Построение и исследование итеративно-агрегатных методов решения линейных операторных уравнений и их применение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ЛЬВ1ВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УН1ВЕРСИТЕТ ¡м. I. ФРАНКА

На правах рукопису

Д ЕМ К I В 1гор 1ванович

ПОБУДОВА ТА Д0СЛ1ДЖЕННЯ 1ТЕРАТИВН0-АГРЕГАТИВНИХ МЕТ0Д1В РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЛШ1ЙНИХ ОПЕРАТОРНИХ Р1ВНЯНБ ТА IX ЗАСТОСУВАННЯ

Спец!альн|'сть 01.01.07_— обчислювальна математика

Автореферат дисертац|1 на здобуття паукового ступеня кандидата фЬико-математичних наук

ЛЬВ1В- 1995

Дксертшйя « рукодасом.

Робота винокана па кафедр! обчкслюваяьЕо! иатшатикн. 5 про-гршувашя Дерэк&авого ушаерситоту "ЛьвЬська nojiiTßxniiUä."

Неуков» вершники : доктор ф!эико - цатематнчних наук, професор

СЯОНЬОВСЬКИЙ РОМАН ВОЛОДИМИРОВИЧ,

кандидат фЬико - ыатематичши ааук, доцент ШУВАР БОГДАН АНТОНОВИЧ 0$iqiü*i спакентк: доктор фиико • ыатематичшгх каук,

профссор ПОПОВ БОГДАН ОЛЕКСАНЛРОВИЧ, хацдадат фЬико иатеиатвчзкх каук, донеит ДУДИКЕВИЧ АННА ТЕОДОР1ВНА npoeidua срлвнЬлц иг - Гнс-штут юбврпоткки im. D.M. Глушкоза HAH Укрыии, и, Киш.

З&хист вИбудетъся " 1895р. о f*f год. па зас1дашг1

свешал Ьовано! вчеьо! рада К 04.04.06 у Львшсыюиу деряшшоыу увЬеоситет! ¡и. Ь.Фрашса за адресов: ¡290602, и.Льв!е, вуя.Уикор-ситотьська, 1, ЛДУ, ауд 201.

3 дисертащвю иожва оэваЁоиитнсв в вауиовШ б!блк>тевд Львш-ського держушверсятету.

Автореферат рояклаоо '^"...тГЛсвБр.

tt» «m«t«iw

Вчешй секретьр сшгшалЬова&о! рели

t

ОСТУДШ В.А.

ЗАГАЛЬКА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМИ. Анарат наближених ыетод5в в од? ним з найважлив!ших засоб!в аналЬу ба^атьох матеыатичних задач. Для р!звих клас!в р!вяяш> так! методи використовуються яе лигпв задля апрокскмаци розв'ялив, а й кер!дао при доведет! теорем про 1х розв'лэшстъ, одиозвачну роэв'язшсть 5 т.п. У зв'язку з штспсивпим розвитком обчислговальшя зпсоб!» стало, зокрема; мо-жливим зпаходити паближеп! розв'язки задач методами, як! вимага-ють звачяого об'вму обчислювалытх затрат. Одвак, врахоауючн варт!сть обчислювальних I, отже, часових затрат, важлпвими I все актуальшшими стаготь задач! конструюватгпя яових I дослщжепня вигомкх, екопомних з обчислювалыгого погяяду, метод«. Одним Ь можлтзих папрямЬ вир!тення ц!в) проблема в використаяня 1те-рмцйних метод!в, як самост»йно так I в повднанк! з 1шшшп методами.

До пор1вшшо по вше 1терац1йних иетод1в належать методи (те-ратюшого агрегувапня, як! заегосовують до розв'язування систем л(шйш<х алгебраГчпнх р1внявь велико! розмфпост!, шо вшткають в математичтЛ екоиомт Ш метода теоретпчяо мало дослЫжеш. В)дом} умовн Тх зб!жност1 здеб!льшого г!рт! за умови зб!жиост1 звн-чайиого методу поел!довнпх иаблгокень, за виаятком х5ба-що од-попараыетричисго вкладку. Для багатопарвметричного впяадку под!бв! умови невигом!, хоч на практкш ш метояи часто успшшо за-стосовугать I без теоретичного обгруятувалшя. Тому досл1джепня умов Гх збЬ: :ост1 в багатопдраметртгаому вкладку э теоретячнЬго погляду в актуальною задачею.

В иатемапгчвШ ековомМ агреговаай зшютЗ} Тх ¡тератива! уточ-иегол маготь реальвлй економ1чккй зм!ст. Вони використовуються в розрахунках конкретши екопом^чпнх покаэютк1в. Отже, досл!д-нхевяя методав ¡тер&тивного агрегуваяяя актуадьне й з точки зору суто екопомшо-математичних задач.

