Теория хаусдорфовых спектров и ее приложение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

5; од з я

ШДШЯ НАУК СССР. ОРДЕНА ЛЕНИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На призах рукописи

СМИРНОВ Евгений Иванович

ТЕОРИЯ .ШСДОРФОВК1 СПЕКТРОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЕ

Специальность 01.01.01 - катемэтичзскиР знэлиз

Автореферат

диссертации нэ соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1992

Работа выполнена а Ярославском государственной педагогическом институте ш,К,Д,Ушинского.

Официальные сппонзнуы: - "

доктор фиоико-ыагеыатичеоиих к?.ук, профессор Куаьиинов Владимир Иванович,

дс лор физико-математических наук, профессор Смоляное Олег Георгиевич,

доктор физико-математических наук, профессор Одинец Владимир Гетрович.

Е.-дущая организация - Зедаруосккй государственный

002. • 23 • 07- при Институте математики СО АН СССР по адресу: 630090, Новосибирск, У клпер штатский пр., 4.

I ;

С диссертацией мохно ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР. '

университет.

Автореферат разослан " 8 "

УченыИ секретарь специализированного совета

В. С. Б .лоносов

. Актуальность темы. Развитие дескриптивной теории ыно-:еств, функционального анализа, теории структур, топологи-:еских методов в теории меры привело к появлению в матема-'икь конструктивно сложных объектов (аналитические и проок-ивные множества, псевдотопологии, пр^транства обобщении* ункций, различные классы векторных пространств со сходностью, пространства М.Де Бйльде и т.д.), нашедших раэнооб-азные плодотворные приложения. Так, проблема мощности бо-елевских множеств была решена П.С.Александровым в 1916 г. утем введения ^ -операции над промег/тками, впоследстви" риведшей к появлению аналитических множеств. Последние же ривели к понятию -операции, введенной в дескрипти»-

ую теорию множеств Ф.Хаусдорфом и А.Н.Колмогоровым. Иссле-ованиями в этом направлении на протяжении многих лет занижались Н.Н.Лузин, М.Я.Суслин, П.С.Новик^э, А.А.Ляпунов, и ругие математики Московской школы. В то же время,в последив десятилетия наблюдается бурное развитие теории тополо-«еских модулей, в частности, проблема А.Гротендика о пост-эении классов локально выпуклых пространств обладающих зоремой о замкнутом графике и широкими свойствами перманзн--юсти, получила пологотельное решение в работах Л.Шварца, ,Словикоэского, Д.А.Райкова, М.Де Вильде, П.П.Забрейкс, .И.Смирнова и многих других.. Ряд результатов з этом направ-¡нии был получен автором, который изучшГ для категории то-логических векторных пространств аналог Д -операции, '.евдотопологии ока. ались полезт ли при построении ду^ерен-[ального исчисления в неметризуемых вектор 1ых пр згчанствох,' также при описании сходимости почти всюду в пространстве (Х,^),*1"-} , где X ■ - измеримое пространство с конеч- : !! мер о'> «ги .

После появления работы А.Гротендика^ возникла проблема построения класс эв топологических векторных прост-

ранств, содержащих все полные метрические векторные пространства (ЫВП), и обладающих следующими двумя свойствами:

Io. Для любого МВП второй категоркЛ X и любого пространства Y £ справедлива теорема о замкнутом графике для линейных операторов, действующих иэ X в "Y .

2°, Класс "У эамкнут относительно операций образования произведений, проективных и индуктивных пределов счетного числа пространств.

Таким образом, расширеже классов функциональных пространств с помощью прямых в обратных пределов является классическим направлением функционального анализа со времен Ж.Дьедонне и А.Гротендика.

Существенно используя конструкции В.Словиковского, эту проблему впервые решил Д.А.Райков^ , который ввел класс пространств, допускающих так называемые -представле-

ния. Позднее, близкие и более просто описываемые классы были введены Де Вильде, Накамурой, П,Г1.3абрейко-Е.И.Смирновым и другими авторами. Важные результаты были получены Л.Шварцем и А.Ыартино; Т.А.Ефимовой были изучены взаимосвязи между различными классами пространств.

