Построение и применение векторных функции Ляпунова для сложных систем с распределенными параметрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

О' р, С О 9 .

П и и о ¿Н РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИРКУТСКИЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

На правах рукописи

КОЗЛОВ Дмитрий Равилевич

ПОСТРОЕНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ФУНЩГЛ ЛЯПУНОВА ДЛЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

oi.oi.il - системный анализ и автоматическое управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск - 1992

Работа выполнена в Иркутском вычислительном центре СО РАН

НиУшш БКи,

а В.М.Матросов

Оффицнальные оппоненты - доктор технических наук,

профессор Т.К.Сиразетдинов, - кандидат физико-математических наук А.В.Лакеев

Ведущая организация - Вычислительный центр Российской Академии наук

Защита состоится "_"_;_1992 г. в _-часов

на заседании специализированного совета К 003.64.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Иркутском вычислительном центре СО РАН по адресу: 664033,■ г.Иркутск-зз, ул. Лермонтова, 134.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Иркутского вычислительного центра СО РАН.

Автореферат разослан "__1992 г.

Ученый секретарь Специализированного

совета

• • з[ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последнее время потребности практики приводят к необходимости исследования сложных динамических систем. Такие системы характеризуются высокой размерностью, многосвяэностыо, а также наличием подсистем различной природа, в том числе и подсистем с распределенными параметрами.

Одним из переспективных методов исследования таких систем считается комбинация принципа сравнения с векторной функцией Ляпунова (МЛ) и метода декомпозиции, предложенная Н.Ф. Бейли. Работы Д.Д.Шильяка, Л.Т.Груйича, А.Н.Митчела и Р.К.Миллера, А.А.Мартынюка, В.М.Матросова, А.С.Землякова, А.А.Воронова и др. показали эффективность такого, подхода. При практической его реализации одной из наиболее сложных является проблема построения функций или функционалов Ляпунова (ФЛ) для подсистем, удовлетворяющих теоремам об устойчивости.

Первый результат по построению квадратичной ФЛ (КФЛ), матрица которой находилась как решение матричного уравнения, был получен еще А.М.Ляпуновым. Для линейных уравнений в гильбертовом пространстве с ограниченными операторами аналогичные результаты по построению КФЛ получены М.Г.Крепком.

Значительно более сложно проблема построения ФЛ решается для распределенных систем и дифференциальных уравнений с неограниченными операторами. Вопросы существования КФЛ для таких уравнений изучались Р.Датко, Г.Р.Быоисом, Г.Н.Мильштей-ном, А.Л.Лихтарниковым и др. Т.К.Сиразетдиновым были предложены в качестве КФЛ И успешно использованы в ряде прикладных задач интегральные квадратичные формы, нахождение которых сводится к решению операторного уравнения Ляпунова в виде линейных краевых задач. Наиболее общие условия существования решений операторных уравнений Ляпунова даны В.С.Белоносовым.

Важнейшим способом построения ФЛ является также использование функционалов, имеющих физический смысл. На таком пути для сложных распределенных механических систем конкретные конструкции ФЛ в виде интегральных связок даны В.В.Румянцевым, В.Н.Рубановским, М.К.Набиуллиным и др.

Другой подход к построению ВФЛ и соответствующих систем сравнения (СО) связан с решением спектральных задач. Для ко-

иечномерных систем известны работы В.М.Матросова, А.С.Земля-кова, Д.Д.Шильяка по построению квадратичных ВФЛ, Р.И.Козлова по построению ВФЛ с компонентами вида "модуль линейной формы" или "норма линейного отображения" для бесконечномерного случая. Такой подход может рассматриваться также как использование декомпозиции исходной системы на подсистемы, обусловленные спектральным разложением оператора линейной части системы.

Проблемой дальнейшего развития теории.сложных систем является обобщение и сочетание названных подходов применительно к исследованию сложных систем с распределенными параметрами, описываемых системами .уравнения в банаховом пространстве с неограниченными операторами.

Цель работы. Разработка основанных на декомпозиции способов построения ВФЛ для свойства экспоненциальной устойчивости (ЭУ) по "мерам" ("векторным мерам") сложных систем,

\ •

содержащих распределенные подсистемы, исследование вопросов существования и построения ФЛ для таких подсистем, представляющих дифференциальные уравнения с неограниченными операторами и применение предложенных способов в задачах устойчивости и стабилизации конкретных систем с подсистемами, описываемыми уравнениями с частными производными.