Багатопараметричт методи ггеративкого егрегувакяя з обчи-сяювалыгоГ точки зору в водаочвс алгоритмами з оркродкпм роз-наралеленням обчислгопальннх пропес!в, пристосоввяимй для вико-ристаняя багатопропесорних обчпслювалышх ?асоб!а.

Застосуваши алраметриэзчи до досл!д;«аппя ыетод1з 5терат«п»-иого згрсгупдпия 5 низки ¡нтгтнг !т?раП1Йвих м'етод!в в встрадипШлии подходом, то тракт у в 7* э сдг.но! то чьи зору. Наргиетризашп до-:)яоля!5 тапож отримузатп гоя! умови збданост! пав!М> т«мх добр«;

»

вивчених ¡терацШних ыеходк як звнч&йаий истод посл]довннг на-ближеш» для лшйиих р1ввянь, проекшйно-1тератншшх метода, ые-тодш KDaai^ineapiaaHÜ j т.п.

Наведен! шркувашш шдтверджують актуальв1сть вкаэалого ва-вряму дослщжевь.

Теоретичному досяшженвю методов ¡теративиого агрегуванвя та !х застосуваиню присоячеш роботи Алимкуяова 6.Л., Бабаджаняна A.A., Вена В.А., Дудшва JI.M., бршова 6.Б., Красносельсь-кого М.А., Л5фшица Е.А., Ляшевка LH., Островського А.Ю., Ра-ковврка JI.C., Соболева A.B., Стецеика В.Я., Цуркова B.I., Щенд}-кова В.А. та шших

МЕТА РОБОТИ. Метою роботи в пабудова та дослщжения иодифЫоваыих 1терац1йШ1* алгоритма, як1 повднують 1де? Ьератив-uoro агрегуванвя та ¡деТ парам етризаян; вставовлецня достатвлх умов зб1жност) запропоиованих алгоритма для лшШних оператор-ичх ршнлвь; эастосувавпя запроооыованих алгоритшв до систеи лЫйш« алгебршчпих р1вшшь та л^шйиих штегралыисс ршшшь э вост)йшши межами штегруоання i ix систеи; дослшжеввя гшливу ви-бору иочаткивого цаближевця ва збЬкшсть ¡терац1Йши алгоритмов.

МЕТОДИКА ДОСЛШЖБНЬ. Для досщвешш йети вико-ристовувадись теор]я алгебргйчвих, штегральвих та операторшд pieiurab, теор!я сучасних ыаближевих, зокрема.числових иетодш.

ПАУКОВ А НОВИЗНА роботи полягае в иастунвоыу:

• запропововшп i дослшшц ыодифшши одноиараметричвого ) багатопарамстричвого иетхшв итеративного агрегуванвя для ЛШ1Й-ких операторцих ршшшь в игл яду х = Ах + Ь;

- о?рнцаи1 достаты уиови збЫшост) деяких tuiropuTuia 1тера-тшшога агрегуваввя, яга як в одвоварамегтричвоиу так i в бага-топарамстрмчвому випадках можуть справ джуватись вавггь im вы еявьтральний рад)ус оператора А больший за одшшдю; ври ш.оыу обш'-жеиь шодо додатвост! оператора А не покладаемо;

- побудов&ииЙ та дос локаций клас 1терац|йаих алгоритм!» охо-шше ис юдн ¡тератшшого агрегувашш та тику imanx ы тодди (на-щшкл&л, добре енвчеыий метод вослшоввих наближевь), для шадх у вшшдку эбЬкыост! забезпечева обчислювальва ст»ймсть;

- роиробдсва иегодыха выбору початков!« наближеоь вшшри-оаиа длй яаних трацШввх алгоритшв розв'яэаввя л1шйяих ршшшь i вставовасш вой) достетш уиови ix збЫшэст>;

- залропоповалий i досл1джений алгоритм для р1вшпшя Воль-терра, який, використовуючи методику вибору початкового набли-жешм, зб!гаеться пгаидше. шж, напрнклад, эвичаДпкй метод посль довшпс иаближепь;

- теоретично обгрунтоваяо i експериментальнс шдтверджено зог стосрвшсть дослшкуваних метод!в до систем лшШшо алгебраТчних р1ввявь та лшйшис ¡птегралышх ршшгаъ з постШшши межами i ïx систем.

ДОСТОШРНГСТЬ основшп паукоапх положень i отриманих результат забезпечуетьсл стропстю постановки задач!, матемо-тичпим обгрунтуватиш результат^.

