Первая крайняя задача для эллиптических уравнений второго порядка в областях с коническими и угловыми точками на границе тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

А К А Д В M 1 il H А У И УК Р к Ï 1Í Й

. JHÇTKT?T ЮМОДОДТ. Ш® 'U MMAJlHftl

Híl U|>HK'l< ll¿fpi.|!¡1.

еорпук мшшю бгшадмкчлад

ПИША КРАЙОВА ЗАДАЧА ДЛЯ ЕЛШШ'НШ PîbHillih ДРУГОГО ПОРШЮ

и отсж з ко:ач)Ш1 та кушиш точками «а ш-а i.

01.01.02 - ДиферСМЦтаЛЬШ pi ílUflUlifl

АВТОРЕФЕРАТ днеергащ! ma эдоЛутгя ияукоюто итуп&нл доктора iîikîMKû-UQiÉUflYirfimï паре

Д о к Ci ц ь к WH

Гобота виконаиа в Льв1вському дервавдоу ушнорситеп 1м. Франка.

ОфгцтЯит ононрнти: член-кор. АН ирофееор

6.Я. ХРУСЛОВ;

доктор ф13ико ыатеы;ггич1Шх наук, профэсор О.Д. ЕЙДЕЯШАН; - .

доктор ф^зико-магекатйчгщх наук, ведуий науковяй сп1врос51тник

а.е. шишков.

Проведав у станом: йститу? математики АН Украхни, м. Ки'1В.

Зохист ьгдбудегься " 05 19У4 р.

о год. на Э8С1дага1 спец1ал13оваяо1 вадюк' ради

Д 06.01.01 при 1ыститут1 прикладно? математики та мехеш'ки АН Украхш» за адресов: 340114 м. Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74, к1мн. " ..

3 диеертац1ею моим ознайомитись у 01йЛ1отец1 НМЛ АН Укргини за цгею ж адресою.

Автореферат раэосланий

1994 р.

ВчениЯ секргтар спец!а-лхэовано? вчеяозг ради кандидат ф1эико-мотемятмчних наук,

старший науковйй сп1вроб1тшк •^ ^/^^^^^орковсьмШ

ал.

мера РОШ'и:

1) побудова теорп ргт'яаностх першах крайовох задан .им елхптичних квагллхнхйних неШЩ'Шшоян ргвшшь д[>угг.со порядку в область межа я к си шстать куто!п ибо коптим точки, ггри мхнхмьльннх умовах гладкосп та прирост* умовах нелппйноет! коефШхентхв рхвняшш;

2) дое.пдження повод шки в околх кутовог або конЬшоТ Ти'.ки розв'язкхв елштичшх рхвнянъ, коефииенм якнх шить мгнхмальну глвдкгсть;

3) отримания ненокращувалышх оцшок розв'нгшв малач! Д1р1хле для (шптмчних (лШШшх та кваз1лгнПП';и) рхвнянь в околх курово! або контчно5г" точки;

4) дослхдження пхдвицеяня гладкое« роэв'яэмв.

лктумьмсть теми.

Наявшсть на сучасшй час достатньо повнох геор]х для лЫШшх рхвнянь з чаотинвдми поххдними елтптичного Ш1у надала можлив1СТЬ просунутися у вивченнх нелхнхйних решишь. Значнх усп1хи в цьому напрямку досягнутх,- особливо для квазШнШшх рхвнянъ другого порядку,- завдяки праиям Шаудера, Лере, Каччопполх та хкших. Ниш розробленмй метод, що дозволяе доводити теореми хенування при наявное/п цридат-них алр1орних оцанок. Цей метод не вимагае попередиьот побудови фундаментального роэв'язку та дозволяе впШоп теори хнтегральних ргвнянь застосувати деякх твореми функц1овального аналхзу.

3 одного боку, виявилося можливим вельми нескладно доводити розв'язнхеть крайових вадач для квазШнШих алхп-тичшх рхвнянь другого порядку при наявносп огинки коефнцен'пв Гельдера перших поххдщх роэв'язку в1дасв'1 ¡шох Мн1йно1 крайовох задачх з константою, яка залежить липа ,нд максимуму модулхв коеф1цгент1в задача. Таким чином, ышшела иеобххднхеть б1ЛЫ11 глибшого. вивчення лШйних вадач та встановлення для них бхльш тонких оцхиок. На не бут напрямленх зусилля багатьох математчшв Л. Нхрснбгрг отримав виде вказан/у оценку для • допьик;т¡.. ¡м

mí^.'>uoo!¡]»fflt)horo рхвшшня, завдяки akoí встановлена теорема icíiyuüuiui розв'нвкхв задач! Jíipixjie для кпаз1лШйногч>

Й.ППТИ'ГНОГО рШШШЯ ДРУГОГО ПОРЯДКУ IlpH míhím8jlbffiíx

лрилущошях. на гладк1сть коефШенпв рхгшяння. У (¡»¡П!Гоьим;рному випадку така оцшса була отримана 7. Кпрдисом Ii npwmemi, що рхвняння задовольняе умов! rtl.'i.'-'ä» силыюУ (ti змедаост! вхд bumíphootí -евюйдового «рог-тору ю2), ni» умова piniioMipnor елхптичиост].. S - тншого боку, нимагання одержат вказану anpiopny оцхнку дня ¡игалыш. (шптичнйх р1вмяяь другого порядку в багатовим1рно-му иппадк.у закончилось невдало через те, що виявилось (М.В. C¡ ¡фонов, 1987), що така оценка просто цеможлива.

