для ограниченной задачи трех тел остаетс открытой.

Цель работы. В плоской ограниченной эллиптической задач трех тел методом малого параметра рассмотреть вопросы сущест вования и построения периодических решений как функций истш-ной аномалии любого периода 2nq {q — целое, 2) в окрестнс сти каждой треугольной Точки либрации, разработать «машиь ный» вариант алгоритма существования и построения таких pt шений и реализовать его на персональном компьютере в систем программирования «TURBO — PASCAL».

Методы исследования. Использованы методы теории ветвлени решений Ляпунова — Шмидта, метод малого параметра Пуанкар! а также общие методы функционального анализа. Благодаря дг алогу с компьютером, удалось получить важные закономерносТ!

даторые впоследствии были обоснованы аналитически, компбю-■ерные вычисления подтвердили также правильность -многих формул, полученных после громоздких аналитических преобразований.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, [вух глав и списка цитируемой литературы из 54 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение пойвящёио краткому обзору современного состояния (¿следований- точек либрации в ограниченной задаче трех тел, одчеркнута актуальность темы и указаны цели и методы иссле-ования, дана характеристика научной новизны результатов ра-оты автора и кратко изложено содержание диссертации.

Первая глава состоит из девяти параграфов. В первом пара-рафе уравнения -движения плоской ограниченной эллиптической адачи трех тел приводятся к одному дифференциальному уравне-ию относительно комплексной переменной 2 как функции истиной аномалии и с двумя вещественными параметрами в и ц (0<е, <1) вида:

(1 Ч-асоэи) (2" 4-2/2') = 2 — 11 + 2дг/?(г), (1)

;(2) - (1!*) |-2|-1 + ¡X ¡г— 1= (1 - ц) / / р/У(г—1) (7-1),

=Щ\/(т.а-\-т\), т0 и т1 — массы активно гравитирующих тел, — эксцентриситет орбиты тела с массой тл, дифференцирование ведется по и.

Известно, что уравнение (1) имеет пять стационарных решети го, которые являются координатами точек, получивших паяние точек либрации. В диссертации изучаются треугольные точ-1 либрации ¿4 и ¿5, координаты которых соответственно равны

г0=1/2+»>/з"/2 и 20= 1/2-¿")/з"/2.

Рассматриваются пары чисел (е, ц) такие, что

= + (2) е цо, М-ь Ц2 — пока неизвестные вещественные числа.

Для таких пар чисел (е, ц) ставится задача об отыскании 2пд-риодических решений ¿7—-целое) уравнения (1), тожде-

венно не равных го, в виде

2 = г0 + 2гтг"\ (3)

т» 1

ё гт — П'ёйзвестные к'ом'плекснозпачпые функции от и.

Разлагая 2д-!{{г) по степеням (г — г0) и (г — гб) и подстав-я (3) и (2) в (1), получим после приравнивания коэффициентов и гп уравнение /г-го приближения. В результате задача

была сведена к Последовательному нахождению периодически решений этих уравнений. При этом изложение теории ведется о; новременно для двух точек либрации, которые определяют нул< вой член ряда (3); если результаты не совпадают, то это спет ально оговаривается. В уравнении п-го приближения решеш гп порождает новую комплексную неизвестную, постоя]

ную интегрирования Сп>2, и исходная задача в конце концов свс дится к нахождению неизвестных ^ь и Сп,2 (^23=1)-

В параграфе 2 естественным образо,м вводится зависимое! между [х0 и новым параметром Х=р/с1 (1^р<<7, ¿7^2, р и <7 — ц< лые числа, У1— X2 — иррациональное число), определяющим п< риод решений, следующим образом:.

^-лМ-|(27/4)>0 (1-^=0. (<

Считая К исходным параметром, из (4) находим два значения ^

[л.0 = (1 / 2) +]/ 12 (2Х2 — I)2 + 69 / 18. ({

В этом же параграфе рассматривается уравнение первого пр! ближения

= +2Щ - (3/2)21 — ¿0^ = 0, ((

где ¿01= (3/2) (цо(2о — 2о) — 2о).