Методика исследования. Для доказательства основных положений и теорем диссертации использовались методы функционального анализа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, теории устойчивости и метод сравнения с ВФЛ.

Научная новизна и практическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются новыми и носят теоретический характер.

Для линейных уравнений в гильбертовом пространстве решена проблема существования КФЛ, в том числе, дающих точные • экспоненциальные оценки. Получена теорема об ЭУ в банаховом пространстве с двумя ФЛ, позволяющая применять в качестве ФЛ функционалы с незнакоопределенными производными.

Обобщен способ исследования ЭУ сложных систем на основе декомпозиции и составлении ВФЛ из ФЛ для подсистем, решен'вопрос об оптимизации матрицу СС. Предложен новый способ агрегирования ВФЛ и некоторых типов СС.

Разработан способ построения ВФЛ с компонентами вила "степень квадратичного функционала", охватывающих известные конструкции, получены условия их существования. Найдены соответствующие СС для некоторых классов уравнения в гильбертовом пространстве с неограниченными операторами.

Полученные методы и процедуры использованы для исследования ЭУ и стабилизации нескольких конкретных сложных физических и механических систем с распределенными параметрами.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на конференции молодых ученых (19В9), семинарах Иркутского ВЦ СО АН СССР, на конференции ЛГУ (Ленинград,1990), научных школах-семинарах "Моделирование и исследование устойчивости физических процессов (Киев 1990, 1991), семинаре Северного технологического института (Вилленюв-д'Аск, Франция, 1990), республиканском научно-техническом семинаре "Машинные методы в задачах механики, устойчивости и управления" (Казань,1990), международном семинаре "Методы и программное обеспечение для систем автоматического управления" (Иркутск, 1991), VI Всесоюзной Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 1992).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 печатных работах.

Структура и оО"ем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения (120 страниц) и списка литературы из наименований на Ю страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обоснование актуальности темы, обзор литературы, связанной с темой диссертации, краткую аннотацию по главам.

Первая глава диссертации посвящена построению ФЛ для свойства ЭУ по произвольным "мерам" р, р0 распределенных подсистем сложной динамической системы, представляющих дифференциальные уравнения в банаховом пространстве В с неограниченным оператором

х = Х(1;,х) (1)

где ХГТхП — в, П = В, Т=С0,®). Решение х=х(г,ъо,хо) (право-

стороннее или в смысле Каратеодори) предполагается существующим Vx^eifsft и продолжимым на Т. ЭУ по "мерам" р=р(t.x), ро= =po(to,xo) понимается в следующем смысле:

(В7>0, 3с>0, 3а>0 Ухо*П°: po(ta ,XQ)<7. Vt>tu)

p(t,x(t,t0,x0)) 5 cp0(t0,xo)exp(-a(t-to)) (2)

В §§ 1.1 и 1.2 рассматривается линейное уравнение

х = Lx, (3)

L:D^—»H, Н-вещественное гильбертово пространство, D^-плотна в Н, (*,•) и «'В - соответственно скалярное произведение и норма в Н. Предполагается ИхВ2ар(х)£Ьро(х), а.Ь-conot.

Квадратичный функционал v(x)=(x,Wx), w:H—Н, №=ЭС(Н), где iK(H)-класс линейных ограниченных самосопряженных операторов в Н, будем называть КФЛ для уравнения (3), если 1) v(x)äap2 (х), 2) v(x)ibp^ (х), 3) v(x)£-cv(x). (или v(x)£-dp*(x)), где а>0, b,c>0,d>0 - const, v(x)=(Lx,Wx)+(x,WLx) - правая производная в силу (3). Если Vfe(o,Tr), где 7=етц> а в (2), существует КФЛ тагсоа, что

v(x) ^ -2г,Ш - г(х), r(x)SO, (4)

то будем говорить, что v(x) удовлетворяет«точной экспоненциальной оценке. Для такого КФЛ оператор W ищется как определенно положительное в смысле 1) (М»0> решение уравнения

(Lx,Wx)+(x,WLx) = -2у(x,Wx) - г(х) (5)

при некотором 7^0,7) и r(x) = (x,Rx), ReiffH), ВЮ.

Оператор L назовем Ыо-полуограниченным сверху (^-ограниченным), если 3 c-conat, 3 WoefC(H), Wo»0: vxeDL (Lx,WQx)S 5cp2(x) (l.(Lx,Wx)|£cpS(x)).

Теорема 1.2. Для того, чтобы для ЭУ уравнения (3) при некотором Ee^f(H), R->0, при любом t^io.y), существовал КФЛ v(x), удовлетворяющий (4), необходима и достаточна Wo-полуог- . раниченность оператора L сверху.

