Полуабелевы категории и категории банаховых пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ГЛОТКО Николай Владимирович

ПОЛУАБЕЛЕВЫ КАТЕГОРИИ И КАТЕГОРИИ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2004

Работа выполнена на механико-математическом факультете Новосибирского государственного университета.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор Кузьминов Владимир Иванович

Официальные оппоненты: доцент, доктор физико-математических наук,

Хусаинов Ахмет Аксанович

доктор физико-математических наук, Малюгин Сергей Артемьевич

Ведущая организация — Волгоградский государственный

университет

Защита состоится "«4." 2004 года в '^.и-иа. заседании дис-

сертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики им. С.Л.Соболева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, проспект академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан 2004 года.

Ученый секретарь диссертационнного совета

А.С.Романов

Актуальность темы

Согласно известной теореме де Рама [1] у гладкого многообразия М сингулярные когомологии с вещественными коэффициентами совпадают с когомологиями комплекса де Рама

где W(M)- пространство гладких дифференциальных форм степени j на М, а d- оператор внешнего дифференцирования. Еще в 50-е годы было показано, что на замкнутом римановом многообразии пространство когомологий изоморфно пространству гармонических форм. Оператор * Ходжа на римановом многообразии позволил ввести на пространстве D^(M) дифференциальных форм степени j с компактными носителями, лежащими в Int M, внутреннее произведение

пополнение пространства D3{M) относительно которого совпадает с гильбертовым пространством Ь32{М) дифференциальных форм степени j на М, удовлетворяющих условию ЦшЦз = J^ui < оо.

При этом оператор внешнего дифференцирования d : D3{M)—> DJ+l(M) можно расширить до замкнутого оператора, заданного на подпространстве пространства Ь32(М). Именно, будем считать, что форма <р лежит в области определения оператора d, если и только если существует последовательность {<Рд} С°°— форм такая, что и dipß сходятся в норме Ц - Ц-2- Положим = lim d^p^.

Использование методов гильбертова пространства сделало возможным получить различные варианты разложения Ходжа- Кода-иры [2- 3]. Это позволило Коннеру [4] поставить задачи Дирихле и Неймана для дифференциальных форм на римановом многообразии и исследовать вопросы их разрешимости.

В 1976 г. в работе [5] М. Атья впервые определил когомо-логии риманова многообразия и положил начало их использованию для изучения некомпактных римановых многообразий и римановых многообразий с особенностями. В дальнейшем ¿2 — когомологии изучались М. Гаффни, Дж. Доджиком, Дж. Чигером, М. Громовым, В. Мюллером, С. Дукером, В. Пансю и другими авторами. В 80- е годы

о -> п°(м) 4 пг(м) 4 • • • 4 w(M) 4 nj+1(M) 4 • • •,

Д—VOO

В. М. Гольдштейн, В. И. Кузьминов и И. А. Шведов ввели в рассмотрение L— комплекс де Рама риманова многообразия М и начали изучать его L— когомологии. Эта тематика активно разрабатывается ими в настоящее время. '

^,-комплекс де Рама на римановом многообразии представляет собой пример банахова комплекса. В. И. Кузьминов и И. А. Шведов в [б] изучали точность последовательности редуцированных когомологии, соответствующей короткой точной последовательности банаховых комплексов. Эти результаты имеют большой интерес для вычисления Lp-когомологий многообразия, представленного в виде объединения двух подмногообразий, пересекающихся по подмногообразию коразмерности 1.

Категория BAN банаховых пространств и непрерывных линейных операторов представляет собой пример полуабелевой категории.

Важность распространения понятий и методов, используемых при изучении абелевых категорий, на более широкий класс категорий, обусловлена тем, что многие важные категории функционального анализа и топологической алгебры не являются абелевыми. Исследования в этом направлении начали румынские математики К. Бэникэ и Н. Попэску (предабелевы категории [7]), М. Журеску и А. Ласку (канторовы категории [8]). В 1969 г. в [9] Д. А. Райков ввел понятие полуабелевой категории, подробно исследованное затем В. И. Кузь-миновым и А. Ю. Черевикиным в [10] и самим Райковым в [11]. Р. Суччи Кручани в [12] изучала существование функторов Extn в квазиабелевой (канторовой аддитивной) категории. Как отметил Райков, квазиабелева категория в смысле Суччи Кручани является полуабелевой. В 1998 г. Ж. -П. Шнайдере дал определение квазиа-белевой категории, совпадающее с данным выше определением по-луабелевой категории. Как доказали в [10] еще в 1972 г. Кузьминов и Черевикин, это определение эквивалентно определению полуабе-левой категории, данному Райковым.

Одним из основных объектов гомологической алгебры в полуа-белевой категории является когомологическая последовательность. Строго точной последовательности

(1)

коцепных комплексов в полуабелевой категории соответствует последовательность когомологий

Д.А.Райков в [9] показал, что последовательность (2) точна и мор-физмы, ее образующие, являются строгими, если все дифференциалы комплексов А, В и С — строгие морфизмы.

Вопрос о том, как влияет строгость морфизмов в одном из комплексов, образующих строго точную последовательность (1) на точность когомологической последовательности (2) и свойства морфиз-мов этой последовательности был досконально исследован В. И. Кузь-миновым и Я. А. Копыл овым ([14], [15]).

Возникает вопрос, можно ли расширить класс Ос строгих морфизмов так, чтобы утверждения, доказанные в работах [14], [15], хотя бы в более слабом варианте оставались верными. Другими словами: возможна ли в полуабелевой категории «относительная когомологическая алгебра»? Кроме того, имеет смысл рассматривать «обратную задачу». А именно: как влияет условие строгости морфизмов в когомологической последовательности на свойства морфизмов комплексов в короткой точной последовательности (1).