НА ЗАХИСТ ВИНОСЯТЬСЯ:

- досл1джетм моднф]кашй одпопвраметркчного i багатопараме-тричного методш ¡теративного агрегуваппя для aimifamx оператор-ких ршояпь;

- дослщкення достатшх умов зб|"жност! деяких ггеращйних методов, ли отртолуються як HaciKOBi випадкк модкф1коаааих алго-ритшп ¡теративного агрегуваяня, зокрема, в ласте цетодш ¡тератиз-ного йгрегуваиня;

- достатю умови 36ïjkhoctî звичайвого методу поел ¡дошли на» ближень для л!гайяих рЬшшь, в яхт: пе обоп'язково щоб спектраль-ний рад1ус висх1дпого оператора був иеншш за одиницю;

- застосування модифшованих агрегатпвпо-гтеративних алгоритмы до с-.стем лшШпих алгебраГчних ршшшь, до лшЗЙних ¡ето-гральннх ршшпп. i Гх систем.

ПРАКТИЧНА IIIHHICTb РОБОТИ. Одержат результата можуть бути використай! при досл1джешй реальши nponeefa, мате-матичв! модел1 яхих описуються л1п1Пшши р1вшпшлми. Програып1 модул] реалЬацц алгоритма» можуть бути в ключей] в б5бл]отеки ыа-тематичпого забезпечеяня ЕОМ.

АПРОВАЦ1Я РОВОТИ. Основт результата, одержат а ди-сертащйнШ робот}, доповшалнея оа сешпарах "Числов» метояи для диференшальних i штегральиих р1внянь" (ЛУ "Львшська полггех-юка"), "Чисеяьш метода апроксиыади фупкцШ та обробки шфор-мацн* (ФЬико - мехашчний 'шетитут HAH Украшн), включеиих л мере:ку сешпар'т "Обчислювальиа математика" при НауковМ .Рад» "Обчяслювольпа математика"-(Вшшлеявя математики HAH ■

§

УкреХни), я» содаарах Ышау дцферешраяьныж рццишь ЩЦММ HAH YtepWBHi я* ресауфикасськф вауковШ кокференьш "Бкстре-мальт зад»ш xBopff вабдижевд> та jx застосування"' (Кий, Î990 р.), да Tperiä Дгвкмво - Кавкаэыой ре^дральщй рюнференвд з фувж-дааидоьво - дафереицшдьннх рцшянпь ji ïx застосуваюь ( Махачк^-да, р.), на ^ферешдях "Hobí шдходи да розв'язувашзя дифе-реишальщи ршшшь" (Лрогр^и^ p., ,1994 р.), на. симиозиуш ? датааь овтямцацц о$«цсдень (Кщв, 1993 р.), да щкод^-сешиар! рврврада jçx&m, ïx«i угагалькзиия i з^стрсувашщ" ( Львш, 1994 р.).

ДУБЛШАШГ ;3 токи дисертацп <жу&цковык> 1$ po6ij. СТРУКТУРА ТА ОБ'бМ Р050ТИ- ДнсертацЙна робо?* «аад&е'гься 9 »студу, арьох роздЩр, адснсшкш, сшску дагчшадоГ дотерггури з (М дафшщ'ваиь, аикладаш« Ев. 137 стррщках, та до-датки.

У АСТУЩ обгру^тован? детуодьшси» вибрашм теци, лформу-Aboaatto м«ту дв^рташйнрТ ру<к>;ш, оцмсада метлику досл1шкещ>, даукоау дощцэду резудь^аздв, jwpgikp яикладен! ocjwbhí результата ¡робрзд.

В ЦЕРЦДОМУ РОЗДШ побудов<мк> та дослужено одаопар^-алегричйу модифи<ащк> аналогу методу >терагивкого аграгув^цсця.

В £1 розгадцфвмо систему «Ыйвдс длге5р(йчнв?: рщндвь

оснозний зшст роботи

N

: M ilouweww» 5р1ашдавя«

m

№

¿ г Д, f ^ - WB

-^ослшцувио iwisNiiPaW» WHWWC

MézW =

Ul,

N i=i

Для ааалЬу 1терацШо1о йроцесу (3), (4) ICfotnbo викориек*

ÖyÖifeicÄ piBHÎCTb

; (В)

ЫрвЩйапЙ Ьроцес (3), (4) за ytóoü«, tato эадоволыига (0)

tniBtiAaae э liponecoM

= £ +*<(*(ч) - +^ (ö) i=i

= + -t,<»+1>) + (f)

йаисаива роль npïi досл!джетт1 з6!ухност1 йпх процес1в йалежить MVpifflj ti/) = **

Í*i, - rífe - ft«, при У = «Г" ' =

Т^Й^-Дн -при i = N+1 ; j-N+l.

Сформултосмо оспогтп р«5у.тьтати параграфу.

8

О

Теорема 1. Пехай [\НР\\ < д < 1. Тоди 1) шера:;и (3), (4) эбпаютъся до розв'яэку системи (1), (£) »с повмъмше за геомьтричну прогреет «э энамеиытом д; 2) »Чпе/агр'ймий процее (3), (4) зоодитъаг при н > 1 до терацШиого процесу (б), (7); 3) за довильних тераци (3), (4) задооолыигють рммегпъ (5); 4) роэа'язоя системи (1), (2) задовОАъняе ршметь (5).