В диссертации вводится и изучается класс локально выпуклых пространств ( Н -пространства), наиболее широкий из всех известных в настопщее время классов пространств, с аналогичными свойствами Io) и 2°) в категории TLC , содержа;^. также прос~?анства основных и обобщенных функций 3)6)

и &tS) , s -

открытое множество К . Кроме того, для Н -пространств справедлив усиленный вариент теоремы .о замкнуjm графике.

Основная цель работы - широкое обобщение понятий прямого и обратного спектров объектов аддитивной полуабелево'Л категории У* - понятие хаусдорфова спектра, аналогичное Ss -операции в дескриптивной теории множеств, путем развития формализма итерированных прямых и обратных пределов. Эта идея характерна для алгебраической топологии, общей алгебры, теории категорий, теории обобщенных функций. Построение категории хаусдорфовых спектров' 2С. = Xs »"Т, ^s'si достигается последовательным стандартным расширением малой категории Q . Категории al хаусдорфовых спектров оказывается при подходящем определении отображения спектров аддитивной и полуабелевой. В частности,

3UTLC)

содержит

категорию В.П.Паламодова^ счетных обратнъи спектров со значениями в категории TLC локально выпуклых пространств. ^ Оригинальный метод трансформации индексов позволяет строить хаусдорфовы спектры в категори.чх , TLC , TGc и

других. Хаусдорфов спектр со значениями в категории хаусдорфовых спектров эиис) порождает хаусдорфов спектр со значениями в категории TLC . Анализ, приведенный автором категории функторов хаус; орфовых спектров , где контравариантннй функтор может быть полезен в теории интерполяции функциональных пространств. Серия

оригинальных призеров хаусдорфовых спектров позволяет усть- ■

/Г

новить естественные взаимосвязи с теорией функций в ,

теорией пучков, векторных решеток и обобц;ен<;ых функций.

Для широкого спектра категорий (множеств É>nS' /векторных пространств Lj , топологических векторных групп

TLG

, локально выпуклых пространств TLC , полуабеле-вых подкатегорий-с прямыми суммами и произведепями if ) автор пост оил категории;! Н -предел хаусдорфова спектра

ОС ~ и^ , определяемый, вообще говоря,

не единственным образом (с точностью до изоморфизма категории). Для У с ТС; определен аддитивный ковариьлтный Функтор Н -предела . С теоре-

тико-мноасественной точки зрения Ц -предел хаусдорфова спектрь X для случая счетного и бес: энечных

) представляет собой результат

-операции

о базой , однако с топологическими ограничениями на.

базу и сам результат -операции. Частными случаями ка-

тегсрного И -предела |вляются понятия проективного и индуктивного пределов над категорией У . Существенным вкладом в функциональный анализ является результат о замкнутости категории Н -пространств относительно операции регулярного Н -предела.

Новые методы, развитые в диссертации, нашли приложение к классическим вопросам функционального анализа - теореме' о замкнутом графике и принципам равномерной ограниченности неотрицательных функционалов иа тгадашгмческой группе. В основе обоих приложений лежат теоремы сб инфрааддативных и счетно-полуад^.тивных, регулярных фуикадошалах, доказанные и. диссертации. Класс и »Ёраадди ти в них 'функционалов, введенный в рассмотрение Е.И.Смирновым и П.П.'За^-ёЯко обобщает понятие полуадцитивности функционала и применим к различным вопросам функционального анализа, теории меры, комплексного ана-лиаа. Автору удалось усилить известные результаты О.Б.Стеч-кина, Витали-Хана-Сакса, Фитспатрика, й.А,Дифшица, Гарнака, отно пциеся к вопросам непрерывности и ограниченности Функ- ' Цйоналов, Аппарат квазинорм ассоциированный с Н -пространством I С к» - представление) позволяет установить рБоИомер' /» '.¡орректность з»ца'ти Н^ци для ^¡-¡''¡еренции ьного

уравнения "^'l^j к-х. с замкнутым линейным оператором h в Н -пространствах. Эти результаты дополняют исследования Ю.М. Вувуникяна о квазиэкспоненциальных полу-груп ах эндоморфизмов.

