Построение ионной оптики третьего порядка методом функций Грина

Андреев, Валерий Вадимович

Построение ионной оптики третьего порядка методом функций Грина тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Андреев, Валерий Вадимович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2000 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Построение ионной оптики третьего порядка методом функций Грина»

Автореферат диссертации на тему "Построение ионной оптики третьего порядка методом функций Грина"

На правах рукописи

РГо ОД

- 6 СЕН ?009

Андреев Валерий Вадимович

ПОСТРОЕНИЕ ИОННОЙ ОПТИКИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2000

Работа выполнена в Лаборатории физики частиц Объединенного института ядерных исследований.

Научный руководитель:

кандидат технических наук, Юдин И. П.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор . Гуцунаев Ц.И.

доктор физико-математических наук, профессор Шишанин O.E.

Ведущая организация:

Саратовский государственный Университет им. Н.Г. Чернышевского.

Зашита диссертации состоится сгмщ^цЮОО г. в часов

на заседании диссертационного совета К 053.22.01 в Российском университете дружбы народов по адресу: 117198. г. Москва, ул. Орджоникидзе. д.З. ауд. 4. ■

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 1 17198. Москва, ул.Миклухо-Маклая, д.6.

Автореферат разослан "_" __2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук В.И. Санюк

А Z'-U Z.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ

Основным инструментом современной экспериментальной физики атомного ядра и элементарных частиц более полувека служат ускорители заряженных частиц. Существующие ускорительные установки в СНГ и за рубежом, их отдельные элементы постоянно модернизируются, сооружаются новые ускорительные системы.

Исследование магнитных и электростатических оптических систем, являющихся неотъемлемыми составными частями любой установки, предназначенной для ускорения пучков заряженных частиц, всегда находится на переднем крае физической науки, всегда актуально. Развитие этой области естествознания происходит как "горизонтально" - с вовлечением в рассмотрение новых эффектов и установок, так и "вертикально" - с развитием новых углубленных подходов к прежним, считающимся классическими, моделям. Огромным импульсом здесь явилось появление мощных компьютерных систем, позволяющих учитывать и оценивать прежде отбрасываемые эффекты, получать действительно прецизионные результаты, внедряемые в реальные физические установки, что и является сутью поступательного движения к технологии будущего.

Разумеется, "бескровного'' пути нет. За любое движение приходится платить, за углубленным исследованием и невиданной точностью лежат сложнейшие программные продукты, гигантские аппаратные ресурсы и временные интервалы счета, сравнимые с временами создания самих установок. Такое развитие подходов к решению научных проблем можно назвать "экстенсивным". Оно всегда было и будет ''последним рубежом", где проверяются всевозможные модели, линеаризации.и прочие атрибуты "интенсификации" расчетов.

нас, правда, по ресурсам и времени. Признавая необходимость движения в этом направлении, следует выработать и методы решения тех или иных научных проблем, не уступающие по точности развитым численным методам для "больших машин".

Создание новых магнитных и электростатических систем физических установок, а также реконструкция действующих является сложной инженерно-физической задачей. Формирование требуемых.параметров системы является фактически нелинейной задачей, решение которой в большинстве случаев сводится к разработке специальных методов, численных или аналитических, и реализации их на ЭВМ.

Целью настоящей диссертации является

1. Детальное описание реальной соленоидальной магнитной линзы.

2. Проведение конкретного математического моделирования динамики пучка протонов в магнитном поле дипольного магнита СП-40.

3. Построение электронной оптики третьего порядка промежутка ускорения (замедления).

4. Исследование нелинейной оптики пучка заряженных частиц в тороидальной магнитной системе сверхпроводящего спектрометра СТОРС.

Кроме того, достаточно подробно рассмотрены такие распространенные магнитооптические элементы, как Г. квадрупольная линза,

2. сектуполь,

3. октуполь.

Научная новизна работы

). Впервые описана реальная соленоидальная магнитная линза в рамках нелинейной оптики третьего порядка. Создан и отлажен блок программ, позволяющий проводить численное моделирование динамики пучка заряженных частиц в любой конфигурации магнитного поля соленоида с точностью, мало отличающейся от точности численных расчетов.

2. Впервые проведено конкретное математическое моделирование динамики пучка протонов в магнитном поле дипольного магнита СГ1-40 в декартовой системе координат с-помощью набора программ, позволяющих быстро переходить из криволинейной в декартову систему координат.

3. Впервые построена электронная оптика третьего порядка электростатической линзы (промежутка ускорения (замедления)). Рассмотрены различные случаи представления поля линзы. Даны элементы аберрационного анализа системы.

4. Впервые исследована нелинейная оптика пучка заряженных частиц в тороидальной магнитной системе сверхпроводящего спектрометра СТОРС. Показано влияние нарушения, симметрии на динамические свойства системы в целом. Рассмотрен случай электростатического дефлектора. Получены некоторые аберрационные коэффициенты четвертого и пятого порядков рассматриваемой системы.

Практическая ценность работы

1. Разработана единая концепция решения задач нелинейной оптики заряженных частиц в каналах транспортировки и ускорения.

2. В целом построена нелинейная ионная оптика третьего порядка для довольно обширного списка разнообразных элементов ускорителей и каналов транспортировки пучков заряженных частиц. , .

3. Данная работа позволила вплотную подойти к изучению,самосогласованной задачи пространственного заряда и интегрированию ее в развиваемую здесь модель.

4. Простота и законченность полученных результатов позволит на качественном уровне проводить детальный аберрационный анализ и получать важные характеристики проектируемых установок и пучков.

5. Все полученные результаты легли в основу созданного в разные годы банка программ, легко переносимого на разные современные платформы и языки программирования.

Апробация работы

В основу диссертации легли работы, выполненные в ОИЯИ с 1987 г. по 1999 г.

Результаты диссертации докладывались на международных конференциях:

■ 1. International Symposium on Electron Beam Ion Sources and Their Applications. Dubna, USSR, September 24-28, 1991.

2. International Conference on HEACC'92. Humburg, Germany, July 15-18, 1992.

3. XIII Совещание по ускорителям заряженных частиц. ОИЯИ, Дубна, 13-15 октября, 1993.

4. Particle Accelerator Conference. Washington, USA, May 17-20, 1993.

5. International Workshop on Beam Dynamics and Optimization. St.-Petersburg, July 4-8, 1994.

6. International Symposium on Electron Beam Ion Sources and Their Applications. Stockholm, Sweden, June 19-24, 1994.

' 7. IEEE Particle Conference (PAC-95), Dallas. Texas, USA, May 15,1995.

8. International Workshop on Beam Dynamics and Optimization. St.-Petersburg, July 4-8, 1996.

9. XXXIII Научная конференция факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов. Москва, 20-24 мая. 1997.

10. International Workshop on Beam Dynamics and Optimization. Dubna, October 13-17, 1997.

11. XVII International Conference on High Energy Accelerators HEACC'98, Dubna, Russia, September 7-12, 1998.

на научных семинарах ЛСВЭ ОИЯИ. Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 17 работах, в том числе в трудах вышеназванных конференций: в кратких сообщениях ОИЯИ и в виде сообщений и препринтов ОИЯИ.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения, содержит 157 страниц машинописного текста, 104 рисунка и схемы, список литературы, насчитывающий 91 название.

Во введении дается краткий обзор проблем математического моделирования сложных нелинейных задач, связанных с аналитическим подходом в решении задач транспортировки и ускорения, изложены результаты диссертации по главам. 11астоящая диссертация посвящена развитию и углублению такого "классического" подхода к решению задач транспортировки, как методу построения матриц перехода электронно- или магнитооптических элементов каналов транспортировки ускорителей пучков заряженных частиц в рамках оптики третьего порядка. Дано обоснование применения метода функций Грина, как одного из действенных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, являющихся уравнениями движения заряженных частиц во многих известных конфигурациях электрических и магнитных полей.