Приведен пример (линейное уравнение теплопроводности с нулевыми граничными условиями), показывающий,что в отличие от случая,когда L-ограниченный оператор,не для любого ReCK(H),RvO решение уравнения (5) W (даже при 7=0) будет определенно положительным и v=(x,Wx) не является КФЛ в принятом выше смысле.

Теорема 1.3. Для того, чтобы для ЭУ уравнения (3) при

любых Redero, R>.o и тгеЮ.^э, существовал КФЛ v<x), удовлетворяющий (л), необходима и достаточна ^-ограниченность для L. Здесь же получен критерий ЭУ по первому приближению. В § 1.2 доказаны теоремы 1.5, 1.6, аналогичные теоремам 1.г и 1.3, но с заменой требования ЭУ для уравнения (3) на резольвентное условие Белоносова,обеспечивающее существование решения уравнения (S). Далее показано, что условия:

со

а) спектр oCLi оператора L дискретен: o<L3= U П .ПгР^0

к= i 1 '

(ífj), где Пк-конечные множества (k=i ,2,...);

б) спектральные проекторы <рк}^'.1» отвечающие множествам <ПК>К.1, конечномерны, а подпространства н^-p^íi (k-i ,2,... ),

где Н - комплексное расширение н, образуют базис Рисса из подпространств в н,

обеспечивают WQ-полуограниченность сверху оператора L.

Теорема 1.7. Пусть 7o=sup ReoCLrxo, выпо.шены условия

а),б) и для размерностей пк подпространств Нк шах_ nK=M < го-

_ К=1 .со

Тогда уравнение (3) ЭУ с 7=-ч0, и существует КФЛ, удовлетворяющий точной экспоненциальной оценке.

В доказательстве теоремы 1.7 дается процедура построения КФЛ,не требующая решения операторного уравнения Ляпунова (5).

В § 1.3 доказана, теорема об ЭУ по "мерам" р, ро уравнения (1) с использованием двух ФЛ, позволяющая использовать в качестве ФЛ функционалы, не имеющие отрицательную производную.

Теорема 1.8. Пусть существуют неотрицательные фушециона-лы_Нt,хЭ , w^ct,х5 и функционалы v^ct.xJ и v^t.xJ такие,что

в в* л íCt,x5eTx[J: pct,x><k, k>o-const> выполняются условия:

а 1-а

1) V Ct,x)<a W Ct-хЭ+Ь W Ct.xD+c W Ct.xDW Ct.xJ, aetO.ll; ' 1 ' 1 < ' 12" <1 * 2 ' " 1 '

2) V(t,*)<-d»Ct.x). d >0 - const;

i ' » i ' ' i

. a í-a

3) V Ct,x><d W Ct,x3-h W Ct,x3+q W zCt,x3W *Ct,xD ,h >0,a eCO,ll;

' X ' 2 1 22* 2 1 ' 2 2 2 '

4) V^Ct ,x>S:bopVCl ,хЭ , bo>0, v>0 - const;

5) |VCt,x3|<c VCt.x), с -const;

2 OI O

б) VCt.x íeB* ri CÍO,aüxífУ VCt.x pVCt.x a -const. ' * o o " í'o o o o o

Тогда уравнение (1) ЭУ по "мерам" р, р0.

Вторая глава посвящена развитию метода декомпозиции-агрегирования сложных систем и оптимизации матрицы линейной СС. В б 2.1 рассматривается сложная динамическая система

х = X(t,x. ) + X(t,x), 1=T~Ü. (6)

m m

Здесь xeílsB^, x = col x« Q = f~| fl s f] 13 =B, B^- банаховы.

isi.m ¿ = i i = l

ГГ» л» _

X ejf=n if, Cf s Q , teT; XÍXxQ—В, X. :TxQ—B ,i=l,m. OrO 11 I I I1 k V k k k*

L = 1

носительно решений остаются все предположения, сделанные для уравнения (1). В пространствах В , i=l,m вводятся "меры" pt и , а в В - "меры" р=» col р. и и р =" col р„ » , где

Ok ~—^ k m О о к HI

1 = 1,m L — l , m

»•»т- какая-либо норма в Bf. Подсистемы системы (6)

х = xtt.xj, i=I7í, (7)

полученные отбрасыванием членов Х^ (t, х) - изолированные.

