Показатели Ляпунова в теории устойчивости импульсных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

Факультет Вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи

ЗАМКОВАЯ Людмила Дмитриевна

УДК 517.925

ПОКАЗАТЕЛИ ЛЯПУНОВА В ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой спеАени кандидата физико-математических наук

Москва - 19 92

Работа выполнена на кафедре высшей математики Днепропе ровского горного института

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор U.U. .Хапаев

кандидат физико-математических наук, доцент A.B. Буробш

Ведущая организация: Институт математики АН Белоруссии Зашита состоится ' «L ' QM XÍX/^1992 года в '/V час 3 ОН на заседании специализированного совета К.053.05.87 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, факупьтет вычислительной математики и кибернетики, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке факультета ВМиК МГУ

Автореферат разослан * % 5" оАи^М1992 г.

Ученый секретарь специализированного Совета К.053.05.87, кандидат физико-математических наук,

доцент В.М. ГОВОРОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена изучении астатического поведения и устойчивости решений дисщэетных и диф-ренцяальных уравнений» описывающих нелинейные импульсные :стеш.

Одно из современных направлений в теории устойчивости -.звигие первого метода Ляпунова, основанного на теории харак-ристических показателей. Основные результаты по теории искателей Ляпунова для обыкновенных дифференциальных систем с блиографией до 1974 года приведены в обзоре Н.А.Изобова. дальнейшее развитие связано с работами В.Ы.Ыиджошщкова, А.Изобова в их последователей.

Первыми работами по распространении первого метода Ляпуно-, для изучения асимптотики решений дискретных уравнений явдя-ся работы Перрона и Та Ли. Дравильшо линейные дискретные сис-ш изучались В.Б.Демидовичем.

В последнее десятилетие показано, что классическая теория рвого метода Ляпунова распространяется а на системы дифферен-ЯЛТ.ННТ уравнений с импульсным воздействием.Следует от-тить, что несмотря на многочисленные приложинття,' теория этих авнений развивается сравнительно медленно в силу сложности ьакта исследования.

Известно, что приложение метода характеристических показа-лей к конкретным задачам встречает существенные трудности, язанные, в частности, с тем, что задача о вычислении характе-стичэских показателей в общем случае не разрешена. Поэтому строение оценок характеристических показателей и критериев тойчивости по линейному приближению остается актуальной задай. Большой интерес при атом представляют результаты, которые ается сформулировать в терминах коэффициентов системы.

Изобов H.A.. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений //Итоги науки и техники. Сер. Математический ана-лизГ- Ы.: ВИНИТИ. - 1974. - T.I2: - С.71-76.

Самойленко А.Ы., Пересток H.A. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. - Киев: Вища школа,-1987. - 208 с.

Байнов Д.Д., Симеонов П.С. Теория показателей Ляпунова для систем с импульсным воздействием //Ейл, сСп^лла^ tUetCn,.— Г989. - 23. - С.61-82. сГ

Пель работы;

1. Для дискретны! систем и систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием состроить ноше оценки характерно тических показателей.

2. Для указанных систем установить критерии устойчивости по линейному приближении при возмущениях различных типов.

Методы исследования. В работе применяются дискретные неравенства и теория патриц.

Научная новизна. В диссертации установлены следующие новы результаты.

1. Доказан дискретный аналог теоремы Р.Э.Винограда - Н.А.И бова о необходимых и достаточных условиях асимптотической устой чивости по первому приближению дискретной системы с возмущениям порядка больше единини.

2. Найдены достаточные условия притяжения решений дискретных систем в дифференциальных систем с импульсным воздействием с' возмущениями порядка меньше единицы.

3. На основе идеи метода замораживания установлены достаточные условия равномерной экспоненциальной устойчивости в целом нулевого решения нелинейной дискретной системы с ведущей линейной часты), матрица которой медленно меняется.

4. Найдены двусторонние оценки характеристических показате лей линейных дисздетных систем в методе заморазивания и доказан неулучшаемость полученных оценок по параметру, характеризующему скорость изменения матрицы системы.

