Построение математических моделей упругопластических сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

_________________РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК-------------------

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ 1НСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ

Р Г 5 ОД

На правах рукописи

" - .......- - УДК 539.374

ЧАНЫШЕВ АНВАР ИСМАГИЛОВИЧ

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ УЛРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ СРЕД

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ' •

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

НОВОСИБИРСК 1995

Работа выполнена в Институте горного дела СО РАН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических в профессор СИБИРЯКОВ доктор физико-математических в профессор СОЛОВЬЕВ К доктор физико-математических в профессор ЗУЕВ ,

Ведущая организация:

Московский госуниверситет им. М.В.Ломоносова

Защита состоится "40" 1ллалэ> 1995 Г- в 14-00 на заседг диссертационного совета Д 003.22.01 в Институте теоретическ прикладной механики СО РАН цо адресу: 630090, Новосибирс ул. Институтская, 4/1, ИТПМ СО РАН.

Факс: (3832) 35-22-68 E-mail: ADM @ ITAM.NSK.SU

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Инсти' теоретической и прикладной механики СО РАН.

Автореферат разослан "&_" 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного советау^ ( / к.ф.-м.н., с.н.с.

бЩ^^^ В.И.Само

■ЭБШЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При проектировании соооужений, в рас-штах на прочность широко применяются методы теории упругое ги I пластичности. Эта теория предполагает знание математической юдоли исследуемого объекта б виде определяющих соотношений. 1ля первоначально изотропных сред, одинаково сопротивляющих-:л при знакопеременном нагружении - пои растяжении и сжатии, накопеременном сдвиге, такие соотношения п основном построе-[ы: имеем закон Гука, критерии пластичности Треска или Мизеса, (еформациодную теорию пластичности Генки - Надаи - Ильюши-[а, теорию пластического течения Прандтля - Рейсса или Рейсса -1анинга. Остаются проблемы с описанием процессов сложного на-ружения, когда происходит поворот главных осей тензора напряжений или изменение вида напряженного состояния. Другое дело ;огда рассматриваются первоначально анизотропные среды, разно-оп р от из л я ю сциеся при знакопеременном нагружении . Примерами тих сред служат практически все композитные материалы, вклю-'ая природные. Лля них неизвестны еще ни законы упругости типа боощепного закона Гука, ни критерии пластичности типа условия Дизеса или Хилла, ни деформационная теория типа теории Генки Надаи - Ильюшина, ни теория пластического течения тина тео-ии Прандтля - Рейсса или теории Рейсса - Ланинга, ни теория ластического разрыхления Лруккера - Прагера или для упроч-яюшихся сред - В.В.Новожилова, ни тем более теория пластиче-кого деформирования при сложном нагружении - А.А.Ильюшшта его учеников - теория процесса пластического деформирования атериалов, или теория пластического деформирования при слож-ом нагружении С.А.Христиановича и Е.И.Шемякина, которые в акой же степени как указанные были бы просты и удобны при ре-[ешш практических задач. Обобщение всех отмеченных теорий и 1Конов на рассматриваемый класс материалов - основная задача сследооаний. Этим объясняется и актуальность выбора темы ра-оты, поскольку в расчетах на прочность, при исследовании НДС энструкций, в которых все большее место занимают композитные атериалы, такие соотношения необходимы.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с планами научных исследований: "Исследование статических и динамических моделей твердых тел с приложением в задачах механики деформируемых сред и проблемах механики горных пород" (номер государственной регистрации темы 75004789), "Изучение процессов деформирования и разрушения горных пород и сыпучих материалов при статическом и динамическом нагружениях" (номер roc per. 01860072595)

Целью работы являлось :

1. Определение феноменологической механической модели деформируемого твердого тела. Определение ее структуры, упругой и неупругой деформации.

2. Восстановление феноменологической механической модели первоначально изотропной среды, одинаково сопротивляющейся npi знакопеременном нагружении, по известному отклику ее в упругости, т.е. по закону Гука. Определение критериев пластичности, законов пластического деформирования, согласующихся с поведением этой механической модели среды.

3. Уточнение структуры феноменологической механической модели первоначально изотропной среды, одинаково сопротю. ляющей ся при знакопеременном нагружении, в связи с проблемой описания процессов сложного нагружения. Построение определяющих соотношений пластичности при сложном нагружении, экспериментальное обоснование, решение иллюстративных задач.

4. Определение феноменологической механической модели первоначально изотропной среды, разносопротивляющейся при растяжении и сжатии. Построение по этой модели определяющих соотношений упругости и пластичности при простом и сложном нагружениях, экспериментальное обоснование, решение иллюстративных задач в том числе упругопластичес кой задачи о двухстороннем ежа тии плоскости с круговым отверстием в случаях полного и неполного охватов упругопластической границей контура отверстия (за дача типа задачи Л.А.Галина).