Теорема 2.1. (Обобщенная теорема Беали) Пусть для каждой

подсистемы (7) построен непрерывный по норме lt|+«xi» ФЛ

к.

Vi(t,xi), удовлетворяющий' для любых (t.x^JeB (tQ,xQi)«='.

i

1С

«В 1 оценкам: poi .

1) с p?(t,x )£V <*,х ); V (t ,х„ (t ,х„ );

1 * I к к к* О Ок ' к2 Ок О' Ок.'*

2) DV(t,x)l £-0 d (t,x ),. с >0, с >0, в >0, £>0 - conet,

' t к1 ' к' О гк к к * 11 12 *Г1

(D^V. (t,xi>to - верхняя правая производная от V (t,xt) • в силу (7), d (ъ,х ) - некоторый функционал) s

3) Ъ d (t,x )<V (t,x )£Ь d U,X ), h X>, Ъ - conat;

' ti r k k* p k kZ k ' k kl k2

Для D^Vft.x) в силу (6) при любых (t.x)eBp = {(t,x): (t,xt)e к.

ев 1} выполняется условие

«Ч ' П) CL

4) ¿DV(t,x) = DV.(t,x) - DV (t,x)l í £ p d. li(t,x )x

»-<*.. _

Xdj ^(t.X^, OL -const, 0<O..Í1, p. ¿O при l*¿.

Существует матрица «={ei¿}™ с единичной диагональю и положительными элементами такая, что матрица

I m • Pi

P E a e. p. - t— , S sp.-p >0;

b. и urtj b. " ' t "t r».i

II 12 <8) -a. ./«-a .> ß .

p. =(l-a. ,}e. lJ lJ при a. <1 и p. .=0 при a =1,1*;{,

IJ Ч и Ь^ t ^ -4, r u » »»

1,j=1, m, удовлетворяет условиям Севастьянова-Котелянского.Тогда система (6) ЭУ по "мерам" р,р0,а если В*=Т.<0,то ЭУ в целом.

Из теоремы 2,1 при соответствующем выборе всех параметров и функционалов d получаются как следствия многие обобщения теоремы Белли. Доказаны модификация теоремы 2.1 (теорема 2.2), в которой в условиях 2) и 4), оценки рД(Ъ,х)1о и ADVt(t,jO содержат дополнительные нелинейные члены, а также критерий ЭУ сложной системы по первому приближению.

В б 2.2 решается задача глобальной оптимизации матрицы СС (8) P{S) за счет выбора параметров з. В качестве критерия оптимальности берется условие min \ы (Р), где А-м (Р) - максимальное собственное значение матрицы СС Р(3). Определим позитивную матрицу

Яг-ßX,. ЯгЭцЧГ" <9>

где постоянные р*,Ь^,Ь2,<1. - из формулировки теоремы 2.1. Теорема 3.3. Для матрицы Р(«) будет Inf \,(Р)=\,. где

S Inf тах_ (i Е ЧцУ™^ у] 'S. (10)

у/О ist,TT) I j=t

т.е. для v я>Хм 3 такая, что *м(Р(3))<л. Если в

(10) Inf достигается при у>0, то з л.и(Р(8))=\,, т.е.

существует оптимальная матрица СС.

Выполнение условий 1)-4) теоремы 2.1 и Лы<0 достаточно для ЭУ сложной системы. Для случая одинаковых <х.,т.е. v i,j= =l,m, a.tj=a, теорема 2.3 значительно упрощается, и для а.м(Р)

будет Inf ä.m(p)=ä,m(q), где \и(Q) - максимальное собственное значение матрицы Q (9). При \M(Q)<0 и выполнении условия 1)-4) теоремы 2.1 система (6) ЭУ по "мерам" р, р0 (теорема 2.4).

В 5 2.3 для сокращения размерности ВФЛ и СС разработана процедура агрегирования,дающая в некоторых случаях лучшие результаты по сравнению с известными и использующая векторно-

евклидову норму: для jr=Rn, llyll<j=( £ у*) ^. Для неотрицатель-

i = i

ной ВФЛ u=u(t,x)= col u'eRm агрегирование вводятся следующим J = i . m

n

образом; выделяются подвекторы u=coluJeHl так, что и=

Г>

= col ц , liním, Е n =т; вводятся весовые вещественные неосо-

i = i . n 1 = 1 _

бенные симметрические матрицы Б , i=l,n. Компоцевты агрегированной ВФЛ V= cgi V берутся в виде v=aWLie, H^E^u . Аг-

