Периодические решения плоской эллиптической задачи трех тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИИ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 531.01

ПОЛЕНОВА Татьяна Матвеевна

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

ТРЕХ ТЕЛ

Специальность 01.02.01—теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1993

Работа выполнена на кафедре теоретической механики механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель — профессор, доктор физико-математических наук В. Г. Демин.

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор Ульяновского филиала МГУ А. С. Андреев. *

Кандидат физико-математических наук, доцент МАИ А. И. Прокофьев.

Ведущая организация: Государственный авиационно-тех-нологический университет им. К. Э. Циолковского.

Защита состоится «/ч? » /-/РА^Лтг г. в час, на заседании специализированного Совета по механике Д 053.05.01 при МГУ по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан « » 1993 г.

Ученый секретарь специализированного Совета

Д 053.05.01 при МГУ . Д. В. ТРЕЩЕВ

д. ф.-м. н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Для различных задач механики и математики представляют интерес либрационные и близкие к ним периодические и квазипе^ риодические решения ограниченной задачи трех тел. До последнего времени ограничивались в основном исследованием круговой ограниченной задачи трех тел, уравнения движения в которой автономны, а стало быть, и более легко подвергаются анализу.

Даже беглый взгляд на динамические характеристики орбит гел Солнечной системы убеждают нас в необходимости рассмотреть более общий вариант этой задачи — эллиптическую задачу грех тел.

Однако сложность анализа этой задачи кроется в неавтономно-;ти ее уравнений движения, поэтому традиционные методы исследования здесь, как правило, не применимы.

Наиболее обоснованный путь исследования эллиптической за-1,ачи трех тел обеспечивают различные методы осреднения Боголюбова-Крылова. Большой интерес представляет осреднение по схеме Ч. Ф. Рейн, где усредняется только часть силовой функции, кото-)ой эллиптическое движение притягивающих масс отличается от :ругового.

Как известно, ограниченная задача трех тел имеет пять равно-есных решений, два из которых называются треугольными, а три стальных — коллинеарными точками либрации. Интерес к ним озрос в связи с практическими потребностями космических иссле^ .ованнй; Все чаще подчеркивается важность динамических свойств очек либрации в различных вопросах механики, космонавтики.

Задача о точках либрации имеет и общетеоретический интерес. 1ри решении ряда вопросов о точках либрации были созданы но-ые качественные, аналитические и численные методы исследования ложных систем, которые применимы во многих задачах небесной еханиш.

Для ограниченной круговой задачи они исследовались обстоя-гльно и неоднократно в ряде работ Е. П. Аксенова, Ю. А. Рябова, . Г. Демина, А. Депри, В. Себехея и т. д. Для ограниченной эл-интической задачи трех тел эти вопросы на основе линеаризо-анных уравнений с достаточной полнотой изучены в работах А. П. [аркеева, Л. Г. Лукьянова.

Однако для ограниченной эллиптической задачи трех тел в це-эм указанные проблемы в настоящее время остаются открытыми.

Цель работы. В рамках плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел исследовать вопросы существования периодических решений в окрестности точек либрации и указать способы их построения. Построенные периодические решения могут быть использованы как промежуточные орбиты.

Методы исследования. Используются методы теории ветвления Ляпунова-Шмидта, метод малого параметра Пуанкаре, методы теории аналитических функций многих переменных, а также общие методы нелинейного и функционального анализов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы, цели у методы исследования, теоретическая и практическая ценность работы, а также краткое содержание работы и характеристика научной новизны результата вывода.

Первая глава состоит из четырех параграфов. В первом параграфе уравнение движения плоской ограниченной эллиптическое задачи трех тел приводится к комплексному виду

л2 {рг" Н - [г sin Е+ 2i (1 — в2)i/2] z' -

— г) -f 1=2 (1

ог

где

= 1 —ecos Е, п2~ I-fu, \í — mi/m0<l,

г=х+щ-{--—, XV = + —,

т0 и т.х—массы активно гравитирукмцих тел, е — эксцентриси тет, причем в качестве независимой переменной принимается экс центрическая аномалия.

