Петлевые уравнения движения и свойства вильсоновского среднего в калибровочных теориях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР

Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау

На правах рукописи

Казаков Владимир Александрович

ПЕГЛЕВЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И СВОЙСТВА ВИЛЬСОНОВСКОГО СРЕДНЕГО В КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЯХ

Специальность 01.04.02 Теоретическая и математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1981

Работа выполнена в Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау АН СССР.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук А. А. Мигдал.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Л. Н. Липатов;

кандидат физико-математических наук А. Б. Замолодчиков.

Ведущее предприятие — Физически?! институт АН СССР им. П. А. Лебедева.

Защита состоится 1$ » __198^.года

в // час. ^^Рмин. на заседании специализированного совета Д 002.41.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау АН СССР по адресу: 142432, Московская обл., Ногинский район, Черноголовка, ИТФ АН СССР.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТФ АН СССР.

Автореферат разослан/ ^ ьЛ*.СсЗс _ ___ИМ^г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук

В. Г. Каменский.

Г-'*

1 1 > Г 1

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В последнее время становится все более очевидным тот факт, что калибровочные теории описывают все фундаментальные взаимодействия в природе. Сюда, кроме квантовой электродинамики, хорошо изученной в настоящее время и дающей блестящее согласие с экспериментом, относятся теория гравитации, квантовая хромодинамика (1<ХД), являющаяся основой теории сильных взаимодействий, теория электрослабых взаимодействий (на основе модели Вайнбгрга— Салама). Предпринимаются также попытки объединить различные виды взаимодействий в единую теорию с более широкой калибровочной группой.

.В связи с этим приобретает большое значение количественное исследование различных (особенно неабелевых) калибровочных теорий. В настоящее время чуть ли не единственным достоверным количественным подходом к ним является теория возмущений, которая имеет достаточно узкую область применимости: в КХД, например, рост эффективного заряда при переходе в инфракрасную область (вследствие свойства асимптотической свободы) приводит к. необходимости выхода за рамки теории возмущений для изучения важных свойств адронов.

Объектом количественного изучения в калибровочных теориях иляются калибровочно-инвариантные величины, поскольку тако-зыми являются все наблюдаемые. Наиболее общим калибровоч-то-инвариантным объектом является вильсоновское среднее, а также аналогичный контурный объект, определяющий свойства эарионного сектора в КХД. Для физики сильных и других взаимодействий имеет важное значение возможность сформулировать калибровочные теории только в рамках подобных величин и по-1учить таким образом новую возможность для их количественного изучения.

Цель диссертации — дальнейшая разработка калибро-зочно-инвариантного подхода к калибровочным теориям в терми-1ах уравнений движения в пространстве петель и исследование ;войств различных петлевых функционалов типа вильсоновских :редних.

Научную новизну работы составляют:

точное решение петлевых уравнений в двумерных и(Л*1), О(АО I Эр^) калибровочных теориях для внльсоновских средних от

произвольных самопересекающихся контуров. Получение соответствующих предельных выражении при N с»;

• завершение формулировки многоцветной КХД в терминах ка-либровоЗпо-инвариантных контурных (петлевых) функционалов: получение замкнутого «классического» петлевого уравнения, описывающего однобарионный сектор теории. Нахождение траекторий Редже для барионов с классическими спином и массой через решение этого уравнения;

. формулировка решеточной калибровочной теории (в терминах переменных калибровочной О-компонентной модели Поттса и калибровочной 1ч модели), вильсоновское среднее для которой представлено в виде суммы по всем самонепересекающимся поверхностям с весом ехр (—(площадь поверхности)) (поверхностный аналог самонепересекающейся цепочки). Анализ геометрических критических явлений, возникающих в калибровочных ¿У-ком-понентных моделях Поттса при N 1 и N->0.

П у б л и к а ц и и. Материалы диссертации изложены в 5 опубликованных работах. Из них 3— в иностранных журналах (на английском языке), 1—в советском„журнале и 1 препринт (нэ английском языке).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из 4 глав н заключения. Она содержит 79 страниц машинописного текста, 27 рисунков и 1 таблицу. Сдисок литературы содержит 49 наименований.