L=i,n t

регирование СС заключается в построении из СО z=f(z) для u СС для V. Рассматривались следующие типы СС: линейная (f(z)=Vz, Р-(вкш) позитивная матрица), однородная пе.рвого порядка

. Cl. l-U __Í-CL

(f'(z)=(z') JQz J, j=l,n; Û5a <l-conet; z Je

î-U 1

s coj_(zv) Q = lino q , g ао при v*j), полиномиальная

V=i.m 1 v-l.m Ji' ,V

(i'(z)=(zi) 'bit(Bz'P')Bz'^, J=ï7m; B-(fc<m) постоянная матрица; îi(d)-(r<k) неотрицательная полиномиальная относительно компонент вектора d матрица; H-(lxr) вектор-строка;

o<p¿i - conot, d=l,m; z'^'s col (zv ) v), СС для нелинейной

J V=i. m

а 0 Р 0

управляемой системы (f'(z)=(zJ) JKtoax{Tz J; CsiaxfFz J;Hz '}+ ^ J

+Uz }, где К -вектор-строка длиной s; T,G,F,H,U - постоянные матрицы размеров (e*m), (a*k)? (kxm), (к*ш), (ехш), а. и pj, d= —11ш такт !ке, как и выше), а также СО, представляющие объединение (сумму) перечисленных. Агрегируются два типа оценок, например р(х) ¿ Qu*(t,x) и u £ Gp^fx^), (Q и G - постоянные неотрицательные (í.<m) и '(вх*0) матрицы, t>0,v>0-const), связывающих компоненты ВФЛ и векторные "меры" р(х) и pQ(х) состояния, по которой»! исследуется устойчивость. В качестве р, ро при этом используются векторные нормы переменных состояния, которые определяются следующим образом, Для произвольного банахова пространства В с нормой В•Вв векторная норма рс(х) определяется как

р (*)= coL picxï, ill)

i=«.tt к е '

Г* - линейные ограниченные операторы в Е, .d=l,с.

Получающиеся в результате агрегирования СС и оценки нме-

от ту же структуру, .которая была до агрегирования. Это позволяет применять описанные процедуры итерационно.

В третьей главе для исследования уравнений в гильбертовом пространстве с неограниченным оператором рассматриваются ВФЛ с компонентами вида "степень квадратичного . функционала", которые охватывают многие употребительные классы ВФЛ, в том числе квадратичные и сублинейные. Для некоторых классов уравнений приводятся процедуры построения СС, количественных оценок процессов, оценок,связывающих ВФЛ и переменные состояния, а также исследуются вопросы существования введенных ВФЛ.

В § 3.1 рассматривается линейное уравнение (3). В пространстве Н вводятся векторные нормы р(х) и Ра(х) аналогично (11). ВФЛ V(x) берется в виде

V(x) = col V (х), V. (х)=(х,Нх)*, i=l7ñ, f>0,5-conat, (12)

i = i . rt „ „

где операторы Ие9С(Н), WiO, Н-комплексная оболочка Н. Для оператора B=Bi®,-,®Ri, R =(H )*' , 1=1,п, предполагается на существование ограниченного левого обратного В~'= =(B"i)1®- • •e(R"1)n и для операторов q^R ЦВ"1)', i,d=I7ñ счетается, что при они ограничены, а при l=j - ограничены сверху. О учетом всех сделанных предположений, обозначая (j fiR x и вычисляя в силу (3) производную vl(x)= =2E(£sl,ei){"iRo(ei.ht), получаем СС вида

i -

yt=puy + Е plí vt ' s у/ \ i=l,n, (13)

j=».j¡*l

где матрица вычисляется по формулам

pa=2t вир Re (а^.в^)

plj=2{»q.», i,á=T~í.

Оценки, связывающие V(x) и р(х), р„(х) имеют вид

\(хо>~(Ро<хоЬ«,Р0(*,), i=l,n, (р>(х))*5(У /M(X),GV /l£(x)), d = l71,

Í16)

для матриц Ч^, 1=1,п, и Я(, ,5=1,' даются явные формулы вычисления через нормы операторов , Г^, Г0* (Г0=Г^®-»"«Г^ ).