5. Построение феноменологической механической модели пер ноначально анизотропной среды, одинаково сопротивляющейся npi знакопеременном нагругхешш, по обобщенному заходу Гука. Опре деление критериев пластичности, деформационной теории, теорш

тластического течения. Экспериментальное обоснование, решение

: I л лкнгратишплх з адач в том числе з адачи о в дав ливании штампа_____

ч внедрении клина в жссткопластическую анизотропную полуплоскость.

>. Ног ¡ роение простейших механических моделей деформируемого твердого тела, из которых как из "кирпичиков' может быть составлена Феноменологическая механическая модель любой наперед аданной первоначальпо анизотропной среды, разносопротивляю-шейся при знакопеременном нагружении.

Метопы исследовании: апалитические методы, моделирование упругой и неупругой деформаций наглядными механическими представлениями, аналитические и численные расчеты с помощью

Научная новизна и практическая ценность работы.

1. Предложен метод построения определяющих соотношений я упругости и в пластичности - математической модели первоначально анизотропных сред, разносопротивляющихся при знакопеременном нагружегпт, основанный на представ легаш реального деформируемого твердого тела в виде связной совокупности жестких недеформируемых частиц - блоков, которые, перемещаясь друг относительно друга, создают деформации механической модели тела. Механическая модель материала в виде связной совокупности жестких недеформируемых частиц - блоков - это нечто первичное, математическая модель отражает и описывает поведение механической при разных условиях вагружения.

2. Построена новая математическая модель упругопластиче-ского деформирования материалов при сложном нагружении, в которой отражена зависимость модуля ортогональпого догружения от направления догрузки.

3. Предложена методика расчета нижних критических нагрузок в задачах о потере устойчивости дефермируемых систем (пластины, оболочки) за пределом упругости с однородным докритичесюш состоянием.

4. Построены определяющие соотношения упругости и пластичности первоначально изотропных сред, разносопротивляющихся при растяжении и сжатии.

5. Предложен новый метод решения упругопластической за-

дачи о двухстороннем сжатии плоскости с круговым отверстием в случаях полного и неполного охватов упругопластической границей контура отверстия (задача Л.А.Галина).

6. Построены новые критерии пластичности первоначально анизотропных сред, одинаково сопротивляющихся при знакопеременном нагружении. Получены определяющие соотношения в виде деформационной теории пластичности, теории пластического течения.

Достоверность полученных результатов и выводов обеспечивается корректным применением теоретических и экспериментальных методов механики деформируемого твердого тела, согласованием полученных результатов с имеющимися в литературе экспериментальными данными.

Апробация работы. Основные рез}'льтаты диссертации докладывались и обсуждались на УП Всесоюзной конференции по прочности и пластичности (г. Горький, 1978), на Y Национально:,! Конгрессе по теоретической и прикладной механике (НРБ, г.Варна, 1985), на YI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (г. Ташкент, 1986), на I Всесоюзном симпозиуме ро математическим методам механики деформируемого твердого тела (г. Москва, 1984), на Всесоюзном семинаре "Аналитические методы и применение ЭВМ в механике горных пород" (г. Новосибирск, 1983. 1985, 1987, 1991), на Всесоюзной научной школе "Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных породах и выработках" (г. Симферополь, 1983, 1985, 1987). на Ш Всесоюзном симпозиуме "Прочность материалов и элементов конструкций при сложном напряженном состоянии" (г. Киев, 1989), на Всесоюзной конференции "Современные проблемы физики и ее приложений" (г. Москва, 1990), на Сибирской школе по современным проблемам механики деформируемого твердого тела (г. Новосибирск, 1988, г. Якутск, 1990), на Международной научной конференции, посвященной 70-летию акад. Яненко H.H. (г. Новосибирск, 1991) и др., а также работа докладывалась на семинарах кафедры механики деформируемого твердого тела НГУ (г. Новосибирск, 1980, 1983, 1984, 1993), кафедры теории упругости МГУ (г. Москва 1986), семинарах ИПМ РАН (г. Москва), семинарах ИГ СО РАН (рук.проф. Соснин О.В.), научном семинаре НИИ неор-

о

гнических материалов \г. Москва), научном семинаре ИФЗ РАН ^рух. ирот. Никитин Л.В.). ИТПМ СО РАН (рук. чл.-корр. РАН Фомин В.М.). семинарах ИГЛ СО РАН (рук. акал. РАН Курле-чя vi.fi.), научном семинаре кафедры механики коШЮЗКТОБ МГУ. «чучном семинаре кафедры строительной механики Академии пу-ек сообщения (г.Новосибирск), семинаре отдела Физики прочности ЛФПМ СО РАН (г.Томск).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы н /в научных работах.

Отпуктура и объем работы. Лиссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, содержит 336 страниц машинописного текста, включая 109 рисунков, 4 таблицы. В списке литературы приведено 253 работы.

