Почти периодические решения краевых задач для некоторых нелинейных параболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Р Г Б ОД

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

АСАНОВА Анар Турмаганбетовна

ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕКОТОЖ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

OI.OI.OE - доф^ренциальньге уравнений

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физкко-магеыатических наук

Адыаты 1994

Ргйота шполнеяа в Институте теоретической в прьддаялой ¿гах-еьжтз.::.» Ноглокальной академии наук Республики Казахстан

Ваучг&Я jrysoBOitir?esi>':

О&шигяькие оппонента:

Ведущая организация:

члзн-коррзспондеи? HAH PK, доктор флзико -ыатезаатических наук, профессор Д.У.Укйетванов члек-корреспондент АН Украина, доктор физико-математических нарт, профессор АД1. Саыойленхо кандидат физико-иатематнческнх наук, СНС ' Ц.Т.Дгеналйев Институт математики HAH Кыргызской Республики

Защита состоится " "1994г. в час,

ка заседании специализированного совета Д 53.04.01 з Институте теоретической и прикладной математики HAH PK по адресу: 480021, ■т. Алыагы, ух. Пушкина, 125.

С диссертацией.кожио ознакомиться в библиотеке Института теоретической и прикладной математики HAH PK.

Автореферат разослан " J5." ¿¿^¿¿/¿/¿¿¿г 1994г.

Ученый секретарь с ii ециалул кри в анног о совета кан.ги^ат. фагико^атекзткческих У

наук, CPLC —■ А.Т.Кулахуетова

.ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА; РАБОШ

I . .

Актуальность теш. В теории колебаний исключительно боль-вое теоретическое и практическое значение имеет изучение одномерных и многомерных периодических и почти периодических.колебаний. Самые разнообразные задачи механики, физики» биологии сводятся к исследованию периодических и почти периодических решений как обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений в частных производных.

Классическая теория линейных уравнений с периодическими коэффициентами и общая теория нелинейных периодических уравнений была создана А.М.Ляпуновым и А,Пуанкаре. Изучение.реальных явлений естествознания и техники и создание общей теории почти периодических функций П.Г.Болем, З.Эсклангоном, Г.Бором, С.Боннером, Б.М.Левитаном и другими привело, к современным актуальным задачам теории почти периодических колебаний и их приложениям, основы которых были разработаны.в фундаментальных трудах Н.М. Крылова, Н.Н.Боголюбова, Ю.А.Штропояьсяого, А.М.СамоЛлекко я других.

За последнее время значительно возрос интерес к проблеме периодических и почти периодических по временной »-пространственным переменным решений дифференциальных уравнений параболического типа. Исследованию этой проблемы посвящены работы 1,А. Багирова, В.В.Ликова, Н.Н.Кочиной, Д.У ."Умбетаанова, Дх.Хейла, И.И.Шиулева, М,А.%бина а др^.

В процессе развития теории нелинейных колебаний возникли простейшие "модельные" уравнения, которйЗ в некотором смысле обладают свойством-универсальности, т.ё.ч ногут встречаться при реиении задач самой разнообразной физэтеасой природы. К числу таких уравнений, например, относятся известные уравнения Бэр-герса, Ланжевека, Фкшера, Зит'Дхью-Нагумо и их многокерные. ана-

доги. Эти уравнения получены при изучении различных задач в гидродинамике, теории движения элементарных частиц, в генетике . и биологии» Периодические и почти периодические по временной переменной решения начально-краевых задач для ¿-равнения Бюргер-са изучались Н.Н.Кочиной, И.И.ЕЫулевьш, В.В.Шелухиныы и др.. Уравнение Лаижевена рассматривалось в работах Г.Хакена. Уравнения Фишера и Фитцхью-Нагуью и их разновидности исследовались в работах Дж.Марри и Д.Хенри. Все эти уравнения в известной игре объединяются общей главкой дифференциальной частью в виде оператора теплопроводности и различаэтся характером входящих в них нелинейностей.