Изучая Х2-когомологии римановых многообразий Дж. Доджик в статье [16] ввел понятие Соболевского комплекса, ассоциированного с Ь2 комплексом де Рама на многообразии.

В статье [16] рассматривалось гладкое риманово многообразие М и гильбертово пространство Ь, К(М) измеримых дифференциальных форм степени к на М, имеющих интегрируемый в квадрате модуль.

Пусть задано некоторое замкнутое подпространство Г* пространства 1У£(М), содержащее Для любой формы и 6 ^(Г*) уравнение с1кь = и> имеет в Г* единственное решение, ортогональное к подпространству ГАПКегб?Л. Обозначим это решение через (с1к)~1и>. Оператор ((1к)~1 : с2*(Г*) Ьк(М) ограничен тогда и только тогда, когда подпространство <1к(Гк) замкнуто в т. е. когда оператор внешнего дифференцирования с/к, действующий из Ьк{М) в с областью определения Г* нормально разрешим.

Для каждого к € Z имеется плотно определенный самосопряженный оператор Лапласа Др* — + Соболевские пространства н£к(М), где /-достаточно «хорошая» измеримая функция представляют собой пополнения Бош/(Ы Ц(М) + ДгО по норме ||/(1с1 ££(л/)+Дг'0'1|£'(лг)1 причем замыкания в соболевских

пространствах операторов внешнего дифференцирования йр будут ограниченными операторами.

Пространства Ну0(1У) (здесь II- область в I") рассматривались в работах [17], [18]. Дж Доджик в [16] изучал соболевский комплекс для функций вида / = А"/2, п € 2.

Эта конструкция может быть без изменения перенесена с Ь2-комплекса на абстрактный гильбертов комплекс.

В связи с этим возникают следующие вопросы:

1) как влияет свойство компактной разрешимости дифференциалов гильбертова комплекса на свойства вложений пространств ассоциированного с ним Соболевского комплекса;

2) как влияет свойство нормальной разрешимости дифференциалов гильбертова комплекса на свойства дифференциалов ассоциированного с ним комплекса;

3) как связаны между собой пространства редуцированных ко-гомологий гильбертова комплекса и пространства редуцированных когомологий ассоциированного с ним Соболевского комплекса.

В частности, интересен такой вопрос: возможен ли аналог теории Соболева для произвольных комплексов псевдодифференциальных операторов на римановом многообразии с краем.

Цель работы

Целью работы является дальнейшее исследование когомологической последовательности для короткой точной последовательности комплексов в полуабелевой категории, начатое В. И. Кузьминовым, И. А. Шведовым и Я. А. Копыловым, а также исследование свойств комплекса соболевских пространств, ассоциированного с абстрактным гильбертовым комплексом.

Методика исследования

Работа основана на применении методов топологии, функционального анализа, гомологической алгебры.

Научная новизна работы

Все основные результаты работы являются новыми. Они состоят в следующем.

1. Введены «выделенные» классы морфизмов в полуабелевой категории, обладающие рядом существенных свойств класса строгих морфизмов (но, вообще говоря, более широкие, чем этот класс) и получены достаточные условия точности когомологической последовательности, связанной с короткой точной последовательностью

комплексов в полуабелевой категории.

2. Установлена связь между «выделенностью» морфизмов в комплексах, составляющих короткую точную последовательность и «вы-деленностью» морфизмов когомологической последовательности соответствующей этой короткой точной последовательности.

3. Для абстрактного гильбертова комплекса построено ассоциированное с каждым из пространств комплекса семейство «соболевских» пространств. Найдены необходимые и достаточные условия компактности «канонических» отображений этих пространств.

4. Некоторые семейства «соболевских» пространств, соответствующие данному гильбертову комплексу допускают «объединение» их в некоторый гильбертов комплекс — комплекс соболевских пространств, ассоциированный с абстрактным гильбертовым комплексом. В диссертации доказано, что редуцированные когомологии этого комплекса совпадают с редуцированными когомологиями исходного гильбертова комплекса и что дифференциалы Соболевского комплекса нормально разрешимы одновременно с дифференциалами исходного комплекса.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для дальнейшего развития ^-теории дифференциальных форм на римановых многообразиях, в частности, для исследования соболевских пространств дифференциальных форм на ри-мановых многообразиях, а также для изучения эллиптических краевых задач для псевдодифференциальных комплексов на многообразии с краем.

Апробация работы и публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [23]-[25] и докладывались на конференции по геометрии и анализу, посвященной памяти А. Д. Александрова ( Новосибирск, 2002 ), топологическом семинаре под руководством профессора В. И. Кузьминова, семинаре «геометрия, топология и приложения» под руководством член- корр. РАН И. А. Тайманова и объединенном семинаре отдела анализа и геометрии ИМ СО РАН под руководством академика Ю. Г. Решетняка.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы из 30 наименований и изложена на 69 страницах.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации и приводятся основные ее результаты.

Первая глава посвящена коцепным комплексам в полуабелевой категории.

Приведем соответствующие определения.

Аддитивная категория называется полуабелевой если она удовлетворяет следующим ниже аксиомам 1, 2 и 3.

Аксиома 1. Каждый морфизм а имеет ядро кег а и коядро cokera.

В аддитивной категории, удовлетворяющей аксиоме 1., каждый морфизм а допускает каноническое разложение а — ¡т а ■ а • ссит а, где

Морфизм а называется строгим, если а - изоморфизм. Будем использовать следующие обозначения: Ос,М,Мс,Р, Рс ~ классы всех строгих морфизмов, мономорфизмов, -строгих мономорфизмов, эпиморфизмов, строгих эпиморфизмов соответственно.