Автор выражает благодарность В.М.Жигалкину, А.М.Ковриж-лых. А.Ф.Ревуженко, А.Я.Колодко за полезные обсуждения в про-чессе выполнения работы. Автор глубоко признателен академику г АН Евгению Ивановичу Шемякину за постоянное внимание к работе и несшые замечания.

О ДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

*;о введении дано определение феноменологической блочной механической модели деформируемой среды, указаны пути ее восстановления по определяющим соотношениям з упругости, определены основные задачи исследований.

блочная механически модель - ¿»еномеяологическая по опреде-тению, восстанавливается по определяющим соотношениям п упоу-гости. То, что она должна иметь блочный характер строения, вытекает из многочисленных натурных наблюдений, впервые проявле ния блочной структуры на поверхностях металлических образцов были обнаружены Людерсом (1860 г.) и Л.К.Черновым (1864 г.). Блоки феноменологической механической модели материала - жесткие, недеформируемые, в этом основное отличие данной механической модели от всех других блочных моделей.

Существуют два простейших вида деформации, выделяющих блочную структуру - по нормали к контактным площадкам - простое удлинение, характеризующееся сближением или удалением одних'

блоков относительно других, в плоскости контакта - сдвиг, в основе которого лежит скольжение одних блоков по другим (рис. 0). Каждый из этих видов деформации по отдельности еще не определяет контактные площадки, определяет их совокупность. Любая деформация модели - результат контактных взаимодействий одних блоков с другими. Если сдвиги упругие и неупругие, то простые удлинения в модели всегда упруги. Произвольные сдвиги разделяются на простые и сложные. Произвольный сложный сдвиг представляется суммой двух простых. Направления последних определяются характером шероховатости поверхностей соседних блоков в плоскости контакта. Простые удлинение и сдвиги на любой контактной площадке происходят без эффекта Пуассона и формулируются при помощи следующих трех векторных уравнений одного и того же типа:

& = А ;р„\ (0)

Здесь индекс i = 1,2,3 указывает на тот или иной вид деформации; pn\qn' - векторы усилия и деформации, определяемые формулой Коши; - коэффициент пропорциональности (постоянный или переменный при простых сдвигах), имеющий значение податливости.

Уравнение (0) в случае А = const совпадает по существу с тем законом упругости, который в 1678 году был открыт Р.Гуком. Если Р.Гук предполагал, что его закон справедлив во всех направлениях действия силы F, то в данной модели среды в силу жесткости и недеформируемости самих блоков система уравнений (0) имеет место только на тех площадках контактов одних блоков с другими, которые ее породили.

Относительно размеров частиц - блоков. Феноменологическая механическая модель - это по-существу модель элемента среды. Поскольку элемент среды в механике деформируемого твердого тела - бесконечно малое образование, а его простые сдвиги и простые удлинения однородны (Н.И.Мусхелишвили), то размеры частиц -блоков нулевые.

Модель среды уточняется. Одно из требований теории упругости - существование потенциала упругой анергии, будет выполнено, если на контактных площадках направления простого удлинен1.«; к двух простых сдвигов образуют ортогональный базис. Шероховатость поверхностей соседних блоков как с той, так и с другой схч>-

рок должна состоять из набора различного рода неровностей в виде

гонттетттпических окружностей (изотропное тело).: либо в виде двух-----------

о и;'огональных пересекающихся полос.

вводятся определения площадки скольжен*ы, формы и со дер-.-■калия. Площадкой или плоскостью скольжения называется плоскость с направляющим вектором простого удлинения. Она не то-шествегта. площадке с нормалью п. па кс горой задаются лекторы ч'п,оп. а может образовывать с ней угол, отражающий различие между направлением простого удлинения и нормалью п. В этом чается основное отличие данного определения от обят.епр'шя-"■ого. Площадка скольжения - это площадка, здоль которой нрот'с-:;одят простые ортогональные сдвиги, а по нормали - простое удлинение.

Что касается формы и содержания, то под содержанием понимается совокупность жестких недеформируемых блоков - то, из чего состоит модель материала. Содержание определяется системами плоскостей скольжения, разделяющих механическую модель на блоки. Форма - геометрическая, в которую заключено содержание модели. Если содержание - свойство самой среды, форму молено задавать. Последние рассматриваются в виде пространственных многогранников с параллельными противоположными гранями. Форма, яа каждой грани которой выполняется система уравнений вида 10), называется согласованной с содержанием. Согласованной с содержанием потому, что направления р„* или <?„' указывают относительно этой формы направления простых сдвигов и простых удлинений. Форма, согласованная с содержанием, строится в предположении, что усилия р„* на одних параллельных гранях действуют независимо от усилий р„ на других гранях.

Чтобы не быть голословным относительно восстановления феноменологической блочной механической модели но заданным определяющим соотношениям в упругости рассмотрим основные принципы восстановления указанной модели для материалов с законом упругости в виде обобщенного закона Гука (полное изложение решения этой проблемы с примерами представлено в §4.4).