Таким чином, для доведения класично! розв'язност! крайових задач для квазШнгЙних рхвнянь другого порядку необх]дно було створити метода, hkí б доводили одержувати noTpiöHi onpiopHí ouiffioi безпосередньо для cömoi нелШйнсп Так! метода бут oísopeni. 1дв1 нового методу були закздент ще в працях С.Н. Бернштейш, iiotím Де Джордаи i ik<:¡r-¡. 0.0. Ладакенська та Н.М. Уральцева удосконалшш- та ро."";1лули цей метод.

Г'с i «KasaHi дослхджештя в!дносяться до крайових задач в /tamawo гл10m.v областях. Зауважимо. шо для остаточиоУ 3»»wr-¡ «клюет! щи дослхдаень анадобилось бшж 30 ронхв' та яу-плян Оагатьох матс-матшйв.

i ¡'.44!. багяточиселый задачх ф1зики та тохШки призьо-дя-п ли пеобхЦноет! вивчення крайових задач в областях э-Mtnwi.wC'V) межеа. До таких областей гидпоеяться аокрема оС\>;-".-т?, на Meii íiifflx е скхнченне число кутоних (н~2) або }¡;ü!i .»их точок. Сучасний стан Teopii' крайових задач в Н(Я'.г;пких областях вишвдешй у вЦомому огляд! И.о. Кондратьева та O.A. Олхйяин. До числа перших праць, що в'гдя-мяться до дослхдження новедтнки в omni кутово1 точки тл) (/l'iaoTi рояв'яэку задач1 Д1рххле для ртшяння Лапласа ало Пуассона, належать в1домх роботи С.М. Школьсъкого , (i. Зокрема ним встановлен! необхздо та достатт умови ньле-шоетт простору fnpocTip Школьеького). розв'язку i Jiipiue для ртвняння Лапласа. В.В. Фуфаев (1963)

рОЗГЛЯНуй РГИНЯНШ! HyuPCOflH В OÖJlflOTi, КОЛИ ' in!\Ö

неоконченно гладки.крива (тут 0 -кутова точка), а и ¡ингому околх точки (!) межа аG складао*ьоя з двох ninpiuutH, им неретинаютьен lii.n кутом м0. Гш\дк10?ь розв'язку задачi Дтргхле наложить гад неличини куга о,,. Чнм мешшй кут tum биъшу глйдк1сть мае роза'ярок (при fiC^lO). !ипують ышяткогп значения и0, для шш нема нерешюд дли гладкоелч.

ЗОКреМН, ЯКЩО UI - О, J-О D ДОЯКОМУ OKOJliTO'IIffl О Г illUiiO ll'O,

- цгле ЧИСЛО, ТО ЩС{0). Таким чипом, порушеинн умоьи гладкостг моя! осляот г ирняьо.дить до поивя у piV.jli'lilty крайоыоХ задачi осоОлипоотйй в околс нерегулярно* -ючкп mta'i область Нагадаомо, що и Teopii крайових палач дни ел1лтич1гох рхвняиь у гладей обдаст! иич'уацгя наступим: ишцо дант задач! - диетятпьо глади!, то й розв'яяок - достатны гладка функция.

Одаiею з.перших ираць, що 1идносятьоя до доелиакенни зогалышх JiiHiilHUS крайових задач для областей а шлйчпши точками, була фундаментальна праця Б.О." Кондратьева ('ШШ', 196Т). В Hiß та • узагалыпоючих i'i наступних роботах доелЦжена нормальна розв'язнгсть у вагових. ооболсвсышх просторах зэгальшх лшШшх олнтгших задач в негладких областях в пртгущешш öocniMibol s.taöicocml як шюговидя так i коефйЦент^в задачi. Розв'язок ррзглядаетьея в спец1алышх просторах фуншйй, якх мають поххднг, сумевши а деякою етепетвем вагон). Щ простори добре иЦчуваить основну' особливгсть розв'язкгв таких задач. Гут же з'ясупалось, що иатоди, якт використовувались при доеллдженн! крайових задач у гладких областях, ненрвдпччй: в розглядуваному випадку неможливо гладким леретиор;лшям розпримнти мешу.

Яйцо- ж стаьичи своею метою досл.1дкення политики йЛ1Птично1 задач!, то о вице сказаного з необхЦшетю вишшнас, що треба з'яоуватй, при яких мШмялытх вимога". на гладкхсть KooCriU^HTiB та тгравих частил лхнШкй' задачi мають Micuo pr.niv лзнхеть у вЦтювтдних фуШйПоНгШ.НИХ просторах та 1 днI aiipiopui пцтнки рн.зв'язкпи Заумшмо

'сакоас, ы,с> перша KpMuüíi надача ' для нбаз1л1н1йнш: шЗибергенмнит еМпничних ргьнянь и неглаОнш областях ыайке не виьчалаоь.

ÍWKOBA НОВИЗНА.