Из физических соображений ясно, что если изучается развитие процесса в ыоыент, достаточно удаленный от начального, то влияние начальных условий практически не сказывается в ыозгент наблюдения. В этом случае ставится задача об отыскании решения уравнения, удовлетворяющего граничным условиям одного из трех типов и определенного для всех ¿>-оо . Такая задача без начальных условий исследовалась еще Фурье при определении температурных колебаний.почвы. Немало физических явлений проистекая? периодически С скорее всего почти периодически) как во.времени, так и в пространстве. Очевидно, вопрос о почти периодических- как во временной, так и по пространственным переменным • решениях в полной ыере. может быть поставлен и решен в рангах вышеназван®«: уравнений с почти периодическим относительно тех же переменных внешним источником или с краевой задачей по одной кз пространственных переменных с почти периодическим по Есеы остальным переменным граничным условием. Почти периодические решения краевых задач для линейных параболических уравнений изучались в работах Д.У.Укбетаанова, им решен вопрос о еущзстзованаи, единственности и устойчивости почти пердодичес-

кого решения краевых задач всех трех типов, установлен аналитический вид такого решения. Эти результаты распространены и-на случай систем параболических уравнений с матричными коэффициентами. Б данной диссертационной работе основным объектом исследований стали вышеприведенные нелинейные модельные уравнения в обобщенном виде, а именно, рассматривается многомерный случай, и крсие того, уравнения дополняются младшим и свободным членами, превращаясь тем самым в неоднородные нелинейные параболические уравнения. В связи с этим в работе употребляется термин "уравнение типа Еюргерса", "уравнение типа ЛанжеБена" и т.д., с различными краевыми задачами.

Цель работы. Исследование условий существования и единственности почти периодических решений первой и второй краевых задач для многомерных уравнений типа Фитцхью-Нагумо и типа Фишера с нелинейным конвективным потоком, частными случаями которых являются соответственно уравнения типа Ланжевена и типа Бзэргерса.

Научная новизна. В диссертационной работе вопрос о почти периодических решениях краевых задач для параболических уравнений с нелинейностями специального вида ставится впервые и решается положительно в классе гладких ограниченных почти периодических функций. Кроме того, изучена краевая задача для уравнения типа Ланжевена с нелинейностью в граничном условии а почти периодическими входными данными. Для построения почти периодических решений изучаемых нелинейных задач в основном применен метод последовательных приближений.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит в основном теоретический характер. Результаты работы могут быть также полезны при решении ряда прикладных задач, приводящихся к изученным в работе нелинейным уравнениям.

- б -

На з sich ту автор выкосит следующие результаты:

- доказаны теоремы о существовании и единственности почти периодических реаений первой и второй полупространственкых краевых задач для уравнений типа Фитцхъю-Нагумо и типа Фихера, которые в частном случае переходят к уравнениям типа Ланжевена и типа Бьзргерса соответственно;

- доказано существование и единственность почти периодического решения краевой задачи для уравнения типа Ланхевена с нелинейным граничным условием;

- получены в явном виде коэффициентные критерии, обеспечивающее однозначную разрешимость рассматриваемых краевых задач.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Республиканской конференции, посвященной 100-леткю первого профессора-казаха по математике А.А.Ермекова (Жезказ-;-ан, 1992), конференции, посвященной 70-летию профессора Т.И. Амакова (Алкаты, 1993);

- на научных семинарах: по.фрактальной геометрии акад. HAH Н£ В.М.Амербаева, по уравнениям математической физики членов-корр. HAK PK Е.И.Кима и С.Н.Харина, по теории функций и функциональному анализу члена-корр. HAH PK Н.К.Блиева, по дифференциальным уравнениям и функциональным пространствам члена-корр. 'HAH PK Д.У.Умбетаанова при Институте теоретической и прикладной математики HAH PK, по уравнениям математической физики проф. С.Е. Темкрбулатова, по корректным задачам акад. НА PK Ш.С.Смагулова при КазНГУ им. Аль-Фараби.

Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть статей, перечень которых приложен в коще автореферата.

Структура и объем раооты..Диссертация изложена на 100 страницах машинописного текста,- состоит из введения, трех глав, разделенных на II параграфов и списка литературы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель исследования и приводится краткое изложение основных результатов.

Пусть Е"~ - вещественное евклидово Л-мерное пространство точек Х = (Х,,ХЛ,...,ХЛ) с нормой ¡^-(Х.,^.) , £(Х) - определенная и непрерывная на £л функция- фиксированная точка из Е* . Множество точек ХсЕ* , удовлетворяющих условию

1>0 , называется шароы в £."'■ с центром в -2?0 и радиусом £ и обозначается 2>(£<>Л) ■ Множество [Щ П.-мерных векторов называется относительно плотным в Е* , ес-

ли существует число ¿>0 такое, что

Дусть СВ(Е*) - банахова алгебра непрерывных и ограниченных на Еп функций с нормой ///^й^^ ' Ьектор