В первой главе диссертации рассмотрена система с аксиальной симметрией - соленоид. Искомым в этом случае является 4-

вектор X ~ (г . г\ I. £$). Используя все предположения и процедуры, указанные выше, учитывая условие сохранения углового момента. получим следующее нелинейное уравнение третьего порядка плоской траектории /-(г) частицы в магнитном поле соленоида

В этой главе достаточно подробно изложен общий методологический подход к решению задачи нелинейной оптики, даны основные определения и аккуратно изложена пошаговая реализация метода функций Грина на примере соленоида. Линейная оптика данного элемента представляется очевидной. Аберрация второго порядка соленоида является хроматической.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

-к2г \-2S- — г2+г'2+к2г 2 В

где к2=1]В/2р,

Здесь приведены окончательные аналитические выражения для аберрационных коэффициентов до третьего порядка включительно, обсуждены некоторые важные моменты программной реализации данного метода. В этой главе показано, что в зависимости от выбранной модели поля соленоида можно построить либо полную результирующую карту перехода, либо выбрав небольшое разбиение участка действия поля, вычислить все элементы матриц перехода участков разбиения, а затем перемножить матрицы в соответствии с правилами матричной алгебры. Мы подробно рассмотрим также .проблему так называемого "пограничного слоя" магнитного поля соленоида. Получены точные аналитические выражения для элементов матриц перехода пограничного, слоя соленоида. Путем перемножения трех матриц: . слева и справа матрица линейного преобразования умножается на матрицу перехода пограничного слоя, получим полную матрицу перехода соленоида до третьего порядка, включительно. Для удобства дальнейших прикладных вычислений вводится следующая формула, определяющая матрицу перехода соленоида:

и,

ч,

1&1 ^22 )

■V ' ^ и 1211 Т (и

V 111 '^22, 1 » О --

' I 122

т т

1 \ I I I

124

г„

.и» =

и,

1244

4^2144

244 У

'114

V '214

^222 ^ 1 1

Все результаты и подходы, изложенные в данной главе, проверены, шаг за шагом, на результатах численного счета, получено полное совпадение (эффектом пространственного заряда здесь пренебрегается). В дальнейшем найден метод решения проблемы пространственного заряда. Его . обсуждение выходит за рамки данной работы.

Вторая глава диссертации полностью посвящена представлению результатов моделирования поведения пучка протонов невысокой интенсивности ширркрм диапазоне энергий в магнитном поле дипольнрго магниту, СП-40 многочастичного спектрометра ЭКСЧАРМ. Здесь показана реализация метода функций Грина в

декартовой системе координат, достаточно детально рассмотрен переход из криволинейной системы координат в декартову. Приведены аберрационные коэффициенты диполя как в криволинейной системе координат, так,и.в декартовой. Ясно, что решенную задачу о "пограничном слое" можно распространить на магнитные поля этих элементов, за исключением диполя. Решение задачи пограничного слоя диполя довольно громоздко и выходит за рамки данной работы. Основное внимание в данной главе уделено представлению результатов моделирования динамики пучка протонов в магните СП-40 в широком диапазоне энергий. В третьей главе диссертации, как прямое,следствие рассмотрения, проведенного в предыдущей главе, приведены аналитические выражения для аберрационных коэффициентов вс$х наиболее часто встречающихся мультиполей: дипольного магнита, квадрупольной линзы,.секступоля и октуполя до третьего порядка включительно. . . . , Самым подробным образом в четвертой главе диссертации рассмотрена динамика пучка в электростатической ли^зе ^(промежутке ускорения или замедления). Специфика данной задачи состоит в том, что такая система не является консервативной, в отличие от всех предыдущих. Все предположения здесь оказываются верными, кроме того, что необходимо использовать закон сохранения.

Абстрагируясь от типа частиц, после выполнения всех вышеописанных шагов в цилиндрической системе координат мы получим следующее нелинейное уравнение плоской траектории г(-) в электростатическом поле

ф"

2А7#п((у) ■ Фг" - Ф'г'--/• =,

8Ф 16

г +

ф'ф" ф'"

I' 4Ф 4

ф"

/""/*' —.Г/"'" +.Ф'г'-\

' '7 ' '

Это уравнение (2) не зависит явно от отношения ц/т. Поэтому, все частицы одного зйака в одном и том же поле будут иметь те же'траектории, различными будут лишь их скорости прохождения участка действия поля. В дальнейшем мы ограничимся лишь рассмотрением движения электрона, положив !.

Дальнейшее решение уравнения плоской траектории связано с выбором модели поля, так как скалярный потенциал Ф явно входит в правую часть уравнения движения. Здесь мы введем величину п, называемую электронно-оптическим показателем среды, отвечающим закону Снеллиуса. На п накладывается единственное важное условие: Электронно-оптический показатель равен О там и только там, где скорость частицы равна 0. Далее мы рассмотрим линейный и квадратичный скалярные потенциалы электрического поля.

Отличительной особенностью случая линейного потенциала является тот факт, что все аберрационные коэффициенты до третьего порядка вычисляются аналитически, помимо метода функций Грина. Его применение дает те же результаты. Детерминант матрицы перехода промежутка ускорения (замедления) равен и'1, что прямо следует из теоремы Лиувилля сохранения фазового объема. Хорошо известно, что детерминант матриц перехода консервативных систем равен 1. Для дальнейших вычислений введем следующую формулу:

Такое рассмотрение позволяет сделать ряд интересных предположений относительно начальных параметров формируемого пучка. Связь между температурой плазмы, физическими размерами системы электродов и электронно-оптическим показателем преломления дает все координаты основных точек фазового эллипса, величину начального эмиттанса пучка и других важных параметров.

Более сложное решение при помощи метода функций Грина получается при рассмотрении квадратичного скалярного электрического потенциала. Детерминант матрицы перехода первого порядка равен 2"' ~пЛ. Получаемые решения можно распространить на случаи ускорения (+) и торможения (-) частиц в электрическом поле.. Большой интерес представляют хроматические элементы матрицы второго порядка.

Для дальнейших вычислений приводится следующая формула:

[Rl .(r02 ±/-o'2202)]-

tffm

о/ t/,1л

'mi

V^m U

2211.

В данной главе показано соответствие аберрационных коэффициентов определенным вида аберраций, что является необходимым элементом аберрационного анализа и определяет пути компенсации того или иного вида аберрации при помощи нелинейных элементов (секступоль, октуполь и т.п.). В пятой главе диссертации наиболее подробно рассмотрена проблема вычисления скалярного потенциала восьми тороидальных прямоугольных обмоток, расположенных в свободном пространстве, являющихся основой для сверхпроводящего тороидального спектрометра СТОРС, предназначенного для проведения прецизионных измерений структурных функций в пучках мюонов. Из общих соображений показана прямая связь между симметрией (или антисимметрией) определенного порядка системы в целом и Фурье-разложением скалярного потенциала.

Ф(г, в, :) = Ф0 (г, в. :) +

+[d< ( -) - г% ■ d'Az) + гУт ■ d?' (*Ь ••]•>-' cos 40 +

+ds{z) rscos80-... При помощи закона Био-Савара найдено точное выражение для скалярного потенциала тороидальной системы обмоток. Оно основано на использовании так называемых функций тороидальной фокусировки и подтверждает его вид. полученный из общих соображений.

(-1):"~'(2>?-1)!!//0Л7 . rr R"

2"'\п — 1)! /г

-sin п<р

dS.