в дисергацы отриманх наступи! hobí результата. I. Ь'ешювжшх Iien0!(pujiif¡ajibiíi ouíhiüí модуле розь'язкхв аид&чх JUpix.ne для елштичшх недивергашшх .¡¡íhíAhüx та кеаахлнййяих рхвнянь другого порядку va íx перших 1ЮХ1ДШ1Х в окол1 кутоьох або ксшчио'х точки. с'. Зняйдена точна (мШмаяьна) умова nti глидкгсть Koapiiüeii-

tíb рхьняння, яка забезиечуе наяшИсть оцпшк н. 1. 3. Доелхдкена роэв'яонхсть эадачх Д1р1хле дня елхн'шчних яедивергентних лШйних та кеаа Шшйних равнянь другого порядку в областх э куювою аОо конхчною точкою в функц1ональних просторах, в яких ьона мае мхсце при míhímüjilhmx (та еуттешх) вимогах на дал! аадачх (при дьому i для лШйшх эддачх отрлмаш hobí тоороыи). а. Дислхдженх даФерен^альнх властивостх та повед1нка роав'яокхв задач! в окал i конхчнох точки (теореми про Л1ДВ1щення гладкостх). б. Дослэдкено поведхнку узагальнешх розв'язкхв аадачх Д-ipi хло для див.ергентшх рхвнянь в оксда кснхчлох точки. 6. Наьеденх пршишди, що свхдчать про íctothíctl щшущень i BipnicTb отриманих результатов.

том досщшня..

В основу досшдаешя розв'язноот1 иершся краИовох йадачх для квазглШйного ргвияння покладено метод Лере -Шэд дера. Отримання лепокращувальних оцхнок роав'язкхо задачi оаэуеться на об'еднанн1 двох точних неровностей Хардi та Вхртхнгера, а таксж на рхшеннг задачх Komi для диферещхалыю1 nepiBUoeii ia зшпзнкжшш аргументом. ■ Використовуюпся тако/. :ааудерхвськх I - оцхики, метод ихлень Кондратьева, бар'ерна технхка та принцип ¡гор1вня1Ш.

тттна га практична цшисть.

Диеерта^я мае теоретичний характер. До крайоьих задач i, unjiíkví'ja н негладкою межев а водя tí. он багаточисельнг ¡задач i

Фтпиед i техники, зеками: ггдро- та аеродиномпш,-г iдромехац t кч, прукноегг, тощо. Методи та результата днеертаци мижутъ бути гшкориеташ для доелЦжоння Miuiwoi' кряйово! задачi в oOJiaori з конгпшми точками, о токож кряйових задач в областях, мкяи яких мвють оообливоот! типу

МШАЦ1Я ГОРОТИ.

Oejfoi.ni i }ч)зультптя дисертапп долой ¡дались на иаукових ofiMiHapax:

- г? Htviiiiifliioro аиалгзу 1IIMM АН Укра'йш (Kepi шик «кадемш i.B. СкрНШШН. 19S8, 1992, 1993 pp.);

- гида'лу дифорешцальшгх .pivmnb з часгииыямм поххдними лмтитуту математики АН УцрпУми (кер. проф. М.Л. Г'орОачук, 1992 р.):

- Bi^iJiy дифорошцалытх рпшянь о чаотиншми пех^длими 117ГШМ АН У »с pai'mi та нафедри диферешиплышх piBHHHb Львлюького унтворооитету (¡сор. проф. В.Я. ОкороСогатько, проФ. Б.Й. Птшгашк, доц. С.П. Лапренш, 1990-93 pp.);

- з теорем нападения та ix застооувань в математикиift фтяиц! Мнтематичногп Ьчституту iM. Б.О. Стеклова РАН (кер. акад. I'M О.М. ШкольомшП, чл.-кор. РАН Л.Д. Кудрявцев, 1990);

- лабораторГ! дифершцтальних р1внянь з частгошими пох}дшми Млтем гшчноги институту iw. В.О. Стеклова РАН (кер. л реф. В.Л. Михайлов, 1990 р.);

- кг*£едри дифррени i ал ь^шх pi ишь та фунгацонального анализу УДН iM. П.Лумумби (кер. проф. В.М. Масленткова, 1990 р.);

- 3- якi Choi teopf i pibhahb з частинними пох}дщт кяфедри диаеренцгальннх рхвнянь Московского уьпверситету (кер. проф. В.О. Кондратьев, проф. е.Ы. Ланд!«, 1989 р.),

о також на мгжвародних конферешЦях:

- "Диференшальн1 рхвняшш та сумгшт питания" - о ум! он i заседания- семтнару 1м. 1.Г. Петровського та Московского математичниго товориства (1988; 1991, 1993 pp.);

- IX та X рэдянеько-чехословацька парада (1987, 1989 pp.);

- з нелгнШшх задач математичпо! ф1зики (ЛеШнградське вШьяення Математичного iwmryvy iM. В.О. Стеклова, 1989 р.);

- "Иол11пЛл1 задач! мятемятичноУ фгояшГ (ШШ АН УкряУт,

198У, 1[ли, 1993 рр.); ■• Н10-р1ччя народшшя С. Банахи (ЛьгИпський университет, 199Л р.).

11УБЛ1КАЦ1Т.

Ооношх результата диоертапи опублшовми в 10 роботах 'дато^, ио перолИсл! и клии автореферату.

СТРУКТУРА ТА ОБ'ем ЩСШАЦП. Дисортшпя складавт? -чп в вступу, шести глав, до.цатну та б.гблго1'ряф1'1, яка мхетить 86 назв. Загалышй об'см дисертаи!У - 248 сторонок машинописного тексту.

3 И 1 С Т РОБОТ И. У ьащршШ глав! падший короткий огллд сучасного стану проблем« та нраць, як! стоеултвея до ризглядувыних питавь; нинначчеться м!еце серед пшмх ираць ¡езудьтатчь, щи отрммаш в дасертц!¥; наведен! «{о^улювання осноеши 1>е:дои тат!в диоертаЦ11. В п.0.2 ц1ез глави наведенI основаг нозначенви та амнячення. Наведемо деяк1 я них: О (0,.. г0) - початок прлмокутноУ система координат, в як И! милчтея кыични точка; ()%(.!) - координат» точки 2У-3<";

!» - оолаеть, яка шрхоамться конусом К на одишгипй о]ер!

