Перколяция, статистическая топография и процессы переноса в случайных средах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

РГЗ

од

Российский научный центр «Курчатовский институт»

На правах рукописи УДК 533.9,621.039.526

ИСИЧЕНКО Михаил Борисович

ПЕРКОЛЯЦИЯ, СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТОПОГРАФИЯ И ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В СЛУЧАЙНЫХ СРЕДАХ

01.04.08 — физика и химия плазмы

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в форме научного доклада

Москва—1993

Работа выполнена в Институте атомной энергии им. И.В. Курчатова и Институте изучения ядерного синтеза в Техасском университете (г. Остин, США).

Официальные онноненты

доктор физико-математ ических наук, академик A.M. Дыхне

доктор физико-математических наук C.B. Буланов

доктор физико-математических наук JI.M. Зелёный

Ведущая организация Институт теоретической и экспериментальной физики

Защита диссертации состоится *___"____________1993 г. в "__" часов на заседании Специализированного совета Д.ОЗ 1.04.01 при РНЦ "Курчатовский институт" по адресу: 123182, г. Москва, пл. Курчатова, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РНЦ "Курчатовский институт".

Отзывы на диссертацию, заверенные печатью, просим направлять по адресу: 123182, г. Москва, пл. Курчатова, 1.

Диссертация разослана "___"___________1993 г.

Учёный секретарь специализированного совета- К Б. Карташёв

Содержание

Общая характеристика диссертации 2

0.1 Актуальность работы............................................................2

0.2 Цель работы......................................................................3

0.3 Научная новизна..................................................................4

0.4 Научна» и практическая ценность..............................................4

0.5 Автор выносит на защиту .....................................5

0.6 Форма и объём работы..........................................................5

Содержание доклада 6

1.1 Введение. Теория перколяции и фракталы....................................6

1.1.1 Обобщения перколяционной задачи и универсальность..............8

1.2 Непрерывная перколяция и статистическая топография ....................8

1.2.1 Статистика изолиний одномасштабной случайной функции [2, 4] 9

1.2.2 Многомасштабная статистическая топография [9] ..................12

1.3 Диффузия пассивной примеси в двумерных течениях........................15

1.3.1 Эффективная диффузия в вихревой турбулентности ¡2, 6)..........16

1.3.2 Эффективная диффузия в двумерных стационарных случайных течениях ¡2, 10] .................................................18

1.3.3 Турбулентная диффузия в двумерном квазистациояарном течевни

[4, 15].................................. . 20

1.3.4 Хаотическая адвекция и колмогоровская энтропия [4, 15] ..........22

1.3.5 Аномальная диффузия [10, 14]..........................................26

1.4 Процессы аномального переноса в плазме......................................30

1.4.1 Диффузия электронов из-за турбулентных электрических дрейфов [5,12]......................................................................30

1.4.2 Теплопроводность плазмы в "заплетённом" магнитном поле [7, 8] 31

1.4.3 Электронное магнитогидродинамическое сопротивление плазмы [3,

11]......................'.......................34

1.5 Проводимость неоднородных холловских сред................................35

1.5.1 Аномальное сопротивление случайно-неоднородных холловских сред [11] ........................................................................35

1.5.2 Магнитосопротивление двухполюсников и "линейный закон" Капицы [13]..................................................................37

Выводы 38

Работы автора по теме диссертации 40

Общая характеристика диссертации

0.1 Актуальность работы

Турбулентные сплошные среды как самостоятельный объект экспериментального и теоретического исследования вызваны к жизни, с одной стороны, рядом конкретных прикладных задач (удержание неравновесной термоядерной плазмы. геофизическая динамика атмосферы и океана для погоды и экологии и многие другие) и, с другой стороны, математической общностью физических явлений, характеризуемых собирательным понятием "хаос". Осошанием такой общности отчасти диктуется недавнее развитие новой самостоятельной дисциплины - нелинейной фишки, - к kotojxhi. в определенной степени, можно отнести и настоящую работу. Явление стохастического поведения простых детерминистских систем явилось одним из наиОоли* фундаментальных математических открытий последних леся шлет ий в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В отношении уравнений в частных производных, описывающих сплошные среды (где хаос обычно называют турбулентностью), хотя и нет особых сомнений в вездесущности стохастического поведения, классификация имеющихся возможностей далека от исчерпывающей и тяготеет к развитию нестрогих качественных представлений. В одном важном отношении, однако, все модели хаоса схожи, а именно в естественном введении вероятноетного (статистического) описания, происходяшето из-за (обычно экспоненциального) затухания динамических корреляций благодаря стохастической неустойчивости фазовых траекторий. При этом вероятность грактуе!ся как доля фазового объема начальных условий, приводящих к данному исходу. В результате для описания различных физических процессов турбулентная среда может рассматриваться как a priori случайная qxvut г той или иной "микроскопической'' статистикой.

В прикладных задачах турбулентность важна не столько сама по себе, сколько своими усредненными, "мак|>оскопическим1Г последст виями, наиболее важные из которых — процессы переноса. В фишке термоядерной плазмы общепринятым является представление о доминировании турбулентной диффузии электронов и тепла над (нео)классическимн. Тем не менее, несмотря на тысячи опубликованных работ, убедительной теоретической картины аномальных транспортных явлений в плазме до сих пор не сформулировано. Несмотря на относительную надежность имеющейся эмпирической базы данных по удержанию плазмы в токамаках, на коюрую прагматически опираются существующие термоядерные программы, задача пониманш аномальных переносов и соответствующих им скейлингов имеет непреходящее значение для дизайна перпекгив-ных установок с качественно новыми параметрами плазмы.

Другой важной областью применения теории аномального транспорта является турбулентная диффузия примесей в атмосфере и океане. Начатая в пионерских работах Тэйлора (1921) и Ричардсона (1926), данная дисциплина приобретает первостепенное значение в связи с экологическими угрозами современности и необходимости контроля загрязнений на основании ограниченных по полноте данных.

2

По сути, задача о турбулентном переносе состоит из двух, самих по себе сложных, и зачастую трудноразделимых, задач: (1) определение параметров турбулентности, возбуждаемой различными источниками неравновесное I и, и (2) вычисление транспортных коэффициентов, описывающих перенос того или иного агента (частиц, тепла и т.д.) данной турбулентностью или случайной средой. Настоящая рабога целиком концентрируется на втором аспекте проблемы, т.е. на связи >фф<;к 1 Ийпих (усредненных) транспортных коэффициентов со статистическими параметрами турбулентной либо случайной среды. Идея о вероятноелном описании турбулентных полей позволяет заимствовать из статистической физики такие методы как. например, теория нерколяции.

Следует отметить, что математические меюды, требуемые для ответа на поставленный вопрос, довольно общи и могут быть применены к ряду других задач физики (проводимость и распространение волн в случайно-неоднородных средах, злектронпос магнитотидродинамическое (ОМГ) сопротивление плазмы и полупроводников и магни-тосоиротивление металлов, квантовый зффеьт Холла и др.) и даже за ее пределами (например, статистическая топография [У]). 1! частности, достаточно широкий класс задач о процессах переноса связан с геометрией лшшй или поверхностей уровня случайной функции с определёнными статистическими характеристиками. Последнее тесно связано с задачей о перколяции, или о протекании (Вродбент и Хаммерсли, 1957), хотя и не вполне сводится к ней. Впервые идея о применения теории перколяции к аномальному транспорту в плазме была высказана Кадомцевым и Погуце (1У78) и реализована в серии работ, вошедших в настоящую диссерт апню. Геометрия случайных распределений с многими пространственными масштабами обладает сгагиоическим самоподобпем, наиболее содержательно характеризуемым поняшем фрактальной размерности (Хаусдорф, 1918). Междисциплинарная наука о фракталах, связанная прежде всего с именем Бенуа Мандельбро i а, переживает период быстрого роста и находит свои применения в самых разнообразных областях от медицины до материаловедения.

Таким образом, церколяпия, статистическая топография и процессы переноса в случайных средах переплетаются как в актуальных прикладных задачах, п|к'жде всего об аномальном транспорте в токамаках, так и в фундаментальных аспектах нелинейной и статистической физики.

0.2 Цель работы

1. Изучение статистических свойств линий уровня случайных функций.

2. Изучение механизмов и скейлишов пассивной диффузии в случайных течениях.

3. Определение связи турбулентной теплопроводности с параметрами электромагнитной и электростатической турбулентностей плазмы.

4. Изучение влияния сильного магнитного поля на сопротивление неоднородных хол-ловских сред.

0.3 Научная новизна

1. Вычислены фрактальная размерность и распределение по масштабам изолиний случайной функции в довольно общих предположениях о ее спектре. Ряд дополнительны* результатов в этом направлении позволяет говорить о построении новой, достаточно полной качественной теории случайных изомножесгв - статистической топографии, объединяющей теорию перколхции (включая ее коррелированную разновидность) с теорией дробных броуновских рельефов.

2. Проанализирована роль длинных фрактальных траекторий и получены скейлинги коэффициета эффективной диффузии в двумерных квашпационарных случайных течениях и в газе локализованных вихрей при большом числе Пекле.

3. Для больших амплитуд электромагнитных возмущений в плазме, соответствующих доминированию длинных траекторий (в режиме противоположном квазилинейному), получены перколяционные скейлинги для электронной диффузии и теплопроводности.

4. Изучены режимы объемного магнитосопротивления (ЭМГ-сопротивления) случайно-неоднородной анизотропной холловской среды в сильном магнитном поле, включая размерные эффекты из-за наличия границ.

5. Изучены геометрические эффекты магнитосопротивления холловских проводников, приводящие к образованию токовых слоев как вблизи электродов и свободных поверхностей, так и в объеме образца. Получено выражение для универсального магнитосопротивления двухэлектродного трехмерного образца в сильном магнитном поле и для сопротивления осесимметричного двумерного образца в поперечном магнитном поле произвольной силы. Отмечено, что эти геометрические эффекты объясняют закон линейного магнитосопротивления Капицы как артифакт вследствие неадекватной геометрии эксперимента.

0.4 Научная и практическая ценность

Результаты о фрактальных размерностях изолиний и других топографических характеристиках случайных полей полезны для обработки самых разнообразных экспериментальных данных в турбулентности и экологии (где локальные контуры профиля загрязненности содержат информацию о глобальной турбулентной диффузии примеси), в материаловедении (свойства шероховатых поверхностей), в геологии (где сравнительный анализ размерностей береговых линий и распределения островов указывает на характер отклонения формы земной поверхности от "случайной" и может пролить новый свет на ее морфологию) и т.п. Статистическая топография является важным инструментом анализа различных физических неупорядоченных систем, таких как, например, двумерный электронный газ в инверсионном слое нолевого транзистора, проявляющего квантовый эффект Холла.

Хоти и не претендуя на самосогласованное определение уровня турбулентности, полученные перколяционные скейлингн для переносов в турбулентной плазме могут быть использованы для поиска корреляций турбулентность-диффузия я тем самым идентификации механизмов аномального транспорта в токамаках. Сам по себе качественный вывод о существенном замедлении роста транспортних коэффициентов с уровнем шумов по сравнению с квазилинейным режимом делает прогноз управления турбулентными транспортными потоками более оптимистичным.