Аксиома 2. В каждом универсальном квадрате

Последовательность А 4 В 4 С называется точной, если im <р = кег -ф. В полуабелевой категории эта последовательность точна тогда и только тогда, когда coim yj = coker<¿>.

Последовательность 0->л4в4С->0 будем называть строго точной и писать

В полуабелевой категории для всякого морфизма а морфизм а является биморфизмом, т. е. мономорфизмом и эпиморфизмом одновременно.

Примерами полуабелевых категорий являются категории ВАМ банаховых пространств и ограниченных линейных операторов, категория АЬТор топологических абелевых групп и их гомоморфизмов. Строгие морфизмы в категории В АЯ — нормально разрешимые операторы.

Пусть задан класс V эпиморфизмов полуабелевой категории А, удовлетворяющий следующим условиям:

А1.1. Если морфизм а8 определен и a,¡3 € V, то а/3 £ V\

А1.3. В каждом универсальном квадрате (3)

Al.4. В каждом коуниверсальном квадрате (4)

А1.5.Класс V содержит класс Рс всех строгих эпиморфизмов категорииА.

Через Ор будем обозначать класс всех морфизмов категории А, представимых в виде a¡3, где а 6 Mc,¡3 £ Т. В силу условия А2, а 6 Ор в том и только том случае, когда в каноническом разложении морфизма а, а = ima • а ; coima, морфизм а принадлежит "Р.

В главе 1 даны обобщения результатов В. И. Кузьминова и Я. А. Копылова из [14] о точности когомологической последовательности, соответствующей короткой точной последовательности комплексов в полуабелевой категории.

Под (коцепным) комплексом А = (Л?в аддитивной категории будем понимать последовательность

...-►Л»-1 % ...

такую, что = 0 при всех п.

Пусть А = {Ап, с^)пе2~ коцепной комплекс в аддитивной категории,удовлетворяющей аксиоме 1.1. Для каждого пей существует единственный морфизм а^ : Сокег сГ^-1 -> Кегс^+1, удовлетворяющий условию

(кег^а^сокег^"1) =

Определены когомологии Яп(А) = Сокего^-1 и Я" (А) = Кега^ комплекса А. Существует канонический морфизм гпд : Я"(А) —> Я"(А), определенный условием

(кег (сокега^-1) = (сокеп^_1)(кегс^).

Если категория полуабелева, то гпд- изоморфизм [14].

Морфизмом двух комплексов А'= (Лп, и В = (Вп,

будем называть семейство морфизмов (<рп : Л" Вп)„^, такое, что при всех п = (1д<рп. Для трех комплексов А = {Ап,(Хд)п&х,

В = и С = (Сп,(/^)пе2 и морфизмов : А -* В и

■ф : В С будем называть последовательность А4в4с точной,

если при любом п точна последовательность Л" Сп

Произвольный морфизм <р : А В комплексов индуцирует мор-физмы фп : Кег^д -> Кегс^ и фп : Сокегс£^-1 -4 Сокег Строго точной последовательности комплексов

о-^а4в4с->о (о)

в полуабелевой категории соответствует полуточная когомологическая последовательность

где Д" = <5"т£.

Основные результаты выглядят следующим образом. Теорема 1. 1. Для когомологической последовательности6) строго точной последовательности комплексов (5) справедливы следующие утверждения:

1) еслий\ € Ov, тоНх{ф) € Op и последовательность (6) точна в члене Л'(С);

2) если dß Е 0-р, то Д* € Оу> и последовательность (6) точна в члене Я,+1(А);

3) если dlc 6 0-Р) то Н,+1(<р) € 0-р и последовательность (6) точна в члене Н1+1(В);

Существуют полуабелевы категории, в которых условиям А1.1-А 1.5 удовлетворяет класс Р всех эпиморфизмов. Такие категории называются специальными полуабелевыми категориями. Примером может служить категория TopVect всех топологических векторных пространств. В специальной полуабелевой категории справедливо следующее

Следствие 1.1 Пусть Л- специальная полуабелева категория. Тогда когомологическая последовательность (6), соответствующая короткой точной последовательности комплексов (5) точна.

Теорема 1.2. Для короткой точной последовательности комплексов (5) с когомологической последовательностью (6) выполнены

утярлждрния'

1) если d^.dJj.H'W») £ Ор, то (сРв е Ом О-р)-,

2) если dlB,(P£l, IP (ip) <Е Ov>. то (сГл+1 € Ом ==> б Ор);

3) если dlA,dlc, Д' е Ор, то е Ом ==» ¿в € Ор);

где класс Ом удовлетворяет условиям, двойственным условиям, наложенным на класс Oр.

Вторая глава диссертации посвящена изучению комплекса соболевских пространств, ассоциированного с абстрактным гильбертовым комплексом.

Пусть Т — плотно определенный замкнутый линейный оператор с областью определения Dom (T), действующий из банахова пространства Y в бяняхово ппостпянство Y R ппостпянстве, Пот ГП гадпялим норму ||х||оот(Т) — (IWIx + \м2г) . Пространство Dom (Г) полно в норме || - || Dom (т) • Через ImT и Ker Т будем обозначать соответственно пространства {Тх | х € Dom (Г)} и {х 6 Dom (Г) | Тх = 0}.

Будем говорить, что последовательность {yn}nez С ImT накрывается последовательностью {zn}nez С Dom (Г), если Тхп — уп для любого п е Z.

Определение 2.1.1. Оператор Т называется нормально разрешимым, если любая ограниченная последовательность из подпространства т Т накрывается ограниченной последовательностью

из пространства Dom(T), и компактно разрешимым, если любая ограниченная последовательность из подпространства Im T накрывается последовательностью из области определения Dom (T), содержащей сходящуюся в пространстве X подпоследовательность.