Осуществляется продвижение в применении гомологических методов в теории Н -пространств и хаусдо,.фовых спектров. Для полуабелевых категорий и Л определяется ад-

дитивный и ковариантный функтор HcluS : ^ - У ,причем в случае У = L функтор U<u¿s имеет иньективный тип, а в категории ЭД (.TLC) оказываете® много иньективньк объектов. Устанавливаются необходи; Je и достаточные условия обращения в нуль производного функтора HüjjS ( = О , а естественные для приложения достаточные условия обращения в нуль производного функтора WüjuS обобщают в случае обратного спектра и пространств Фрете результаты В.П.Пала-модова и В.С.Ретаха. Проводится анализ свободных хаусдорфо-вых спектров, применение- и развитие метода Нобелинча вычисления производных функторов и построения канонической резольвенты хаусдорфова спектра.

Нзучьая новизну. Все основные результаты диссертации новы, в полной мере научно обоснованы и оформлены в виде зтрегих математических доказательств.

Приложения. Работа носит фундаментальный характер, раз-эаботаны новые теоретические положения, существенно развчш--зиле классические результаты. Результаты могут быть исполь-юваны:

- в теории производных функторов хпусдор*ова прчдчла и х реализации в когомологиях топологического пространства ндексов с коэффициентами в пучках,

- р теор..и обобщенных решенчЛ граничных задач дин'зрей-

цизльных уравнений в частных производных,

- в теории категорий и пучков,

- в теории интерполяции функциональных простраптв, -. в теории топологических модулей,

СП.

^шобация. Результаты диссертации доклады-ались на Бсесоюз.лх школах по теории операторов в функциональных пространствах (1982, 1988, 1989), на семинаре по функциональному анализу в МГУ О.Г.Смолянова (1982, 1988, 1989), на семинаре кафедры алгебры ЯГПИ (А.С.Тихомиров, В.В.Шокуров), в отделе алгебры МИАН (М.М.Капранов), в отделе функционального анализа СО АН СССР (В.И.Кузьминов, С,С.Кутателадзе), на семинарах П.П.Забрейко и Я. В.Радыно в Белорусском госуниверситете.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [Ю] , список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и пяти глаЕ. В главах 1 и П изучаются хаусдорфовы спектры, порождающие их функторы и И -предел хаусдорфовых спектров в полуабелевой категории. Глава Ш посвящена категории хаусдорфовых спектров ЗД и исследованию точности функтора хаусдорфова предела. В главе 1У проводится анализ и приложения инфраадцитивных функционалов к принципам равномерной ограниченное л, теории меры, комплексному анализу в

С*" ■ В главе У даны приложения к вопросам равномерной кс ректности задачи Коши, дифференцируемости по конусу в Н -пространствах.

Диссертация изложена на 223 страницах машинописного "текстр 1:-.блисграФия содержит 6? наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе 1 вводятся основные понятия и метода исследования предлагаемой теории: хаусдорфовы спектры, допустимые классы, стандартное расширение категории, метод трансформации индексов, категории функторов хаус,прфовых спектров, примеры хаусдорфовых спектров в различных категориях. Результаты главы 1 опубликованы в работах ( С?] »Г.31 ).

Пусть Кнекоторая категория. Категорию »

где подкатегория & , назовем стандартным расшире-

нием категории , если выполнен! следующие условия:

1°. А14) полная подкатегория 2°. Морфизм 1 В —Б категории

определен набором морфизмов 55, а'—-®- & категории А(£) таких, что

а)для всякого 5' & 5 существует 5 & Б тгкой,

. 1. гто 6'-—5 V г |

Б 3' •

. б) если ^рр'1 —"" Р и 3 -- |> , то 5'-- р'

I коммутативна диаграмма

. ■ 5 -

р'

Пусть О - малая категория. Осуществим последова-е..ьные стандартные расширения

ф с. ад сб^)- ,

це Т - направленные классы объектов , - бззи-

(

сы фильтров из Т* - направленные классы

объектов Р дуальной категории б . Такие классы

будем называть допустимыми для ; положим

|Р|»иТ , \Т1=Ч-|Р| ' н^олйе характерные

те Р РйТ

построения, связанные с хаусдорфовым1: спектрами, испольау-

ют в к честве О частично предупорядоченные множества.

Опре; эление 1. Пусть У некоторая категория. Контра-вариантный функтор назовем функтором хаусдор«

фоэа спектра (функтором Н -спектра), если область определения п является допустимым множеством

для о

по допустимому классу 5" .

Если к тому же Р = для каждого

РеТ

, то

функтор Н будем называт» функтором простого хаусдорфова спектра.