Решения уравнения (1) находятся в виде степенных рядов П' степеням эксцентриситета

со к-О

разлагаем при этом параметр ц в аналогичный степенной ряд

оо

V- = 2 'V* (г

¡¡-о

Подставляя ряды (2) и (3) в (1), получаем общую формул для уравнений любого приближения, из которой, в частности, нг ходим уравнение первого приближения в операторном виде

Р

¿О?! =

(4)

■де

ли

¿ог= (1+м-о) — г) — Ьтг — Ьшг,

'юо, ¿»ою — комплексные числа.

Далее находятся условия существования 2л<7 — периодических зешений («/ = 2, 3,...). В явном виде выписывается решение урав-гения первого приближения (4) при Ц — 2, т. е. находятся 4л — пе-шодическле решения.

Второй параграф посвящен изучению свойств оператора Ьо. Для этого рассматривается вещественное гильбертово пространно Я2[о,2я,7] комплекснозначных 2лд— периодических функций, ¡уммируемых с квадратом на отрезке [0,2я<7] и со скалярным проведением

Доказывается, что в этом пространстве оператор Ь0 — самосо-¡ряжен н нормально разрешим.

Третий параграф посвящен изучению существования 2я<7 — пе-шодических решений уравнений второго приближения, оператор-шй вид которого будет

го уравнение второго приближения имеет 2л<? — периодические эешения. В частности, если

го уравнение (5) имеет 4я— периодические решения, которые находятся в явном виде.

В четвертом параграфе изучается уравнение третьего приближения

' 1 2т<1

(г, и)=- Г {2й-\-ги)йЕ.

4 щ

(5)

(6)

И.1 = 1,491556,

Доказывается, что это уравнение имеет 2щ—периодические решения. Далее определяются условия существования 4я — периодических решений и показано, что уравнение первого приближения имеет всего четыре решения

(к, /=1,2).

Наконец, в операторном виде рассматриваются уравнения /-го приближения

Z02;= LiZj-\ L2 (z,, z2, • •Zj-1). (в;

Начиная с четвертого приближения условия существования 2лс/ — периодических решений (<7—2, 3,...) сводятся к условик существования решений линейного уравнения относительно c/_2,¿ — постоянной интегрирования (/ — 2)-го приближения

а0с,-2,к+а\[12+аз=0.

Показано, что а^фО и для всех / приближений общее. Далее этг уравнения не зависят от ц,/ (/ = 3, 4,...). Поэтому в ряде (3) вс( ¡л/ = 0 при /=3, 4,... .

Полученные утверждения реализуются для построения 4л — пе риодических решений. В числовом виде находится коэффициент а0

Наконец, найденные решения моделируются на конкретно!» примере Земля — Луна — малое тело.

Глава вторая состоит из двух параграфов. В первом параграф« даются вспомогательные утверждения, необходимые для ряда (2) Во втором параграфе дается само доказательство сходимости.

Приведем схему доказательства. Наряду с уравнением (1) бу дем рассматривать систему:

ft2{pz"-flesin£+2/(l — eí)i/2]z'_z¡ =<?£F(z. 5) (9 V? W + [esinE -f 2¿ (1 — e2)!/2] V — 5| =dzF{z, i), в которой

+ 2[((2-1)(Е-1))-,.'2+{1(2-5)-''21 (1С

и 1=г.

Отметим, что если {г(Е), I (£)} — решение системы (9), уде влетворяющее условиям г(Е0) —I (Е0) и г'{Ей)—I'(Е0), то фунр ция г(Е) будет решением уравнения (1).

Далее функция (10) аналитична как функция комплексных п( ременных г и | в бикруге

max (|2 —z0|, — go|XI.

где

io = Zo= 1/2 — ¿УЗ/2.