Содержание работы

Первая глава содержит анализ современного состояния проблемы количественного описания калибровочных, теорий, проблемы конфайнмента л развития иепертурбативных методов в квантовой хромодинамике (КХД). Дан обзор литературы по этим вопросам и указано место и цель работ автора в этих исследованиях. ,

Указано, что надежные непертурбативные методы в КХД и других калибровочных теориях (в числе измерений >2) практически отсутствуют. Их большая важность для построения теории фундаментальных взаимодействий в природе и перспективность калибровочно-инвариантного подхода, связанного с контурными уравнениями движения, подтверждают актуальность темы, выбранной автором для диссертационной работы.

Свойство асимптотической свободы для полей -Янга — Миллса, открытое Гроссом, Вилчеком и Политцером, позволяет описывать глубоко неупругие процессы и свойства адронов, начиная с величин переданных импульсов — 10(Гэв)2.. При дальнейшем умень-" шении этой величины константа связи бьгстро растет и мы всту-2

паем в область конфайнмента. Сформулирована суть проблемы конфайнмента как явления ненаблюдаемости свободных кварков 11 глюонов.

Обсуждаются полуфеноменологические теории сильных взаимодействий, основанные на КХД: теория «мешков» и ннзкоэнерге-шческая пионная физика (алгебра токов), опирающаяся на ки-ральную симметрию в КХД. Подчеркивается, что эти подходы, не могут полностью удовлетворить теоретиков, которые понимают, что благодаря уникальному свойству асимптотической свободы КХД может описывать весь интервал масштабов сильных взаимодействий.

Пионерские идеи, проясняющие проблему конфайнмента, сол

держатся в работе Вильсона. Им введены понятия Р-экспоненты и натяжения струны, связывающей статические кварки, построена решеточная регуляризация КХД и разложение сильной связи. Эти идеи в различной форме развивались многими авторами. В качестве основных направлений названы высокотемпературное разложение (Когут, Сускинд, Паризи и.др.), моите-карловские вычисления (Кройц п др.), рекурсионное уравнение (Мпгдал, Каданов). Эти методы позволили достоверно установить неограниченный рост заряда с увеличением характерного масштаба н описать свойство кроссовера — резкого перехода между режимами сильной и слабой связи, впервые обнаруженное Мигдалом. Делается вывод, что точность этих методов пока что недостаточна для получения физически наблюдаемых величин: спектра, амплитуд рассеяния адро-ков и т. п,

Обсуждаются топологические механизмы конфайнмента. Один пз них предложен Калланом, Дашеном и Гроссом н основан на приближении разреженного газа инстантонов (топологически . нетривиальных классических конфигураций вектор-потенциала, открытых Белавиным, Поляковым, Шварцем и Тюпкииым). Другой содержится в работах Нильсена, Олесена, Полякова и 'т Хоофта и основан на монопольных классических конфигурациях. Отмече- -но, что последние работы в этой области свидетельствуют о неадекватности квазиклассического подхода проблеме конфайнмента п КХД, ввиду большой роли квантовых флуктуаций вектор-потен-ниала.

Указано, что роль коллективных, переменных, имеющих малые квантовые флуктуации, могут играть вильсоновскне средние. Это особенно наглядно проявляется в схеме 1/Л/-разложення для КХД, предложенной Макеенко и Мигдалом и основанной на петлевых /равнениях движения для внльсоновских средних. Метод контурных уравнений лег в основу второй и третьей глав диссертации. В данной главе подробно выведено уравнение Макеенко и Мигдала ' описаны новые результаты, полученные на его основе. Наиболее }ажным среди них является точное представление многоцветной

КХД в виде фермионной струны, предложенное Мигдалом. Оно призвано дать необходимую вычислительную схему в КХД.