Ив определения получаем, что если

Т = 1Т! , то Н есть функтор прямого спектра, а если , то Н ■

есть функтор обратного спектра.

Если допустимое множество для и функтор

(171 — У

5 --- Хг

I

с^'о — сХв —

инъективен на объектау и морфизмах, то существует направленный класс ( С^-ь^ 5е.(р, > Чр'р ) р^'еТ » направленных в дуальной атегории классов ( Х5, С » удовлетворяющих следующим условиям:

1°. »/¡орфизм Х5 '—~ X 5, существует в том и Тилько 1 случае, когда "--— э и Т9гда

единственный морфизм;

2°. Диаграмма

*s л,-

Ч'Д / W

X

"s's" uss' I

коммутативна для всех S" --- s' -S и n-ss- -

тождественный морфизм для любого S б

iTl :

3°. Если " W V i'tiF'i • то для всякого Х5, ( 6 существует единственный «орфизм •• Xs*-- Xs. ( s б IFO . ^абор морфиэмов

к.ь<5 (,V6lF'0( определяет монизм ^ так, что бу-

дем писать ^ р/р - р'р - каждое множество РбТ

является базисом фильтра' подмножеств Т 1F| t причем для каждого Те F класс (, , k т направлен в категории и наймется S&T такой, что W-определяется морфиэмом • . '

Определение 2. Класс . s.s'e iTi ' Удов~

четворяыцк'Л .условиям 1°—J0, назовем х;а^с£0£ф0вым_спект£0м 1ад категорией У и i/дем обозначать ^У^Т, s#s \

-iacTHHwn случаями хаусдор^ова спектра являются прямо! достаточно положить Т s iTl ., ^ s's ) и обратный

достаточно положить t V sV"^ s X С*'— S),

If'f'^ifi * *"iTi ^ спектр ceve.'ioTBa о<^>ектор.

Практически хаус до,>;-овн спектры могут быть образованы зтодом транс индексов. Пусть ' Г* .непустое мяске- .

тно, ' сй!.:е!>стно подпространств ^^ А^еГ) векторного n.:ocTijn4.iTra , замкнутое относительно конечных па-.

ресечений и прямых сумм (т.е. существуют сюрьекции ^»Н* •• • <нг> —-г соответственно, сА^Г) - множество конечных подмножеств Г ) такое, что

Ч = ип\ ,

Рб4? ЪйР ' к

где ^ некоторое семейство подмножеств Р^Г.

Множество Г Оудет частично упорядоченным, если положить ^ 11 , когда » пусть У» ОгДУ . Более того, без ограничения общности можно считать, что каждое множество Р^ $ направлено в ( Г, <= ~)> . Действительно,' если Ре'? и ¿(.Р} - множество конечных подмножеств Р,

" .где

направляют множество Я^Е^сР»! что

Пусть \ факюрмиод.еотао всевозможных комплексов Ь-Ц^Ла»-.. ¿-где (и^,..-,*-^^),

по отношению эквивалентности во множестве упорядоченных VI--ок элементов иа » •. ^ьЛ ^«Лг >••• > ^ О

тогда и только тогда корда • -1 "Ч'>Ц.»--> .

Множество 1 становится частично упорядоченным, если положить ъ' ¿=5 , где £ » ^^Лг.!--. »

корда для каждого найдется ^ такоЙ,что ^ £ ^

пус.^-Огс! I . Категория Зэ состоит из направленных в 1 множеств Т * Р, >< Рг * ... X Р^ , Где ■ Р-^в^ (,1я , ^ и Т состоят из всех неупорядоченных п.-ок

- свободное объедини че элементов ^^^ Р;. I»Iя. не Н-) . 1,'но.кество мор!и"мов ^т^ (,Т',Т)

определяется отображениями Т —- *Т такими, что

/ / / х' ОУ"

5 ^ Ч45> для всех 56 I . Выделим в «о класс $ ,, кофинальный для и, такой, что ¡~'-< Р тогда и только

тогдр когда рях? , Р'а р * (4 Р.') где Р , В б'Р

1М ^ С

(£.=. 1,2,...,п., 1(2.,.,. ,г*.) ^ причем единственный морфизм

, определяющий предпорядок -< , задается-отображением следующим образом: если 5'=

см»....., с] , то Б'-Э , .где

5= > • ■. ^-п.I 6 Р" • Ясно, что класс ^ является

допустимым для сэ , в частности, дл" 3 е п »

4 с с* ! Г*-— л > ■ лмеем г 5 .