Теорема 2. Янщо сг.рааджуетъся не р {в меть ||Яо|| < Я < 1, де

Но = {^>¡¿=177»

то мають лмеце ас» тегрдження тсореми 1.

Яйцо задоволышв (5), то достатш умопи збЬкпост!

для ггерацШного процесу (3), (4) е одпочаспо достатшми уыовами збЫаюст! 5тергщШиого процесу (б), (7). Наведений ¡люстратквний приклад.

В §2 та §3 результата §1 поширеш на лтйш штегральвп р^вшшня ■ха систсш! лшНЬшх штегралышх рипядь з постйЬшми иежами ште-грувгшпя.

Застосуваидя одержало! методики до систем лшйних штеграль-Ш1х ршцлш. Вольтерра, як истаноалеио в §4, ври вказаиому вибор1 иочагкового наближеыыя иризводпть до прнскорешя зб1жцост1 методу послЦовшя наближещ, цор1вшшо з 1х зб^жшетю за довшьного вибору початкозого вабяткевня.

В §5 розглядаеио операторпо ршпяадя

з = Ах + Ь, (8)

де лшШшШ обиеакеннй оператор А : Е Е\Ь € Е\ Е - баиахш ироспр. Пехай <р € Е' - фкховалнй елеыепт Ь сиряжецого до Е Простору Е'. Позиачкио через (>р, я) -дшШний иеперервпий фупкшоыал, имзиачеиий при х € Е . Рилишия (8) доповшшо рЬшгшш

Ц = (а.я)+А У, (9)

до Л € иноваэда дШстк ( ибо шшиекашя) чисел, Л ф 1,

от = А\у — Ху - А*<р,

Л* - спряжений до А оператор , А* = А/• - А" (/*- то-то жний оператор я Е* ).

Позначные через Ёо множияу я € #,1/ € Я1, як! эадовольпяють р!вшшпя

(*,*) + »= м (А ф 1) (10)

Для н роэа'яэаапя використовувмо одиопарсшстричпу ыодиф1-

кац!ю методу 1теративиого агрегуваппя

- - +<11)

де «о € В1; с € В;(чр,Ь) ф 0, ао + {<Р>С) =

Я кто у^)} € Во, то 1тсрапд (11), (12) сигападають 5 врывши

= Лг(я) + с(у{я) - г/(ж+1)) + Ь, (13)

г/п+1> = («,*(">) + а0(^я> - + Ау<"+,>. (14)

Оэиачюго опсраторя

Яц : Е Я„ : Е1 Е, Я« \Е-+Е\ К*: Е* Е1

за допсиогого формул

= Ахв- -——(ог,и>) - /%>,»), 1 — А +■ оо

#««» = --~—(а,ю)-&(¥>.«>).

I — А + во

Осповт результата досл1ДЖвяь пього параграфу иктять яастугоН гверлжеетня.

Теоредо 3. Яехай р{Нр) < 1. Год»; 1) ¿терацШиий працее (И), (12) обегаешься до единого а Е розе 'язпу (х*,р*} системы (в), (9); В) за довильниз € Е,у<°> 6 Е1) матимемо {*<">,/">} € Д>

(п = 1,2,...), а такохс {г*,у*} е £о- 3) при п > I шерацШний процес (11), (12) заодитъея до {тсрацШпояз процесу (18), (Ц).

Теорема 4. Яхщо спектральний радиус матриц! Но задоволъ-няе нерхвметь р(Яо) < 1, де Но - лШймий неперервиий оператор, визначений нйетупним способом

то «теращ'йиий процес (11), (12) ЫИглсться до единого а Е розв'жзку {х\1/'} сисгпсми (8), (9). При цьому за доемьних {г(0),1/0)} (х(0) € Е,6 Е1) матимемо, що ">,]/">} е Ее (п = 1,2,...), а токозк {г*,у*} € Ео. Крхм того, терацШний процес (11), (12) зводитьеж при п > 1 до иперацИноъо процесу (15), (Ц).

Таким чиной, дост&тш умов и зб^жност) для ¡терацШлого процесу (11), (12) Ь стартовик паближенням {х^.у*0*} € Ео в водночас достатвш уыоваш! эбЬкносп ¡тер&ш£яого ироцссу (13), (14). Отиьс, розв'язок а* ршияввя (8) можва отримати за допомогою ¡терашйвого пронесу (11), (12) аба (13), (14), побудованого задуренням баиахово-1х> иростору Е, в якоиу розгдядавио ршшшня (8), в пшришй прост!р

Умову р{Нр) < 1 иожва зашнити умовою ||Я^|| < ц < 1, эручшшою для застосувань.