Эффекты аномального (ЭМГ) сопротивления неоднородных холловских сред имеют непосредственное отношение к работе плазменных прерывателей тока, являющихся эффективным средством обострения электрической мощности для инерциального УТС и зругих приложений. Те же по сути эффекты способны макроскопически интерфери-эовать с микроскопическими процессами магнитосопротивления в полупроводниках и металлах, вызывая кажущиеся аномальности типа линейной составляющей сопротивления как функции напряженности магнитного поля. Эффекты объемного контраги-эования тока способны нарушить тепловой режим криогенных образцов, что должно вчитываться при выборе схемы эксперимента.

).5 Автор выносит на защиту

1. Статистическую топографию одномасштабных и многомасштабных случайных рельефов.

2. Теорию фрактальных траекторий, эффективной диффузии и колмогоровской энтропии в двумерных случайных течениях.

3. Решение задачи о режимах элект1>онной теплопроводности плазмы в стохастизи-рованном магнитном поле.

4. Анализ аномального объемного магнитосопротивления случайно-неоднородных сред с эффектом Холла.

5. Методы расчета поверхностного магнитосопротивления двумерных и трёхмерных холловских образцов.

.6 Форма и объём работы

иссертапия представляется в форме доклада, основанного на опубликованных работах —16]. Наиболее полно результаты автора и смежные вопросы отражены в обзорной гатье [14], библиография которой состоит из 150 ссылок. Этой статье в значительной "епени следует настоящий доклад.

Содержание доклада

1.1 Введение. Теория перкопяции и фракталы

Задача о перколяции, или о протекании (Бродбент и Хаммерсли, 1957), представляет собой простейшую модель фазового перехода с нетривиальным критическим поведением. Чисто геометрическая природа перколяционного перехода имеет множество приложений в различных областях физики, благодаря чему библиография по перколяции насчитывает тысячи наименований, включая по меньшей мере дюжину обзоров (Киркнатрнк, 1973; Штауффер, 1979, 1985; Шкловский и Эфрос, 1981; Соколов, 1986; Исиченко, 1992 и др.). Традиционные приложения теории перколяции в основном связяны с переходом металл-диэлектрик в аморфных полупроводниках (Заллен и Шер, 1971; Скал а Шкловский, 1973), теорией локализации в неупорядоченных системах (Андерсон, 1958; Занман, 1969), переходом раствор-гель в полимерах (де Жен и др., 1959), проницаемостью пористых сред (Сахими, 1987) и квантовым эффектом Холла (Трагман, 1983), однако в большинстве работ перколяция привлекается как относительно простая модель некоего абстрактного фазового перехода для опробования разнообразных аналитических и численных методов физики критических явлений. В работе [2] было предложено новое применение теории перколяции, связанное с геометрией линий тока случайных течений и турбулентной диффузией в плазме и жидкости.

Одна из простейших перколяционных задач — задача связей — формулируется следующим образом. Рассмотрим регулярную решётку, рёбра (или связи) которой являются проводниками (с проводимостью 1) с независимой вероятностью р и, тем самым, изоляторами с вероятностью 1 —р. Кластеры связных проводников образуют зародыши проводящей фазы, которая образует бесконечный проводящий кластер путём фазового перехода при р = рс (Рис. 1).

шш

14 и»

Рисунок 1: Перколяция связей на двумерной треугольной решётке при р = 0.25 (а), р = рс (Ъ) ж р = 0.45 (с). Пр» критической вероятности рс = 25ш(*/18) ~ 0.3473 впервые появляется бесконечный кластер, сохраняющийся пр« р > рс.

Немного ниже перколяционного порога рс (т.е. при 0 < рс - р С 1) все кластеры

6

конечны и не превышают так называемого корреляционного размера1

Ç(p) ~ Ао]р-рсГ .

где А0 — пе|>нод решётки. В двумерном случае показатель корреляционной длины и известен аналитически: V 4/3 (лен Нине, 1979). В трёх измерениях имеются лишь численные данные, согласно которым V ~ 0.9.

Перколяционные кластеры около порога протекания характеризуются самоподобными свойствами, что позволяет ввести фрактальную размерность кластера Ас = 01 /-18 (в двух измерениях) в интервале масштабов [А0. {]. Согласно стандартному определению фрактальной размерности, "масса" кластера внутри крута радиуса Я пропорциональна

Другим важным объектом, связанным с перколяционными кластерами, является так называемая оболочка (bull) или периметр кластера (Рис. 2).

Рисунок 2: Внешний периметр кластера связей на квадратной решётке (жирная к pu пая) имеет фрактальную размерность d= 7/4. Помимо этого периметра, изоморфного изолинии случайной функции, также существует другой объект — "кезкранированный периметр" (тонкая крива*), фрактальная размерность которого равна 4/3 (Дуплантье и С'алёр, 1987).

Оболочка большого двумерного кластера (с линейным размером а> Ао) самопо-добна, как и сам кластер, однако имеет меньшую фрактальную размерность d/, = 7/4 (Салёр и Дупльктье, 1987). Важное следствие фракталыюсти перкодяциоиного периметра — скейлинг длины оболочки L с её диаметром о:

'Точнее говоря, корреляционный размер разделяет степенным образом маловероятные кластеры от экспоненциально маловероятных.

Rd<.

Ца) ~ XcÎq/AO)^ , а>А0.

(2)

1.1.1 Обобщенна перколяционной задачи и универсальность

Помимо задачи связей, существует аналогичная перколяционная задача узлов. Дальнейшие обобщения включают различные континуальные модели (задача случайных узлов, потенциальная задача и т.д.). Критическая вероятность рс зависит как от типа задачи, так и от вида решётки или континуума. Замечательным свойством критических показателей V, ¿ь и т.п. является их универсальность, т.е. независимость от чего-либо за исключением размерности задачи. Это позволяет говорить о классе универсальности двумерной перколяции, показатели которого (например, и = 4/3 и с1к = 7/4) могут применяться в задачах, далеко выходящих за пределы исходной перколяционной модели.

Вышесказанное относится к некоррелированной перколяционной задаче, в которой вероятности проводимости связей или занятости узлов независимы друг от друга. В коррелированной задаче о перколяции вероятности р(х) сами случайны и характеризуются средним р = (р(х)} и коррелятором с(р) = (р(х)р(х + р)) - р1. Вайнрвб и Гальперин (1982) показали, что если коррелятор спадает быстрее определённой степени расстояния,

с(р) = 0(гуп, (3)

то корреляции не влияют на критические показатели, характеризующие скейлинги различных величин около порога протекания.

При с(р) а р1Н, где Я > — 1/р, перколяционная задача является существенно коррелированной, и сё критические показатели теряют универсальность и начинают непрерывно зависеть от -Я. Так, коррелированный аналог показателя корреляционной длины и равен

Р(Я) = -1/Я, —1/1/ < Я < 0 , (4)

в любой размерности. В работе [9] была выведена фрактальная размерность периметра двумерного коррелированного перколяционного кластера [формула (13)].

1.2 Непрерывная перколяция и статистическая топография

Наиболее интересным обобщением решёточной перколяции на континуум является задача о геометрии изолиний случайной функции у). Помимо общенаучного интереса к такому вопросу, наша мотивировка изучения статистической топографии (термин введён Дж. Займаном) диктовалась тем, линии тока двумерного случайного (в частности, турбулентного) несжимаемого течения являются линиями уровня функции тока у(х,у), которой следует приписать те или иные статистические свойства. Геометрия линий тока имеет прямое отношение к переносу частиц пассивной примеси и, тем самым, к турбулентной диффузии. Двумерность же задачи является не столько упрощающим предположением, сколько реальной физикой, вносимой сильным магнитным полем, характерным для термоядерной плазмы, К конкретным физическим моделям турбулентной диффузии в плазме мы вернёмся в разделе 1.4, здесь же обсудим чисто геометрические аспекты случайных изолиний, как одномасштабных (раздел 1.2.1), так и многомасштабных (раздел 1.2.2).

8

1.2.1 Статистика изолиний одномасштабной случайной функции [2, 4]

Наглядную картину изолиний случайной функции ф(х,у) можно себе представить, вообразив холмистый рельеф z = ф{х, у), последовательно заполняемый водой до уровня Л [Рис. 3 (а—с)]. Начальная ситуация (малый уровень А), очевидно, представляет собой локализованные озёра на бесконечной суше (а), которые в конце концов должны смениться конечными островам в бесконечном океане (с). Поскольку для статистически изотропного рельефа невозможно одновременное существование сухопутного я морского путей на бесконечность, существует единственный уровень (Ь), на котором исчезает последний сухой и появляется первый водный пути на бесконечность, и тем самым имеется береговая линия бесконечной длины.

Статистика областей, в которых ф(т,у) < h = const, может быть описай», аналогично статистике перколяционных кластеров на обычной решётке (Заллен и Шер, 1971; Займан, 1969, Иайнриб, 1984). Тем самым геометрия изолиний случайной функции ф оказывается изоморфной геометрии перколяционных периметров. Действительно, если узлы решёгки поместить в минимумы (долины), а связи провести через сёдла (перевалы) рельефа z = ф{х,у) но линиям наискорейшего спуска, то непрерывные кластеры ф(х,у) < h можно представить себе как непочки озёр. При этом два соседних озера связаны в общую цепочку-кластер (эквивалентно, связь между двумя соседними узлами "проводящая"), если перевал между двумя долинами затоплен водой [Рис. 3 (d)j. Таким образом, получается перколяпионная задача связей иа нерегулярной решётке, проводимость связен которой ассоциирована со случайным событием: значение v в данной седловой точке меньше h. При изменении h от —оо до +оо вероятность p(h) этого события меняется от 0 до 1:

где Р(Ф,) — функция распределения значений ф в сеяловых точках. Тогда критической вероятное 1И рс соответствует некоторый критический уровень Лс, на котором происходит перколяцнонный переход и существует связная незамкнутая изолиния ф.

Как следует из уушверсальносги кри тических показателей, нерегулярность решётки не играет роли с точки зрения критического поведения вблизи уровня Менее безопасно предположение о независимом характере проводимости связей на этой решётке. Для любой физически разумной модели случайного потенциала Ф(х,у) его значения в соседних седловых точках имеют конечные корреляции, и мы имеем дело по сути с коррелированной задачей о перколяшш. Критерий несущественности корреляций (3) можно переформулировать » терминах коррелятора С(р) 3 {ф(х)ф(х+ р)) — {ф(х})2 следующим образом [9]:

Для нелей статистической топографии мы называем такую случайную функцию одно-масштабной, где корреляционный размер потенциала А о представляет собой единственный характерный масштаб задачи.

(5)

С(р) = 0(р-2/") = 0(Р-3") , при р>\

'о •

(6)

9

Рисунок 3: Линии уровн* кванюлучайкон функции типа (25) при -V = 25 и |к,| = 1 (а с) и эквивалентная перколшнонная рсшСчка (<1). Размер окна 100 х 100 (а -с) и 15 X 15 (<1).

10

С учётом известной (и универсальной) геометрии двумерных перколяционных кластеров и их связи с изолиниями, топографические свойства одномасштабного случайного рельефа можно сформулировать следующим образом.

1. Каждая изолиния Ф(г,у) = h замкнута с вероятностью единица. Лишь на единственном критическом уровне h = hc имеется единственная бесконечная изолиния (среди бесконечного числа замкнутых изолиний).