о нянтром в О , о сладкою (»-2)-вш.ирном межоы ай ;

Означении. Точка ОевС ишгьея ииШто» точно») облает! О, яюдо ;\0 - гладкий ( п - 1 ) - шмхрний пхдмногошд в . к" то 1«цус сшл II' точки 0 в к" , даук.'Мирршй кул! Б,(П), причалу образ множили II П и с 8/(0) (I К ;

С';' - с П ( (г,ч) | 0*ат<-& ; иго ) - шар в г?" ;

!■'; - II ( (г,и) | СШ<г<Ь ; цс-эо ) - бтчна поверхня

шару г;'; ;

- <; \ ¿1 . Гд-- эглг^ <1 / о ; 4 11 •<■ м*р } : о < Р >.. <1 ;

С,":> -г с , к гг 0,1,2,... ' ; 4 ;

t>(í) - додатня неэростаюча неперервна фуишия, яка визначена при t*ù ;

¡j(t) - додатня несиадна неперервна функция , яка визначена

при U0 ; dU) = diet (х, эГЛО ) ;

Alt)- визначена при t*0, невхд'сшш монотонно зростаюча

неперервна в нул1 функция , Л(0)=0 ; Ф(х) - будь-яке продовкення всередину облает i G грашппюх

функцп таке, що . яеЭС? ;

\ = Х(0) - таймеше додатае власне число задач i1

ГАВ1> + Х(Х+П-2)ч> =0, \

= О , Ы « ôQ (ЗС)

Ав - оператор Лапласа-Бельтракй на одиничнхй сфер! ;

Vp а(G) - Соболевеышй upoctip з вагою функцШ u(i), для яких скшчена норма ,

fe = [ ГГ I ^М-^иЛ^\ul рг1 .

V.(G> G ы=0 '

Перча глава присвячена отрнманню непокрещувалышх ouíhok розв'язкгв jihiflhoï задачi íipixfle

Си » а^(х)й. г + а1(х)их + а(х)и = /(:r) , х е G (J i

ii(x) = fp(rr) , i с aG (JI)

в окол! kohï4hoï точки. Бона складаетьея з п'яти параграфов.

В hkoctí розв'язкхв задачх (Л) ми розглядаемо функцГ1 ù(G°(G) П fí2(G\6), що задсвольняють ргвняння для майже bcíx xíG та граничну умову для bcíx xídG. Питшшя гладк^тх розв'язкхв эадач1 (Л> в околi кутовох точки ранхша досл1даувалися в працях а. Аззама; в них прнпускаеться, що коеф1ц1Снти piBHHHHfl неперериЦ за Гельдером. .Наш! првдущення про гладкость Koe$iuicnTia - Инхмально можлиМ : старшх коефхцхенти рхвняння повиннх бути неперерпшми за

Дин и Koiii'JHiít TO'iui 0, а молода^ мокуть чгшть эроотати (при пьому ми вказуемо точный стсшзневий порядок зростшшя). Голтмп результат itfeï глаш Метиться в ластугапй теорем!:

Teop(!î.'" t. Heixiü nix) - розб'suiGfí aaöauf (Л} m O.uHomnl it¡'шщыш:

'it) улова рШюл1рю1 ел1птшк>Ш

Vx <¡'ü, Vf с nn;i>,i¡ - conntX) ;

(сю) al<,(0) - sj ~ сил вол Hj.üV£-Hejti {i J = U.n) ;

(сIM) а^{х) е ü°(g), (í,J ~ \..п); ahx), I = 1..n ,<t(x) -ôiuipui в G футе UT., причолу al(x)eLJG); a(x)el(C),

* У

P > n/2 ; для ¡ais бшищеться нсрШйстъ ( { i yhx)-alho)\2 }"*+ |x|( Дlal(x)l2 j'/2+ + |x|2ja(x>| s Л <(x|) , X é G*

щм дашюлу d>0 s , цо виз начет при rzO,

neßid'cjm, ÂOHHomowio зростхт. иеперорвю в нул1 Фцунр^Я, М0)-0;

(ö) fix) е Ip(G) n fy^G) ; . .

fix) е v£J/p(sG) n fi^or?) il uVecj ; p > n/2 ;

(ß) ienymb HeèW'ojtHi чцехл krk¿ i s>\ пш1, що (gg)-+ м^ф s ä,pl! ' p e '

l/ltfGC + I^M-'/r. ) s P 6 <0.a>.

1 p/2 1 'p/2'

ffeioü ifrj неперервш эа Д(н( 6 нул1 ш в (Золи величию

= mar lufxjj. С

Todi ícKt/oe шне cL>0, wo fitpi¿t momynut твервхення:

1. |ur.r)| к ; 16/jg ; pe(0,dc) ;

?. шю p>n , \>1 ,m .T&Gj ; fniO,ii,() ;

3. ma¡¡ о обо \¿2 I p>ii/"2, uou 0<K2 , n/J<p<n/(¿~\) , то ucV¡K0(G) i при цьолу NvJ^ßg) *-'/'2m'ÍK> Mo>d0);

4. .'«ОД) p¿n/(2-X) , то сш Vi'.yíCg , f)e(ö,d0)

\и(х) - uíi/)| s aje - , 0<U1 ;

\VU(X) - Vt¿í!/)| s O| |:Г - jyl1"' , KK2 ;

5. ¡vrnio 0<X<2 , \r\ , píh/{c>-\) , no utCVcjjj ; шадо Ы p?n , mo mc'~c(G*) vr>d.

