Подполугруппная структура конечных симметрических инверсных полугрупп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МШ1СТЕРСТВ0 0СВ1ТИ УКРА1НИ ШВСЪКИЙ УН1ВЕРСИТЕТ 1МЕН1. ТАРАСА 1ЖВЧЕНКА

РГБ ОД 1 7 ОКТ 1994

На правах рукопису

КОРМШЕВА ТЕТЯЩ В1КТОР1ВНА

П1ДНАП1ВГРУПОВА БУДОВА СК1НЧЕНШ СИМЕТРИЧНИХ 1НВЕРСБИХ НАШВГРУП

01.01,06 - математитаа лог!ка, алгебра 1 теор1я чисел

Автореферат

дисертацН на здобуття наукового ступеня кандидата ф1зико-математичних наук

К и г в - 1994

Дисвртац1ею с рукопис

Робота виконана в Ки*вському ун!вврситет1 1мен1 Тараса Шевчеяка.

Науков! кер!вяики доктор ф1зико-математичних наук, професор СУЩАНСЬКИИ ВД.

- кандидат ф1зико-математичних наук, доцент ГАНШК1Н О.Г.

0ф1ц1йн1 опоненти г - доктор ф1зико-математичгшх наук, професор, зав.кафедрою математики МИТ ГРИГОРЧУК Р.1.

- кандидат ф1зико-математичних наук,

ст. наук. сШвр. Харк1вського ун!верси-тету Н0В1К0В Б.В.

Пров1дна установа - Льв1вський державний ун!верситет 1м. 1вана Франка

Захист в1дбудеться "¿24 " ъъс&гпМЖ 1994 р. о -14 ^ год. на зас1данн! Спец1ал1зовано'£ Ради Д QL.01.0l при йивському ун!вер-ситет! 1м. Тараса Шевченка за адресов :

252127, м.ки1в-127, пр.Академ{ка Глушкова, 6, механ!ко-мате-матичний факультет.

3 дисертаШею можна ознайомитися в бКШотец! Ки1вського ун1-верситету !м.Тараса Шевченка /вул. Володимирська, 62/.

Автореферат роэ!слано " " Алг-ЦХ-жюЯ-^ 1994 р.

Вчений секретар Спец1ал1зованоК Ради,

канд. фхз.-мат. наук С.А.0вс1енко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуалънtсть теми. Теор1я 1нверсних нап!вгруп с пор!вняно но-вим розд!лом алгебри : вона бере початок В1Д п1онерсышх poöiT В.В.Вагнера1 t Ж.Т'ерена2 1.952 року. 1нтерес до вивчення шверсних нап1вгруп стимулюеться, з одного боку, ix близости до груп, а з другого - важливими застосуваннями, зокрема, в геометрti. Нин! ця дисцишйна мае вс{ атрибути розвиненог математично? Teopii : розга-лужену с1тку понять, власн} метода досл!дження, глибокг результата тощо.

Ii молод!сть проявляться, зокрема, у майже повн!й в1дсутност4 якон1фетно1 теорИ" - у пор1внянн1, скалимо, з теор!ею груп конхрет-Hi iHBepcHi налгвгрутга досл!джувались з bcim мало. Так, роль анало-rt«my т!й, яку в Teopii груп вШграють симетричн! груш, у Teopii iHBepcHMX нап1вгруп беруть на себе симетричнi iHBepcni напгвгрупи yeix часткових постановок на р!зних мяожинах. А саме, за теоремою

О

А.Престона /аналогом теоремл Ke.it для груп/ кожна 1нвзрсна HaniB-група Т хзоморфна деяк{й п!днап1вгруп1 симетрично! iHB9~~.Ho'i HaniBTpyim на множин! Т . Про будову симетричних гнверсних на-п!вгруп було в1домо зовс!м мало : елементарна теор1я /В.В.Вэгнар, А.Престон, Е.С.Ляп1н/, будова 1деал1в I конгруентностей /А.Е.ЛМер/ опис стай 1дъних порядк!в /В.Д.Дереч/.

ЩлиЗ ряд природних питань, ягЛ тут влникають, залкиаються в1дкритима. Саме тому досл!дження зластивостой цях нагйвгруп, вив-будовп р!знях KractB ix п!днап1вгруп е актуальною задачею.

