Полуэмпирические модели и численное моделирование турбулентных течений с вращением в каналах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ



Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Московский физико-технический институт (государственный университет)

На правах рукописи УДК 532.517.4

СОН Константин Эдуардович

ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ С ВРАЩЕНИЕМ В КАНАЛАХ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Долгопрудный -1998

Работа выполнена на кафедре Физической механики Московского физико-технического института.

Научный руководитель:

доктор физико - математических наук, профессор

Официальные оппоненты:

доктор физико - математических наук, профессор

доктор физико - математических наук Ведущая организация: Институт проблем механики РАН г.Москва

Защита состоится " 22 " декабря 1998 г. в 11 ч. на заседании Диссер тационного совета К 063.91.05 при МФТИ в Московском физико техническом институте по адресу: 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., д.9 МФТИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ. Автореферат разослан "_" ноября 1998 г.

Онуфриев А.Т.

Жмур В.В. Щербин М.Д."1

Председатель

специализированного совета доктор физико - математических наук, профессор

./ Ширко И.В. /

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Полуэмпирическая теория турбулентности является, невидимому, единственным базисом для расчетов прикладных задач турбулентности. Вследствие незамкнутости уравнений турбулентности необходим анализ основных воздействий, формирующих турбулентные напряжения в потоке газа или жидкости.

Рассмотрение турбулентных течений в каналах с вращением потока связано со следующими обстоятельствами. Под воздействием вращения потока и кривизны линий тока видоизменяется структура турбулентности в потоке, проявляются более сложные связи между полями скорости, температуры, концентрации и турбулентными потоками импульса, тепла и концентрации примеси, чем используемые в более простых моделях турбулентного переноса для течений без вращения. Усложняют соотношения и другие воздействия на поток, например, действие архимедовых и других сил.

Диссертация посвящена построению теоретических моделей и их численной реализации для турбулентных потоков с вращением в каналах.

Научная новизна работы.

Работа, изложенная в диссертации является шагом построения моделей в полуэмпирической теории турбулентности. Проведена систематизация моделей, построенных па использовании масштаба турбулентности в качестве одного из параметров и моделей, где в качестве одного из параметров выбирается скорость диссипации энергии турбулентности. Для трех важных типов потоков с вращением построены дифференциальные и алгебраические модели турбулентности и составлены численные коды для их реализации. Проведены численные расчеты для условий близким к экспериментальным. Результаты расчетов анализируются с точки зрения орпеделяющих параметров и даются рекомендации по использованию моделей в существующих гидродинамических пакетах программ.

Цель работы.

Основной целью работы было построение дифференциальных и алгебраических моделей турбулентности для потоков с вращением. На основе выбора моделей турбулентности целью работы было создание пакета прикладных программ для расчетов течений. Следующей целью являлось сопоставление с экспериментальными результатами и рекомендации по использованию моделей турбулентности и численных алгоритмов для их реализации.

Методика исследования работы.

В работе используются методы полуэмпирической теории турбулентности доя построения иовых аппроксимаций членов в уравнении для скорости диссипации и других членов, определяющих крупномасштабную структуру турбулентности с прямым учетом вращения на турбулептный поток. Для численного моделирования задач используется приближение пограничного слоя. Система уравнений для осрсдненных скоростей продольного, радиального и азимутального движений решается численно методом прогонки на довольно мелкой сетке для рассматриваемых задач. Все методики апробированы и в предельных случаях совпадают с известными решениями.

Практическая ценность.

Закрученные течения и следы в камерах сгорапия турбип, в каналах между лопатками турбин и др. относятся к сложным сдвиговым течениям. Турбулентные поля в таких течениях становятся трехмерными, сильно неоднородными с сильно выраженной анизотропией "коэффициентов переноса", которые приобретают некоторый условный смысл.

Течения с вращением в каналах используются в различных типах камер сгорания и других аэродинамических устройствах, поскольку они интенсифицируют смешение горючего и окислителя и расширяют зону энерговыделения стабилизируя горение пламени. Для улучшения процессов стабилизации пламени и смешения в вихревых камерах сгорания используются соосно закрученные потоки. Закрутка внутреннего и внешнего потоков может производиться в одном и в противоположных направлениях.

На оащиту выносятся:

1. Построение моделей в полуэмпирической теории турбулентности для потоков с вращением, модернизированное уравнение для скорости диссипации турбулентности, которое является основным в моделях турбулентности с использованием скорости диссипации в качестве параметра турбулентности.

2. Общий метод получения транспортных уравнений для осредненного течения, вторых и третьих моментов для потоков с вращением в полярной, цилиндрической и косоугольной системах координат.

3. Модели турбулентности, численный алгоритм и результаты расчетов осесимме-тричного турбулентного течения в цилиндрическом канале со сложной закруткой соответствующей вращению внутреннего ядра как твердого тела, а внешней части как вихря Бюргерса в начальном сечении канала и развитие течения вниз по потоку.

4. Модели, уравнения, численный алгоритм и результаты расчетов течения в косоугольном канале с вращением потока.

5. Модели турбулентности, численный алгоритм и результаты расчетов плоского течения с поворотом вектора средней скорости.

Апробация работы.

Отдельные части и результаты работы докладывались на YII Международной конференции по стратифицированным и вращающимся жидкостям (Санкт - Петербург, 1995г.), 14 Международной конференции по магнитной гидродинамике (Рига, 1995г.), Международной конференции по динамике океана и атмосферы, (Москва, 1995г.), Международной школе по современным технологиям, (Москва, 1995г.), 39, 40 и 41 научных конферениях Московского физико-технического института, (1996-1998 гг.) .

Объем и структура диссертации.

Диссертация состоит из Введения, 6 глав, Заключения, списка литературы и содержит 155 страниц, включая 34 рисунка. В списке литературы содержится 57 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении к диссертации кратко изложены задачи, описание проблем, задачи и структура диссертации.

