Перистальтические и пульсационные течения, поведение пузырька и частицы в условиях заданного давления на границе тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ



на правах рукописи

Мингалев Станислав Викторович

ПЕРИСТАЛЬТИЧЕСКИЕ И ПУЛЬСАЦИОННЫЕ ТЕЧЕНИЯ, ПОВЕДЕНИЕ ПУЗЫРЬКА И ЧАСТИЦЫ В УСЛОВИЯХ ЗАДАННОГО ДАВЛЕНИЯ НА ГРАНИЦЕ

Специальность 01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

21 "АЯ 2013

Пермь-2013

005539451

Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета ФГБОУ ВГЮ «Пермский государственный национальный исследовательский университет»

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

д.ф.-м.н., проф. Саранин Владимир Александрович, ФГБОУ ВПО «Глазовский государственный педагогический институт имени В. Г. Короленко», кафедра физики и дидактики физики, профессор

д.т.н., проф. Цаплин Алексей Иванович, ФГБОУ ВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет», заведующий кафедрой общей физики

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет»

Защита состоится 13 декабря 2013 г. в 15 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д 212.189.06 в Пермском государственном национальном исследовательском университете (г. Пермь, ГСП, 614990, ул. Букирева, 15) в аудитории 902.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного национального исследовательского университета.

Автореферат разослан « ? » ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

д.ф.-м.н., проф. Любимов Дмитрий Викторович

д.ф.-м.н., проф. Любимова Татьяна Петровна

к. ф.-м. н., доцент

Гилев В. Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию перистальтического течения жидкости в канале с заданной волной давления на границе. В большинстве работ о перистальтическом транспорте из соображений удобства задается закон изменения координаты стенки. Однако, в стенках полых органов (пищеводе, тонкой и толстой кишке, мочеточечнике, лимфатических сосудах), работа которых основана на переносе вещества по перистальтическому механизму, присутствуют барорецепторы — сенсоры, воспринимающие давление в пристеночном слое жидкости и рефлекторно регулирующие просвет сосудов. Для моделирования поведения таких биологических систем более адекватным представляется подход, в котором задается волна давления на границе. Такой подход, реализованный в диссертационной работе, позволяет обнаружить и описать новые, не исследованные ранее эффекты.

В диссертации также рассмотрено влияние поперечных пульсаций стенок канала на перенос вещества под действием перепада давления. Такая задача возникает при определении вязкости жидкости методом сжимаемых каналов ("squeezing flow viscometry"). Подобные задачи также часто встречаются при исследовании различных биологических систем, в частности, движении смазки в суставах или в микрососудах работающих мышц.

Исследовано также влияние звука на взаимодействие падающей твердой частицы и всплывающего газового пузырька в жидкости. Актуальность этой задачи связана с важностью поиска путей повышения эффективности флотации, метода обогащения, основанного на захвате минеральных частиц пузырьками.

Все сказанное позволяет сделать вывод об актуальности диссертационной работы в целом.

Целями диссертационной работы являются изучение течения жидкости в канале с заданной волной давления на границе, исследование влияния вибраций на течение жидкости в канале с заданной волной давления на границе, изучение влияния поперечных пульсаций стенок канала на перенос вещества в вертикальном канале под действием перепада давления и силы тяжести, исследование влияния сжимаемости на течение жидкости под действием силы тяжести в вертикальном канале с пульсирующими стенками, исследование влияния звука на радиус столкновения твердой частицы с всплывающим в жидкости газовым пузырьком. Научная новизна работы:

1. Получено аналитическое решение задачи о течении жидкости

в канале с заданной волной давления на границе в случае произвольных скоростей распространения волны и волновых чисел. Определены зависимости расхода жидкости от параметров задачи.

2. Впервые изучено влияние вибраций на течение жидкости в канале с заданной волной давления на границе. Определены условия, при которых вибрации способствуют увеличению транспорта жидкости по перистальтическому механизму. Установлено, что наибольшее влияние на перенос жидкости вибрации оказывают в случае совпадения частот вибраций и волны давления на стенке.

3. Исследовано влияние поперечных пульсаций стенок на перенос вещества под действием перепада давлений в случае конечных частот пульсаций. Обнаружено, что в этом случае пульсации уменьшают расход жидкости, а не увеличивают, как это имеет место в исследованном ранее другими авторами случае малых частот.

4. Впервые исследовано влияние сжимаемости на перенос вещества под действием перепада давления в канале с пульсирующими стенками. Обнаружено возникновение независящей от времени неоднородности плотности в канале.

5. Исследовано влияние звука на взаимодействие твердой частицы и газового пузырька, всплывающего в потоке жидкости в гравитационном поле. Найдено, что воздействуя звуком, можно увеличить вероятность захвата частиц пузырьками определенного радиуса. Научное и практическое значение работы. Результаты исследования перистальтического течения с заданной волной давления на границе могут быть использованы для анализа причин возникновения патологий органов, работа которых основана на переносе вещества по перистальтическому механизму.

Результаты исследования течения в канале с заданным перепадом давления при наличии поперечных пульсаций стенок могут быть использованы для объяснения особенностей кровоснабжения работающих мышц. Их можно также использовать для повышения эффективности работы насосов и увеличения точности определения вязкости методом сжимаемых каналов.

Научное значение представленных в диссертации исследований течения в канале с заданным перепадом давления при наличии поперечных пульсаций стенок и перистальтического течения с заданной волной давления на границе заключается в том, что найдены решения, которые являются более общими в сравнении с известными.