LВагнер В,В, Обобщенные группы //Доклада АН СССР, 1952, т.84, С. 1119-1122

^ Пймлсп. G. Suл. (ti e.'itmtnb iwwiti d; ¿СочелЬ uniiaine* <1'шъ ¿¿mlcjuxLfj,

Imrvuilb //Ccmft. fUnd. Qjuui, Sei.-1952.- V. 234,- P. 33

Petiten. (r.6. 2fi{>*e&eÄfca.fcie>rii of йгиклле. iemi^ioup-i ¿os..-

¿954.- V.29.-P. 411 -4i9

Мета робота. Описати класи спряжених елемент!в симетрично! 1нверсног нап}вгрупи 3$^. ус!х часткових п!дстановок ка п. -елементн!й множил ^, охарактеризувати Н ц!лком 1зольован1 та 4зо-льован! п1днап1вгрупи, досл!дити будову н!льпотвнтних гпднап1вгруп нап!вгрупи ЗБ^ , встановити комсНнаторн! сп1вв1дношення, пов'я-зан! з П нгльпотентними елементами.

Методи досл1дження. Використовуються метода теорП нап!вгруп перетворень, методи та 1де'1 теорП ¡нверсних нагпвгруп I комб ¡на-торного анал!зу.

На.укова новизна. Основ;! I результата дисертацШноК роботи с новими. Описано класи спряжених елемент!в симетрично! {нверсно'! нап1вгрупи , охарактеризовано И 1эольован1 та ц1лком 1зольо-ван! п1дкап!вгрупи. Досл1дкено будову 1 властивост1 н!льпотентних тдиатвгруп нап1вгрупи 3$„, , встановлено критерШ 1зоморф!зму для П максимальних н4льпотентних п1днап1вгрул даного ступеня н1льпотен-тност!. Виведено комб!наторн1 сп!вв1дношення для р!зних тип{в нгль-потентпих елемент!в нап!вгрупи та арифметичн! сп!вв1дношення

для числа максимальних н1льпотеитних п1днап!вгруп даного ступеня н!льпотентност1 в нагпвгруп! вс1х часткових перетворень 1 порядк!в них нап!вгруп.

Теоретичне 1 пмкладне значения. 0триман1 результат» мають тео-ретичний характер. Вони можуть бути використан! при досл!дженн1 бу-дови 1 властивостей р1зних клас!в нап!вгруп перетворень.

Апробап1я роботи. 0сновн1 результата дисерташйно! роботи до-пов!дались на зас{даннях сем}нару з теорП труп та нап*вгруд при кафедр1 алгебри та математично? лог1ки Ки1вського унхверситету 1м. Тараса Шевчекка /1992-1994 рр./, на Республ1нанськ1й науково-мето-дагапй конференцП', присвяченхй 200-р{ччю в!д дня народження М.1.Ло-бачевського /Одеса, 1992 р./, конференшх шлодих учених Кихвського утиверситету / 1993 /, ВсеукрашськШ конференци молодих учених

/Ки1в, 1994 р./, а також були представлен! на Трет1й м!жнародн!й конферендН з алгебри пам'ят! МД.Каргаполова /Красноярськ,1993 р./.

Пубд{канП. Основнt результата дисертаи1йно1 роботи оnydлiковано в роботах С 1 ]- 15 ] .

Структура t обсят дисертапП. Робота складаеться з вступу, 11 параграф!в, розбитих на 2 глави, списку використано* t цитованоу л1тератури з 40 назв. Обсяг роботи 95 стор1нок тетинописного тексту.

ЗШСТ РОБОТИ

У вступ! об грунтовано артуальн1сть проблематики дисертав,1 i, наводиться короткий огляд роб!т за теме . дисертацП, характеризуемся зм1ст роботи.

У перш!й глав! наводиться noTpt6Hi для подальшого яопом1ж-г в!домост1, вивчаються властивостi ряду в!дношень на HaniBrpyni BCtx часткових постановок множили N " { i, 2, , а $ i огга-сувться деяк! класи i'i п1днап1вгруп.