Все 2л^-периодические решения уравнення (6) прп условии (5 можно найти по формуле

гх = аС^е-1^ + С,2е1Х°, ('

где а— —Ь01/(Х2 — 2X4-1.5), С\г— любое комплексное число. Здес же доказывается двумерность ядра дифференциального оператор действующего в вещественном гильбертовом пространстве Н комплекснозначных 2л(/-периодических функций, суммируемых квадрато.м и со скалярным произведением

1 2*<?

^' I (гУ + Уг)^-

а § 2 посвящен доказательству самосопряженности и нормально разрешимости оператора 0 в //«.

В § 4 изучается специальное уравнение

/■ез

где В±г — произвольные комплексные числа, 5 — конечное семей ство рациональных индексов такое, что

Теорема 4.1. При выполнении условия (4) уравнение (8 имеет 2я(7-периодические решения тогда и только тогда, когда

2 (аЯ_,Г|4-5и)=0. (£

г еХ, 1г| = Х

При выполнении условия (9) все 2л^-периодичсские решения эавнения (8) можно найти по формуле

z = aCje-«® + Сгеа° + 2 [b-re~irv+ brelrv), (10)

res

ie

&±Л=(Дг)-1(Ь0,ВГ|:г_(г2 + 2г + 3/2)В±г)> если г=£±>., = О,

= —(XS + 2X+3/2),

Дг = (г2 — л2) (г2 + >.2 — 1), С2 — любое комплексное число.

Уравнения я-го приближения (п^2) при их последовательном ассмотрении сводятся к уравнению вида (8). В § 5 рассматривается уравнение второго приближения

0Z2 = —COS V (Zi 2/z/) + OoilZi + «0202,2 + ÖmZjZi + Ö200Z!2, (11) ie

«он = =Fi'|/3"ii1/2> ¿>oi = 3 (— 1 + i ]/ЗЛ)/4, a020 = — 15Ä/8,

«?oo = 3 (Л + /1/*3~) /16, «по = 3 (А T / ]/3~) /8, A = 2[10— 1

здесь и всюду далее, в двойных знаках (±) (Т), верхний знак — ля Li, нижний — для Ls).

Теорема 5.1. Пусть Хф 1/2 и С]2 =5^0. Уравнение второго рнближения (11) имеет 2ж7-периодические решения тогда и толь-о тогда, когда

1^ = 0. (12)

Теорем а 5.3. Пусть %=\'/2 и СпФО, g = a/4, f ='± ЗщУЗ/гаа. Следующие четыре утверждения эквивалентны:

1). Уравнение второго приближения (II) имеет 4л-периодиче-

кие решения;

2). SC¡2 -I-/C12 = 0; (13)

3). |gf = /2; (14)

4). 'щ2= П/3456. (15)

При выполнении условий (12) (ХФ1/2) и (15) (Л.= 1/2) с по-ющыо формул (10) определяется функция г2, в результате чего о,является новая комплексная неизвестная Сгг-В § 6 исследуется уравнение третьего приближения при "кФ\/2.

L0z3 = —cos v {zi' + 2iZi) + amz2 4-asooz,3 -f a2wz,2z, + a12oZi2zi +

+ flraoZi3 + z\ (2a2ooZ2 + anoz2) + Zi (an0z2 + 2a02022) -f a2oiZi2 +

+ amzizi +a02iz12aouzi, (1б)

де азоо== (5/24) b0u аозо = (35/24) b0\,

0210=9/16, Û120 = (5/8) bou я012=а-+-3/угЗ:|1,2/2, Û2oi = 3^/8, «111 = 31x^4, a02i = —15[x)/4.

Если учесть (5), (7), (12) и z2, то (16) приводится к виду (8) а после сложных и громоздких преобразований удалось получит; простые условия существования периодических решений, уравне ния (16).