Новые результаты, полученные автором и описанные во 2 и 3 . главах, естественным образом развивают подход контурных уравнений и представляют самостоятельную ценность для КХД. Во второй главе петлевые уравнения решены точно для и(М), 0{АГ), и 5р(Л0 калибровочных двумерных теорий. Получен предел Д;->оодля этих результатов (совместно с И. К. Костовым). В третьей главе найдено контурное уравнение для барионного сектора многоцветной КХД, завершающее ее калибровочно-инвари-антную формулировку (совместно с А. А. Мигдалом). у

Среди идей, предшествующих петлевой динамике и служащих, ее основой, названы теория свободной струны -.(Годдард, Голд-стоун, Рэбби, Торн, Намбу и др.), 1/'^/-разложение 'тХоофта, решение двумерной многоцветной КХД, принадлежащее 'т Хоофту, теория самосогласованного поля для нерелятивистского бариона, развитая в работе Виттена. *

Упомянуты также многообещающие контурные законы сохранения Полякова, смысл которых еще недостаточно прояснен.

Обсуждается возможность решения некоторых калибровочных теорий в виде сумм по поверхностям. В качестве примеров названы представление Мигдала в виде фермионной струны для много цветной КХД, решеточная сумма по поверхностям для статсуммы трехмерной калибровочной модели, предложенная Доценко и Поляковым, а также сумМа по решеточным самонепересекающимся поверхностям для вильсоновского среднего в калибровочной теории, найденной автором и Обуховым и описанной в четвертой [Лаве диссертации.

Вторая -глава посвящена точному решению двумерных петлевых уравнений движения для иО(М) и 5/?(//) калибровочных теорий и нахождению точных выражений для вильсонов-ских, средних по контурам произвольной топологии.

Подчеркивается тот факт, что в рамках подхода петлевых уравнений невозможно вычисление калибровочно-неинвариантных величин. Однако они и не нужны для описания физических свойств теории. - .

Сначала кратко рассмотрен диаграммный метод вычисления двумерных вильсоновских средних'. Хотя он и дает принципиальную возможность вычислить ответ для контура любой сложности, вычисления эти громоздки и трудоемкость их быстро возрастает с усложнением топологии контура. Аналогичными недостатками обладает и метод последовательных групповых интегрирований на решетке. Такие вычисления до описанной в диссертации работы автора в литературе не встречались.

Метод петлевых уравнений, впервые предложенный Макеенко и Мигдалом, основан на известной формуле Мандельстама для 4

вариации по площадочке от петлевого функционала. Эта формула обычно выводится в предположении о. малости размеров площадочки по сравнению с радиусом обрезания в координатном пространстве.

В двумерном случае более полезным оказался «нерегуляризо-ьанный» вариант формулы Мандельстама, выведенный при нулевом радиусе обрезания. Эта формула для вариации по-площадочке от вильсоновского среднего, впервые полученная Косговым и автором, гласит:

5ИПС1 л .1

= < 1гР(Глу{х) ЩСХ})> - \VICU

' 2

где ^^(л) — янг-миллсовская напряженность--

Ф [Сж] — упорядоченная по контуру Сх экспонента;

«^¿М —тензор нормали.

Эта формула отличается от привычной формулы Мандельстама аномалией.—.вторым членом в правой стороне.

Далее, используя квантовые уравнения движения, тождества Фирца. и простые преобразования, аналогичные тем, которые ведут к уравнению Макеенко — Мигдала, можно получить уравнение для скачка производной по площадочке от вильсоновского функционала в двух близких точках:

еслит)—точка само-

8 Г [С]_ 8 \У\С]

За(;с(т) + Д) Ъв(х{х)~Ь)

касания или самопересечения;

,0, если л(х)—любая другая точка.

л

Здесь И — операция перезацепления касающихся или пересекающихся участков контура, вид которой зависит от тождества Фирца для данной группы.

Для получения из этой формулы конкретных результатов необходимо воспользоваться легко доказуемым утверждением о том, "то вильсоновское среднее в двумерной теории представляет собой функцию площадей «окон», образуемых на плоскости самопересекающимся контуром. Этот факт позволяет переписать функциональные уравнения в-виде уравнений в частных производных по площадям «окон», которые решаются до конца при любом контуре. Ответ представляет собой сумму экспонент от определенных линейных комбинаций площадей. Дан общин алгоритм вычисления вильсоновского среднего от произвольного контура. Некоторые результаты для С (ДО калибровочной теории приведены в таблице..