2. При h ф hc число, на единицу площади, связных изолиний с диаметром порядка а ведёт себя степенным образом,

п. ~ a"J , А о < а < {(Л) , . (7)

вплоть до корреляционной длины

(8)

где фц — характерная амплитуда изменения ф(х, у). Число изолиний с размером больше { экспоненциально мало.

3. Длинная изолиния (а > Ао) фрактальна на размерах [Ао, а] с фрактальной размерностью ¿к = 7/4. Это, в частности, означает, что длина изолинии L определяется формулой (2).

4. Если задаться обратной задачей о том, каковы свойства изолиний с известным диаметром (скажем, а и больше), то из пункта 2 вытекает, что такие изолинии покрывают фрактальную паутину с толщиной

U'fn) « Aolo/Ao)"1'" • (9)

Естественно, что при а 3> А0 все эти изолинии лежат вблизи критического уровня hc. При а —» оо паутина вырождается в (единственную) бесконечную изолинию, лежащую на критическом уровне. Таким образом, фрактальная размерность паутины, образованной изолиниями с размером больше а, равна 7/4 в интервале самоподобия [Ао, л) [9). Эскиз данной области представлен на Рис. 4.

5. С помощью пунктов 3 и 4 мы можемввести функцию распределения изолиний по размерам F (а), которую удобно определить в безразмерном ккпе как долю площади, покрытой изолиниями с размером порядка а:

Г., 3 - ¿(°Wn) ....

Подстановка численных значений двумерных перколяционных показателей приводит к кажущемуся п|>остым результату: F (а) ~ Ао/а.

m = *<>

h-hc

Фо

11

Рисунок 4: Множество всех (независимо от уровня) изолиний с размером большее представляет собой фрактальную паутину с толщиной нити порядка (9) и самоподобкым распределением дыр, самые большие из которых имеют диаметр о.

Результаты (9) и (10) не имеет прямого аналога в обычной теории перколяции, однако важны для применения статистической топографии в задаче о турбулентной диффузии. В частности, паутина, образованная длинными изолиниями (Рис. 4), играет роль диффузионного пограничного слоя в задаче об эффективной (турбулентной) диффузии в случайном течении с функцией тока р (см. раздел 1.3).

1.2.2 Многомасштабная статистическая топография [9]

В разделе 1.2.1 мы имели дело с топографией потенциалов, корреляции которых спадают достаточно быстро на больших расстояниях. Между тем, во многих практически интересных случаях приходится иметь дело с медленно спадающими ст епенными корреляторами вида С(р) ос р'", где показатель // > -¡/V = -3/4 лежит за пределами одвомасштабного перколяционного класса универсальности. Более общим образом, случайную функцию ф(х,у) удобно характеризовать "А-спектром"

£ УТсе,кх) ' Л*. (11)

\)/з<|к|а<1 /т \А°У

При этом отрицательные значения Н соответствуют ограниченному потенциалу со спадающим коррелятором С(р) = С1^о(А/Ао)гЯ, а положительное И характеризует неограниченную случайную функцию с дельта-коррелятором

Д(р) = {Их + р)-^х)]2) = С2Й(А/Аи)2Н. ' (12)

В случае гауссовых приращений гр и 0 < И <1 случайная функций </'(х) называется дробной броуновской функцией. В этом случае спектральный показатель Н известен под названиями показателя Гсльдера или Хёрста.

12

Мандельброт (1975) предложил использовать дробные броуновские функция длл моделирования земного ландшафта (где Я сг 0.7) и других шероховатых поверхностей. Как легко показать, дробный броуновский график г = ф(х,у) являете» фракталом с фрактальной размерностью О = 3 — Я. В отношении изолиний ф данный подход прея-сказывает лишь одну их характеристику, а именно фрахтальную размерность £) всего изомножества ф(х,у) = Л. Согласно известному правилу сечения, фрактальная размерность невырожденного сечения дробного броуновского рельефа на единицу меньше размерности самого рельефа. Таким образом, размерность семейства всех изолиний равна 2 - Я. Вопрос же о фрактальной размерности индивидуальной (связной) изолинии, как и о функции распределения линий уровня по размерам, остаются открытыми, требуя новых подходов, чувствительных к топологии случайных полей. Такой подход был предложен в работе [9) на основе нового метода разделения масштабов.

Идея метода заключается в представлении многомасштабной случайной функция с широким спектром (11), где Д0 Ат, в виде суммы одномасштабных случайных потенциалов 4\(х,у), корреляционные размеры которых А0, Ль-.., Ат образуют самоподобную геометрическую прогрессию. Если вместо должного знаменателя ¡1 = А,+1/А,- ~ 2 рассмотреть прогрессию с сильно разделёнными масштабами (¡1 » 1), то каждый следующий масштаб можно рассматривать как малый квазиоднородный градиент, наложенный на предыдущий. Идея метода разделения масштабов фактически высказывалась Зельдовичем (1982) при изучении перколяцИонных свойств двумерного случайного магнитного поля, однако первые конкретные результаты в этом направлении была получены в [9).

Таким образом, взаимодействие разделённых масштабов сводится к задаче о топографии одномасштабного случайного рельефа, помещённого на плавный склон или, что эквивалентно, геометрии линий тока случайного несжимаемого течения V я гоЦ^уе,) в присутствии малой однородной составляющей скорости. Помимо вспомогательной роли в методе разделения масштабов, такая задача также содержательна, например, при изучении протекания токов при квантовом эффекте Холла, где двумерные электроны локализованы вблизи изолиний неупорядоченного, из-за наличия примесей, потенциала, а средний градиент потенциала создается внешним электрическим полем [16]. Идейно близкая постановка возникает в задаче о Е х В транспорте электронов в токамаке, где электрическое поле состоит из в среднем равной нулю турбулентной составляющей и квазиоднородного радиального амбиполярного пола [о]. В работах [5] и [9] было показано, что эффект малого (х() среднего градиента приводит к появлению малой, но конечной доли разомкнутых изолиний, каждая из которых ограничена в своих блужданиях в направлении среднего градиента корреляционным размером Д сх = с-4'7, а

коллектив которых образует фрактальную паутинообразную систему каналов с характерной шириной 6 х с3'7 (Рис. 5).

В методе разделённых масштабов результаты о геометрии каналов, а также выражения для А используются для построения каналов изолиний малого масштаба, самоиодобно вложенных в более крупные каналы, и т.д. Описанная таким образом топография потенциала с разделенными масштабами (/I 3> 1) качественно справедлива и

13

1Ы

Рисунок 5: Топограф»« наклонного рельефа характеризуете» каналами незамкнутых изолиния, ориентированных поперёк среднего ( горизонтального) градиента (а). Индивидуальна! перколирующая изолиния (Ь) имеет конечную ширину блуждания Л вдоль градиента.

U

яа пределе своей применимости, т.е. в "правильном" пределе // ~ 2. Наиболее важным результатом такого рассмотрения является фрактальная размерность индивидуальной изолинии многомасштабной функции двух переменных, которая выражена через спектральный показатель Н и перколяциониые индексы и — 4/3 и </д = 7/4:

Dh(H) = 1 + (1 - H)(dh - = —-у— . -1/с < Н < \ . (13)

В случае 0 < И < 1 выражение (13) определяет фрактальную размерность индивидуальной дробной броуновской изолинии, а при — 3/4 < И < 0 размерность периметра коррелированного перколяционного кластера.

Аналогично получается и выражение для функции распределения многомасштабных изолинии по размерам,

/ а \-(2-о»-Я)

^Изс) ' (14)

Как и в одномасштабном случае (10), выражение (14) можно представить в виде £(a)ti>(a)/a2, где

и>{а) ~ Ао(а/Ао)" (15)

— характерная ширина (поперёк линий тока) конвективных ячеек, образованных линиями тока с диаметром порядка а, а

Ца) ~ A0(o/Ao>Da (16)

— характерная длина таких линий тока.

Метод разделения масштабов позволяет также проанализировать другие задачи в различном числе измерений; например, можно показать [9], что показатель плотности бесконечного кластера ß, в отличие от других критических показателей перколяции, не чувствителен к наличию корреляций в любой размерности.

Важность многомасштабной топографии можно продемонстрировать на примере потенциала, создаваемого случайным распределением заряженных примесей. Несмотря на кажущуюся одномасштабность задачи (где характерный размер А0 определяется средним расстоянием между примесными nein рами), дальнодействующий характер ку-лоновского поля приводит к существенно многомасштабной топографии возникающего потенциала. Так, например, если примеси случайно расположены на плоскости, то в отсутствие дебаевского экранирования возникающий потенциал имеет показатель Хёрста // = 0. В случае трёхмерных примесей получается броуновский потенциал с // = 1/2 [14]. Геометрия изолиний потенциала сказывается па таких наблюдаемых ие.тлчпнах как нелинейная ширина ступенек на квантованной холловском проводимое > >> пенсионного слоя в зависимости от напряженности магнитного поля.

1.3 Диффузия пассивной примеси в двумерных течениях

Большая часть физических систем, поведение Koiopux определяется преимущественно двумерными эффектами, являются таковыми блатдаря сильному магнитпот.му гюлю

(злмагкиченная плазма, классический или квантовый эффект Холла) либо быстрому вращению (крупномасштабные движения в океане и атмосфере). Поскольку двумерные, нулевые в среднем, течения имеют сложное распределение линий тока по размерам, процессы переноса в таких системах чувствительны к топографии соответствующих функций тока. Случайность последних может быть связана как с динамическим хаосом, характеризующим турбулентность в плазме или жидкости, так и со статическим беспорядком в неупорядоченных конденсированных системах.

Широкий класс транспортных задач сводится к проблеме переноса пассивного скаляра (примеси) в несжимаемом течении V = го1тр(х,/):

дп/д1 + = А,Дп , (17)

где п — плотность примеси, — коэффициент микроскопической (молекулярной или кулоновской) диффузии. Один их важнейших вопросов — каков средний темп переноса (диффузионного или иного) примеси в такой системе.

Несмотря на длительный интерес к вопросам турбулентной и эффективной диффузии, данная область довольно бедна строгими результатами общего характера. Важным результатом является теорема Татариновой, Калугина и Сокола (1991) о том, что если вектор-потенциал течения ограничен < то конвективно-

диффузионный перенос (17) имеет на больших временах характер обычной диффузии, коэффициент £>* которой удовлетворяет неравенству

А> < £>" < А> + ^о/А> - (18)

[Факт того, что любая несжимаемая конвекция увеличивает поток примеси по сравнению с затравочным диффузионным,— левое неравенство в (18) — был отмечен ещё Зельдовичем (1937)).

Формула (18) определяет возможность скейлинга коэффициента эффективной диффузии V с числом Пекле Р = фа/йо ~> 1 как Б* ~ О0Ра ъ довольно широком интервале характеристического показателя 0 < а < 2, оба предела которого, как легко показать, реализуемы. Существенной частью настоящей диссертации является определение показателя а для достаточно общего класса двумерных случайных течений, имеющих приложения в различных областях физики.