Первая глава диссертации посвящена формулировке параметрических моделей турбулентности в которые в качестве одного из параметров входит масштаб турбулентности. В оспову данной главы положены работы В.М.Иевлева по полуэмпирической теории турбулентности. Эти работы переформулированы в виде трех моделей турбулентности - дифференциальной модели рейнольдсовых напряжений (RSTM — I), в которой параметрами являются напряжения Рейнольдса и масштаб турбулентности, алгебраической модели напряжений (ASTM — I), в которой параметрами являются также напряжения и масштаб, но для напряжений Рейнольдса используется принцип локального баланса и следующие из него алгебраические соотношения между напряжениями. Для кинетической энергии турбулентности используется дифференциальное уравнение, что позволяет учесть неполное равновесие между турбулентным движением и осредненным течением. При дальнейшем упрощении модели предложена К — I модель турбулентности, которая позволяет использовать ее во многих практически важных случаях без потери точности расчетов турбулентных течений.

Вторая глава диссертации посвящена е - моделям турбулентности. Здесь проанализировано уравнение для скорости диссипации и предложены новые аппроксимации для членов в уравнении для е. Далее представлены уравнения для вторых и третьих моментов, в которых, в отличие от других работ, по предложению А.Т.Онуфриева

действие объемных сип на моменты третьего порядка учтено прямым образом. Это дает возможность получить новые уравнения турбулентного движения для потоков с вращением и применить их для описания экспериментальных результатов.

В третьей главе диссертации рассматривается применение развитой полуэмпирической теории к описанию течения для потока с вращением в каналах. Получены общие уравнения в цилиндрической системе координат для моментов второго и третьего порядка. Рассмотрены общие формулировки для дифференциальных и алгебраических моделей.

В четвертой главе рассматриваются осесимметричные турбулентные течения. Для сравнения с экспериментами рассматривается задача о турбулентном движении в цилиндрической трубе, на входе в которую в центральную часть подается сильно закрученный поток, а по периферии поток закручеп меньше с направлением вращения совпадающим или противоположным направлению вращения внутреннего потока. Для этой задачи имеются экспериментальные исследования, с которыми производится сравнение. Эта задача использовалась в литературе многими исследователями как тестовая. Сложность численного моделирования здесь связана с эллиптическим характером задачи. Для преодоления этой сложности в работе предложена иерархия численных моделей с возрастающей сложностью: при полном осреднении течения в трубе получается одномерная задача, при использовании приближения пограничного слоя получается параболическая задача, при разбиении течения на ряд слоев формулируется метод, аналогичный методу интегральных соотношений А.А.Дородницына для решения задачи. При закрутке потоков в противоположенпых направлениях Холлом и Лейбовичем было предсказано "разрушения вихря", т.е. образование на оси потоков свободной точки торможения или рециркуляционной зоны и значительный завихренности вниз по течению для потоков с обратной закруткой. Этот воцрос исследуется в настоящей работе на основе используемых моделей.

Пятая глава диссертации посвящена применению полуэмпирической теории к описанию течения в коническом диффузоре. Для решения этой задачи потребовалось вывести уравнения турбулентного движения в косоугольной цилиндрической системе коор-дипат и применить развитые ранее методы для численного решения этой задачи. При решении задачи использованы различные модели турбулентности.

Шестая глава диссертации посвящена применению теории к течению в "кране", т.е. течению с поворотом вектора продольной скорости. Это течение является, как и предыдущие тестовым для турбулентных течений с вращением в каналах. Проведены сравнения с результатами расчетов других авторов и экспериментом.

Принцип "локального подобия" в описании турбулентного движения является общепринятым при получении А5ГЛГ-моделей. В настоящей работе этот принцип, развитый рядом авторов для задач с вращательным движением газа с замыканием на уровне третьих и четвертых моментов используется для развития полуэмпирической теории и численного моделирования турбулентных течений с вращением в каналах.

Фактически во всех полуэмпирических теориях турбулентности предполагается (явно или неявно) существование некоторого внутреннего равновесия в структуре турбу-

лентности. Действительно, использование наиболее простой формулы типа формулы Прандтля для турбулентного трения равнозначно предположению о том, что характеристики турбулентности в каждой точке потока целиком определяются только локальными характеристиками процессов порождения и диссипации осредненного течения вблизи этой же точки. Во многих случаях такая гипотеза оказывается правильной.

В более сложных полуэмпирических теориях при применении дифференциальных уравнений для компонент тензора напряжений Рейнольдса и для "масштаба турбулентности" (или для скорости диссипации энергии турбулентности) записываются различные приближенные выражения для отдельных членов этих уравнений (содержащие эмпирические коэффициенты). Само существование определенной формы этих выражений и часто делающееся предположение о постоянстве указанных эмпирических коэффициентов (т.е. о том, что это "эмпирические константы", как часто пишут) воаможпо только при существовании некоторого, "равновесного" при рассматриваемых условиях, спектра турбулентности. Для другого спектра форма выражений и тем более значения "констант" могут сильно измениться.

Успешность применения полуэмпирических теорий подтверждает правильность используемого в них подхода. Физической причиной этого является то обстоятельство, что процессы обмепа энергией между турбулентностью и осредпенным течением протекают медленнее, чем обмен энергией между турбулентными вихрями; для более мелких вихрей этот процесс протекает быстрее, чем для крупномасштаблых пульсаций.

Вся теория развивается применительно к двумерным (по осредненным характеристикам) течениям типа пограничного слоя (пристеночного или струйного). Это охватывает большое число практически важных задач. Задачи с более сложной геометрией требуют развития повых полуэмпирических теорий или непосредственного применения прямого численного моделирования.

