Почти-периодические решения нелинейных гиперболических уравнений в ограниченной области тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ иы. М.В.ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 517.957

Ширикян Арыен Рафикович Почти-периодические решения нелинейных гиперболических уравнений в ограниченной области

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-ыатеиатических наук

Москва 1994

Работа выполнена на кафедре общих проблей управления ыехани-ко-матенатического факультета Московского Государственного университета имени М.В.Ломоносова. - . . .

Научный руководитель - доктор физико-цатеиатических наук, профессор М.И.Вишшс

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, профессор М. С. Агранович доктор физико-математических наук, профессор В.В.Хиков

Ведущая организация - Институт прикладной математики имени М.В.Келдыша Российской Академии Наук

Защита диссертации состоится " " А/.'л 1994 года в 16 часов 05 минут на заседании специализированного Совета Д.053.05.04 при Московской Государственной университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119889, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 зтах).

• ■ - /' -

Автореферат разослан " • - " - Ч ^ ,/ .и 1994 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета Д.053.05.04 при МГУ, ГI

профессор

Т.П.Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Теория почти-периодических (п.-п.) функций ■ Г.Бора нашла вазные приложения в теории дифференциальных уравнений. Уже в конце двадцатых начале тридцатых годов появились работы, посвященные изучению п.-п. решений дифференциальных уравнений с частными производными. Существенное влияние на дальнейшие исследования оказали работы С.Л.Соболева 1945 года, в которых рассматривалось однородное . волновое уравнение в ограниченной области. С.Л.Соболев построил положительно определенный квадратичный интеграл движения, отличный от интеграла энергии, и с его помощью доказал почти-периодичность всех решений рассматриваемой задачи. Впоследствии были получены обобщения результатов С.Л.Соболева для неоднородного волнового уравнения, а также для абстрактных уравнений в гильбертовом пространстве. В дальнейшем рядом ученых исследовался вопрос о существовании п.-п. решений для нелинейных дифференциальных уравнений. В настоящее время имеются методы, позволяющие строить п.-п. решения для широкого класса эволюционных задач, пространнствещая часть .которых является монотонным оператором в соответствующем гильбертовом пространстве. В общем случае доказательство существования хотя бы одного п.-п. решения является нетривиальной задачей. В диссертации дается обзор работ по указанной выше тематике.

Работа посвящена исследованию вопроса о существовании п.-п. решений для некоторых нелинейных уравнений в частных производных второго порядка. Изучаются различные классы полулинейных, квазилинейных и сильно-нелинейных гиперболических уравнений. П.-п. .решения строятся, в основном, методами теории возмущений. Одна из

основных трудностей состоит б том, что для большинства рассматриваемых в диссертации задач нат глобальных априорных оценок решений, и- разреыапциЯ-процесс, вообще говоря, не определен.

Цель работы. Построение квазипериодических и почти-периодических то времени решений для некоторых классов нелинейных гиперболических уравнений второго порядка в ограниченной области.

Научная новизна. Все результаты диссертации является новыми.

1. Получены достаточные условия существования и единственности п.-п. реиания при Л >> 1 для урав нения —...... ■ •

и^т 7^- Ли + Яи + /(и,х,г) = &{х,Х) в ограниченной области ОсК" при граничном условии Дирихле. Здесь 7 - положительная константа, /ий- п.-п. по t функции.

2. При некоторых предположениях на гладкие п.-п. функции / и § для задачи

- ли + /(и,х,г) = п(х,г),

и| = О

|еп

доказано, что сиЛство разрешимости в пространстве п.-п."функций ' устойчиво относительно малых возмущений правой части К(х^).

3. При достаточно малых е доказано существование п.-п. решения сильно-пзлинейного гиперболического уравнения вида

тиг- Аи + е/(и,Эи,52и,2,и = в(х,1) в ограниченной области П с Н" при граничном условии Дирихле. Здесь 7 - ненулевое вещественное число, д- д/дх

а/дхп), <Э2= (д а, а е |а|= 2), / и g - достаточно гладкие

п.-п. по 1 функции.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теорети-

чвский характер. Еб результаты и разработанные в пой ?.;зтоды могут найти применения при исследовании асимптотического неведения решений гиперболических .уравнений, а также .при.построении квазипе-риодичвеких и п.-п. решений других задач математической физики.

Апробация. Основннэ результата диссертации докладывались на заседаниях семинара механико-математического факультета МГУ" "Нелинейные уравнения в частных производных и их приложения", на Совместном заседании Семинара им. И.Г.Петровского и Московского Математического Общества (1993 г., 15-я сессия), на научной-студенческой конференции механико-математического факультета МГУ (1993 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в четырех работах автора, список которых приведен в конце реферата.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, шести параграфов и списка литературы, содержащего 51 наименование. Общий объем диссертации - 101 страница.

' СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ' ' "

Во введении показана актуальность темы исследования, сформулированы цель и задачи работы, изложены основные результаты.