Отрииаш ощнки оохибок досдизжувавих алгоритма та розгля-пута реадЬашя ¡терашйвого пронесу (11), (12).

У ДРУГОМУ РОЗД1Л1 побудоьаний та доедшдееиий модвфь ков&вий багатопараметричний метод П-еративиого агрегувадия.

В §6 розгдядавмо систему ашйнкх алгебраГчзшх ршяянь (1). За-шгсуемо и у бяочпому в кг ляда

НйХО = Аи1--(ег, и)) —

ЁхБ1.

я к.

га1 )-1

де

X

и

Влажавмо заданный вектори <рг = ,Г,...,Р//Г,Г}Т (г - 17ЙЧ За Тхньою допомогою можна побудувати вектор г ~ {zi,...,гд}т за формулами

N.

*r = T, <fiUr3i,r (Г = ТД)-

•»I

Систему (15) доповшовмо системою

R W,

гш1 j=t

Дв

лг.

А,г - допмьш числа; у, -вевшом] числа; (в, г = 1, А).

Для систем (15), (16) эастосовуемо модифЬсований багатопара-метричняй метод иеративного агрегуваяия

-Ь » . М аЧ 'Аг +

г=1 "Г + V' « >+1) . „(»+D

г-1 . *г + Уг

+e5,(ii",-iii*+,))+W"+1)l,

до П =г 0,1,....

¡=1 ¡-I

Результат?! §6 поширюються в $7 та §8 па лшШш штегральш р1вшшпя з постЫлими межами та 1х системи.

В §9 розглядаемо операторне р!вшпшя (8) в банаховому простор! В. Припускаемо, що його ыожяа зашгсати у пигляд]

гл = + (я,г = 1,Я), (17)

Г=1

дс А,г' Ет Et~ л!22Йяз обисжеш оператора, А — {Л

II

b - {6Ь...,6,}7;6, е E,ix- {хь....*й}г»*г 6 ErE~ (J E\. Г-символ

i=i

трапспоауаашш.

В козsaioisy з просторш E¡ заласыо nuál'aaüi фувхщоцал э до-поиогою форыуяи

2¡ = (<fii,z,)i (xi € Ег,1 = 175),

де - фцхозазшй елеиеят b спряжеыого з E¡ простору Систему (17) додохшюеио ршпякияик

r л _

+ (-«СТ, а»)

Г=1 Г=1

де у, - иеа)дош числа, Х,г € Е1, Е1 - ыжожияа дайсиих ( ьбо ком-пдексшпс) чисел, a,r €

а.г = Ь.гРг- А*„ip„

Л*, -спряжений до Л«г оператор, А*, :Е,~* Ет (*,r = 1,Я). Лема I. Розв'взок системм {'iгадсаолыиге pioiuruns

*« + V» = ^ (í = í7a), (19)

íe Д = det(I¡L — A) О, А = {X,,}, /д -одинкчма матриц* j)o¿Jktií>Hocm.» Л , вилначмик As одержцвтюг я А замто» * -стоепцяг на снюепець вмьмих sAettte{J9i,...,27x}; = (р»>Ь»)«-

Для знаходжения наближеного розв'язку (17), (18) використо-вувмо бага70параыетричний модифшов&ний метод 1теративного аг-регутшвя

,<•+« в £ tr M+VrU) {/,,«<■> + с„(„<»> - у<»+1>)] + (20)

tZÍ +'

reí *«■ T" V«"

+«?Xvin) -4"н)>+(21)

де 4я) = (iPr,3(rB>)r; ai9 + (у>„с,г)г = A,rJ <V -ф1ксоваш1Й едеыедт

простору £«. _

Нульове иаблаження е Е,; j = 1,/i) вибиравио так,

щоб = fo>„*S0)), 0.

Лвма 2. Д«г ¡ягерацШного процесу (SO), (81) справджувтъся pionicrm

+ = % (а«О; л = 1,2,...).

Леми 3. Якщо початкове наближеннг задоволъпяе

р»вн»етъ ш> imjsaitifiituä npotjsc (SO), (St) cnisneda« з нсступ-ним ¡тсрацШним процесом

S(»+J) = ¿(Л,г4») + е.г<»<"> - у'»"»))] +&,; (22)

!/in+i) = ек«.г, ä+<*шп) - у(г"+,)) + а.гУ(гп+1)]. (23)

г» 1

Запроваджувмо до розгдяду операторы HBkm (Ä,m = 1, '2Л) за допомогою формул

я

HB,,Twг.» A.rWr - -

1 1=1

> я

HB.^rtr = C.rir " ^ 52(-Pl»)ri| - ß.tri 1 1=1

HBR+itrwr = -}r-(FOT),wT - /?o(Vr,«'r)r;

HBR+^rtr = i-(n,),«, - ßotr;

в,г = ТТЛ; //J3,r : ErE,\ r : E1 E.\ HBR+.,r : ErEl-,

Я%,,к+Г : Я1 - Я1; Ш, = {ЯВкт}^ия1, де Д, = &*(/„ - Лд) ^ 0,

Ля = {Д,г - 1п -одияичяа матрица розм$ряоЫ Я . (РОг),{иг) - оператор, то формально одоржуеться э Д, замшою «-го стоапая

СТОШ1ЦСМ

(Е1Г)»(«Г) - оператор, то формально одержувтьсиз Д( замЫою в- го стоппця стошнюм

{«<¿4, ...,«£>*>.

