Теория хаусдорфовых спектров и её приложение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ЛЩШН НАУК СССР ОРДЕНА ЛЕШША СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

СЮГиОВ Езгеняй Иванович

ТЕОРИЯ ХАУСДОРФОВЫХ СПЕКТРОВ

И ЕЕ ПРПЛОЕНИЕ

Специальность 01.01.01 - мзтеиотичзикиР анэлио

Автореферат

лнссертации нэ соискание ученой степени доктора физико-математических наук '

Новосибирск - 1992

Работа выполнена в Ярославском государственном педагогическом институте им. К.Д.Уиишзкого.

Официальные оппонента:

доктор фивико-иатеиатичеокшс наук, профессор Куаьыинов. Владимир Иванович,

дс яор физико-матзматичооких наук, профессор &.:олянов Олег Георгиевич,

доктор физико-математических наук, профессор Одинец Владимир Гетроакч.

Ведущая организация - Белорусский государственный

университет.

Защита диссертации состоится " " 1992г.

в часов на заседании специализированного , совета

при Институте математики СО АН СССР по адресу: 630090, Новосибирск, Университетский пр., 4.

С диссертацией модно ознакомиться б библиотеке Института математики СО АН СССР. 1

Автореферат рааоспан " " 199_г.

Учены« секретарь ¿я,--;

специализированного совета ДМу В,С. Б лоносов

Актуальность темы. Развитие дескриптивной теории множеств, функционального анализа, теории структур, топологических методов в теории меры привело к появлению в математике конструктивно сложных объектов (аналитические и проективные множества, псевдотопологии, пространства обобщенных функций, раэличные классы векторных пространств со сходимостью, пространства М.Де Вилъде и т.д.), нашедших разнообразные плодотворные приложения. Так, проблема мощности бо-релевских множеств была решена П.С.Александровым в 1916 г. путем введения ^ -операции над промех /тками, впоследстш" приведшей к появлению аналитических множеств. Последние же привели к понятию 'ЪБ -операции, введенной в дескриптивную теорию множеств Ф.Хаусдорфом и А.Н.Колмогоровым. Исследованиями в этом направлении на протяжении многих,лет занимались Н.Н.Лузин, М.Л.Суслин, П.С.Новикгл, А.А.Ляпунов, и другие математики Московской школы. В то же время.в последние десятилетия наблюдается бурное развитие теории топологических модулей, в частности, проблема А.Гротендика о построении классов локально выпуклых пространств обладающих теоремой о замкнутом графике и широкими свойствами перманэн-гности, получила полоп'тельное решение в работах Л.Шварца, 3.Словикоэского, Д.А.Райкова, М.Де Вильде, П.П.Забрейко, З.И.Смирнова и многих других. Ряд результатов з этом направлении был получен автором, который изучил для категории то-плогических векторных пространств аналог' Д -операции. 1севдотопологии оке-, ались полезт ли при построении дифферен-;иального исчисления в нел«етризуемых вектор ¡ых пр ?г~>анствох,' > также при описании сходимости почти всюду в пространстве , где X - измеримое пространство с конеч-ю'! мерой т. .

После появления работы А,Гротендика*) возникла проблема построения класг. эв топологических векторных прост-

ранств, содержащих все полные метрические векторные пространства (ЫВП), и обладающих следующими двумя свойствами:

Io. Для любого МВП второй^категорьи X и любого пространства Y ^Ó справедлива теорема о замкнутом графике для линейных операторов, действующих из X в "Y •

2°. Класс "У замкнут относительно операций образования произведений, проективных и индуктивных пределов счетного числа пространств.

Таким образом, расвшреше классов функциональных пространств с помощью прямых и обратных пределов является классически!/ направлением функционального анализа со времен Ж.Дьедонне и А.Гротендака.

Существенно используя конструкции 8.Словиковского, эту проблему впервые решил Д.А.Райков^ , который ввел класс пространств, допускающих так называемые -представле-

ния. Позднее, близкие и более просто описываемые классы были введены Де Вильде, Накамурой, П,П.Забрейко-S.И.Смирновым и другими авторами. Важные результаты были получены Л.Швар-цеы- и А.Мартино; Т. А.Ефимовой были научены взаимосвязи между различными классами пространств.

