Поляризационные поправки старших порядков в мюонном водороде и легких мюонных атомах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

На правах рукописи

н

КОРЗИНИН Евгений Юрьевич

ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ СТАРШИХ ПОРЯДКОВ В МЮОННОМ ВОДОРОДЕ И ЛЕГКИХ МЮОННЫХ АТОМАХ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

0034ЬЬио^

Дубна 2009

С

003468032

Работа выполнена во ФГУП "Всероссийский научно-исследовательский институт метрологии имени Д. И. Менделеева"

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник С. Г. Каршенбойм (ВНИИМ им. Д. И. Менделеева)

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

доктор физико-математических наук, профессор Р. Н. Фаустов (ВЦ имени А. А. Дородницына РАН), доктор физико-математических наук, профессор Э. А. Кураев (ЛТФ ОИЯИ)

Санкт- Петербургский государственный университет

Защита диссертации состоится мая 2009 г. в (Ь на заседа-

нии Диссертационного совета Д720.001.01 при Объединенном институте ядерных исследований, 141980, г. Дубна, Московской области, ЛТФ ОИЯИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований.

Автореферат разослан апреля 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета .

кандидат физико-математических наук ^ А. В. Арбузов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В диссертации рассматриваются некоторые экзотические двухчастичные атомы. Подобные атомы являются объектом активных теоретических и экспериментальных исследований. Разнообразные прецизионные данные можно получить из спектроскопических измерений, тогда как простота атомов позволяет проводить высокоточные вычисления. В результате появляется возможность проверить фундаментальные теории, ядерные модели, а также измерить различные фундаментальные параметры. В частности, мюонные, пионные и антипротонные атомы представляют существенный физический интерес в связи с экспериментальным определением различных физических параметров мюонов, (анти)протонов, пионов и атомных ядер. К таким параметрам относятся масса (анти)протона, мюона, пиона, магнитный момент мюона, зарядовые радиусы ядер и параметры сильных взаимодействий (нион-пионных и пион-нуклонных).

Мюонные атомы представляют собой атомные системы, содержащие мюон, масса которого приблизительно в 207 раз больше массы электрона. Это приводит к тому, что мюон находится гораздо ближе к ядру, чем электрон. В результате, даже при наличии в атоме электронов, в ведущем приближении их можно не учитывать и связанный мюон описывается в водородоподобном приближении. Исследования мюонных атомов представляют интерес для целого ряда дисциплин - от физической химии, атомной физики и физики твердого тела до физики ядра и элементарных частиц. Экзотические атомы во многом подобны мюонным атомам, но взаимодействие атомной частицы с ядром имеет более сложных характер.

Имеется целый ряд экспериментальных результатов по мюонным и экзотическим атомам. Ведутся и планируются новые эксперименты в этой области (в частности, исследования мюонного водорода). В настоящее время проводятся измерения лэмбовского сдвига, в которых также планируется измерить сверхтонкое расщепление (СТР) 2з уровня мюонного водорода. На стадии разработки находится эксперимент по измерению

СТР основного состояния.

Для того чтобы найти упомянутые выше параметры из эксперимента, необходимо уметь с высокой точностью вычислять квантовоэлектро-динамические (КЭД) поправки, теории которых и посвящена представленная диссертация.

В диссертации на примере однопетлевой поляризации вакуума развиты эффективные методы вычисления поляризационных эффектов, основанные на аналитических вычислениях в терминах обобщенных гипергеометрических функций, асимптотических разложениях и приближенных вычислениях. С их использованием найдена поправка к СТР на поляризацию вакуума второго порядка и рассмотрены применения развитых методов к другим задачам, например, к вычислению значения волновой функции в нуле. Цель работы

• Развитие аналитических методов расчета поляризационных поправок, основанных на анализе асимптотического поведения поправок и на приближенных вычислениях. Эффективность методов проверяется на примере однопетлевой поляризации вакуума в нерелятивистском и релятивистском приближениях. Эти методы применимы к различным задачам теории экзотических атомов. В связи с этим, в диссертации решаются следующие задачи: выводятся новые точные представления для поляризационных поправок в терминах стандартных интегралов; находятся асимптотические выражения для поправок и простые аналитические приближенные формулы.

• Вычисление неизвестной поправки к СТР низших уровней мюон-ного водорода, обусловленной эффектами электронной поляризации вакуума второго порядка. Это позволяет уточнить значение специальной разности СТР и 2s уровней в мюонном водороде, для которого обсуждаемая поправка дает наибольшую погрешность теоретического значения.

Наутшая новизна работы

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Развиты эффективные методы аналитического вычисления поляризационных поправок к уровням энергии водородоподобных атомов для нерелятивистских и релятивистских задач. Найдены полезные представления для нерелятивистских поправок на поляризацию вакуума первого порядка. Получены выражения для релятивистских атомных частиц со спином ноль и 1/2. Результаты применимы, в частности, для учета электронной поляризации вакуума в мюонных, пионных, антипротонных и других экзотических атомах.

2. Найдены различные асимптотические разложения для нерелятивистской поправки Юлинга. Результаты применимы для любых состояний экзотических атомов, допускающих использование нерелятивистского приближения. Также получена ведущая поправка к тонкой структуре. Также получены приближенные формулы в терминах хорошо известных гипергеометрических функций 2^1 для произвольного состояния атома. Приближенные результаты одинаково применимы в нерелятивистском и релятивистском случае.

3. Найдена поправка на электронную поляризацию вакуума второго порядка для СТР состояний и 2й в мюонном водороде.

