Полиноминальная аппроксимация функций на континуумах комплексной плоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

министерство образования

азербайджанской республики

БАКИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. э. РАСУЛЗАДЕ

СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ СОВЕТ Д. 054.03.02

РГ Б ОД

^ к; . 1пм На правах рукописи

а \| ¡У!АП

РЗАЕВ РАМИН РЗА оглы

ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ НА КОНТИНУУМАХ КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ

01.01.01 — Математический - чл

автореферат

диссертации на соискание ученоД степени кандидата физико-математических наук

БАКУ — 1994

Работа выполнена на кафедра «Теория функций и функционального анализа» Бакинского государственного университета им. М. А. Расулзаде.

доктор физико-математических наук, профессор Р. Г. МАМЕДОВ (Азербайджанская государственная нефтяная академия),

кандидат физико-математических наук, доцент Р. К. СЕИФУЛЛАЕВ (БГУ им. М. А. Расулзаде).

Ведущая организация: Институт математики и механики Академии наук Азербайджанской Республики.

Защита состоится х/5 » II ¡£¿1 & 1994 г. в часов

на заседании специализированного совета Д 054.03.02 в БГУ им. М. А. Расулзаде (корпус 2 , аудитория ЗР?) по адресу. 370073, г. Баку, ул. 3. Халилова, 23, БГУ им. М. А. Расулзаде.

'Отзывы об автореферате просим высылать в двух экземплярах с заверенными подписями.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке БГУ им, М. А. Расулзаде.

Научный руководитель:

д. ф.-м. и., профессор Дж. И. МАМЕДХАНОВ.

Официальные оппоненты:

Автореферат разослан

1994 юда.

Ученый секретарь специализированного совета, д. ф.-м. п., профессор

М. А. ЯГУБОВ.

- 2 -

ОБЩЙЗ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ, Актуальность твик, Исклочителько во всех.облостзх математики, а такяе при реоэнии мнбгих прикладных задач вакнуи роль играат задачи об аппроксимации более слозных объектов менее сложными, В настояцеэ время теория аппроксимации имеет дело главным образом с приблихением отдельных функций и классов функций при помощи алгебраических полиномов или ае (в периодическом случае)тригаиоыет-рхчвских полиномов заданного порядка п. В тохв время классические методы аппроксимации и ев фундаментальные результаты получили широкое применение в других облостях науки и техники. В частности, использование этих мет дав в значительной степени расятоило пр?д-ставлениэ о математических моделях технологических процессов и сделало их более оптимальными.

Одной из актуальных задач аппроксимации функций полиномами является построение конструктивной характеристики классов функций на континуумах комплексной плоскости,как в глобальных,так и в локальных терминах, Этии вопросам в разное время были посвацены многочисленные исследования Ди.Л.ЗолиаЛ.З.Сиуэлла, Дж.Г.Куртиса, У.В.Келдыва.М.Й.йаврвктьваа^С.Н.Ивргвляна.С.Я.Йльпора, В.К.Дзядм-ка,В.И.Белого, Дм.И.Иамедхаиова,В.В.Андриевского й других.

В связи с вымвиэлохвнным представляет интерес дальнейаее изучение аппроксимационных характеристик классов функций на различных континуумах комплексной ллоскоскости. Цель работ«, Исследовать: локальние и глобальные задача аппроксимации на замкнутых областях <кривых)из достаточно" внроких класгоз в терминах расстояния до линии уровня; опредэленные константы в аналогах классических неравенств типа Млркева-Беривтейна.

Научная новчзна работы. В работе введен принципиально новый локальный класс функций,отличавшийся от известных классов те«,что в окрестности фиксированной точки замкнутой кривой задается ""

.«енная гладкость,Для функций из этого и других классов,где учитывается дополнительная гладкость функции, на областях из вирокого класса Н* рассмотрены локальные задачи полиномиальной аппроксимации и доказаны соответствующие им прямые теоремы.

На областях из упомянутого класса Н* в трминах расстояния до линии уровня установлен аналог известной теоремы Дж.Л.Нолва, связывающей свойства непрерывности функции на линии уровня и порядок приближения на границе области.