В диссертации вводится и изучается класс локально выпуклых пространств ( Н -пространства), наиболее широкий из всех известных в настоящее время классов пространств, с аналогичными свойствами Io) и 2°) в категории TLC , содержа:^'- также прос-оанства основных и обобщенных функций ÍKS) И , S -

открытое множество К . Кроме.того, для И -пространств справедлив усиленный вариент теоремы . о замкну: jm графике.

Основная цель работы - широкое обобщение понятий прямого и обратного спектров объектов аддитивной полуабелевой категории У* - понятие хаусдорфова спектра, аналогичное -операции в дескриптивной теории множеств, путем развития формализма итерированных прямых и обратных пределов. Эта идея характерна для алгебраической топологии, общей алгебры, теории категорий, теории обобщенных функций. Построение категории хаусдорфовых спектров X = £ Xs Wí^ достигается последовательным стандартным расширением малой категории Q . Категории Si хаусдорфовых спектров оказывается при подходящем определении отображения спектров аддитивной и полуабелевой. В частности, 3UTLC) содержит категорию В.П.Паламодова^ счетных обратнъи спектров со значениями в категории TLC локально выпуклых пространстб.^ Оригинальный метод трансформации индексов позволяет строить хаусдорфовы спектры в категориях ÉkS , TLC , TG: И других. Хаусдорфов спектр со значениями в категории хаусдор-- фовых спектров 3UUC) порождает хаусдорфов спектр со значениями в категории TLC . Анализ, приведенный автором категории функторов хаус,-эрфавых спектров , где K-.Q контравариантный функтор может быть полезен в теории интерполяции функциональных пространств. Серия

оригинальных примеров хаусдорфовых спектров позволяет уста-

/Р **

ноеить естественные взаимосвязи с теорией функций в , теорией пучков, векторных решеток и обобщенных функций.

Для широкого спектра категорий (множеств (bus' , векторных пространств Li , топологических векторных групп И£ , локально выпуклых пространств TLC , полуабеле-вых подкатегорий с прямыми суммами и произведер-чями ¿Р^ТО; ) автор пост оил категории;! Н -предел хаусдорфова спектра

•ОС ~ £ Х$ ц'Т, ^Ч'г ^ > определяемый, вообще говоря, не единственным образом (с точностью до изоморфизма категории). Для У с ТО: определен аддитивный ковариалтный Функтор Н -предела Нам* : ^ . С теоре-

тико-множественной точки зрения Н -предел хаусдорфова спектри X для случая счетного и бес. энечных

(ре* представляет собой результат -операции

о базой » однако с топологическими ограничениями на.

базу я сам результат

-операции. Частными случаями ка~ тегсрного Н -предела являются понятия проективного и индуктивного пределов над категорией У у Существенным вкладом б функциональный анализ является результат о замк^то-сти категории Н -пространств относительно операции регулярного Н -предела.

Новые методы, развитые в диссертации, нашли приложение к классическим вопросам функционального анализа - теореме ' о замкнутом графике и принципам равномерной ограниченности неотрицательных функционалов на тадаштической группе. В основе обоих приложений лежат теоремы об «щрааддитивных и счетно-полуад^-.тивных, регулярных фушащмшаяах, доказанные в диссертации. Класс ин£раадцитивных фушивционалов, введенный в рассмотрение Е.И.Смирновым и П.П.За^рФйко обобщает понятие полуаддитивности функционала и применим к различным вопросам функционального анализа, теории меры, комплексного анализа. Автору удалось усилить известные результаты С.Б,Стеч-кина, Витали-Хана-Сакса, Фитспатрика, й.А.Лифшица, Гарнака, отно вдиеся к вопросам непрерывности и ограниченности функционалов. Аппарат кваэинорм ассоциированный с Н -пространством I (к.'^О - представление) позволяет установить р&иномер" ую корректность з»ца"И гС^'ии для ряГ^еренции ьного

уравнения ■=» К-зс с замкнутым линейным операто-

ром К в Н -пространствах. Эти результаты дополняют исследования Ю. М. йувуникяна о квазиэкспоненциальных полу-груп ах эндоморфизмов.