5. Развивается первый метод Ляпунова для дифференциальных систем с импульсным воздействием в фиксированные моменты времени. Найдены оценки характеристических показателей линейной треугольной системы. Установлены условия равномерной экспоненциал? ной устойчивости решений нелинейной системы, выраженные через собственные значения и скорость изменения некоторой матрицы, 01 ределяемой по линейной части.

Приложение. Результаты работы шеи теоретический харак-). Они могут быть использованы для дальнейшей разработки тео-[ усто$1чивости решений дискретных систем и дифференциальных :тем с импульсным воздействием, а также при решении прикладных 1ач, возникавших при изучении колебательных систем, подве^жен-: кратковременным возмущениям импульсного типа.

Апробадия. Результаты диссертации докладывались на сеыина-по качественной теории дифференциальных уравнений (рук. [..Кондратьев, В.М.1Лиллионщщов, Н.Х.Розов) и семинаре по асимп-лческим методам математической физики (рук. М.Ы.Хапаев) в ¡ковскоы государственном университета.

Публикапщ. Результаты диссертации опубликованы в работах ■12/, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Работа состоит пз введения, четы: глав и списка литературы, содержащего 72 наименования; обь-работы -165 страниц машинописного текста.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертации и »рмулированы основные результаты.

В первой главе изучается устойчивость нулевого решения дио-)тной системы

> 1 «е /,... ^ , А(±) - вполне ограниченная матрица,

> функция, определенная в области 3 = : гдовлетворявдая условию

Ц(1,Ъ)\ ^(ЬЦЯ-Г'у (3)

1-2 3

При указанных предположениях относительно матрицы А(*Ь каждое ненулевое решение линейной системы

X(t+fj = /Iftjxft) (4)

имеет конечный характеристический показатель, _ показатель,

Х-(х)— ZcyZ- lx.(t)\f/* . В такой форма показатель Ляпунова

был перенесен на решения дискретных уравнений Перроном для изучения асимптотики их решений. Множество всех 32. - показателей системы (4) состоит из к. элементов í Наи-

больший из них называется старшим показателем системы (4),

92й= Я: f а число ¿úvv- ¡xft)!^* ыладаим

(нижним) показателем.

В § I.I вводится коэффициент неправильности (Г линейной систем! (4)

<5~=(п «И

V L — -t ' -t-»oo\C = 0

Дня любой системы (4) коэффициент <Г7у/ ; в случае б"- / система (4) называется правильной.

"Для возмущений порядка In- ? i , в некритическом случае <£с 1 , известно следующее: если линейная система (4) правильная, то для асимптотической устойчивости нулевого решения системы (I) с возмущением (2) необходимо и достаточно, чтобы ста] шй показатель З^с системы (4) был меньше единицы (см.^'). В диссертации установлены необходимые и достаточные условия устойчивости нулевого решения системы (I) с любыми возмущениями (2 фиксированного порядка Iw без предположения правильности линейной части. Дня дифференциальных систем аналогичная проблема была решена Р.Э.Виноградом и Н.А.Изобовыы6\

4. Демидошч В.Б. Об одном признаке устойчивости разностных урав нений //Дкаференц. уравнения. - 1569. - 5,-й 7. - С.

5. Останов Ю.Г. Об устойчивости движений дискретных динамических систем //Ь!атем. шизика. Республ. меквед. сб. - 1969, вып.6. -С.149-157.

6. Виноград Р.Э., Изобов H.A. Решение задачи Ляпунова об устойчи вости по первому приближенно //Ддсйеренц. уравнения. - 1970. - 6, Л 2. - С.230-242.

В § 1.3 этот результат распространяется на дискретный слу-ай следующим образом. Вводится понятие показателя Л^ ли-ейной системы (4).

Пусть число \№?0 и вполне ограниченная функция существляют при всех 05 оценку матрицы Коши Х(ь,5)

инейной системы (4)

Показателем порядка , - показателем, называется -исло

Л^г и^- (К(ъ))

не берегся по всем дарам ( И/; чисел и

щкций , дающих оценку (5); если таких чисел \Л/<1

з существует, то полагаем » где Ц/м-7// еогь

эчная нижняя грань чисел \Л/ , осуществляющих вместе с функции оценку (5).