Научная и практическая ценность работы

Развиты эффективные методы вычисления поляризационных поправок, которые могут применяться к ряду задач в мюонных и экзотических атомах. В частности, для вычисления вкладов первого и высших порядков поляризации вакуума в лэмбовский сдвиг и СТР, в величину волновой функции в нуле, в магнитный момент связанного мюона и т.д.

Наиболее полезными могут оказаться результаты, полученные для мюонного водорода, в связи с проводимым экспериментом по измерению лэмбовского сдвига, в котором предполагается измерить и СТР уровня 2б, а также планирующимся экспериментом по измерению СТР основного состояния.

Апробация работы

Работа докладывалась на семинарах Лаборатории теоретической физики ОИЯИ, Кафедры квантовой механики физического факультета СПбГУ и Лаборатории прецизионной физики простых атомов ВНИИМ им. Д. И. Менделеева. Основные результаты были представлены на международных и всероссийских конференциях, таких как PSAS'2006, PSAS'2008: The international conference on precision physics of simple atomic systems; ICAP'2006: 20th international conference on atomic physics; EXA'2008 & LEAP'2008: International conference on exotic atoms and related topics & International conference on low energy antiproton physics; Всероссийское совещание по квантовой метрологии и фундаментальным физическим константам (Санкт-Петербург 2008). Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в соавторстве в пяти статьях, приведенных в конце автореферата. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и четырех приложений и содержит 132 страницы, 25 рисунков и 8 таблиц. Список литературы включает 76 наименований. Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность исследуемой проблемы, сформулированы основные задачи диссертации, дается краткое содержание отдельных глав.

Большая масса мюона или связанной частицы в экзотическом атоме приводит к малым характерным размерам соответствующих атомов, при этом малость Za <С 1 позволяет описывать их нерелятивистски. Характерная область взаимодействий, отвечающим эффектам поляризации вакуума, пропорциональна комптоновской длине волны частицы в петле и для электронной поляризации вакуума совпадает с характерными размерами мюонных и экзотических атомов. Это позволяет эффективно использовать в соответствующих вычислениях нерелятивистское приближение. В общем случае поправка на поляризацию вакуума зависит от

параметра

равного отношению характерного импульса атомной частицы Zam/n к массе частицы в поляризационной петле те. Здесь т - масса атомной частицы, п - главное квантовое число рассматриваемого уровня энергии. Если этот параметр порядка или больше единицы (легкие мюонные, пи-онные, антипротонные атомы), то применимо нерелятивистское приближение. Если кп <С 1, как для легких электронных атомов («„ = 2а/п), то поляризационные эффекты связаны с короткодействующим потенциалом и должны описываться релятивистски.

Значительная часть диссертации посвящена простейшей поляризационной поправке, вкладу потенциала Юлинга. В принципе, подобная поправка может быть вычислена различными способами, например, численно, и сама по себе не представляет реальной проблемы. Основной целью диссертации является разработка методов (при рассмотрении поправки Юлинга), которые могут быть применимы к более сложным поляризационным эффектам, учитывающим отдачу, эффекты старших порядков и ДР-

Далее в вычислительной части диссертации развитые методы применяются для нахождения поправки на двухлетлевую поляризацию вакуума в мюонном водороде.

В первой главе исследуются поправки к кулоновскому взаимодействию на эффекты однопетлевой поляризации вакуума в водородоподоб-ном атоме, так называемый потенциал Юлинга.

Однопетлевая поляризационная поправка к кулоновским уровням энергии в этой главе рассматривается как в нерелятивистском, так и релятивистском приближениях (без разложения по Za). Релятивистские результаты получены для частиц со спином 1/2, описываемых уравнением Дирака, и частиц с нулевым спином, описываемых уравнением Клейна-Гордона-Фока. Для дираковских частиц также получено представление для ведущей релятивистской поправки к разности уровней

энергии с одинаковыми значениями главного квантового числа п и орбитального квантового числа I, но разными значениями полного углового момента то есть к тонкой структуре атомных уровней.

Поправка к энергии атомных уровней на однопетлевую поляризацию вакуума в мюонных атомах была вычислена в нерелятивистском приближении для некоторых низших уровней достаточно давно. Однако, полученные аналитические результаты имели целый ряд недостатков. Их было невозможно обобщить на релятивистский случай, а обобщение выражений для высоковозбужденных состояний приводило к исключительно громоздким выражениям, возможность аналитической работы с которыми была крайне ограничена. Так, даже простейшие асимптотики для возбужденных уровней не были известны.

В диссертации обсуждаются несколько различных представлений нерелятивистской поправки для произвольных уровней энергии. Ранее было получено лишь представление нерелятивистской поправки Юлинга в терминах частных производных, что удобно не для всех приложений. В первой главе диссертации получены новые представления для этой поправки в терминах конечной суммы стандартных интегралов

В частности, одно из полученных представлений содержит сумму слагаемых одного знака. Хотя сумма конечная, но для высоковозбужденных состояний она содержит большое число слагаемых и знакоопределенность ряда упрощает контроль за точностью приближенных вычислений.