Научное значение исследования влияния звука на взаимодействие твердой частицы и газового пузырька состоит в обнаружении того, что при определенных условиях даже звук низкой интенсивности

оказывает влияние на взаимодействие пузырька и частицы. Этот результат может быть использован для повышения эффективности обогащения руды методом флотации. Автор защищает:

1. Результаты исследования перистальтического течения с заданной волной давления на границе в случае произвольных скоростей распространения волны и волновых чисел.

2. Результаты исследования влияния вибраций на перистальтическое течение с заданной волной давления на границе.

3. Результаты исследования течения в канале с заданным перепадом давления при наличии поперечных пульсаций стенок в случае конечных частот пульсаций.

4. Результаты исследования влияния звука на взаимодействие твердой частицы и газового пузырька, всплывающего в потоке жидкости, в гравитационном поле

Достоверность результатов подтверждается соответствием известным теоретическим и экспериментальным данным и согласием результатов, полученных разными методами и с использованием разных подходов.

Публикаций по теме диссертации. Результаты диссертационного исследования опубликованы в 16 печатных работах: в 8 статьях, из которых 3 статьи [1-3] опубликованы в рецензируемых научных журналах, включенных Высшей аттестационной комиссией России в список изданий, рекомендуемых для опубликования основных научных результатов диссертации на соискание ученой степени кандидата наук, и 8 тезисах.

Личный вклад автора. Автор проводил аналитические расчеты, участвовал в выборе теоретических моделей и методов решения и обсуждении результатов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на конференциях молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (Пермь, 2007, 2009, 2010, 2012); конференциях «Зимняя школа по механике сплошных сред» (Пермь, ИМСС УрО РАН, 2009, 2011, 2013); ежегодной конференции Научно-образовательных центров Рап-REC 2008 (Н. Новогород, 2008), VI международной конференции «Two-phase systems for ground and space applications» (Кава-де-Тиррени, Италия, 2011) и IV французско-российской конференции «New Achievements in Materials and Environmental Sciences» (Нанси, Франция, 2010), Пермском гидродинамическом семинаре им. Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого (Пермь, ПГНИУ, 2012), семинаре лаборатории UMR 7359 GeoRessources (Нанси, Франция; 2013).

Содержание и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, включающего обзор литературы и общую характеристику работы, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы (149 наименований). Объем диссертации составляет 127 страниц, включая 24 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении представлен обзор литературы, описаны содержание и основные цели работы.

Первая глава посвящена исследованию двумерного перистальтического течения в канале с заданной волной давления на границе.

Решалась система уравнений Навье-Стокса, в безразмерной форме имеющая вид

„,'Эи öu öu ф SI — + v — + и — + — dt дх dy dy

dv

dv dv j dp 5

52\ —+v— + u— \ + -r-

Гд\ . „2 ö2v

dt dx dy) dx с граничными условиями

а*2

- + <52

ду1

= 0, * +

dx dy

л = ±(1+#): v = ±f,

u=0, p = ^cos(i-y).

(1)

(2)

(3)

Задача (l)-(3) записана в безразмерной форме. В качестве единиц измерения выбраны: для поперечной к оси канала координаты х -половина расстояния между стенками канала h, для продольной координаты у — обратное размерное волновое число Л, для продольной скорости и - скорость распространения волны давления на стенке с, для времени t - kl с, для давления р - рс1 (где р -плотность жидкости), для поперечной скорости v — cht Л., для отклонения от среднего положения канала £, — h.

Задача характеризуется тремя безразмерными параметрами: скоростью распространения волны C = hc/v (где v - кинематическая вязкость), волновым числом S = hl X и безразмерной амплитудой колебаний давления на стенке

Рис. 1. Зависимость усредненной продольной скорости от поперечной координаты х'=х(1 + <%)

А = а/(рс2) (где а - размерная амплитуда колебаний давления).

Решение задачи (1)-(3) искалось в виде рядов по малому параметру А. На рис.1 представлен профиль усреднённой по времени продольной скорости И2 (в первом порядке усредненная по времени продольная скорость равна нулю) для волнового числа <5 = 0.01. При небольших скоростях распространения волны С , профиль продольной скорости имеет форму колокола с максимумом в центре канала (рис.1: кривая 4: С = 1 и кривая 3: С = 100). При увеличении скорости распространения волны возникают плато в центральной части и пограничные слои вблизи стенок (рис.1: кривая 2: С = 2000, кривая 1: С = 20000).

Рис.2. Зависимость расхода жидкости а) от скорости распространения волны С для 5 = 0.01 (1), 5 = 0.1 (2), 8 = 1 (3), 5 = 10 (4), Ь) от волнового числа 8 для С = 20000 (1), С = 2000 (2), С = 100 (3), С = 1 (4)

На рис.2 представлены зависимости расхода жидкости от параметров задачи. Как видно из рис. 2а, расход жидкости растет с увеличением скорости распространения волны и при больших значениях С выходит на горизонтальную асимптоту, что объясняется формированием пограничных слоев. Зависимость расхода от волнового числа 8 (рис. 2Ь) немонотонна; существует максимум расхода жидкости, которого можно добиться, меняя 8 . При увеличении С этот максимум растет и при больших С стремится к асимптотическому значению. Это означает, что существует предельное значение расхода жидкости, которого можно добиться, меняя С и 8 . Оно соответствует расходу жидкости, примерно равному 2.5, что для воды в сантиметро-

12 63 ) 5

+ 0(S6). (4)

вом канале соответствует скорости порядка Ю"0 м/с.