Найдены определенные постоянные в известных оценках типа Мар-кова-Бернвтейна для алгебраических многочленов в интегральной метрике,

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность работы заключается в распространении известных локальных и глобальных задач полиномиальной аппроксимации на континуумы более вирокого класса областей. Кроме этого в полученных оценках исследованы постоянные велечины.что в свою очередь позволяет в значительной степени качественно улучшить и разнообразить решение обратных задач теории аппроксимации и определенных прикладных задач.

Результаты работы могут быть использованы в других областях математики.

Методы исследования. В работе используется метод получения оценок наилучввго приближения функций полиномами в терминах расстояния до линии уровня и другие методы теории функций и функционального анализа.

йппробация работн. Результаты работы докладывались на семинарах акад. йН Язерб.респуб. И.И.Ибрагимова в ияс.титуте математики и механики ЙН йзерб.респуб. .профессора,д.Ф.-м.н. ¿«¡.И.Камедхансва на каферв "Функциональный анализ и теория функций комплексного переменного" Бакинского государственного университета иы.Н.З.Ра-сул-задв.на конференциях ыолодах ученых по катемртике С Баку-1 988,

1389),а также на всесовзной летней математической школе "Современные проблемы конструктивной теории функций" (5аву-1989г.).

Обьем работы. Диссертационная работа изложена на 90 страницах и состоит из введения,грех глав и библиографии. Библиография содержит 83 названия,

Пцбликации, По теме диссертации опубликована 4 статьи,охватывавшие основное содеряаниа диссертации,

СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ПОЛУЧЕНИЕ РЕЗЗЛЬТЙТН.

Известно, что классические прямые теоремы.Д.Дааксона справедлива как для периодических, так и для непериодических функций.Со-ответствуоцие им обратние теорема С.Н.Бернвтейна и Я.Ш.Вале-Пус-сена справедлива линь для .периодических функций. Вместе с прямыми теоремами они дают конструктивнув характеристика периодических Функций класса Г&льдера порядка 0<<=¿<1 ),3ти резальтаты были получены в торыииах наилучвей аппроксимации и модулей непрерывности,Задачи подобного типа называвтся,глобальными.В так называемых глобальных терминах получить конструктивную характеристика для непериодических функций оказалось невозножннм. Однако после появления результатов С.И.Никольского об усилении теоремы Д.Джексона в тернинах расстояния до линии уровня границы областей С т.е. п терминах,зависячи» от полоаения точки) в работах А.Ф.Тинана и В.К.Дзадыка были установлены конструктивные характеристики для классов непериодических Фанкций, обладавших определенным модулем непрерывности,

В дальнейшей твореак типа Нииольского-Тимана-ДзяДыка ,в которых описывается конструктивная характеристика классов функций,оп-ределяеиых глобальными условиями (в частности, классовое <£ <П) в терминах локальной аппроксимации, мы будем относить к локально-глобальным задачам,Дальнейшее усиление теорем подобного типа в

локальных терминах получено Ю.Такразовыы, В.Я.Янчаком.В.В.Бард-зингким и Дг.И.Уамгдхановым.Ими изучены в терминах локальной аппроксимации классы функций,определяемых локальными условиями(т.е, зависание от полокения точки).Так называемые локальные задачи на-илучаей полиномиальной аппроксимации разделяются в свои очередь на локальные и локально-внутренние задачи.

К локальна» задачам относятся те задачи,в которых определяющим является поведение приближаемой функции в окрестности определенной точки,Локально-внутренними задачам аппроксимации называется те задачи,в которых приближаеиая функция задается вне любой окрестности некоторого числа точек,

Исследования,связанные с получением конструктивной характеристики класса И (0<е£<1) в глобальных терминах на комплексной' плоскости проводились в известных работах Дв.Я.Уолва, Н.Е.Сиуел-ла.Дя.Г.К^тиса.С.Н.Ивргеляна.С.З.Йльпэра.В.К.Дзядыка.Н.АДироко-ва.Дз.И.Каыедханова и других, Эти исследования показали,чте конструктивная характеристика классов Гёльдера может иыеть место на довольно узких классах множеств. В частности, сцчестувт области с гладкой границей,на которых конструктивная характеристика не имеет иесто.