Отметим, что для А'ьс(кп) известно точное аналитическое выражение, которое содержит обобщенные гипергеометрические функции

(2)

Кьс{к) = К1Ьс{к) - -К2ьс{к) ,

1

л /с с 1 ХзР<2'2 + 2

с 1 _ Ь с 1 2 + 2' 2 + 2;2

а

3 Ь с + 2"2 + 2; *)

с / 13 6 с\ — кс+хВ а+ ---+ -]

2 V 2'2 2 2/

л/счс 13 Ь с 3 „6

ХзР4 + 1'2 + 2'2-2 + 2; 2'а + 2-2 + 2;К)'

Использование такого представления делает крайне затруднительной дальнейшую аналитическую работу с выражениями для однопетлевых поправок из-за их громоздкости. Далее в диссертации рассматриваются различные методы получения асимптотик и простых приближенных выражений для поправки Юлинга.

Точное релятивистское выражение для поправки Юлинга в случае ди-раковской частицы для произвольного атомного состояния найдено в диссертации впервые. Полученный релятивистский результат используется для вычисления поправки к тонкой структуре атомных уровней.

Также в первой главе исследуется релятивистская поправка Юлинга для водородоподобного атома, в котором атомная частица обладает нулевым спином как, например, пион. Такая частица во внешнем поле релятивистски описывается уравнением Клейна-Гордона-Фока, теория возмущений для которого была развита лишь недавно. В диссертации впервые была вычислена релятивистская поправка Юлинга для атома с нулевым спином атомной частицы, находящейся в циркулярном состоянии (п = 1 — 1). Полученное представление во многом аналогично дираковско-му случаю. Проведено сравнение поведения вычисленных поправок для частиц с нулевым и полуцелым спинами.

В первой главе были получены точные выражения для нерелятивистской и релятивистской поправок Юлинга, в терминах Кьс(кп). Причем нерелятивистскому случаю отвечают целочисленные значения Ь и с, а в релятивистском случае целым является только Ь. В случае произвольного состояния полученные представления содержат сумму обобщенных гипергеометрических функций з/*2 с различными аргументами. Такой способ представления поправок затрудняет дальнейшую аналитическую работу, и в частности не позволяет просто оценить изменение величины вклада однопетлевой поляризации вакуума при изменении состояния атома или характерных атомных параметров, например, кп.

Во второй главе получен ряд простых асимптотик для стандартных интегралов Кьс(кп), через которые выражается нерелятивистская поправка Юлинга. Обсуждается асимптотическое поведение нерелятивистской поправки при различных соотношениях параметров задачи. Для высоковозбужденных состояний также применяется квазиклассическое приближение, что позволяет провести расчеты, эффективно учитывающие поправки старших порядков по потенциалу Юлинга

Для сходимости гипергеометрического ряда для обобщенной гипергеометрической функции з_р2 достаточно, чтобы ее аргумент был меньше единицы. Однако, для высоковозбужденных состояний ряд быстро сходится только начиная с некоторого большого номера слагаемого, а первые члены ряда одного порядка. Одна из задач этой главы - получение новых выражений для стандартных интегралов, таких чтобы была возможность аппроксимации поправок на поляризацию вакуума несколькими членами ряда.

Вторая часть второй главы посвящена методу перестройки общих выражений для поправок Юлинга, позволяющему вместо представления поправок в виде конечной суммы гипергеометрических функций 3^2 записать их в виде бесконечной суммы более простых функций 2^1- Что более важно, этот метод позволяет аппроксимировать исходные выражения для поправок Юлинга конечной суммой небольшого числа слагаемых с 2^1. Развитый метод эффективен как для нерелятивистских, так и для релятивистских задач.

Гипергеометрическая функция 2^1 хорошо изучена и для нее известен ряд удобных аналитических представлений и преобразований. Новое представление для однопетлевых поляризационных поправок имеет ряд преимуществ. Оно позволяет проще отслеживать изменения величины поправки при изменении состояния атома или характерных атомных параметров, а также позволяет контролировать сходимость бесконечного ряда и контролировать погрешность упомянутых приближений.

В конце главы обсуждается применение развитого метода приближенных вычислений к различным задачам в мюонных и экзотических ато-

мах, в частности, к вычислению поправки к значению волновой функции атомной частицы в нуле, которое играет важную роль при вычислениях поправок на структуру ядра, а также аннигиляционных эффектов в пионии. Обсуждаются приложения метода к вычислению магнитного момента связанного мюона.

В первой и второй главе диссертации на примере однопетлевых поправок были развиты эффективные методы вычисления вкладов поляризационных эффектов. В третьей главе они применяются при вычислении поправки на поляризацию вакуума второго порядка для СТР в мюонном '"'водороде.

В третьей главе рассматривается СТР 1,? и 2.? уровней энергии в мюонном водороде. Теоретические вычисления этих величин представляют интерес в связи с тем, нто сейчас предпринимаются усилия по их экспериментальному измерению. Сверхтонкое расщепление состояния '¿в будет исследовано в рамках идущего эксперимента по измерению лэмбовского сдвига. Также планируется эксперимент по измерению СТР основного состояния мюонного водорода.

Особенностью мюонного водорода является более высокая чувствительность СТР к структуре ядра, что ограничивает возможность его вычисления из первых принципов. Возможный подход к решению проблемы поправок на структуру ядра был предложен в случае обычных легких водородоподобных атомов. Он заключается в рассмотрении специальной разности

АЕг1 - 8 х Еьь(2з) - /ЫЬ) . (3)

Ее особенностью является то, что 'жесткие' вклады в энергию ш состояний, обычно пропорциональные значению квадрата волновой функции в нуле

|*„,(г = 0)Р=<М^м, (4)

сокращаются. В результате специальная разность менее чувствительна к эффектам структуры ядра.