Теорема 6.1. Пусть 1=^1/3. Уравнение третьего приближе ния (16) имеет 2я<7-периодические решения тогда, и толыф , тогда когда

где

û3|Cl2!2Cl2 +(63 + C3!X2)Cl2 = 0,

3 36 (5X2 1- 1) (X2 —2Х + 3/2)2 ' ^

(Хг - 1 ) (6X2 _ 7) 2(1 -ЧХ2) (X2 — 2Х + 3/2)2 '

-27(2^-1)

I (Х- 2Х'+'3/2)

Теорема 6.3. Пусть к =1/3. Уравнение третьего приближени: (16) .имеет.6л-.периодические решения тогда и "только тогда, когд

а|С12|2С12 + Ь (С12)2 + с1Сп = 0, (18

где.«—«а-- —842/23409,

, 7452Й , 871 Юг Уз о — —-гг:--Г

132651 — 132651

152 243 Л[х2 ,, 2059

: bt 4- СчШ ----— » tl —-•

255 34 2187

Из (17) мгновенно вытекает, что | См | =У — (¿з+с^г) Л*з если свободный параметр выбран так, что,

(¿а+с3^2)/а3<0.

В § 6 доказано, что для любых значений ц2 таких, что £> = = |Ь]2— уравнение (18) имеет решение относительно- С):

и указаны явно, точные формулы для этих решений. По формул! (10) находится г3, оно порождает новую комплексную неизвест НУЮ С32.

В § 7 рассматривается уравнение п-го приближения (п^4 \ф' 1/2).

Теорема 7.1. Пусть 1/3, 1=^2/3, >.=^1/4,

Уравнение четвертого приближения' имеет 2л<7*периодические решения тогда и только тогда, когда

2а3|С12|3Сг2 + 0з(С12)гС22+ = : (19)

Теорема 7.2. Пусть.А —2/3. Уравнение четвертого приближения (19) имеет бл-периодические решения тогда и только тогда, <о,гда

2а3 \С^С22г+а3 {Си)2 С22:+ (Ь2• +,х2с3) С22 —d4(C12)2 = 0,. (20) где-. (—dl) 0.301.967 • S ± ¿8.130532,-.

5 = sign h, Ä2 = 1867/2187.

Тео рем а, 7,4, Пусть А= 1/4: Уравнение четвертого, прибли-«ения имеет 8л-периодические решения тогда и только тогда, (огда

2fl3 |Ctt|» С22 + Ö3 (Ci'2)2 С22 + (b3 + ц2с3) См - db (С12)3 = 0, (21) "де. (—4) — —г0.967182/1.430651 • 5,

S= sigrihi № = 139/144.

Уравнения (19) —(21) совместно с (17) подробно исследованы,, а-при А=1/4 и-А=2/3 удалось найти все значения arg Ci? неза-шсимо от

Т е о р е м а .7,6.. Пусть Я==1/3, Уравнение .четвертого приближе-!ия имеет бл-периодические.решения, тогда и только тогда, когда

2а|С12|3С22+ a (C12)2C22 + dC22 -Ъ26С12С22 = 0, (22)

■де числа a, b, d находятся по формулам (18).

Рассматривая (22) совместно со своим комплексно сопряжен-шм уравнением, получим линейную систему уравнений с неиз-5естными С22 и С22. До,называется, что определитель этой системы учетом (18) равен А3=9|Ь| | С1212уЛ? Если D>0, то А3^0 и си-тема имеет единственное решение С2а=0. Таким образом, если 18) позволяет найти неизвестную функцию zu то из (22) находят-Я-Z2. В этом же, параграфе доказывается,, .что условия существо-ания периодических решений и-го приближения (п^Ъ) дают ли-[ейную систему уравнений с неизвестными С„_2,2 и С„_2,2 с опре-.елителем А3, из которой при D>0 однозначно находится Сп_2,г, , значив и z„-2-

§ 8 посвящен периодическим решениям уравнения га-го прибли-кения (п^З) при Х=\/2.

Теорема 8.1. Пусть К—\/2. Следующие утверждения эквива-:енд?ны:

1) Уравнение третьего приближения (16) имеет 4л-периодиче-кие решения,

2). АС,2 + В |С12|2С,2 + ССХ2 + gCu + fCM = 0, (23)' ■де А = 6/2 |Xj5- 113/384, ß= -341 / Ю8г

Г

С = (55/ (8/33 ) + ¿29/(4 /22 )) sign щ, S^sign (2j»-0 - 1);

3) ÄCx2 + В 1С12|г Cr, + CCn + gC22 + fC22 = 0, (24)

где А = 6/2 t*,S—65/384, ß = —341/108; c= (—S/ (4/33) ±5i/(48/22 )) s/g«^,

Из (13) —(15) и (23) или (24) находится, что \Cia\=l/D/B, где D= —6|2 1^2+49/384, arg Ci2 = @/2 или arg С12= (0+2л)/2, где © = arg (—sign(ni/i)a).