Уравнение для вторых моментов имеет вид: (М;,- =< ущ >, М^ =< ^¿ауи* >):

где оператор "полной производной по времени":

<И (Н дхи Члены в правой части выражают: • "порождение" турбулентности

, , Щ , , дц

скорость диссипации турбулентности

скорость обмена турбулентности между осями

• поток диффуоии турбулентности под действием корреляции пульсаций скорости и давления:

= рЧ- > < > ад-

Из уравнения для вторых моментов при ¡^ (свертка) следует уравнение баланса кинетической энергии турбулентности К = 1/2 < >:

— = Р-е-У-^ + МА-,

а£

где

• порождение турбулентности

, , dVi

• скорость диссипации кинетическои энергии

\ дхк дхк / '

• диффузионный поток кинетической энергии турбулентности

qk =< v'kK' >,

где К' — - кинетическая энергия пульсационного движения.

Система уравнений применительно к двумерному (но осредненпому течению) пограничному слою включает уравнения для < ил >,< vn > и < u'v' >, a. также уравнение для полной энергии турбулентности. Все уравнения модели являются дифференциальными уравнениями, которые должны решаться одновременно с уравнениями для осред-непной скорости течения. Такая модель является дифференциальной (RSTM — I) -(Reynolds Stress Turbulence Model - scale) моделью, в ней учитывается конвективный и диффузионпый члены в уравнениях для вторых моментов.

В рамках рассматриваемых моделей турбулентности полученную систему уравнений необходимо дополнить выражением, или уравнением для масштаба турбулентности 1. В простейшем случае выражение для масштаба турбулентности испольэуется в форме Прандтля. Возможно использование и более сложных выражений для масштаба, где учитывается вязкий подслой, например, по формуле Ван-Дриста или эмпирические формулы Рейхардта или Лойцянского.

Во многих случаях модель RSTM может быть упрощена. Если основная часть турбулентного потока содержит развитую турбулентность, то в этой части имеется локальный баланс между порождением, диссипацией и действием объемных сил, т.е. турбулентность считается "равновесной". В этом случае в уравнениях RSTM модели можно не учитывать конвективный перенос и диффузию турбулентности. Тогда система уравнений для вторых моментов представляет собой не дифференциальные а алгебраические уравнения для определения различных моментов, поэтому эта модель является алгебраической моделью рейнольдсовых напряжений - масштаба (ASTM — I Aîgebraic Stress Turbulence Model-scale). Эта модель проще модели RSTM — I, но она дает правильное описание турбулентного потока в области развитой турбулентности. Вблизи стенки и на оси потока, где существенны диффузионные члены, она дает приемлемое описание вследствие того, что для кинетической энергии турбулентности в модели AST M — I сохраняется дифференциальное уравнение, это дает возможность согласования локального равновесия между турбулентностью и осредненным потоком. В алгебраическую систему уравнений входят производные от средней скорости, которые являются заданными параметрами, входящими в состав аргументов при определении локальных значений моментов.

Как и в модели RSTM — I, в модели ASTM — / "турбулентная вязкость" имеет анизотропный вид.

При еще большем упрощении моделей турбулентности можно ограничиться только уравнением для К. Тогда турбулентная вязкость определяется пульсациопной скоростью w, которая определяется локальным значением К (К = Зги2/2) и масштабом турбулентности: vt = wl. Для масштаба турбулентности используются формулы Пранд-тля, Рейхардта или уравнение для масштаба. При выбранной аппроксимации для масштаба турбулентности получается К —I модель. Эта модель включает уравнение для К и выражение или уравнение для масштаба турбулентности.

Во второй главе рассмотрены модели турбулентности, в которых, в отличие от масштаба турбулентности, в качестве параметра принимается скорость диссипации энергии турбулентности е, определяемая выражением

_ у ( dvj сЬЛ2 f 2 V&Bfc dit) '

Скорость диссипации, являясь инвариантной величиной, формирует спектр во всех масштабах, в том числе и колмогоровский турбулентного движения. Из физического смысла скорости диссипации следует, что, зная К и е, можно определить характерное время турбулентных пульсаций крупных вихрей, определяющих энергию и напряжения трения Рейнольдса г = К/е. В стандартной К — е модели напряжение трепия Рейнольдса в плоскопараллельном течении выражается через турбулентную вязкость. Be- моделях она определяется через К и е по формуле

щ = С^КУе,

где Ср - эмпирическая постоянная.

Модель турбулентных напряжений Рейпольдса (модель ЯБТМ) включает уравнения для осредненного течения и вторых моментов, в которых используются аппроксимации для моментов третьего порядка.

Уравнения для напряжений дополняются уравнением для скорости диссипации, которое в "стандартной" форме имеет вид:

где диффузионный поток диссипации:

(О ^ к Як = Сс — < ьт > , е ОХ1

а "порождение" турбулентности Р принимается равным

дУ,

Р = - < ыук > .

дхк

Наиболее важным в е - моделях является уравнение для е. В литературе это уравнение пишется по аналогии с уравнением для кинетической энергии или (Харлоу, Дали) выводится впачале из уравнений для пульсационных величин и сильно упрощается с аппроксимацией большинства слагаемых из соображений размерности.

Уравнение для £ обосновано в недостаточной степени и дальнейшие уточнения связаны с получением более корректного уравнения для скорости диссипации. В настоящей работе делаются попытки уточнения подхода Харлоу. Уравнение для скорости диссипации получено из уравнения Навье-Стокса для пульсационных величин в виде:

где порождение скорости диссипации

р.. - р(») . р(2) I р(3)

— 'ч ' 1 и ~ 1 и I

"Диссипация скорости диссипации" имеет вид:

3 \ дхьдх1 дхкдх1 /

Диффузионный перенос скорости диссипации равен:

<?$ =< > +21/(< > < > ад

Аппроксимации отдельных членов тензорного уравнения для еу могут быть записаны аналогично уравнению для вторых моментов. Физический смысл отдельных члепов уравнения для еу очевиден, в нем присутствуют члены, описывающие конвективный перепое, порождение, диссипацию, обмен, диффузию и вязкую диффузию скорости диссипации.