Положим

Ф{и — а(1) — гФ0{и—и())=Г2{а—а„), (11)

где

Ф(и)^п2{и" +Att') — Bit (12)

Ф0 (a) = n2[cos£«" + (sin a(s)) Ли'] (13)

а

||/Г2 — «о) II = 0 (||и- Чо\\) ,

и0= (20, !о), 0<а (е) < 1.

Для уравнения (11) имеем:

1. Однородное уравнение Ф«=0 при определенных р, имеет 2яд-периодические решения, причем пространство этих решений двумерно.

2. Эти1 решения ищутся в виде формального ряда

и — «0+е«1+&2И2+... ,

компоненты каждого из коэффициентов которого взаимосопря-женны, причем первая из компонент суть решение соответствующего уравнения (1).

3. Уравнение (11) при малых г имеет в окрестности точки и0 2я<7— периодические решения

«=м0+е«1+е2172 {Е, е), Ф«1=0, йг{Е, е) — аналитична по е. При этом первая компонента и определяет сходимость ряда (2) для уравнения (1).

Третья глава состоит из трех параграфов и посвящена построению периодических решений в окрестностях коллинеарных точек либрации.

В первом параграфе рассматривается коллинеарная точка либрации ¿ь В первой главе было показано, что для существования периодических'решения уравнения (1)-необходимо, чтобы у харак-

теристического многочлена уравнения первого приближения существовал вещественный корень. Уравнение первого приближения для коллинеарных точек либрации имеет вид:

(I-fjl0)£e2i—i-[((Zo- IMzo-W-^+MZoZo)-3'2]^ -[(z„ - 1)-Va (го ~ 1) Ho^o-V^o-5/^]2! =

2

__3_

2

= Ц1го(1 — |г0|-3), (14)

где

Ьег1= (1 — е соэ £)2//1 + [е вш £'+2/(1 — — г,.

Условие существования периодических решений сводится к исследованию корней характеристического многочлена

3 а

X4 — 12 — a) + —

2(1

= 0,

в котором

а= 12о — 1 |-3+цо2<г3,

20 — координата коллинеарной точки либрации L4.

Далее находятся условия, при которых возникают 2я — периодические решения.

Доказывается, что при

р0= 1,5713

уравнение (14) имеет 2я — периодические решения и строится семейство этих решений в первом приближении.

В § 2 и § 3 приводятся те же самые рассуждения, только для коллинеарных точек либрации Ь2 и L3 соответственно.

Наконец, четвертая глава состоит из трех параграфов. В них строятся 4л — периодические решения для коллинеарных точек либрации L¡, L2, L3 соответственно.

Научная новизна работы состоит в том, что все перечисленные результаты впервые сформулированы и разработаны автором.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Новый метод построения периодических решений, возникающих в окрестностях точек либрации ограниченной эллиптической задачи трех тел.

2. Устанавливаются условия существования периодических решений в зависимости от значения масс.

3. Получена классификация периодических решений.

4. Доказана сходимость степенных рядов, представляющих периодические решения.

Апробация работы. Основные части диссертации докладывались на .семинаре по классической динамике ..(руководители — профес-

б

сор В. Г. Демин, доцент Й. И. Косенко) в Московском госуниверситете им. М. В. Ломоносова в 1991—92 гг., на спец. семинаре по прикладным вопросам математики и физики (руководитель — доцент В. П. Евтеев) в Великолукском сельскохозяйственном институте, на XXX научно-производственной конференции Псковской области в 1991 г.

Публикации по теме диссертации. Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Демин В. Г., Поленова Т, М. Бифуркационные свойства точки либрации ¿з//ХХХ научно-производственная конференция, Великие Луки, 1991, с. 99—100.

2. Поленова Т. М. Периодические решення в окрестности колллпеарной точки либрации ¿]//ХХХ научно-производственная конференция, Великие Луки, 1991, с. 102—104.

3. Поленова Т. М. Периодические орбиты в окрестностях треугольных точек либрации плоской эллиптической задачи трех тел.//Космические исследования, 1993, т. 31, в. 4, с. 121—122.