В п. 1.3. ми будуемо приклада, «¡ti виявляотъ, що умова Jliui на функцхю А(г) в точцг'0, а також припущишя (гш) про молодаИ коефщгснти рхвняшш с íctgthí дня Bipnoori оцхнок тверджень 1-4. В противному раз! в цих оцхнках покааинк X tixiöa замшнти на к-с з vol}. Tö, що покагяши X в цах оцлтках не може бути й гмМлшений, виявляшг- чпоч'кшп розн'язки рхвнниня Лапласа в облает! а кутовою або кошчно». точкою. В цьому сенел сщшш в treopoMi 1 е ненокращугшшхи. В п.1.4 дослхдмуеться пове/инка розв'язку задач i (Л) у випадку, що не" охоплюстьея теоремою I, i знову при мппмпльних прилущенша на гладкость koe>t>inichtib. Нврештх в п. 1.'- роз глянут i природа i теоремм про пЦвищешш гладкое-И porjB'flöKiB задач! (Л). Bei результата гловн 1 с ноги в oeiici мИймалыюетх вимог ни дан i задач!, i як вже сказано вшцо, в цшлу csHoi й непокрвщунйльниии.

Оцшш глав» 1 дозволнвп еформулювати вон г Tttopemi хенушш рогш'язктн зцдачх (Л).'Щ теоремн еформуш.иыии л доволен i. ь фуг id гливх. Нйпедеш тут формулюьипня цнх теорем.

Теореиа 2. Ноiurt г,« о'1,1, eumnani щмщрцмил ííi.i

(&), a(i) s 0 1:iiG l щ.и цьолу a60 , pan, обо

л«уа<п/(2-х) , 1<x<2.

Todl задача (Л) лае едшЛй розв'язон 0(С) I Оля

н'-.ого Ырнп оц1нт

!.:< стсиою цо не аалехить 616 и, 4, т вмпачаетъся мтю величинами и, (i, р., л, таы(|г|), fal- г, 1J2

If г |д((а:)|г1 I па обмета G. • Чг! ' "п,(?

Теорема 3. ЯегаА.эadaut числа Хе(1,2), ф?л/(2-Х). Нехай

г € с'»' ш биконошД припущення теорели 2 при Пехай

v

битном це улови

(г) (1,+ = 1..л) меперервк( аа Д1н1 6 бу0ъ-як1й точц1

Т1 |

vsaG, тобяю{ ^ ]r. j|a,J(r)-etJ(v)|2j

<i0

Vr^G , € eff , ща1моа11 i t~u(t)<it < m

0

(0) IcHj/e невЮ'елие число k3 тане, wp 6иконуеться П9р1Вн1сть:

'(I la'cDl*]'^ laWI + lifa^l + l^ii)! * Aj*'"2^) ,

voo, Ce d(x)=dist(x,8G\0). Tool задача (Л) лае единой ровб'язок ''

u(*)rf$G)rilji0(G)r£x(G) 3 1peln.n/( 2-х))

т Оля нъого 81рн1 оц1ниа (1), а таком:

|«llfCs* (2)

In стлоьК, v<o ие эалетпь'610 а(х) т визпанатъея мш> величинсии n, q, i>, |i, x, k)t f/lg с »

' {•¿"'^(•6)44, тж4(\х[) I оОласгво С.

Р

Теорема 4. Неязй виконан1 во1 улови теорели 2, онр1л вилоги т еладп(апь гювертС Г. , яна эал1нхжьоя прмгу -

1 о

цшнял г, <? С\ То01 задача (Л) лас едшшй роэб'яэок О

п с1 (С) та для нъого в1рна оц1нт (2).

Тео|юма 2 рашме булл вгдомн в двох випадках: або, коли ргвняння задач! (Л) е р1вняшя Пуасона (Веркблюький-Мазъя, 1974), або, коли с - конуо, але молода} коеф1ц1С»ти рИшяння - Схлш гладк1 (Козлов-Маэья, 1988). Геореми 3 та 4 - нов!, во без результате глйви 1 вони но можуть бути доведен!. Зауважимо також, що в цих теоремах ми зменшу'емо й внмоги на гладкость ой\0. в теорем! 3 вони так!, щоб локально гладкий кусок поверх^ можна Оулб "рознрямити", • а в теоремх 4 поверхня ¿С\0 може бути лягуповсыюю, тому що в таких областях в! риг результат« В!дмана (1967), як! ми викориотовуемо в окол! гладкого куска аС\0. 0триман1 в глав! 2 теоремя хснування вхдгграють фундаментальну роль в подалыиому (глава 5) при досждаешп розв'язност! задач! (И).