Роль показателя Л^ раскрывает следующая

Теорема I (Теорема 1.3.1). I. Если показатель" линей->й системы (4) меньше единицы, то при любом возмущении f \) порядка У*^ нулевое решение нелинейной системы (I) асиш->тически устойчиво, причем для всех решений , начинаю-

тся в достаточно малой окрестности нуля, справедливо неравенст-

2. Если га показатель больше единицы, то существует

1змущение (- 2) порядка , для которого нулевое решение

гстемы (I) неустойчиво.

В случае правильной системы имеет место равенство « любых 5 и утверждения теоремы I переходит в извест-

ю В общем же случае Л^у/Хс. .

В § 1.3 для показателя Хн^, получены некоторые оценки свер-', на основе которых установлены признаки асимптотической устой-вости нулевого решения системы (I) с возмущением (2). Один из ких признаков: 5Вй (Гm"', < 4. В случае диагональной и

1-3

треугольной патрицы A (i) условия'Таких признаков формулиру! ся в терминах диагональных элементов матрицы.

В § 1.4 изучается асимптотическое поведение решений сио мы (I) о возмущением (3). Доказана

Теорема 2 (Теорема I.4.I). Пусть для матрицу Кош систеш • (4) справедлива оценка ||X6iS)f|«ipf fijáis), Í7,s?/io , где 4i}4>k7 0, а для функции выполняется условие (3).

Тогда если функции Чч, <¿ } ^ удовлетворяют условиям

tí^ ф(ъ) - о. &^-úr(t)=o,

о t-p оо ' '

. 1-1

П (<+<?K(s+o¿(s)4>1cn)

к-te ! '

то нулевое решение системы (I) притягивающее.

Условия теоремы 2 выполняются, если, например, показател: систеш (4) меньше единицы и (¿b) + (С+£.)* - О }

некоторого £ 7 0. Дла случая диагональной и треугольной мат] цы ' А условия притяжения формулируются в терминах диагональных коэффициентов матрицы.

Результаты по асимптотическому поведению решений дискрет] систем (I) с возмущением (3), включающим порядок в литературу автору не встречались.

Во второй главе изучается система (I), где вектор-функца цри iеД/ и удовлетворяет неравенству

Известно следующее: если Aft)s А - постоянная матрица для экспоненциальной устойчивости нулевого решения системы

x(t+*J= Ах(ц + f-fe, х.(а)

с нелинейностью (6) достаточно соблюдения условий: R- "J^Míl где Á i, Í- = - собственные значения матрицы А , а ^

б

ггоо мало. При этом явные оценки для ff (через |/U| в А II ) в специальном случае треугольной матрицы А найде-1ерроном. В общем же случае постоянной матрицы А оценка 1чины ^ проводилась с помощью щуакции Ляпунова (Хан, лан, Бертрам, Мартынюк A.A.), Известно также, что если ыатри-переменная, то условие Su-p = R<f • t

Alfrl) I = к-, - собственные значения матрицы AM , в эм случае, без дополнительных ограничений, не обеспечивает штотической устойчивости линейной систеш (4) и тем более не-зйной.

Бели матривд А fe) в системе (I) меняется достаточно ыед-ю, а мало, то решения системы (I) естественно сравнить эшениями систем

a&C^-c-f) ~ /I э М

учаеыых замораживанием матрицы А(Ь) в произвольной точке о6/V (метод замораживания). Будем считать матрицу AM мед-яо менявдейся, если величина <Г5 II A(t+1i — Aft)|| а. При таком предположении во второй главе устанавливаются шш показателей экспоненциального роста решений нелинейной темы • (i), ' (6) и соответствующие признаки экспоненциальной ойчивости через параметры, характеризующие замороженные сис-а (к). Для системы (7), (6) со стационарной линейной частью ~~0) условия таких признаков формулируются в терминах вели-а»|ДИ и IM || .