В структуре обобщенного закона Гука блочной модели отвечают собственные состояния упругого тела, открытые в последнее время - СНА8ТЮ1ЕТ БЕ вЕНУ (1959), Б'АиШАЗ (1971), Минкевич

Л.М. (1973), Рыхлевский Я.К. (1984). Хотя идея о их существовании была высказана еще в 1856 году Лордом Кельвином. Дело б том, что обобщенный закон Гука представляет собой линейное симметрическое преобразование тензора напряжений в тензор деформаций. Оно задается тензором четвертого ранга упругих податли-востей. Ввиду известной теоремы алгебры для этого преобразования существуют набор вещественных собственных чисел А; и набор ортогональных собственных тензоров Т; (» = 1,...,6). Те и другие в силу определения являются характеристиками феноменологической механической модели в упругости

Если разложить тензоры напряжений Т„ и деформаций Т, по базисным тензорам то в каждом из собственных направлений Т, будем иметь уравнения типа (О)-

Э; Т; = А.йГ,

Здесь Эм S¡ - координаты Т€, Т„ в базисе 7\ соответственно. При этом удельная энергия деформирования V/ равна

IV = ~аыек, = | Эi • (0/

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, традиционно используемый при определении Т„,Т(. Разделим усилия и векторь, деформации на его гранях на шесть независимых групп, как обозначено в формулах разложений Т„, Те : Т„ = 5,71, Т( =Э.' Г;. Возьмем часть их, соответствующую тензорам Э» Т* (« — 1, ...,6), и спроектируем по формуле Копш на такой пространственный многогранник, для которого

= р.'. = | $. (о)"

Здесь р„* = £<(Г{,п) ■ е, =Э1 №,п) • е, е= (еье2,е3) - вектор базис исходной системы координат, V - объем фигуры, Е* - поверхность,

го) - е = Ья{Ге,Я) • е + - е,

Ья - расстояние от точки г<> до грани с нормалью п.

----Замечание. Гак как 9, = Л ; , то эти многогранники не связаны

лруг с другом. Кроме того, в силу ((])', система их является полной. Усилия, приложенные к граням всех фигур, создают в совокупности ■^акое же НЛС. как и усилия, поиложенные к граням параллелепи-,еда.

^орма г -того мпогогр аттика уточняется. Из всех позможпых выбираются такие, на которых при рп' ^ 0 (не исключается, что на каких-то гранях р„1 = 0)

:>„* • Чп = cnvit.

Эта формула есть математическое выражение утверждения - усилия рп' на соседних гранях многогранника работают независимо и одинаково (А.Ф.Ревуженко). Подстановка в (0)" дает

k[(Ti,ñ). ё\2 = i, k=±fjLndZi.

"'епос родственный анализ выражения для к (Ь„ - высота, dE¡ - элемент площади) показывает, что к может пргаг-тмать значения 1,2,3.

.'Тля однозначного определения i -того многогранника выделим ;го ;тз данного параллелешшеда вместе с системой приложенных -силий vn' и заданных векторов деформации qn\ Обратим внимание на то, что у ранение qn* = A ¡pnl должно отражать в этом много-таняике либо деформацию простого удлинения, либо деформацию простого сдвига и определять при этом блочную структуру модели. Если в направлении р„' происходит простое удлинение (другой случай оассматриваетсн аналогично), то это означает, что у одном из ортогональных -лря направлении, если во нему приложить соответствующее усилие p¿\ может произойти простой сдвиг по формуле oí,' = A.ñ-.','. Очевидно, что удельная работа поверхностных уси-чий vn* на деформациях ?" равна пулю. В силу энергетического ождестяа ;П) должно быть равным нулю скаляоное произведение соответствующих тензоров. Обозначая тензоры напряжений и деформаций для противоположных видов деформации как S,fT¿K Эi'T¡f, ■ ае (Tj/.Tj/) = 3, получим

¡(Ti • п) • ё] • [(7V • Й) • ё] = 0, {Ti,Til) = 0 .

Потенциальные площадки скольжения не зависят от направления действия в них касательного усилия. Произвольный простой сдвиг в плоскости скольжения может быть разложен на два простых ортогональных сдвига в фиксированных направлениях. Это означает, что полученные соотношения должны иметь место для любых двух тензоров Т;/, ортогональных Г; в шестимерном евклидовом тензорном пространства.

Окончательно система уравнений для определения г -того многогранника представима в виде:

[№,Й) ■ ё]2 = р ¿ = 1,2,3.

N = 1.

[№ • п) • ё] • КЯ/ • п) • ё] = О, У2* Т;>: (Т., = 0.