Для каждого о = Е^чЛх, --, а \"П определяется векторное пространство X 5 + * & "3 , причем

I '' V ч/ " ■ ""

если 5 ^ Б , то . Тем самим, определяется конт-

ря ториаитнмЯ Лунктор простого хаусдорфо а спектра И (У) ;

у -ипх,

Для каждого 3 £ \Т\ псевдонорма

ч.

= 'де , - псевдонорма на ^^ (Л = ,

определяет на Х4 топологию . *с5 метрьчес..ого векторного пространства (но обязательно отделимого). .. • '

Предло-?. ч;ие 1. Пусть Р - * Рг х ... х £ ^ м ' сооттэетств\'к.'.;ио кпазинормн метрических векторных групп (\!8Г, (I» 1,2,...,^ . Тогда к тз аз «норма ' Л,'*'.® V)..- ' ..

' х.г«! ■ ¡.«I '

определяет топологию МВТ ^^р) •

Пусть А - некоторое Б-множество т.е.

где - отделимое топологическое

пространств, для к«ж7,ог« Е*Х множества т-пт

В -кбВ *

бикомпактны и обраауют фундаментальную систему бикомпактных подмножеств к .

Таким «¿разом, £ -мнакества являются обобщением, с одной стороны, бикомпактные прострь./ст« (и локально бикомпактных пространств счетных на бесконечности), а с другой стороны сепарабельных метрических пространств. Нам, однако, 5-множества будут интересны в связи с возможностью построения ассоциированного функтора простого хаусдорфова спектра.

Методом трансформации индексов . з-множество К может быть приведено к виду

- ^ А -ит* ' .

Н^ег 5 •

и.

где Я = и Т. для каждого в =[ >•• ^кЛ е -

5 1«! ^ I

Рассмотрим на I векторное пространство всех бесконечно дифференцируемых вещественных (комплексных) фу: щи» ^ с бикомпактным нос телем. Если Р С~Т , ти через обозначив секторное пространство функции V

которых содержатся в Р . Обозначим через

частично упорядоченное по включению семейство векторных пространств XtP/íPcT) } пусть X « Or J ь . Тек: самым, определяется ковариантный Функтор У,

Тогда композиция есть функтор

простого хаусдорфова спектра, определяющий предел Суслина

Пуст» Сü - малая категория, У - полуабелева категория и

коитражриантннИ функтор. Обозначим через Funct (.Q,^) множество меаозьожных функторов ¡саусдорфова спектра И . \Ti — У . таких, что

т

является допустимым классам для С^ и " И . Категория "иве! _ (C¡t,tf) , вообще гоьоря, не аддптиана. В заключении ■•лавы 1 строится аодитивная категория «Jt(,c>> функторов саусдорфова спектра. - '

В главе П для хаусдорфова бпектра ^ Xg,^, У 1ад полуибелевой категорией ЬР строится предельный >бъект из

¡f : Н

-предел хаусдорфова спектра )( з Vi5/S Xs , например, для У = <2>«s , TLC, i L&,

TGt • Частными случаями регулярного Н -предела яв-

[яются проективный и индуктивный пределы отделимых прост-анств Л, в категории TLC . Теорема . Пусть

) Vvij j хаусдорфов

пектр над категорией TLC , "У - спектр неотделимостей

X такой, что регуляр. чй И -предол бл^ Ys

т

авен нулю. Тогда имеет место изоморфизм категории TLC Т ^ т •

Определение Пусть счетное множество и

!Х. =lXs><r?T> V5,s ^ регулярный -хаусдорфов спе:.тр з категории TLC. ; такоч спектр будем называть счетным. Непрерывным линейный образ (.V,"С) . Ц -предела Х= Xs банаховых пространств Xs назовем

Ц -пространством. .

Класс И -пространств содержит пространства Фреше и выдерживает оп^рац: и перехода к счетным инг'ктиеным и проективным пределам, замкнутым подлространетвам и'фактор пространствам, ¿{роме того, для И -пространств справедлив усиленным вариант теоремы о замкнучом'графике. Класс Н -пространств наиболее широкий из всех известных в настоящее время аналогичных классов Райкова, Влльде, Какамуры, Забрейко-Смирнова. ■ .