Як ыке зазнячалось вище, для побудоЕи теоргУ розв'язност! задачI Д!р1хле для квазглМйних рхвнянь потр!0Н1 вздповЪш! априори! оцзнки розв'язк!в самоУ нелппйноУ задача. Отримашго таких оьинок присвячен1 трет та четверню глави. Центральним моментом в цих оцгнках е локальна (поблиэу нутовоУ або когичноУ точки) оценка Гальдера перших пох^дних розв'язкхв. Хоча результата глави 3 ловн!стю ышадэються у результата глави 4 (що ц!лком природньо), проте. сцрпифгка плоского випадку дозволила нам Лото гпдокремига. До того к й метода одержаяня оц!нкн |и| (1 р13н! у випадку п?2 та п>2. Нам було Ц1наво

продемонструвати можлив!сгь застосування методу Л.Шрёяберга для областей з кутовою точкою (п. 3.1). .Отже, вдалося встановити основяу оцгнку

luíUI S C0|I|'*» (3)

а Дс.'шиш y>0. У випадку iwni>iuoï точки (ft>2) , цел метод шфонадити иемошшво, чшу що bíh с сурубо двовштршй. Для отримашм оцмки (3) в цьому випадку мн эвертаемосъ до бар'ернох TexHiKH (п. 4.1) та застосовуемо ыршщин HopiBiiflWM (п. 4.2). Сформулюемо ооновний результат глав 3 и 4. Bin взноситься до аадач1

г a{,(r,u,ut)u:í J i a(z,n,us) = 0, x i G

1 } (КЛ)

u(i') = f(ï) г« йй

(кваэьлШйне р1вняшя аагального вигллду).

ïeopeua 5. Нехай utfMCfiGJfwj^iDtö), q>n - poaâ'ладя

üciäam (О), etöojui величина ¡ln = t¡m\u(x)\, Иезхзй йшжий

припущвння

(С) Ода Veö>0 icHtjä dô>0 пше, np

¿n •

G0 = ü 6 G I coa» = x/f ; |3| < jt/2-e0 )

d0

(' woöto Gq C С jn>0 ) ü ornare 1>1 ),

m m auoxuhí ra = { (r, u, 2)| xzg, imir, 2eirrt) ) U) a(X,U,2) , cí^(x,u,z) e car, {ij = 1..ГС ) -mpamoööopoöl фцтсцlí;

(ÁA) й^(0,0,0}=б{ ( ij= l..ri J - силпол A'pouwcepa;

(Б) t¡toda plôHOAtpiioï ел1гж1Чно(М : 1вну*мь ôocxitmi cumt l>, (i, vio ne шлелшь 6lö и, г, mut, m сил V|élîn, VrtG, Uï'iR, ZfelRn

(jB) louyaiib число p > 1-2 > - I, neôid'ejui чиалч ц,, k¡ mi фунщИ Ь{х), f(2)r-pQ;loo(G\0), q¿ri, що не ;:шелть в to и, 2, мъй, що:

|ü(rrtu,í')| i + Ь(т)|¿|. t f(T'¡ .

1Ь

щмчолу Ь(х) » /(.г) л /г.|г|"

•т € (¡1°;

(Т) ФуннцИ ,и,я), и ,./"1 • й он'ОЛ{ .чножиии

,и^и(т) ,я-и (х) I, Пе(0,1%),

.»'омь уиагальненЬ гюхЮШ перюго порядку па вс1*п

обо\ли яргуленгпаш та 1снутъ т-:дЮ'елн1 агшI

Ъ;, I Ф\}П)Я{{ я (чх)^!^ , дг>п, т не тлехитъ

вИ(Х) Ш!С1 , що

I.) ТЫ

¿55Г,

к Г

1 [• еа^Лх.и.г) (_ —

Ж

"яг

"ш-V» +

, о < р < п;

(Д) 1снухтъ И9в1д'елн1 числа ^ ш фунт^я

|«(г) | гр « £,рп

11{х)еТ, |ОО(И0), <7>гс, ур не заложишь 610 и(х), тж1 ща

* I

т1}(х,и, г) > о а^{х,и,г) г 1/2

,:<и Ж эх,. ■

ли) ;

и

I

аа^(х,и,г)

-ГГГ.-

иг

Тод1 1сньть до(\тй чио.ю (2*11*-.пЩй0,П) I И0, Ъ7 , , !,'|0 не эшежть 61в ъ(х) < визшютъся маю величинами, п, 1>, и, ц0, ¡¡г цг, ц3,р, й,, М0, с10,

3, |Ь, /, Л|„ ^ ) < облает»' С, шк1, ф 61рн1 .наступиI

"'"О >

тверджш: • .

1. |и(.т;| сТ0|г|} ; 2 (1,1x1

»-I

г

2. u(ryJl\_%((%2) i при цъолу I

3. яащо обо \*2, q>n, обо n<qc ^, 1<\<2, mo ufi-M^0(G}/2) i при цъолу |u|p2

pelO.d/2); q'

4. miß 1 < x < 2 , 0 * -fa, »10

Зауважимо, що сформулюванх результаты вхдносяться до задач i , рпшяиня и якхй - недивергешше. TaKi задач i в негладких областях майже не вачажсь. Нам в!доыо лише одае дозл¿доения i Л.Данiлика (1987), в якому методами veopii функцхй комплексно? üMiffiioi' га знтегралышх рхвнянь доведена

роав'яанхсть в npocTopi YI2,2u(G), £>0 - достатньо мале,

О <■• i<2 i мгстнть кутовх точки. Проте, як ми побачимо шшче .(глава 5), шмогй на дан! задач! в пхй робота эавщен! i число е не уточнена. Як показуе сфа]мульоьана теорема 5 п/о0 ~ I

О < £ < 2 2 - я/ц " • якщо я/2 ио я" Теорема 5 ноказуе також, що розв'яэки задачь (КЛ) мають таку ж регулярность (в окол! H0JU4H0I точки), що й розв'яэки-задач! (Л).