Во втором разделе первой главы в приближении длинных волн (малых 8) рассмотрено влияние продольных вибраций на перенос вещества по перистальтическому механизму в канале с заданной волной давления на границе. Для случая, когда вибрации отсутствуют, для расхода жидкости получена формула:

А2Сгдг А2С2За -+-

3 9

В предельном случае 3 —> О эта формула с точностью до численного коэффициента совпадает с формулой, полученной ранее Д.Такаги1 для этого предельного случая (разница в численном коэффициенте обусловлена разной геометрией задач). Отметим, что Д.Такаги исследовал задачу о перистальтическом течении в канале с заданной волной давления на границе только в этом предельном случае.

Наличие продольных вибраций моделируется силой инерции, так что в задаче (1)-(3) изменяется только уравнение (1), которое принимает вид:

„(011 Эи Эи ф4) 1 (д2и -2 З2^ „

¿1— + у — + и — + —--—т + о —- = М (Усов у/г. (5)

^ дг дх ду ду) С{дх2 гу2)

В (5) появляются два новых параметра: безразмерная амплитуда

вибраций М и безразмерная частота вибраций м>, которые связаны с

размерными частотой и амплитудой т соотношениями

М = Лт!с2, = Я/с. (6)

Решение задачи (2), (5), (3) в приближении длинных волн дает добавку к расходу жидкости, возникающую благодаря вибрациям в виде:

Ад = -5С46<А2Мг/[Щм>г -1)]+0(<?5). (7)

Как видно из (7), в случае частот вибраций, больших частоты волны давления на стенке, вибрации оказывают негативное воздействие на перистальтический транспорт — расход жидкости в канале уменьшается. В противоположном случае вибрации приводят к увеличению расхода жидкости.

При совпадении частоты вибраций и частоты волны давления на границе формула для расхода жидкости (7) перестает работать. Обна-

1 Takagi D. Nonlinear peristaltic waves: a bitter pill to swallow // GFD Proceedings Volume of WHOI. — 2009. — P. 2-25.

■3 1 М

(В)

ружено. что по мере приближения значения уг к единице возникает медленно бегущая волна, частота которой равна разности частот двух воздействий. При совпадении частот эта волна вырождается в некоторый стационарный рельеф.

В окрестности XV = 1 вместо формулы (7) необходимо использовать выражение

_д 1 5 1 + 2Г А/2|0' А2С28г~ 3 2(5 + 6Г)2 А2

где Г = (IV -1)/(5АС)2. Таким образом, вблизи \м = 1 влияние пульсаций на перенос вещества становится эффектом второго порядка, т.е. того же порядка, что транспортный эффект перистальтических волн. В зависимости от значения Г пульсации могут приводить как к увеличению расхода, так и к его уменьшению.

Формула (8) расходится при совпадении разности частоты воздействий и собственной частоты колебаний стенок канала (при этом Г = -5/6). В этом случае используемый подход перестает работать, так как стенки канала сталкиваются.

Вторая глава посвящена исследованию влияния поперечных пульсаций стенок на двухмерное течение жидкости под действием перепада давлений и силы тяжести в прямоугольном вертикальном канале.

Поведение жидкости описывается системой уравнений, которая в безразмерной форме имеет вид:

'а2и ^и 8р'

Эи ди \ ' ^ * л

--1-й--Ь V — = —

81 ду дх П^йс2 ду2 дг

+ Рг, (9)

ду ду дм 1 (д\ д2\ др) ди ду .

д1 ду дх ^Зх2 дуг дх )'ду дх

с граничными условиями:

* = ±0+у48ШГ): V =±ЛсозГ, и=0. (11)

Уравнения и граничные условия записаны в безразмерной форме. В качестве единиц измерения для поперечной к оси канала координаты х и продольной координаты у выбрана половина расстояния между стенками /г, для времени I - обратная частота пульсаций 1/а, для давления р- цсо (где т] - динамическая вязкость), для продольной

и и поперечной V скоростей — Иа>.

Задача характеризуется тремя безразмерными параметрами: безразмерной частотой пульсаций О, числом Фруда Бг, безразмерной

амплитудой пульсаций Л:

П = раИ2 /77, Бг =(§-Зр)/(Ьа2И), Л = а/Ь, где g - ускорение свободного падения, р8р/ Ь - отношение перепада давлений на концах канала к его длине. Используемое в ряде работ число Уомерсли £2' связано с частотой £2, выражением £2' = у[о/2.

Задача (9)-(11) решалась с помощью разложения решения в ряд по степеням амплитуды колебаний стенок А. При этом полный расход жидкости получается в виде:

О =2ПРг/3 + Л2£>2 +..., (12)

Первое слагаемое в правой части (12) отражает вклад течения Пуазей-ля. При С1' —> 0 возникающая из-за пульсаций добавка ()2 к расходу жидкости положительна и равна

д2»¥гП, (13)

что совпадает с формулой, полученной ранее Г.А. Ляховым и И.В. Шуган2 для этого предельного случал. Отметим, что они исследовали эту задачу только в предельном случае малых частот пульсаций.

При больших значениях числа Уомерсли П1 добавка к расходу жидкости, возникающая из-за пульсаций, отрицательна и примерно равна

Qг « -Рг О3'2 / (5\/2) Знак добавки ()г изменяется при Л1 к 1.15, что для воды в канале толщиной 1 см соответствует частоте пульсаций 0.004 Гц. Следовательно, в большинстве случаев пульсации должны приводить к уменьшению расхода жидкости, а не к его увеличению, как это было получено в работе Г.А. Ляхова и И.В. Шугана, которые исследовали только предельный случай малых частот пульсаций.