Предложение 2, Пусть í\=BüC ,где Е> = \ £ К ■■

О i С - нсанаяитичускоо подмножество граничной окружности & и ( Г-' ) - .локально ьзду,:.т.',е пространство все? непр-'риькос г. К. вещоственшх Функчи'д • % ■ с бикомпактна носителем Suj>p \ с í\ . , изоморфное \\ -пределу простого .хаусдортова спектра { , *-s's "V .

Тогда ( ) есть Ц -пространство, не являющееся

О

пространством Суслена

Теорема 2. Летный отделимый рег.улярн.. í И -предел хаусдорфова спектра И -пространств в категори" ' LC есть Н -пространство.

В § ¿,3,4,5 исследуются • И -пределы в категории полных векторных решетках, в пространстве изме; линл «¡у:»:--ций ,va.) , в топологическо*! группе, ас^оиумр .в*дн-

но' с измеримым пространством с неотркцатель-оЛ счетно-аддитивно« конечно'? мерой, дано описание сходаг-ост>; 'i.• "<чти

всюду в S псевдотопологией £ ^ ^ % &Т } , причем топология, порождаемая асимптотической сходимостью, оказывается индуктивном в категории ТВГ для семейства

[Х^: ЧеТ} .

Предложение 3. Пусть <иР - пучок ростков голоморфных функций на открытом множестве <В С , ассоциированный с предпучком ( ¿^ , , и « { У^ , Т ,

ассоциированный правильный хаусдорфов спектр. Тогда И-лредел хаусдорфова спектра изоморфен векторному

зространству сечений Г(,А»У) пучка У над мно-геот-

^ А ( А%Пиа£). .

Предложение 4. Пусть = [, ^ ,

■фавильный счетный хаусдорфов спектр, К - (Л и имеет

:четную фундаментальную систему бикомпактных подмножеств,

гвязное к г 0 - Тогда И -предел а - о г\11

Т 8 1

!вляется отделимым Н -пространством в топологии ■с*

с X 3 Г^,У) 3 . •

Результаты главы П опубликованы в работах ,[8] ДЭ], В главе Ш надлежащий факторизацией категории хаусдор- • ювых спектров У над категорией У вводится

! рассмотрение категория хаусдорфовых спектров,

ели г7 '- полуабелева полная подкатегор.1» категории та, о СН является полуабелевой категорией (в смысле В.П.Па-

з}

амодова 1 и определен аддитивный и ковариантный функ-ор Н -предела хаусдорфова спектра Нси-«е, Ис.^) —" . станавливается, что "алг эбраичесчий" функтор Нсшь •. Н^Ц Ь над абелевой категорией V) им ее.- "¡ньоктин-ый тип; в категории ) оказывается много ичьек-

11нш;х ооьектоа, по-тому опр делены правые- ' про»;зсс.г;нЫ".

Hclu% (í* i-«^»--. -) , о частности, регулярность хаусдорфо-ва спектра 2G неотдел'-мостеМ "У - обеспечивает точность Функтора UouuS : Я (TIC) — TLC и условие обращения в нуль Unus t х> - о. ;

Теорема 3. Пусть СС, * £ Xs - счетный

хаусх, ;рФов спектр н"<д категорией L . Тогда дл г того «1тс-бы HauS ^Х) » О , необходимо и достаточно, чтобы топологическая векторная группа ( ^(f. -

фильтртопология) ,была полной для каждого FeT .

Теорема 4. Пусть ^-^s ^ ~ счетный

хаусдорфов спектр над категорией L . Для того чтоб.. -\ * HojuS (X) = 0 ,. необходимо и достаточно, ч.обы для кетдо-

го FeT •э ИХ- можно определить квазинорму f-^^O F

акую, что

I) ассоциированная топологическая группа полная,4 tF » <btF) >

U.) у* непрерывна на (. » У • Теорема 5. Пусть СС.

* í i ^ — счетный

хаусдорфов спектр Н -пространств с отделимой ассоциированной псевпотопологиеЧ { ^ • над категорией TLC , сохраняющей непрерывность иорфизмов . То. да для •'»•>-.