Кроме того, при помощи закона Био-Савара получено общее выражение для функции скалярного потенциала тороида вращения, дающего главный член в разложении потенциала

fi„X/-e:cRdS 9//„Л70 ; |

Далее подробно рассмотрены пути решения уравнения движения в поле тороида, показано существование общего финитного решения в квадратурах, кроме того, решение найдено паметриче-ски. Получены выражения для аберрационных коэффициентов до третьего порядка включительно.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации:

1. Впервые при помощи метода функций Грина аналитически построена'нелинейная оптика третьего порядка в широком диапазоне электронно- и магнитооптических элементов ускорителей и каналов транспортировки заряженных частиц.

"■" вающий плавный спад поля на его границе и существенно влияющий на динамику пучка.

3.'Детально1 рассмотрена динамика пучка заряженных частиц в цилиндрической, криволинейной и декартовой системах координат! Предложен-аналитический метод перехода из криволинейной системы координат в декартову.

4. Показана связь между одночастичной оптикой и оптикой огибающих. Дано понятие аберрационного анализа, расчета искажений и их компенсации.

5. Впервые рассмотрена нелинейная оптика таких элементов, как электростатическая и тороидальная линзы.

. 6. При помощи развитых методов проведено моделирование поведения, пучка заряженных частиц в поле магнита СП-40 установки ЭКСЧАРМ, тороидального спектрометра СТОРС, соленоидов нескольких действующих установок. 7.. Показано влияние симметрии (или антисимметрии) на поле

тороидального спектрометра СТОРС. 8. Создан комплекс программ, являющихся основой для создание, мощной, экономичной и быстрой системы расчета параметров пучка заряженных частиц, транспортируемого через широкий набор элементов систем транспортировки.

РАБОТЫ, ПОЛОЖЕННЫЕ В ОСНОВУ

ДИССЕРТАЦИИ

1. Андреев В.В., Алфеев B.C., Шелаев И.А., Юдин И.П. Оценка потерь интенсивности пучка протонов в инжекционном канале синхротрона СПИН. Сообщение ОИЯИ, Р9-87-763, Дубна, 1987. 15с.

2. Андреев В.В., Юдин И.П. Построение полных матриц линейных преобразований промежутка ускорения (замедления) и соленоидальной магнитной линзы. Сообщение ОИЯИ, БЗ-1-92-31, Дубна, 1992, 19с. : • ,

3. Андреев'В.В., Юдин И.П. Оптика третьего порядка реальной соленоидальной магнитной линзы. Сообщение ОИЯИ, Р9-92-53, Дубна, 1992. 19с.

4. Andreev V.V., Yudin I.P. Third-Order Optics of the Real Solenoid Lens. In Proc. International Symposium on Electron Beam Ion Sources and Their Applications, Dubna, USSR, September 24-28, 1991. Editors: Donets E.D., Yudin I.P. JINR, Dubna, 1992, pp. 279-290.

5. Andreev V.V., Yudin LP. Third-Order Optics of the Real Solenoid L ens. In Proc. International Conference on HEACC'92. Humburg, Germany, July 15-18, 1992.

6. Андреев В.В., Юдин И.П. Алгоритм учета аберраций и объемного заряда пучка частиц в магнитном поле соленоида. //XXXIII Научная конференция факультета' физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов.: Тез. докладов мат. секции. 20-24 мая, М.. Изд-во РУДН. 1997.

7. Андреев В.В., Юдин И.П. Исследование поведения пучка заряженных частиц в дипольном магните СП-40 в рамках оптики третьего порядка. В Трудах XIII Совещания по ускорителям заряженных частиц. Сообщение ОИЯИ, Дубна, Д9-92-455, 13-15 октября, 1993. т. 2, с. 56-76.

8. Andreev V.V.. Yudin LP. Third-Order Bending Magnet Optics for Cartesian Coordinates. In Proc. 1993 Particle Accelerator Conference. Washington, USA, May 17-20, 1993, pp. 297-299, vol. I.

9. Андреев В.В., Юдин И.П. Построение полных матриц линейных преобразований промежутка ускорения (замедления) и

соленоидальной магнитной линзы. Сообщение ОИЯИ, БЗ-1-92-31, Дубна, 1992.

Ю.Андреев В.В., Юдин И.Г1. Линейная оптика промежутка ускорения (замедления) с кусочно-непрерывным потенциалом. В Трудах ХШ Совещания по ускорителям заряженных частиц. ОИЯИ, Дубна, Д9-92-455. 13-15 октября, 1993, т. 2, с. 81-88.

11.Andreev V.V., Yudin I.P. Third-Beam Optics in Electrostatic Fields. In Proc. International Workshop on Beam Dynamics and Optimization. St.-Petersburg, July 4-8, 1994, 12p.

12.Andreev V.V., Yudin I.P. Third-Beam Optics in Electrostatic Fields. In Proc. International Symposium on Electron Beam Ion Sources and Their Applications. Stockholm, Sweden, June 19-24, 1994, MSL, pp. 261-272.

13.Andreev V.V., Yudin I.P. Simulation of Charged Particle Transport in Nonlinear Axisymmetrical Electrostatic Potential, In: Abstracts of IEEE Particle Conference (PAC-95), Dallas, Texas, USA, May 1-5, 1995.

M.Andreev V.V., Yudin I.P. Calculation of the Third-Order Beam Optics in Electrostatic Fields. Physica Scripta, vol. T71, pp. 207212,1997.

15.Andreev V.V., Yudin I.P. The Magnetic Field Analysis of the Toroidal Spectrometer STORS Superconducting Magnetic System. In Proc. International Workshop on Beam Dynamics and Optimization, St.-Petersburg, July 4-8, 1997, 12p.

16.Andreev V.V., Yudin I.P. Third Beam Optics by Green's Functions Method. International Workshop on Beam Dynamics and Optimization. Dubna, October 13-17, 1997.

17.Andreev V.V., Yudin I.P. Calculation of High-Order Beam Optics in Toroidal Magnetic. In book: "Proceedings of the XVII International Conference on High Energy Accelerators HEACC'98 (September 7-12, 1998, Dubna. Russia)", Editor I.Meshkov. ISBN5-85165-524-0. J1NR E9-99-26, Dubna 1999, pp. 199-201.

Valery V. Andreev (Russia)

Construction of the Third Order Beam Optics by the Green's Functions Method

The present thesis is devoted to development and deepening of such "classical" approach to solving the charged beam transport problem, as the matrixes method of transition electronically or magneto-optical units of transportation channels and accelerators within the..framework of the third order beam optics. For the first time through a method of Green's functions the nonlinear optics of the third: order in a wide range electronically both magneto-optical units of.accelerators and transportation channels of charged particles is analytically constructed. The analytical method of the registration,of a unit fringe region taking into account smooth recession of a fiejd on its boundary and much influential on the beam dynamics is offered. The concept of the aberration analysis, account of distortions and their compensation is given. Nonlinear optics of such units, as solenoid, an electrostatic and toroidal lenses for the first time is.considered. Through developed methods of charged particle beam behaviour simulation in a field of several operating units is carried out.

Андреев Валерий Вадимович (Россия)

ПОСТРОЕНИЕ ИОННОЙ ОПТИКИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА

Настоящая диссертация посвящена развитию и углублению "классического" подхода к решению задач транспортировки пучков заряженных частиц - методу матриц перехода электронно-или магнитооптических элементов каналов транспортировки и ускорителей в рамках оптики третьего порядка. Впервые при помощи метода функций Грина аналитически построена нелинейная оптика третьего порядка в широком диапазоне электронно- и магнитооптических элементов ускорителей и каналов транспортировки заряженных частиц. Предложен аналитический метод учета пограничного слоя элемента, учитывающий плавный спад поля.на его границе и существенно влияющий на динамику пучка. Дано понятие аберрационного анализа, расчета искажений и их компенсации. .Впервые рассмотрена нелинейная оптика таких элементов, каксоленоидальная, электростатическая и тороидальная линзы. При помощи развитых методов проведено моделирование поведения пучков заряженных частиц в полях действующих установок.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Андреев, Валерий Вадимович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Оптика третьего порядка реальной соленоидальной магнитной линзы.