называется ¿-почти периодом функции СЗ(ЕП),

если V2.eE* имеет место неравенство

функция £(£) € СВ[ЕП) называется равномерно почти периоди-Чёсяой (п.п.) функцией, если У&>0 существует множество её £,-почти периодов, 'относительно плотное в Е"~ . Множество всех равномерных й.п. функций на £*Л обозначается через САР(ЁЛ) и представляет собой банахову подалгебру алгебры СВ[Ё") с указанной выше нормой.' Дусть ('-ов ,■*«» ) ,

а,Х)е£'*п~,31) - определенная и непрерывная на фун-

кция. функция ,31) называется п.п. по с ¿-почти периодом 1Л) е Е'*Л если

Ца+т.х+и) £

и , множество {Тг^ТЛ} является относительно плотным

множеством в Е1*" . Будем писать САР (Е**л) .

Дусть (Е- ) - пространство функций , удовлет-

воряющих условию Гельдера тЪ ,31 с показателями и . Положим САР?';! (ЕП-ШЕППН?'Л (ЕП .через

обозначается класс функций £(£,£) , .гля которых все производные ло порялка вида д*д1 САР (Е'*"), где 2 - целое неотрицательное число, К£ х - г неотриаа-

г—Л г.

тельными компонентами, ^ - целочисленная сешетка в £ . ¿¡о-лежим САР:^Т(ЕП=Ш:'1(ЕПпСАР^;1(ЕгП . Также введем СВ1^?(ЕП=СВ(ЕППНГТ* (£'") множество непрерывных и ограниченных функций, лля которых производные порядка (Е ) . рас-

г—П

ширим пространство с. за счет скалярной переменней у и вье-дем далее полупространство ^еЕ"" ,уе£0, +0**)}.

В первой главе рассматриваются вопросы существования и единственности п.п. решения краевых задач для уравнения типа Фитц-хью-Нагумо

Ы^и* -аЧ&и+и3+Уи\ (I)

где И= искомая'функция, О. и у - лолоиктельньге

постоянные, Л - оператор Лапласа по 31 , А и с/ - .параметры, у) - заданная функция, с граничными условиями соот-, ветственно .

= (2)

Предполагается, что функция является п.п. по ¿, 31

с £-почти периодом &) равномерно относительно , ог-

раниченной и непрерывной для всех удовлетво-

ряющей по всем переменным равномерному условию Гельдера с показателями ^ , 9 , С» ^ где Ъе(ог1) , т.е.

Первая полупространственная краевая задача: найти 1М^,Х,'у)

ограниченное лля всех (6, X, у)€Е1***' • п.п. по 1: , X. э Е " равномерно относительно Е' , удовлетворявшее уравнению (I) и граничному условию (2), где

Обозначим условия на ¿,X,у) и Ср{-£,£) - условиями (Д). Вторая полупространственная краевая задача: найти (£(-Ь,31,у) ограниченное для всех , п.п. по £, ; в

Е равномерно относительно *» удовлетворяющее урав-

нению (I) и граничному условию '3), где

ПСАР(ЕППСВТ:Т(Е1П .

Обозначим условия на и <£>(£,Л) - условиями

Чтобы найти ограниченное п.п. решение уравнения

(I) с граничным условием (2) применяется метод последовательных приближений. Для этого изучается сначала линейное уравнение / ,

= (4)

с граничный условием (2). Его ограниченное п.п. решение было построено в работах Д.У.Умбетжанова и имеет вид • ,

■ь ар

— 00 е- о ^

где у)=[4ЖаЧ] О, - фундаментальное

решение однородного уравнения. Это решение берется за начальное приближение, т.е.

= иш . Тоуда кг

ое приближение

определяется из уравнения с граничным условие».

= (/>(£,31) (б)

Решение краевой задачи (5),(6) имеет вид

и!кН,ию'(±,г,у)+ [ Г ] [[/Пч, , -

-¿о'С. о

Из условий. (&), свойств решения получим соотношения

¡{(ь'лф!* ж, / оС'-* «ел*

у) - и^илу)/^ ($+*)£ .

Исследование.последовательности показывает, что сна схо-

дящаяся. :Дри выполнении соотношений

где /) » последовательность [Ц'*1} , а также последоеа-

//С)

тедьности, составленные из частных производных . ¿1 , равномерно сходятся. Получе5шая предельная функция ¿¿*= ¿¿т.

оо

буд?" ограниченной

дзя Есех а,21, г/}€- Ь+ - , п.п.