В б 3.2 строятс.я СО для нелинейной системы, имеющей полиномиальные пне а кн не./пшейностей и нелинейной управляемой

системы. Рассматривается нелинейная система

х = 1л + 01>(<;,х), (16)

где Ф:ТхН-ч•Нф, С:И1—Н - нелинейный и линейный ограниченные операторы, 1^-банахово пространство с векторной нормой рф(х) типа (11). Предполагается, что для Ф выполнена оценка рф(Ф)5 где неотрицательная полиномиальная мат-

рица, е=ре(нх),ы:н—9-линеаный ограниченный оператор, 8-бана-хово пространство с векторной нормой р0.Для (16) СС имеет вид

2 I- 1 1__1_ 1_

р гЕ + 2(у.гЕ ИИ(В уг!)ВеИ{,1=1^, (17)

где матрица Р вычисляется по формуле (14). Получены также явные формулы для вычисления вектор-строк И (и матрицы В0 через нормы операторов И, в.

Далее рассматривается нелинейная управляемая система

х=Лх+Вр(г,х,а)+С1(Ъ,х), а-ОрСЪ.х.ц). -Г)=1>х, (10)

где Л: —-Н - линейный замкнутый оператор, В: «Н, и: Н—'Н1 -ограниченные операторы, С-(в<*) постоянная матрица, С,Ф такие же как в (16). Характеристика ф предполагается функцией класса определяемого соотношениями

т1п(а; а-Д^о! ) £ ф(Ъ,х,о) ^ шах(-о; а+Д^ст!), где л =а1аа_о<р - параметры, задающие "расвор" сектора для не-

^ I ~ 1.» 1 ____

линейности ф 1=1,в), вектор о характеризует насыще-

ние. Аналогично для характеристики измерителей <|> считается феы^гуя). Для (1В) С'С получается в виде у1=^(у)+^(у), 1= =1,п, где компоненты ^(у) представляют правую часть в (17), вычисленную при Ь=А+ВСО, компоненты £^(у) имеют виц

^(У)=2£У12 * Ктах{Ту2(1+Д ) | С|тахСД^Ру* Е ;¥у2 Е-^>+Д(()Ту2 { ),

1=1,п, Т,Р - постоянные матрицы размера (ахп), К-(1хе) вектор-строки, для вычисления которых даются явные формулы.

Можно отметить,что СС и оценки, связывающие У(х) и р(х), р0(х), полученные в §§ 3.1-3,3, имеют вид для которого применимо агрегирование из § 2.3.

На основе полученных выше процедур в § 3.3 строится СС дая сложной системы (в),где изолированные подсистемы имеют ввд

(18). Связи между подсистемами предполагаются квазилинейными

— П О». . Л,. ______

Х(Ъ,х)= 2 Л^х + С1ф1. (, х), 1=1,т,

где Ам:н'—Н^ - линейные ограниченные операторы. О1, и Ф1 определяются аналогично тому, как это было для (18).

В § 3.4 для построенных СС приводится критерий ЭУ в виде условия Севастьянова-Котелянского для матрицы при однородных первого порядка членах в правой части СС, строятся экспоненциальные оценки решений СС и приводятся формулы для вычисления всех показателей таких оценок. Аналогичные условия и количественные оценки получены для исходных систем (16),(18) или сложной системы (6).

В § 3.5 рассматривается вопрос существования введенных ВФЛ для уравнения (3). Пусть о(Ь) - спектр оператора 1> имеет

п

представление а(Ь)= 1)я, о.г>а.=0 при Разбиение о(Ь)

к =1 «!" 1 1 ~ порождает разложение Н в прямую сумму подпространств Н ,

1=1,п, инвариантных относительно комплексного расширения Ь

оператора Ь и таких, что спектр ) сужения Ь оператора Ь

на Н совпадает с а. Обозначим у.^вир йва, 1=1,п.

Теорема 3.3. Пусть все 71<0, 1=1,п и выполнены условия:

1) Уу: 0<7<-7. Эс >0-сотЛ): II (Л.+7)(Ь)-яГ)",П<^ при Иеха—^ (1^ - тождественный оператор вн.);

2) оператор I» Я>о-полуограничен сверху.

Тогда У£>0,5) существует п-мерная ВФЛ "(х) вида (12),

удовлетворяющая опенкам (15) и и, (х() )£1л (хо )ехр (2£х е^е, 1=1, п. Матрица СС Р, определяемая по формулам (14), имеет вид г^-^+е^.

В некоторых случаях доказывается не только существование ВФЛ, но дается и способ ее построения.

Теорема 3.4. Утверждение .теоремы 3.3 остается справедливо, если условия 1), 2) заменить на следующие: оператор I» имеет дискретный ограниченный справа спектр о(Ь)={Хт> , вир Не\ 7о~сопв^ собственные и присоединенные к ним

т= 1 ,00 ~

элементы образуют в Н базис Рисса и длины "т-1 жордановых цепочек из собственного и присоединенных к нему элементов равномерно по т ограничены п^Ы.