В ограниченной области ¡1сКп с границей дП е С1 рассматривается задача

и. .+ 7и,- Ди + Е?(и,ХЛ) = Я(Х^), 1еИ, и| = О

Здесь е «= И1- малый параметр, 7 <= Е1 \(0), - вецаетвенно-

значная п.-п. по I функция ей значениям в Ъг(0). Предполагается,

что непрерывная функция f(u,x,t) удовлетворяет ^следующим условиям:

(I) Для- каждого фиксированного u <е R1 f(u.,x,t) принадлежит А£(Ъг(П)) (где для метрического пространства X через APfXJ обозначается множество п.-п. функций со значениями в X).

(ti) f(u,x,t) дифференцируема no u« R1 при всех (u,x,t) « R1« П « R1, причем для производной справедлива оценка

\8f(u,x,t)/au\ НС (1 + |u|Pj, где р(п - 2Н 2.

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема. При выполнении указанных выше условий существует такое е0> О, что при |s| < е0 задача (1) имеет хотя бы одно п.-п. решение u(x,t), (и,иъ) <= &РСЕ), где Е = H^fflJ » Ъг(П).

Отметим, что в случае, когда f и g зависят от í периодически или квазипериодически, задача (1) изучалась в работах П.Рабиновича и В.Б.Мосеенкова.

Более слсшчул! оказалась исследование квазилинейного гиперболического урашэния вида

utt+ gtii^x.t) - Ли + f(u,x,t) = h(x,t) (2)

в ограниченной области Q с Rn при граничном условии Дирихле. Предполагается, что функции g и h являются п.-п. по í, а g(p,x,t) ("где р = иь) монотонно возрастает по р. При построении п.-п. решений уравнения (2) используется теорема об обратной функции. Для того; чтобы сформулировать точный результат, введем следувдие пространства п.-п. функций:

ЕШ= | ufx.t): 3-ju е APflf^fn;;, 0 « J а ж

Е = E ni u(x,t'): u| = О 1, m 2 1, ra * l |an J

Cad= {f(p,x,t): d*f ^

гдэ p e Rd, x-<= ñ, Ck(Rd» O)) - пространство Фреше й раз непрерывно-дифференцируемых в Rd* ñ функций, Hkfn; - пространство Соболева порядка к. Предполагается, что / и g удовлетворяют следующим условиям:

(Н1) g * Cm+1 ^ существует такое 7 > О, что дg(p,x,t)/dp > 7 при (Uwx,t)-e R1« ñ х R1 .

(Н2) / <= ^ существует такое е1 > 0, что при (u.x.t) « н1' Ó > R1

8f(u,x,t)/8u > е^, где А, > о - первое собственное значение оператора -Л в области П с условием Дирихле на границе. Обозначим через

ш

чu |!»= I ЛR a'u(-'t}«

. í=0 i «= к . . . . н . . .. ...

норму в пространстве Е . Пусть а(и) - спектр Фурье л.-п. функции u(tJ, a q = [п/21 + 1, где [а] - целая часть числа, a. Z О. Следующая теорема показывает, что свойство разрешимости уравнения

о

(2) в пространстве п.-п. функций Еш при некоторых предположениях устойчиво относительно малых возмущений правой части h(x,t).

Теорема. Пусть т > 2q, йП е Сш+1, выполнены условия (Н1), ГВ2), и при некотором 7i = ?г0 е Е уравнение (2) имеет п.-п. ре-

О

Ш9НИЭ UQ е Ет+1 . Тогда

(а) существуют такие положительные числа s и Л, что если h е Еш, || 1х - h0||m ^ е, а спектры a(uQ) и u(f) п.-п. функций uQ(x,t)

и содержатся в отрезке Г-ЛД7, то уравнение (2) разре-

о

шиш в пространстве Ет+1.

(Ю если / = О,- то'существуют такое-положительное число в,

что при Н е Еш,Ц Н - Л.о0т ^ е уравнение (2) имеет, притом едино

ственноэ п.-п. решение и е Ещ+1-

Отматим, что разные частные случаи уравнения (2) изучались ранее другими авторами ( Дж.Проузе, Б.М.Левитан, В.В.Жиков, М.Би-роли, А.Аро, Н.Накао, П-Маркати и др.), однако использованные ими метода отличаются от предложенных в диссертации.

Основная идея, которая используется при построении п.-п. решения, состоит в следующем. Рассматривается линеаризация урав-

о

нэния (2) в точке и = иа <= Ет+1. В условиях теоремы все решения этого линейного однородного уравнения экспоненциально убывают при t -но. Отсвда следует, что соответствующая неоднородная задача V.- Ли + a(x,t)v = г(хЛ), и| = О

однозначно разреазиа в пространстве п.-п. функций при любой п.-п. правой частл г(х,1), причем если а(х^), Ъ{х,1) и г(х,г) принад-

о

лекат пространству Еш, то решение принадлежит ,Е . Благодаря этому удаЗтся методом Пикара построить итерационную последовательность, сгорая сходится к искомой п.-п. траектории.