2 Ляхов Г.В. Шуган И.В. Энергетическая эффективность механизма

ускорения массопереноса жидкости в канале // Письма в ЖЭТФ. — 2002. — Т. 28, №7,—С. 57-61.

Рис. 3. Усредненная по времени возникающая из-за пульсаций добавка к продольной скорости во втором порядке по малому параметру^ для О' = 1.3 (1), Л' = 1.2 (2), П' = 1.1 (3), П' = 1 (4)

На рис.3 показана усредненная по времени возникающая из-за пульсаций добавка к профилю продольной скорости й2 для разных частот пульсаций. При изменении знака добавка й2 меняет знак для всех значений координаты х, сохраняя при этом колоколообраз-ную форму с наибольшим отклонением скорости от нуля в центре канала.

Во втором разделе второй главы рассмотрено влияние поперечных пульсаций стенок на двухмерное течение жидкости под действием силы тяжести в прямоугольном вертикальном канале при учете сжимаемости жидкости.

Поведение жидкости описывается системой уравнений, которая в безразмерной форме имеет вид:

(да Эи Эи 1 1 р\ — + и — + V— = — и\81 ду дх) О

д2и 52и др дх2+дуг ду

JL.iL

ду

<Эу дх

Эи

'ду

(ду д\ <3у р\--ни--Ну —

и{дt ду дх

пдх а

"52у д\~ 1 ч-- д "ду да' + '

>2 дх дх ду_

др дар дур „ 2/ .. дг ду ах

с граничными условиями:

яг = ±(1 + ЛзтГ) : У :

-±Acost, и = 0.

+ р¥т, (14)

(15)

(16)

(17)

-3 -

-1

-150

гл

ю, 104Гц

0

1

0

12

Рис.4, а) усредненная добавка к продольной скорости и2 для частоты пульсаций стенок 500 Гц (1), 1000 Гц (2), 1500 Гц (3); Ь) зависимость безразмерной добавки к расходу жидкости от частоты при р =103 кг/м3, А =2 см, ц = 10"2 Па с, Сг =1500м/с, ^ = 9.8 м/с2,

Введение единиц измерения производится таким же образом, как в предыдущей главе, при этом плотность измеряется в равновесных плотностях р1. Безразмерными параметрами задачи являются частоты пульсаций П и Пг, число Фруда Рг, амплитуда пульсаций А и скорость звука с , которые определяются соотношениями:

а = ^ с = С ¡К,

т] Зд + /7 па И \т]й)

где С5 - размерная скорость звука, д - вторая вязкость.

Пульсации стенок всегда приводят к уменьшению расхода жидкости (рис.4Ь). Использованный

(18)

4 г л

подход не позволяет исследовать течение вблизи особых точек: О Гц, 37500 Гц, 75000 Гц и т.д. В этих случаях найденное в виде рядов по малому параметру А решение обращается в бесконечность.

Усредненная по времени добавка к продольной скорости й2 имеет колоколообразную форму с наибольшим отклонением скорости от нуля в центре канала (рис.4а).

Влияние сжимаемости на течение жидкости проявляется в том, что возникает независящая от времени неоднородность плотности в канале (рис.5).

В третьей главе рассматривается взаимодействие всплывающего пузырька и осаждающейся частицы в воде в слабом звуковом поле. Исследовавшие ранее эту задачу Д.ВЛюбимов, Т.П.Любимова и Л.С. Клименко3 рассматривали случай больших акустических давлений в рамках приближения, в котором влияние собственных колебаний пузырька считалось несущественным. В представленном в диссерта-

-4

-1 0 1 Рис.5. Зависимость усредненной по времени плотности от координаты для частоты пульсаций стенок 500 Гц (1), 1000 Гц (2), 1500 Гц (3)

3Отчет о реализации научного проекта МИГ "Разработка научных основ технологии высокоинтенсивной флотации минерального сырья и повышение эффективности обогащения руд верхнекамского месторождения калийно-магниевых солей"/ Пермь, ООО «Природоохранные технологии», ПГНИУ, 2012. - 122 с.

ции исследовании рассмотрен случай малых акустических давлений с учетом собственных колебаний пузырька.

Всплытие пузырька описывается уравнением

где FH(t) - историческая сила4, Ü - скорость пузырька, R - радиус пузырька, R0 - начальный радиус пузырька, р - плотность жидкости, CD - коэффициент вязкости:

CD =(52.66Re2"5-46.53-Re"-2324)/Re, Re(t)=2RU/v, v - коэффициент кинематической вязкости. Пузырек считается сферическим с радиусом R , который изменяется в соответствии с уравнением Релея-Плессе. Влияние звука моделируется граничным условием на давление, которое на бесконечности задается в виде A sin at (А -амплитуда акустического давления, со - частота). При этом также как и в работе [3] считается, что длина волны звука много больше радиуса пузырька. Скорости движения частичек среды в слабых звуковых

Рис.6. Зависимость радиуса столкновения частицы с пузырьком радиусом 500 мкм а) от частоты звука с акустическим давлением 1000 Па(1), 1500 Па (2), 2000 Па (3), для частиц радиусом 20 мкм и плотностью 2000 кг/м2; Ь) от плотности частицы в звуковом поле частотой со = 40000 рад/с, с акустическим давлением 1500 Па, для частиц радиусом 50 мкм (3), 35 мкм (2), 20 мкм (1)

4 Takemura F., Magnaudet J. The history force on a rapidly shrinking bubble

rising at finite Reynolds number// Phys. Fluids - 2004 - V.16 - 3247

полях ( Л -10 * Па) имеют порядок величины 10~3 м/с, что значительно меньше, чем скорость движения жидкости, возникающая из-за всплытия пузырька, поэтому влиянием звука на течение жидкости можно пренебречь и считать, что звук оказывает влияние только на изменение формы пузырька. Течение жидкости, возникающее из-за наличия пузырька, считается потенциальным.