Под гильбертовым комплексом мы будем понимать последовательность гильбертовых пространств А' и их (плотно определенных, замкнутых) линейных отображений d*A : А1 —У таких, что для каждого i € 1/ lmd\ С Kerd^"1. В частности, гильбертовым комплексом является L2- комплекс де Рама на римановом многообразии.

Для любого гильбертова комплекса А = (A*,ci^)teZ и произвольного целого числа k € Z определены гильбертовы пространства редуцированных когомологий НкА и топологические векторные пространства когомологий НкА

Ж Л - Keri/yimcf/1, НгА ^ Ker^/Imd^1.

Эти пространства совпадают тогда и только тогда, когда оператор dд-1 нормально разрешим, т. е. имеет замкнутый в А образ.

Абстрактные гильбертовы комплексы изучались, например, в работе [16] и в более общей ситуации (банаховы комплексы) в работе [6].

Операторы dkA позволяют сконструировать для каждого к £ Ъ плотно определенный самосопряженный оператор Лапласа

Тогда для достаточно «хороших» функций / функционал +

A/tO " IU«- является нормой. Пополнение Оот/(1с1д1: + Ддь) по данной норме называется соболевским пространством с показателем / и обозначается через Н?,к(А)

Существуют пары функций /, д, позволяющие построить «каноническое» отображение которое иногда является вложением.

В диссертации используются следующие условия на функции /, д : R+ —»!_)-, с помощью которых определяются соболевские пространства:

(i) / измерима, конечна и определена почти всюду относительно спектрального семейства {.Ел} оператора Id + Д^«.

(и) /(А) > 0 для п. в. А е <т(М -I- Ад.).

(¡11) Существует константа с > 0 такая, что для п. е. А € ст(И + Ад.) выполнено неравенство д(А) < с • /(А). (IV) Нш 5(А)//(А) = О.

А—юо

(у) Существует константа 7 > О такая, что /(А) > 7 для п.'в. А € ст(И + Ад.).

(у!) Существует константа 7 > О такая, что /(А) < 7 ¿ля п. е. А е ст(И + Ад.).

Справедлива следующая

Теорема 2.3.1. Для гильбертова комплекса А = (А^сРд).^ справедливы следующие утверждения:

1) Для любой пары функций },д : удовлетворяющих условиям (5)—(151) операторе^'4 : Н^,г(Л) —> Н3,,(Л) ограничен. Если

операторы (Гд, (¿д-1 компактно разрешимы, сПт Н*" А < со, то для любой пары функций /, д : К+ —> К+, удовлетворяющих условиям (1)—(IV) оператор е£'г° компактен;

2) если существует такая пара функций /, д : Е+ —» , что / и д удовлетворяют условиям 0)-(1у) и отображение компактно,

то операторы с^, с^"1 компактно разрешимы и ШтЯ10^ < оо.

Можно найти такие классы функций /, которые позволяют сформировать для комплекса А — (Л*, с(д) ассоциированный с ним комплекс соболевских пространств Н£(А):

...%я'М***1'1 (Л)...-^/'<^^'"(.4)

причем замыкания й^ у в соболевских пространствах операторов внешнего дифференцирования сСд будут ограниченными операторами. Такой комплекс мы будем называть соболевским комплексом, ассоциированным с комплексом Л. Соболевские комплексы такого вида исследовались Дж. Доджиком для функций / = А"/2, п £ 2, и гильбертова комплекса

Оставшаяся часть главы 2 посвящена исследованию вопроса о том, как влияет нормальная разрешимость дифференциалов гильбертова комплекса на свойства дифференциалов ассоциированого с ним соболевского комплекса.

Пусть гильбертов комплекс А — удовлетворяет следу-

ющему условию:

(F) A1 — 0 при i < О, и существует такое целое N > О, что Л* = О при i > N

Такие комплексы мы будем называть конечными.

Пусть теперь А — конечный гильбертов комплекс и функция / : R_l_ К+ удовлетворяют условиям (i), (ii) и, кроме того, условию:

fc — I

(Gk) для любого I е {0,...,iV} функция А~з~/(А) удовлетворяет хотя бы одному из условий (v), (vi) для некоторого k Е Ъ. то любому конечному гильбертову комплексу Л:

О ~> Л° Д Л1 ... Л*' А Л'+1 ->...-> An 0, (7)

и функции / : R+. Rf, удовлетворяющей условиям (i), (ii) и условию (Gfc), можно поставить в соответствие ассоциированный с (7) «соболевский комплекс» с ограниченными всюду определеннны-ми операторами в качестве дифференциалов:

О tfXW-V) -+ О,

(8)

Справедлива

Теорема 2.3.2. Для конечного гильбертова комплекса А = (Ax,dlA)i€Z и функции f : Щ. —> , удовлетворяющей условиям (i), (ii) и (Gk) для некоторого k € Z, справедливы следующие утверждения:

1) оператор нормально разрешим тогда и только тогда, когда нормально разрешим оператор

2) редуцированные когомологии Н 0 А комплекса А совпадают с редуцированными когомологиями комплекса Til в степени ¿o.

В частности, комплексы А и Tíj. фредгольмовы одновременно.

Если комплекс А не удовлетворяет условию конечности, то условие (Gk) следует заменить условием:

(Goo) для любого k € 1> функция Xs f(X) удовлетворяет хотя бы одному из условий (v), (vi).

Пусть А = (Л',с^)1б2 - бесконечный гильбертов комплекс и /(А) = Аз, где s 6 R Введем обозначения

где а = s + т, т € Ъ.