Скалярное уравнение для £ следует из свертки (1 = 3, суммирование по г,]) уравне-пия для £у. В результате получается уравнение для £ =

де тг де „ „ яГ + Ук— = Ре — Ее — 01 охк ахк

где порождение скорости диссипации имеет вид:

<97; ./ _

7

* = + ^ + (гЧ —

\\dxkdxk/ \axjdxi/) дх^ \дхк

а.ции"

"Диссипация скорости диссипации"

\дхкдх1 дхкдх1 / Диффузионный поток для скорости диссипации:

^ <

Порождение в уравнении для скорости диссипации может быть аппроксимировано следующим выражением:

дУ;

Ре ~

где оу имеет вид:

_ < ^ > к^ ~ 2К + V ' величины к{ — \Ц{, выражаются через масштабы /; по различным осям.

Таким образом, получаем замкнутую, более адекватную аппроксимацию порождения скорости диссипации. Рассматриваемая аппроксимация для "диссипации скорости диссипации" совпадает со стандартной.

Система уравнепий в приближении вторых моментов является пезамкнутой, т.к. в нее входят третьи моменты. В уравнения для третьих моментов входят моменты четвертого порядка. Для замыкания уравнепий турбулентности используется приближение Миллионщикова. С учетом этого, уравнение для третьих моментов может быть записало в виде

= рШ + рШ - V • + фу* - £у4 + ЗиАМ&,

где порождения турбулентности

Диффузионные потоки турбулентности

= 9уы + liikt

обусловлены диффузией под действием пульсаций давления и членами с вязкостью. Обменные Ф¡¡к и диссипативные члены записываются с использованием полуэмпирического уравнения для совместной плотности вероятностей, что позволяет сократить число вводимых эмпирических постоянных до одной Oj.

Для третьих моментов предполагается существование локального равновесия, которое устанавливается гораздо быстрее, чем равновесие для вторых моментов. В этом случае в дифференциальном уравнении для третьих моментов не учитываются конвективный и диффузионный перенос за счет вязкости. В результате из дифференциального уравнения для третьих моментов получается:

РШ + РШ + Фу* " £у* = О-

Принимая для обменных и диссипативных членов некоторые аппроксимации, получаем замкнутую систему уравнений для третьих моментов, из которой могут быть найдены искомые моменты.

В модели А.Т.Оиуфриева уравнения для вторых Мц =< v;vj > и третьих моментов Mijk =< ViVjVk > содержат прямое действие объемных сил. Сохраняется часть слагаемых из конвективной производной, содержащих действие кориолисова и центробежного ускорений. Это приводит к более симметричной записи влияния вращения по отношению к составляющим поля завихренности.

Алгебраическая модель для вторых моментов (ASTM) используется для уменьшения объема вычислений. Модель ASTM следует из уравнений переноса для < vtVj > в модели RSTM с теми же самыми аппроксимациями, но без производных, учитывающих ковсктивный и диффузионный перенос. Эта модель является промежеточпой между моделями RSTM и К — е, ее отличие от модели К — е состоит во введении анизотропии кинетической энергии пульсаций по различным осям и анизотропии коэффициента турбулентной вязкости. Однако, некоторыми авторами получен результат, что не во всех случаях результаты расчетов по модели ASTM улучшают результаты расчетов по модели К — е. Эффективность любой алгебраической модели зависит прежде всего от того, насколько полно учтены главные силы. Модель ASTM получается при упрощении уравнений переноса для моментов второго порядка. Используется приближение "локального" баланса в каждой точке, т.е.

| порождение диссипация обмен |_|_| силовые воздействия д

В третьей главе рассматриваются математические постановки задач для турбулентных течений с вращением потока. Для течений газа с вращением в цилиндрических или конических каналах, а также в течениях в прямоугольном канале с поворотом продоль-пой скорости потока используются криволинейные системы координат. При получении уравнений в криволинейных системах координат предложен метод, в котором из общего тензорного вида отдельных членов получаются выражения для конкретпой системы координат.

Метод основан на разложении векторов скорости и дифференциальных операторов по ортам, которые подлежат дифференцированию, например, векторы скорости и дифференциальный оператор V представляются в виде:

V = + угег +

^ - 9 -9 - 9

При элементарных перемещениях радиуса - вектора для цилиндрической системы координат (г,г, ¡р) можно вычислить производные от единичных векторов:

= 0,

дех = 0, дех

дг д(р

ах дет = 0, дет

д<р

= 0, Э3

= -е,.

Из приведенных выражений можно найти символы Кристоффеля не прибегая к громоздкому применению общего случая к конкретной задаче. Таким образом получены дифференциальные уравнения для среднего движения, вторых и третьих моментов в полярной, цилиндрической и косоугольной систем координат.

В четвертой главе рассматриваются осесимметричные турбулентные течения в цилиндрической трубе. Осесимметричные турбулентные потоки с вращением широко распространены в приложениях и достаточно подробно исследованы экспериментально и теоретически, однако, полпого соответствия между экспериментальными результатами еще не достигнуто. В настоящей главе проводится выбор модели турбулентности и численное моделирование одного иэ наиболее подробных лабораторных исследований осесимметричного турбулентного потока с вращением.