Согласно результату Н.Й.Лебедева и П.Н.Тамразова,обратные теоремы в терминах ^(^-расстояния от граничной точки г облости до линии уровня Ра (¡ЪП.иыепт места даже в случае произвольных регулярных компактов, в ток числе для континуумов с односвязным дополнением,содержащим бесконечно-удаленную точку,В тоже время в соответствующих им прямых теоремах такая общность невозможна,Так, например,существуют кладкие дуги и области с кусочно-гладкими границами с нулевыми внутренними или внешними углами, для которых соответствующие прямые теоремы полиномиальной аппроксимации не имевт места.Получении прямых теорем полиномиальной аппроксимации

посвящены многочисленные исследования В.К.Дзядыка,Н.А.Лебедева,В.. И.Белого,Н, А.ВирОково,Д».И,Камедханова ,В,В.Андриевского и других.

При глобальном задании исследуемого класса функций,оценка на-илучвей аппроксимации момет бить получена как в глобальной форме (например, теорем» Дмексона-Бернтйна-Валле-Пуссвна для периодических), так и в локальной'формеСтеоремн Аякольского-Тимяна Дзяды-ка для непериодических функций),В частности,висследованиях Дм.И. Мамедханова рассматривался класс функций ^(uf),который выгодно отличается or хорово известных классов Гбльдера тем,что в окрестности некоторой фиксированной точки г задается дополнительная гладкость рассматриваемых функций,а именно: 1°. При каждых фиксированных «¿(О< «£ <1и jj>0 классом ^/г., Г) называется мномество неярерывнмх на замкнутой .спрямляемой кривой Г функций Пг),для которых имеет Место неравенство

? ' |f(M - {(t^WlM* |м/,м/]м/ ii>

В случае,когда в окрестности фиксированной точки кривой задается повыменная гладкость функции.получена конструктивная характеристика следующего класса функций 2*. При камдых фиксированных <¿<(0,1), классом

называется мномргтво всех непрерывных на замкнутой спрямляемой кривой Г функции fm, принадлевацих классу Гвльдера Н порядка (Oct/ <1) и удовлетворяющих вблизи заданной точки z t Г условия

({(*>'- f(H.)| i Г (2)

В работе вводится новый класс Н;^ U«i Г) .где в отличав от упомянутых классов в окрестности фиксированной точьи задается не

повывенная.а понияэнная гладкость функции.

3*. При каадых фиксированных ¿«(0,1), |>>0 классом называется многество всех непрерывных на замкнутой спрямляемой кривой Г функций Пг), принадлежащих в некоторой окрестности класса Гёльдера Н порядка (¿С0<о1<1), а вне- класса Гёльдера • £>*».

Естественно возникает вопрос;какова геометрия континуумов,для которых справедлив» пряные теоремы типа классической теоремы Ни-кольского-Тимана-Дзадыва? 0 таких конуиндумах говорят,что они обладают ^-свойством.

В.В.Андриевским получены достаточные и,в некотором смысле,необходимые условия,которым должна удовлетворять конечная область С с жордановой границей Г=ЭС,чтобы для нее имели.место прямые теоремы аппроксимации типа теорема Никольского-Тимана-Дзядыка в .терминах расстояния от граничной точки г* Г до линии уровня кривой Г.

Локальные прямые теоремы полиномиальной аппроксимации были доказаны на областях с квазиконформной границей,а' также на облос-тях из класса.6* .определяемого условиями

а)Г 6 Б &{!) = § (5) ' ' (3) где 0(5) ^(У), 04Ц) = пюфбМг-ШУ^о-г*^

(с1 - ^иам»Т(>).

б)]г-г1хЯ (г,Ы,где С Ы - М 14.-^1, ¿«Г (4)

_ в).Уг.иг.где г=г(Ы=Г[(1+Ь),Р(г)1. (5)

В дальнейшем класс рассматриваемых областей расширялся усилиями многих авторов.К настоящему времени,введенный В.В.Йндриев-

ф

скин класс областей Н ,на которых всегда справедлива теорема типа Никольского-Тимана-Дзядыка,является наиболее общим и вбирает в себя области с квазиконформными границами и области типа ,

В первой главе на областях из класса Н* ,в терминах нрилучзей

локальной полиномиальной аппроксимации рассматриваются локальные задачи, полиномиальной аппроксимации функций из классов

и Нлр (г.#Г) С0<«1<1.^>0).Ряд задач подобного типа для классов на более узких кривых рассматривались в работах Ди.И.Камедхаиова.А.А.Йусаева и С.З.Дка-фаравп.