Тссрсмо С. Лкщо спектральной радиус матриц{ Н\р задоволъ-мяо нертпшъ р{П\р) < 1 , то: 1) (терацШний про чес (20), (21) збиачтъея до единого о Е розо 'язи)) {ж*,у*} системи р1оняпъ (17), (18); В) за допхльпих »терец» (20), (21) задоволъюпоть

рЬнктк (19); 3) розв'язок (я*,у*} задооольняе рюнгсть (19); 4) при п > 1 ¡тсрац1&ний процпс (¡¡0), (21) зоодитъеи до ¡тсрацгйного проще-су (22), (23).

Тсорсми 0. Лкщо епраоджустъся нсргомсть \\НО\\ < д < 1, де НО — {НО,г} ,>гттг0 оператори НО,, : Ег -* Е, задаються формулами

с Я

НО,гЫг ~ л„и>г - с,г(<р„и!г)г - ^2(Р,)ги},\

«=»

(а,г = 1,11), чю тсраци (20), (21) збЫютъся до розо'язку сьстсми (17), (16) не тохльнше за гсометрьчну ир огреет %з энаменником д тч маютъ м>сцс ос» тоердження теареми 5.

При 11 = 1 з теорем §9 вииливають тсореми §5. Достатш умови збЬмюст! для ¡тсрицШного процесу (20), (21) в водпочас достатшмн умопамп эбЬкиост» процссу (22), (23).

ТРЕ'ПЙ РОЗД1Л ириспячеииИ аиалЬу вплмву початкового ва-ближоиня на швидккть зб1жиост! в деяких 1Тсрац1Й1гих методах.

13н6)р початкового наближоння в »торац!йцнх методах для не-лнпйипх ршплиь пЫграе важлииу, а ¡иод] Й вирдоальну роль щодо 1х эастосовпость В лтШному ж пииадку шггашш внбору иульового иаближшиш, нршшймн! тоорешчио, часто нв^жають ипчерпшшм, осюльки, иаприклад, для звичойлого методу посл1довних наближень

Лх1»> + 1 (24)

Лого зГяжшсгь гарактувться умоиою />(/1) < 1 за всякого початкового ИПблПНчСНИЯ.

Використопуемо п!дх1д, сгшй дав можлилкть вияяктн множштн початконих иаближснь, за яких метод посл1доаних ииближель можа зб1гатись до единого розв'яаку рЬшямлл (8) иав1ть при р(А) > 1.

В §10 розглядаемо систему лмйиих алгебршчних ршшшь (1), записану у вигляд! (8). Вианшшо в!доиими влас»! числа Ai , Аа,.... А| та в1д1юв1дн1 Тм ортонормовак! нласн! всктори y>uV»i—>V>i матриц! Ат.

Позпачавмо через em (m = ТД) мпоидаиу таких z, як! задоволь-пяють рюшсть

ПриЙмемо

i

co=cinijn...nei= f]em.

n'l

Основиа теорема параграфу.

Теореме 7. Иехайх^ € Со» матриц* Л - Ийсна, npocmof струк' тури та jA(| 2 |Aj| ^ ••• 2 |А|| ¡> |А|+»| 2 •» 2 |А«|, modi однопара-метричний метод imepamvOMota агрегуоаннж sSitaemwr до рем'язкд ргвнлннж (8) при |Ai+i| <1.

Л ля «люстршш зостосуваиня паведепого фекту використагтЙ приклад рЬяипеиого аналогу ршшталя ITyacoifa о единичному киад-рат).

В $11, кр!м рЬюшия (8), роэглядавться рЫшошя

Dxab, (Щ

де D- л!шйиий обийжеяий оператор D i Е Е', Ь,л € Е', Е-дШсций бапахЬ прост!р, Скористаемось явшш ггерашйиим пРодосом

де {г,}- посл!довшсть (терацШяих параметр^, /- одияичаий оператор ъ Е.

Розглядаеио випадок, коли в1дом! власи! числа Aj,Aj,..,,A/ та в1дпов1дн1 1м власа! елементи ..............pi оператора D". = 1

(»= 17; '<«>)

hw а »171).