1.3.1 Эффективная диффузия в вихревой турбулентности [2, 6]

Согласно современным представлениям, эволюция двумерной турбулентности характеризуется самоорганизацией завихренности в простые локализованные структуры типа монопольных вихрей. С точки зрения транспорта пассивной примеси, наиболее интересными структурами являются дипольные вихри, образуемые при близком взаимодействии монополей противоположного знака (Рис. 6)? Важность диполей заключается в том, что они движутся на большое по сравнению с их размером расстояние, увлекая вместе с собой определённый объём жидкости, ограниченной сепаратрисой. Структуры

Рисунок 6: Двумерный бегущий диполь есть локализованное возмущение скорости, имеющее сепаратрису в системе отсчёта своего распространения. Имеющиеся аналитические решения для уравнений геофизической динамики жидкости и плазмы обычно характеризуются круглой сепаратрисой (Ларичев и Резник, 1976), однако в случае общего положения форма сепаратрисы произвольна (Никандер. 1986).

такого рода возможны как в жидкости, так и в плазме [1], причём бегущие вихри могут быть как двумерными, так и трёхмерными.

Простейшей базовой моделью диффузии в вихревой турбулентности является модель газа невзаимодействующих бегущих вихрей. В работе [2] было выведено точвое выражение для тензора эффективной диффузии в такой системе:

й„ = + 1) {эти,и,) , (19)

где ц — число вихрей на единицу объёма, « — объём сепаратрисы вихря, и — его скорость, т ~ А2/Д, — время диффузии примеси в вихре с сепаратрисой размера Д, а усреднение в (19) проводится по ансамблю вихрей. Оценка результата (19) получается следующим образом. Захвативщись в вихрь, частица примеси проводит в нём время порядка г = А2/О0, за которое она переносится вихрём на расстояние ( = иг, где после вываливания из вихря частица будет медленно блуждать до захвата в ещё одна вихрь, и т.д. Это приводит к эффективной диффузии £>' ~ Ч^/т, в согласии с (19).

Отметим, что результат (19) обратно пропорционален коэффициенту затравочной диффузии О0. т.к. чем меньше диффузия, тем дальше бегущие вихри увлекают захваченные в них частицы. В терминах характеристического показателя о, диффузия на. газе бегущих вихрей соответствует максимально возможному показателю а = 2. Однако, возможны и другие режимы. В частности, если в пары объединяются монополи разной интенсивности, то результирующие "косые диполи" будут двигаться не по прямой. а по окружности. 13 итоге эффект перемешивания оказывается менее выраженным, и получается о = 1/2 [2).

17

Неоднородность среды, вызывающая нетривиальные линейные волны (волны Россби в океане и атмосфере и дрейфовые волны в плазме), приводит к возможности осцил-ляторного движения вихрей в направлении неоднородности с периодическим обменом захваченной внутри сепаратрисы жидкости с внешней средой. Такие эффекты ведут к появлению ряда новых режимов турбулентной диффузии, в том числе и не чувствительных к величине коэффициента "затравочной" диффузии Do [6].

1.3.2 Эффективная диффузия в двумерных стационарных случайных течениях [2, 10]

Хорошо известно, что распределение примеси, переносимой стационарным течением в присутствие малой "затравочной" диффузии Do, имеет резкие неоднородности вследствие формирования узких пограничных слоев вблизи сепаратрис поля скоростей. Именно в этих погранслоях, где конвективный и диффузионный члены в (17) одного порядка, сосредоточены градиенты плотности примеси, и собственно происходит перенос.

Ширива погранслоя tu определяется балансом времени конвективного обращения частиц примеси вокруг замкнутой линии тока, tc — L/v, и времени их диффузионного выдрейфовывакия поперёк линий тока, (j = w2/Dq. Из условия te = fj получаем

ш = (A>£/i>)1/5 . (20)

Исходя из того, что погранспои доминируют в эффективной диффузии, последнюю можно оценить как

= (21,

где а — характерный диаметр линий тока в погранслоях, а первый сомножитель в (21) определяет долю "активных частиц", находящихся вблизи сепаратрис. Для периодической системы конвективных ячеек, заданных, например, функцией тока ф ~ V4>sin(*j:/Ao)sin(*y/Ao), все линии тока имеют конечный размер а ~ L ~ До, и уравнения (20) и (21) дают (Дыхне, 1981; Розеиблют и др., 1987, Осипенко и др., 1987)

D' ~ (A,Vo)i/3 . Фо > А) , (22)

т.е. в этом случае а = 1/2.

В работе (2j было отмечено, что, с точки зрения геометрии линий тока, периодичность поля скоростей является сильным вырождением, снимаемым произвольным малым возмущением, и формула (22) не может служить оценкой эффективной диффузии в ситуации общего положения. Более общее течение естественно определить в терминах случайной функции тока, причём адномасштабной (см. раздел 1.2.1), топография которой попадает в класс универсальности некоррелированной перколяции. Благодаря наличию сколь угодно длинных (хотя и немногочисленных) линий тока в случайном течении, эффективная диффузия оказывается гораздо больше, при тех же V'u и Д>, чем в периодических конвективных ячейках: вместо о ~ 1 /2 получается больший характеристический показатель о = 10/13.

18

Для получения скейлинга эффективной диффузии в течении "общего положения* понятие диффузионного пограничного слоя следует обобщить на случай случайного течения. Отличие случайных течений от регулярных заключаете» в присутствии более разнообразных конвективных ячеек произвольного размера a, a также в наличии нетривиальной связи (2) и (9) между диаметром а, периметром L и шириной w ячеек. В конвективно-диффузионной задаче при большом числе Пекле Я = v''o/А) 2> 1 не все такие ячейки представляются равноправными. Бели в периодическом случае размер ячеек выделен периодом поля скоростей, то в случайном течении физически выделены ячейки с размером перемешивания а = (, соответствующим балансу времени конвективного оборота íc(a) = £(a)/ti0 и времени диффузии lj(a) = и,2(а)/Д>- Уравнение tc(() = t¿(() даёт

( = ЛоР"«"'»«» = Л0р</« . (23)

Как и ожидалось, при большом числе Пекле ( > До- Подставляя размер перемешивания в формулу (9) для ширины конвективных ячеек, из уравнения (21) окончательно получаем эффективную диффузию

D' д,я<*<«+Ч/(«<»-«> = JОаР,опз . (24)

Таким образом, эффективная диффузия в простейшем двумерном случайном течении выражается через критические показатели, v — 4/3 и ¿к = 7/4, двумерной перколяцион-ной задачи. В связи с тем, что вышеприведённый вывод носит качественный характер, попытки численного расчёта переноса в случайном поле скоростей предпринимались неоднократно, начиная с оригинальной работы [2]. Наши расчеты, проведённые для квазилериодического течения

}v

<Hx) = £A-sin( k,x + 0,) (25)

со случайными фазами и случайными направлениями к; при .V = 6 25, показали качественное согласие со скейлингом "10/13", хотя для количественного сравнения точность была недостаточна. Более убедительное подтверждение формулы (24) было представлено Черниковым и Рогальским (1993), в расчётах которых также использовалось квазйпериодическое течение с N ~ 100 и волновыми векторами к,, образующими правильную звезду. Последнее упрощение позволило заменить интегрирование дифференциального уравнения итерациями преобразования на стохастической паутине, что резко повысило эффективность кода.

Несмотря на достаточно широкий класс универсальности, покрываемого одномас-штабным случайным течением, безусловный интерес представляет задача обобщения формулы (24) на случай многомасштабных, или силыю-коррслированных течений. Такая задача была выполнена в работе [10], где были проведены аналогичные рассуждения о погранслоях, однако вместо одномаенп абной была применена много.масштабная статистическая топография (раздел 1.2.2) функции тока. Н связи с большим числом параметров (показатель Хёрста Я, инерционный интервал [АоДт], число Пекле V'o/Oo),

Ас < А < Аш = АоЛ на плоскости параметров (Я,1п I1/ 1п Л), где Р = фо/А) — коротковолновое «ело Пекле.

фазовая плоскость характеризуется семью различными режимами (Рис. 7), и эффективная диффузия определяется общим выражением О* с^ где показатели имеют следующие значения:

(0) А В С Б (т)

о 10 13 10 13 Л-я 0,-2 Я 0 2 - Яд/Я + 2 10 13

3 0 *Н<1ь + Як ."¿А -1-2 0 Я </Я<£ + 1\ 4 2 10Я 13

Режимы (0) и (ш) соответствуют диффузии в одпомасштабных течениях и 1'л„(х).

Стационарные случайные течения едва ли представляют интерес для переноса в жидкостях, однако имеют отношение к процессам проводимости в неоднородно легированных полупроводниках, квантовому эффекту Холла и электронному магнитоги-дродинамическому сопротивлению плазменных прерывателей тока. Эти приложения обсуждаются в разделах 1.4.3 и 1.5.

1.3.3 Турбулентная диффузия в двумерном квазистационарном течении [4, 15]

Движение жидкой частицы в двумерном несжимаемом течении описывается уравнениями Гамильтона, в которых функция тока 1р{х,у,1) играет роль гамильтониана. В случае

не зависящей от времени ф эти уравнения интегрируемы, частицы вечно обращаются вокруг замкнутых орбит — изолиний ф(х,у), и эффективная диффузия равна нулю при А> = 0 [см. ф-лу (24)]. Помимо затравочной диффузии Д>, возможны и другие эффекты. нарушающие интегрируемость движения и тем самым приводящие к переносу, и в первую очередь — зависимость поля скоростей от времени.

К сожалению, в смысле строгих теорем практически ничего не известно о том, когда турбулентный перенос имеет диффузионный характер в нестационарном течении при £>о = 0- Качественные рассуждения [15] говорят о том, что непериодичность во времени достаточна (но не необходима) для того, чтобы инвариантные КАМ-торы не делили фазового пространства, и тем самым диффузия Арнольда происходила беспрепятственно. Многочисленные компьютерные расчёты показывают, что практически во всех случаях с ограниченной функцией тока турбулентный перенос имеет нормальный диффузионный характер, с коэффициентом турбулентной диффузии, не убывающим с ростом амплитуды поля скоростей [15].

Положим Д> = 0 и введём характерную частоту (обратное кор!>еляционное время) и> ~ ФЦ'- Тогда, вместо числа Пекле, задача характеризуется новым безразмерным параметром

Я = и/(Л0и>) , (26)

обычно называемым числом Кубо. Коэффициент турбулентной диффузии из соображений размерности можно записать в виде О' = \luifiR). В обычных жидкостях, описываемых уравнением Навье-Стокса или его модификациями, характерная частота и обычно порядка частоты оборота вихря г/А0, так что число Кубо порядка единицы. Как отмечается в разделе 1.4, в различных видах плазменной ту(>булентности число Я не обязательно привязано к единице и может быть как малым, так и большим.

Случай Я 1 соответствует высокочастотным случайным осцилляциям пата скоростей и описывается в рамках квазилинейной теории (Кадомцев и Погуце, 1978; Кром-мес, 1378). Благодаря быстрой декорреляции за время ~ и^"1 турбулентная диффузия пропорциональна квадрату скорости:

О' ~ (г/и.-)2*.' = Х^й2 , П < 1 . (27)

Низкочастотный случай Я> 1 естественно назвать перколяционпым, поскольку частицы движутся влоль почти неизменных изолиний >.'(.г,!л'), и диффузия чувствительна к топографии функции тока. Как и в случае большого числа Пекле (раздел 1.3.2), следует также ожидать, что при большом числе Кубо длинные траектории доминируют в турбулентном переносе.