Оценки <f и Y • ПРИ которых имеет место экспоненциаль-устойчивость, подученные в настоящей диссертации без цривле-ин функций Ляпунова, являются насколько известно, первыми.

Определение. Пусть аядянм числа сП? 0,^70 и вектор Z~(a.c}„, jO-e-iJ, где "fiKSK^, CL:?/0. Будем говорить, что xvu) матрица A(t) принадлежит классу ф {Я , сС ; (Г), и:

I) для всех £| t € Л/ выполняется неравенство

sf£'= sCs-t),., (S-i + 4)) s,il=0 при s<t., t-4 7

Для класса (р(Я^)<Г) обозначим: С.^— ё^^/Ь [}

к-*

к-»

1 = 0 0

^ С10)

Основным результатом второй главы является

Теорема 3 (Теорема 2.2.1). Пусть в системе (I) матрица А(Ь) е срге^ сГ) и функция х,) удовлетворяет нэ-

равенству (6). Тогда справедливы следующие утверддения:

1. Все решения этой системы удовлетворяют оценке

1х.(Ы{$ с некоторыми постоянными С 7О Н Л7/Ц причем:

а) Л0— Я + , где £ о - единственный полохитель-ный корень уравнения = </~+ 4 )

б) если сГ п ^ при некотором Ь у О удовлетворяют условию малости 1 , то Л о допускает оценку

"к+7

2. Если Я < 1 , а (Те ¡^ удовлетворяют условию

сГэ + < • то нулевое решение системы (I) экспоненциально устойчиво.

В § 2.3 для степени матрицы А установлены оценки вада (8 ), в которых |ДС| , - собственные значения

матрицы А .

В § 2.4 получены двусторонние оценки характеристических по-зателей линейной системы (4) в методе замораживания.

Предполоким, что матрица А(Ь) с собственными значениями Л*) , , и обратная матрица А'*(ь) при ^ 6Д/ п

с э удовлетворяют условиям

¡¡А(^о-А(ь)1\$сГ} ЦАМанЕИ^м,

(II)

Теорема 4 (Следствие 2.4.1). Если матрица А{Ь1 удовлет-зяет условиям (II), то при всех достаточно малых сГ~>0 фший 9ВС и иладший показатели линейной системы

I удовлетворяют неравенства«

+ (12) г-^сГ^ -¿(Г* (13)

! 7 , , сС - некоторые положительные постоян-л —I 1 /Лет- ^ иЛ (14)

0 \ 6^-1)1 I » \ )

Таким образом, отклонение старшего показателя от мак-

ального замороженного и отклонение младшего показателя

'л1 от минимального замороженного ^ амеет порядок по выше ,

В третьей главе проводится анализ точности оценок в теоре-

4.

Определение. Семейство линейных систем

ЫЫ (15)

зтрпцэй , зависящей от параметра 6~~? О а удозлет-

якдей условиям (II),

а) реализует оценку (12) старшего показателя «Вс с коэффициентом О, 0< в £ 6« , если на этом семействе при всех сколь угодно малых <Г~ для старшего показателя верна оценка снизу

7, к, ФОсГ^ • (16)

б) реализует оценку (13) младшего показателя с коэффициентом ^ , 0 < <\ 5 • на этом семействе для

Жм верна оценка сверху

^ г- .

В третьей главе для У^ - мерного случаядоказан дискретный аналог теоремы Н.А.Изобова-ЛЗ.И.Елефтериади 7»°' о неулучшаемости (по параметру сГ" ) оценок показателей в методе замораживания.

Теорема 5 (Теорема 3.1.1). Существует семейство (»^я^ ) -матриц А(ъ,<Г) , зависящих от параметра <Г?0 и удовлетворяющих условиям (II) таких, что линейная система (15):

1) при четном Их одновременно реализует' оценки старшего 32 с и младшего . показателей в методе замораживания,

т.е. одновременно имеют место неравенства (16), (17);

2) при нечетном к- реализует оценку старшего показателя 55с. , а сопряженная система реализует оценку младшего показателя «БД в методе замораживания.