Осуществляется продвижение в применении гомологических методов в теории Н -пространств и хаусдогфовых спектров. Для полуабелевых категорий и Л определяется ад-

дитивный и ковариантный функтор Нсшъ : ^ - ^ .причем в случае У» функтор Нсилй имеет икъективный тип, а е категории оказываете« много инъективных

объектов. Устанавливаются необходи: -¡е и достаточные условия обращения в нуль производного функтора НйддЪ О ,

а естественные для приложения достаточные условия обращения в нуль производного функтора обобщают в случае

обратного спектра и пространств Фрегсе результаты В.П.Пала-

модова и В.С.Ретаха. Проводится анализ свободных хаусдорфо-

V)

еых спектров, применение' и развитие метода Нобелинча вычке--. ления производных функторов и построения канонической резольвенты хаусдорфова спектра.

Научьая новизна. Все основ..ле результаты диссертации новы, в полной мере научно обоснованы и оформлены в виде строгих математических доказательств.

Приложения. Работа носит фундаментальный характер, разработаны новые теоретические положения, существенно рапвчра--юш-е классические результаты. Результаты могут быть использованы:

- в теории производных функторов хаусдорфова предела и их реализации в когомологиях топологического пространства индексов с коэффициентами в пучках,

- в теор..и обобщенных решенчЛ грэкпчных задач диЫ'зре«*-

цидльных уравнений в частных производных,

- в теории категорий и пучков,

- в теории интерполяции функциональных пространств,

- в теории топологических модулей,

СП.

^робация. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзных школах по теории операторов в функциональных пространствах (1982, 1988, 1989), на семинаре по функциональному анализу в №У О.Г.Смолянова (1982, 1988, 1989), на семинаре кафедры алгебры ЯГПИ (А.С.Тихомиров, В.В.Шокуров), в отделе алгебры МИАН (М.М.Капранов), в отделе функционального анализа СО АН СССР (В.И,Кузьминов, С.С.Кутателадзе), на семинарах П.П.Забрейко и Я. В.Радыно в Белорусском госуниверситете.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [11 - [ЮЗ , список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и пяти глав. В главах 1 и П изучаются хаусдорфовы спектры, порождающие их функторы и Н -предел хаусдорфовых спектров в полуабелевой категории. Глава Ш посвящена категории хаусдорфовых спектров и исследованию точности функ-^

тора хаусдорфова предела. В главе 1У проводится анализ и приложения инфрааддитивных функционалов к принципам равномерной ограниченное. 1, теории меры, комплексному анализу в

С.4- . В главе У даны приложения к вопросам равномерной кс ректности задачи Коши, дифференцируемости по конусу в И -пространствах.

Диссертация изложена, на 223 страницах машинописного чтекстя 1:-.блиографил содержит 67 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБ01Н

В главе 1 вводятся основные понятия и методы исследования предлагаемой теории: хаусдорфовы спектры, допустимые классы, стандартное расширение категории, метод трансформации индексов, категории функторов хауслорфовых „пектров, примеры хаусдорфовых спектров в различных категориях. Результаты главы 1 опубликованы в работах ( 3 ДЭЗ , С.^1 ).

Пусть некоторая категория. Категорию ,

где подкатегория К , назовем стандартным расшире-

нием категории i\ (£) , если выполнен! следующие условия:

1°. A(.S) полная подкатегория ;

2°. Морфизы uSj.^, » 5 —S категооии 8>(.S) определен набором морфизмов ^js'5 ® категории

A(s> таких, что

а)для всякого 5' fc S существует S & S тгкой, что S —Ъ \ I

S S' ' .

б)если К3рр, 1 р'—'- р и S --- Р ,то s'-- р'

и коммутативна диаграмма

S

s-- р

Ks' j *ГР'

с,'—---р'

Пусть

Q - малая категория. Осуществим последова- • ■, в те..ьные стандартные расширения

Q с £(Т) сСЫВ —

I

"де Т - направленные классы объектов О , ^ - бззи-

сы фильтров из ТС^ , Т - направленные классы объектов Р" дуальной категории . Такие классы

^Т будем называть допустимыми для О! ; положим

а и Тч , - и . Наиболее характерные

те Р РбТ

построения, связанные с хаусдорфовым'- спектрами, использует в к честве частично предупорядоченные множества.

Опре,- эление 1. Пусть некоторая категория. Контра-вариантный функтор назовем функтором хаусдор- |

фова спектра (функтором Н -спектра), если область опреде- ! ления п является допустимым множеством

т для а !

по допустимому классу .