Вычислены также некоторые вильсоновские средние для О(А^) и 5/7 (#) теорий,

Полученные результаты свидетельствуют о нарушении закона Кулона, справедливого для тяжелых зарядов в абелевой теории, из-за наличия у неабельных зарядов дополнительного квантового числа — цветного спина.

Особый интерес представляет предел N -* со в полученных ре: зультатах. К этому пределу можно непосредственно перейти в окончательных формулах для W[C] при конечном N и получить результаты, приведенные в таблице. Более поучительным, однако, является непосредственное решение нелинейного контурного уравнения Макеенко—Мигдала, вернее, его двумерной версии, полученной в диссертации. Это уравнение получается из исходного при использовании свойства факторизации среднего от произведения нескольких следов на произведение средних. Описана процедура решения системы таких уравнений (в точках самопересечений) для произвольного контура.

Интересна связь решений при N— оа с анзатцем Намбу для W[C]—суммой по всем поверхностям, которые можно натянуть lia данный контур С. Ответ действительно содержит экспоненты от площадей таких поверхностей (в двумерии для каждого контура существует конечное число таких поверхностей), однако пред-экспоненциальные факторы содержат полиномы от этих площадей, ■ свидетельствующие о наличии дополнительных степеней свободы на хромодинамической струне.

Итак, метод контурных уравнений оказывается наиболее адекватным поставленной задаче — вычислению различных вильсонов-ских средних.

Вторая глава посвящена разработке формализма контурных уравнений для многоцветного бариона. Этот подход естественным образом дополняет и завершает калибровочно-инвариантную формулировку многоцветней хромодинамики, предложенную Макеенко и Мигдалом в форме петлевого уравнения для вильсонов-ского среднего.

Сначала обсуждается качественная теория многоцветного бариона, предложенная Виттеном. Отмечается, что главная трудность состоит в том, что число"кварков в барионе равно числу цветов. Виттен первый понял, что столь сложный на первый взгляд объект, как барион, при N °э допускает простое описание в терминах самосогласованного поля для каждого барионного кварка. Метод самосогласованного ноля становится точным в пределе N со, поскольку плотность кварков оказывается возрастающей пропорционально N. Масса такого бариона также—N, чем и объясняется плохое поведение диаграммной техники для таких величин, как функции Грина; 6

Главным недостатком теории Виттена является отсутствие количественной релятивистской картины для многоцветового ба-риона.

Нерелятивистский метод Хартр'и—Фока, использованный им; имеет весьма ограниченную область применимости (случай тяжелых кварков). Кроме того, приходится предполагать конкретный вид трехмерного (мгновенного) межкваркового потенциала.

В данной главе изложен последовательный релятивистский подход к многоцветному бариону, основанный на калибровочно-ннвариантной формулировке контурных уравнений движения.

Для того чтобы обобщить метод самосогласованного поля на релятивистский случай, логично выбрать в качестве самосогласованного поля амплитуду распространения Ь(Г) выделенного бари-онного кварка вдоль данной мировой линии Г в присутствии других кварков. Получение контурного уравнения для Ь(Г) вполне аналогично процедуре получения уравнения Макеенко—Мигдала. Главной особенностью подхода, позволившей получить правильный предел N -»• со, является сам выбор величины Ь(Г) как логарифмической производной по контурному источнику /(Г) от бари-снной функции Грина

г 1 81п (?(*--у, У (Г)) N. 5/(Г)

Здесь /(Г) — амплитуда распространения свободного кварка по заданной мировой линии Г. .

Уравнение сначала "выведено для конечных N. Оно содержит не только величины типа Ь(Г), но и их функциональные производные по /(Г). Значительное упрощение наступает при N ->■ <*>: функциональными производными можно пренебречь, и контурное уравнение становится «классическим». Оно имеет следующий вид:

"Г ^Т~Г7~= Г М(-г)]т(Гг(ЩГх1Ггу)В^ х) + ). ^ Цу(2) J

+ /ЖГ^ЖГ,, г<у)в(г, ¿)1 --рР'ху) Г Щ-гЩГ„ Г'1уЩГ'л, Г„).