Зварнемо'увагу ще па одну обстьвшу. Вхдошй в JiinifiHift ■reopii метод ацрокоимацп негладко!' областх послхдовнхех'Ю гладких областей при доол1даеян1 нелШйинх задач не можна заотосувати, тому що неможлиаий граничний . перехЦ. Це ми обходимо введениям функцИ rjx) - iffiaaißiд;,злх; введши TöKoi функц!! дозволяв нам працювати в зйданхй облает!, а пот im эабезпечитн граничний nepexifl по с-чО . (при цьому rjx) •* |а|=р). Цей же прнйом км вмкористовуемо при швчешп задач! (Л) в глав1 1-.

Б п. 4.5 ми доводимо теореми про,1 тдвищення гладйоегх poaB'flSKiB, öH&jori4Hi лШйному втшдку.

Результата глави 2 (про розв'язМсть jiiHiüuoi задачi) i 0Ц1НКИ глав 3, 4 роэв'язив нелШйно!' задач! дозволяшг шрейти в n'mlü глаЫ до дослхдкешш. |юав'язност! задач! 1НЛ). OoiioBHi рсаультати niei глави MiСтятьса в доведешь

наетушшх 'ji'ii» теорем.

1'иг>г.пянимо однопарммг'гричну imn'm видпч

( <1^(х,и,и,)иНх} 4 ta(i\u,uT) -О , г <;

1 uir) - tf(x) Vf € 10,11 , .г т ж; (К'П,

THfipf;Hfl b, Hi'J.iift Г(1 fJV"'1', IcVyl^'i •"«'>, fi-'U i ifuib .н|/»*кыг:» »/ Hif,w»iw:

(f..) ii.M oi/nh-imhjo pp.'<f".4,'ij{j/ utíx) ¡«lú'i'it i'h'JIJt ßiöo.ra (ими-

f^-^()i¡!/tf:ril VtííO, 11 ; т.' G

tit) yjutiu (C), (A), it) I IВ!, (Г) при (/-;/ чц.щили 6

(вотi щиятуть laiytoiwt S^unplvu. (.г)| Vt«.IO,1U;

t<G 1

i li() \w m (Д) при i r-p i (aa) w.vpejni >> .

Todi, ящо обо X>2, обо 1<\<"2 , неролу' , » inàmi

(!<JI)t juic npumilii ofluu роив'аок ut(x)eV* Q(G) npi ôoôlahuox'j íefOJ/.

Тоореыа 7. ЯмШ rnOanl числа leih?.}, ,

¡i:.\-p , ip^ij. . Hewn Г| еГ?'!\ рГ;г.ЫУ]^(эС) (1 ,

Счнииуч.ib'Yí nptmißf-mi.4 лаорчм, 6 I улова: 1снукть невМ'ели числи hv ky ¡u, 1 ÜA nmt, up

L>{xJt-fUj*l*tJ(x)i ïk3dx~?(:7:), Tf.Gjc.-'O, d(x>^IletiJ;,f<G\0),

í'oí.ií яиЛича Гmo njmaüji (лит рюЬ'тюк u{(x)cYi\'0l(G) il Vj'^G) Л Cx(ü) npi довиыюлу UlO.U.

Доведениям них двох тео{>ем i завершусгьоя чяотинв i (19Ш0Х роООГИ. РОЗГМ'/Ю'Ш и») частилу, pOdiIMO вйсног'ок, Щ0 M Hiй noBHiorn пилудояина теория розв'я'люст) гюрчлох краЙовоТ вядачт дня иг: д и ь « pr е и i и к piitiiowlpiio (Шпчтчних piwümi. другого в-рядку в оФкетях а кеяйчнимм tí» куч'овими точками.

В PltpAÜ 4?iOT¡fflí Р'.^птя ми pOMVBVl'JCMO Д(>ян i нерозв'язанг яояркти Teopiï, wc гнднооятьея до рхшвшв

дивергентного вигляду

■щ{аЧ(х)их f u'íxju] + bl(x)u^ t ci'xju -- g(x) +

' Д • . (лл)

u(r) - |>U) ar с ¿G

(лШйне дивергентне р!вняння),

(Ui 1 J 1 (дкд)

u(.r) - '/)(1') , i € 3(7

i квазШнШе дивергенте рхвняння).

toTopia розвитну дослЦкень таких piBinnu, наоагато бШ.ша. Це лов'яаано з тим, то в цьоиу випадку мокна вивчати узагальнен! розв'яэки задачг, яка ' тим самим зашнюсться еки i валентно» интегральною totojkhíctm, що не mícthti. других узагальнених иох!дних шуканоГ функцИ. Точи: оцшкл розв'зку задач! (ДЛ) поблизу оооблмвих точок на меж! ран!ше були ,ÓTpw,i:iHi Г.М.Вержб1Вским та В.Г.Мэзьйи») (1971-72) при умова , що стари! коефщ!снти a^frj задовольняють умову Гельдера, В працях Кондратьева - Копачека г -ОлЫник (1982-86) нодан1 оцшкя модуля ненерервноотч роэв'язку задач! (ДЛ) (при vmobí, що nl(x)^ff:v)^0 в окол! граничног точки 0) в икол: граничнот точки 0. Старил коефщ!(Лгш a^'fx) иршгуокаються пеиерервпими ("еперерпними зч Д!п!) в то'нЦ Р. При иевних припушмях про структуру MXt i г/üiíiCTi G. в око л i точки 0 для узагольиенаго (юан';шу задач! (ДЛ) встаиовлысться гельдерхвтсть в облает! G, нричому пок:клик Гельдера пизначасться структурою межг иблаот! та е ненокращуваним у вказапему luiaci областей.