Поэпачнмо

4 = «»п 4 п ••• Пе', = с;.

1=1

Задля прикладу наведеио один з результатов дього параграфу.

Теорема в. Якщ^ А— компактный самоспряжений оператор, {А», п > 1} я <$(4)\{0} — сукупнхстъ веке нейулъових еласних

значень А, причому |А|| > )А»| > ... > |А/} > |А/+1} > |А/+1| > ... та

€ Со < |А|-н( <1, те однопараметри-чиий метод ¡тератиепого агрегуваюш

(¥>,«(»))

збпаеться да единого о £о резв 'жзку рЬнянгг (8).

Розглядавмо застосуватш теоремн 8 у випадку ктегрального • оператора А в £з[а,6|. Для прикладу пЬарахована к!льк5сть 1терац!й чебишевського ггераяШного процесу та методу просто! ¡терапи, коли О— обмежений само спряжений оператор в дайсяому пльбертовому простор!, а початксве наближеаая внбираеться э вкаэапоТ мпожгаш.

В додаткад прикладаються програшп иодуль ОСНОВН1 РЕЗУЛЬТАТ« РОВОТИ

1. Нобудоваш та дослшксш ггеращйш алгоритм» для лшШдих рЬвшь. XXI алгоритма в модифмсацЬши метод5в ¡теративпого агре-гувашшя I охоплюють як иетодв ¡тератхшного агрегувашш так 1 шш метода.

2. На оспохи результат» для модкфЬсованих итеративно - агре-гативпих алгоритмов отримат нов» достав уиовн збЫсност1 власве методш гсератнвного агрегування ! для одпопар аметр ичного \ для багагопараметр ичного вшадззв.

3. Пстаноален! нов! учови зб1жност1 зс «Чайного иетоду посл!-довних наблюкень для лМйних р!внянь.

4. Дослтджено реалнашю щодо зб!Жност1 та обчислюваль-но! стШкост5 заорооовованих алгоритма для систем лгаШвкх алге-браТчпих равняешь, для лшйвих гатегральних рташгаь ! п систем.

3 ТЕМИ ДИСЕРТА1Ш ОЛУБЛШОВАН1РОВОТИ:

1. Дсикт 1.1. БегатопарамотргпЕЯЙ иодпфЬгояагщй метод 1тора-тканого м'регупйпня для лшШшп штйгральпия р1апянь. Льв5а. полггехп. 1л-т. - Льва. 1993. - 10 с. • Дсп. в УкрШТБГ. 10.03.93, N449 - УкОЗ.

2. Дешов 1.1. Модафцсагая багатопз.раметрп'шого методу ¡тера-•ппзяого агрегувалпя для снсхеи лшйзпк пзтегральпгпс рюняш». ЛьпЬ. сся1тохп. ¡я-т. - ЛьаЬ, 1С93. - 10 с. -Дсп. я УкрШТЕ!. 10.03.S3, N450 - УкЭЗ.

3. Дегшз 1.1. ОдаопармлвтрттшвЛ иодифхкозашгЗ метод п-сра-тнвпого агрегуваппя для лшНЬшх Ьггегралышх р1згшпь. Льв1а. пол!техп. 1п-т. - 1893. - 9 с. - Деп. а У1срШТЕ1. 12.03.33 N479 -УхсЗЗ.

4. Дешиа 1.1. Модиф!кац1я одяопараметричяого методу 1тератзпшо-го агрегувалпя для систем лшйшп штегральпих ршшшь. Льсга. пол]техн. 1я-т. - 1993. - 9 с. - Леи. в УкрШТЕГ. 12.03.93.N480 -УкЭЗ.

5. Демюл 1.1. Модифжащя однопараметричпого методу итеративного агрегувалпя для систем лшйшгх алгебра!чпизг рттть. Львш. полггехп. ш-т. - Льв1в, 1093. - 12 с. - Доп. в Укр1НТЕ1. 12.03.93, N483 - У«93.

в. Демкш 1.1. Особлпвпй вкладок одпепараметричпого 1тераппшога агрегуаапня для лМПшп Ьггегралышх р!апяпь // В1сп. Льв1а. под!техн. 1н-ту. 1993. N269. с. 45-46.

7. Деммга И.И., Шупар Б.А. О рошсшш лилейных интегральных уравнений с помощью сеточпо-лтеративпыя алгоритмов. - В сб. Тезисы докладов республиканской научной конференции - "Экстремальные задачи теории лркЗлигяенил н их прпложешгя", Киев, 1990, с. 43 - 47.

8. Демкиэ И.И., ИГ уз ар Б.А. О пулевом приближении я методе последовательных приближений л ял лхшсйкьпг ураапший. // Нов. подходы к решению даффорепц. ураапошгй: 3 Всос. копф., Дро-гобач, 17-21 гсояя, 1991: Тез. докл. -М., 1991. - с.40.