Рассматривается смешение вращающихся потоков в цилиндрической камере представляемое турбулентным движепием в трубе с вращением газа, когда внутренняя часть потока закручепа на входе в одну сторону, а другая часть - в другую или в

ту же, по с другой угловой скоростью в соответствии с экспериментами Ву и Голдина. Начальные условия на входе в трубу для радиального распределения угловой скорости соответствуют вращению газа для внутренней части как вращение твердого тела, а внешняя часть блинка к вихрю Бюргерса. Закрутка течения, пропорциональная отношению средних тангенциальных и продольных скоростей принимала значения 0.59 и другие близкие значения при закрутках в одну и разные стороны. В обсуждаемых экспериментах внутренний радиус трубы составлял Я; = 1,86ст, отношение внешнего радиуса к внутреннему До/-Я< — 3,903, средняя продольная скорость па входе ил-о — 2,96т/сек,

Для осесимметричных течений параметры не зависят от азимутальной координаты (д/д<р = 0). В цилиндрической системе координат (х,г, ¡р) уравнения осредненного движения имеют вид:

„ дК „дУх 1 Эр д 2 1 д , . т/

+ = —- я" < К > ——г < > +1/Д14;

ах от р ах ах г от

dVT „ dVr 1 2 ч 1 dp д 1 д .

V^T- + К— - < < >) = - - < W > --g-Г < j > +

' дх

+v

„dVv ,,dVv VvVr < vrvv > д Id , . Vv\

г

где

д _ J!L I£r JL

9г2 г Зг Зг'

Составляющие завихренности потока П = rotV :

* Зг г ' г дх ' 9 дх дг

Дальнейшие упрощепия связаны с приближением тонкого ("пограничного") слоя, в котором продольные изменения величин предполагаются малыми по сравнению с поперечными (д/дг д/дх), а радиальная скорость много меньше продольной (V^. <С Vx).

Вторые моменты < >,< v?,< v* >,< vxvr >, < vxvv >,< vrvv > определяются по моделям RSTM или ASTM с учетом вращения потока. Кинетическая энергия К и скорость диссипации е определяются из соответствующих уравнений в моделях RSTM, ASTM или "if — е" с учетом влиянием вращения потока на величины диффузионных потоков.

В отличие от модели RSTM — 95, (Шариф, Вот, 1995г.) , в расчет принимается прямое влияние завихренности потока в перпендикулярном сечении для моментов

третьего порядка, которые описывают перенос вследствие турбулентной диффузии. Использование здесь модели пеобходимо для того, чтобы найти в потоке области с нелокальными зависимостями "хонтрградиентного типа".

Транспортные уравнения для вторых моментов в цилиндрической системе координат имеют вид:

<1< и! > „ 2 _ . , --- = Р., - -е + Фм - V • + 1/Д < >,

d<v2> _ 2Ж „ - /. , 2 2 2

л < К > „ 2 /Л , 2 2 2 , \ -¿Ь- = Р„ - + ~ V • + * (Д < < > < VI > -- < VI >) .

Уравнения для кинетической энергии пульсаций и скорости диссипации:

у эк | у эк _ р е ддт 1 э г (к) [ ^

1 Зл ' 9г £ гдг^' \ дх2 г дт" дт /

У — + -Е - г М | р (д2е , 1 дгде)

хдх т дт ' ' дх гдт Чт \дх2 г дт дт)

В приведенных уравнениях отдельные члены выражают:

• порождения турбулентности в уравнениях по осям:

ЯУ дУ

^^ 2

Р„ = -2 < > -г-11 - 2 < > - -(21^, < г»гг>р > + < >), с/г ах г

2 3 „ 2 . , .

Рф, = -- < > —- 2 < гуи, ~(Ут <»£> + < >);

• порождение турбулентности в уравнениях для кинетической энергии и скорости диссипации:

2 <ЭК (8УТ , ЗКЛ УЛ

дк, 2 дУх К 2

• обменные члены имеют вид:

= (1 + < vi >) + Ф„,2 + Фм,2 + фгх,ш,

Ф„ = (1 + äi)jf{w2- < VI >) + Ф„,2 + Ф„,2 + Ф,,.«,,

= (1 + öi)-^(w1- < vi >) + ф№2 + Ф„„,2 +

• члены с потоками турбулентности имеют вид:

„ - 9 < vi > 1 9 2 _ „ 9 < vtv2r >,19 3

v'9 —аГ~ +7 _ _ а < vxv2v >19 2

v ■ q* = -^— + - Д-Г < vTv% >,

ax г от r

„ ~ 9 < vxK' >19

V. qK =-Jü-+ r < Vtk' >,

ох г от

„ - 9 < vxe' >19

V • q' =-—— + -^r < > .

ax г от

В выражениях для диффузионных потоков использованы соотношения обобщенной кармановской модели спектра для однородного изотропного ноля турбулентности Дрисколл, Кеннеди. При проведении расчетов использованы дополнительные упрощения: принята симметрия дисперсий вторых моментов по осям; расчеты проводились только для турбулентной части потока, поэтому использовано граничное условие в виде "закона стенки".

Значения вторых моментов около оси в расчетах могут быть завышенными. Причина этого увеличения содержится в неправильных аппроксимациях для третьих моментов, которые описывают диффузию процессов и определяют моменты второго порядка около оси, где нет генерации и турбулентность не находится в локальном равновесии. В использованной RSTM модели нет прямого влияния завихренности на моменты потока. Вне оси это влияние учитывается через тензор напряжений, по этой причине радиальные диффузионные потоки являются завышенными и вторые моменты около оси также являются завышенными.

Скорость диссипации энергии пульсационного движения определяется уравнением:

Уравнения для третьих моментов в приближении пограничпого слоя и в приближении локального баланса с использованием приближения Миллионщикова имеют вид:

дМ„ ЗЛе , м, Мгг„ 1 + 01., „ 3 мгг—--1--+ 6И,---М,„ = О,

от г т т

, № + '\ дт г /

ог дт г

"Г "Г — 1*2Г(»(л — и.