Направляющие векторы простого удлинения и двух простых сдвигов должны образовывать ортогональный репер. Решение системы легко получить, рассматривая уравнение в сиЬтеме координат, связанной с главными осями тензора 1\. Искомые многогранники будут образовывать следующие фигуры: слой (к = 1), ограниченный двумя параллельными плоскостями, перпендикулярный одной из главных осей тензора Т{; четырехгранная призма (к = 2) с гранями параллельными одной из главных осей и равнонаклонными к двум другим; октаэдр (к — 3) с гранями, равнонаклонными сразу к трем главным осям тензора Направления векторов р,' или д/ на гранях полученных фигур как нельзя лучше определяют направления простых удлинений и простых сдвигов.

Для восстановления плоскостей скольжения или блочной структуры необходимо проанализировать всю совокупность многогранников - они образуют форму, согласованную с содержанием механической модели среды. Может так оказаться, что один из многогранников будет "определять" простое удлинение, а два других -простые сдвиги, односящиеся к одной и той же площадке скольжения. Лругой случай, когда два или три многогранника совпадают между собой; вопрос о направлении простого удлинения решается здесь на основе анализа собственных чисел Л; - минимальной податливости отвечает простое удлинение.

восстановленная по обобщенному закону 14'ка блочная Феноменологическая модель непосредственно диктует определяющие сосп-ношения первоначально анизотропной, одинаково сопротивляющейся при знакопеременном нагружешш среды в оластичности. Этому способствует гипотеза о жесткости и недеформируемости блоков в ¡еханической модели среды, которая с математической точки зрения означает то, что собственные тензоры Г,, определенные в упругости, остаются собственными для пластического деформирования.

Лля сред, разиосоиротивляющихся при знакопеоемеяном на-,-ружении, для которых закон упругости еще не определен в такой :ке степени как обобщенный закон Гука, феноменологическая блочная механическая модель восстанавливается из других соображений: с соблюдением основных принципов построения блочной механической модели, проверенных на материалах, одинаково сопротивляющихся при знакопеременных нагрузках; с учетом первоначальной анизотропии материала, установленной по обобщенному закону Гука с некоторыми средними значениями модулей податливости или жесткости; с применением общих закономерностей, проявленных в зависимостях а ~ с при пластическом деформировании (пластическое разрыхление или уплотнение*): с ппивлечением натурных наблюдений за развитием полос локализации деформации на поверхностях испытуемых образцов при однородных нагруже-ниях. Восстановленная таким образом феноменологическая механическая модель подсказывает уже не только вид определяющих соотношений в пластичности, но и в упругости.

Математическая модель (определяющие соотношения, записанные в собственном тензорном базисе) отражает поведение механической - каждое ее уравнение описывает либо простое удлинение, либо простой сдвиг, происходящие в механической модели. Простые сдвиги не зависят от простых удлинений и наоборот. Независимыми являются простые сдвиги в их совокупности, независимы простые удлинения в множестве простых удлинений. Упругость как проявление механической модели при малом нагружении определяет не только ориентацию контактных площадок, количество разных по направлению, но и характер шероховатости в плоскостях контактов. Неупругая деформация модели среды связана с преодолением сил трения между блоками в процессе скольжения. При нластиче-

ском простом сдвиге трение сухое, при ползучем - вязкое. Диаграмма т ~ 7 в плоскости контакта при упругопластической деформации - диаграмма изменения предельной силы трения с ростом сдвига 7.

При проверке указанного метода построения определяющих соотношений в упругости и пластичности в работе последовательно рассматриваются: первоначально изотропные среды, одинаково сопротивляющиеся при знакопеременных нагрузках (главы 1,2), первоначально изотропные среды, разносопротивляющиеся при растяжении и. сжатии (гл.З), первоначально анизотропные среды, одинаково сопротивляющиеся при знакопеременном нагружении, т.е. с обобщенным законом Гука (гл.4). Построенные по этому методу математические модели сравниваются с другими, используются для решения краевых задач, в том числе и задачи об однородном нагружении цилиндрических образцов за пределом упругости, решенш: сопоставляются с известными экспериментальными результатам •, Для обоснования полученных математических моделей исследован вопрос о допустимых формах определяющих соотношений и упругости и пластичности, которые устанавливаются из условия существования интеграла энергии в континуальной механике деформируемого твердого тела, когда в силу континуальности переход из одного состояния тела в другое бесконечно близкое возможен при произвольном пути догружения (гл.4, §4.3).

Первая глава диссертации посвящена построению феноменологической блочной механической модели первоначально однородной и изотропной среды с законом упругости в виде обычного зако-но Гука, определению по ней вариантов теории пластичности, включая условие начала пластичности

В §1.1 дан краткий обзор работ по теории пластичности первоначально изотропных материалов. Отмечается многообразие существующих вариантов теории пластичности и методов их построения. Если ввести в рассмотрение следующий принцип - за упругостью, т.е. за пределом упругости, должна следовать пластичность, пластичности всегда предшествует упругость, то анализ этих вариантов теории пластичности приводит к выводу, что он не везде выполняется.