1. Нелинейное уравнение движения.

2. Линейная оптика реального соленоида.

3. Хроматическая аберрация (2-й порядок).

4. Аберрация третьего порядка.

Введение диссертация по физике, на тему "Построение ионной оптики третьего порядка методом функций Грина"

Разумеется, "бескровного" пути нет. За любое движение приходится платить, за углубленным исследованием и невиданной точностью лежат сложнейшие программные продукты, гигантские аппаратные ресурсы и временные интервалы счета, сравнимые с временами создания самих установок. Такое развитие подходов к решению научных проблем можно назвать "экстенсивным". Оно всегда было и будет "последним рубежом", где проверяются всевозможные модели, линеаризации и прочие атрибуты "интенсификации" расчетов.

Современное развитие компьютерной техники дает нам разумную основу для осуществления такого "интенсивного" подхода. Персональный компьютер - великолепный инструмент для проведения инженерных и научных расчетов, ограничивающий нас, правда, по ресурсам и времени. Признавая необходимость движения в этом направлении, следует выработать и методы решения тех или иных научных проблем, не уступающие по точности развитым численным методам для "больших машин". [э2]"[54]

Настоящая диссертация посвящена развитию и углублению такого "классического" подхода к решению задач транспортировки, как методу построения матриц перехода электронно- или магнитооптических элементов каналов транспортировки ускорителей пучков заряженных частиц в рамках оптики третьего порядка. Здесь достаточно подробно рассмотрены четыре широко используемые подсистемы каналов транспортировки:

• детально описана реальная соленоидальная магнитная линза

• проведено математическое моделирование динамики пучка протонов в магнитном поле дипольного магнита СП-40

• построена электронная оптика третьего порядка промежутка ускорения (замедления) [14]"[21],

• исследована нелинейная оптика пучка заряженных частиц в тороидальная магнитная системе сверхпроводящего спектрометра СТОРС '-22'"'251.

Точно определены аберрационные коэффициенты до третьего порядка включительно таких распространенных магнитооптических элементов, как

• квадрупольная линза,

• сектуполь,

• октуполь.

Описание поведения пучков заряженных частиц в электронно- и магнитооптических системах ускорителей на языке матриц перехода достаточно полно развито 12б'"'31] для линейного параксиального приближения, использующего, как известно, не только линейные уравнения движения, но и всевозможные "прямоугольные" или "интегральные" модели полей рассматриваемых элементов в каналах транспортировки. Реально же из-за плавного спадания поля на торцах магнитооптических элементов, а также принимая во внимание разного рода нелинейности в применяемых законах сохранения, учет нелинейных, аберрационных членов уравнения движения становится необходимым [44]. Часто такого рода вычисления производятся при помощи разностных методов (например, методом Рунге-Кутта либо уравнения движения решаются в квадратурах что также требует значительных временных и аппаратных ресурсов, в особенности, в многочастичных приложениях.

Настоящая диссертация является обобщением тех теоретических исследований и практического моделирования динамики пучков заряженных частиц в реальных магнитооптических элементах, разработанных и проектируемых в Лаборатории Сверхвысоких Энергий ОИЯИ, и осуществленных при помощи аналитических методов решения нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка и построения матриц перехода таких элементов. Выбор такого подхода связан с наглядностью и относительной простотой получаемых решений, а также возможностью избежать неприятных последствий возможных расходимостей, связанных с разностными схемами, и другими ошибками численного счета.

Одним из методов решения такого рода уравнений является метод функций Грина. Использование именно этого метода диктуется видом получаемых решений и поэтому вполне оправданно.

В дальнейшем мы будем искать решение уравнения плоской траектории (уравнения движения), определяемое силой Лоренца, действующей на частицу ц во внешних электростатическом Е или магнитном В полях в терминах так называемой относительной траектории, так как зависимость от времени в задачах транспортировки часто интереса не представляет.

В некоторой, вообще говоря, криволинейной системе координат ХУБ определим переменные х, ху и у' как координаты фазового пространства, отсчитанные от некоторой выбранной, относительной траектории, I - как разницу в длине относительной и рассматриваемой траекторий. Отклонение от относительного момента ро назовем 5.

Рис. 1. Иллюстрация к (2). Г - длина рассматриваемой траектории, Г - длина относительной траектории.

О) О

Таким образом, искомым в данной задаче оказывается 6-вектор Х=(х, х\ у> у \ /, 8) с соответствующими начальными условиями. Основными предположениями, на основании которых мы будем строить решение, являются следующие:

1. Существует некоторая симметрия скалярного электрического или магнитного потенциала.

2.Относительная траектория существует (т.е. ее всегда можно выбрать).

Симметрия относительно серединной плоскости означает нечто иное как ф(х,у,8) = -<р(х-у,8).

Из этого, в частности, сразу же следует, что относительная траектория принадлежит серединной плоскости.

Введем правую систему координат

5с = [ух у = [? х х],

3) с производными ПО S

5с' = hs,

У' = о, s' = —Ш,

4) где h = h(s) - кривизна относительной траектории.

Заметим, что из упомянутых выше элементов только у дипольного магнита относительная траектория является дугой определенной кривизны, для всех остальных перечисленных элементов за относительную принимается траектория центральной частицы, которую нетрудно определить, положив начальные условия нулю при известном моменте. Дальнейшее основное предположение состоит в малости отклонений рассматриваемых траекторий от относительной траектории. Тогда разложение по начальным параметрам принимает следующий, так называемый вид TRANSPORT (по названию известной программы) [32]: у=1 j= 1 k=j j= 1 k=j l=k

Это выражение определяет карту перехода от вектора начальных условий Х° к искомому вектору X и является основой для построения матричного формализма. Определим матрицу К как матрицу перехода первого порядка, а матрицы Т и и - второго и третьего соответственно. ^»ЬГИНТЗДИЦ

Далее проделаем следующее:

1. Разложим поле вблизи относительной траектории при помощи уравнений Максвелла и используем симметрию потенциала.

2. Разложим уравнение плоской траектории до необходимого порядка.

3. Осуществим подстановку разложения поля в полученное уравнение.

4. Приравнивая коэффициенты при одинаковых членах, получим дифференциальные уравнения для аберрационных коэффициентов.

5. Найдем линейно-независимые решения полученных уравнений, функцию Грина, после чего порядок за порядком проинтегрируем ее с правыми частями полученных уравнений.

Данная процедура не содержит принципиальных сложностей, но требует внимания и времени.

Разложение поля до третьего порядка включительно осуществляется в терминах так называемой "мультипольной" силы [26'"[28'.

Получаемое нелинейное уравнение плоской траектории в криволинейной системе координат в общем случае имеет вид обыкновенного дифференциального уравнения порядка п [ззнзб].

7И-1 а м? а0 О) —- + ах О) р +. ,+ап (з)м> = /О). к

Общее решение уравнения (6) есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного линейного дифференциального уравнения г / л / / ™ г л л

Ьм!^) = а0 О) — + а, -—г +. ,+а О)™ = 0. аз: аз v)

По отношению к (6) уравнение (7) называется приведенным. Заметим, что здесь справедлив принцип наложения частных решений. В дальнейшем предполагается, что все функции ао(з), а¡(з),., а„(з) и /(.у) непрерывны в некоторой области I) изменения независимого переменного, причем коэффициент а0(у) в точках этой области не равен 0.