г г г

-2АГ*,,— + Мхх—£— + 2Мхг—=— +-+ 2—^+

ог от от г т

г т т

АБТМ -модель получается на основе упрощения уравнений переноса для рейнольд-совых напряжений М;3-, которая иногда может быть разрешена в удобном виде, выражающем моменты М;,- через функции, характеризующие неоднородность поля скоростей.

Транспортные уравнения для Киев модели АБТМ совпадают с транспортными уравнениями в модели Д5ТМ.

Система уравнений в приближении топкого слоя решелась численно. В алгоритме численного моделирования был использован метод прогонки для каждого из дифференциального уравнения системы уравнений.

Результаты численного моделирования показалп следующее. Модель К — е без учета влияния вращения на уменьшение коэффициентов турбулентной диффузии дает результаты, сильно отличающиеся от экспериментальных.

Расчеты по модели АЭТМ, записанной с сохранением всех составляющих кориоли-сова и центробежного ускорений и использованной без введения дополнительной подгоночной константы дают вполне удовлетворительное согласие с экспериментальными данными Ву и Голдина по развитию аксиальной и тангенциальной составляющих скорости, энергии, пульсациопного движения, характеру поведения скорости диссипации. Результаты приведены на рисунках. Зависимость для величины скорости диссипации в начальном сечении взята, рассчитанной по зависимостям теории пути перемешивания Прандтля. По величине эти значения сильно отличаются от приведенных зпачений в работе Ву и Голдина. Сами авторы отмечают приблизительный характер измеренных значений скорости диссипации. Это может быть связано с введепием сильно завышенной поправки на отношение длины нити датчика к величине микромасштаба (на порядок) и использованием соотношений для изотропной однородной турбулентности для связи разных компонент тензора скоростей диссипации (множитель 15). При расчетах в указанной работе этого течения величина скорости диссипации во входном сечепии задавалась параметрически в достаточно широких пределах изменения значений, но приемлемого поведения величин скорости диссипации в потоке получено пе было.

При задании однородных данных на входе по продольной координате проведенные расчеты не дают согласия по поведению продольной скорости на оси потока (в опытах - уменьшение скорости). В обзоре предыдущих работ Слоан, Смит, Смут, где проводились расчеты для рассматриваемой задачи отмечается возможное влияние на поток начальных данных на входе и предистории потока. Введение "продольного градиента давления" в начальном сечении действительно приводит к согласию по поведению скорости на оси потока с опытными данными. Остается все же количественное различие между расчетными и опытными данными: в экспериментах сильнее проявляется диффузионное размывание струй.

При использовании приближения "локального баланса" пренебрегается многими процессами диффузии, поэтому оправданным является введение подгоночной эмпирической постоянной. Такой прием (уменьшение влияния параметра закрутки) дает несколько лучшее согласование между расчетами и опытными данными.

В приближении топкого слоя не удается при вращении струй в противоположные стороны провести расчет зоны отрыва на оси потока. Но тенденция поведения скорости потока на оси такова, что величина скорости обращается в нуль. После этого расчетная схема становится неустойчивой.

На рисунках 1-2 приведено сравнение с экспериментами для продольной скорости в различных сечениях. На рисунках 3-4 - для тангенциальной скорости, на рисунках 5-6 - для кинетической энергии турбулентности. На рисунках 7-17 показаны для одного из вариантов расчетов течение в цилиндрическом канале с противоположной закруткой внутреннего и внешнего частей потока развитие картины изменения полей напряжений трения, характерного времени турбулентных пульсаций, продольной и азимутальной скоростей, кинетической энергии, скорости диссипации, турбулептной вязкости и других параметров потока.

В пятой главе рассматривается движение турбулентного потока в осесимметричпом расширяющемся коническом диффузоре с углом раскрытия а < 10°. На вход в диффузор подается вращающийся поток, который характеризуется параметром вращения Sw = W^ax/Ua, где U0 - средняя аксиальная скорость на входе, W^ax - максимальная окружная скорость (W = Vv). Для рассматриваемых экспериментов Sw = 0.3 — 0.8. Поток является стационарным и осесимметричным.

Условия численной модели соответствовали эксперименту Джонсона и Беннета. Использовались модели RSTM и К — е. Проведено сравнение экспериментальных результатов и расчетов по моделям.

В шестой главе формулируются уравнения и численно моделируется турбулентное течение в искривленном канале. Турбулентное течение в искривленном плоском канале относится к классу течений с поворотом вектора средней скорости, оно является одним из важных тестовых случаев для апробации методов расчета турбулентных течений (в терминологии классификации тестов турбулентных течений это тестовый случай 5).

В потоке можно выделить три зоны - А, В и С, соответствующих плоским частям А и С и зоне В поворота потока па произвольный (в расчетах 90 градусов) угол, где существенна кривизна линий тока. В зонах А и С - кривизна линий тока не имеет

значения, здесь мы имеем плоскии поток с входным и выходным сечениями каналами. В экспериментах отношение Ro/H = 3. Число Рейнольдса для потока определяется соотношением Re0 = UoH/u. Входящий поток имеет развитую турбулентность соответствующую числу Рейнольдса Лео = 104.

Поток является плоским, т.е. d/dz s 0;V¡ s 0., пульсации по оси z также не учитываются, хотя их учет не представляет принципиальных трудностей.

В плоском потоке единственной отличпой от нуля компонентой завихренности является компонента по оси z: ílz = (rotV)t = dVy/dx.

Уравнения непрерывности и движения осреднепного потока имеют вид, одинаковый для всех моделей:

дх ду '

„дУ. lrdVx 1др д 2 д , дт,

1ravv Jrdvv iдР д д j , л„

+ = -рТу-д~х< v*v» > ~!Гу < < >

где оператор Лапласа

^ дх2 ^ ду2

В эти уравнения входят вторые моменты < и2 >, < г;2 >, < ухуу >, для которых использовались модели НЬ'ТМ, АБТМ или К — е.