го '-тобы

Hou* (X) - о ', необходимо и достаточно, чтобы для каждого *>еГГГ .существовала кзазинор^а / • р ■ ' (s&lFl) в д5 такая, что к) непрерывна в

фчльтртсюлогии Чр , а сис^.ма { V сохраняет непрерывность морфизмов V4is . "

В случае обратного спектра и пространств ^реше (кажг^е пространство Фреше и пространство обойдешь" ф.ункци" Т) (Л,) являются Н -пространством) теорены Л,4,1- ооос>ы"*.г pe-

|ультаты В.П.Палаыодова и В.С.Ретаха.

Результаты главы Ш опубликованы в работах

•В главе 1У рассматриваются ечетно-полуащитивные, ин-)рааддитивные квазинормы и семейства функционалов на топо-югическоЯ группе (1Г), необходимые для исследования И -[ределов хаусдорфовых спектров.

Теорема 6. Пусть Х-ТГ и г*) - неотрицательный

ункционал на Т * X такой, что

1)для каждого Х0 X ' , где Х0 - нэтощее имметричное множество, справедливо неравенство

> <0О}

2) {^(Л»31)*- Ъ&Т^ является ^Ь.Т) - инфраад-итивным семейством полунепрерывных снизу функционалов на (.Тогда существует Хе такая, что

Следствиями теоремы могут бить получены утверждения анаха-Штейнгауза, Витали-Хана-Сакса о сходящейся последо-ательности обобщенных мер,'С.Б.Стечкина о равномерной ог-аниченности последовательности функционалов.

Теорема 7. Пусть - счетно-полуаддитивный функционал

а МГ X и "ля каждого Е.т-0 внутренность множества

м* - *

гпуста ( - лебеговы множества функционала у- ).

эгда

В качестве следствий могут быть получены -.'эорема о замытом графч'че 'для Ц -пространств, теоремы о нееплющенно-ги воспроизводящих конусов, теоремы существования ?оп'"логк-

ческих базисов. Устанавливаются так*е связи с идеально выпуклыми множествами, плюрисубгармоническими функциями, теорией меры. Результаты "лавы 1У опубликованы в работах

со.тДбз.мз .

В главе У рассматриваются некоторые приложения Й -пространств к различным вопросам функционального анализа.Пусть для дифференциального уравнения <Ь в Кос.

с линейным оператором КXX ' , имеющим сюду плотную в д область определения

акМ , выполнено условие с*) : при любом *0б сЬСсуществует едигст-венное ¿еше.;ие задачи Коши, непрерывно дифференцируемое на . Тогда имеет место

Теорема 8. Пусть для уравнения я К-х. выполнено условие'( * ) и К - замкнутый линейный оператор в секвенциально полном ретрактквном п -пространстве Тогда для этого уравнения ь пространстве (.ЗнМ, у б>дет равномерно корректной задача Коши с начальным условием

зчО) » »в <= 1к К1) .

Далее, в § 2 получена теорема о несплщенносм воспри-иав дядего конуса в Н -пространстве и указан ряд её приложений к вопросам дифференцируемости по конусу \> непрерывности полежительього оператора. Последнее позволяет поручить '1 ¿орему о существовании ».едловой точки функции лаг-ранжа для линейных задач оптимизации в И -пространствах..

к*

1'е.2Реча 9. Пусть слабая производная к по воспро-изяодяцему замкнутому конусу К. опе^а^ора К1 X ( X - отделимое секвенциально полное борнологичпчоэ

И .-пространство) непрерывна в ^(.ХЛ') в открытой окрестности Ц точки . Тогда являеия бикомпактной производной оператора К в ¿очках зьбЦ.

Теорема Мд, Пусть "V - секвенциально полное борно-логическое И -пространство и В0СПР0ИЗводящий

замкнутый конус в ^ , причем К -ли-

нейная оболочка в элемента" •уо и подпространства

АХ, ; М « ). Тогда непрерыв-

ный линейный функцпнал $ на множестве И достигает минимума в том и только том случае, когда соответствующая функция Лагранжа обладает седлозой точкой

"> (б X ^^) .