Параграф 1.2 работы посвящен построению простейшей модели деформируемого твердого тела в виде колоды карт, поведение

которой описывалось бы обобщенным законом Гука и характери-_____

стикой которой служил бы предел упругости на сдвиг. Для а того колоду карт следует перевязать (например, гибкой резиной;, чтобы создать поверхностные силы натяжения, в более сложной ситуации возможно допустить существование электромагнитных сил; предназначение тех и других сил - пшг.кимать частштьт - блоки (карты) в естественном состоянии модели среды. Другое ограничение на систему карт - шероховатость карт с той и с другой стороны должна быть образована насечкой неровностей либо в виде концентрических окружностей, либо в виде взаимно ортогона льных полос. Это необходимо, как отмечалось, для существования потенциала упругой энергии. Вводятся определения деформации простого удлинения и простых сдвигов, упругой и неупругой деформации. Простые удлинения в модели упруги. При простом упругом сдвиге происходит напряжение выступов, характеризующих шероховатость, без перескока одних через другие. При пластическом простом сдвиге происходит преодоление сил трения. Предельное касательное напряжение 7V с учетом пеотюго ограничения па механическую молель определяется неравенство».

т, > kjN - 04

где kfp - коэффициент трения между блоками. А' - внутреннее усилие (Баренблатт Г.И., 1961), прижимающее блоки в естественном состоящш модели, ап - внешнее нормальное напряжение. Для того, чтобы величина справа являлась характеристикой системы или пределом упругости на сдвиг, необходимо чтобы

j дм »|<г„;.

В этом случае т, ~ ktvN. С ростом сдвига 2*у происходит изменение ^(увеличивается периметр колоды карт, увеличивается N} и изменение kt;, (если, например, на площадки скольжения поступают новые "порции" материала), диаграмма изменения г, — f(2j) имеет вид обычной кривой "касательное напряжение - упругопла-стическнй сдвиг". В случае разпосопротивляющегося материала при знакопеременном сдвиге различаются kip при движении блоков в ту или другую стороны, отсюда в плоскости контактов блоков

имеем условие наступления пластичности в виде сдвинутого относительно начала координат прямоугольника. При простом сдвиге колоды карт поворот, вообще говоря, нулевой и тензор деформации несимметрический. Однако, если изменить начало отсчета углов поворота, т.е. принять, что углы поворота равны нулю в состоянии чистого сдвига (при этом ы — -гоШ ), то тензор деформации станет симметрическим. Предназначение этого параграфа - показать, что кривая г = т(2у) есть кривая трения, определяющая изменение предельной силы трения с ростом сдвига 2у, определить такую важную характеристику материала (постоянную среды) как предел упругости на сдвиг. И, кроме того, здесь необходимо было показать, что симметричность тензора деформации не связана с нессиметричным функционированием площадок скольжения, несимметричность скольжения - есть проявление анизотропии материала.

Параграф 1.3 посвящен анализу динамических проявлений простейшей механической модели среды, построенной в §1.2. За основу принят закон движения Ньютона: Р — К = тх. Рассматривается динамический простой сдвиг колоды карт, произведено осреднение, через силы Д, смещение х определены напряжения тр,тд, деформация сдвига 27. Исследованы зависимости тр = тр(2у), 27 = в случаях когда тд = 2ру - упругость, тд = тл{2у) - пластичность, тд — тд(2-у) - ползучесть при произвольном изменении внешнего напряжения ту от времени Показано, что эти зависимости могут иметь самый разнообразный характер. Лля определения характеристики материала - изменения реактивного напряжения 7д = /(7,7) с изменением 7,7 необходимо проведение экспериментов с 7 = 0 . В этом случае т** = тд = /(7,7).

Параграф 1.4 посвящен построению простейшей механической модели дилатирующей среды, в которой изменение объема происходит не только за счет нормального напряжения, но и касательного. Модель такой среды имеет форму параллелепипеда, а пластины или пластинки, составляющие содержание, имеют выступы. Выделяются направления простых сдвигов и простых удлинений, простые удлинения ортогональны контактным площадкам - граням выступов. Построены определяющие соотношения этой модели в упругости и пластичности. Рассмотрен случай когда касательное

усилие, направленное б одну сторону, приводит к увеличению объема модели, в другую, в противоположную - к уменьшению.

Построенные в §§1.2, 1.4 простейшие модели деформируемых сред (геометрические образы этих моделей представлены на рис, 1) являются элементами или "кирпичиками" при построении механических моделей более сложных сред.

В параграфе 1.5 обсуждаются различные попытки введения блочной структуры первоначально однородной и изотропной среды в пластическом состоянии, указапт.т их недостатки, дано построение феноменологической блочной механической модели этой среды по закону упругости Гука.

На произвольно ориентированной площадке с нормалью п соотношения закона Гука имеют вид:

= + ЩТ13(п1 - п23) + „¿(п§ - })], (1)

(2)

где а„ - нормальное напряжение, тп = ^(гмё; - п3е3 — (п\ — Дз)п] -+ а'2П2(е2 — П2П) - касательное усилие; ¿"1,62,63 - орты системы координат, связанной с главными осями тензора напряжений; Т!3 = — т-1 — 21±£д _ независ1шые от ап параметры; гг^п^.пз - направляющие гсосинусы п; Е - модуль Юнга, и - коэффициент Пуассона.