равномерно относительно и удовлетворяет гранично-

му условию (2). Результат сформулирован в виде теоремы. Теорема 2.1. Первая полупространственная краевая задача (1),(2) для уравнения типа £итцхьп-Нагумо при выполнении условий (£>*), соотношений (7),(8) имеет единственное ограниченное п.п, решение, определяемое последовательным приближением и удовлетворяющее оценке (9) для всех (¿, Х,у) £ ^

Аналогично изучается вторая краевая задача (1),(3). Ограниченное п.п. решение (4),(3) имеет вид

-2а*Ц ,,у)<//&,$■)

Здесь такзе строятся последовательные приближения, гдз за тачальное приближение берется решение И(т— . /С-ов приближение определяется из уравнения (5) с граничные условием

= (Ю)

Тогда решение (5)»(10) выписывается в виде

■6 со-

-оо Е

При выполнении соотношений

Где ¡У(€, х)/* ,

последовательность {Ы*"'} , а также последовательности, составленные из частных производных И?"* , равномерно сходятся. Предельная функция И* будет ограниченной

рря всех + , п.п.

у)- (т "

равномерно относительно уЕСО^оо) и удовлетворяет граничному условию, (3).

Те о рема 3.1. Вторая полупространственная краевая задача (1),(3) для уравнения типа штцхью-Нагумо при выполнении условий (, соотношений (II),(12) имеет единственное ограниченное п.п. реиение, определяемое последовательным приближением и удовлетворяющее оценке (13) да всех. (■&>Я,у) С Е+***'

Уравнение (I) при ¿/=-¿7 . является уравнением типа Данжеве-на и результаты, полученные, ддя уравнения.(I), будут справедливы к для-него. В этой главе-научаются также однородные краевые задачи для уравнения (I). В этом случае последовательные приближения у) принадлежат тому же классу, что и внешний источник, т.е.

. Это используется- при получении оценок для старших производных . Если внешний источник и граничные функции не зависят от временной переменной ~Ь , то ограниченное п.п. решение краевых задач (4),(2) и (4),(3) также не будут зависеть от ~Ь . Тогда данный вопрос перейдет к проблеме о существовании и единственности ограниченного п.п. по 31 решения нелинейного эллиптического" уравнения

ии^-аЧ^и иуу)+хи=рх,у)+ки3+4(1я (14) с граничными условиями

ЩЯ.у)! (15)

соответственно. Полученные результаты сформулированы в виде теорем и лемм.

го второй главе, объединяющей §б - §9, изучаются вопросы существования и единственности п.п. решения уравнения типа Фишера е. нелинейным конвективным потоком

с граничными условиями '2) и '3) соответственно, гле относительно граничных функций предполагается

Обозначим условия на £("¿,31,у) и ^(-¿¡Л!) - условиями (Р^, а на и Ц)(-Ьг£) - условиями Снова за началь-

ное приближение возьмем ограниченное п.п. решение запач (4), (2) и (4),(3) соответственно. Тогла К-ое приближение определяется из уравнения

iиГ%№'*"Т (16)

с граничными условиями соответственно (6) и (10). Решение задачи (18),(6) выписывается как и .в главе I. При выполнении соотношений

где Ci

- коэффициент Гельд^ра функции (р , Г*(~) ~ гам_ ма-функция, последовательность flL/t:'j и последовательности, составленные кз частных производных ¿¿/ю .равномерно сходятся. Предельная функция такке будет ограниченной п.п. функцией, удо-ьлетворяющей граничному условию (2).

Те оремаб.1. Если выполняются условия соотношения

>19),(20), то первая полупространственная краевая задача '17),

(2) для уравнения типа Фишера имеет единственное ограниченное п.п. решение U*(t,3ity) , для которого справедлива оценка

для всех

Аналогично выписывается решение задачи (18),(10). При выполнении соотношений

• (21) fcj , <22)

где £t « -feMt П X , Mi ■ ~ коэффициент

Гель дера функции , последовательность ^¿¿f/c>J и послёпо-вательности, составленные из частных производных IL - , равномерно сходятся.