Теорема 8.3. Пусть Л.= 1/2. Уравнение четвертого приближения имеет 4л-периодические решения тогда и только, тогда, когда

gC32 + /C32 + АСп + С22 • С + 2В |С12|2

Q. (25)

где А, В, С находятся по формулам (23), а выражение Q в диссертации выписано явно. С помощью равенств (13) — (15), (23) и

(25) нахождение С22 было сведено к линейной системе уравнений относительно неизвестных С22 и С22 с определителем Д2= = —llß|Ci2|2/12^=0, из которой однозначно находится С22 для всех значений свободного параметра р,2 такого, что D/B>0.

Уравнение и-го приближения (п^5) дает возможность найти постоянную интегрирования 2 из системы линейных уравнений относительно неизвестных Сп-2,2 и Сп-2,2 с определителем Дг^О, а значит и z„_2.

В § 9 речь идет о «машинном» варианте алгоритма построения периодических решений уравнений последовательных приближений методом неопределенных коэффициентов. Уравнение и-го приближения (п^1) имеет вид:

L0zn^Wn. (26)

Выражение №„ зависит от zr, z, (O^r^/i— 1), jx0, ць ц2 и эта зависимость в диссертации указана явно, 1F, = 0.

Пусть дано число X=p/q, % = v/q и Цо вычисляется по формуле (5), тогда если 1Vn = I,Wn keikx, то общее решение уравнения

k=—s

(26) zn находится следующим образом:

z„-= 2 Zn.ke*--, (27)

к--s

где Zn.k=(boiWn. -k~(r2-2r + 3l2) Wn.u)lДг, [кф±р] zn,-p=a.Cn,2, X =

Zn.r = C,t,o- №„.,/(>* + &+ 3/2),

r — k\q, Ar = (a2 - Xs) (r2 + X2 - 1 ),

Cn,2—постоянные интегрирования (произвольные комплексные числа).

Задача о, последовательном нахождении Щп и zn сводится к линейным операциям, операциям комплексного сопряжения и ум-

s • . '

ножения над выражениями вида ~Zakeikx, они легко реализуются в

k = —s

традиционных системах программирования. Выбор числа s целиком зависит от исследователя при конкретном программировании, его можно сделать достаточно большим, добавляя в сумме нулевые слагаемые.

Автором этот алгоритм был реализован на персональном компьютере в системе программирования «TURBO — PASCAL», причем переменные п, р, q, Ск,г (1^/г^/г) рассматривались как входные параметры, a \Vn>fc и zn,k (—s^À^s)— как выходные параметры.

Для того, чтобы из о(бщеш решения zn п-то приближения выделить 2я</-пернодические решения, достаточно воспользоваться равенством

*Wn,-p+ W„.p = 0. (28)

Левая часть (28) представляет собой при фиксированных п, р, q многочлен от переменных (i2, и Ck,i (It^k^n—1). Достаточно быстро определяется вид этого многочлена с неопределенными пока коэффициентами. Нахождение этих коэффициентов сводится к линейной системе уравнений, так как 'при конкретных значениях fii, (j,2. выше изложенный алгоритм позволяет вычислить Wn, ~р и Wn.p, а, значит, и сам многочлен.

Из равенств типа (28) можно найти (k^l) и, следовательно, построить Zk, а с их помощью и 2я<7-периодические решения уравнения (1) по формуле (3), считая ц2 свободным параметром и СаФ 0.

Для конкретных прикладных задач заранее известны параметры е (эксцентриситет) и ц (параметр масс). Поэтому из (2) определяется и ц2, так как ¡i0 и щ уже известны.

Следует подчеркнуть, что ряд коэффициентов многочлена (28) теоретически не меняется при изменении п. Это позволяет контролировать надежность полученных результатов, сравнивая эти коэффициенты при различных значениях п.