Если к тому же 1" = для каждого

РеТ , то

функтор И будем называть функтором простого хаусдорфова спектра.

Ив определения получаем, что если

Т = 1Т| , то Н есть функтор прямого спектра, а если Т =*{|Т|} , то Н • есть функтор обратного спектра.

Если допустимое множество для и функтор

С 1Т\ — У

5 --- Хс ■

к

С*'—

>.)•—

иньективен на объектау и ыорфизыах, то существует направленный класс ( > ) р р'еТ > направленных в дуаль-П атегории ¿Р ° классов ( Х5, ) ^ Р6^) »

но:

удовлетворяющих следующим «словияы: только ч случае, когда г' —5 " Т9лда

1°. ыорфизм X *—X с' существует в той и

; единственный морфизм;

2°. Диаграмма

»•Л

X .и

г

У.

ь>

коммутативна для всех

"и'

и к.,,. -

тождественный морфизм для любого 5 £

' тодля

3°. Если

всякого X ( 6 ) существует единственный мор-физм К... •• . Набор ыорфизмов

С V 6 1Р'|) определяет монизм ^ . так, что будем писать ^ р/р - С р'р • 'каждое множество Р е*Г является базисом фильтра подмножеств Т ^ 1Р1 г ппичеы для каждого Те Р класс ( , т направлен в категории У и найдется такой, что определяется морФизмом ^р'р .

Определение 2. 1(ласс . (.Х^.^'з) > УД°Е~

летвортидкй условиям 1°-3°, назовем хаус20£фовыы_спект£ом над категорий У и '/дем обозначать {Х^.Т, .

Частными случаями хаусдорфова спектра являются прямой (достаточно положить 7 1*5*1 ., ^ ) и обратный

(достаточно положить Т * ^ . *" ^

^р'р * ("у*! спектр сеуеЛатва объектов.

Практически хаусцорговн спектры могут быть образованы методом транс".о;'.к.л;ии индексов. Пусть Г непустое Мпсже--стро, ' се;.'.е!>стно подпространств ^^ (.^еГ) ве.чтор-. ого п;;остртг:¿тпа У , зайкнутоо относительно конечных пе-

5

ресечений и прямых сумм (т.е. существуют сюрьекции ^аЧ1 ••

сЦГ) —Г соответственно, clt.li) - множество конечных подмножеств Г ) такое, что

Ре4? ъьР »

где ^ некоторое семейство подмножеств РСГ.

Множество Г Судет частично упорядоченным, если положить Ъ/ £ , когда ; пусть ОгД У . Болев' того, без ограничения общности можно считать, что каждое множество ^ направлено в (Г, ё:} . Действительно, если

и - множество конечных подмножеств Р,

Т0 .где

направляют множество ^С^сР»! так, что

ч - и п

Пусть \ фдкторадогчфзтво всевозможных комплексов

а - с^Ла,... , О V

по отношению эквивалентом и во множестве упорядоченных Уг.-ок элементов иа ■ > ^ьЛ ^Л*>•••' ^-'О

тогда и только тогда когда ^Л^г»---. ^►Л = 1 "Ч'>Ц>.»--- , . Множество 1. становится частично упорядоченным, если положить 5 , где & » 'э'3 »

когда для каждого найдется такой,что ^ £ ^

пус.^ =0г4 I . Категория '3$Г состоит из направленных в I множеств Т - Р, « Рг* ... х Р^ , где Р^еТ1 (.I1Д,... , и.-) и Т состоит из виь'х неупорядоченных и.-ок - свободное обьецины че элементов Р;.

I ■ IЯ,. . Множество мор|и-мов (.Т'Д)

л ¿О"

• < . 11 определяется отображениями '• Т —"-"Г такими, что

/ „ , / I Т" ' "Л» Ст"

5 й для всех 5 £ 1 . /Знделим в «О класс у ,,

кофинальный для и, такой, что Г'-< Г тогда и только

тогдр когда V = к Р. , Р.') где Р , Р;

1=1 ^ ,5 4

^ I = 1,2,..., п- , 1,2.,.,. , , причем единственны!-! морфизм

"Г) , определяющий предпоряцок -< , задается ■

•О

отображением ^рр' следующим образом: если в'= СЦЛ»,...,^,^,^,... , , то = 5 , .гдэ

5 =■ ["ЦДг •, \ 1 6 Г . Ясно, что класс ^ является допустимым для ^ , п ч .стности, ДЛ" 3 & Г, Г\ ,

' Р", и лмееы

Для каг.пого 3 , -«.1 а \ Н определяется век-

торное пространство X 5 + ,,, * - 'У , причем

/ : V \у "" г 1

если ь ¿5 , то Л5СД5/ . 1еы самим, определяется конт-

р<*юраантинП '.ту!-:;с7ор простого хаусцср'Ьо а спектра ы -••- ;" , г-"--.