В приложениях размер частицы обычно в несколько десятков раз меньше размера пузырька и воздействие частицы на течение жидкости, возникающее из-за наличия пузырька, можно считать пренебрежимо малым. Это позволяет использовать для описания движения частицы уравнение Бассе-Буссинеска-Озеена5.

Найдено, что воздействие звука приводит к увеличению радиуса столкновения (наименьшего расстояния от вертикальной оси, проходящей через центр пузырька, до координаты, начиная движение из которой частица сталкивается с пузырьком). Когда частота звука равна собственной частоте колебаний пузырька, радиус столкновения достигает максимума (рис.ба). Во всей остальной области частот влияние звука на радиус столкновения в случае слабых звуковых полей является пренебрежимо малым. Собственная частота зависит от размеров пузырька, это означает, что при воздействии звука увеличивается вероятность захвата частиц пузырьками определенного радиуса. Радиус столкновения при воздействии звука с собственной частотой колебаний пузырьков увеличивается сильнее для тяжелых частиц, чем для легких частиц (рис.бЬ). При акустических давлениях порядка 1 ООО Па радиус столкновения увеличивается в несколько раз благодаря воздействию звука с частотой, равной частоте собственных колебаний пузырька. Подход в [3] давал аналогичное увеличение радиуса столкновения благодаря воздействую звука только для в 100 раз больших акустических давлений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследовано перистальтическое течение жидкости в канале с заданной волной давления на границе в случае произвольных скоростей распространения волны и волнового числа; Получены зависимости расхода жидкости от параметров задачи. Обнаружено, что существует максимальное значение расхода жидкости, которого можно добиться, меняя параметры задачи.

Проведен анализ влияния продольных вибраций на перисталь-

5 Maxey M.R., Riley J.J. Equation of motion for a small rigid sphere in a nonuniform flow // Phys. Fluids . - 1983. - V. 26,4 - pp. 883 - 889.

тическое течение с заданной волной давления на границе. Установлено, что наибольшее влияние вибрации оказывают в случае совпадения частоты волны давления и частоты вибраций. Определены условия, когда вибрации увеличивают расход жидкости и когда они его уменьшают.

Проанализировано влияние поперечных пульсаций стенок на перенос вещества под действием перепада давлений и силы тяжести для несжимаемой жидкости в случае конечных частот пульсаций. Найдено, что при увеличении частоты пульсаций увеличение расхода сменяется его уменьшением.

Изучено влияние сжимаемости на движение жидкости под действием силы тяжести в вертикальном канале с пульсирующими стенками. Найдено, что при наличии сжимаемости пульсации приводят к возникновению независящей от времени неоднородности плотности в канале.

Исследовано влияние звука на взаимодействие оседающей частицы и всплывающего пузырька. Обнаружено, что радиус столкновения пузырька и частицы достигает максимума при частоте звука, равной собственной частоте колебаний пузырька. Воздействуя звуком, можно увеличить вероятность захвата частиц пузырьками, которые имеют определенный радиус, зависящий от частоты звукового воздействия.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ В журналах, входящих в список ВАК:

1. Любимов Д.В., Мингалев C.B. Управляемый давлением перистальтический поток// Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. — 2012. — №5. — С. 52-58.

2. Mingalev S., Lyubimov D. and Lyubimova T. Dynamics of Particle Confined Between Oscillating and Fixed Walls// Microgravity Science and Technology. — 2011. - V. 23, N. 1. — P. 99-103.

3 Mingalev S.V., Lyubimov D.V., Lyubimova T.P. Pressure-driven peristaltic flow// J. Phys.: Conf. Ser. — 2013. — V.416. — 012029. В журналах, сборниках тезисов и материалах конференций:

4. Мингалев C.B., Любимов Д.В. Движение частиц в управляемом давлением перистальтическом потоке// Вестник Пермского университета. Серия: Физика. — 2010. Вып. 2. — С. 32-38.

5. Мингалев C.B., Любимов Д.В. Течение Пуазейля в пульсирующем канале// Вестник Пермского университета. Серия: Физика. — 2012. Вып. 4,—С. ¡45-148.

6. Мингалев С.В. Особенности столкновения лёгкой частицы с осциллирующей стенкой в случае упругого удараIf Материалы конференции «НПСС». Пермь. — 2007. — С. 322-325.

7. Мингалев С.В. Управляемый давлением перистальтический поток// Материалы конференции «НПСС». Пермь. —2009. —С. 197-200.

8. Мингалев С.В. Управляемый давлением перистальтический поток// Материалы конференции «НПСС». Пермь. —2010. —С. 178-182.

9. Мингалев С.В. Расход жидкости управляемого давлением перистальтического потока// Тезисы конференции XVI-я Зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь. — 2009. — С. 242.

10. Мингалев С. В., Любимов Д. В. Физические основания использования вибрационной гипотезы для объяснения рабочей гиперемии скелетных мышц// Тезисы конференции XVII-я Зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь. — 2011. — С. 227.

П.Любимова Т.П. Мингалев С.В. Влияние продольных вибраций на управляемый давлением перистальтический поток// Тезисы конференции XVIlI-я Зимняя школа по механике сплошных сред, Пермь. — 2013.— С.249.

12. Мингалев С.В. Управляемый давлением перистальтический поток// Тезисы всероссийской конференции молодых учёных «НПСС», Пермь. — 2009.—С. 101.