Среди всех возможных площадок выделяются такие, которые удовлетворяют следующим двум условиям: 1) по нормали к ним лр--■•■¡сходит простое удлинение (г., — Л<7Г,), а г, касательной плоско-ст, - простой сдвиг. 2) площадку: не завися-! от направления действия в них касательного усилия тп. Совокупность этих нлощадок определяется единственным образом из системы уравнений:

гс? - л? = 0, г?? - 1 - 0 Си

Они совладают с раИионаг.ДоШ1ЬТ.ч ¡: к ('Сям ' ! аким обряиок/. модель п«*т>ионачалы;о н.>чП5>01ТЧо1 о т.-да к.; >.>'■:> и • частиц - илокчь, контактные нлошалки когорь!;. < онпаламг . < чричоскшли; и'.;;-

мой, согласованной с содержанием, является октаэдр, построенный в главных осях тензора напряжений.

Так как простые удлинения и сдвиги в механической модели происходят без эффекта Пуассона, в параграфе 1.6 исследована причина его образования в законе Гука. Эффект Пуассона образуется за счет изменения диагоналей первоначально прямоугольного элемента при сдвигах.

Параграф 1.7 главы 1 посвящен построению математических моделей, описывающих поведение механической. Математическим выражением наступления пластических деформаций механической модели среды является условие постоянства октаэдрического касательного напряжения, при простых путях нагружения ее поведение описывается деформационной теорией пластичности, теорией пластического течения при условии пластичности Мизеса.

Вторая глаза диссертации посвящена исследованию изменения начальной поверхности нагружения (изменения начальной шероховатости на контактах одних блоков с другими) при упругопла-стическом деформировании. Это возможно сделать, если исследовать процессы сложного нагружения. Для этого в качестве базовой математической модели была взята предложенная С.А.Христиано-вичем и Е.И.Шемякиным, в которой сложное нагружение пластического материала в условиях плоской деформации происходит с поворотом главных осей тензора напряжений. Основные моменты этой модели изложены в §2.1, ее недостатки отмечены §2.2. Одним из недостатков является то, что здесь нет локального потенциала для приращений пластических деформаций. Кроме того наблюдается разрыв приращения деформации в ортогональном направлении подобно тому, как он имеет место по деформационной теории пластичности.

Параграф 2.3 диссертации посвящен устранению противоречий, модели С.А.Христиановича и Е.И.Шемякина. Это достигается за счет расширения Гипотезы о простой догрузке. Предполагается, что при сложном догружении простая догрузка вызывает приращение деформаций не только в направлении своего действия, но и в ортогональном направлении. Появление нового параметра - угла, образуемого суммарным приращением деформации с направлением простой догрузки, позволяет ввести локальный потенциал для приращений пластических деформаций и, кроме того, обеспечить непрерывный переход из области полной разгрузки в область ча-

-- ------------------------------------------------------------

сиг. обозначить через 2щ модуль простого догружения (в случае сложной догрузки;, а через - модуль ортогонального догру-•сеяия, то основные соотношения нового варианта .'¿одели С.А.Хрис-наиовича и й.И.Шемякина будут иметь вид (рис, 2): области догрузки I (области тлттей догрг'зк™)

= Д7" = ^ (- = ±+1-1) (4)

' 2и~ и„ ш щ ц'

При —'¿X < Ь -X, Где

/ Дг"^ „ / Л Г, /1 Г\

:.в = агс1д — , 2х — агс1д Л---\---•

1 Ат' 1 V и V МУ

Здесь Дт = Дт' + Дт", Д7 — Д7' + Ау"; Ат^Ау' - простые догрузка и приращение деформаций; Дт", Д7" - ортогональные; - пмлаг,-» погрузки II ( области частичной разгрузки)

>> иилаь («д 11» и-.-1 («V : ■'>',

Знак + " или " — " з (5) выбирается из условия

-,;Г': ' ..,■.!<,,»,. .<>.5 лС, ( г с . V ."ГМ' IVтоГо Ме-- . г"

. • •.(«.•• ы?ттг.:юл геозии гы^с-ичиосш .-»...-..Ильгшплна я ввозом уравнении (5) отсутствует слагаемое с Ат" , а во втором уравнении нет слагаемого с Ат', хотя предполагается, что оставшиеся

' О

ненулевые коэффициенты зависят от направления догрузки. В модели С.А.Христиановича и Е.И.Шемякина нет слагаемого с Дт' во втором уравнении (5). В то же время введение этого слагаемого позволяет учесть зависимость отношения Дг"/Д7" от направления догрузки, наблюдаемой в экспериментах Нахди и Роули.