у-ипх,

Для ка-.сдсго 3 е- псевдонорма

" н.

р 0О-Ч4 •

= де , ^ - псевдонорма на (.'"-= ,

определяет на А^ топологию мятр^чес.ого векторного

пространства (не обязательно отделимого). • • *

Предлак 'ние I. Пусть ? 3 Р, * Р^х ... * и ^ ~

соответствуй.!!!«; ••<вазинормн ыотричэских векторных групп С МЭГу (<•» . Тогда кзээинорма Ч/*-^4^).

и.

определяет топологию МВГ ^(.р) •

Пусть к - некоторое Б-мьожество т.е.

А-иПт /

где Т^ с;"]" ( Ьс^ > Т - отделимое топологическое пространстве, для каждого множества

т-пт

бикомпактны и образуют фундаментальную систему бикомпактных подмножеств к .

Таким образом, £ -мнокества являются обобщением, с одной стороны, бикомпактных пространств (и локально бикомпактных пространств счетных на бесконечности), а с другой стороны сепарабельных метрических пространств. Нам, однако, 5-множества будут интересны в связи с возможностью построения ассоциированного функтора простого хаусдорфова спектра.

Методом трансформации индексов . множество К может быть приведено к виду

/\-UHR .

и.

где Я =и"Г для каждого 5 »С ЦЛ,.6 \Т1 -ь ¿«1 Ч

Рассмотрим на 1 векторное пространство всех бесконечно дифференцируемых вещественных (комплексных) Фу: сций ^ с бикомпактным нос -аелем. Если Р , ти

через обозначив векторное пространство функций V ,

Носитель которых содержатся в Р . Обозначим через

частично упорядоченное по включению семейство векторных пространств (. РСТ) • пусть 'SÍ. * •

Те»..- самым, определяется ковариантный функтор Тогда композиция есть функтор

простого хаусдорфова спектра, определяющий предел Суслина

X(A)-Unx;Rs)

FéT «6F .

Пусть C¿! - малая категория, У - полуабелева категория и

контравариантный функтор. Обозначим через Funct ^ множество всевозможных функторов хаусдорфова спектра

Н >\Т\ — У

таких, что т является допустимым классом для С5 и • категория Funct ^Q.,tfj , вообще гоьоря, не аддитивна. В заключении главы 1 строится аддитивная категория функторов хаусдорфова спектра. . '

В главе П для хаусдорфова спектра {Xg,^, ^ над полуибелевой категорией ¿P строится предельный объект из Ь^ : И -предел хаусдорфова спектра д = Svvw, \)( например, для У = <S«s , TLC, i L&,

. Частными случаями регулярного И -предела яв-

ляются проективный и индуктивный пределы отделимых пространств А, в категории

TLC .

Теорема .1. Пусть 2С = Xs ,Т . Vvs<s } хаусдорФов спектр над категорией l LC , У - спектр неотделимостей X такой, что регуляр чй И -предел ^fc ^c'sXs равен нулю. Тогда имеет место изоморфизм катг ^odhh

TLC

T T *' s

Определение 3. Пусть счетное множество и

Э^ ^IXi.'T, регулярный хаусдорфов спе:;тр~в

категории TLC. ; такоч спектр будем называть счетным. Непрерывны;; линейный оОраз (.V,x:) U -предела X = ^ X 2 банаховых пространств Д^ назовем Н -пространством. ■

Класс Н -пространств содержит пространства Фреше и выдерживает оп^рац:и перехода к "счетным инг"'ктиенкм и проективным пределам, замкнутым подпространствам и'фактор пространствам. Кроме того, для Н -пространств справедлив усиленный вариант теоремы о замкнутом графике. Класс И -пространств наиболее широким из всех известных в настоящее время аналогичных классов РаМкова, Шльде, Накам.уры, ЗабреИко-Смирнова.