Доказательство теорем 3.3 и 3.4 основано на использова-

нии теорем 1.5 и 1.7 для I , 1=1,п. В теореме 3.4 компоненты ВФЛ ^(х) строятся в виде о (х)=( Е (х.р'т'т Р х))*, 1=Т7п,

1 с ш т ш т

X ео

„ т V

{>0,5, где Рт-проекторы Н на корневые подпространства, соответствующие собственным и присоединенным векторам, Тт-операторы, преобразующие I. =Р Г« Р в операторы Л^Т^Ь^Т'1, определяемые

клетками Иордана Л с заданными е>0 над главной диагональю, е

В 5 3.5 указывается также что спектральное расщепление оператора Ь системы (3) можно рассматривать как декомпозицию этой системы на взаимосвязанные, вообще говоря (при неточном определении спектра а(Ь) и спектральных проекторов) подсистемы, после чего может применяться теорема 2.1.

В главе 4 полученные в первых трех главах методы и процедуры построения ВФЛ, СС и исследования ЭУ применяются для исследования устойчивости некоторых конкретных сложных систем, содержащих распределенные подсистемы.

В § 4.1 исследуется ЭУ химического процесса в реакторе, описываемого системой уравнений первого порядка с частными производными. Выбирая КФЛ для изолированных подсистем в виде интегральных квадратичных форм, применявшихся Т.К.Сиразетди-новым и составляя из них ВФЛ, на основании теорем 2.1 и 2.4 получаем условия ЭУ менее жесткие, чем полученные для аналогичной системы с использованием скалярного ФЛ.

В § 4.2 строится ВФЛ и исследуется ЭУ сложной системы, состоящей из двух подсистем: нелинейного уравнения теплопроводности, описывающего распространение тепла в стержне и системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей источник нагрева. В качестве первой компоненты ВФЛ берется интегральный квадратичный функционал, второй - квадратичная форма с определенно положительной матрицей. При определенных (выписываемых явно) условиях на коэффициенты системы будут выполнены все требования теорем 2.2 и 2.4 и нулевое решение -ЭУ по "мере", равной сумме норм пространств ^ и Ц.

В § 4.3 с помощью результатов § 1.3 и теорем §§ 2.1, 2.2 исследуется ЭУ плоских угловых движений около заданного направления механической системы, состоящей из твердого тела с защемленным в нем весомым упругим нерастяжимым стержнем,подвижно установленного на основании, совершающем движения вок-

руг неподвижной точки,и динамической' системы стабилизации положения основания. Уравнения движения такой системы имекгг вид i i

J(u)7 + 27mJ(uü-a(s)u' ¿' )ds + mJ(a+o)üdo = Q1+Q1 , <19)

o o

m(u+7(a+o) - 72(u+(o(o)u' )' )+oúv = Qc+Qe &г[0,О, (20)

Ла = , xz+z=-rt (а-ао )-r2á , (21)

с граничными условиями u(t,0)=u' (t,0)=u"(t,£)=u'"(t,¿)=0, t¿0, где для u=u(t,o) обозначено u^f^r. u' J(u) - момент инерции системы "тело + стержень"; х>0 - постоянная времени привода основания; rt>0, г2>0-постоянные коэффициента управления; Qt, Qc, Qo и Q , Qc, Qo - соответственно линейные и нелинейные части всех сил и моментов, действующих в системе. Система (19)-(21) разбивается на две подсистемы: первая-(19). (20), т.е. подсистема "тело + стержень", вторая - (21) "основание" с его системой управления. Первой компонентой ВФЛ служит ФЛ для первой подсистемы, построенный на основании теоремы 1.8 в виде связки двух функционалов, имеющих физический смысл (функционал полной энергии и функционал, выраженный произведением обобщенных координат и импульсов), второй компонентой - определенно положительная квадратичная форма переменных a,a,z. Условия ЭУ системы (19)-(21) в виде проверяемых явно условий на коэффициенты системы получаются с помощью теорем 2.1, 2.4 и следствия 2.1 из § 2.1 (критерия ЭУ нелинейной системы по первому приближению).