Согласно исследованиям В,В.Андриевского класс областей Н характеризуется следувагии образов:

Б е Д £ «=> От « Н\ Г*эс«5

Другими словами Н* определяется условиями б) и в) класса Ь* . Основными результатами 1-ой главы является: ТЕОРЕМА 1.1. Пусть граница области Е-замкнутая кривая

(г..Г)ЛА(£) ,при ^5.0. Тогда при каз-

дом натуральном п мовно построить многочлен КЛг) такой,

что для всех Г выполняется неравенство

ТЕОРЕМА 1.2, Пусть граница области С-занкнутая кривая ПбН и £(*) 6 Нл'г,(2.(Г)ЛА(5). .при $>>,0. Тогда яри кая-

дом натуральном п ыонно построить многочлен Р„(г) Сйев ^п5 такой, что для всех 26Г выполняется неравенство

(Н) >]>(*)

С 7 >

> (¿и. „.--.^

ТЕОРЕМА 1,3, Пусть граница области Б-замкнутая кривая

ГеН и

Н^ (н.,Г) ПА(&) .при ¥<¿<=(0,13, е»0. Тогда при кав-дом кттуральном п мовно построить многочлен ВДг) Ыед <п) такой, что для всех г^Г выполняется неравенство

т.

Утверждения теоремы 1,3 остается новики и для случая, когда Г есть единичная окружность или отрезок 10,2 ЗП.,Зта теорека качественно усиливает классические теорему Д.Джексона. В частности,если рассмотреть функции 1Чх)=УТна отрезке [0,1), то в' силу теоремы Д.Джексона ее оценка наялучжей полиномиальной аппроксимации по отрезку будет равна ^ .тогда как из теоремы 1.3 получается существенно личиая оценка

Начиная с 1935 года, на основе результатов полиномиальной аппроксимации, в части касапцейся связи меаду скоростьв сходимости порядка геометрической прогресс» и областями аналитичности аппроксимируемых функций, получили болыое развитие более тонкие проблема,касйЕЦИвся свази между свойствами непрерывности функции на линии уровня Гк ,

Во второй главе работы на областях из класса Н * установлен аналог известной теоремы Д».Л.Уолжа,связывавшей свойства непрерывности функции на линии уровня Г^ (1М) и порядок приближения на границе области.

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть СбН*и при некотором 1М задана функция {I2),аналитическая внутри Г^ и непрерывная в замкнутой внутренности ^ .Если производная ^"(г) существует и удовлетворяет уело-

Здесь учитывается.,что -/*€НГ(1А'1) .т.е. УГ принадлежит классу в некоторой окрестности точки х=0 и -Н' вне этой окрестности,

вна Гбльцера порядка с£, <0<«£.< I) на Гщ ,го сяществцат такие полиномы степени <п,что для асах г «Г имеет место неравенство

- Р„ <

где КгКГС.Г.В.г.п^сопйЬО.

Аналогичный результат для более узких областей, а именно областей с гладкой границей при жестких ограничениях на производную отображащей функции был в свое время рассмотрен П.К.Сдэтиннм,

В челах исследования константы К, фигурирувдей в неравенстве (9) доказана аналогичная творена для случая окружности.

ТЕОРЕМА 2.2. Для всякой функции,регулярной при некотором Й>1 в круге |г|<й и непрерывной в 1г](Я,з также удовлетворяющей усло-вио Гвльдера порядка о£.С 0< о£<1),существует последовательность полиномов Дг)^ ,пгЗ,4,.такая.что

, ; се,

Как известно,одним из основных этапов в развитии конструктивной теорий функций явились классические неравенства ft.fi.Маркова, С.Н.Бвржгтейна,С.V.Никольского,С.Н.Мергеляна, В,К.Дзядика.Н.Й.Лебедева и П.И.Тамразова в классе алгебраических полиномов на произвольных множествах в комплексной плоскости, Они играпт наоценимуи роль при получении обратных теорви теории аппроксимации и широко используются в различных прикладных задачах.Отметим,что первоначально вопрос о получении подобных неравенств вил в свое время поставлен Д.И,Менделеевым .который связывал их непосредственно со своими практическими исследованиями.Поэтому,естественно,получение в данной работе для подобных неравенств еслй не абсолютно точных, то хотя бы определенных констант,имеет больяое значение в прикладных задачах и выявляет ряд до этого неизвестных.свойств ксследуа-

V С <*>

1Г

(9)

- tt -

мой функции.