Предложение 2. Пусть Д = ВОС ,где В> = vC3^ £ R ■. ас.'ч-у1' f- i 1г , • С - исакалитичуское по,цмног.сст<зо граничной окружности е> и ( ) - ли:cq.<■;;,.-,о г„7,:у;:.<и:с пространство re ox ncnp-jpacyxx и ведостиеникх Функчи'Л % с Оикоьпдктиш носителем Supple К , изоморфное И -проделу простого х-аусдоррова спектра {X^R;,-) ,Т, s's^ . Тогда (_ ) есть п -пространство, не являвщсесч- ■ пространством Оуслина

Теорема '¿. Летный отделимый регулярн-И -предел хаусдорфова спектра М .-пространств к категори" 1'LC есть И -пространство.

В § ¿,3,4,5 исследуются • Й -пределы ь категории полных векторных решетках, в пространстве измс; лмы/с циИ S (,^ 1 ,, в топологичес ко'! rpvnrie, ас-оц^.хр .яаи-

ио" с измеримым пространством с неотрицатель-о.1 счетно аддитивном конечной мерой, дано описание сходи;.:ост.;' 'ь'-чт'и

всюду в ^ псевдотопологией { ^ ^ , причем

топология, порождаемая асимптотической сходимостью, оказывается индуктивном в категории ТВГ для семейства

[Х^с-Т}.

Предложение 3. Пусть У* - пучок ростков голоморфных функции на открытом множестве Я) с С"* , ассоц^ рованный с предпучком ( ¿°а , , и = ^ , Т ,

ассоцнированный правильный хаусдорфо'в спектр, '.'"огдз И-предел ха.усдорч ога спектра изоморфен векторному

пространству селений пучка ^ над ь:но:хест-

'-А (А-ЙУ^О. ;

Предложение 4. Пусть - ) , ,

правильный счетный хаусдоофов спектр, К - и П., имеет счетную фундаментальную спетому бикомпактных подмножеств, связное А ^ 0 . Тогда И -предел X - и

■ Ч -у £' 5

является отделимым п -пространством в топологии т: *"

с X 3 = 0ь) . ■

Результаты главы П опубликованы в работах С?1,[8],.£9Д. В гласе Ш надлежащей факторизацией категории хаусдор-фовах спектров БрасЬ £Р над категорией У вводится г; рассмотрение категория 31 хаусдорфових спектров. Нсли с7 полуабелева полная подкатегорл-. категории

те,

то является полуабелевой категорией (в смысле В. П.Па-

ламодопа • " 1 и определен аддитивная и ковариантшй функтор Н -предела хаусдорфова спектра Цои«,-. ЗНЬ) —' 1_1 . Устанавливается, что "ал*" ;брз;;чее7иМ" функтор Ноиъ •. 31 сЦ Ь над абелевой категорией Ь имее чньектинный тип; и категории

) оказывается много ичъек-тииных оиьектоя, поэтому опр делены правые ' про».зсе

HouS (í» !•£>■•.•') , о частности, регулярность хаусдорфо-ва спектра SCi неотдел,-мостей "У • обеспечивает точность функтора Ноща s 3<Т1С) — TLC, и условие обращения в нуль

Теорема 3. Пусть ^i'sll - счетный

:<аусд;рФов спектр н-.д категорией L . Тогда длгтого *1тс-бы Но«? ^Х) = 0 , необходимо и достаточно, чтобы топологическая векторная группа ( ^(fj ) ( -

Фильтртопология) .была полной для каждого

Теорема 4. Пусть •. &'s I ~ счетный

хаусдорфов спектр над категорией L . Для того чтоб-Hcuws (X} * О ,. необходимо и достаточно, ч.обы для кржцо-го

FeT * íU£

можно определить квазинорму о

акую, что

i) ассоциированная топологическая группа полная," "t f ^ ' .