Оценка ту!>б>.1«'нтной диффузии в перколяциокном пределе требует определения соответствующего ра)мера перемешивания максимального когерентного смещения частицы. Нарушение когерентности связано с процессом пересоединения сепаратрис, который меняет топологию линий тока и форму траектории частицы [1'нс. 10 (а)]. Движение сёдел в вертикальном направлении происходит со скоростью порядка у'о^, и полная декорреляиия в движении частицы, находящейся на линии тока диаметром а, наступает тогда, когда перезамыкаю:чя все сепаратрисы конвективной ячейки с размером

а. Поскольку перепад функции тока пропорционален ширине конвективной хчейки (9), получаем следующее время декорреляции:

т(а) = u>(a)/(V<) ос а"1'" . (28)

Теперь размер перемешивали« £ можно получить из соотношения vt(() = от" куда, с учётом формул (28) в (2),

f = = А„Я4'10 . (29)

Аналогично рассуждениям раздела 1.3.2, коэффициент турбулентной диффузии оценивается как

D' ~ w({) = A= д^я'/.о ) R > i (30)

Таким образом, показатель степени, в которую возводится большой параметр задачи, оказывается выражен через универсальные двумерные перколяционные показатели.

Как в в случае стационарного течения при большом числе Пекле, в перколяционном режиме Л > 1 доминирующая доля транспортных потоков сосредоточена в (эволюционирующей) узкой фрактальной области пространства, соответствующей перемешивающим конвективным ячейкам с размером (29). Это приводит к существенному замедлению роста диффузия с амплитудой Я (30) по сравнению с квазилинейной зависимостью (27).

Сильная перемежаемость транспортных процессов в перколяционном режиме делает весьма затруднительным развитие каких-либо регулярных метопов типа теории возмущений для аналитического вычисления турбулентной диффузии. Наличие малого (ширина паутины ос Я"3'10) в большого (длина перемешивания ос Я1'10) размеров одновременно делают численные расчёты D' довольно ресурсоёмкими при R \. Существующие численные расчёты диффузии в двумерных случайных нестационарных течениях в основном проводились для квазипериодических гамильтонианов типа (25). Мисгшп и др. (1988) использовали N ~ 1000 при периодической зависимости от времени. Их результат качественно подтвердил скейлииг "7/10", хотя диапазон числа Кубо был недостаточно широк для количественного сравнения. В работе [15] были проведены детальные расчёты для Шестиволнового гамильтониана с квазипериодической зависимостью от времени. Из-за наличия длинных корреляций квазикристаллического типа функция тока (25) при малых А' не принадлежит к перколяционному классу универсальности, что отразилось в отличном от (30) скейлинге для N = 6: D' ос Я0 92. При увеличении N скейлинг должен стремиться к перколяционному: так, Оттавиани (1992) получил зависимость D' ж Я0 80 для А' = 64.

1.3,4 Хаотическая адвекция к колмогоровская энтропия [4, 15]

Как отмечено в предыдущем разделе, движение частиц примеси в двумерных нестационарных течениях неинтсгрируемо не только в том смысле, что нет никакой возможности выписать в явном виде траекторию частицы, но главное — в смысле хаотического поведения этих траекторий. Явление динамического хаоса, лежащее в основе необратимого

диффузионного переноса, заключаете! прежде всего в экспоненциальном нарастании малых отклонений траекторий от близлежащей реперной траектория. Количественно хаос характеризуете« лапуновскими показателями (инкрементами нарастания кнфини-тезимальных ошибок) либо усреднённым параметром колмогоровской энтропии:

*=Ит Ит /им,

1-оо|4«,|-в\< ||5х(0)| /

где 6х(1) обозначает расстояние между двумя близкими орбитами, удовлетворяющими уравнению движения

Ас/А = у(х,<) , (32)

а среднее под логарифмом в (31) берётся по начальным условиям х(0) в рассматриваемой области пространства. Помимо общей характеристики хаоса, колмогороаская энтропия К также входит в формулу для эффективной электронной теплопроводности в стохастическом магнитном поле (раздел 1.4.2).

Величина (31) для двумерного случайного течения в квазилинейном пределе Л < 1 была вычислена Кадомцевым и Погуце (1978) и Кроммесом (1978) при помощи анализа уравнений для моментов линеаризованной версии (32):

А'~шДг, Я«1. (33)

В перколяикониом же пределе этот метод неприменим из-за нерасцепляемости корреляторов. В работе [4) впервые был предложен новый, геометрический метод определены колмогоровской энтропии, основанный на рассмотрении не столько пар близких лагран-жевых точек, сколько целой "жидкой кривой". Идея заключается в том, что, в отличие от пары точек, расстояние между которыми вскоре становится конечным, непрерывная жидкая кривая в любой момент времени состоит из бесконечно близких точек, в том числе и при / —» ос. Таким образом, скорость растяжения длины жидкой кривой в точности (14) даёт колмогоровскую энтропию в той области, где эта кривая расположена.

Простейший пример вычисления К с помощью такого метода — для случая периодического, во времени и в пространстве, плоско-параллельного течения, периодически изменяющего свою ориентацию (Рис. 8). Во время первой половины периода изначально горизонтальная жидкая кривая приобретает вид пилы с высотой зуба порядка о/ш. Затем, за второй полупериод каждый первичный зуб превращаете* во вторичную пнлу, и так далее. В результате получаем удлинневие кривой по экспоненциальному закону С{1) ~ £(0)(и/Ло->)'', что соответствует инкременту [15]

А' ~ и 1п Д , Я»1. (34)

Логарифмическая зависимость К(И) была численно обнаружена Клевой н Дрейком (1984) для функции тока ф = /?[ссге х сое у — сзшхсоз(у — 1)] при Я > 1, топология незамкнутых линий тока которого соответствует изображённой на Рис. 8.

Для случайного поля скоростей картина растяжения лагранжевой кривой более сложная. Этот процесс определяется следующими эффектами: зацепление кривой за сёдла

(31)

23

(Ь>

Рисунок 8: Экспоненциальное растяжение жидкой кривой в течении с периодически изменяющейся топологией имеет вил "пилы". Поле скоростей имеет вид "вверх-вниз-...* в течение первого полупериода и "вправо-влево-..." в течение второго полупериода.

поля скоростей, вытягивание кривой в каналах между сепаратрисами и, самое главное, пересоединение сепаратрис. Причина зацепленности жидкой кривой за сёдла проиллюстрирована на Рис. 9, а механизм перезамыкания сепаратрис с вытекающим из него складыванием и растяжением жидкой кривой показан на Рис. 10. Благодаря плотному распределению сёдел случайной функции тока по высоте пересечение сепаратрис в случайном течении происходит горазда чаще, чем в пространственно-периодических течениях. В одномасштабном течении расстояние между соседними сепаратрисами определяется площадью ~ Ад на седло, откуда характерное время перезамыкания соседних сепаратрис длиной порядка I. составляет г,(/.) = А0//.- Строго говоря, из-за наличия сколь уголно длинных линий тока пересечения сепаратрис в таком течении происходят бесконечно часто. Однако для заметного растяжения жидкой кривой имеют значения лишь такие сепартрисы, за время пересоединения которых жидкая кривая успевает замотаться вокруг них на полный оборот: г'Т,(Ь) = Л. Отсюда находим длину этих, наиболее существенных для хаотического растяжения, сепаратрис: ¿д = А0Я''2. откуда получаем колмогоровскую энтропию в случайном течении для перколяционного предела [4]

К ~ 1п Я , Я» I . (Зо)

Обращает на себя внимание то, что колмогоровская энтропия (К) не зависит о г перколяционных показателей и, тем самым, должна быть мало чувствительной к наличию длинных корреляций в поле скоростей. И действительно, численный расчёт А для шестиволнового гамильтониана, проведённый в [ 1 ■>], показа.'! согласие е корневой

24

Рисунок 9: Взаимодействие жидкой кривой с седловой точкой пол* скоростей сводится к "прилипанию" кривой к седлу. Тонкими линиями со стрелками показаны линии тока, пунктирная линия показывает начальное положенно жидкой кривой.

Рисунок 10: Экспоненциальное растяжение жидкой кривой в случайном течении происходит благодаря пересечению сепаратрис (а), хогла растянутые части кривой "повисают" на седлах и далее растягиваются многократно сложенные (!>)■ Дня простоты сепаратрисы показаны распрямленными с подразумевающимся периодическим условием ь вертикальном направлении.

зависимостью (35), хот* скейлииг турбулентной диффузии заметно отличался от пер-коляционного результата (30).

1.3.5 Аномальная диффузия [10, 14]

Диффузионное случайное блуждание (х2) ос £ является не единственным видом турбулентного либо эффективного переноса в случайых средах. Довольно широкий класс транспортных процессов относится к категории аномальной диффузии. В данном контексте аномальная диффузия понимается не как нормальная с повышенным коэффициентам, а как неднффузнонный случайный процесс переноса с

где ( 1/2 — показатель аномальной диффузии. Случай £ < 1/2 обычно называют субдиффузией, а ( > 1/2 — супердиффузией. Даже в тех случаях, когда при f Э> т„ транспорт в системе нормально диффузионный, на временах меньше времени переме-tuveaxui т„ возможны аномальные режимы.

Супердиффузия Как следует из теоремы Татариновой, Калугина и Сокола (раздел 1.3), асимптотически супердиффузионный перенос возможен лишь при бесконечном r¡>m^/Do, т.е. либо в отсутствие затравочной диффузии, либо при неограниченной функции тока.

Простейший пример последней возможности был предложен Дрейзиным и Дыхне (1972) для плоско-параллельного течения \!> = ф(у), Фх a Л1'2, для которого ( = 3/4. В более общем случае ф>> сх А" этот результат получается благодаря диффузионному расплыванию примеси в ¡«-направлении по закону A,(i) ос i1'2: тогда для дисперсии в х-направлении получаем Ar(t) -a t>A,(i)i ос [A,(i)]""' ос jC+W. При 0 < Я < 1 это соответствует супердиффузии с 1/2 < С < 1В работе [10] было получено обобщение этого результата на случай изотропного двумерного случайного течения с таким же спектром ос А""1. Здесь благодаря изотропии переноса имеем A(í) ~ откуда получаем С, = 1/(2 — Я). Применимость данного режима, однако, ограничена областью С на диаграмме Рис. 7. В частном случае "манхэттанского" течения ф = + K'tiv) с Я = 1/2 результат С = 2/3 был получен Бушо и др. (1990).

Формула (36) оперирует средними по ансамблю случайных течений. В то же время представляет интерес перенос примеси в "типичном" случае, т.е. для типичной реализации течения и при типичном начальном положении пятна примеси. Такая постановка впервые рассматривалась в работе [10] и далее развивалась в [14], где было показано, что "типичное" и "среднее по ансамблю" — не одно и то же. Рассмотрим в качестве примера многомасштабное течение ф\ = ^о(А/Ао)н, типичное начальное положение в котором соответствет относительно короткой линии тока с диаметром a ~ А0. Тогда, по мере диффузионного расплывания пятна примеси, всё большие и большие линии

(36)

тока окажутся покрытыми примесью. Если к моменту времени ( характерный (среднеквадратичный) размер пятна составляет А, то максимальный доступный размер линяй тока того же порядка. Тогда, вместо формулы (21) мы можем ввести "парциальную диффузию"

Рх — Р(А) -ДьЩ, Ао < А < ^ , (37)

ш2(А )/£>0 ш(А)

переходящую » В' = В; при А > {. Парциальная диффузия (37) определяет как эффективную (при А(() > (), так и аномальную (при А(() < () диффузию согласяо закону расщгывания пятка

А *(1)~£ох{1)Л. (38)

С учётом топографических формул (16) и (15) из (38) получаем супердиффузионный закон А(<) ^ Ао(А>'/А2)с> где

7 ■>£■ (39)

^ г + Н-йк 10Я + 4 2

Аналогичная супердиффузия была найдена для нестационарных многомасштабных течений [14], где аналитический результат согласуется с численными результатами Осборна и Капонио (1990).