Неравенства, связмзавцие норму производной функции из некоторого нормированного функционального пространства с норной самой функции,называются неравенствам» типа Иаркова-Беривтейна.а и* обобщенные аналоги-неравенства«» типа С.Н.Иергеляна и типа В.К.Дзядыка.

Получении аналогов подобна* типов неравенств для многочленов Рп в интегральных метриках комплексной плоскости пасвяцены многочисленные исследования. Дя.й.&ш»дхаиовым в нетраке были впервые получены точные в смысле порядка зависимости от п неравенства,которые даяа в сразнительно прбспм случая*,когда Г есть . произвольная кусочно-гладкая кривая,не были изучена.

В работе на основе указанных результатов Дх.й.Маададхашша были найдены определенные постоянные величины в оценках типа В.К. Дзядыка для алгебраических полиномов в метрике Lplf) при произвольных р>1 и при возаовно обцих предполоявниях относительно спрямляемой кривой Г в комплексной плоскости.

Пусть G-произвольный континуды с сдносвязным дополнением Q. , содержащий точку 2= я» ;Г= Э-Б =ЭД-их общая граница; а = f f z)-фуккция,конформно и однолистно отобрагаоцая Д на CIÏ -внешность единичного круга,нормированная условиями:

Yl-J*". s ¡t.

Гйг - = -л

-линия уровня континуума 6; • —1 -расстояние до линии уровня от граничной ',*.., точки 2 &Г;

.ПИ у6Г« .

Справедливы следующие утвервдения:

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть спрямляемая кривая Г£Н*. Тогда при п>1 для полиномов Рл(г) степени ¿п и Р5.1,5е(--а ,<*> Справедливо неравенство

Цш

Замечание. Здесь ftf.fl^, и 8 дальнейвем С(Г)-полоаительныв постоянные .фигурирующие в определении ,не зависят от n.z и .

ТЕОРЕМА 3.2, Пусть спрямляемая кривая ГбН. Тогда при nil для полиномов (г), степени ¿п и p>l,g<(»oo ,оо ) и б'< ¿справедливо рераввнство

(12)

, I г А-.5 .11755

где С(Г,р,з)= ^[д^^АгГ] .

а под 5ц VI) понимается расстояние от точки ^¿Г^- Д°

уровня Гк ,где (МПС 1+1/п ), гвУф.

ТЕОРЕМА 3.3.Пусть Г 6 Ь* .Тогда каковы бы ни были натуральное

число ] и $ е[0;к}/(к-1 )> справедливо неравенство Н

линии

os [ Mmiil , л(г с \\

(13)

где ССГ.з,j )'= -

W*> w

4 z *

1- 2

и

(АЛ)'

i-Z

<«s-Kls-4>

.i-KU-J)

S>

ТЕОРЕМ/) 3,4. Пусть Г-произво:лъная К-квазиконформная кривая. Тогда каково бн ни било натуральное число ] и число ес(-оо , см ) для производных ]-го лорядка многочлена Р* степени <п при р>1 справедливо неравенство 4

где С(Г,р,],8)-

(А<М А»

,т

ТЕОРЕМА 3.5. Пусть Г при некотором к принадлежит классу РК, Тогда каковы бы ни были натуральное число } и $*10;к}/(к-1))для производных }-го порядка нногочлеиа С< степени <п при р>1 справедливо неравенство • ■

1£ме.иЧ

где КСГ.р.е,3)=

И А,. - А, [АЛЛМЦ

; (иЧУ^!* Л <1'е"С(г) I ¡ЙГЕ 1 иг s<.l^^"'.<l.

А г А, [

- . ^ 127Г

П-2 \Г

1 ] ' 2ТГ

нМ^Ш. ли) м

'и П| 1 £1

К^-кИ) I

аг),

ЛИТЕРЙТУРА

!.Рзаев P.P. "Аппроксимация полиномами на границе областей из класса Н*."-Тезисы докладов на всесоизной школе-конференции "Современные проблемы теории функций.".посвященной 70-летип АГЗ им. С.Н.Кирова (Баку,19-29 мая 1989 г.) - Баку ИМИ АИ Аз.ССР. 1983 г..с.91-92.

