Периодические решения систем S дифференциальных уравнений второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Г" од

3 1 {*нт бйогусснил государствен!!!.й угсшегсятет

На правах ру1ют;па

погорелов игорь анатольевич

ад 617.925

перкодтжскж рееекпя госте.! Б дифференциалы Г:« урлвнагй второго поряеса

(01.01.02 - дифференциальные уравнения)

Автореферат диссертации на соискание ученей степени кандидата физико-математически наук

Минск 1594

Работа гааашша на к&^эдрз матеьагкчесшго анализа Рязанского . государствэнного педагогического университета

.НгучныЛ руководитель: доктор фнзкко-математических наук,

профессор ТЕРЕХКН М.Т.

О&щиаЕьныз оппоненты:, доктор фпвико-^атематетесгак наук, ' профессор ЯБЛОНСЮШ А.И.

|{£эдцдат фазюи-катештцческах наук, , • доцент АНЕЛЬКИН В.В.

'Водуцал организация: Перасюм государствен^! технический университет

Зеднта состоится 18 ноября 1994 года в 10 часов на за-рсгасш спзЕ^аЕвироваиЕого Совета К 055.03.10 по присуждении ученой степени - кандидата фпаико-математических наук в Еслоруссг.ом государственной университете по адресу: 220030, Республика Беларусь, г. Минск, просп. О.Скорины, 4, главный корпус, ауд. 206.

С диссертацией нагло ознагюмиться в библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат* разослан 17 октября 1994 года.

Ученый секретарь специализированного Совета, доцент

корзхк в. и.

<;Г'!ЛН X/'PAKTLí :ÍÍ0T';KA í-VJ'tVü!

'ñ-ítilíL^'11..^ рлогпе рг.осл' 'чl■'iti^-í-íc-

■ •í'.'iíüíOMfr''; слстс-n дп уртпиолий ÍYIV^CUO' 7:л ■

с ллпллуичспшлд! т'рпхччг-тлкл п с'^улл; глс.ч, "лсголлсго рес-О'.'с-нсз. Пределе: г.ол\одо^лл л vas-

р: i суг осгповллпл у л'г.лсп слстп л слл л^лссллло С'.'^î^c

игр; одичс-скзх репеипй.

Перлогдмзслгле явления, описнвао-зге Глг'^Р-шиглмч:''!: урлллюшлши, гтлрско pacnpdcïpaj'eiiu в прлроде. К игс^лплл--i'sjcta тучешп этой проблемы приводят ннсгс'шслйпгг'а

дкне задачи из области физики, гстроясмпп, Сшлогш, мс-ллцпнн п лрутх отраслей, ínienrjíx дало с колоблтелъгг л 1фОЦОССС\51. Поэтому ЕОПРССЫ СУК5СТ»ОВВНИЯ И ПОС|'рС51Н-3 КО"

ркоуччестк рэаоши! одпшш из ис-;5с.>зо глллл; з

тесрлп сСикисееиш« д^&ереициазыш уравнений.

0ул;зст£ени1л1 кклалси в p&Lsime npoûisiiî с^зСТЕоаглгя перподичзсжк рслэгдй слстеп яй.*;;лроацкашй1Л урггаегсй лзглпсь pcßoTi! Л.Пуанкаре, Л.й. Ллпуповй., л.Л.Л»щ»яозз, H.H. Boro J «бова, Ю.Л. '.'дтроподьского, î t. Л. Крсзпссс.ньсплго, В.А.П'чпсса, Ю.Л.Рлиоза. Одна to из существу cß-лго ïic:-y.qj:а !» реишло задач тсгаго рода а силу сшзюсти сг;:оу и многообразия пспкрзтшх " систсм, созшжсасщх а сзпся с клсхтаоргзлен фпзггчвскгя вроигссоа, шхоркэ сяя спксглх.тл Ссслзш'о сдсбо паутам лзлсгал, газлккглглга л слут.з и-йсо-чсстогкого рэвоигнса. С сеявл с arc»! рг&шл, посзяг1.Э1>г.\'> пвучзпкэ данного вопроса, сохрсдстт сгсп пкуалькссть л з ллсгслг^о грзгЛ!, что опрэдлллет ;л:зч:::.:оать тслч дгсссртщлг;.

Поль ргботп. • Для ckcïcîj яа^5зрвзц:шныщ5{ ypnimmä второго порядка

^f¿í=(ол)

глэ - идотрицателапыз i'cf;cTpri?ers;n,'o 'птслз,

J-Ï (¿1= - сходягзюсл ряды по степеням er еж пэрз-

мекных, начинающиеся с членов не ниже второго порядка, получить достаточные условия существования аналитических семейств периодических решений с периодами, близкими к в случае многочасготного резонанса.