Субдиффузия В отличие от супердиффузии, субдиффузия в конвективно-диффузном ной задаче возможна лишь в течение ограниченного времени перемешивания гт и ял* специальных начальных условий (на сепаратрисе либо на длинных линиях тока). Первый пример субдиффузии рассматривался Янгом (1988) и Помо и др. (1988) для периодической системы конвективных ячеек, на сепаратрису которой в начальный момент времени помешается пассивная примесь. Для ячеек, в которых скорость конвекции на сепаратрисе конечна, они получили нелокальное уравнение субдиффузии

(ЯГ*-™- 7.«<40>

> котором п, обозначает плотность примеси на сепаратрисе, а оператор дробного двф-|>еренцирования является в действительности интегральным:

'равнение (40) описывает двойную диффузию с С = 1/4, соответствующую масштабу ременн, на котором примесь ещё пе заполнила внутренность конвективных ячеек, хотя роникла на глубину много больше ширины погранслоя (20).

В работе (10] этот же результат был получен с использованием аналогии между роцессом распространения примеси по сепаратрисной сетке с потерей внутрь ячеек,

27

W

Рисунок И: Диффузия пассивной примеси по периодической системе конвективных ячеек аналогична диффузии по структуре типа расчески, в которой длина зуба порядка размера ячейки, а расстояние ыежду зубьями на основании расчрски порядка ширины диффузионного погран-слоя.

с одной стороны, и диффузией по "расчёске", зубья которой аналогичны внутренностям ячеек, а основание — решётке сепаратрис (Рис. 11). Такая аналогия позволила обобщить результат (40) на случай случайных течений. Отличие последних от периодической системы заключается прежде всего в том, что сепартрисы случайного течения многочисленны, и, по мере продвижения диффузионного фронта от длинных линий тока к коротким, он разделяется на два новых фронта на каждой новой сепаратрисе (Рис. 12). Таким образом, зубья расчёски, соответствующей случайному

Рисунок 12: Диффузионное дерево пассивного переноса в топологически сложном течении (ветви дерева показаны жирными). Поскольку каждая невырожденная сепаратриса делит плоскость на две внутренние и одну внешнюю (откуда приходит диффузионный фронт) области, точки ветвления диффузионного дерева являются Г-точками.

течению, имеют древообразную структуру. Как показано в [10], диффузионное дерево можно охарактеризовать некоторой размерностью 6, так что полная площадь 5, покрытая распространяющейся примесью, ф|клп когорой проник на расстояние I поперёк линий тока (вдоль каждый ветви де[>ева), ведет себя как S(/) ос /4. Для периодического течения очевидно имеем 6 = 1. Для одномасштабного случайного и.'чениа, благодаря ветвлению, размерность диффузионного дерева больше единицы и выражается через перколяционные показатели:

г = 1+«-(2-^) = 4/ 3. (42)

28

Закон субдиффузии возникает благодаря уменьшающейся во времени доли активных (т.е. расположенных в перемешивающих конвективных ячейках размера £) частиц:

7(0 = К Г*'2 . (43)

Величина т) уменьшается не неограниченно, а лишь до тех пор (( = т,„ ~ А^/Оц), пока все "дыры" в конвективных ячейках не заполнятся примесью квазиравномерно. До тех пор закон распространения примеси соответствует эффективной диффузии по паутине перемешивающих конвективных ячеек, с поправкой на потерю частиц из этой паутины:

С учётом (42) формула (44) соответствует "тройной" диффузии с С = 1/6. Аналогично уравнению (40), уравнение тройной диффузии также может быть приведено к нелокальному виду с участием интегрального оператора (с'/ЗО''3'

Следует отметить, что вышеприведённые результаты для субдиффузии в случайных течениях также относятся к категории типичного (в прттпвоположность среднему по ансамблю) поведения. В задачах такого типа усреднеение по ансамблю может дать результат с ограниченным физическим смыслом. Так, в [14] проанализирован пример конвекции пассивной примеси в двумерном стационарном случайном течении в отсутствие молекулярной диффузии. Типичное поведемте частицы — тривиальное вечное обращение вокруг замкнутой линии тока с размером, как правило, порядка А0. Усреднение же по начальным условиям, или. что то же самое, по ансамбли) течении, повышает роль немногочисленных длинных линий тока. Усредняя характерное смещение частицы, находящейся на линии тока размером а, за время (,

т,„ л _ 1 АоИ/Ао)'/"* , * < Ца) = Ао^/Ао)"» , "

0 — | а ^ 1,1>Ца), (45)

по функции распределения (10), получаем среднеквадратичное смещение

= (46,

Таким образом, в среднем по ансамблю получаем неограниченную субдиффузик^с С = 1 /2 — 1/(21'(¡¡¡) = 2/7. которая имеет довольно дальнее отношение к тому, что происходит в каждой конкретной реализации. Субдиффузия (46) численно наблюдалась Крейкна-ном (1970) при усреднении по ~ 1000 реализаций гауссовых течений с экспоненциально спадающим (т.е. одномасшгайным) коррелятором.

1.4 Процессы аномального переноса в плазме

Вышеприведенные результаты выглядели бы слишком абстрактно, если Си не было конкретных физических систем, к которым перколяционная диффузия была бы применима. Благодаря теоретической общности прйлг.мы транспорта в двумерных течениях её приложения довольно многогранны. В этом разделе мы кратко обсудим три задачи о переносе частиц, тепла и электрического заряда в ту|>бул(чпнон плазме.

1.4.1 Диффузия электронов из-за турбулентных электрических дрейфов ¡5, 12]

Дрейфовая турбулентность плазмы считается одним из основных факторов, приводящих к аномальной утечке частиц и тепла в токамаке. Коллективные электростатические колебания играют роль макроскопических рассеивающих центров, транспортный эффект которых существенно превышает эффект микроскопических кулоновскнх соударений. Распределённый характер взаимодействия частиц с турбулентными полями также отличается от характера двухчастичного взамодействия. Как и в случае кулоновскнх столкновений, сильное магнитное поле уменьшает диффузию частиц поперёк своего направления, однако не всегда в той же "классической" пропорции ос В'1.

Движение электронного ведущего центра в скрещенных полях описывается в главном приближении Е х В дрейфом:

<Ы Е х В

= I-1, е, + с —р5— - (47)

В однородном магнитном В = Вое, а случайном электрическом Е = — () полях уравнение (47) описывает несжимаемую двумерную "конвекцию" с функцией тока

(*, У, * + £ <) ■ (48)

Поскольку характерная частота ц/ = тах(ц>.,кц иц), в которой и. ~ \д\пф/Ш\) и ¿у ~ вообще говоря, не связана прямо с амплитудой потенциала фо и зависит от продольной скорости частицы иц, число Кубо

может быть как малым, так и большим, причём разным для разных частиц. Так, например, если для тепловых электронов Я £ 1, то может существовать группа частиц с малыми продольными скоростями, которые диффундируют перколяционно (Я » 1). Убегающие же электроны попадают в квазилинейную область (Я < 1), причём чем быстрее частицы, тем лучше они удерживаются: О' ос г^2. В целом же турбулентная диффузия определяется по порядку величины формулами (27) и (30), усреднёнными по фувкции распределения /(иц) с учётом формулы (49).

Согласно некоторым экспериментальным представлениям, Е х В транспорт является доминирующим в пристеночной части токамаков, где сильные градиенты приводят к заметному уровню дрейфовой турбулентности. Ближе к центру плазменного шнура большую роль начинают играть нерегулярности магнитного поля, возникающие из-за неидеальности тороидальных обмоток либо турбулентности непотенциальных мод.

1.4.2 Теплопроводность плазмы в "заплетённом" магнитном поле [7, 8]

Анизотропия электронной теплопроводности в токамаке, выраженная в отношении параллельной и перпендикулярной теплопроводностей Хц/Х^, достигает многих порядков

30

величины, и потому даже незначительное изменение топологии магнитных силовых линий по сравнению с идеальными магнитными поверхностями способно заметно ухудшить удержание энергии.

В нулевом приближении и частицы и тепло распространяются вдоль магнитного поля. Если последнее содержит малую случайную составляющую, В = Во е, + ¿Вх(х), = го1[Лц(х)е,], то уравнение магнитной силовой линии

«

математически эквивалентно несжимаемой конвекции силовых линий в плоскости (х,у), проистекающей во "времени* г с функцией тока ф(х±,г) = Ац(х1>г)/В0. Диффузия магнитных силовых линий Ар, вызванная такой конвекцией, имеет размерность длины:

(х1)=4 0тг. (51)

Числом Кубо для данной задачи является комбинация

в которой Ац,х обозначают корреляционные размеры магнитных флуктуации вдоль и поперек иевозмушённого поля соответственно. Несмотря на значительные экспериментальные трудности определения корреляционных размеров, в особенности продольного, считается, что характерное число (52) в токамаках может достигать единицы и более.

Помимо числа Кубо, имеется ещё ряд параметров плазмы, определяющих режимы плазменной теплопроводности в "заплетённом" магнитном поле. Количество физически различных режимов довольно велико (7, 8), однако в наиболее практически интересном пределе редких столкновений результат весьма прост.

Теплопроводность в бесстолкновительном режиме В бесстолкновительном пределе электроны движутся практически свободно вдоль магнитных силовых линий: г — г,/. Тогда, в силу (51), (х') = \Рт1'е1, т.е. электроны (точнее, тепло, переносимое имя) диффундируют поперёк В0 с коэффициентом (Речестер и Розенблют, 1978; Кадомцев и Погуце, 1978)

XI = /)„>'« , (53)

где ve означает электронную тепловую скорость. Таким образом, если магнитный флаттер характеризуется малой амплитудой, соответствующей квазилинейному пределу Я < 1, то теплопроводность плазмы в бесстолкновительном режиме пропорциональна (¿11 ¡_/Н»)2. В перколяционном же пределе Я> 1 (также известного как предел сильной турбулентности) имеем <х (¿Сх/Во)7'10.

Согласно формуле (53), более энергичные частицы должны быстрее теряться из плазмы. Экспериментально, однако, известно, что удержание надтепловых электронов лучше, чем тепловых. 'Это, по всей видимости, означает, что в периферийной зопе тока-мака, где в основном производятся транспортные измерения, эффекты стохастического

магнитного поля менее существенны, чем турбулентные дрейфы на электростатической турбулентности. Впрочем, существует и теория (Минин' и Страхам, 1986), согласно которой эффекты конечного ларморовского радиуса усредняют магнитные возмущения, и более энергичные частицы менее склонны следован, точным стохасги шрованным силовым линиям, что также приводит к лучшему удержанию над тепловых электронов.