Г'ху

1 лгу

Здесь т (Г2/) —^обычное вильсоновское среднее, отнормиро-нанное на 1. За 2 обозначен интеграл по путям.

Г'л-у

Совместно с уравнением Макеенко—Мигдала для т(С) данное уравнение полностью определяет динамику однобарионноги сектора. Имеется еще нормировочное условие

2&(Г)/(П = 1.

г

Первый и второй члены в правой части полученного уравнения возникают, когда мировая линия Г^ содержит замкнутую петлю Г<г (или 1\(). Наличие петель соответствует рождению и уничтожению вакуумных кварк-антикварковых пар, характерным для релятивистской картины. Третий член описывает обменное взаимодействие выделенного кварка с остальными кварками в барионе.

Подчеркнем, что величина Ь (Г) полностью описывает всю физику однобариониого сектора при N -* °о в соответствии с «классичностью» всех физических (калибровочно-инвариантных) переменных. Например, можно через нее выразить наинизшую массу Сариона:

гот . дТ

где | х — у | = Г со.

Соотношение оказалось чисто классическим. Масса пропорциональна обратной константе квазиклассического разложения N. Все это подтверждает замечание Виттена о сходстве барионов с солитонами в обычных теориях поля, где их масса пропорциональна обратной константе связи.

В заключении главы рассмотрена спиновая и флейворная структура бариона. Хотя многоцветный барион и может иметь спин — 1, наиболее типичным представляется состояние со спином (и флейвором)~А/. Таким образом, в нашем формализме барион имеет не только классическую массу, но и классические флейвор и спин, хотя сам он состоит из релятивистских кварков.

Для простоты рассмотрен случай двух флейворов. Показано, что используя метод перевала, можно найти траектории Редже (зависимость массы от спина) для барионов. Эта зависимость является также чисто классической, причем для ее определения достаточно знать лишь Ь(Г).

Обсуждаются также перспективы решения полученного уравнения в виде некоторой-суммы по поверхностям.

Четвертая глава посвящена геометрической интерпретации высокотемпературного разложения в некоторых решеточных калибровочных моделях. В частности, рассмотрены геометрические критические явления поверхностного типа, возникающие в ^-компонентных калибровочных моделях Поттса в пределах N 1 (пер-8

коляционный предел) и N -*■ 0. Основным результатом, изложенным в этой главе, является трехмерная решеточная калибровочная модель, переменные которой представляют собой прямое произве дение изинговых и поттсовских (при N -у 0) переменных, высокотемпературное разложение для которой представлено в виде суммы по самонепересекающимся поверхностям.

В начале главы отмечается, что рассмотренные.геометрические критические явления поверхностного типа являются обобщениями известных явлений, происходящих в спиновых моделях Поттса и О-компонентных моделях с непрерывной симметрией: блуждание без самопересечений, перколяция, ветвящиеся кластеры без замкнутых петель и т. д. .

Таким образом, излагаемые результаты, помимо их концептуальной важности для понимания структуры калибровочных теорий (примеры представления вильсоновского среднего в калибровочных теориях в виде суммы по поверхностям, натянутым на контур, даны недавно в работах Мигдала — о многоцветной КХД, а также Доценко и Полякова — о трехмерной модели Изинга), могут оказаться полезными для исследования конкретных физических систем.

Дается определение Аппозиционных калибровочных моделей Поттса. Упоминается кратко преобразование дуальности для них и определяется критическая температура в четырехмерном случае из свойства самодуальности.

В случае перколяционного предела N -> 1 показано, что в трех' мерной калибровочной модели Поттса соответствующим образом определенное вильсоновское среднее дает вероятность того, что не существует никакого контура С\> зацепляющегося за контур С, входящий в определение вильсоновского среднего, и не пересекающего ни одного плакета. При этом плакет присутствует с вероят-

X

, ~ г

ностью р—1—е на каждой элементарной грани решетки.