Транспортные уравнения переноса для моментов второго порядка, представляющих компоненты кинетической энергии пульсаций Мхх =< г>2 >, =< г>2 > имеют вид:

т, дМхх дМхх дМххх дМхху К—— + = P*z ~ £хх + Ф*х------- + 2к1Мху9.1 + UAMX;

т, дМуу , дМуу дМхуу дМууу . ,,

Уравнение для кинетической энергии турбулентности К = (Мхх-\-Муу)/2 имеет вид:

„ дК дК „ д< ухК' > д< ууК' > —%---

Уравнение для недиагонального тензора напряжений Рейнольдса имеет вид:

„9М*У , гг9М*У о дМхху дМ^ ,

+ "~dy =Р*у~£*у--fa---ду 2kl(M™ ~ М**>П* + "АМ'У

Уравнение для скорости диссипации имеет стандартный или модифицированный вид:

тг де , тг де е . _ „ _ . 8 < ьхе' > д < ьуе' > ^ + ^ = 1? ~ Сие)------£-+ »Ае

Уравнения для моментов третьего порядка имеют вид:

Рххх — £*ХХ - ЗкгМххуМ = о,

Рхху - еХХу - {2к1Мхуу - МХХХ)П = О,

Рхуу - еХуу - к^Мууу - 2Мхху)П = О,

Рууу ^УУУ З^хЛГд.гуО — О,

В зоне В поворота вектора средней скорости задача рассматривается в полярных координатах. Уравнения неразрывности и осредненного движения имеют вид:

+ = 0. Г ОТ Г Оф

V + + _ Нл». = _ д^тМ") _ дМ'<о |

т дг г тдц> т г р дг тдт тдц>

дУф

, ду„ , к, , _ 1 2мг„ ам^ эм„.

9г г гЗу? г ргд<р г дг гд<р

I . 2дУт УЛ

Пульсации по поперечной к (г,<р) плоскости не учитываются. Единственной компонентой завихренности потока отличной от нуля является г - компонента вектора завихренности, перпендикулярная плоскости (г, <р) :

Уравнения для компонентов напряжения Рейнольдса имеют вид:

дМ У дМ

+ ——к-— = ~ £*.»> + - V • д„„ - 2ЬгЛ/Г¥>П + 1/ДМ„

¿7Г Г Оф

,дМ„ Уу дМ, дг т д<р

. дМгч> | У„дМ,

дг г д<р

Уг—^г + -г-^г- = р" - + + ' & ~ 2к1Мг<еП + I,АМ„

Уравнение для кинетической энергии:

,гдК Vi.dK „ _ .„

К— + = Р - е - V • +

(7Г Г 0<р

Уравнепие для скорости диссипации:

+ (С^- С*.)-V-+

Алгебраическая система уравнений для моментов третьего порядка:

, „, дМ^ М^дМ^

+ ¿МТш—5--1- Л--г--\-

дг г Оф

М^МГЧ> 3(а0 + а\) +6———- = —=--М^у ~ 3«1М,^П;

от г )

Ъ* I . I . ** - , М^дМгг дМгч> Мгч>дМгч>

мт„ + — + Мгр—Мгг + —— + 2М„—г— + 2-----

ог г д<р от г о<р

3(а0 + а!)

Г 7*

МРГ„ + - Ь)М„ГП;

(«Ь + £) + + ^^ +

ОТ г от г о<р ОТ

+ 2М {Мтт _ М ) + - = Г ¿7^ Г Г

= + + - 2к1М„ч>П;

сШгг Мтч>дМгт СМГЧ>Ч> „V, 3(оо + в!)

Штт—т— + 3—- —--6—— - 6—МТГ9 = —--М„г + 3

аг г о<р г г т

Выполнено численное моделирование в приближении тонкого слоя. Результаты расчетов находятся в удовлетворительном согласии с численными расчетами других авторов и экспериментальными результатами.

Выводы

1. За основу развиваемой полуэмпирической теории турбулентности принята модель, основанная на гипотезе локального равновесия, в соответствии с которой существует иерархия времен: установление равновесия для момептов высокого порядка происходит быстрее, чем для более низких порядков. Из этой гипотезы следует общий принцип создания моделей турбулентности, который состоит в следующем:

• Для моментов 4 порядка используется приближение Милпиошцикова.

• В уравнениях для моментов 3 порядка испольоуется алгебраическое приближение локального баланса с равновесием между процессами генерации, диссипации, обмепа и действием внешних сил.

• В уравнениях для моментов второго порядка используются три приближения:

(a) RSTM - дифференциальная модель, в которой учтена полная система транспортных уравнений для моментов второго порядка;

(b) ASTM - алгебраическая модель локального баланса, в которой предполагается локальное равновесие процессов диссипации, генерации, обмена и действия внешних сил на уровне моментов второго порядка;

(c) К — е - дифференциальная модель, в которой система уравнений ограничивается уравнениями для К и е и скалярным выражением для коэффициентов турбулентной вязкости.

• Уравнения осредненного движения являются уравнениями моментов первого порядка и представляют собой дифференциальные уравнения Навье-Стокса с напряжениями Рейнольдса, которые решаются численно.

2. Проведен анализ моделей турбулентных течений, в которых одним из параметров является масштаб турбулентности. Результаты представлены в виде трех моделей: RSTM — I, ASTM — 1,К — 1, где К - кинетическая энергия, I - масштаб турбулентности. Модель RSTM имеет нелокальный характер, т.е она может описывать контрградиентный перенос. Проведен анализ е - моделей турбулентности, где е - скорость диссипации турбулентности. Известно, что из всех уравнений в разных моделях наименее обосновано уравнение для е. На основе общего метода получения уравнений в полуэмпирической теории турбулентности с использованием аппроксимации отдельных членов, получено модифицированное уравнение для скорости диссипации.