Теплопроводность в столкновительном пределе Движение электронов вдоль магнитного поля является свободным баллистическим лишь на протяжении характерного времени столкновений тг. по прошествии которого продольное движение частиц переходит в диффузионный режим: (г2) = 2Хц4. Совместно с уравнением (51) это даёт субдиффузионный перенос

((х1>а) = 32 0Д\„1, (51)

иногда называемый двойной диффулий (Кроммес, Оберман и Клева. 1983). Физика этого явления не имеет ничего общего с двойной диффузией в периодических конвективны ячейках (раздел 1.3.5) и происходит из-за зацепленности двух геометрически связанных случайных процессов: диффузии частиц вдоль силовых линий и диффузионного блуждания самих этих линий. При наличии какого-либо декоррелирующего механизма, разрывающего жёсткую связь этих двух эффектов, двойная диффузия перейдёт в обычную. Примерами такого декоррелирующего механизма являются поперечим диффузия Х^, либо зависимость магнитных возмущений от времени. (Последний из этих механизмов был впервые рассмотрен в [7, 8]).

Как отметили 1'ечестер н 1'озенблют (1978) и Кадомцев и Иогуце (1978), даже малая поперечная диффузия может иметь существенный эффект благодаря стохастической неустойчивости магнитных силовых линий. При этом время декорреляции можно оценить как время, необходимое для того, чтобы электрон покинул силовую трубку магнитного поля, построенную на кружке радиуса Ах вокруг начального положения электрона. Из-за стохастической неустойчивости магнитных силовых линий, характеризуемой колмоюровской энтропией (31), толщина силовой трубки экспопециально убывает с И1>одольным смещением (Рис. К1):

«.■(^-Ахгх^-ЛН), (55)

где колмогоровская энтропия /\ имеет размерность обратной длины. Таким образом, наиболее легко декорреляция частицы достигается путём быстрой продольной диффузии на расстояние где уменьшившаяся толщина силовой трубки (55) позволяет столь же быстро покинуть трубку путём медленной поперечной диффузии. Нремя перемешивания гт и продольный размер перемешивания определяются условием

= (50,

<11 и

откуда получаем

«■«¿шфк'А!). (57)

32

Рисупок 13: Трубка стохастического магнитного поля имеет экспоненциально изрезанную поверхность благодаря стохастической неустойчивости силовых линии, приводящей к экспоненциальному возрастанию периметра трубки С(г) ~ А^е*!1' при е5 постоянном сечении. В итоге толщина стенок трубки ведёт себя обратно пропорционально периметру С{г).

Эффективная поперечная теплопроводность оценивается по формуле

содержащей как коэффициент диффузии магнитных силовых линий 1>т, так и их кол-могоровекую энтропию К.

При попытке расклассифицировать физически различные режимы выявляются десятки таковых, в особенности в перколяционном пределе Я 2> 1, где электрон может декоррелировать с магнитной силовой линии ещё до того, как последняя проявит диффузию От, т.е. по сути пребывает в состоянии аномальной диффузии (раздел 1.3.5). Полная классификация всех режимов проделана в статьях [7, 8], где также проведён критический анализ литературы, посвящённой режимам эффективной электронной теплопроводности в случайном магнитном поле. Наряду с найденными новыми режимами, обнаружено, что ряд ранее опубликованных ("жидкостный предел", "двухпотоковый". и "режим Кадомцева-Погуце") не имеют пределов применимости в стационарном заплетённом магнитном поле. Там же показано, что аналоги некоторых из этих "лишних" режимов всё же появляются, если учесть эффекты нестационарности магнитных возмущений.

1.4.3 Электронное магнитогидродинамическое сопротивление плазмы (3,

Электронная магнитная гидродинамика (ЭМГ) используется как приближение для описания импульсной плазмы начиная с работ Гордеева и Рудакова (1968), Морозова и Шу-

(58)

И]

33

бина (1964) и Брызгалова и Морозова (1965) Основные ЭМГ-эффекты связаны с сильным электронным эффектом Холла, причём движение ионов для многих целей можно вообще не учитывать. В последние 5-10 лет интерес к ЭМГ возрос после того, как выяснилась существенная роль, играемая ЭМГ-эффектами в работе г-пинчей (Чернов и Яньков, 1982) и плазменных прерывателей тока (Чукбар и Яньков, 1988). Обзор электронной магнитной гидродинамики был дан Кингсепом, Чукбаром и Яньковым (1987). Одним из наиболее важных ЭМГ-эффектов является ЭМГ-сопротивление, которое, по-видимому, определяет стадию подъёма сопротивления в плазменных размыкателях.

Один из способов понять эффект ЭМГ-сопротивления основан на идее вморожен-ности магнитного поля в электроны, которые, таким образом, увлекают магнитную энергию вместе с собой и диссипируют её при натекания на такие препятствия как неоднородность плазмы либо её границы. Так, если вся магнитная энергия, созданная протекающим через плазму током, дпсснпирует на аноде, то это соответствует ЭМГ-сопротивлению, вычисляемому по формуле Чукбара-Янькова:

R = 30^ (П) , (59)

в которой и — некоторая средняя токовая электронная скорость, а с — скорость света. Формула (59) определяет лишь границу снизу на сопротивление плазмы, поскольку к (59) ещё следует добавить объёмное ЭМГ-сопротивление, вызываемое внутренними неоднородностями плазмы.

При двумерном протекании тока магнитное поле В = В(х,у,t)e, в плазме описывается конвекцией (из-за эффекта Холла) и диффузией (из-за конечной кулоновской проводимости плазмы):

+ = , (60) <71 4ire rt

где п(х,у) — стационарная ионная плотность, s. Do — c?/{4zcr) — кулоновск.тл диффузия магнитного поля вследствие конечной проводимости а. Несмотря на нелинейность конвективного члена в (60), топология линий тока полностью определяется профилем неоднородности плазмы п(х,у), и развитые выше методы определения эффективной диффузии D' могут быть применены с незначительными модификациями. Кроме того, учёт трёхмерных неоднородностей, включая границы плазмы, также может быть включён в общую конвективно-диффузионную схему ¡3]. Коль скоро эффективная диффузия D' магнитного поля найдена, тем самым оказывается решена и задача определения эффективной проводимости er" = с2/(4тгD').

Помимо конвекции-диффузии магнитного поля, возможен иной подход, основанный на конвекции-диффузии электростатического потенциала. Математический формализм при этом несколько более общий и также покрывает ряд приложений в физике твёрдого тела. В связи с этим методы вычисления эффективной Проводимости более подробно рассмотрены в разделе 1.5.

1.5 Проводимость неоднородных холловских сред

Важность задачи об усреднённой проводимости неоднородной либо случайной среды подчёркивается тем фактом, что большинство встречающихся в природе проводников гетерогенны (поликристаллы, смеси, случайные примеси и т.д.). Не следует также забывать, что сама граница среды является особым случаем неоднородности, также влияющей на её импеданс в зависимости от геометрии электродов.

Задача об эффективной проводимости, поставленная ещё Максвеллом (1873), формулируется следующим образом. Микроскопические безвихревое электрическое поле е(х) и бездивергентная плотность тока .¡(х) связаны локальным тензором проводимости £(х):

^х) = <г(х)е(х). (61)

Требуется найти эффективную проводимость а', связывающую средние электрическое поле Е = (е(х)) и ток Л = (}(х)):

Л = У Е . (62)

В незамагниченной среде, где тензор проводимости симметричен = ст,,), задача об усреднении проводимости не относится к категории конвекции-диффузии, хотя одно из первых приложений теории перколяции было связано со случайной смесью проводника и диэлектрика (Киркпатрик, 1973), в которой происходит фазовый переход ■ изолятор-проводник на пороге перколяции по проводящей фазе. В точности на перколя-ционном пороге в двумерном случае задача о двухфазной системе обладает замечательной симметрией (Келлер, 1964; Дыхне, 1970), позволяющей точно расчитать эффективную проводимость для любых проводимостей фаз. Тот же метод допускает расширение на случай ограниченных осесимметричных однородных образцов с эффектом Холла [13] а теплопроводности в двумерном случайном магнитном поле [8].

1.5.1 Аномальное сопротивление случайно-неоднородных холловских сред [11]

Дрейзин и Дыхне (1972) отметили, что если проводимость ^(х) имеет флуктуирующую антисимметричную (холловскую) составляющую — (ац — <г^)/2, то микроскопический закон Ома математически эквивалентен стационарному уравнению конвекции-диффузии для электростатического потенциала;

- V (63)

где

<">

представляет собой некоторое несжимаемое поле "скорости", а = (<г,,- + <гУ»)/2 — симметричная (омическая) часть проводимости. Аналогично конвекции-диффузии магнитного пол* (раздел 1.4.3), эффективная диффузия Р* потенциала Ф в поле скоростей

35

(64) немедленно даёт эффективный тензор проводимости исходной задача:

= 5' + {&') . (65)

Случай изотропных флуктуацнй (Ац = Ах) холловской проводимости ¿-"(х) был рассмотрен Дрейзиным и Дыхне (1972), которые показали, что в пределе сильного магнитного поля сопротивление такой среды растёт пропорционально В2'3. Физика такого избыточного сопротивления заключается в том, что флуктуации холловской проводимости (сами по себе не влияющие па омическую диссипацию) приводят к сильно запутанным (вытянутым вдоль магнитного ноля) линиям электрического тока, что повышает среднее омическое сопротивление такой среды.

Случай аниэот[х>пных неодиоролностей, вытянутых вдоль внешнего магнитного поля (такая модель более интересна для объёмного ЭМГ'-сопротивления плазмы), проанализирован в работе [11]. В двумерном пределе Ац/А^ —> оо течение (64) соответствует числу Пекле

Р = /ЗД , (66)

где /3 = и»вте 2> 1 — параметр Холла, а Д — относительная амплитуда флуктуа-ций холловской проводимости. Тогда из формул (24) и (65) получаются следующие эффективные проводимость и параметр Холла двумерно-неоднородной системы с одно-масштабными флуктуациями:

с' * сг(МГ10/13 , ~ ^/1эд-10/1з (67)

Таким образом, для плавных двумерных неодпородностей эффективное сопротивление холловской среды р" = 1 /о' пропорционально В10'13. Результат (67) приобретает в последнее время особенный интерес в связи с новыми аспектами дробного квантового эффекта Холла (Шкловский, Рузин, Лыхне; 1993), в котором случайные неоднородности сочетаются с истинно двумерной геометрией благодаря квантовому вымораживанию третьей степени свободы электронов.

При промежуточных значениях параметра анизотропии Ац/А^ возможны ещё несколько режимов эффективной проводимости, также выражающихся через перколяци-онные показатели. Каждый из этих режимов характеризуется своими продольным и поперечным размерами перемешивания, и если размер образца оказывается меньше этих размеров, то проводимость образца проявляет различного вида размерные эффекты [11].

1.5.2 Магнитосопротнвление двухполюсников и "линейный закон" Капицы [13]

Случай резких неодпородностей, рассмотренный Дыхие (1970) на модели двумерной двухфазной системы в сильном магнитном поле, предсказывает линейный рост сопротивления: р' х В. В работе [13] было отмечено, что такое поведение магнитосопроти-вления гораздо более универсально, чем предположения, делаемые для применимости

36

симметрийиого метода Дыхне. В частности, сама граница однородного обрата является той резкой неоднородностью, которая в пределе сильного .эффекта Холла приводит к линейному росту магнитосопротивлешш.