В последнем параграфе решается задача модальной стабилизации управляемого колебательного процесса, описываемого нелинейным гиперболическим уравнением

32у ду 6у

—Г = Ау - k— о(и)и + Ф<Ъ,у,—,э), (22)

аъ ¿t dt

f f

o(e)=llne{c (и) ;c (a)>, u=col{K lh(e)yda; К g(e)—do)

12 ÍJ x* ¿t D D

с граничными условиями Здесь a= col aeDci/; A=

i = i . r

г . J

= £ (a (a)j^ )-Ь(в)-эллиптический оператор, функции а^ i.j=t i *' i _ измеримы и ограничены в D; k>0-conut; u-управленке, Kt и Кг -

постоянные матрицы коэффициентов управления; h(n),я(о),

сь(в), 1=1,2 - функции из Ь2(0) со значениями в н1; феЦ(О).

При соответствующем определении операторов и выборе пространства задача (22) сводится к виду (16). Для построения ВФЛ по линейной часта уравнения (16) используется процедура, описанная в доказательстве теоремы 3.4. Система сравнения и оценки, связывающие ВФЛ с векторной нормой переменных состояния, строятся с использованием результатов §5 3.1, 3.2.

На основании результатов § 3.4 выполненные построения позволяют сделать следующие вывода. Если размерность управления I выбрана достаточно большой,то уравнение (22) может быть стабилизирований до ЭУ путем подзора матриц обратной связи и К2, причем по первым заданным I "модам" могут быть получены нужные частоты колебаний и степени их затухания.

Заключение. В диссертационной работе получены и выносятся на защиту следующие результаты:

1. Необходимые и достаточные условия положительно определенной разрешимости операторного уравнения Ляпунова и существования КФЛ, удовлетворяющих точным экспоненциальным оценкам для линейного стационарного уравнения в гильбертовом пространстве с неограниченным оператором, условия ЭУ по первому приближению, а в случае, когда оператор линейного приближения имеет дискретный спектр и базисную по Риссу систему собственных и присоединенных функций, также и способ построения КФЛ.

2. Условия ЭУ дифференциальных уравнений в. банаховом пространстве с неограниченными операторами в виде теоремы с двумя функционалами Ляпунова, позволяющей использовать функционалы с незнакоопределенными производными.

3. Обобщение на бесконечномерный случай и более общие предположения о межсистемных связях способа исследования ЭУ сложных систем, основанного на их декомпозиции и составлении ВФЛ из функционалов Ляпунова для подсистем.

4. Способ оптимизации линейной СС при исследовании ЭУ с помощью декомпозиции и условия ЭУ, не требующие построения линейной СС.

5. Новый способ агрегирования ВФЛ, соответствующих СС и оценок, связывающих ВФЛ и векторные нормы состояния, для

различных классов систем с целью понижения размерности СС и упрощения ее анализа.

С. Способ построения ВФЛ с компонентами вида "степень квадратичного функционала" и соответствующих СС, решающих задачу об ЭУ по векторным нормам с нахождением необходимых количественных оценок, для линейных и некоторых классов нелинейных (В том числе управляемых) систем с распределенными параметрами, описываемых уравнениями в гильбертовом пространстве с неограниченными операторами, основанный на спектральном расщеплении оператора, линеаризованной системы.

7. Приложения к исследованию ЭУ конкретных физических и механических сложных управляемых систем с распределенными и конечномерными подсистемами и задаче модальной стабилизации колебательной системы, описываемой нелинейным гиперболическим уравнением.

Список работ, опубликованных по теме диссертации:

1. Козлов Д.Р. Применение ВФЛ для исследования устойчивости систем с распределенными параметрами.- Иркутск, 1989.-55с.-(Препринт/ АН СССР. Сиб. Отд-ние. ИрВД; № 3).

2. Козлов Д. Р. О построении квадратичных ВФЛ для линейных уравнений в функциональных гильбертовых пространствах // Моделирование и исследование устойчивости физических процессов: Тез. Докл. Научн. Школы-семинара.- Киев, 1990.-С.34-35.

3. Козлов Д.Р. Обобщение теоремы Веяли и оптимизация системы сравнения // Машинные метода в задачах механики, устойчивости и управления: Тез. Докл. Респ. Научн.-Технич. Семинара.- Казань, 1990.- С.27.

4. Козлов Д. Р. К построению ВФЛ с компонентами "степень квадратичного функционала" // Моделирование и исследование устойчивости физических процессов: Тез. Докл. Научн. Школы-семинара,- Киев, 1991.- С.43.

5. Kozlov D.R. Stability inveotigntlon of distributed differential ayatema by the method of vector Lyapunov functions // Methods and ooftware for automatic control systems: Summaries of IMACS/ IPAC Intern. Workshop papers.-Irkutsk, 1991.- P.19-20.