Другой особенностью мюонных атомов является доминирование эф-

фектов электронной поляризации вакуума по сравнению с другими КЭД эффектами. Поправка к СТР на однопетлевую электронную поляризацию вакуума для 1з и 2в состояний известна. В третьей главе диссертации вычисляется поправка на двухпетлевую поляризацию вакуума. Это самая большая ранее неизвестная поправка. Она вносит вклад в СТР 1я уровня поправку порядка 67 ррш. Остальные КЭД поправки или меньше, или могут быть получены обобщением результатов для обычного атома водорода.

Вклады различных диаграмм электронной поляризации вакуума второго порядка приведены в Таблице 1.

В результате получено выражение для специальной разности в виде:

Здесь первое слагаемое отвечает КЭД эффектам, в том числе оно содержит и найденный в диссертации вклад, равный —1.8606 х 10~6 эВ. Остальные слагаемые учитывают структуру ядра. Для удобства нормировки в числителе приведены актуальные величины, характеризующие структуру ядра (ДЛ^ис1(1й) - поправка к величине СТР, Яе - зарядовый радиус протона, Ям - магнитный радиус протона), а в знаменателе

их оценки (Д£^ис1'°(Ь) = -1450.72 х 10"6 эВ, До = 0.9 фм). Обсужде-

ние точности этого выражения и обсуждение различных возможностей работы с ожидаемыми экспериментальными данными составляют заключительную часть третьей главы.

В заключении суммируются результаты, выдвигаемые на защиту.

х Ю-6 эВ .

Вклад

1а

1Ь

2а

2Ь

2с

За

ЗЬ

2 9

20

X

¡0

2?

юо

х х

О О

Всего

са(Ь)

1.28028

1.68287

1.85512

3.79665

2.32694

0.92294

0.68104

12.54584

с2(25)

1.30453

1.73944

1.73785

2.83394

2.05872

0.56352

0.41990

10.65790

02(21)

0.02425

0.05657

-0.11727

-0.96271

-0.26822

-0.35942

-0.26114

-1.88794

Таблица 1: Вклады электронной поляризации вакуума второго порядка в СТР в мю-онном водороде. Вклады 16 и 26 отвечают полной неприводимой части двухпстлевого поляризационного оператора. Последний столбец отвечает вкладам в специальную разность СТР и 2з уровней. На диаграммах зигзагообразной линией обозначено сверхтонкое взаимодействие, а пунктирной - кулоцовский обмеи. Двойная сплошная линия отвечает редуцированной кулоповской функции Грина атомной частицы.

На защиту выносятся следующие положения:

• Найдены замкнутые аналитические выражения для поправки Юлинга для различных состояний водородоподобного атома, описываемого как релятивистским уравнением Шредингера, так и релятивистскими уравнениями Дирака или Клейна-Гордона-Фока. Результат получен в виде конечной суммы слагаемых, включающих обобщенные гипергеометрические функции 3^2. Результат применим для любого отношения массы атомной частицы к массе частицы в поляризационной петле и для любых зарядов ядра Z. Результат для фермионов получен для произвольного состояния, а для бозонов -для состояний с произвольными главным квантовым числом п и орбитальным квантовым числом I = п — 1.

• Получены различные асимптотические и приближенные формулы для поправки Юлинга. В частности, найдены асимптотические формулы при различных значениях п и отношения характерного атомного импульса к массе частицы в поляризационной петле для нерелятивистского случая. Найдена ведущая поправка к тонкой структуре, то есть разница лэмбовских сдвигов для произвольных состояний с 3=1 + 1/2 и 3=1— 1/2. Получены общие формулы в терминах хорошо известных гипергеометрических функций 2^1, которые применимы в нерелятивистском и релятивистском случаях.

• Вычислена поляризационная поправка порядка а2 для сверхтонкого расщепления состояний 1з и 2з в мюонном водороде, равная для 1й состояния 67 ррт. Уточнено выражение для специальной нормированной разности сверхтонкого расщепления и 2г уровней; найденная поправка составила 1.3% (—1.73 х Ю-6 эВ) и теперь относительная погрешность равна примерно 4 х 10~3.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

[1] С. Г. Каршенбойм, Е. 10. Корзинин, В. Г. Иванов, Сверхтонкое расщепление в мюонном водороде: КЭД поправки порядка а2, Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики 88, 737-742 (2008); Поправка к статье: там же, 89, 240 (2009)

[2] Е. Yu. Korzinin, V. G. Ivanov and S. G. Karshenboim, Vacuum polarization in muonic and antiprotonic atoms: the fine structure at medium Z, The European Physical Journal D41, 1-7 (2007)

[3] E. Yu. Korzinin, V. G. Ivanov, and S. G. Karshenboim, Vacuum polarization in muonic and exotic atoms: the Lamb shift at medium Z and high n, Canadian Journal of Physics 85, 551-561 (2007)

[4] S. G. Karshenboim, V. G. Ivanov and E. Yu. Korzinin, Vacuum polarization in muonic atoms: the Lamb shift at low and medium Z, The European Physical Journal D39, 351-358 (2006)

[5] S. G. Karshenboim, E. Yu. Korzinin and V. G. Ivanov, The Uehling correction to the energy levels in a pionic atom, Canadian Journal of Physics 84, 107-113 (2006)

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 02.04.09 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз., Заказ № 955/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 929-43-00.

Введение

1 Явные аналитические выражения для вклада поляризации вакуума в мюонных и экзотических атомах

1.1 Введение.