В диссертации приведены достаточные условия, при которых уравнение (2) имеет п.-п. решение. Пусть выполнены следующие условия: т.Ъ в е Ст+1 , / не зависит от {, / « С™*1^* П.); /С0,х) = в(о,х,г) = О, д/(0,х)/си 2 в,, д£(0,хЛ)/др >7 > О при (хЛ) £ О ' И1, и ¡1 П 0 << Тогда существует п.-п. реше-

О

ние и <= Е задачи (2). Отметим, что наложенные на / и g усло-

вия HQ обеспечивают существование разрешающего процесса рассматриваемой задачи.

Сильно-налинейное' гиперболическое-уравнение удается исследо- • вать лишь после привлечения более тонких средств теории возмущений. Рассматривается задача

Р(и) = и. .+ ти - Ди + ef(u,du,dzu,x,t) = g(x,t), ieD,

tt -t (3)

u| = 0, | an

где fl с Rn- ограниченная область, 7 «= R1\fOi, s <= R1- малый параметр, д = ГЭ/аг, д/дх,,..., д/дхп), а2= (в а, а е Z°+1,|a|= 2). Предполагается, что / и g - достаточно гладкие п.-п. по t функции. Для построения п.-п. решения задачи (3) используется теорема Нэша-Мозера об обратной функции. Отметим, что при исследовании задачи (3) не удаётся воспользоваться классической теоремой об обратной функции, гак как нелинейный член содержит производные второго порядка, и итерационная последовательность, построенная методом Пдкара, рассходится из-за потери гладкости на единицу на каждом шаге приближения. В схеме Нэша-Мозера при построении итерационной последовательности линеаризованное уравнение решается не точно, а приближенно' (в соответствующем смысле,), так, чтобы решение обладало требуемой гладкостью. Основная трудность состоит в том, чтобы доказать существование приближенного решения. В настоящей работе для построения такого решения используется метод, основанный на сглаживании коэффициентов линеаризованного уравнения. Справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть Ш е Сш+3, g е Еш, f е ст d. где d = ■ = (п + 2)(л + 3)/2. Тогда для достаточно больших я сущетвует та-

кое Е = в (m) > О, что при |е| í е задача (3) имеет хотя Он ь

одно п.-п. решение u « Ек, причём h = k(m) —► œ при m п. Если . / и g - квазицериодщеские функции с частотным Оазисом {■¡Ц.....к^,}, то u(x,t) также является- квазипериодической с указанным базисом частот.

Отметим, что ранее П.Рабинович, П.Крейчи, Г.Пецелтова, М.Штедрий исследовали задачу (3) в случае, когда /Hg периодические по i функции, а В.Б.Ыосеенков и Э.Фейрейсл построили, соответственно, квазипериодические и п.-п. решения задачи (3), предполагая, что п - 1, а / и g зависят от t квазипериодачески или почти-периодически.

Коротко опишем схему построения п.-п. решения задачи (3). Рассматривается нелинейный оператор F(u) ( см. (3)), определённый

о

в окрестности п.-п. решения uQ е Ет+1 задачи (3) при в = О. Искомое п.-п. решение получается как предел итерационной после-

о о

довательности fuJeE,,,u=u v , п Z 1, где v <= Е ,. -

и m+1 n xi—1 n п т+1

приближённое решение уравнения

F'íu^v-g-t^). ' (4)

которое строится следующим образом. Правая часть С g - F(u е е Е уравнения (4) и коэффициенты à£(z,t) <- Е^, а с , |а| < 2, линейного оператора F'(u ),

= д\ + TV л f £ У Qte't) ö ада

аппроксимируются Св соответствущем смысле; более гладкими функциями гпе Еш и е Еш+1, |а| $ 2. В качестве. va(x,t) берётся

О

п.-п. решение v <£ Е уравнения

dzv + -rd.v- Au + e У l%(x,t) 9 а V = г (x,t)

X 1 "t / Cl n

|a| ^ 2

При.таком выборе-"поправки" (x,t.) .функция u fx.tj принадле-

o

аит пространству и можно провести следующий шаг итерации.

Для достаточно малых е построенная последовательность сходится в

о

Ej^, к = fcimj, к некоторой функции u(x,t), которая является решением нелинейной задачи.

Отметим, что приведенная схема построения п.-п. траектории с незначительными изменениями переносится на сильно-нелинейные параболические уравнения (в пространстве произвольной размерности).

Автор выракает глубокуи благодарность своему научному руководителю профессору М.И.Вишику за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

РАБОТЫ АВТОРА ПО М ДИССЕРТАЦИИ

1. Ширикян А.Р. Почти-периодические решения нелинейного гиперболического уравнения.- УМН, .1993, т.48, Л.4, с.195.. , .

2. Ширикян А.Р. О почти-периодических решениях нелинейных, гиперболических уравнений.- Вестник моек, ун-та, 1994, Л 5,с.6-9.

3. Ширикян А.Р.-О классических почти-периодических решениях нелинейных гиперболических уравнений.- Матем. заметки, 1993, т.54, № б, с.146-148.

4. Ширикян А.Р. Почти-периодаческиэ решения нелинейных гиперболических уравнений в ограниченной области.- Московский госуд. унив., Москва, 1994, 95 е., Деп. в ВИНИТИ 17.03.94, № 653-В94.