Теорема 7.1. Если выполняются условия соотношения

(21) ,(22)то вторая полулространственная краевая задача (17),

(3) для уравнения типа Фишера имеет единственное ограниченное п.п. решение IL*(и для него справедлива оценка

для всех (£,J2,y)€-t+ - "

Уравнение (17) при £-0 переходит в уравнение типа Бюргерса и результаты остаются верными и для него. Кроме того, изучают-

ся однородные краевые задачи для уравнения (17), стационарный случай. Полученные результаты сформулированы' в виде теорем. В третьей главе, объединяющей §10 - §11, выясняются условия существования и единственности п.п. решения краевой задачи для уравнешя типа Ланжевена с нелинейным граничным условием вида дШ^Х.у) (¿¿(¿.Х.О)- . (23)

Здесь предполагается, что функция £(-6,31. по всем переменным, а граничная функция ^(£,2.) по переменной "Ь , ее производные {■£, по переменным Хс удовлетворяют условии Липшица, креме того являются ограниченны)-«, т.е.

/€САР:;1х(ЕППСВ'У(Е1), реСАР(ЕППСВ{'£(ЕП .

Обозначим эти условия через (о£). Рассмотрение такой нелинейной задачи Еполне естественно, она возникает при исследовании конкретных физических процессов. Подобно ранее изложенному, используется метод последовательных' приближений. За начальное приближение берется ограниченное п.п. решение линейной части уравнения и граничного условия. Тогда И-ое приближение определяется так

I и'ю= /К, (и'"--»)3,

При выполнении соотношений

й/ ^ , (24)

- <г5>

где о4 = , последовательность , а так-

же. последовательности, составленные из частных производных

- 16 -

цШ ----- "" " -

IL , равномерно сходятся.

Теорема 10.1. Пусть выполняются условия (<5?>, соотношения (24),(25), тогда существует единственное ограниченное п.п. решение нелинейной краевой задачи \23) для уравнения типа Лан-кевена, для которого справедлива оценка

для всех •

Также изучаются стационарный случай и случай, когда

Автор вырахает искреннюю благодарность научному руководителю д.ф.-ы.н., члену-корр. HAH PK Д.У.Уыбетжанову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Асанова А.Т., Уыбетканов Д.У. Почти периодическое решение уравнения типа Бюргерса //Деп. в ВИНИТИ 20.06.91, F 2593 - Б91.

2. Уибетканов Д.У., Асанова А.Т. Почти периодическое решение неоднородного уравнения Ланжевена с диссипативным членом // Деп. в ВИНИТИ 20.10.92 ЗОН - ВЭ2.

3- Асанова А.Т. О почти периодическом решении одного квазилинейного уравнения параболического типа //Изв. HAH Ш. Сер.фкз.-матем. - 1994. ]р I, ~ С. 12-16.

4. Асанова А.Т. Почти периодические решения краевых задач для уравнений типа Бюргерса и Фишера //Деп. в КазгосйНТй 8.04.94, Ii 4758 - Ка94.

5. Асанова А.Т. Почти периодические решения краевых задал ддя уравнений типа Ланжевена и Фитцхью-Нагумо //Деп. в КазгосИНТй 8.04.94 , * 4767 - Ка94.

6. Асанова А.Т. О почти периодическом решении уравнения типа Фишера с нелинейным конвективным потоком //Вестник HAH FK

- 1994. » 2, - С.^-УЯ

Асадова А.Т.

KeMip сыгнцснп параболальщ тецдеулор ушхн C9TTIK есептерд:ц периодты дерлгк ceuiiMflepi

Дербес жагдаЯда сэйкес Ланжэвен асане'Бюргере текгёс тен-деулерге айналатыи Фитцхьв-Harywo жэне Фишер тектес тендеулер утпш öipirai жэнв екхншг -7яртылайкен1ст1кт1к иэттхк есептер-дхн периодты дерл:к шзгнмд'зртнщ бар болун мен яалгыздыгы ту-ралы тесремалар дэлелденген. Спзьщсыз шекаралыц парты бар Лан-?.евен тектэс тендеу таги шетт-iK есептщ периодты дергдк nsai-М1нгч баР бслуы мен ггалгыздагы дэлелденген. Яарастырылка отыр-ган петтгя есэптердхц бхрманд! ыепплугн цамтамасыз ететш ай-дын тгрде когфбициенттхк критерийлер алынган.

Assnova A.I.

Almost Periodic Solutions of the Boundary Value' Problem for Sens Uon-linear Parabolic Equations

2he theorems of the existence and un±quines3 of almost periodic solutions of the first and the second half-space boundary value problems for the Fitshew-liagumo-type end. Fisher-type equations in a special сазе passing to the Langevin-type and Eurger3-type equations are proved. ЗЭхе existence and the uniquiness of alaoat periodic boundar;; value problem solution for the equation of bangevxn-type with, non-linear boundary condition is proved. The coefficient criterion^, providing the univalent solvability of the regarded boundary value problems are received in explicit form.