1.2 Замкнутые аналитические выражения для нерелятивистской поправки Юлинга для произвольного уровня энергии

1.3 Релятивистское выражение для поправки Юлинга для частицы со спином 1/2 и произвольного состояния.

1.4 Тонкое расщепление атомных уровней.

1.5 Релятивистское выражение для поправки Юлинга для скалярной частицы в циркулярном состоянии

2.2 Асимптотическое поведение однопетлевой поляризации вакуума при различных значениях пик. 38

2.3 Высоковозбужденные состояния в квазиклассическом приближении . 48

2.4 Сравнение различных асимптотических выражений. 53

2.5 Приближенное вычисление поправок Юлинга в терминах гипергеометрической фунции 2^1. 57

2.6 Применение развитого приближенного метода к некоторым задачам. 68

2.7 Заключение. 73

3 Вычисление поправки на поляризацию вакуума второго порядка для сверхтонкого расщепления в мюонном водороде 75

3.1 Введение. 75

3.2 Первый порядок теории возмущений. 87

3.3 Второй порядок теории возмущений. 91

3.4 Третий порядок теории возмущений. 97

3.5 Другие КЭД поправки в теории сверхтонкого расщепления мюонного водорода.102

3.6 Заключение.104

Заключение 109

Приложения: 112

А Различные представления для стандартного интеграла

QbcM из

В Выражения для матричных элементов в терминах стандартных интегралов 119

С Волновая функция в нуле для мюонного водорода 121

D Проверки промежуточных этапов вычислений 124

Литература 127

Введение

Актуальность темы

В диссертации рассматриваются некоторые экзотические двухчастичные атомы. Подобные атомы являются объектом активных теоретических и экспериментальных исследований [1, 2]. Разнообразные прецизионные данные можно получить из спектроскопических измерений, тогда как простота атомов позволяет проводить высокоточные вычисления. В результате появляется возможность проверить фундаментальные теории, ядерные модели, а также измерить различные фундаментальные параметры. В частности, мюонные, пионные и антипротонные атомы представляют существенный физический интерес в связи с экспериментальным определением различных физических параметров мюонов, (анти)протонов, пионов и атомных ядер. К таким параметрам относятся масса (анти)протона, мюона, пиона, магнитный момент мюона, зарядовые радиусы ядер и параметры сильных взаимодействий (пион-пионных и пион-нуклонных).

Мюонные атомы представляют собой атомные системы, содержащие мюон, масса которого приблизительно в 207 раз больше массы электрона. Это приводит к тому, что мюон находится гораздо ближе к ядру, чем электрон. В результате, даже при наличии в атоме электронов, в ведущем приближении их можно не учитывать и связанный мюон описывается в во-дородоподобном приближении. Исследования мюонных атомов представляют интерес для целого ряда дисциплин - от физической химии, атомной физики и физики твердого тела до физики ядра и элементарных частиц. Экзотические атомы во многом подобны мюонным атомам, но взаимодействие атомной частицы с ядром имеет более сложных характер.

Имеется целый ряд экспериментальных результатов по мюонным и экзотическим атомам. Ведутся и планируются новые эксперименты в этой области (в частности, исследования мюонпого водорода). В настоящее время проводятся измерения лэмбовского сдвига [3], в которых также планируется измерить сверхтонкое расщепление (СТР) 2s уровня мюонного водорода. На стадии разработки находится эксперимент по измерению СТР основного состояния [4].

Для того чтобы найти упомянутые выше параметры из эксперимента, необходимо уметь с высокой точностью вычислять квантовоэлектро-динамическис (КЭД) поправки, теории которых и посвящена представленная диссертация.

В диссертации на примере однопетлевой поляризации вакуума развиты эффективные методы вычисления поляризационных эффектов, основанные на аналитических вычислениях в терминах обобщенных гипергеометрических функций, асимптотических разложениях и приближенных вычислениях. С их использованием найдена поправка к СТР на поляризацию вакуума второго порядка и рассмотрены применения развитых методов к другим задачам, например, к вычислению значения волновой функции в нуле.

Цель работы

• Развитие аналитических методов расчета поляризационных поправок, основанных на анализе асимптотического поведения поправок и на приближенных вычислениях. Эффективность методов проверяется на примере однопетлевой поляризации вакуума в нерелятивистском и релятивистском приближениях. Эти методы применимы к различным задачам теории экзотических атомов. В связи с этим, в диссертации решаются следующие задачи: выводятся новые точные представления для поляризационных поправок в терминах стандартных интегралов; находятся асимптотические выражения для поправок и простые аналитические приближенные формулы.

• Вычисление неизвестной поправки к СТР низших уровней мюонного водорода, обусловленной эффектами электронной поляризации вакуума второго порядка. Это позволяет уточнить значение специальной разности СТР Is и 2s уровней в мюонном водороде, для которого обсуждаемая поправка дает наибольшую погрешность теоретического значения.

Научная новизна работы

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Развиты эффективные методы аналитического вычисления поляризационных поправок к уровням энергии водородоподобных атомов для нерелятивистских и релятивистских задач. Получены полезные представления для нерелятивистских поправок на поляризацию вакуума первого порядка. Найдены выражения для релятивистских атомных частиц со спином ноль и 1/2. Результаты применимы, в частности, для учета электронной поляризации вакуума в мюониых, пион-ных, антипротонных и других экзотических атомах.