Пусть -и'}(/), м^О?),., 1^„(5) - п-1 непрерывно дифференцируемые решения однородного линейного дифференциального уравнения (7). Напомним, что п решений \Vkis) называются линейно-независимыми в Д если к=1

8) в В только при Л}~А,2=.=Л„=0. Это имеет место тогда и только тогда, когда определитель Вронского (вронскиан) отличен от 0 в £>:

W[w^w2,.,wn] = w\ (■*) w2(s) W,'(s) w'2(s) w{n~l\s) .

Отметим еще одно важное утверждение: однородное линейное дифференциальное уравнение (7) имеет не более п линейно-независимых решений. Причем, любые п линейно-независимых решений составляют фундаментальную систему решений, линейные комбинации (8) которых дают все частные решения уравнения (7).

В принципе, для отыскания решения неоднородного линейного дифференциального уравнения существует несколько способов, к примеру, метод вариации постоянных. Однако, если переменные 5 и действительны, то гораздо удобнее решение неоднородного уравнения (6) представить в виде и a <s < b). а О

10)

G(s, £) называется функцией Грина, определяющая так называемое фундаментальное решение (6). Ясно, что общее решение (6) представляется в виде w(í) = Jg(í,0/(0 di (s), a k=1

П) где w¡(s), w?(v),., wn(s) - линейно-независимые решения (7), а коэффициенты Лк определяются из начальных или краевых условий. Функцию Грина G(s, можно выразить через любые п линейно-независимых решений (7)

J{Ç)k.i (12) где U(s) - единичная функция, a коэффициенты определяются следующим образом c;(s)wi!)(s) = О, (i = 0, \,.,п-2).

13)

Учтем, что часто функцию Грина можно построить таким образом, чтобы частное решение (10) удовлетворяло начальным или краевым условиям, при этом сама функция Грина будет непрерывной функцией по 5 и удовлетворяет однородным краевым условиям.

Частным важным для нас результатом общей теории явится представление функции Грина линейного дифференциального уравнения второго (п=2) порядка (уравнений движения) в следующем виде

О) w2(J)

Q{s) = a0(s) w, (s)w'2 (s) - w7 (s)w;(s) /0) w,(s)

0 0) W1 iS)W2 - W2 OM'O) '

G(s,0 = - 1 w^w^-w^w^s)

14)

Теперь определим начальные условия нашей задачи, сводящейся в общем случае к дифференциальным уравнениям следующего типа: w±k2w - f,

15) в координатных плоскостях X и Y ■ х(0) = х0,х'(0) = ^, [y(0) = y0,y'(0) = yô

16)

Определим в плоскости поворота два линейно-независимых решения однородного уравнения для каждой из координат и частное решение неоднородного уравнения в X-плоскости следующим естественным образом:

• Синусообразная функция $х(0) = 0, я \(0) = 1, 5=0.

• Косинусообразная функция сх(а): сх(0) = 1, с'х(0) = 1, 5=0.

• Дисперсионная функция с1к(.<>): с1х(0) = 0, й\(0) = 0, 5=1.

• Синусообразная функция ¿уф: лу(0) = 0, я'у(0) - 1, 8=0.

• Косинусообразная функция сф): су(0) = 1, с'у(0) = 1, 8=0.

Эти пять функций определяют так называемые характеристические лучи произвольной магнитной системы и все ее аберрационные коэффициенты.

Общие решения уравнения (6) при п=2, учитывая начальные условия, таковы

1*0) = с, О) О) • ■К + ^ • ^

Из общего вида полученных решений (14) следует, что функция Грина

17)

18)

Аберрационные коэффициенты матриц Туф), Щм^) являются решениями неоднородных дифференциальных уравнений вида (6) с начальными условиями

0) = м>'(0) = 0. (19)

Подставляя разложение (5) в полученные уравнения, получим следующие дифференциальные уравнения второго порядка с ненулевыми правыми частями:

ХГ± к]Х., = £^(s)XJ + 1ХЕртОД ВД, ] к ./ к 1

20) где величины Х1 - компоненты искомого 6-вектора.

Таким образом, "возбуждающие силы" (т.е. правые части неоднородных уравнений) для нахождения элементов Тцк - квадратичные формы от аберрационных коэффициентов первого порядка:

21)

Возбуждающие силы" коэффициентов третьего порядка 11уц имеют более сложный вид: fijkl = X! ^"ипп ТМ + ^ ^ Е/пт ТПук К„1 +

РттрК-щК-ткКр!т п р

22)

Дальнейшие вычисления аберрационных коэффициентов связаны с взятием интегралов типа (10).

Важное замечание: "угловые" матричные элементы (¿=2, 4) вычисляются путем дифференцирования по 5 "координатных" элементов (¡=1, 3) (правило "прямого дифференцирования") т» — Т' Т Т' и2 ]к1 ~ их , иА д,

Щ}кГ

23)

Таким образом, найденные дифференциальные уравнения, их решения и функции Грина полностью решают вопрос о нахождении аберрационных коэффициентов до третьего порядка включительно.

В дальнейшем мы представим результаты исследований ряда наиболее распространенных элементов каналов транспортировки и ускорителей. Для того чтобы не повторяться, в каждой главе мы будет выделять важные, на наш взгляд, аспекты нелинейной оптики. Все они, в конечном счете, и ложатся в основу нашей концепции аналитического подхода решения задач нелинейной оптики пучков заряженных частиц.

В первой главе настоящей диссертации мы рассмотрим систему с аксиальной симметрией - соленоид. Искомым в таком случае является 4-вектор X = (г , гI, 8} с теми же определениями, но в цилиндрической системе координат. Используя все предположения и процедуры, указанные выше, учитывая условие сохранения углового момента, получим следующее нелинейное уравнение третьего порядка плоской траектории г(г) частицы в магнитном поле соленоида г" = -к2г

1-2 3-—г2+г'2+к2г2-—гг' + Ъд2 2 В В

24) где к =дВ/2ро.

В этой главе достаточно подробно будет изложен общий методологический подход к решению задачи нелинейной оптики, даны основные определения и аккуратно изложена пошаговая реализация метода функций Грина на примере соленоида. Линейная оптика данного элемента представляется очевидной. А вот аберрация второго порядка соленоида является хроматической. Будут приведены окончательные аналитические выражения для аберрационных коэффициентов до третьего порядка включительно, обсуждены некоторые важные моменты программной реализации данного метода. В этой главе будет показано, что в зависимости от выбранной модели поля соленоида можно построить либо полную результирующую карту перехода, либо выбрав небольшое разбиение участка действия поля, вычислить все элементы матриц перехода участков разбиения, а затем перемножить матрицы в соответствии с правилами матричной алгебры. Далее мы рассмотрим также проблему так называемого "пограничного слоя" магнитного поля соленоида. Будут получены точные аналитические выражения для элементов матриц перехода пограничного слоя соленоида. Путем перемножения трех матриц: слева и справа матрица линейного преобразования умножается на матрицу перехода пограничного слоя, получим полную матрицу перехода соленоида до третьего порядка включительно. Для удобства дальнейших прикладных вычислений вводится следующая формула, определяющая матрицу перехода соленоида: Е

Ип Я12

Я21 Я22 г т = т т

114 124 т т

Ч-*214 "'224 У и „ = ги и Л ^1111 1211

4^2111 и. и и 1122 1222

2211/

P2\22 и. г

44 =

2222 У

1144

4^2144 и ^

1244 ^2244 ]

25)

Все результаты и подходы, изложенные в данной главе, проверены, шаг за шагом, на результатах численного счета из получено полное совпадение (эффектом пространственного заряда здесь пренебрегается). В дальнейшем и найден метод решения проблемы пространственного заряда, и она интегрирована в представляемую теорию. Вторая глава настоящей диссертации полностью посвящена представлению результатов моделирования поведения пучка протонов невысокой интенсивности в широком диапазоне энергий в магнитном поле дипольного магнита СП-40 многочастичного спектрометра ЭКСЧАРМ. Здесь показана реализация метода функций Грина в декартовой системе координат, достаточно детально рассмотрен переход из криволинейной системы координат в декартову. Приведены аберрационные коэффициенты диполя как в криволинейной системе координат, так и в декартовой. Как прямое следствие такого рассмотрения можно получить аберрационные коэффициенты до третьего порядка включительно всех наиболее часто встречающихся мультиполей: дипольного магнита, квадрупольной линзы, сек-ступоля и октуполя. (Они приведены в третьей главе настоящей диссертации.) Ясно, что решенную задачу о "пограничном слое" можно распространить на магнитные поля этих элементов, за исключением диполя. Решение задачи пограничного слоя диполя довольно громоздко и выходит за рамки данной работы. Основное внимание в данной главе уделено представлению результатов моделирования динамики пучка протонов в магните СП-40 в широком диапазоне энергий.