Методика исследования. Для получения достаточных условий существования аналитических семейств периодических решений систем дифференциальных уравнений второго порядка (0.1) и (0.2) в диссертационной работе используется метод, основанный на построении искомого периодического решения в виде рядов по степеням параметра и начачьных данных системы.

Научная новизна. В диссертации предложен алгоритм, который позволяет на определенном шаге получить условия, которым должна удовлетворять система дифференциальных уравнений второго порядка для существования у нее аналитического семейсгва периодических решений с периодами, близкими к <£5?.

Как результат применения алгоритма к конкретным системам дифференциальных уравнений получены новые достаточные признаки существования аналитических семейств периодических решений систем (0.1) и (0.2)- в случае многочастотного резонанса.

Практическая ценность работы заключается в возможности применить полученные достаточные признаки существования аналитических семейств периодических решений к исследованию систем дифференциальных уравнений, являющихся математическими моделями процессов, происходящих в механических и электрических системах, а также других явлений, изучаемых физикой, астрономией, биологией.

Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-технического семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, в Горьковском государственном университете им. Н.И. Лобачевского, на научно-практической конференции , "Качественная теория дифференциальных уравнений и ее приложения" в Рязанском государственном педагогическом университете.

Публикации.' Результаты диссертации опубликованы в работах [1-73.

ГУ

~ с*

Структура и объем работы. Диссертация состоит введения, 3-х глав, заключения, списка литературы, вшпэ-чаоцего 75 наименований, и излажена на 102 страницах назпшо-писного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности тет диссертант, обзор результатов, полученных другими ' авторш«!, излагаемся методика. исследований и краисое содержание работы.

В первой главе изучается автономия система Д1гффер5н-циалъных уравнений второго порядка (0.1). Исследуется ресо-иансныи случай, когда среди чисел ^Ai: -S) irrísется

/2-/0 равных.пухл, icpcue того существует такое jt¿¿, что для р тасел jt¿¿ выполняются- равенства. ~ ^¿M-í» ГЛ° & А/ С/-' - ^Д). а оставшиеся 'гасла jt/ц. пе япля-птси целими (фатпостшл! J.¿i.

■ С псшя>и замены переиегашх по времени тачуз систсну кашо. преобразовать к виду

/тггзь = Ge -Я*,..., <<Za) (¿= '

/У-^. ■ ^ ч -л (i-i)

= G¿ ¿Ce) , "J*

+ ¿fez = ¿i-

где fr¿¿ ¿P)- натуральные числа, Лс fe— ¿) -

положительные действительные числа, пе являющиеся патуралъ-ными, F], G¿ C¿~ /?)Л /Ус окодпцтася

ряды по степенны , . . . ,

В первом параграфе главы 1 излагается общий подход !! вопросу нахо;кдения периодических решений системы (1.Í).

1Ц}0ДЛЭГаЭ!Г0Л ЦШДОШ!, КОТОрНП hei омр0дс£СШ!С:Д tiare- шжъо-т получить условна сугезстьовецшя c<îîkïîcîb порюдичеелмх реисшз'; онотеш, период которых зависит от паргмзтра к Олива;: в «in при зн&чепкн napsístpa, близком к вул».

Прссиргзуоц систем/ (1.1) в систему дшйерокеггглышх уращшш^с nvpwvo иорздка с кзлойыэ згь:гш порецзшлж

р< TJO, - ~A'</¿ (с - FFF'É).

Поата перехода « иояэИ спзгенз к полярвх: ксср-ниатг \ иведешл nsps",2tpa в уравнения eneréis и изодюепи/; переменно;; получи;.: cnoïc::/

dö e ¿S.. , .

Ffar&ßjcojp,afCj... ^¡^^^гНф '

í 'lT ..._______-/ЫУг______

Gp ~ F(C,(i*ß)C06 <рг ,, '

„ КЬЪ- .....

(¿- ïTpb

______g___

ék - G¿ feû^PJe^ÇZ ...... _

(¿^pTTi)^

—si: ГЛ'

- J¿?t— jr. (gjCï+pX-OSfi, CLîFf, ... д ар-Ж'

пусть ¿)0р3 а^. л Ое^Х ?{с<р,а*,. ¿2*,.. . ¿О-е - реиение системы (1.6) с

начальными данными

¿>=0, = = О {¿=£ёХ{\ .7)

Правые части уравнений системы (1.6) - аналитические функции, поэтому предполагаемые реяения этой систеш анади-тичны при достаточно малых ¿2, /2/Л » . • /¿2г/. Будем искать функции ^, з в виде рядов

по степеням параметра ¿2. Пусть

У*

о(<р}а£}. ^ •.., ад,

¿-О

?:(% . .. = а^п^АЯ*,....