В теореме 5 значения коэффициентов б ? О и в

неравенствах (16) и (17) неизвестны: доказано только их существование. Для двумерного случая удается указать явно семейство матриц А <Г) , на котором одновременно реализуются оценки старшего и младшего показателей с коэффициентами в и ,

и сравнить эти коэффициенты с соответствующими коэффициентами во и из (12), (13).

7. Изобов Н.А. Случал уточнения и достижимость оценки старшего показателя в методе замораживания //Дифференц.уравнения. - 1971.-

7, » 7. - С.1179-1191.

8. Елефтериади Ю.И.' Достижимость оценки старшего показателя в методе замораживания в сл^чае^и^ л, /Дифференц.уравнения. -

Теорема 6. При К-Ъ существует семейство систем (15) с матрицей А(*)<Г) # удовлетворяющей условиям (II), реализующее оценки старшего и младшего показателей в методе замораживания с коэффициентами 0. — ~ , <\ - , где б>0 и введены в теореме 4.

Аналог теоремы 6 для дифференциальных систем доказан в работе автора ДО/.

В четвертой главе результаты первой и второй глав применяются для изучения асимптотического поведения решений систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием в фиксированные моменты времени.

Рассматривается система

' (18)

при следующих предположениях: , А(±1 - кусоч-

но-непрерывная ограниченная (^х^)-матрица; Е+В^, -невырожденная ограниченная )-матряца; последовательность моментов t*N- такова, что

О <■&, £ ¿гил, « 6>Л (19)

нелинейные функции и при

могут иметь различный порядок малости по Х-.

При таких предположениях каждое ненулевое решение линейной системы

(20)

имеет конечный характеристический показатель множество всех характеристических показателей решений этой системы состоит из конечного числа элементов Лх 5 Л л. 5 Л к- , Если матрицы А(±) и Вил, постоянны, А-, В**.- В , и моменты •¿■»^ равноудалены друг от друга, -то характеристические показатели системы (20) = I , где 8-„, и —- собственные значения иатрицы С-(Е+В) ¿*-р/)Т. Среди систем с переменными коэффициентами известны показатели правильной треугольной системы

В четвертой главе вводятся матрипр, которые при определенных условиях играют роль в решении вопроса об оценках показателей линейной системы (20) и в получении признаков асимптотической устойчивости как линейной (20), так и нелинейной (18) систем с импульсами.

Для любого wv е /✓ и фиксированного & е /V обозначим

+1) О(нЖ).

Здесь и далее ~l у 1~rtt 7/û} - матрица Коши системы

X = A (il lX.) без импульсов. Теорема 7 (Теорема 4.I.I). Если матрица

, определен

нал по системе (20) треугольная, то характеристические показатели Л ;, i ~ T^rZ- , этой системы допускают оценки

где

-b-»tx>\bv=0 "" ] '

Д(¿¿/iu '

диагональные глементы матрицу

Из этой теоремы вытекают оценки показателей линейной системы (20) с треугольными матрицами А(±} и В (Теорема 1.4.2), которые в случае правильности системы совпадают с известными (см. 2\ с.73).

В § 4.2 изучается асимптотическое поведение решений нелинейных дифференциальных систем с импульсами (18) в предположении,что матрица (\J(*~>) » определяемая по линейной системе (20),

диагональная или треугольная. При возмущениях я (%■)

вида l^t-, с)|< А|х|Р} ШяМАШ*

де А = сс^^-Ь) р-, 1 , найдены условия асимптотической устой-ивостх решения х = 0 системы (18). ~ при возмущениях ^ъ.0 в («,) вида

9ЦО)-=0} | < при

айдены условия притяжения решения Х- = О этой системы. Усло-ия признаков формулируются в терминах диагональных коэффвдиен-ов матрицы (\Jc~-)) , а в случае треугольных матриц

- в терминах диагональных коэффициентов этих матриц.

Результаты § 4.2 являются новыми.