Теоремы 2.3.1 и 2.3.2 дают

Следствие 2.3.1. Для гильбертова комплекса А — справедливы следующие утверждения.

1. Операторы el'"3 : Н8,1°(Л) Н1'г°(А) ограничены для всех пар (s, t) 6 Ж х Е таких, что s >t, и являются вложениями.

2. Вложение е^10, где (s, i) 6 В х I, s > t, компактно тогда и только тогда, когда операторы ¿д-1, d1^ компактно разрешимы и

dim7T0,4 < оо.

3. Оператор нормально разрешим тогда и только тогда, когда нормально разрешим оператор , где s £ Е любое.

4. Пространство редуцированных когомологий ТГ° А совпадает с пространством Кег dsf{'°/Im 1 ,t0~1 для любого s £ Е. Здесь замыкание берется в пространстве Н"'1°(А).

В частности, комплексы А и %х'п фредгольмовы одновременно.

Автор бесконечно признателен своему научному руководителю профессору В. И. Кузьминову за постановку задач и полезные обсуждения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. М.: Изд- во иностр. лит., 1956. 252 с.

2. Kodaira К. Harmonic fields in Riemannian manifolds (generalised potential theory) // Ann. of Math. 1949. V. 50. P. 586- 665.

3. Duff G. F. D., Spenser D. С Harmonic tensors on Riemannian manifolds with boundary // Ann. of Math. 1952. V. 56. P. 128- 156.

4. Conner P. E. The Neumann's problem for differential forms on Riemannian manifolds. Providence, R. J., AMS, 1956 ( Memoirs of the AMS, V. 20).

5. Atiyah M. Elliptic operators, discrete groups and von Neumann algebras // Analyse et topologie. Asterisque. 1976. V. 32/ 33. P. 43- 72.

6. Кузьминов В. И., Шведов И. А. Гомологические аспекты теории банаховых комплексов // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, N. 4. С. 893- 904.

7. Banica С, Popescu N. Sur le categories preabeliennes // Rev. Roumaine Math, pure et appl. 1965. V. 10, N. 5. P. 621- 635.

8. Jurescu M., Lascu N. Morfisme stricte, categorii cantoriene, functori de completare // Studii §i cercetare mat. 1966. T. 18, N. 2. P.219- 234.

9. Райков Д.А. Полуабелевы категории //Докл. АН СССР. 1969. т.188. N. 5. с.1006-1009.

10. Кузьминов В. И., Черевикин А. Ю. О полуабелевых категориях. // Сиб. мат. журн. 1972. Т. 13, N. 6. С. 1284- 1294.

11. Райков Д.А. Полуабелевы категории и аддитивные объекты. // Сиб. мат. журн. 1976. Т. 17, N. 1.С. 160- 176.

12. Succi Cruciani R. Sulle categorie quasiabeliane. // Rev. Roumaine Math, pure et appl. 1973. V. 18, N. 1. P. 105- 120.

13. Schneiders J. - P. Quasu- abelian categories and sheaves. // Memoirs de la SMF, 1999. V. 76.

14. Копылов Я.А., Кузьминов В.И. О точности когомологической последовательности для короткой точной последовательности комплексов в полуабелевой категории. //Тр.конференции "Геометрия и приложения". Новосибирск. Изд-во Ин-та математики, 2001, с.76-83.

15. Копылов Я. А., Кузьминов В.И. О Кег — Coker— последовательности в полуабелевой категории. // Сиб. мат. журн., 2000, Т. 41, N. 3. С. 615- 624.

16. Dodziuk J. Sobolev spaces of differential forms and de Rham-Hodge isomorphism // J. Differential Geom., 1981, V. 16, P. 63-73.

17. Волевич Р. Л., Панеях Б. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения. // Успехи мат. наук, 1965, Т. 20, вып. 1 (121).

18. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М.: Мир, 1965 (1963).

19. Ремпель Ш., Шульце Б. Теория индекса эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1986.

20. Pillat V., Schulze В.- W Elliptische Randwert- Probleme fur Komplexe Pseudodifferentialoperatoren // Math. Nachr., 1980, Bd. 94, S. 173- 210.

21. Дынин А.С. К теории псевдодифференциальных операторов на многообразии с краем // ДАН СССР, 1989, Т. 186, N. 2. С. 251253.

22. Дынин А.С. Эллиптические краевые задачи для псевдодифференциальных комплексов. // Функц. анализ и его приложения, 1972, Т. 6, вып. 1. С. 75- 76.

Работы автора по теме диссертации

23. Глотко Н. В., Кузьминов В.И. О когомологической последовательности в полуабелевой категории. // Сиб. мат. журн., 2002, Т. 43, N. 1. С. 41- 50.

24. Глотко Н. В. Специальные классы морфизмов в полуабелевой категории. // Деп. ВИНИТИ, N. 209- В 2003, Деп. -18 с.

25. Глотко Н. В. О комплексе соболевских пространств, ассоциированном с абстрактным гильбертовым комплексом. // Сиб. мат. журн., 2003, Т. 44, N. 5. С. 992- 1014.

Подписано в печать 26. 01. 04. Уч.-изд. л. 1 Офсетная печать. Формат 60x84 1/16 Заказ N. 25 Тираж 100 экз.

Лицензия ЛР N. 021285 от 6 мая 1998 г.

Издательский центр НГУ; 630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2

Введение.

Глава 1. Комплексы в полуабелевых категориях.

1. 1. О Ker — Coker— последовательности в полуабелевой категории.

1. 2. О когомологической последовательности для короткой точной последовательности комплексов в полуабелевой категории.

Глава 2. Комплексы соболевских пространств, ассоциированные с абстрактным гильбертовым комплексом.