Подставляя предполагаемые решения в уравнения систем (1.6), мозшо непосредственно вычислить члени рядов (1.В) сколь угодно высокого порядка по ¿2-. Ответ на вопрос о существовании семейств периодических решений систеш (1.1) решается в том случае, если в ходе вычисления решений (1.8) возникнут ситуации, описанные в теоремах 1.1 и 1.2.

Теорема 1.1. Пусть задана система дифференциалних уравнений второго порядка (1.1). Рассмотрим систему (1.6) и пусть функции (1.8) являются репениеи системы (1.6) с начальными данными (1.7). Тогда если существуют такие натуральные числа Я*, • • - , , что

О С<- ~f.fi)> существуют такие действительные числа , , ^ что система уравнений , . •

О, , ..,0)~0 шеет решение (¿-£/})

и якобиан

обличен от нуля, то система (1.1) имеет аналитическое семейство периодических решений с периодами, близкими к

Теорема 1.2. Пусть задана система (1.1), и пусть функции (1.8) являются- решением системы (1.6) с начальными данньыи (1.7). Пусть существуют такие числа ■ ■ . , , что а*> = (¿г,

. , ¿¿£ ) — О = А?) , существуют числа

. . . , такие, что а.^ . , . }

. . 0) = . . . = ... .. у/ъ-^&а/,. .. а тшсе существуют числа

. . а, что ■ ■ ■ ■ -,£>) «

= . . . = .. о,.

а,,... О,...,О)* о

Подстазпи раЕзиие — . . . , ¿20

сшгеш . . . б в уравнения

+[с0Г,а.{, .. ^¿¿£,(2.)=& и обозначен через

ро) ("¿¿^л . ^' я <2гэ) сцргсенке в ¿-и уравнении, каз-вдэе нагагзньсуз степень по ¿2.. Тогда если существует такие действнтехыша ч^эга , - . . ¿Ап, что • • ■>

Ь(у/0)С<г<* \ . . ., . ...¿Ь,))

>

ОСа.... ¿¿ь,) то скстеыа ^^рсесагаши уравнений (1.1) имеет аналитическое свойство нервических решений с периодами, близкими • К ЛЗГ. *

Во втором параграфе гл.\»ы 1 предложенный метод применяется с целью получения достаточных условий существования

периодических реыений, зависящих от гаэффициентов рядов, стоящ« в правых частях уравнений системы (1.1). Пусть в системе (1.1)'разложения функций Г и <5 в ряд по степеням резонансных переменных имеют следующий вид:

РСа?^,.. „Я*,О, ...30) .

. • /г ^ . ...+

(1.20)

•... ^.. ".,-Ял ■ ■ ■ »о)*... (^¿Л

где ~ фор ми порядка функций соответственно. Предположим, что _

ф .< & а = . се-Рс /1ьЛ

Обозначил

Х^,... ,/р(у>)-•... • со

■ > '

° г . (1.22)

= ^ Р-ь)

Введе« в рассмотрение функции переменных О^О-*-/,

... ,сЪ,) С<- — ?рр>) следующего вида:

.......

-., С4Х,.. * В^

Теореыа 1.3. Пусть в скстеуо (1.1) разложение фушедш в ряд по степеням .. начинается с членов

порядка ^ , разложение (~>г (й- ¿Гр) в ряд по степеням • ■ ■ , начинается с членов порядка -5= Л (¿= а функций {'¿—р*- />)- с членов порядка

Ж;Л Пусть разлохвнио функции £ ряд по

степей®! 32.¿}.. начинается с членов -го порядка, , разложение функций (¿. = ^р) в ряд по степеням тек се переменных начинается с фори порядка р,- ^ «=£ (¿—^р), а разложение с членов порядка Л.

Цусть эти разложения ;ие»т вид (1.20), при. этой ызгду чксдаии (с~/,р) и /Симеат ыесто сотношения (1.21). Прздгожшш, что функции ... ^ 32с) С

еачкаадася о членов не ниже второго порядка, а разда.*.е-

ние этих функций по степеням 3 , . начинается с

форм порядка этом среди чисел /и

(¿=/7+-{, £) могут быть и несобственные. Пусть числа /й»,

Гг = ¿Л), % и ^ Сс^^Тё)

таковы, что ^ ^ . „ • .