' У § 1.1 з!брано необх!дн1 означення i в1дом! факти з теорП Hanfвгруп та 1нверсиях HaniBrpyn, щоб зробити виклад по можхявост! замкяениы у co6t. Bet твердження дано без доведень, але з посилэн-ням на даерела, де ц! довэдзння можна знайти,

У § 1.2 систематизуеться 1нформашя про найпрост1ап властивост! нап1вгруш JS^ . Б!лып!сть з!браних тут фактiв належить до математичного фольклору t наведена для пошоти картини, решта мае чисто техн1чнкй характер i потрЮна для подальшого викладу.

У § 1.3 на чаетковi постановки узагальнюеться поняття цикле.-вого розкладу п{дстановки. Перетворення те 35л називаетьег, ланцкгом довяини & i позначаеться т: - CalvaA, ... , якис

TCQt) = аа , ... , T4afc-t*s аь , X Ca-j.) не визначене /ко-

ротко XCaL) « 0 / t тех)« x для вс!х x a N N ..., <Xt} . Доведено /твердження 1.3.1/, що кожний елемент х fe розкла-

дасться в добутак

а: «(А.,..., «ц.)-.( С ..........dvi /1/

иикл!в (at, а„ ),..., (6», ... 4 ) i ланцюг!в Cct,..., ср J ..., Cdtl ..., ct^J , ггричому такий роз клад одноалачпий з точн!ств до поря-ку множник!в, ямцо вимагати, щоб кожний -х. е М зуст-р!чався лише в одному множнику.

Розклад /1/. я кий эадовольняе останнхй умов!, назвало ланци-говим роакладом частково! постановки X , а дойутки Сйг)

<•* <4t,,.. ,Ь„) i Cct.....•с<л», оЦ} - в1дпов!дно

п1дстаиовковою i ланциговою частотами ЗЕ . Haflip чисел С ^, ••• > ) * де " к1льк!сть ЦИКЛ1В довюши i у розкла-

д1 /1/, називаеться i"i цикловим типом. За розкладом /1/ постановки X визначимо множини А ■ ... ... , &tl ,

g 's /V ч Д. , iдемпотент £„. е OS(JL) з области визначення JL ч (.<4, ...» t нехай St - централизатор постановки

(a,,..., ... в симетричнШ rpyni S(l), S -<е4,

ее....... > • « с т € 3S(B) I т . ( < - ^ ^ - ¿Г

. 4 - d. 0 Р .

... 4v ••• +Г- \ , де Cd' d'] Г A' Г]~

... ^ _ ^ 0 ... 0 J ai J > T«>'">Tj J

хвости лая шаг!в з розкладу /1/} .

Теорема 1.3.1. Централ!затор О Л"Х) частково* пОста-яовки X ts пОстановковою частиноп Сй*, .-., - ,

i ланшаговоп частинов td,;..., ... l^,..., ^ мас ВИГЛЯД

1нверсшш порядком \зс {частково'1 постановки зс е OS^ назвемо порядок наймеяшо! за включениям iHBepcHOl п!дкагпвгрушт Т С , яка м1стить ЗС .

Позначимо PcnO = m-ax loti» P3(.a)* tua.x l ОС l.

«OS» **0Sa

Теорема 1.3.2. Яйцо a —» ob , то

Р(п.) ~ ¿п. РКп.) ~ л/п.- ¿а(а) .

Елементи а. 1 Ь нап1вгрули Б назнваються спряжени-ми /позначатимемо а ~ Ь /, яйцо для деяких и, '/ б 3 мае м!сце а - и• V , Ь = и • и . Говоритимемо, що елементи О. I Ь належать до одного класу спряжених слемент1в нап!в-групи 2 , якщо знайдуться так! , . . . , С^ , до

0-~С1 , С1 ~ сх > > . • > сь ^ . Класи спряжених элементIв нап!вгру-гш описано в § 1.4.

Теорема 1.4.1. Частков} постановки ОС I т ¡з належать до одного класу спряжених елемент!в тод! | Т1льки тод!, коли вони мають однаковий цикловий тип.

У § 1,5. описано !зольован1 та ц!лком 1зольован! п!днап1вгруш в .

Теорема 1.5.1. единюли ц1лком !зольованиш ШднаШвгру-пами напгвгрщти 33л с 3$„. . $„. . Р4 =. { ЗС е |

ЫотЗс I & П.-1 }

Позначимо через 5(а) мнолшну воЛх тих часткових постановок ЗС е 35^ , ланцюговий розклад /1/ яких задовольняе умовх : 1С,', ... ,-с, , ..., о14, « {а}.