9. Демкив И.И., III уз ар Б.А. Обобщение метода итеративного агрегирования для липейпш хштегралыют урглшежй, Льзоз. полп-техп. нп-т. - Львов, 1932. - 14с. - Лея. а УкрНИИИТИ 15.01.92, N45 - Ук92.

10.Демкш 1.1, Шупар В.А. Про метод посл1дешотх паблизхепь дпя скотгм .ттйяих Ьгтсгргитыгая ршняяь. - Вкикя Лыпв, комитета.

1н-ту N261. - Дифереиц1альн1 рЬшшая та 7х з&стосування. 1992!, с. 31-34.

11. ДемкЬ 1.1, Шувар Ь.В. Модиф1кац1я багаТопараметричного методу ЬеративноГо агрегувалня для систем лЬпйних алгебраТчнйх р1вшшь. Льв1в. иол1техн. 1п-т. - Льв1в. 1993. - 10 с. - Дел. » УкрШТЫ. 10.03.93. N448 - Ух93. И. СлоньовськнЙ Р.В., Кемхш II. Модиф5ксшан1 агрегативно - !те-раа1йп1 ыегоди для систем лЫйних алгебраТчяих р!внявь //Лан-Цюгов! дроби, )х узаггльяенпя та застосувавня: Тсзи доп. иЬкяа-родао! школИ - сем1нару. - Льв!в, 1994. - с. 13.

13. Шувар В. А., ДемкЬ 1.1. Ваготопараметрична модифжащя 5тсра-тивпого агрегування для лЫЙлих р]внянь. Льв!в. йол!техп. 1я-т.

, - Льв!в, 1993. - 10 с. -Деп. Й УкрШТЫ, 10.03.93. N447. Ук93.

14. Шувар В.А., Демк1в 1.1. (Эднонараметрйчаа модиф1кац!я 1тера-Т1юпого агрегувошй для л1й1йшпс р1паяпь. Льв1в. пол!техн. 1я-т.

, Льв5в, 1993. - 9 с/Деп. й Укр1НТЕ1. 12.03.93. N484. - Ук93. И: Шувар В.А., Демкй 1.1. ОптнмЬап1я вибору НочатковоГо йаблй-жеппя а ЬерацШнкх методах // Питания огтш1зап11 обчислень: Тез.Доп. с»мпоз1уму. - Ки1в, 1993. - с.

Особпстий вклад. Вс5 результата, то складаготь осповш!Й • ЗМ1СТ дисерташйпоТ робота, отримат автором самоспйно. В пу-6л!кап1ях, як! нацисан! й сп!вавторств1, дисертантов! належать: в робот! (7]- формулювавйя 1 доведения осйовних результат!в, в робот! [9]- доведения Теореми 2, в робот! (10]- доведения пасл!дку з основ-ноТ теореми, в роботах (8, 11-14]- формулювання I доведения теорей про зб!жн'ютъ модифжованйх алгоритм!в итеративного агрегування, в робот! [15]- доведения теореми про найкращий виб!р початковогЬ наближешгя та результаты щодо пор!вшлшя з явними 1терац!йтшй схемами.

Автор ВНСЛОВЛЮ5 тиру вдячизсть науковим кер1втткам, доктору ф13.-мат. наук, професору Слоньовському Р.В. та доценту Шу-вару Б.А., за кер!вництво 5 постШну увагу до роОоти.

liior Demkiv. Iterative aggregation methods of lineal operator equations solving: ronstruction,inve3tlgation ^d applications.

Pb.I). Thesis (phisics and mathematics), 01.01.0,7 - ^urnericaj inatics . *:.'

Ivan Flraako Lviy State University, Lviy, 1995. j

iterative algorithms based on the ideas of iterative aggregation me- ' thods have been constructed and investigated. Sufficient conditions of these methods convergence are established for linear equations. Applications of these methods to linear algebraic equation systems and linear integral equations witbwnataiit integration limits are also considered.

Демкив И.И. Построение в исследование итеративно-эгрега-тивкых методов решения линейных операторных уравнений 'р 1К приложение. Рукопись.

Диссертация па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук во специальности 01.01,07 • нычислитсдьная математика, Львовский госуниверситет им. Йв. .Франко, Львов, ■1995. .' * ' " '' ■ -• -■•• •• "У-';'»

Достроены и исследованы итерационные алгоритмы, базирующиеся на идеях методов итеративного агрегирования. Установлены достаточные условия их сходимости для линейных уравнений. Рассмотрены их применения к системам шшейпых алгебраических уравнении и к линейным интегральный уравнениям ,с постоянными пределами интегрирования. :"..";.

Ключов! слова: ¡тсрахдаае агрегування, ^б)жщсть, ошнки nocii, цаближевня, параметрнзаодя.