Подготовительная теорем" Вейерштрасса и теорема о деле-

Сп______ г_______ _________г>1,_____ л„_____..... ______

тозволяет установить ряд свойств локальных колец „.^со

\ модулей над этими кольцами (Нётеровость, лемма Ска о точ-

юсти гомоморфизмов -модулей и др.). Док^ательства

■имеют чисто алгебраический характер, поэтому рассмотрение

■лобалыюго варианта теорем существенно отличаются и ислоль-

6)

¡уют топологические результаты линейного анализа . Более •щателыьй анализ, проведенный в § 3, позволяет формулиро-¡ать глобальную теорему о делении как существование и непрерывность линейного оператора, действующего в локально вы-уклых пространствах так, что локальный и глобальный вари-нты теоремы Вей рштрасса оказываются действительно частыми случаями более общей теоремы.

Теорема Пусть К с С - -епустое связное лра-

иченног-множество, такое, что (.К) глшсуто Г™. С т С, ,и-п ¡О , Н £ ^ - «О - лою-ль-

кый полином Вейерш^расса по степени (. V. > О)

о представителем ^ таким, что ( )

[ге • ^СЮ-О} К ,

гдз М- - открытая окрестность N .

Тогда существует непрерывный линейный оператор 1_| » —'такой, что

Результаты главы У опубликованы в работах .

ЛИТЕРАТУРА

ф Gt.fotk.owclie.clc. К. РгйАц»^ •Ьцьоиз^ие.'» & мрамЬ

оисИми«* // ЬДедгл, -Ц«. /\mejriwv Mo.-tk.Soc,. - Ш5 . • И \6 .

¿^Райков Д.А. Двусторонняя теорема о аамкнутом графике для топологических линейных пространств // Сиб. мат.„урна I.-1966.- Т.7, 'А 2,- С. 353-372.

ф.Паламодов В.П. Функтор проективного предела в категории топологических линейных пространств // Мат.сборник.-1968. - Т.75, 13 4. - С.567-603.

С. Ш.«-*" ¿¡е. Аг>> "«Ыел-г^н. ^-пА Аел

11ме* «тел // ТороЦ^ Т . - \%2

ф.Забрейко И.П., Смирнов Е. И. К теореме о замкнутом графике // Сиб..мат.журнал.- 1977.- Т. 18, № 2. - С.305-316.

аннинг Р., Росси X. Аналитические функции к югкх комплексных переменных: Пер.с англ.- М.: Шпз, 1Э69. - ¿35 с.

СПИСОК

ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕШ ДИССЕРТАЦИЙ

11.1 Смирнов ".И. О непрерывности полуадди"ивного функционала // Мат.заметки. - 1976.-. Т. 13, Э 4,- С,545 -548.

[2] Смирнов Е.И. О несплющенности конуса в докатано выпуклом пространстве // Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений,- № 5,- Ярославль, 1978. - С. 162-171.

13] Смирнов Е.И. И -предел хаусдорфова спектра локально .выпуклых пространств // УГ Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тез.докл.- Минск, 1982. - С. 182.

1.4) Смирнов Е.И. Теория хаусдорфовых спектров над полу-абелевыми категориями // >33 Всесоюзная школа.по теории операторов в функциональных пространствах.'Тез.докл.- Куйбышев, 1988. - С. 170-171. ' ;

£5] Смирнов Е.И. Равномерная корректность задачи Ноши е пространствах Суслина // Дифференциальные и интегральные ' уравнения. - Горький, 1984. - С.94-99.

£6] ЗабрейКч/ П.П., Смирнов Е,И. О принципах равномерной ограниченности // Мат.хаметки.- 1984.- Т.35,№ 4.-С.287-297.

17] Смирнов Е.И. Теория хаусдорфовых спектров и её приложение.- Уч.совет Ярославского пединститута,- 1988.- 178 е.-Деп.ВИНИТИ 2b.12.83, $ Э081-В88. ,

[8] Смирнов Е.И 0 хаусдорфовом пределе локально выпуклых пр странств.- Ред.журн."Сиб.мат.журнал",- Новосибирск, 1Э8С,- И с. - Доп. ВИНИТИ 12.04.86, № 2507-В.

[9] Смирнов Е.И. Хлусдорфовы слектр1 в функциональном янал.^е: Учеб. посохе для пед. ин-тое. Изд-во МГПУ, 199х,-.

156 о. '

[10] Смирнов Е.И. Гомологические методы в теории хаусдорфовьос спектров//Сиб. мат.журнал. - 1992. - Т. 3;