13.Мингалев С.В. Управляемый давлением перистальтический поток// Тезисы конференции «НПСС». Пермь. — 2010. —С. 58.

14. Мингалев С.В., Любимов Д.В. Течение Пуазейля в пульсирующем канале//Тезисы конференции «НПСС». Пермь. —2012. — С. 52.

15.Lyubimov D., Mingalev S. Pressure-driven peristaltic flow of biological fluids in a channel with elastic wall // Book of Abstract IV France-Russia Conference NAMES-10. Nancy, France. — 2010. —P. 66.

16. Mingalev S., Lyubimov D., Lyubimova T. Dynamics of particle confined between two oscillating walls// Book of Abstract Sixth International Conference on Two-phase systems for ground and space applications. Cava de' Tirreni, Italy. —2011. —P. 80.

Подписано в печать^" .11. 2013 г. Формат 60x84 1/16.

Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ 2. Типография Пермского государственного национального исследовательского университета 614990, г.Пермь, ул.Букирева, 15.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский государственный национальный исследовательский университет»

04201 453550

На правах рукописи

Мингалев Станислав Викторович

Перистальтические и пульсационные течения, поведение пузырька и частицы в

условиях заданного давления на границе

(01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы)

Диссертация па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор

Д.В.Любимов

доктор физико-математических наук, профессор Т.П. Любимова

Пермь-2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. ВВЕДЕНИЕ. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ........................................................................4

1.1. Влияние свойств стенки на перистальтический транспорт..........................7

1.2. Частицы в перистальтическом потоке..........................................................12

1.3. Эндоскоп в перистальтическом потоке.........................................................13

1.4. Перистальтическое течение неныотоновских жидкостей..........................14

1.5. Перистальтический транспорт в пористых и многослойных средах.........18

1.6. Влияние магнитного и гравитационного поля на перистальтический транспорт.................................................................................................................19

1.7. Влияние температуры на перистальтический транспорт............................20

1.8. Влияние сжимаемости на перистальтический транспорт...........................21

1.9. Течение в пульсирующих каналах................................................................22

1.11. Поведение пузырька и частицы в звуковом поле......................................23

1.10. Общая характеристика работы....................................................................25

1.11. Актуальность.................................................................................................26

1.12. Цели работы...................................................................................................27

1.13. Научная новизна результатов......................................................................27

1.14. Представленные к защите результаты........................................................28

1.15. Достоверность результатов..........................................................................29

1.16. Публикации....................................................................................................29

1.17. Личный вклад автора....................................................................................31

1.18. Апробация работы.........................................................................................31

1.19. Практическая ценность.................................................................................31

1.20. Методы исследования...................................................................................32

2. УПРАВЛЯЕМЫЙ ДАВЛЕНИЕМ ПЕРИСТАЛЬТИЧЕСКИЙ ПОТОК..............33

2.1.Решение общей задачи........................................................................................34

2.1.1. Постановка задачи........................................................................................34

2.1.2. Малые амплитуды колебания давления на стенке....................................37

2.1.3. Решение в длинноволновом приближении................................................44

2.2. Влияние продольных вибраций на перистальтику.........................................49

2.2.1. Постановка задачи........................................................................................49

2.2.2. Общее решение.............................................................................................49

2.2.3. Решение при м?, близких к 1........................................................................51

2.3. Поведение частицы.............................................................................................57

2.3.1. Постановка задачи........................................................................................57

2.3.2. «Прилипание»...............................................................................................58

2.4.Вывод ы..................................................................................................................63

3. ТЕЧЕНИЕ В ПУЛЬСИРУЮЩИХ КАНАЛАХ......................................................64

3.1. Несжимаемая жидкость......................................................................................67

3.1.1. Постановка задачи........................................................................................67

3.1.2. Малые частоты пульсаций..........................................................................73

3.1.3. Малые амплитуды пульсаций.....................................................................83

3.2.Сжимаемая жидкость..........................................................................................99

3.2.1. Постановка задачи........................................................................................99

3.2.2. Приближение малых амплитуд.................................................................102

3.3. Выводы...............................................................................................................115

4. ПОВЕДЕНИЕ ПУЗЫРЬКА И ЧАСТИЦЫ В ЗВУКОВОМ ПОЛЕ....................116

4.1 .Постановка задачи.............................................................................................116

4.2.Влияние звука на радиус столкновения..........................................................122

4.3.Вывод ы................................................................................................................126

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...........................................................................................................127

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ...........................................................................................128

Приложение №1 к параграфу 2.1.3. Программа для нахождения решения..........143

Приложение №2 к параграфу 3.1.2. Программа для нахождения решения..........146

Приложение №3 к параграфу 3.2.2. Коэффициенты в решении............................148

1. ВВЕДЕНИЕ. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Диссертационная работа посвящена исследованию перистальтического транспорта, течению жидкости в пульсирующих каналах и изучению влияния звука на взаимодействие падающей твердой частицы и всплывающего газового пузырька в жидкости.

Перистальтический транспорт возникает в сосудах, по поверхности которых распространяются бегущие волны. Перистальтический транспорт составляет основу работы многих биологических систем, таких как желудочно-кишечный тракт и мочевыводящие пути, что делает его исследование важным для понимания причин заболеваний, связанных с этими органами. Первые исследования, проводившиеся в 60-ых, 70-ых годах 20 века, были посвящены перистальтическому транспорту вязкой ньютоновской жидкости в канале и круглой трубе. А. X. Шапиро, М.Я. Джеффрин и С.Л. Вейнберг [1] рассматривали решение линеаризованной задачи о перистальтическом транспорте в предельном случае бесконечно больших длин волн. Линейное решение позже было модифицировано М.Я. Джеффриным [2] так, чтобы можно было учесть малые нелинейные эффекты. Он нашёл решение в виде ряда для случая малого числа Рейнольдса в длинноволновом приближении. Результаты его исследования согласуются с экспериментами, проведёнными С.Л. Вейнбергом, Е.Ц. Экшейном и А. X. Шапиро [3].