Вторая глава по.священа доказательству сходимости ряда (3) три Л,= 1 /3 при малых значениях е>0 и всех значениях свободного параметра цг=(^ — Ьз)/Сз такого, что (/>|bj2/4a и состоит

из четырех параграфов. В §• 1 вводится 'Вспомогательная система из двух уравнений

(1 + в cos и) (¿" + 2&) ^dfiz, 5) ; i -f-s cos x>) } ^¿¿F {z, 5),

где f(z, |) = (г-ц)и-ц)+2[(1-ц)(г5)-'/2+ц(!(г-1)(|-

Здесь также изучается комплексное гильбертово пространство :Нг вектор-функций и~( \ ] таких, что 2, со скалярным нро-

■6л

извещением

У) = (*,У, T^i (30)

о

где

л: =

© Н:

Далее определяется линейный дифференциальный оператор Ь, действующий в //•>, следующим образом: <

Ьи = и." + Аи' — Ви,

где

(21 0\ В=,{±5 601\ 1« —-21/' W. 1.5/'

С. помощью свойств-оператора-Ь (самосопряженность, нормальная. разрешимость) в § 2 методам малого параметра были построены согласованные бя-периодические решения системы (29) «=

= | такие, что |—2, а 2—решение уравнения (-1), определенное рядом (3). В §§ 2—3, используя свойства ортогонального проектора Р на двумерное ядро оператора I и методы теории ветвления - Ляпунова — Шмидта, была доказана аналитичность согласованных решений системы (29), а после этого и аналитичность решений, построенных с помощью ряда (3) в главе 1.

Научная новизна работы со,стоит в 'том, что все перечисленные результаты впервые установлены автором.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Новый метод построения периодических реоштй как функций истинной аномалии любого периода 2л</ (ц — целйе, ¿7^2) в окрестности каждой треугольной точки, либрации.

2. Разработан «машинный» вариант алгоритма приближенного построения периодических решений:

3.. Доказана сходимость -степенных рядов* представляющих периодические.решения;

Апробация работы .....

Отдельные части диссертации докладывались на семинаре по, ;лассической динамике (руководители — профессор В. Г. Демин, ,оцент И. И. Косенко) в Московском госуниверситете им. М. В. 1омоносова в 1994 году, на спецсеминаре по прикладным вопро-ам математики и физики (руководитель — профессор В. П. Ев-еев) в Великолукской государственной сельхозакадемии, на магматическом семинаре (руководитель — профессор Ю. К. Демь-нович) Петербургского госуниверситета путей сообщения, на СХХ1 межвузовской научно-производственной конференции Вели-:олукского сельскохозяйственного института (1994 г.), на первом Зеликолукском симпозиуме по прикладной небесной механике 1994 г.).

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

1. Шкроба С. П. О 4я-периодических решениях ограниченной плоской ллнптпческой задачи трех тел в окрестностях треугольных точек либрации. Те-исы докладов XXXI межвузовской научно-практической конференции, г. Ве-икпе Луки, 1994, с. 174—176.

2. III к р1 оба С. П. Об условиях существования бя-пернодических решений >граниченной плоской эллиптической задачи трех тел в окрестности точки либрации ¿5. Тезисы докладов XXXI межвузовской научно-практической конферен-щг, г. Великие Луки, 1994, с. 173—174.

3. Шкроба С. П. О 4я-периодических решениях ограниченной пл_;код ллиптической задачи трех тел в окрестностях треугольных точек либрации.// "/Космические исследования, 1994, т. 32, в. 3, с. 127—130.

4. Ш к р о б а С. П. Об одном алгоритме построения периодических решений .тоской ограниченной эллиптической задачи трех тел. Тезисы докладов перво-о Великолукского симпозиума по прикладной небесной механике, г. Великие 1уки, 1994, стр. 21—23.

5 Шк р об а С. П., Е в теев В. П. О периодических орбитах плоской ог-аниченной задачи трех тел. Тезисы докладов первого Великолукского симпо-иума по прикладной небесной механике, г. Великие Луки, 1994, стр. 24—25.

Сдано в набор 21.09.94 г. Подписано в печать 7.10.94 г.

Объем 1 п. л. Тираж 100 экз. Заказ 2413.

Великолукская городская типография Упринформпечати Псковской области, 182100, г. Великие Луки, ул. Полиграфистов, 78/12