Теорема 1.5.2. Множила 1зольованих п1днап!вгруп наШв-групи 33„. вичерпуеться списком , . Р4 , $с <

II» 1,2, „., л .

Друга глава м!стать основе! результата дясертац1йноУ ро'оти. У н1й досл}джуються будова ! властивост! н!льпотентних п!днап!в-грул нап!вгрупи

Основним засобом вивчення н!льпотентиих п1днап1вгруп з с встановлений у §2.1 зв'язок м!ж ча тковими порядками на множин!

М та тими н!льпотентшши п!днап!вгрупами з , нуль яких

зб!гаеться з нулем 3S„_ /у цъому t наотупному параграфах розгля-даються лише так! п1днап1вгрудя/. Для цього з кожним частковим порядком «а множил! /V з i ставимо шожину

»

Доа(/.) = {эсб JS^ I а е oLom.ac => тсw а } , /2/ a кожн!й н!лыютентн1й п!днап!вгруп1 Т s 3Sn - частковий порядок на множим! N за таким правилом г

а Ь < = > 1 Ce é т : 7CCQ.) = Ь .

Теорема 2.1.1« а/ В!дображення : •—líon.(.¿) е мономорф!змом нижньо! нап!вреш!тки CUCA/) часткових порядк!в на N у нижню нагйвреш!тку A/lt (//) н1льпотентних п!днап!в-груп i3 JS^ ; б/ в!дображення : Т —+ ^ е еп!морф!з-мом /VU(./V) на CWK/V) .

Розбиття /V = Мх f ... V Ni множини N на & иепорожн!х блок!в /V, , .. . , N^ називаеться впорядкованим, якщо на множив! блок!в цього розбиття задано л!н1йний порядок Nx л; ¿ ... ¿ NK . Hadip чисел (lA/JJ/VJ,... )

називаеться типом впорядкованого розбиття, а типи ( n.ir п., ,..., п.1) i ( at , ... , а, , - протилежиими. Розбиттю j>'= ( Д^ ( .. . , А) з {ставимо частковий порядок на // , визначений правилом:-

якщо а е iVt { t> е ¿Vj , то а ^ Ь тод! й лише тод!, коли L г: j .

Теорема 2.2.1. Генуе природна взаемно-однозначна в!дпо-в!дн!сть м!ж впорядкованими розбиттями множили N на i не-порожн!х блок!в t максимальними н!льпотентними п!днап!вгрупами з JS,v Даного ступеня н!льпотентност! t .

Теорема 2.2.2. 1нверсна симетрична нап!вгрупа м!стить а{ максимальних н!льпотентних п!днап!вгруп. Кожна 1з них мае ступ!нь н!льпотентност! rv i зб!гаеться з jUorv. {.<£.)

для деякого л1н!йного порядку л яа N .Bet максимальн t н1Лъпотентн1 п1днап1вгрупи спряжен!.

1з теореми' 2.2.2 випливае, зокрема, що порядок кожноК максимально! н1льпотентно'1 п1днап!вгрули з 35^ дор!внюе а -му числу Белла Вп .

Типом максимально"! н1льпотентно! п1днап1вгрупи Т G JS^ ступеня н1льпотентност1 k назвемо тип впорядковаяого розбиття

р множили /V на fe блок1в, що Т 3 JUon. () • Коректн1сть цього означения випливае з теореми 2.2.1.

Теорема 2.2v.4. Дв1 максимальн! нгльпотенти» п1днап1в-грутта з .js„ даного ступеня н1льпотентност1 fe 5 1зомор-$Ht тод! й лише тод1, коли ix типи зб{гаються, t анти!зоморфн1 то-д1 й лише тод1, коли 'fx типи протилежнЬ

У § 2.3 обмеження на нул! н1льпотентних п1днап1вгруп з знЫаються. Кожному впорядкованому розбиттю XL = ... V

деякоУ п!дмножини

JU N на i. непорожн!х блок!в з {ставимо множину t(iat,..., ,mt) bcíx тих часткових постановок зге як! задовольняють двом умовам

а/ ямцо <±-4 JU.,U ... U JUfc , то a« dLom.3r t Х(а) * а •

б/ яицо а 6 Xí-L t ХСа) е Jlj , то t j

Виявляеться, що T(-Ut, ... , буде н1льпотентноп nijtna-

п1вгрупою i такими п!днап1вгрупами вичерпутоться вс1 н1льпотентн! п1днап1вгрупи з . як{ е максимальними для свого ступеня

н1льпотентност{.