На основе представленной в первых главах общей модели построения нелинейной оптики в третьей главе этой работы представлены результаты аналитического интегрирования аберрационных коэффициентов высших мультиполей: квадруполя, секступоля и октупо-ля. Показано, что чем выше мультиполь, тем меньше аберрационных коэффициентов представлены в матрицах К, Т и и. А именно, элементы матрицы перехода первого порядка равны элементам матрицы перехода промежутка дрейфа, элементы матрицы Т (за исключением квадруполя) равны нулю, а элементы и у и становятся степенными функциями, что дает возможность довольно просто находить аберрационные коэффициенты четвертого и пятого порядков, используя предложенную модель.

Самым подробным образом в четвертой главе настоящей диссертации рассмотрена динамика пучка в электростатической линзе (промежутке ускорения или замедления). Специфика данной задачи состоит в том, что такая система не является консервативной (сохраняющей энергию), в отличие от всех предыдущих. Все предположения здесь оказываются верными кроме того, что необходимо использовать закон сохранения. Абстрагируясь от типа частиц после выполнения всех вышеописанных шагов в цилиндрической системе координат мы получим следующее нелинейное уравнение плоской траектории г(г) в электростатическом поле

Уравнение (26) не зависит явно от отношения д/т. Поэтому, все частицы одного знака в одном и том же поле будут иметь те же траектории, различными будут лишь их скорости прохождения участка действия поля. В дальнейшем мы ограничимся лишь рассмотрением движения электрона, положив sign{q)=-\.

Дальнейшее решение уравнения плоской траектории связано с выбором модели поля, так как скалярный потенциал Ф явно входит в правую часть уравнения движения (26). Здесь мы введем величину п, называемую электронно-оптическим показателем среды, отвечающим закону Снеллиуса [37"39]. На п накладывается единственное важное условие: Электронно-оптический показатель равен 0 там и только там, где скорость частицы равна 0. Далее мы рассмотрим линейный и квадратичный скалярные потенциалы электрического поля.

26) рехода промежутка ускорения (замедления) равен 1 /п, что прямо следует из теоремы Лиу-вилля сохранения фазового объема. Хорошо известно '27~30', что детерминант матриц перехода консервативных систем равен 1. Для дальнейших вычислений введем следующую формулу: Л и22 —

22 у г' г0 II 1222 и2222 ;

27)

Такое рассмотрение позволяет сделать ряд интересных предположений относительно начальных параметров формируемого пучка. Связь между температурой плазмы, физическими размерами системы электродов и электронно-оптическим показателем преломления дает все координаты основных точек фазового эллипса, величину начального эмит-танса пучка и других важных параметров.

Более сложное решение при помощи метода функций Грина получается при рассмотрении квадратичного скалярного электрического потенциала. Детерминант матрицы перехода первого порядка равен 2~шпл. Получаемые решения можно распространить на случаи ускорения (+) и торможения (-) частиц в электрическом поле. Большой интерес представляют хроматические элементы матрицы второго порядка. Для дальнейших вычислений приводится следующая формула: гг\ г У го г' Уй)

28)

Л1 л

4^21 Л

22 \

Ги± и

НН 1211 Г

V 2111 и.

2211 У

В пятой главе настоящей диссертации наиболее подробно рассмотрена проблема вычисления скалярного потенциала восьми тороидальных прямоугольных обмоток, расположенных в свободном пространстве, являющихся основой для сверхпроводящего тороидального спектрометра СТОРС [41\ предназначенного для проведения прецизионных измерений структурных функций в пучках мюонов. Из общих соображений показана прямая связь между симметрией (или антисимметрией) определенного порядка системы в целом и Фурье-разложением скалярного потенциала.

Ф{г,в,2) = Ф0(г,в,2) +

4 20 4 960 4 гА + г8 сое 8$-.

29)

При помощи закона Био-Савара найдено точное выражение для скалярного потенциала тороидальной системы обмоток. Оно основано на использовании так называемых функций тороидальной фокусировки и подтверждает его вид, полученный из общих соображений.

-1)2я1(2и- 1)!!//0А/7

Т~\п-Х)\к

5,тп<р Я Я и-1 и

2/7 + 1

30)

Ал П

31)

Далее подробно рассмотрены пути решения уравнения движения в поле тороида гг

Ро

32) показано существование общего решения, кроме того, решение найдено паметрически. Получены выражения для аберрационных коэффициентов до третьего порядка включительно.

Таким образом, мы считаем, что нелинейная ионная оптика третьего порядка в целом построена для довольно обширного списка разнообразных элементов ускорителей и каналов транспортировки пучков заряженных частиц. В настоящее время проводится работа по изучению самосогласованной задачи пространственного заряда и интегрирование ее в развиваемую здесь модель. Большинство из предлагаемых алгоритмов проверены на реальных установках, показано полное соответствие с результатами численных расчетов. Простота и законченность полученных результатов позволит на качественном уровне проводить детальный аберрационный анализ и получать важные характеристики проектируемых установок и пучков.

Все полученные результаты легли в основу созданного в разные годы банка программ, легко переносимого на разные современные платформы и языки программирования. выполненные

В основу диссертации легли работы [101> f|6H2U [Ъ\

ОИЯИс 1987 г. по 1999 г.

Результаты диссертации докладывались на международных конференциях:

• International Symposium on Electron Beam Ion Sources and Their Applications. Dubna, USSR, September 24-28, 1991.

• International Conference on HEACC'92. Humburg, Germany, July 15-18, 1992.

• XIII Совещание по ускорителям заряженных частиц. ОИЯИ, Дубна, 13-15 октября, 1993.

• Particle Accelerator Conference. Washington, USA, May 17-20, 1993.

• International Workshop on Beam Dynamics and Optimization. St.-Petersburg, July 4-8, 1994.

• International Symposium on Electron Beam Ion Sources and Their Applications. Stockholm, Sweden, June 19-24, 1994.

• IEEE Particle Conference (PAC-95), Dallas, Texas, USA, May 1-5,1995.

• International Workshop on Beam Dynamics and Optimization. St.-Petersburg, July 4-8, 1997.

• XXXIII Научная конференция факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов. Москва, 20-24 мая, 1997.

• International Workshop on Beam Dynamics and Optimization. Dubna, October 13-17, 1997.

• XVII International Conference on High Energy Accelerators HEACC'98, Dubna, Russia, September 7-12, 1998.

Заключение диссертации по теме "Теоретическая физика"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Впервые при помощи метода функций Грина аналитически построена нелинейная оптика третьего порядка в широком диапазоне электронно- и магнитооптических элементов ускорителей и каналов транспортировки заряженных частиц.

2. В качестве естественного развития метода матриц перехода электронно- и магнитооптических элементов предложен аналитический метод учета пограничного слоя элемента, учитывающий плавное спадание поля на его границе и существенно влияющий на динамику пучка.