2. 1. Предварительные сведения об операторах в банаховых пространствах.

2. 2. Соболевские пространства, ассоциированные с замкнутым оператором.

2. 3. Гильбертовы комплексы.

Согласно известной теореме де Рама [1] у гладкого многообразия М сингулярные когомологии с вещественными коэффициентами совпадают с когомологиями комплекса де Рама

О —> fi°(Af) -±>tl\M) ----U Qj(M) А Г2;+1(М) -А • • •, где Q?(M)~ пространство гладких дифференциальных форм степени j на М, a d- оператор внешнего дифференцирования. Еще в 50- е годы было показано, что на замкнутом римановом многообразии пространство когомологий изоморфно пространству гармонических форм. Оператор * Ходжа на римановом многообразии позволил ввести на пространстве DJ (M) дифференциальных форм степени j с компактными носителями, лежащими в Int М, внутреннее произведение ш,0) = / CJA*0, Jm пополнение .пространства £)J (M) относительно которого совпадает с гильбертовым пространством Ь32(М) дифференциальных форм степени j на М, удовлетворяющих условию Цс^Щ = fMu А *и> < оо.

При этом оператор внешнего дифференцирования d : ——>

Z)J+1(M) можно расширить до замкнутого оператора, заданного на подпространстве пространства Ь32{М). Именно, будем считать, что форма ср лежит в области определения оператора d, если и только если существует последовательность {}Рц} С°°— форм такая, что срц и dtp^ сходятся в норме || • ||2- Положим dip = lim dtp^.

Л—>оо

Использование методов гильбертова пространства сделало возможным получить различные варианты разложения Ходжа- Кодаиры [23]. Это позволило Коннеру [4] поставить задачи Дирихле и Неймана для дифференциальных форм на римановом многообразии и исследовать вопросы их разрешимости.

В 1976 г. в работе [5] М. Атья впервые определил L2— когомологии ри-манова многообразия и положил начало их использованию для изучения некомпактных римановых многообразий и римановых многообразий с особенностями. В дальнейшем L2— когомологии изучались М. Гаффни, Дж. Доджиком, Дж. Чигером, М. Громовым, В. Мюллером, С. Цуке-ром, В. Пансю и другими авторами. В 80- е годы В. М. Гольдштейн, В. И. Кузьминов и И. А. Шведов ввели в рассмотрение Lp— комплекс де Рама риманова многообразия М и начали изучать его Lp— когомологии. Эта тематика активно разрабатывается ими в настоящее время.

На п— мерном римановом многообразии М для каждой дифференциальной формы и определен ее модуль х |о;(а;)|. Для 1 < р < оо и непрерывной положительной функции г на М пусть символ г) обозначает банахово пространство, образованное измеримыми формами степени j на М, модуль которых интегрируем с весом г в степени р на М для р < оо и удовлетворяет условию ess sup \со(х)\т(х) < 00 для р = оо. хем

Норма в пространстве LJp(M, г) вводится формулой

Г {/ Мх)\рмтр(х)(Ь}^р, если 1 < р < оо, м^ц . J м

Ьр(м,т) j ess SUp \ш(х)\мт(х), еслир = оо. I хем

Через Di(M) обозначим векторное пространство форм степени j на М с компактными носителями, содержащимися в Int М.

Дифференциальная форма ф 6 называется (обобщенным) дифференциалом du формы и) G L3lloc(M), если для любой формы и G DnJ1(M), носитель которой лежит в ориентированной области, и ее обычного внешнего дифференциала du выполняется равенство

J uAdu= {-l)j+1 J фЛи. м м

Положим

W}(M,т) = {ие Li(M,r)\du е Ц+1(м,г)}.

Норму в пространстве W^(M,r) введем формулой

H\w>(M,r) = (1М|^(дед + M^W'""

Замыкание в пространстве т) подпространства D^(M) будем обозначать через Vjj(M, т).

Таким образом, с каждым римановым многообразием М, числом р G [1, оо] и непрерывной положительной функцией т на М связан банахов комплекс

LP(M, т) : 0 —> L°p(M, т) A Llp(M, т) -А • • ■

Щм, г) А 4+\М,т) ^ • • •, (0.1) образованный банаховыми пространствами L3p(M, г) и замкнутыми плотно определенными линейными операторами dP. Наряду с комплексом (0.1) удобно бывает рассматривать также комплекс

WP(M, г) : 0 —> Жр°(М, т) А W*(M, г) А • • •

•A^rlA^tM,^-, . (0.2) в котором операторы $ уже всюду определены и непрерывны. Когомоло-гии Н£(М,т) комплекса (0.1) (совпадающие с когомологиями комплекса (0.2)) называются (весовыми) Ьр-когомологиями риманова многообразия М. Факторпространство Щ(М,т) по замыканию нуля дает банахово пространство Н3р(М, т) редуцировнных Ьр-когомологий М. Пространства Щ(М,т) и Нр(М,т) совпадают тогда и только тогда, когда нормально разрешим. Меняя в формуле (0.2) всюду W на V, получим комплекс Vi(M,r), когомологии которого обозначаются символом

С(М, г) ( а редуцированные когомологии - соответственно Н3рс(М, т) )■'

Предположим, что многообразие М представлено в виде объединения двух замкнутых множеств М\ и Мг, причем М\ и Мг- гладкие п- мерные подмногообразия, а М1ПМ2- гладкое п — 1- мерное подмногообразие М, Mi П М2 С Int М. Пусть : W}(M,r) —У И^'(Мьт)- оператор ограничения форм с М на Mi, а ip* : V^(M2,r) —>• т)- оператор продолжения нулем с М2 на М. Эти операторы перестановочны с дифференциалами и образуют короткую точную последовательность комплексов

О —► VP(M2, т) WP(M, т) A Wp(Mb г) —* 0.