В § 4.3 установлены признаки экспоненциальной устойчивости ешений дифференциальной системы о импульсами

х. — -ь

(21)

Х&тГ'О) ~

I которой нелинейная часть (удовлетворяет условию

Ухе*"*, у»-*/,/.,... (22)

к матрица С(»>) ) иедленно меняющаяся.

Теорема 8 (Утверждение 2 теоремы 4.3.2). Пусть в системе 20) моменты удовлетворяют условию (19), а катрица

с ф/^ой^ (Г) при некотором Ь £ Л/- Тогда, если I сГ< //э , где определена в (9), то линейная система

жспоненциально устойчива.

Теорема 8 оценивает величину сГ= >

грн которой условие £ < / гарантирует экспоненциальную ус-■ойчивость линейной системы (20). Показано, что одно только у сложа £< 1 в случае переменной иатрида не обеспечи-ает устойчивости решений этой системы.

Теорема 9 (Утверждение 2 теоремы 4.3.1). Пусть для системы !21) соблюдаются условия (22), (19), а матрица С(ы~) £ ?огда нулевое решение этой системы экспоненциально устойчиво,ес-ш К< 1 , а (Г и <\г таковы, что + ,

•де 6ЦхЛ. а п В определены в (9), (10).

Теорема 9 дает признак экспоненциальной устойчивости нулевого решения системы (21) с нестационарной линейной частью и возмущением (22) без привлечения функций Ляпунова. Критериев устойчивости решений нелинейной системы (21), (22) даже с постоянной линейной частью, т.е. А(ь1 = А .. 8^ = 8 ,

- -Ь^ - Т = Ь , в терминах свойств матриц А и 8 в литературе не встречалось.

Работы автора по теме диссертации

1. Замковая Л.Д. Некоторые свойства правильных линейных разностных систем //Дифференц. уравнения и их приложения. - Днепропетровск, 1973. - Вып.2. - С.68-76.

2. Замковая Л.Д. Об устойчивости по первому приближению разностных уравнений //Дифференц. уравнения и их приложения. -Днепропетровск, 1973. - Вып.2. - С.63-68.

3. Замковая Л.Д. Об одном свойстве решений конечноразност-ных уравнений //Дифференц. уравнения и их приложения. - Днепропетровск, 1975. - Вып. 3. - С. 120-125.

4. Замковая Л. Д. Об одном признаке устойчивости решений конечноразностных уравнений //Дифференц. уравнения и их приложения. - Днепропетровск, 1975. - Вып.З. - С.125-128.

5. Замковая Л.Д., Крюков Б.И. Об устойчивости нелинейных дифференциальных и конечноразностных систем //Дифференц. уравнения. - 1977. - 13, й 4. - С.756-757.

6. Замковая Л.Д. О центральном показателе систем линейных конечноразностных уравнений //Дифференц. уравнения. - 1977. -13, а 2. - С. 362-363.

7. Замковая Л.Д. О центральном - показателе системы дискретных уравнений //Дифференц. уравнения. - 1980. - 16, К 2. -С. 363-365.

8. Замковая Л.Д. К методу замораживания для дискретных систем //Дифференц. уравнения. - 1980. - 16, Л 4. - С. 697-704.

9. Замковая Л.Д. Оценки показателей экспоненциального юста решений некоторых систем //Дифференц. уравнения. - 1988.-!4, » II. - С. 2008-2010.

10. Замковая Л.Д. О достижимости оценок показателей реше-шй линейных дискретной и дифференциальной систем в методе загораживания. Ред. ж. "Дифференц. уравнения". Минск, 1988, 19 с. [еп. в ВИНИТИ 25.05.88, й 4023 - Б88.

11. Замковая Л.Д. Оценки показателей экспоненциального юста решений некоторых систем. Ред. ж. "Дифференц. уравнения". !инск, 1988, 49 с. Деп. в ВПВИИ 25.05.88, У> 4016 - В88.

12. Замковая Л.Д. Аннотация доклада "О неулучшаемости оце-юк для показателей Ляпунова, получаемых методом замораживания (ля дис!фетных систем". О семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в Московском университете. //Дифференц. гравнения. - 1978. - 14, Л 4. - С.761.