II) у.* непрерывна на

Теорем» 5. Пусть ЗС. « í Х& » ^s'j^ -счетный

хаусдорфов спектр Н -пространств с отделимо'.! ассоцииро-

р

ванном псевцотопологией { над категорией Т\£ f

сохраняющем непрерывность ыорфизмов V.^ . То. да для г»viro '"тобы HftjmS (.3-) - О ' ,'необходимо'и достаточно,' что-_ ( р

бн для каждого ^fcVil существовала. к-вазкноркз 9

(SfelFj) в такая, что ж) непрерывна в

фчльтртсюлогии Чр , а система { st* \ сохраняет непрерывность ыорфизмов V.,<4

В случае обратного спектра и пространств ^реше (каждое пространство ¿реше и пространство обобщенны". функшг" ^Ч&О являются Н -пространством) теорекы oüoüu.v.r pe-

зультаты В. П.Паламодова и В.С.Ретаха.

Результаты главы Ш опубликованы в работах ЕМ, , . В главе 1У рассматриваются ечетно-полуа"ущтивные, ин-фраадцитивные квазинормы и семейства функционалов на топологической группе (ТГ), необходимые для исследования Н -пределов хаусдорфовых спектров.

Теорема 6, Пусть Х-ТГ и >*) - неотрицательный

функционал на Т * X такой, что

1)для каждого эс.е Х0 <=■ X , где Х0 - нетощее симметричное множество, справедливо неравенство

ЪеТ^ является - и нфр а ад-

дитивным семейством полунепрерывных снизу Функционалов на X . Тогда существует X0 такая, что

а. ,7 т

Следствиями теоремы могут бить получены утверждения Банаха-Штейнгауза, Вмтали-Хана-Сакса о сходящейся последовательности обобщенных мер, С.Б»Стечкина о равномерной ограниченности последовательности функционалов.

Теорема 7. Пусть ^ - счетно-полуацдитивный функционал

на МГ X и "ля каждого Е-5-о внутренность множества \/ь

\ /" *

непуста ( У^ - лебеговы множества функционала у- ).

Тогда

В качестве следствий могут быть получены '.'зорема о замкнутом графике цля И -пространств, теоремы о несплющенности воспроизводящих конусов; теоремы существования топологи-

ческих-базисов. Устанавливаются так»е связи с идеально выпуклыми множествами, плюрисубгармоническими функциями, теорией меры. Результаты "лавы 1У опубликованы в работах М.ЕзЗДбЗД-Э] .

. В главе У рассматриваются некоторые приложения Й -пространств к различные вопросам функционального анялиза.Пусть для дифференциального уравнения

«И:

с линейным оператором К •• X -X , имеющим сюду плотную в д область определения

ЗкК) , выполнено условие (.*> ■ : при любом ЗнМ существует едигст-венное ¿еше.-;ие задачи Кош, непрерывно дифференцируемое на Е°>Т] # Тогда имеет место ...

Теорема 8. Пусть для уравнения я К ж. выполнено ' условие*( * ) и К - замкнутый линейный оператор в секвенциально полном ретрактквном Н -пространстве С.X »"С). . Тогда для этого уравнения ь пространстве будет

равномерно корректной задача Коши с начальным условием "ЧО> = б: 1>С К1) .

Далее, в 5 2 получена теорема о несплюденнос.'и воспро- • иав дя-цего конуса в И -пространстве и указан ряд её приложений к вопросам дифференцируемости по конусу непрерывности полсжительього оператора. Последнее позволяет поручить 'жэорему о существовании с.едловой пчки функции лаг-раняса для линейных задач оптимизации в Ц -пространствах..

Теорема 9. Пусть слабая производная 1\ С*-) по воспре-изродяцему замкнутому конусу К. опе^а-ора К5 X ( X - отделимое секвенциально полное борнилогичггиое

Н -пространство) непрерывна в Цс (.ХЛУ в открытой окрестности Ц точки . Тогда являет--я бикомпактной производной оператора К в точках £ II.

Теорема 10._ Пусть "У - секвенциально полное борно-логическое Ц -пространство и воспроизводящий

замкнутый конус в ^ , причем К. -ли-

нейная оболочка в "V элемента" и подпространства

, Д : X —V ; К-а^-^,,1! ). Тогда непрерыв-

ный линейный функцпнал % на множестве И достигает минимума в том и только том случае, когда соответствующая функция Лагранжа > обладает седловок точкой

"> С * е X , у а ) .