¿¿7^ С ' у (1.24)

где обозначено __

/Сг ~ нгМ {к*, д.:} , Яг =

Пусть функции &1. {¿-¿.Я) имеют вид (1.23). Тогда если система уравнении

шеет действительное репение О.'¿—/и С^-^я) и

СИ «/к

то система (1.1) ¡шеет аналитическое семэнство пер::од:г-:ес-ких решений с периодами, близкими о&г.

В главе 2 научаются некоторые частные случаи систе'Д! (1.1). Признаки существования периодических решений, собранные в этой главе, отличаитя простотой и удобством применении.

■ В первом параграфе рассматривается система дифференциальных уравнений (1.1) в предположении, что матрица линейного приближения системы первого порядка, в которую преобразуется (1.1), шеет собственные значены О, . . ., 0,

• - , —где Лг^Л^. ^ /У, ЯI > О. Получены достаточные признаки существования у такой системы в окрестности начала коордгаат Рахитического семейства.периодических решений. Во втором параграфе главы 2 изучается система ■

¿6 ч- ~ > . ..

. _ (2.2)

Я». г яг?«*: = ..

где , . . ., ^Х ^. . ., ^е) <1 =

сходящиеся ряды по степеням ¿Цяз,, . , ж,- е Л/.

V

Пусть в системе (2.2) функции Ffai,CC¿,. . .¿¿Zp) и

имеют следующий вид:

Jo*. .

Пусть pi и Ра - числа из множества ■ ■ -,

pj / ^ p¿ sí рл < р , обозначим

- Jíg /(Ръ- Ю aO'S sïiytp ■

• SÙz. r?t¿ <p Ж/ cbs f>Z:(p¿¿sz )c/<p

S(^"¿¡f^cœs^-¿'psin,<p -t- Jk¿ саг p —Л 7)

-sut sn¿<p)cf<p

= Jk¿ {(fa,-OOStp<s¿¿zpaos <p -

•sûr /•7t¿(p щ- <m:<ps¿sz <p)c/</}

где

Теорема 2.2. Пусть в системе (2.2) разделение функции ¡~ в ряд по степенны , • ..¡¿Ср начинается с членов

нечетного порядка 3=- разложение функций ¿й. в ряд по степеням Л?/,. начинается с членов нечет-

ного порядка /2- эти разложения иуеют вид

(2.6). Пусть числа /2/,..., таковы, что

= ^ = = РТ^ТГДх),

для некоторых натуральных чисел р* и /и. ^ ■■& р^Р-Если одновременно»выполняются следующие условия:

1)

2 ) М*//1 * О,

а гас.е шеет место одно из условий:

b) як

c) /?г<: (с — - четные числа,

то в окрестности начала координат существует гналнтичосгае семейство периодичесгата. ренегат систеш (2.2) с периодами,

бЛИЗКНШ! К

. . Следствие 2.1. Пусть в- системе (2.2) равлояение функции {-"(¿£.,¿3^ . .. в ряд по.степеням ....,«23. начинается с форы нечетного порядка 5= & , это разлоаениэ :^.;еег вид (2.6). Пусть разложение функций {с — У, р) начинается с членов порядка не .никс /&> +1. Тогда если . .. ,а г* то система (2.2)" имеет аналитическое семейство периодических ркгэп:::"! о периоде-'-!!!, близкими к

Формы четного порядка степенных рядов /7 (¿—¿зр) в некоторых случаях не влияют на существование аналитических семейств периодических решении системы (2.2). Этот факт следует из результатов теоремы 2.3.

В главе 3 рассматривается система дифференциальных

уравнений (0.2) в случае многочастотного резонанса.

В первом параграфе этой главы описывается алгоритмическая процедура, позволяющая на некотором шаге определить, каким условиям должны удовлетворять правые части уравнений системы (0.2) для существования у нее аналитического семейства периодических решений. При этом доказываются утверждения, аналогичные теоремам 1.2 и 1.3 главы 1. .

Во втором параграфе изучается система дифференциальных уравненш

+ ■ • •, ¿Сс.Д^Я:}, .... ¿¿¿X

+ = . . . , Ле, ¿¿1 ... , Ж-1Х

где УУ1& Л^ Л; (£) - положительные действительные числа, не являющиеся натуральными, -

аналитические функции.

Система (3.14) является частным случаем системы (0.2) и описывает случай двухчастотного резонанса.

Пусть разложение функций /"* и в в ряд по степеням ¿С,¿С? имеет следующий вид:

О,...,о,О;..&^

Обозначим

t., y?