Этой точной последовательности комплексов соответствует точная последовательность Lp— когомологий

• • • Щ-\МЪ г) ^ H>pfi(M2, т) ^ Щ{М, г) ^ Щ(М\, т) —> •. • и полуточная последовательность редуцированных когомологий

----► HS;\MU Т) П г) г) ^ т) ■ • •.

0.3)

Возникает естественный вопрос: когда последовательность (0.3) является точной? Этот вопрос исследовали В. И. Кузьминов и И. А. Шведов в [6] для короткой точной последовательности произвольных банаховых комплексов, компоненты которых суть банаховы пространства, а дифференциалы- замкнутые плотно определенные линейные операторы. Эти авторы изучили (Теорема 1 из [6]), как влияет на точность последовательности редуцированных когомологий предположение о нормальной разрешимости дифференциалов одного из комплексов Л, В или С.

Категория ВАМ банаховых пространств и непрерывных линейных операторов представляет собой пример полуабелевой категории . Аддитивная категория с ядрами и коядрами называется полуабелевой , если она удовлетворяет условиям а)если коммутативный квадрат

А В d 91 (1.1)

С -> D Р коуниверсален, то из условия /3 = coker ker/З следует, что а = coker ker а и Ь) если квадрат (1.1) универсален, и а = ker coker а, то /3 = ker coker (3.

Важность распространения понятий и методов, используемых при изучении абелевых категорий, на более широкий класс категорий, обусловлена тем, что многие важные категории функционального анализа и топологической алгебры не являются абелевыми. Исследования в этом направлении начали румынские математики К. Бэникэ и Н. Попэску (пре-дабелевы категории [7]), М. Журеску и А. Ласку (канторовы категории [8]). В 1969 г. в [9] Д. А. Райков ввел понятие полуабелевой категории, подробно исследованное затем В. И. Кузьминовым и А. Ю. Черевики-ным в [10] и самим Райковым в [11]. Р. Суччи Кручани в [12] изучала существование функторов Extn в квазиабелевой (канторовой аддитивной) категории. Как отметил Райков, квазиабелева категория в смысле Суччи Кручани является полуабелевой. В 1998 г. Ж. -П. Шнайдере дал определение квазиабелевой категории, совпадающее с данным выше определением полуабелевой категории. Как доказали в [10] еще в 1972 г. Кузьминов и Черевикин, это определение эквивалентно определению полуабелевой категории, данному Райковым.

Морфизм ц называется строгим (коротко ц G Ос), если в его каноническом разложении д = (нп/л)Д(coim/z) Д- изоморфизм. В категории ВАМ строгость означает нормальную разрешимость. Когомологии ко-цепного комплекса А в категории ВАМ представляют собой редуцированные когомологии банахова комплекса А.

Последовательность А В —С называется точной, если imip = ker ф. В полуабелевой категории эта последовательность точна тогда и только тогда, когда coim ф = coker ср.

Последовательность 0 —А В С —> 0 будем называть строго точной и писать <р\ф, если ip = ker ф, ф = coker (р.

Строго точной последовательности о^^АвЛа^о (1.15) коцепных комплексов в полуабелевой категории соответствует когомологическая последовательность —► Нп(А) ^ Нп(В) Нп(С) ^ Нп+1(А) —+ . (1.17)

Вопрос о том, как влияет строгость морфизмов в одном из комплексов, образующих строго точную последовательность (1.15) на точность когомологической последовательности (1.17) и свойства морфизмов этой последовательности был досконально исследован В. И. Кузьминовым и Я. А. Копыловым ([14], [15]). Еще Д.А.Райков в [9] показал, что последовательность (1.17) точна и морфизмы, ее образующие, являются строгими, если все дифференциалы комплексов А, В и С — строгие морфизмы.

В [14] дано следующее обобщение этого результата:

1) если дифференциал dnA комплекса А является строгим морфиз-мом, то последовательность (1.17) точна в членах Нп(С) и Нп(В), а Нп(Ф)— строгий морфизм;

2) если дифференциал d^ комплекса В является строгим морфиз-мом, то последовательность (1.17) точна в членах Нп(С) и Нп+1(А), а А" — строгий морфизм;

3) если дифференциал d£ комплекса С является строгим морфиз- г мом, то последовательность (1.17) точна в членах Нп+1(А) и Нп+1(В) а Нп+1(<р) —строгий морфизм.

Диссертация состоит из двух глав.

В первой главе рассматривается когомологическая последовательность (1.17), соответствующая строго точной последовательности комплексов (1.15) в полуабелевой категории.

Мы вводим «выделенный» класс морфизмов О-р, обладающий рядом существенных свойств класса строгих морфизмов, но, вообще говоря, более широкий, чем класс Ос. Заменяя условие строгости дифференциалов одного из комплексов А, В или С более слабым условием их принадлежности этому «выделенному» классу мы получаем в результате следующий вариант вышеупомянутой теоремы из [14] о точности когомологической последовательности.

Теорема 1. 1 .Для когомологической последовательности (1.17) строго точной последовательности комплексов (1.15) справедливы следующие утверждения:

1) если d\ е Ор, то Нг(ф) £ Ор и последовательность (1.17) точпа в члене Нг(С);

2) если dlB £ Ор, то Аг £ Ор и последовательность (1.17) точна в члене Яг'+1(Л);

3) если dlc £ Op, то Нг+1((р) £ Ор и последовательность (1.17) точна в члене Нг+1 (В);

Теорему 1. 1 дополняет теорема 1. 2, которая решает в некотором смысле «обратную» задачу.