2. Получены различные асимптотические разложения для нерелятивистской поправки Юлинга. Результаты применимы для любых состояний экзотических атомов, допускающих использование нерелятивистского приближения. Найдена ведущая поправка к тонкой структуре. Также получены приближенные формулы в терминах хорошо известных гипергеометрических функций 2^1 для произвольного состояния атома. Приближенные результаты одинаково применимы в нерелятивистском и релятивистском случае.

3. Найдена поправка на электронную поляризацию вакуума второго порядка для СТР состояний Is и 25 в мюонном водороде.

Научная и практическая ценность работы

Развиты эффективные методы вычисления поляризационных поправок, которые могут применяться к ряду задач в мюонных и экзотических атомах. В частности, для вычисления вкладов первого и высших порядков поляризации вакуума в лэмбовский сдвиг и СТР, в величину волновой функции в нуле, в магнитный момент связанного мюона и т.д.

Наиболее полезными могут оказаться результаты, полученные для мю-онного водорода, в связи с проводимым экспериментом по измерению лэм-бовского сдвига, в котором предполагается измерить и СТР уровня 2s, а также планирующимся экспериментом по измерению СТР основного состояния.

Апробация работы

Работа докладывалась на семинарах Лаборатории теоретической физики ОИЯИ, Кафедры квантовой механики физического факультета СПб-ГУ и Лаборатории прецизионной физики простых атомов ВНИИМ им. Д. И. Менделеева. Основные результаты были представлены на международных и всероссийских конференциях, таких как PSAS'2006, PSAS'2008: The international conference on precision physics of simple atomic systems;

ICAP'2006: 20th international conference on atomic physics; EXA'2008 h LEAP'2008: International conference on exotic atoms and related topics h International conference on low energy antiproton physics; Всероссийское совещание по квантовой метрологии и фундаментальным физическим константам (Санкт-Петербург 2008). Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в соавторстве в пяти статьях

1. С. Г. Каршенбойм, Е. Ю. Корзинин, В. Г. Иванов, Сверхтонкое расщепление в мюонном водороде: КЭД поправки порядка а2, Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики 88, 737-742 (2008); Поправка к статье: там же, 89, 240 (2009)

2. Е. Yu. Korzinin, V. G. Ivanov and S. G. Karshenboim, Vacuum polarization in muonic and antiprotonic atoms: the fine structure at medium Z, The European Physical Journal D41, 1-7 (2007)

3. E. Yu. Korzinin, V. G. Ivanov, and S. G. Karshenboim, Vacuum polarization in muonic and exotic atoms: the Lamb shift at medium Z and high n, Canadian Journal of Physics 85, 551-561 (2007)

4. S. G. Karshenboim, V. G. Ivanov and E. Yu. Korzinin, Vacuum polarization in muonic atoms: the Lamb shift at low and medium Z, The European Physical Journal D39, 351-358 (2006)

5. S. G. Karshenboim, E. Yu. Korzinin and V. G. Ivanov, The Uehling correction to the energy levels in a pionic atom, Canadian Journal of Physics 84, 107-113 (2006)

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и четырех приложений и содержит 132 страницы, 25 рисунков и 8 таблиц. Список литературы включает 76 наименований. Содержание работы

Заключение

В диссертации были развиты эффективные методы аналитического вычисления поляризационных поправок к уровням энергии водородоподоб-ных атомов, а также предложена схема вычисления поправки к СТР на двухпетлевую поляризацию вакуума, позволяющая, в частности, находить соответствующую поправку к волновой функции в нуле. Численные значения как для поправки к СТР, так и для поправки к величине волновой функции в нуле, были получены для Is и 2s состояний мюонного водорода. Основные положения, выносимые на защиту:

• Найдены замкнутые аналитические выражения для поправки Юлинга для различных состояний водородоподобного атома, описываемого как релятивистским уравнением Шредингера, так и релятивистскими уравнениями Дирака или Клейна-Гордона-Фока. Результат получен в виде конечной суммы слагаемых, включающих обобщенные гипергеометрические функции 3F2. Результат применим для любого отношения массы атомной частицы к массе частицы в поляризационной петле и для любых зарядов ядра Z. Результат для фермионов получен для произвольного состояния, а для бозонов - для состояний с произвольными главным квантовым числом п и орбитальным квантовым числом I — п — 1.

• Получены различные асимптотические и приближенные формулы для поправки Юлинга. В частности, найдены асимптотические формулы при различных значениях п и отношения характерного атомного импульса к массе частицы в поляризационной петле для нерелятивистского случая. Найдена ведущая поправка к тонкой структуре, то есть разница лэмбовских сдвигов для произвольных состояний с j = 1+1/2 vi j = 1—1/2. Получены общие формулы в терминах хорошо известных гипергеометрических функций 2-^1, которые применимы в нерелятивистском и релятивистском случаях.

• Вычислена поляризационная поправка порядка а2 для сверхтонкого расщепления состояний Is и 2s в мюонном водороде, равную для Is состояния 67 ррт. Уточнено выражение для специальной нормированной разности сверхтонкого расщепления Is и 2s уровней; найденная поправка составила 1.3% (—1.73 х 106 эВ) и теперь относительная погрешность равна примерно 4 х 10~3.

Рассмотренный метод вычислений позволяет провести аналогичный расчет поправки на двухпетлевую поляризацию вакуума в СТР для других атомов, например, для мюонного дейтерия и иона мюонного гелия, а также вычислить поляризационные поправки к значению волновой функции в нуле, например, для пиония, пионного водорода, пионного дейтерия, мюонного дейтерия, иона мюонного гелия.