Подготовительная теорем" Всйерштрасса и теорема о делении для ростков голоморфных функций в точ-:е ю е С позволяет установить ряд свойств локальных колец „.^со и модулей над этими кольцами (Нётеровость, лемма Ска о точности гомоморфизмов -модулей и др.). Доказательства имеют чисто алгебраический характер, поэтому рассмотрение

глобального варианта теорем существенно отличаются и исполь-

6)

зуют топологические результаты линейного анализа . Более тщателыьй анализ, проведенный в § 3, позволяет формулировать глобальную теорему о делении как существование и непрерывность линейного оператора, действующего в локально выпуклых пространствах так, что локальный и глобальный варианты теоремы Вей рштраеса оказываются действительно частными случаями более общей теоремы.

Теорема П^ Пусть К С - -епустое связное лра-ниченног-множество, такое, что тг (, К) г.амк-уто *>". СС, , ") ,, ю - л о к'-ль-

кчй полином Вейерш^расса по степени \с> о)

о представителем таким, что С )

Я^К) П ТО: •■ с. К ,

где П. - открытая окрестность ^ .

Тогда существует непрерывный линейный оператор 1_. 1 —'- 10й такой, что

•^О «

Результаты главы У опубликованы в работах

С«, 15), СМ.

ЛИТЕРАТУРА

$ С.<"о!к«^с1|е.сЦ К. РгоАы!^ 'Ъэщлсс^ие.Ъ Л- <«>расе£

•илАлл:\г<Л // Меш. с\ -Иг«. Ктепсла Mo.tk.8oc. - №55 . - N .

^Райков Д.А. Дв.,сторонняя теорема о замкнутом графике для топологических линейных пространств // Сиб.мат.-ургат,-1966.- Т.7, 2.- С. 353-372.

ф.Паламодов В.П. Функтор проективного предела в категории топологических линейных пространств // Мат.сборник.-1968. - Т.75, 13 4. - С. 567-603.

ф, С. ¿¡е. Х>ег1у'>егХел. А«

^геЛлм. <г'\УЛл З-ат'^'с. // Торо?0<эд I. - \%2 - ?. - €>1

ф.Забрейко П. П. , Смирнов Е.И. К теореь»е о замкнутом графине // Сиб.мат.журнал.- 1977.- Т.18, № 2. - С.305-316.

^Ганнинг Р., Росси X. Аналитические функции к югих комплексных переменных: Пер.с англ.- !*!.: Мио, 1Э69. - 335 с.

СПИСОК

! . ■ ' ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1.] Смирнов ".И. О непрерывности полуадаи^ивного функционала // Мат.заметки.- 1976.-. Т. 19, ,'5 4,- C,54j-548.

[2] Смирнов Ё.И. О несплщенности конуса в локально выпуклом пространстве // Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений,- ® 3.- Ярославль, 1978. - С. 162-171.

13] Смирнов Е.И. И -предел хаусдорфова спектра локально .зыпуклых пространств // УГ Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тез.докл.- Минск, 1982. - С. 182.

\,4} Смирнов Е.И. Теория хаусдорфовых спектров над полу-абелевыми категориями // Ж Всесоюзная школа по теории операторов.в функциональных пространствах. Тез.докл.- Куйбышев, 1988. - С. 170-171. ; . • . \

£5] Смирнов Е.И. Равномерная корректность задачи Коши е пространствах Суслина // Дифференциальные и интегральные уравнения. - Горький, 1984. - С.94-99. .

L6] ЗабрейКч, П.П., Смирнов Е.И. О принципах равномерной ограниченности // Мат.хаметки.- 1934,- Т.35,® 4.-С.287-297.

17] Смирнов Е.И. Теория хаусдорфовых спектров и её приложение.- Уч. совет Ярославского пединститута.- 1988,- 178 с,-Деп. ВИНИТИ 2b. 12.Р.Я, Э 3081-В38.

[8] Смирнов Е.И 0 хаусдорфовом пределе локально выпуклых пр странств. - Ред.журн. "Сиб.ьват.журнал",- Новосибирск, 198С.- 11 с. - Деп.ВИНИТИ 12.04.86, № 2507-В.

[9] Смирнов Е.И. ).лусдорфовы спектр! в функциональном янал».зе: Учеб.пособие для тед.ин-тоЕ. Изд-во МГГ[У, 1991,-.

166 о. . ■■'/■_ .';'■

[10] Смирнов Е.И. Гомологические методы в теории хаусдорфовых спектров // Сиб.мат.журнал. - 1992. - Т. 33.