2.Рзаев Р.Р."Об • одной задаче аппроксимации на комплексной плоскос.ти. "-Материалы всесоюзной летней математической ико-лы"Современные проблемы конструктивной теории функций."(Ба-ку-1991).с.141-143.

3.Рзаев Р.Р."О локальных задачах теории аппроксимации на областях из класса Н*. " - Материалы 5-ой зимней Саратовской математической вколы по теориям функций и приблихения. Сара-тов-90 г..с.99-102.

4.Рзаев P.P. "Аналог прямой теоремы Дв.Л.Золиа на областях из класса Н*. "-Сборник трудов Саратовского государ, университета.1992 г..с.178-181.

5.Рзаев P.P. "О постоянных величинах в оценках типа Наркова-Бернатейна."-Материалы научной профессорско-преподавательской конференции Азербайджанского индустриального института, Сумгаит-1992 г.,с.31-32.

-is-

РШЕВ РАМЙН орлу

^Комплекс мгстевюши конгинуупларында функси.1оларын полиноиларла сппроксимаси^сои."

К Y Л А С 9 •

jlfaccepracHja сои комплекс дэ;]ипзцлй функсналарын да ha тнуми шэкилдэ о лап обласгларии оврЬадиндэ полиномгарла ап-проксинаси^асниа Ьэср олувуб» В.В.Андриевскими годгиг ет-дй,1п Н* обласгларында Нш>доки-Тииан-,ДзЗадакин таореилэря Ьвмишв догрудур sa Ьэяин обласглар елмин мтасйр BS3si,jjeinH-дв за кении haca б одунур м бу абласглар £>* тип ли вэ ква-эиконфори гипля ojpwspn ез дахилинда caxaajup. Бу синкфдэн олан обласгларда , Г) SO Hjtp (2„, Г)

сяни^лэриндвн олан функса^^арып su jaxnu док ал аппроксима-оадаоынын локал нусгавшмринз бахилы р. И^^Ы./) идк дэфэ е^рэнилир.

Н* синфиндгн олан обдасмардо Ч.Л.Уолшун на* дум теоран-

кинин cos Hijo хэглгринэ гадэр из о ai о тершшлэриидз аналогу исбаг одунмуидур. Бу геороя Гк ( R.>0 сова.Цэ хэтлэрипдэ фуHFTciijoHUH коспл.чэзлш: хаесэлэра илэ облосгиц сзрЬэддшдо Захннлапиа тэртибя арасинда влага ,jap а дар.

MapKOB^epHtarejii барабэроиздизслэршкга онадогларн тчти, да1ш дэгир ¿ejiuico исгэнилзн ft-l учти Lp . мотрякосында вэ дузлэндирилэ бидэн Г ojpHcti г«гн да ha Уиуи» всрглврдэ комплекс нустобйдз R, чэбри шшшоняар тч*в В.К.ДзЗадыкин raj-иэглэндиридмэлэри гчун uyojjsh сабимэр алиниышдыр.

-16-

RZfiYEU RflHIH RZA OGLY,

"The polynomial approximation function on continuuas of the complex plane."

SO M M A R V.

r

The dissertation uork Is devoted problens approxination

function of complex variable sultinenberS on the Units of the

fiel on aore general than fora before considered at present ■0

class on field H introduced by U.U.flndryevsci uhich aluayS holds true for theory fora Nicoiscy-Tenan-Dzjadyc, .appears the aost general and you can choice for you the field with quasi-confore Units and on the field forti 8* .On the field of this class in teras more local approxisation considered local prob-ieas polynomial approxination function fro» classes

and ,which is characterised addifional

saoothness function in the vicinity of a fixld point ze . At first considered class feift.On the field of K also insal-ied an analogy known thecren Q.L.Uolsha uhicjvis connecting the property continuity function on the line lj( (R>i)and approx{sa-tion on the limit fields,Jnequality,connectingfori derivative function from some standard function space uith the norm 1 function,is called inequality fora of Harkov-Bernshtaln, For their analogies,nanly.cn the.works the for« B.K.DzJadyc for the algeb-ricpolynoas in metries Lp(D at the arbitrary p)i and at possible general assumptions conperatirly of a curve T in coaplex plane have been found definist constant value .