Развитый в диссертации метод приближенного аналитического вычисления позволяет получить приближенные выражения для рассмотренных выше поправок (например, на поляризацию вакуума второго порядка к СТР), с помощью которых можно находить приближенные значения поправок для произвольного водородоподобного атома. При этом точность приближения хорошо контролируется.

В дальнейшем планируется продолжить работу в этом направлении.

В заключение хочу выразить глубокую признательность моему научному руководителю С. Г. Каршенбойму, а также В. Г. Иванову и В. А. Ше-люто, от которых я многому научился. Также я признателен Р. Н. Ли за поддержку и полезные обсуждения. Отдельно хочется поблагодарить В. М. Шабаева, научного руководителя моей дипломной работы, за внимание и ценные замечания.

Исследования, положенные в основу диссертации, были проведены при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и DFG. Особенно я благодарен фонду некоммерческих программ «Династия», который поддерживал мои исследования в рамках программы для молодых ученых без степени.

1. J1. И. Меньшиков, М. К. Есеев, УФН 171, 149 (2001)

2. С. Дж. Бетти, ЭЧАЯ 13, 164 (1982)

3. P. Regoliosi, QCL-MUH — Tunable sources for measurements of proton polamzabihty. Presented at Opening Meeting of Hadron Physics 2 LNF, Frascati, Italy, Sept., 28(2007)

4. T. NebelF. D. Amaro, A. Antognini, F. Biraben, J. M. R. Cardoso, C. A. N. Conde, A. Dax, S. Dhawan, L. M. P. Fernandes, A. Giesen, T. W. Hansch, P. Indelicato, L. Julien, P. E. Knowles, F. Kottmann,

5. E. Le Bigot, Y.-W. Liu, J. A. M. Lopes, L. Ludhova, С. M. B. Monteiro,

6. F. Mulhauser, F. Nez, R. Pohl, P. Rabinowitz, J. M. F. dos Santos, L. A. Schaller, K. Schuhmann, C. Schwob, D. Taqqu and J. F. C. A. Veloso, Can. J. Phys. 85, 469 (2007)

7. I. Beltrami, B. Aas, W. Beer, G. De Chambrier, P. F. A. Goudsmit, T. v. Ledebur, H. J. Leisi, W. Ruckstuhl, W. W. Sapp, G. Strassner, and A. Vacchi, Nucl. Phys. A451, 679 (1986)

8. N. Nelms, D. F. Anagnostopoulos, M. Augsburger, G. Borchert, D. Chatellard, M. Daum, J. -P. Egger, D. Gotta, P. Hauser, P. Indelicato, E. Jeannet, K. Kirch, O. W. B. Schult, T. Siems, L. M. Simons, and A. Wells, NIM B477, 461 (2002)

9. D. Gotta, Prog. Part. Nucl. Phys. 52, 133 (2004)

10. D. F. Anagnostopoulos, D. Gotta, P. Indelicato, and L. M. Simons Phys. Rev. Lett. 91, 240801 (2003)

11. S. G. Karshenboim, V. G. Ivanov and E. Yu. Korzinin, Eur. Phys. J. D39, 351 (2006)

12. E. Yu. Korzinin, V. G. Ivanov and S. G. Karshenboim, Eur. Phys. J. D41, 1 (2007)

13. S. G. Karshenboim, E. Yu. Korzinin and V. G. Ivanov, Can. J. Phys. 84, 107 (2006)

14. С. Г. Каршенбойм, E. Ю. Корзинин, В. Г. Иванов, Письма в ЖЭТФ 88, 737 (2008); Поправка к статье: там же, 89, 240 (2009)

15. А. В. Mickelwait, Н. С. Corben, Phys. Rev. 96, 1145 (1954)

16. Г. Е. Пустовалов, ЖЭТФ 32, 1519 (1957)

17. Д. Д. Иваненко, Г. Е. Пустовалов, УФН 61, 27 (1957)

18. D. Eiras, and J. Soto, Phys. Lett. B491, 101 (2000)

19. С. Г. Каршенбойм, ЖЭТФ 116, 1575 (1999)

20. S. G. Karshenboim, Can. J. Phys. 76, 169 (1998)

21. L. J. Slater, Generalized hypergeometric functions, Cambridge University Press (1966)

22. R. N. Lee, A. I. Milstein, and S. G. Karshenboim, Phys. Rev. A73, 012505 (2006)2223 242526 2728 29 [30 [31 [32

23. E. Yu. Korzinin, V. G. Ivanov, and S. G. Karshenboim, Can. J. Phys. 85, 551 (2007)

24. JI. Д. Ландау, E. M. Лифшиц, Теоретическая физика, том. Ill Квантовая механика. Нерелятивистска теория, Москва, Наука (1974)

25. D. Zwanziger, Phys. Rev. 121, 1128 (1961)

26. М. Sternheim, Phys. Rev. 130, 211 (1963)

27. К. Jungmann, V. G. Ivanov and S. G. Karshenboim, in Hydrogen atom: Precision physics of simple atomic systems. Ed. by S. G. Karshenboim et al. (Springer, Berlin, Heidelberg, 2001), p. 446

28. Ю. Швингер, Частицы, источники, поля, 2, Москва, Мир (1976)

29. В. Б. Берестецкий, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Теоретическая физика, том. IV Квантовая электродинамика, Москва, Наука (1989)

30. В. С. Попов, Ядерная физика 12, 429 (1970)

31. В. С. Попов, ЖЭТФ 59, 965 (1970)

32. Я. Б. Зельдович, В. С. Попов, УФН 105, 403 (1971)