3. Детально рассмотрена динамика пучка заряженных частиц в цилиндрической, криволинейной и декартовой системах координат. Предложен аналитический метод перехода из криволинейной системы координат в декартову.

5. Впервые рассмотрена нелинейная оптика таких элементов, как электростатическая и тороидальная линзы.

6. При помощи развитых методов проведено моделирование поведения пучка заряженных частиц в поле магнита СП-40 установки ЭКСЧАРМ, тороидального спектрометра СТОРС, соленоидов нескольких действующих установок.

7. Показано влияние симметрии (или антисимметрии) на поле тороидального спектрометра СТОРС.

8. Создан комплекс программ, являющихся основой для создания мощной, экономичной и быстрой системы расчета параметров пучка заряженных частиц, транспортируемого через широкий набор элементов систем транспортировки.

Автор глубоко признателен своему научному руководителю кандидату технических наук

И.П. Юдину за большую помощь на всех этапах работы над диссертацией и полезную критику. ^ с:

Автор считает своим приятным долгом поблагодарить B.C. Алфеева за поддержку, в особенности на ранних этапах работы.

Автор признателен профессору И.А. Савину за поддержку и благоприятные условия, созданные в ЛСВЭ, для проведения настоящей работы.

Автор благодарит профессора Шишанина O.E. за конструктивизм и долготерпение, необходимые для завершения данной работы.

Особую благодарность автор выражает всему коллективу кафедры теоретической физики РУДН, а в особенности профессорам Рыбакову Ю.П. и Гуцунаеву Ц.И. за доброжелательность и неоценимый опыт, без которого настоящая работа вряд ли бы увидела свет.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Андреев, Валерий Вадимович, Москва

1. Андреев В.В., Алфеев B.C., Шелаев И.А., Юдин И.П. Оценка потерь интенсивности пучка протонов в инжекционном канале синхротрона СПИН. ОИЯИ, Р9-87-763, Дубна, 1987,15с.

3. Андреев В.В., Юдин И.П. Оптика третьего порядка реальной соленоидальной магнитной линзы. ОИЯИ, Р9-92-53, Дубна, 1992. 19с.

4. Andreev V.V., Yudin LP. Third-Order Optics of the Real Solenoid Lens. In Proc. International Conference on HEACC'92. Humburg, Germany, July 15-18, 1992.

5. Loschialpo P. et al. J. Appl. Phys. 57(1), 1985.

6. Reiser M. IEEE Trans. Nucl. Sci. NS-32, Oct. 1985.

7. Кириллов Д.А. и др. Полиномиальное представление компонент измеренного магнитного поля спектрометра ЭКСЧАРМ. Сообщение ОИЯИ, Р11-92-436, Дубна, 1992.

8. Andreev V.V., Yudin I.P. Third-Order Bending Magnet Optics for Cartesian Coordinates. In Proc. 1993 Particle Accelerator Conference. Washington, USA, May 17-20, 1993, pp. 297299, vol. 1.

9. Zhidkov E.P., Lima S., Panacik V.A., Polyakova R.V. and Yudin I.P. Simulation of the Nonlinear Magnetic Field of the Decay Process Spectrometer. (In Proc. Of the NEEDS'92 Conference. Dubna, July 6-17, 1992, JINR.

10. Кельман B.P., Явор С.Я. Электронная оптика. АН СССР, 1959.

11. Пирс Дж. Р. Теория и расчет электронных пучков. М., "Советское радио", 1956.

12. Андреев В.В., Юдин И.П. Построение полных матриц линейных преобразований промежутка ускорения (замедления) и соленоидальной магнитной линзы. Сообщение ОИЯИ, БЗ-1-92-31, Дубна, 1992.

13. Андреев В.В., Юдин И.П. Линейная оптика промежутка ускорения (замедления) с кусочно-непрерывным потенциалом. В Трудах XIII Совещания по ускорителям заряженных частиц. ОИЯИ, Дубна, Д9-92-455, 13-15 октября, 1993, т. 2, с. 81-88.

14. Andreev V.V., Yudin I.P. Third-Beam Optics in Electrostatic Fields. In Proc. International Workshop on Beam Dynamics and Optimization. St.-Petersburg, July 4-8, 1994, 12p.

15. Andreev V.V., Yudin I.P. Third-Beam Optics in Electrostatic Fields. In Proc. International Symposium on Electron Beam Ion Sources and Their Applications. Stockholm, Sweden, June 19-24,1994, MSL, pp. 261-272.

16. Andreev V.V., Yudin I.P. Simulation of Charged Particle Transport in Nonlinear Axisymmetrical Electrostatic Potential, In: Abstracts of IEEE Particle Conference (PAC-95), Dallas, Texas, USA, May 1-5, 1995.

17. Andreev V.V., Yudin I.P. Calculation of the Third-Order Beam Optics in Electrostatic Fields. Physica Scripta, vol. T71, pp. 207-212, 1997.

18. E. Munro, H.C. Chu. Numerical analysis of electron beam lithography system. Part I: computation of fields in magnetic deflectors. Optik, 60, N 4, 1982, pp.371-390.

19. Caldwell J. Series Expansions for the Vector Potential and Field Components Produced by Toroidal Conductor. J. Appl. Phys. 57(1), 1 January 1985.

20. B. Смайт. Электростатика и электродинамика. М., Иностранная лит-ра, 1954.

21. Andreev V.V., Yudin I.P. The Magnetic Field Analysis of the Toroidal Spectrometer STORS Superconducting Magnetic System. In Proc. International Workshop on Beam Dynamics and Optimization. St.-Petersburg, July 4-8, 1997, 12p.

22. Бенфорд А. Транспортировка пучков заряженных частиц. М., "Атомиздат", 1969.

23. Брук Г. Циклические ускорители заряженных частиц. М., "Атомиздат", 1970.

24. Котов В.И., Миллер В.В. Фокусировка и разделение по массам частиц высоких энергий. М., "Атомиздат", 1969.

25. Лебедев А.Н., Шальнов А.В. Основы физики и техники ускорителей. М., ЭНЕРГО АТОМИЗДАТ, 1991.

26. Силадьи М. Электронная и ионная оптика. М., Мир, 1990.

27. Steffen К. High Energy Beam Optics. New York-London-Sydney, Interscience Publishers, 1965.

28. Brown K.L. et al. TRANSPORT. A Computer Program for Designed Charged Particle Beam Transport Systems. SLAC-91, Rev. 2 UC-28 (I/A). May 1977.

29. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М., "Наука", 1973.

30. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., "Наука", 1976.

31. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. М., "Наука", 1978.

32. Andreev V.Y., Yudin I.P. Third Beam Optics by Green's Functions Method. International Workshop on Beam Dynamics and Optimization. Dubna, October 13-17, 1997.

33. Арцимович Jl.A. Управляемые термоядерные реакции. М., "Физматгиз", 1963.

34. Форрестер А. Интенсивные ионные пучки. М., "Мир", 1992.

35. Габович М.Д. Физика и техника плазменных источников ионов. М., "Атомиздат", 1972.

36. Guoyot G., Genchev V., Golutvin I. A. et al. Study of Deep Inelastic Using a Superconducting Toroidal Spectrometer (STORS); STORS/Note 91, May 1991, Letter of Intent, Geneva, 1991.

37. Андреев С.В., Ворожцов С.Б., Какурин С.И. и др. Сверхпроводящая магнитная система тороидального спектрометра СТОРС. Результаты расчетов. ОИЯИ, Р1-92-379, Дубна, 1992.

38. Dragt A.J. Numerical Third Order Transfer Maps for Solenoid, Nucl. Instr.&Meth., A298, №13, 1990, pp.441-459.

39. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц, M., Наука, 1967.

40. Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем, М., Наука, 1979.

41. Капчинский И.М. Динамика частиц в линейных резонансных ускорителях, М., Атомиздат, 1966.

42. Карташев В.П., Котов В.И. Методы формирования пучков частиц на ускорителях высоких энергий, М., Энергоатомиздат, 1989.

43. Ландау Л.Д. Теория поля, М., Наука, 1967.

44. Лоусон Дж. Физика пучков заряженных частиц, М., Мир, 1980.

45. Мешков И.Н. Транспортировка пучков заряженных частиц, Новосибирск, Наука СО, 1991.

46. Sanz-Serna J.M. Runge-Kutta Schemes for Hamiltonian Systems, BIT Сотр. Sci. Numerical Math., 28, 1988, pp.877-883.

47. Sanz-Serna J.M., Calvo M.P. Numerical Hamiltonian Problems, Appl.Math.&Mathematical Computation. 7, Chapman Hall,London, 1994.

48. Овсянников Д.А. Математические методы управления пучками, Л., ЛГУ, 1980.

49. Самарский А.А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент, Вестн. АН СССР, №5, 1979.

50. Самарский А.А., Попов Ю.П. Вычислительный эксперимент в физике, Сб.: Наука и человечество, М., Знание, 1975.

51. Andrianov S.N. A Module Technique for Expert Systems for Beam Line Design, Abstr. of Third Int. Workshop Beam Dynamics&Optimization BDO'96, St.Petersburg (Russia), July 1-5 1996, St.Petersburg, SPSU, 1996, p.9.

52. Andrianov S.N. Computer Algebra and Object-Oriented Programming, Absrts. of the Int. Conf. on Interval and Computer-Algebra Methods in Science and Engineering, INTERVAL'94, March 7-10, 1994, St.Petersburg, Russia, pp.41-42.

53. Berz M. High Order Description of Accelerators using Differential Algebra and First Application to the SSC, Snowmass Summer Meeting, Snowmass, Co, 1988.

54. Berz M. The Method of Power Series Tracking for the Mathematical Description of Beam Dynamics, Nucl.Instrum. & Methods, A258, №3,1987, pp.431-436.

55. Brown K.L. First and Second Order Matrix Theory for the Design of Beam Transport Systems and Charged Particles Spectrometers, Advances in Particles Physics., 1, 1968, pp. 71-134.

56. Brown K.L., Belbeoch R., Bounin P. First and Second Order Magnetic Optics Matrix Equations for the Midplane of Uniform Field Wedge Magnets, The Review of Sci. Instr., 35, №4, 1964, pp. 481-485.

57. Conte M. Analitical Considerations of the Proton Beam Extraction from the Dubna Synchrophasotron by Exciting the Resonance, ОИЯИ, E9-4925, Дубна, 1970.

58. Courant E.D., Snyder H.S. Theory of the Alternating Gradient Synchrotron, Annals of Physics, 3, №1, 1958, pp.1-48.

59. Dragt A.J., Forest Et. Lie Algebraic Theory of Charge Particle Optics and Electron Microscopes, Adv. Electr. and Electron. Phys., 67, 1986, pp.65-120.

60. Dragt A.J. A Lie Algebraic Theory of Geometrical Optics and Optical Aberrations, J. Opt. Soc. Am., 72, 1982, pp.372-379.

61. Dragt A.J. Lectures on Nonlinear Dynamics and Lie Methods with Applications to Accelerator Physics, Center for Theoretical Physics, Department of Physics, University of Maryland, College Park, Maryland 20742,1996, pp.1-399.

62. Dragt A.J. Lectures on Nonlinear Orbit Dynamics, Physics of High Energy Particle Accelerators. Eds. Carrigan, Huson F.R., Month M. AIP Conf. Proc., 87, NY, 1982, pp. 147313.

63. Glavish H.F. Magnet Optics for Beam Transport, Nuclear Instr. & Meths., 189, №1, 1981, pp.43-53.

64. Gluckstern R.L. Analitical Model for Halo Formation in High Current Ion LINACs, Phys. Rev. Lett., 73, №9, 1994, pp.1247-1250.

65. Herrmannsfieldt W.B., Yan Y.T. Computation Applied to Particle Accelerator Simulations, AIP Conf. Proc., 260, №1, 1992, pp. 142-148.72.1selin F.C. Computer Programs for Accelerators, CERN (Sci Rept), №10, 1987, pp.181-195.

66. Keil E. Computer Programs in Accelerator Physics, Phys. Part. Accel. Summer Sch. Stanford and Fermi Accel. Lab., 1984, NY, 1987, 1, pp.83-102.

67. Kamiga Yukihide, Masshiro Katoh, Ichiro Honjo. Sextupole Correction for a Ring with Large Chromaticity and the Influence of Magnetic Errors on its Parameters}, Proc. of IEEE 1987 Part.Acc.Conf., Trans. onNS, NS-35, №2, 1991,pp.l310-1312.

68. Matsuda H., Wollnik H. Third Order Transfer Matrices of the Fringing Field of an Inhomogeneous Magnet, Nuclear Instr. & Meths., 77, №2, 1970, pp.283-293.

69. Moser H.O., Krevet В., Dragt A.J. Nonlinear Beam Optics with Real Field in Compact Storage Rings, Proc. of the 1987 Particle Accelerator Conference, РАС'87, 1, 1991, pp.458460.

70. Bosi G. Third Order Treatment of Combined Effects of Space Charge and External Fields on Cylindrical Ion and Electron Beams, J. of Appl.Physics, 44, №5, 1973, pp.2188-2192.

71. Арцимович JI.A., Лукьянов С.Ю. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях. М., Наука, 1972.

72. Ливенгуд Г.Д. Принципы работы циклических ускорителей. М., Иностранная литература, 1963.

73. McKibern L. LADC Report, №604, 1949.

74. ElkindM.M. Rev. Sci. Instrum., 24, 129, 1953.

75. Forest E. Canonical Integration as Tracking Codes (or How to Integrate Pertubation Theory with Tracking ), Phys. Part. Accel.: Fermilab Summer School, 1987, AIP Conf. Proc. 184, Pt. 1, NY, 1989, pp.2-189.

76. Forest E., Ruth R.D. Fourth Order Symplectic Integration, Physica D, 43, №1, 1990, pp. 105117.84.1rwin J. Construction of High Order Maps for Large Proton Accelerators, SLAC-PUB-5486 (1991).

77. Irwin J. The Application of Lie Algebra Techniques to Beam Transport Design, Nucl. Instr. and Methods, 298, №1-3, 1990, pp.460-472.

78. Irwin J., Peggs S. XMAP: a Differential Algebra Tool Generating Accelerator Maps, Proc. of the 1989 IEEE Part. Acc.Conf., Acc. Sci. and Technology, NY, IEEE, 1989, pp. 1337-1339.

79. Lapostolle P.M. Density Distribution in Intense Beam, Труды YII Международной конференции по ускорителям заряженных частиц высокой энергии. Ереван, 1968, 1, сс.

80. Ninane A., Fert'e J.M., Mareschal P., Sibomana M., Somers F. OOTRAN, an Object Oriented Program for Charged Particle Beam Transport Design, Nucl. Instr. & Meth., A293, №1-2, 1990, pp.468-474.

81. Olson J.C., Russe B.R. First Order Optimization of Multiple Magnet Lens Saytems for Transport and Focusing of Circular Ion Beams, J. of Appl. Physics, 70, №10, 1991, pp. 5179

82. Wolfram St. MATHEMATICA™: The System for Doing Mathematics by Computers, Redword City (CA), 1988.91 .Yan Y., Chiung-Ying Yan "ZLIB" a Numerical Library for Differential Algebra (User's Guide for Version 1.1), SSCL-300, 1990.