В четырехмерном случае аналогичное утверждение справедливо относительно замкнутой поверхности 2ь зацепляющейся за контур С. Точка перехода в этом случае известна из самодуальности.

Отмечается, что, согласно работе Когута, в четырехмерных моделях Поттса при N<.1 осуществляется фазовый переход второго рода, а при N> 1 — первого. Таким образом, в рассматриваемых моделях имеются длинноволновые критические флуктуации.

Случай N 0 также имеет поверхностную интерпретацию: в соответствующим образом определенную статсумму дают вклад конфигурации плакетов, образующие произвольные ветвящиеся поверхности без замкнутых двумерных циклов (дыры разрешены).

Из формулы для температуры самодуальности видно, что фазовый переход в четырехмерном пространстве для этой модели при конечных температурах отсутствует. Рекурсионное уравнение Миг-дала показывает, что это утверждение, по-видимому, справедливо и для размерностей

Третья, наиболее интересная модель, как уже упоминалось, в трехмерном случае представима в терминах суммы по самонепересекающимся простым (без дыр и ветвлений) поверхностям. Комбинация изинговых и поттсовских (при N -*■ 0) переменных обеспечивает простые геометрические «правила запрета»: изинговы переменные запрещают наличие свободных краев и ветвлений у поверхности, а погтсовские переменные (при N -*■ 0) приводят к отсутствию -замкнутых циклов.

В четырехмерном случае геометрическая интерпретация-модели усложняется ввиду того, что поверхность может самопересекаться в узлах решетки. -

Эти примеры подчеркивают еще раз адекватность описания -различных теорий при помощи сумм по поверхностям. Однако для построения количественного подхода необходимо вычислить про-пагатор свободной струны.

В заключении перечислим новые результаты, полученные автором и описанные в диссертации.

1. Вычислены вильсоновские средние в двумерных непрерывных и(М), О(Л0, Зр^) калибровочных теориях для контуров произвольной топологии (в том числе и •самопересекающихся произвольным образом). Описан простой общий алгоритм таких вычислений, основанный на уравнении движения в петлевом пространстве (уравнение Макеенко—Миг дала). Дан подробный анализ, этого уравнения в двумерии. Рассмотрен предел Nо= в уравнениях и в решениях.

2. Построен петлевой подход к многоцветному бариону, основанный на нелинейном классическом уравнении движенйя в пространстве петель. Подход обобщает нерелятивистскую картину многоцветного бариона, предложенную Виттеном, на случай легких кварков. Через решение этого уравнения выражены траектории Редже бариона. В этой картине барион имеет массу и спин, пропорциональные N. Предложенное уравнение завершает формулировку калибровочно-инвариантиоГо (петлевого) подхода к КХД. Обсуждается 1/Л^ разложение для барионов.

3. Найдена решеточная калибровочная теория, использующая ьзинговы переменные и переменные модели Поттса, вильсоновское среднее для которой в точности представимо в виде суммы по всем самонепересекающнмся поверхностям (аналог самонепересекающейся цепочки). Описаны геометрические критические явления (поверхностного типа), возникающие в калибровочных одно- и нулькомпонентных моделях Поттса.

Основное содержание, диссертации опубликовано в следующих работах автора:

1. „Nonlinear Strings in Two-Dimensional LK«>) Gauge Theory" (в соавторстве с И. К. Костовым),Ыис1. Phys., 1980, В 176, р. 199— 215.

2. „Wilson Loop Average for an Arbitrary Contour In Two-Dimensional U(N) Gauge Theory", Nucl, Phys., 1981, В 179, p. 283—292

3. »Random Surfaces and Potts Gauge Models" (в соавторстве с С. П. Обуховым), Landau Institute Preprint — 1, 1981, li p.

4. «Барион как солитон в пространстве петель» (в соавторстве с А. А. Мигдалом), Письма в ЖЭТФ, 1981, т. 33, вып. 12, с. 661—664.

5. „Вагуоп as Soliton in Loop Space" (в соавторстве с А. А. Мигдалом), Phys. Lett, 1981, v. В 103, п. 3, р. 214—218.