-------------------—------------

Pac!.:orp:;:î Агятп

гд? ^

a, s* - a, ^ '

• œi ъ-Ьъфа'со - Jzsjj,/fi ,;>,, J, (fa)S à*z c.r/O*

n '' ~

4as, = -

Toope.;:.u -3.3. Пусть рахата сгогега (ЗЛ?.). в !тст:\: рязлспзвпз фунтами по степешп Л'*',

-•iv - • иачяпззтся с члзпоз порллкз /?■> ~ог"

^ункшгп с? - с членов пср;гг;п ••."•'•• ... ' Пусть рогпг'Х'.-.гл и G з ряд по сяешш! -¿у*■¿ЗЗ'.Г ¿iV*" r/\: (3.15), а з разлокепии фугожгл /V; (Zз г*'Л степеням тех перзмепячх нот члене?), юглда; кзгорлг:'. тг.г..з ¿>, где

е5*~ (3.17)

Пусть опоеделенкгя рааегклпо:.-; (3.16) С

не обрзг.г5тсл тотщекстгенно в ;r>',;t».

Тогда- есл;г — - ге&гакхе&лп'г'! пзрзгг, шгсггсЛ иратиости уравнения ~ Ô , то с;:стс;*л

ренциальных уравнений (3. M) кгасг s:m;trnmcs:.3 errrferro «ериодачссясяя репешй, период ¡торт; п.т-пскт с-? ззргг-лег*. а близок к при значения пергздра, к ny.-n..

Если разлоленце функцпЛ /' :г с? в pi;: по степс::'"? -.'ч, иачпиазтея с членов четного норядга vz„

.1.3-

показано в теореме 3.4, в случае нечетности числз /П таены форы четного порядка не влияют па существование пери-щукесках решений систеш (3.14).

: ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На залогу выносятся следуюгфе результаты: .1. Длл сксгеш (0;1) получены достаточные признаки су-схоггоааяия ашштмеских семейств периодических ревзий в случаз, когда при переходе к скотеие первого порядка патрвда лпззйеого пркйзааяка кугет нулевые и чисто шкаю, б тоа числе рацпопашш coisuepjixiö собственные значения.

' 2. Для систеш (0.2) в случае шшгочастотиого резонанса, [.получены достаточнее у слови существования аяааатшеетаи се~с£с5в перкэдическак реаоакй с периодшп, багаетш к сЗХ- ■

Осковкио результату диссертации опублцковаш в еяедуа- . гях ргЗэтах: '. ' '

1. Ногсрелов К.А. О некоторых тао^охвех скетеш второго порядка ' спеццая&ного вида / Раз. гос. пед. ия-т, 1933. 23 с. йап.Е ВИШНИ. 09.08.93. N 2231-В93.

2. Погоролов H.A. О периодических реезших csicreü п дс1'*:рещшьЕих уравнений второго порядка / Ряз. гос. пед. ÍUÍ-S, 1Q93. 18 с. Дэн. в ВШШТИ. 08.10.93. N 253S-B23.

3. Погоролов И.А. Периодические реиешгя систеи flí^Jo-рзщгщьиых уравнений с нелинейно;! частью, ¡агорля рашагг-етсл в ряд, начшездгйся с членов четного порядка / Ряз. гос. вед. ил-т, 1293. 14 с. Деп. в ВИНИТИ. 08.10.03. И 2537-Б23,

■ 4, Погорелой К. А, Существование периодических ресешш с;:отеи дифференциальных уравнений с правой частью, разлагал-Цейся в ряд, начинающийся с членов нечетного порядка/ Ряз.

гос. пед. га-г, 1993. 14 с. Леи. в ВИНИТИ. 08.10.33. н 2533-В93.

5. Погоролх® й.Д. Существование перподстесгек ропгегптЛ в случае, когда иатрнца линейного прпбл'^ешя гагзет кратгпгэ некду собой чисто шпвзде собственные зпачента // Дп^ерепц. уравнения (качественная теория): Сб. научн. тр. / Рло. под. ун-т. Рязань, 1994. С. 85-94.

6. Погорелов И. А. Существование периодически рокотал в одном критическом случае // Дг^Фэренц. уразпешя (качественная теория): ■ Сб. научн. тр. /Ряз. пед. ун-т. Рягап», 1994. С.94- 101. '

7. Куприянов В. В., По горелой И. Д. Пер;:од!исс:п:э рс.тз-ния га'яиьтоновчк систеи в критически случаях// СоЕрзгзнлпэ проблем теоретической астрономии. Теапсн доглядев родной конференции (С.- Петербург, 20-24 1094 г.). С.-Петербург, 1994. Т.З. 53 с.