Теорема 2.3.1. Для кожного п1лого числа k я- О воображения (Mit ..., Xlt) <—*"T(Xlt, ... , JAt) в взаемно однозначною bOeobíotíctio м1ж впорядкованими розбиттямя Л - •.. ^ Ü.t дов!льних п1дмножин -II множини А/ на t непорожн1х бло-к!в .. . , JLlt t максимальними ¡пльпотентними п1днап1вгрупа-

ми э 39л ступени н1льпотентност! Ь

I а с д 1 д о к 1. Серед н!льпотентних п!днап!вгруп 13 ступеня н!льпотентност! в ргвно

■ ■ - ■• I

максимальних.

Критер!й !зоморф!зму двох максимальних п!днап4вгруп н1льпо-тентних з ЗБ^. даного ступеня н!льпотентност! дав

Теорема 2.3.2« Дв! максимальн! н!льпотентн! п!днап1в-. грули з даного ступеня н!льпотентност! будуть

1эомор|ними тод! й лиие тод!, холи вони однакового типу.

Н ас л 1 до к 2. Число не!зоморфних максимальних п!днап!в-груп з ЗБр, даного ступеня н!льпотеитност1 к 3 дорхвнюс

(ГЛМЛЬ+ ( ГЛ)

Розташування н1льпотентних /зокрема, максимальних для свого . ступеня н1льпотентност1/ п!днап!вгруп в 3 $„_ вивчавться в § 2.4

Твердження 2.4.1. Сухупн1сть ус!х н!льпотентних

п!днал!нгруп наШвгрупи .р^ладаеться в диз'шктне об■ еднання

лп

С нишхх нап!вреш1ток в!дносно включения. П!днап!вгру1ш належать до OJщtc'i нал!вреш!тки тод! й лише тод! г коли вони мають один I той же нуль. Шднан1вгрупи, що належать до р1зних нап!вре-Ш1ток, не перетинаються.

Основною в пьому параграф! е

Теорема 2.4.1. Максимальна н!льпотентна п!днап!вгрупа ... , ДА^) ступеня н!льпотентност! & м!ститься в максимально н1льпотентн1й п!даап!вгруп! Т »■ •• • > ступеня н!лвпотентност! т. > 6. тод! й лише тод!, коли ли и ... и ли. - Б. и ... и ! кож1шй блок розбиття

Л1, и ... V .и^ е об'еднанням к!лькох сус!дн!х блоков роз-

биття St и ... и S^ , а л!я!йний порядок яа шожин! бло-

kíb ju.t » .. -u.^ , Шдухований л!нШшм порядком па множим! блокгв '{ Si t • • • > Sm }

' 1з nie'i теореми випливае, що множила Т тих н1льпотент-них п!днап!вгруп Т £ JS„_ . як! е максимальниш для свого ступени н!льпотентност! i нуль яких зсЯгаеться з , с ниж-

ньою HaniBperaiTKon в!дносно включения /насл!док 1/, а також ряд п!кавих комб!наторних ся!вв!дношень для максимальпих н!льпотепт~ них п!днал1вгруп /насл!дки 3 - 5/.

У $ 2.5 методи, розвинен! в § § 2.1 - 2.2, застосонуються до дослгдження будови н!льпотентних п!днап!вгруп нап!вгрутш bcíx часткових перетворень множяни N . Розглядавться лише так! н1льпотентн! п!днап!вгрупи Т S РТ„. . нуль О^ яких зб1гаеть~ ся з нулем HaniBrpyim РТп. • Аналогично /2/ визначаються п!днап!в-грутш

jlW с^) s рт .

I

Теорема 2.5.1. Воображения о .—* Jlon. (^f) е вэашно однозначною в!дпов!дн!стп míx максимальнимя нгльпотентни-т п!днап!вгрупами !з

РТ„. даного ступеня н!лъпотентиост! И ! впорядкованими розбиттями множини N на fe непорожн!х блок!в.