Теорема 1.2. Для короткой точной последовательности комплексов (1.15) с когомологической последовательностью (1-17) выполнены утверждения:

1) если £ Ov, mo{dlB £ Ом d\ £ Op);

2) если с?гд+1, Яг+1(<^) G Ор, то (сГл+г £Ом G ОД;

3) если d?A,dlc, Дг £ Ор, то (cfc £ 0>i £ Ор), где класс Ом удовлетворяет условиям, двойственным условиям, наложенным на класс Ор.

1. Де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. М.: Изд- во иностр. лит., 1956. 252 с.

2. Kodaira К. Harmonic fields in Riemannian manifolds (generalised potential theory) // Ann. of Math. 1949. V. 50. P. 586- 665.

3. Duff G. F. D., Spenser D. C. Harmonic tensors on Riemannian manifolds with boundary//Ann. of Math. 1952. V. 56. P. 128- 156.

4. Conner P. E. The Neumann's problem for differential forms on Riemannian manifolds. Providence, R. J., AMS, 1956 ( Memoirs of the AMS, V. 20).

5. Atiyah M. Elliptic operators, discrete groups and von Neumann algebras // Analyse et topologie. Asterisque. 1976. V. 32/ 33. P. 43- 72.

6. Кузьминов В. И., Шведов И. А. Гомологические аспекты теории банаховых комплексов //Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, N. 4. С. 893- 904.

7. Banica С., Popescu N. Sur le categories preabeliennes // Rev. Roumaine Math, pure et appl. 1965. V. 10, N. 5. P. 621- 635.

8. Jurescu M., Lascu N. Morfisme stricte, categorii cantoriene, functori de completare // Studii §i cercetare mat. 1966. T. 18, N. 2. P.219- 234.

9. Райков Д.А. Полуабелевы категории //Докл. АН СССР. 1969. т.188. N. 5. с.1006-1009

10. Кузьминов В. И., Черевикин А. Ю. О полуабелевых категориях. // Сиб. мат. журн. 1972. Т. 13, N. 6. С. 1284- 1294.

11. Райков Д.А. Полуабелевы категории и аддитивные объекты. // Сиб. мат. журн. 1976. Т. 17, N. 1. С. 160- 176.

12. Succi Cruciani R. Sulle categorie quasiabeliane. // Rev. Roumaine Math, pure et appl. 1973. V. 18, N. 1. P. 105- 120.

13. Schneiders J. P. Quasu- abelian categories and sheaves. // Memoirs delaSMF, 1999. V. 76.

14. Копылов Я.А., Кузьминов В.И. О точности когомологической последовательности для короткой точной последовательности комплексов в полуабелевой категории. //Тр.конференции "Геометрия и приложения". Новосибирск. Изд-во Ин-та математики, 2001, с.76-83.

15. Копылов Я.А., Кузьминов В.И. О Ker — Coker— последовательности в полуабелевой категории. // Сиб. мат. журн., 2000, Т. 41, N. 3. С. 615- 624.

16. Bruning J., Lesh M. Hilbert complexes. // J. Funct. Anal., 1992, V. 108, N. 1, P. 88-132.

17. Dodziuk J. Sobolev spaces of differential forms and de Rham-Hodge isomorphism // J. Differential Geom., 1981, V. 16, P. 63-73.

18. Кузьминов В. И., Шведов И. А. Метод разделения переменных в задачах о нормальной и компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования. // Сиб. мат. журн., 2000, Т. 41, N. 2, С. 385-396.

19. Гольдштейн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. О нормальной и компактной разрешимости линейных операторов. // Сиб. мат. журн., 1989, Т. 30, N. 5, С. 49-59.

20. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу., М.: Мир, 1979.

21. Гольдштейн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. О нормальной" и компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования при однородных краевых условиях. // Сиб. мат. журн., 1987, Т. 28, N. 4, С. 82-96.

22. Кузьминов В. И., Шведов И. А. О разложении в ортогональную прямую сумму комплексов де Рама искривленных произведений рима-новых многообразий. // Сиб. мат. журн., 1998, Т. 39, N. 2, С. 354-368.

23. Като Т. Теория возмущений линейных операторов., М.: Мир, 1972.

24. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977.

25. Волевич Р. Л., Панеях Б. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения. // Успехи мат. наук, 1965, Т. 20, вып. 1, (121) с. 1- 41.

26. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М.: Мир, 1965 (1963).

27. Ремпель Ш., Шульце Б. Теория индекса эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1986.

28. Pillat V., Schulze В.-W Elliptische Randwert- Probleme f'ur Komplexe Pseudodifferentialoperatoren // Math. Nachr., 1980, Bd. 94, S. 173- 210.

29. Дынин А.С. К теории псевдодифференциальных операторов на многообразии с краем // ДАН СССР, 1989, Т. 186, N. 2. С. 251- 253.

30. Дынин А.С. Эллиптические краевые задачи для псевдодифференциальных комплексов. // Функц. анализ и его приложения, 1972, Т. 6,вып. 1. С. 75- 76.

31. Тарханов Н. Н. Метод параметрикса в теории дифференциальных комплексов. Новосибирск: Наука. Сиб. отд- ние, 1990.

32. Глотко Н. В., Кузьминов В.И. О когомологической последовательности в полуабелевой категории. // Сиб. мат. журн., 2002, Т. 43, N. 1. С. 41- 50.

33. Глотко Н. В. Специальные классы морфизмов в полуабелевой категории. // Деп. ВИНИТИ, N. 209- В 2003, Деп. -18 с.

34. Глотко Н. В. О комплексе соболевских пространств, ассоциированном с абстрактным гильбертовым комплексом. // Сиб. мат. журн., 2003, Т. 44, N. 5. С. 992- 1014.