Начиная с пионерских экспериментов Капицы (1928, 1929), измерение магнитосопротивления металлов и полупроводников было одним из важных методов изучения электронной структуры, топологии поверхности Ферми и т.д. В зависимости от последней, поведение поперечного омического сопротивления />i в сильном магнитном поле характеризуется либо насыщением, либо квадратичным ростом (Азбель и Каганов, 1939), причём поликристаллические эффект ы добавляют к упомянутым скейлингам лишь возможности р ос д2/7 и B4/:i (Дрейэип и Дыхне, 1972). В свете такого положения дел экспериментальный результат Капицы р± ос В выглядел несколько загадочно, да и не был воспроизведён в более поздних экспериментах (обзор теории и эксперимента по магнитосопротивлетшю был дан в монографии Ииппарда, 1989). Обьяснеиие "линейного закона" Капицы, данное в [13], заключается в том, что в его экспериментах (Bi, As, Sb и т.д.) токовые и потенциальные контакты были совмещены на одних и тех же серебряных электродах, что привело к образованию тонких токовых слоев вблизи электродов и сответствуюшему возрастанию измеряемого импеданса образца. Таким образом, 3<jx[)eKT, родственный ЭМГ-сонротивлению плазменных прерывателей тока, привёл Капицу (1928, 1929) к наблюдению "линейного закона" поперечного магнитосопротивления в полуметаллах, ошибочно принятого им за микроскопическую суть вещей, а в действительности происходящего из неудачной двухполюсной схемы эксперимента.

В пределе сильного магнитного поля, когда компоненты микроскопического тензора сопротивления

(Рп Ps, 0 \

P« о (68)

О 0 р„ )

удовлетворяют неравенству ргг, импеданс R двумерного двухполюсника с иде-

ально проводящими электродами определяется универевльнрой формулой

R = \Ply\ , (69)

родственной формуле (59). С точностью лишь до геометрических факторов формула (69) справедлива и для произвольных трёхмерных двухполюсников в сильном магнитном поле. Физика того, что бездиссипатнвиое холловское сопрот ивление определяет тмпеданс образца заключается в геометрии щютеканин тока, который, н силу vpa-шчных условий на идеальных электродах, подходит к последним под малым углом ? = pst/pr]l, образуя тем самым область высокой диссипации (токовый слой) толщн-юй порядка /.pn/ptv Аналогичные токовые слои образуются также около свободных юверхностей, если форма образца не удовлетворяет специальным условиям симметрии.

В [13] предсказан эффект дополнительного конграгировапия тока в объёме хол-ювекого проводника общей трёхмерной формы. Токовые слои второго рода имеют олыцую ширину ~ Цргг/РщУ^однако они уже не зависят от геометрии электро-;ов и присутствуют всегда, когда холловское сопротивление существенно превышает

37

омическое. Такие эффекты способны интерферировать даже с аккуратно поставленными экспериментами по магнитосопротивлению и должны приниматься во внимание во избежание всякого рода артифактов.

В работе [13] также показано, как ошыетрийный метод Дыхне можно применить для точного вычисления сопротивления двумерного осесиммегричного холловского двухполюсника, свободные поверхности которого зеркально симметричны электродам, и наоборот. Для таких образцов импеданс определяется формулой

при произвольном отношении />„/рту.

Используя метод конформных отображений, можно сильно расширить класс форм двумерных образцов, для которых магпитосопротивление, включая его формоьые эффекты, считается точно.

Выводы

1. Теоретическое исследование широкого класса задач о транспортных свойствах турбулентных и неупорядоченных сред часто упирается в изучение 1-еометриче-ских свойств случайных изомножеств, что составляет предмет статистической топографии. Статистическая топография одномасштабных потенциалов, т.е. случайных функций с достаточно быстро спадающими корреляциями, связана с классической теорией перколяции. Отсюда вытекает универсальность таких топографических свойств, как фрактальная размерность длинных изолиний, функция распределения изолиний по размерам и другие, т.е. нечувствительность этих свойств к малым шевелениям параметров случайного потенциала. В случае многомасштабной случайной функции со степенным спектром (характерной для турбулентности колмогоровского типа) статистическая топография также поддается аналитическому исследованию с использованием теории перколяции, дополненной новым приемом "разделения масштабов".

2. Процессы турбулентного и аномального переноса во многих системах могут быть охарактеризованы некоторым безразмерным параметром Л, выражающим число Пекле в конвективной среде, безразмерную амплитуду электромагнитных возмущений в плазме или амплитуду микроскопических флуктуации случайно-неоднородного проводника, так что возможны два физически различных режима. В режиме Я <С 1, который можно условно назвать квазилинейным, задача обычно хорошо поддастся стандартным методам усреднения и/или теории возмущений. Режим Я > 1, который можно назвать сильно-коррелированным, перколяцион-ным или фрактальным, чувствителен к геометрии неупорядоченной системы и привносит в задачу новые пространственные масштабы, малый и большой одновременно. В этом режиме, с одной стороны, домирующая доля транспортных потоков сосредоточена в узкой пространственной паутине, имеющей фрактальную

(70)

38

геометрию, а с другой стороны, корреляционный размер транспортных потоков (размер перемешивания) много больше корреляционного размера турбулентности либо случайной среды. Это обстоятельство требует новых методов анализа турбулентных и аномальных процессов переноса, основанных на теории перколяции и/или статистической топографии. Наличие малого и большого масштабов одновременно накладывает довольно жесткие требования как на экспериментальные, так и численные методы исследования турбулентной диффузии в перколящгонном режиме.

3. Полученные в работе перколяпионные скейлинги турбулентной диффузии в плазме указывают на существенное замедление роста танспортных коэффициентов с амплитудой электромагнитных возмущений по сравнению с обычно используемыми квазилинейными оценками. Впрочем, проблема транспортного контроля в тока-маках по-прежнему в большей степени упирается в понимание самосогласованной картины плазменной турбулентности как таковой.

4. Эффекты пространственного перераспределения тока в неоднородных холловских средах также могут быть описаны в терминах перколяции, давая оценки объемной составляющей ЭМГ-сопротивления в плазменных прерывателях тока, где поверхностная составляющая, по-видимому, все же доминирует. Аналогично тому, как это имеет место в плазме, поверхностные эффекты магнитосопротивления могут существенно влиять на результаты измерений на твердотельных образцах.

Основные результаты, включенные в диссертацию, опубликованы в работах [1— 6] и докладывались на теоретических семинарах Отделения физики плазмы ИАЭ им. [.В, Курчатова, а также на семинарах в Институте общей физики АН СССР, Ивсти-уте космических исследований АН СССР, в Техасском, Мэрилендском, Нью-Йоркском, алифорнийском (Сан-Диего) и Принстонском университетах и в Лаборатории AT&T, езультаты диссертации представлялись на конференциях по физике плазмы и УТС !венигород, 1988 и 19S9), Международных молодежных школах по физике плазмы и ТС (Нарва, 1989 и Дагомыс, 1991), Международных рабочих группах по нелинейной 1зике (Киев, 19S9 и Потсдам, США, 1991), Международной конференции по физике тазмы (Нью-Дели, Индия, 1989), Международной рабочей группе по хаосу и транс-рту в жидкостях и плазме (Колледж-Парк, США, 1990), Международных шервудскях нференциях по теории плазмы (США: Виллиамсбург, 1990, Сиэттл, 1991 и Санта-Фе, 92), Международной конференции по нелинейной динамике "Дни динамики, Техас" ттин, США, 1992), Международной междисциплинарной рабочей группе по статисти-скому описанию процессов переноса в плазме, астрофизике и ядерной физике (Лезуш, >аиция, 1993) и Рабочей группе НАТО по хаотической адвекции, динамике примесей турбулентной диффузии (Гави, Италия, 1993).

39

Работы автора по теме диссертации

[1] Исичеяко М.Б., Марначев А.В. Нелинейные структуры в элек генной магнитной гидродинамике однородной плазмы. — ЖЭТФ, 1987, т. 93, с. 1244—1255.

[2] Исиченко М.Б., Калда Я., Татаринова Е.Б., Тельковская О.В., Яньков В.В. Диффузия в среде с вихревым движением. — ЖЭТФ, 1989, т. 96, с. 913—925.

[3] Isichenko М.В. and Kalda J. Three-dimensional electron MUD resistance in bounded p/asmas. — Proc. Int. Conf. on Plasma Physics (New Delhi, India, 1989). Contributed Papers, v. 3, pp. 893—896.

[4] Грузинов А.В., Исиченко М.Б., Калда Я. Двумерная турбулентная диффузия. — ЖЭТФ, 1990, т. 97, с. 476—488.

[5] Isichenko М.В. and Kalda J. Turbulent drift of electrons across a magnetic field: Effect of an average e/eclric field. — Proc. 17th EPS Conf. on Contr. Fusion and Plasma Heating (Amsterdam, 1990). Contributed Papers, Part II, v. 14B, pp. 667—670.

[6] Nycander J. and Isichenko M.B. Motion of dipole vortices in a weakly inhomogeneous medium and related convective transport. — Phys, Fluids, 1990, v. B2, pp. 2042—2047.

[7] Isichenko M.B. Effective plasma heat conductivity in a "braided* magnetic field—I. Quasi-linear limit. — Plasma Phys. Contr. Fusion, 1991, v. 33, pp. 795—807.

[8] Isichenko M.B. Effective plasma heat conductivity in a "braided" magnetic field—II. Percolation limit. — Plasma Phys. Contr. Fusion, 1991, v. 33, pp. 809—826.

[9] Isichenko M.B. and Kalda J. Statistical topography. I. Fractal dimension of coastlines and number-area rule for islands. — J. Nonlinear Sci., 1991, v. 1, pp. 255—277.

[101 Isichenko M.B. and Kalda J. Statistical topography. II. Two-dimensional transport of a passive scalar. — J. Nonlinear Sci., 1991, v. 1, pp. 375—396.

[11] Исиченко М.Б., Калда Я. Аномальное сопротивление случайно-неоднородных хол-ловских сред. — ЖЭТФ, 1991, т. 99, с. 224—236.

[12] Isichenko М.В. and Horton W. Scaling laws of stochastic E x В plasma transport. — Comments on Plasma Phys. Contr. Fusion, 1991, v. 14, pp. 249—262.

[13] Isichenko M.B. and Kalda J. Shape effects in magnetoresistance. — J. Moscow Phys. Soc., 1992, v. 2, pp. 55—69.

[14] Isichenko M.B. Percolation, statistical topography, and transport in random media. — Rev. Mod. Phys., 1992, v. 64, pp. 961—1043.

40

15] Isichenko M.B., Horton W., Kim D.E., Heo E.G., and Choi D.-I. Stochastic diffusion and Kolmogorov entropy in regular and random Hamiltonians'. — Phys. Fluids, 1992, v. B 4, pp. 3973—3980.

:6] Isichenko M.B. Percolation and turbulent diffusion: transport on and around percolation dusters. — Proceedings of Interdisciplinary Workshop on Statistical Description of Transport in Plasma, Astro- and Nuclear Physics, Les Houches, France, Feb. 2-11, 1993.

Технический редактор C.K. Сведлова Подписано в печать 17.09.93. Формат 60х84Дб Уч.-изд. л. 2,5. Тираж 61. Заказ 111 Отпечатано в РНЦ „Курчатовский институт"