33. W. Fleischer and G. Soff, Z. Naturforschung 101, 703 (1984)

34. А. С. Давыдов, Квантовая механика, Москва, Наука (1973)

35. Т. Yamazaki, N. Morita, R. S. Hayano, E. Widmann and J. Eades, Phys. Rep. 366, 183 (2002)

36. S. G. Karshenboim, R. N. Lee, A. I. Milstein, Phys. Rev. A72, 042101 (2005)

37. S. G. Karshenboim, U. Jentschura, V.G. Ivanov, and G. Soff, Eur. Phys. J. D2, 209 (1998)

38. В. Г. Иванов, С. Г. Каршенбойм, ЖЭТФ 109, 1219 (1996)

39. А. П. Мартыненко, Р. Н. Фаустов, ЖЭТФ 125, 48 (2004)

40. А. P. Martynenko, Phys. Rev. А71, 022506 (2005)

41. S.G. Karshenboim and V.G. Ivanov, Phys. Lett. B524, 259 (2002)

42. S. G. Karshenboim and V.G. Ivanov, Euro. Phys. J. D19, 13 (2002)

43. S. G. Karshenboim, Hydrogen atom: Precision physics of simple atomic systems, edited by S. G. Karshenboim et al. (Springer, Berlin, Heidelberg, 2001), p. 335

44. С. Г. Каршенбойм, H. H. Колачевский, В. Г. Иванов, М. Фишер, П. Фендель, Т. В. Хэнш, ЖЭТФ 129, 419 (2006)

45. V. A. Yerokhin and V. М. Shabaev Phys. Rev. A64, 012506 (2001)

46. V. A. Yerokhin, A. N. Artemyev, V. M. Shabaev, and G. Plunien Phys. Rev. A72, 052510 (2005)

47. N. Kolachevsky, M. Fischer, S. G. Karshenboim, and T. W. Hansch, Phys. Rev. Lett. 92, 033003 (2004)

48. N. Kolachevsky, P. Fendel, S. G. Karshenboim, T. W. Hansch, Phys. Rev. A70, 050412 (2004)

49. M. H. Prior and E. C. Wang, Phys. Rev. A16, 6 (1977)

50. T. Kinoshita, and M. Nio, Phys. Rev. Lett. 82, 3240, (1999)

51. S. G. Karshenboim, V. G. Ivanov, and V. M. Shabaev, Can. J. Phys. 76, 503 (1998)

52. С. Г. Каршенбойм, В. Г. Иванов, В. М. Шабаев, ЖЭТФ 117, 67 (2000)

53. К. Pachucki, Phys. Rev. А53, 2092 (1996)

54. А. П. Мартыненко, ЖЭТФ 133, 794 (2008)

55. G. Kallen, A. Sabry, Kgl. Dan. Vidensk. Selsk. Mat-Pys. Medd. 29, No. 17 (1955)

56. M. I. Eides, S. G. Karshenboim, V. A. Shelyuto, Phys. Lett. B229, 285 (1989)

57. С. Г. Каршенбойм, В. А. Шелюто, M. и. Эйдес, Ядерная физика 50, 1636, (1989)

58. V. М. Shabaev, J. Phys. В24, 4479 (1991)

59. L. Hostler, J. Math. Phys. 5, 1606 (1964)

60. Э. Т. Уитеккер , Дж. H. Ватсон, Курс современного анализа, Москва, ФИЗМАТГИЗ (1963)

61. П. П. Павинский, А. И. Шерстюк, Вестник ЛГУ 22, 11 (1968)

62. L. Hostler, J. Math. Phys. 11, 2966 (1970)

63. С. В. Христено, С. И. Ветчникин, Оптика и спектроскопия 31, 503 (1971)

64. С. А. Запрягаев, Н. Л. Манаков, Л. П. Рапопорт, Ядерная физика 15, 508 (1972)

65. M.I. Eides, Н. Grotch and V. A. Shelyuto, Phys. Rept. 342, 63 (2001)

66. M.I. Eides, H. Grotch and V. A. Shelyuto, Theory of Light Hydrogenic Bound States. Springer Tracts Mod. Phys. 222 (Springer, Berlin, Heidelberg, 2007)

67. G. T. Bodwin, D. R. Yennie, and M. Gregorio, Phys. Rev. Lett. 48, 1799 (1982)

68. G. T. Bodwin, D. R. Yennie, and M. Gregorio, Rev. Mod. Phys. 57, 723 (1985)

69. S.G. Karshenboim, Phys. Rep. 422, 1 (2005)

70. S. G. Karshenboim, V. G. Ivanov, Can. J. Phys 83, 1063 (2005)

71. V. A. Yerokhin, A. N. Artemyev, V. M. Shabaev, and G. Plunien Phys. Rev. A72, 052510 (2005)

72. S. G. Karshenboim, Phys. Lett. A 225, 97 (1997)

73. K. Pachucki, Phys. Rev. Lett. 79, 4120 (1997)

74. K. Pachucki, Phys. Rev. A56, 297 (1997)

75. K. Pachucki, S.G. Karshenboim, Phys. Rev. Lett. 80, 2101 (1998)

76. I. Sick, Prog. Part. Nucl. Phys. 47, 245 (2001) '

77. P. J. Mohr, B. N. Taylor and D. B. Newell, Rev. Mod. Phys. 80, 633 (2008)

78. U. Jentschura, G. Soff, V. G. Ivanov and S. G. Karshenboim, Phys. Rev. A56, 4483 (1997)