Недавно (1991)'Л. Азоам та В.О. Кондратьев встановили гельдер!ьеьку неперервнтсть в okojií 'кутовоУ точки иернгих пох!даих узигадьненого рогш'язку задач] (ДЛ) ври припущена! гельдер!веько1 неперервност! киеэфшотв ргвняння та при' цьому иоказник Гельдера « задовольняо нертвлоотт ж"*'« ,-1. Е> п. 6.1 глави 6 цей результат ми узагашюемо на

¡¡ипадок ксшчшл точки та ноолабшуемо вимош на гла.вдпоть коофгцIопт 1 в: вопи понимН бути непьрервж за Лип.

Звернемоеь тепер до задач! (ДКЛ). Теор!н рйгулярпоспч узагальнених рознима в ц1о¥ задач! та П ро:зв'яз1ш;ть в гладкгй облает! добро вЦома. Починами з 1981 року, а'явлнотьея цикл прнць Е.Шрземана, П.Толкидорра, ПЛ^нвара, ¡ни вивчали новбдтвку узагалы-юиих розв'язклв задачI (ДКЛ) в <;коЛ1 кутовоУ або кингшог гранично! течки. В п.6.2 ми иоширюсмо гх результата на бишиий клао ршвшь тн розглядаемо <Х>в1льн1 (а не тгльки бодтшП) уаигалыкли розв'язки. Зауважимо таком, що иЦнки, доведши! в п.6.2, п!дсилюють у випадку, яйцо гранична точка е крична, недавно (1987) встановлеиу О.О.Ладиженсьша та Н.Юральцевою лпнйцгву оц!нку [юив'ягнив задач! (ДКЛ) (мг2) в окол1 гранично! точки. В ь.6.3 ми ветановлюемо енергетичн! вагогн ецхнки розв"лзк!в задач! (ДКЛ) (у вштдку м=2), шп с нод1бн! до ОЦ1НОК п. 4.3: в них пока аник ваги - найкращнй. Оцгнки п.6.3 дозволяюсь отримати нелокращувальн! оц!нки модул1В розв'язку задач! (ДКЛ) та його градгеита (ш=2), так г ж, як ощнки нп.1.2, 4.4. Нарешт!, в п.6.5 ми оцпноемо друг! уангаштт похтдн! уапгальнених рогш'ягшв (ДМ) (1фи т=2) у ваговому еоболевоькому простор! з найкрадм показником ваги. Б и.6.6 ми на приклад! переконуемось в точноетг отриманих результат 1 в.

Роботу м" завершуемо додатком, в якому э!бра1и деяк1 втдом! факти, що викориотовуються в роботу а таком деяк! твердження, ИК1 ми доводимо. Оотанн! ми винеелн в додатак, осмльки вони вшграють допом1жну (але ванлину!) роль I в основному текст! игдволхкали б в!д зм1сту теорем, що доводиться.

' СПИСОК ШЩЬ АВТОРА ПО ТЕШ МИСЕШЦП

1. Барсук М.В. Поведение обобщённых решений задачи Дирихле для квазилинейных зллнптических дивергентшх уравнений второго порядка вблизи конической точки.// Сиб. мат. л. 1990. Т.31. N 6. С. 25-38.

2. Барсук М.В. Неулушаемне оценки решений задачи Дирнчло для линойнш эллиптических надшфгентных убавлений

imjpuí'o порадей ii-'míjuíCI'íí с конической точкой.// ДАН (VCP, -1991.- Т. 317, N 4. С. 790-792.

3. Вороук ¡I.B. Неулучишсмие оценки рниеиий подачи Дирихле для линейпих ¡иишиадшоких иедиьерачггних «равнений второго порядка в окрестности конической точки границн // Матом, об. 1991. Т. Iri>\ MIO. С. 1446-1462.

4. Еороуи М.В. Сценки решопий задачи Дирихле для квазилинейного эллиптического недиьергеитного уравнения второго порядка вблизи угловой точки. // ДАН СССР. -1991.- Т.319, N 6. С. 1289-1291

Ь. Болтун М.В. Оценки решений задачи . Дирихле для квазилинейного яллшттического недивергентного уравнения второго порядка вблизи угловой' точки// Алгебра и анализ. -1991.- Т.З, N 6. С. 85 - 107.

6. Бареун М.В. Поведение решений задачи Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка общего вида вблизи угловой точки.// Укр. шт. ».урн. -1992.- 44, N2. С. 167 - 173.

7. Бороуи М.В. Неулучгааемна оцешем решений задачи Дирихле для ливейннх эллиптических недивергентных, уравнений второго порядка в области с конической •шчкой.// Нелинейные граничные задачи. Сб. научи, тр. Киев: Наук, думка. -1992.- 4. С.9-13.

8. Бораук М.В. Oniniui роов'язк1в . задач! flipixne для квазШнШюго ел1пдашого недивергентного рхвняння другого порядЛу в OKOJii K0HI4H0Í точки// ДАН Укра'ши. -1993.- М 1. С. 12-15.

9. Бореук М.В. О разрешимости аадачи Дирихле для линейных оллиптических уравнений второго порядка в области о коническими точками II Успехи мат. наук.. -1993. -Т.48, N4. С. 176-177. • , ......

10. Борсук М.В. Оценил решений аадвчн >.Дирихле для . эллиптических недивертнтних. уравнений второго порядка

в окрестности конической точки . .границы // ■ ЛМеренци-

алише уравнения. -1994. -Т-.ЗП, Mí. 0.104 1ГЙ. '