Предполагая амплитуду колебаний стенок малой в сравнении с толщиной пограничного слоя, возникающего около стенок, В.Х. Лин [4| исследовал усреднённый по времени пульсирующий поток и обнаружил ячеистую структуру течения. Его исследование было продолжено А. Канеко и X. Хонджи [5], которые включили в рассмотрение члены более высокого порядка, что позволило им детально изучить ячеистую структуру течения; результаты этого исследования

согласуются с экспериментальными данными. Ж.К. Рассел [6] исследовал структуру течения и способность его переносить твёрдые частицы.

Описанные выше работы посвящены механическим системам; одновременно проводились исследования направленные на создание моделей органов, основу работы которых составляет перистальтический транспорт. Г1.С. Ликойд и Р. Рус [7], а также Я.Ц. Фунг [8] анализировали работу мочеточника, трубки, соединяющей почку с мочевым пузырём. Их интересовало давление, возникающее на закрытом конце этой трубки. Решая совместно уравнения Павье-Стокса и уравнение для мембраны трубки, они сделали вывод о том, что градиент давления, возникающий благодаря перистальтическим волнам, очень мал, и, следовательно, перистальтические волны оказываются неспособными освободить мочеточник в случае его закупорки. В их работе также отмечается, что перистальтический перенос вещества в мочеточнике возникает благодаря солитонам, уединённым волнам, а не синусоидальным волнам, которые рассматриваются в большинстве исследований. Детальное исследование течения, возникающего в случае уединённых волн, было проведено Дж. Джиминез-Лозано [9]. Решение в этом исследовании искалось в виде разложения по амплитуде колебаний стенок. В [10] Кх. С. Мекхеимер рассматривал влияние внешнего магнитного поля на перистальтический транспорт, для чего использовал магнитогидродинамическое приближение. Это исследование направлено на создание физических основ метода лечения мочекаменной болезни с помощью магнитных полей. Позднее Кх. С. Мекхеимер в [11] учел влияние на перистальтический транспорт поля, возникающего из-за движения жидкости. Исследование закупорки мочеточечника у собак проводилось Х.Л. Ким и др. в [12]. Они наблюдали за перистальтикой мочеточника, выделением мочи, развитием гидронефроза (заболевания почек, вызванного нарушением оггока мочи), расширением мочеточника и движением искусственного камня, который вводился ими в уретру на уровне между вторым и четвёртым поясничным позвонками.

Кроме перистальтического транспорта, бегущие по поверхности сосуда волны приводят к рефлюксу (возвратному движению) и явлению захвата частиц потоком. Первый эффект состоит в том, что некоторые лагранжевы частицы в среднем двигаются в направлении противоположном средней скорости потока, что является причиной попадания бактерий и токсических веществ из мочевого пузыря в почки. Такой эффект возникает после достижения критического значения перепада давления на концах канала [13, 14]. Эффект захвата заключается в том, что некоторые лагранжевы частицы движутся со скоростью волны. Увеличение расхода жидкости приводит к увеличению размера области захвата [15]. В жидкостях Оствальда-Деваале, Максвелла и некоторых других неныотоновских жидкостях также может наблюдаться изменение направления течения жидкости в целом [16] при сохранении неизменного направления бегущей волны. В случае живого организма это приведет к извержению содержимого желудка наружу. Эти два эффекта обсуждаются в большинстве исследований, посвященных перистальтическому транспорту.

В качестве параметров влияющих на перистальтический перенос вещества обычно выделяют амплитуду колебаний стенки, волновое число, длину трубы и число Рейнольдса. Увеличение амплитуды колебаний стенки приводит к увеличению расхода жидкости [17, 18] и КПД насоса [17]. Сила трения, действующая на стенку, с увеличением амплитуды колебаний уменьшается 117, 18]. При этом происходит увеличение продольной компоненты градиента давления [19]. При увеличении волнового числа расход жидкости сначала растет [20, 21, 22, 23], достигает максимума, потом начинает уменьшаться [20, 21, 22], а потом снова расти [20]. С увеличением числа Рейнольдса расход жидкости в случае больших волновых чисел уменьшается [24], а в случае малых -увеличивается [24, 25]. Шун-Фа Хщанг и Ю-Шиуан Шиу [26] экспериментально показали, что изменение длины канала не приводит к изменению расхода жидкости.

Влияние геометрии задачи проявляется в том, что при одинаковых условиях расход жидкости в плоском канале оказывается меньше, чем в цилиндрической трубе [27]. Задача о перистальтических течениях в сужающихся и расходящихся каналах рассматривалась в [28]. Кроме геометрии задачи на силу трения и расход жидкости также оказывают влияние свойства жидкости: например, в микрополярной жидкости сила трения, действующая на стенку канала, всегда меньше, чем в ньютоновской жидкости, а расход жидкости больше [29].

В биологических системах и технических устройствах, использующих перистальтический механизм переноса вещества, на концах канала часто существует перепад давления. Наличие этого перепада приводит к тому, что если градиент давления направлен в сторону противоположную направлению распространения бегущих волн, то в пористых средах расход жидкости уменьшается с ростом числа Дарси [19]. Зависимость расхода жидкости в случае наличия переменного перепада давления имеет резонансный характер, расход жидкости достигает максимума при совпадении частоты изменения перепада давления на концах канала и частоты бегущих волн [30].