3. Для применения общей теории к задачам турбулентного движения с вращением разработан метод преобразования декартовых к произвольным системам координат. Метод основан на прямом "физическом" вычислении символов Кристоффеля и позволяет преобразовать отдельные члены записанные в тензорном виде в произвольной системе координат к конкретным системам координат. Метод приме-пен к полярным, цилиндрическим и косоугольным системам координат, получены уравнения турбулентного движения в различных моделях и системах координат.

4. Развитые модели могут быть встроены в произвольный трехмерный гидродинамический код для моделирования турбулентного движения. Для расчетов движения газа в каналах с большими скоростями использовано приближение тонкого слоя в котором получена параболическая система уравнений, для которой использован численный алгоритм решения, основанный на совместном решении системы

уравпенпй методом прогонки в моделях RSTM, ASTM и К — е. Рассмотрена задача о движении закрученного потока в цилиндрической трубе, на вход которой подается поток сложной закрутки - внутренняя часть вращается с одной угловой скоростью, внешняя - с другой, в одном или противоположном направлениях. Получена система уравнений и реализована численная схема моделей К — е, ASTM, RSTM. Полученные результаты сопоставляются с экспериментальными данными By и Голдина. Модель ASTM с учетом влияния завихренности потока на величины коэффициентов переноса даже без введения дополнительных констант удовлетворительно описывают картину развития полей скорости, энергии, пуль-сационного движения и скорости диссипации. Введение дополнительной постояп-нной улучшает согласие с опытпыми данными.

5. Теория и метод применен для расчета течения в коническом диффузоре. Получена система уравнений и проведены вычисления для условий близких к экспериментальным. Получено удовлетворительное согласие с экспериментальными данными.

6. Полуэмпирическая теория и метод численного расчета в приближении пограничного слоя примепен к решению задачи о турбулентном течении с поворотом вектора средней скорости. Проведено сравнение различных моделей для описания потока.

Ч,/и„

Я/Яо

0,0 0.1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

1,0

Рис.1: Аксиальная скорость (при х= 1,57)

О - расчет

® - эксперимент [\/и В.Т., воиМп Р.С.]

ЧД),

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.0

Рис.2: Аксиальная скорость (при х=3,57)

О - расчет

® - эксперимент (\/и В.Т., СоЫсПп ЯС.]

Рис.3: Тангенциальная скорость Д - расчет

(прих=1,57) ® - эксперимент [\/и В.Т., Сои!сПп Я.С.]

Рис.4: Тангенциальная скорость Д - расчет

(при х=3,57) ® - эксперимент [Уи В.Т., Сои1сПп Р.С.]

к/и„

И/Ко

0,1

0.2

0.3

0,4

0,5

0.6

0.7

0,8

0.9

1.0

Рис.5: Кинетическая энергия (прих=1,57)

к/и*

□ - расчет

® - эксперимент [Уи В.Т., воиШю Р.С.]

0,06

0,04

0,03

0,02

0,01

0,00

ИЖо

0.0

0,1

0,2

0,3

0,4

0.5

0,6

0.7

0,8

0,9

1,0

Рис.6: Кинетическая энергия (при х=3,57)

□ - расчет 2|3> - эксперимент [\/и В.Т., СоиМп Р.С.]

0.0

Параметры модели (20=0.4, (210= 1.0, (511=0.8 СЖХ=0.4, 0(^1=0.4, (1=0.00078 001=002=003=004=1.0 х_1 = 0.39, 0.78, 1.17,1.58, 1.95 х тах = 2.1

Напряжение трения <у_г у_рМ>

Характерное время К/ерэ

Продольная скорость

ю о>

Кинетическая энергия

Азимутальная скорость

Поток кинет.энергии

радиус

Литература

[1] Son Е.Е., Son K.E. "Semiempirical theory of turbulence in stratified fluids"// VIII International session: boundary effects in stratified and/or rotating fluids; St.Petersburg, June 1995, p.146-148 (in English).

[2] Son E.E., Son K.E. "Semiempirical theory of turbulence for conductive fluid in a magnetic field"// The 14th International Riga Conference on Magnetohydrodynamics; Riga, August 1995, C.229A (in English).

[3] Son E.E., Son K.E. "Semiempirical models of turbulencc in a stratified fluid"// International conf.: Dynamics of ocean and atmosphere, Moscow, November 1995, P.135 (in English).

[4] Son K.E. "Semiempirical theory and Computer simulation of Turbulence Flow in Stratified Fluid"// International workshop on Advanced Electronics Technology '95, Moscow, November 1995 , p.95-98 (in English).

[5] Онуфриев А. Т., Сои К.Э. "Модель турбулентного переноса для течения в расширяющемся диффузоре с учетом вращения"// XXXIX Юбилейная научная конференция Московского физико-технического института, г.Долгопрудный, ноябрь 1996г., с. 25.

[6] Онуфриев А.Т., Сон К.Э. "Полуэмпирическая теория и численное моделирование турбулентного течения в канале"// XL Юбилейная научная конференция Московского физико-технического института, г.Долгопрудный, ноябрь 1997г., с.20.

[7] Сон К.Э. "Полуэмпирические модели и численное моделирование турбулентных течений с вращением в каналах"// XLI Научная конференция Московского физико-технического института, г.Долгопрудный, ноябрь 1998г., с.15.

[8] Онуфриев А. Т., Сон К.Э. "Полуэмпирическая теория турбулентности для течений с вращением в каналах"// Препринт МФТИ, г.Долгопрудный, 64 с, 1998г.

[9] Онуфриев А.Т., Сон К.Э. "Численное моделирование течений с вращением в каналах"// Препринт МФТИ, г.Долгопрудный, 48 с, 1998г.