Критер!Й i30M0p$l3My двох максимальних н!льпотентних п!днап!в-груп !з РТ, дае

■ Теорема 2.5.2. а/ ЫаксгмашН н!льпотентн1 п1днап!вгру-пи !з РТа ступеня н!льпотентност! 2 !зоморфн! год i а лише тод!, коли вони мають однаковий порядок. Пррядок максимально"! импотентно* п!днап!вгрутш ступеня 2 1 типу (а4>п,) дор!внюе ( п.ь + -1 )п'; б/ максимальн! н!льпотентн! п!днап!вгрупи i3 РТ„. ступеня н!ль-потентност! i > 3 !зоморфн! тод! й лише тод!, коли вони одно-ягон!.

Одержано також деяк! ари)г>метичн1 сп1вв!дношення для к1лькос-•гей 1 порядк1в максимальккх /для свого ступеня н1льпотентноот1/ н1льпотентних п1днап!вгруп 1з РТ^. •

Нарешт!, у ,§ 2.6 вивчаоться комЗпщторн! сп!вв1дношення, пов'язан! з н1льпотентшши елементами нап1вгрупи • Через

поэначимо число тих н1льпотентних елемент!в з 3$а , ланпюговий

п. ^

розклад ягах м1стить р!вно Ь. лашшг1в, 1 нехай

Теорема / ^М ;

! V к - < /

+ + для ,

Числа ( наэиваю^ься числами Лага /без знаку/.

Вони часто з'являиться в рхзних комЗ 1наторних задачах. Теорема 2.6.1 дае ще одну комсИнаторно-елгебра1чну 1нтерпретац1ю цих чисел.

Теорема 2.6.2.

I = о

Покладемо ( 3 Б. I - ^ * ."К. 3 "1 1 поэначимо через ( 1 вкспоненд!йн1 тв!рн! функш"! для посл!довностей {1^„Ц

1 (•!:„) в1дпов!Дно.

4 ' п. Ч-С

Н а с л 1 д о к .

Е (х1) = Е *

ЭБ 1 - ЭС. 1"Т '

Теорема 2.С.З. Нехай п. = * г ,де Шльпотентна ШднаШнгрупа Т ЗЬ^. ступени н4льпотентност! ¡й мае найб1льший порядок тод{ I т1даки тод1, коли вона те вигляд 7' -= ТЧ ДА,, .. . , -Ы^) » серед чисел I , ... , | 11^1 г раз4в зустр!чаеться число пг+ -1 1 Ь - г раз ¿в - число т.

Публ1кацП, покладен! в основу днсертацП

1. ГанюшИн О.Г'., Кормишева Т.В. Хзольован! та н1льпотентн! Й1днал1вгрупи ск!нченн01 1нверсно'1 симетричн01 нап!вгрупи // ДоповШ АН Украгни.- 1993, Г' 9.~ С. 5-8

2. Ганюшкип А.Г., Кормышева Т.В. О нильпотентных подполугруппах конечной сгооветрической инверсной полугруппы // Математические заметтси.- 1994.- т.56,- Вып. Л.- С. 59-То

3. Кормишева Т.В. Будова нгльпотентних П1днап!вгруп напгвгру-пи РТЛ //"Пралг студент!в 1 асп!рант1в КиУвського ун{-верситету" 36.статей.- Деп. ДНБ Укра1ни, 1 березня 1994 р., й 418, УК 94.- С. 31-35

4. Ганюшк1н О.Г., Кормишева Т.В. Про аналог циклового роз кладу для часткових постановок та класи спряженкх елсмен'Нв напгвгрупи // Республиканская научно-методич. конференция, посвященная 200-летпга со дня рождения Н.К.Лобачевского. Тезисы докладов.- Одесса, 1992.- 4.1.- с. 14

5. Ганшкин А.Г., Кормышева Т.В. О нильпотентных подполугруппах полугруппы // Третья международная конференция по алгебре памяти М.К.Каргаполова. Тезисы докладов.- Красноярск : "ИНОПРОФ", 1993.- с. 82

Идписано до друку-1А.С9.<3<1 Об.0,7.Формат 60x84 1/16. ,рук офсет>1ий.Тир.100.3ау.173.Безвдатно. ,0Д УД11У »я.ДрагомаЕОва,Ки1в,Пирогова.З.