Исследования перистальтического транспорта, выполненные в последние годы, можно условно разбить на шесть направлений: перистальтический транспорт неныотоновских жидкостей, перистальтический транспорт многослойных жидких систем, влияние магнитного и гравитационного поля, различные включения в перистальтическом потоке, влияние свойств стенок на перистальтический транспорт.

1.1. Влияние свойств стенки на перистальтический транспорт

В большинстве случаев рассматриваются течения с заданными колебаниями стенки сосуда. В реальных биологических системах движение стеики обусловлено работой гладких мышц, а это значит, что для реалистичного описания необходимы более сложные модели, учитывающие реологические свойства

мышц. В [31] для связи главных напряжений и главных удлинений мышц использовалось уравнение вязкоупругого активного тела -

о-, = Ш) + м ~+ Иг,,

ОТ V у

где £ - главные удлинения в активном материале, <т; - главные напряжения, (//(г,/) - параметр активации. Бегущие волны на поверхности сосуда возникали за счёт введения в уравнение вязкоупругого тела слагаемого с параметром активации, заданным в виде бегущей волны, что и обеспечивало возникновение перистальтического транспорта. Д. Такаги [32] использовал значительно более простое уравнение

д"

где г - радиус сосуда в определенной точке, а Я - параметр, характеризующий среднее положение стенок.

Случай п = О соответствует линейной упругости трубы, а случай п = 4 -трубе с конечной жесткостью на изгиб. Добавка асоБ^-у) соответствует внешней силе, действующей на поверхность сосуда. Труба при этом разбивается на две части: пучность и сужение. Причем поперечный размер пучности увеличивается, а продольный уменьшается с увеличением амплитуды.

В дальнейшем Д. Такаги и др. [33] исследовали поведение включений в перистальтическом потоке. Ими было показано, что бесконечный твердый стержень, расположенный в центре трубы не может быть сдвинут ни при какой величине точечной внешней силы. Для частиц конечного размера было обнаружено наличие порогового значения точечной силы, выше которого скорость частицы становится равной скорости волны (это хорошо известный эффект захвата). Пороговое значение силы растет с удалением частицы от оси канала. Отсюда молено сделать вывод, что область захвата частиц волной растет с увеличением амплитуды точечной силы. С.К. Пандеи и М.К. Чаубе [341

исследовали течение в канале с использованием предложенных в [35] динамических граничных условий, заданных в виде

Их-** =

0 г д2 „

т—- + — л-В—т-Т—т +АГ. д(2 81 дх4 дх2 1

1ж

% + а соэ — - с/), А

где т - масса элемента поверхности стенки, отнесенная к его площади, (I -коэффициент затухания, Кх - жесткость пружины, Т - продольное напряжение, В - жесткость при изгибе. Они также задавали закон изменения координаты стенки, считая, что она изменяется по закону

„ 2ж

£ = -(Х- С/).

Л

Для ньютоновской жидкости такое количество граничных условий является избыточным, но С.К. Пандеи и М.К. Чаубе [34] исследовали неныотоновскую жидкость, уравнение движения которой имеет четвертый порядок по координате:

— + (ц. у)й = - ^ + уУ2й+ у^й. д( р

Из графиков в [34] можно сделать вывод о том, что увеличение волнового числа сначала ведет к увеличению средней скорости жидкости, а потом к уменьшению. Увеличение К и Т, уменьшение вязкости у ведет к увеличению модуля средней скорости. Увеличение и V, ведет к уменьшению скорости, и

при больших значениях этих параметров жидкость начинает в среднем двигаться в направлении, противоположном тому, в котором происходит распространение бегущей волны. В [36] Т. Хаят и др. использовали для исследования перистальтического транспорта жидкости Джефри такие же граничные условия, как С.К. Пандеи и М.К. Чаубе в [34]. В этом случае одно граничное условие является избыточным (второй закон Ньютона для жидкости Джефри является дифференциальным уравнением второго порядка по координате), но, несмотря на это, приближенно-аналитическими методами им удалось получить решение, удовлетворяющее всем граничным условиям. Результаты Т. Хаята и др. |36],

состоящие в том, что увеличение К, Т и m ведет к увеличению модуля средней скорости, подтверждают выводы С.К. Пандеи и М.К. Чаубе [34]. В дальнейшем Т. Хаят и М. Явед [37] при исследовании течения степенной жидкости отказались от использования условия отсутствия проскальзывания на границе. В результате они нашли, что увеличение всех характеризующих стенку параметров m, d, К и Т ведет к росту расхода жидкости (согласно [34] увеличение, параметра d, характеризующего необратимые потери энергии при деформации стенки, приводит к уменьшению расхода жидкости). Приравняв нулю коэффициенты В и К в динамическом условии из статьи С.К. Пандеи и М.К. Чаубе [34], A.B. Рамана Кумари и Г. Радхакришнамачаря в [38] использовали его для исследования перистальтического транспорта ньютоновской жидкости. Они не могли задать три условия на границе, и поэтому отказались от условия равенства нулю нормальной компоненты скорости. Такой выбор граничных условий никак не обсуждается, возможно он связан с тем, что стенки считаются проницаемыми. Ими было получено, что, как и в [34], увеличение параметров d, Т и m ведет к увеличению расхода жидкости. В дальнейшем Г. Радхакришнамачаря совместно с Г. Ц. Санкадом в [39], с Д.