Построенный вариант является вариантом теории пластического течения с угловой точкой. Для определения параметров щ и Ht достаточно проведения одного эксперимента в пластической области деформирования с резким изломом траектории нагружения. Изменение направления пластического скольжения с ростом сдвига объясняется процессами заклинивания скольжения, обнаруженными в физике металлов.

Параграф 2.4 работы посвящен решению иллюстративной задачи о потере устойчивости бесконечно длинной полосы при продольном сжатии ее за пределом упругости, где в качестве определяющих соотношений в пластичности приняты соотношения §2.3. Задача решается в постановке Лейбензона - Ишлинского с применением гипотезы Ф.Шенли о продолжающемся нагружении в момент потери устойчивости. Суть этой гипотезы отражена на рис.3. Здесь полное приращение напряжений в момент потери устойчивости определяется тензором ДТа = + АТа, где - произвольная постоянная вариация тензора основных напряжений, а АТ„ - приращение, обусловленное искривлением поверхности конструкции, величина АТ„ определяется с точностью до произвольного постоянного множителя, так как АТа удовлетворяет однородной системе дифференциальных уравнений. Ввиду произвола в выборе и постоянного множителя в выражении АТС можно всегда считать, что характер догружения АТ„ и вид связей между приращениями напряжений и приращениями деформаций в каждой точке конструкции в момент потери устойчивости зависит только от значений компонент тензора 6Т%. Направляя соответствующий вектор догрузки <5то в одну из трех областей догружения, рассмотренных в §2.3, будем соответственно иметь во всей конструкции либо уравнения (4), либо уравнение (5), либо соотношения (6). При решении задачи рассмотрены все три случая догрузки. Минимальная критическая нагрузка определяется при догружении в каждой точке полосы в область активного догружения. Значение этой нагрузки определяется из решения

-яругой задачи с заменой в последнем упругого модуля сдвига аа касательный 2цр. Сранение атой нагрузки с решениями по деформационной теории пластичности и по теории пластического течения показывает, что оно минимально.

Параграф 2.5 диссертации посвящен построению математической модели сложного пагружеяил упрочняющегося тела при непо-. окних и совпадающих осях тешоров напряжений я деформащ1Й. За основу здесь приняты результаты §2.3. Введена в рассмотрение девиаторная плоскость, определены понятия простого и ортогонального догружений, осуществлен перенос результатов §2.3 на этот класс нагружений. Так как полученная модель - с угловой особенностью на поверхности нагружения, то применительно к механической модели первоначально изотропной среды, построенный в гл.1, это означает, что в п юскости контактов блоков "шероховатость" также приобретает угловую особенность. В этом же параграфе с позиций предложенной модели и теории пластического течения Рей с г а - Ланинга произведена обработка зксперименталь-кы.х данных А.М.Жукова, В.М.Жигалкина, полученных при сложном нагружении тонкостепных цилиндрических образцов из сталей ЗОХНЗА, 40Х путем комб41нированного действия осевой растягивающей нагрузки и внутреннего давления. Результаты расчетов по предложенной модели лучше согласуются с экспериментальными данными, чем по классической теории. Максимальное различие между теоретическими предсказаниями и экспериментальными результатами не превосходит 15 %.

В параграфе 2.6 исследуется плоское напряженное состояние и плоская деформация, которые рассматриваются в трехмерном подпространстве пятимерного девиаторного пространства. Вводится гипотеза о компланарности девиаторов Од», £>де, определяются понятия простого и ортогонального догружений. Результаты §2.3 перепосятся па этот класс нагружений. Производится сравнение теоретических расчетов с данными экспериментов Нахли и Роули, Вудянского и др., в которых сложное нагружение трубчатых образков осуществлялось комбинированным действием растягивающей нагрузки с добавлением крутящего момента. Так же получено удовлетворительное согласие теоретических расчетов по предложенной модели с данными этих опытов.

Параграф 2.7 посвящен обобщению полученных в пп.2.3 - 2.5 результатов на случай произвольного изменения всех шести компонент тензора напряжений Та. Установлена связь между теориями А.А.Ильюшина, С.А.Христиановича и Е.И.Шемякина и предложенной моделью сложного нагружения упрочняющегося тела.

В параграфе 2.8 с применением предложенных соотношений De-шаются задачи о потере устойчивости цилиндрических оболочек за пределом упругости при осевом сжатии и комбинированном на-гружении осевой силой и внутренним давлением. Определяются нижние критические нагрузки, когда соотношения между приращениями напряжений и деформаций в каждой точке оболочки в момент потери устойчивости имеют вид (4), решения сравниваются с данными опытов Вольмира A.C., Божинского А.Н., Пономарева А.Т. Эти нагрузки ниже других, полученных по классическим теориям (деформационная теория, теория пластического течения Рейсса -Ланинга), и удовлетворительно согласуются с экспериментальными в области развитых пластических деформаций.

Третья глава диссертации посвящена построению определяющих соотношений в упругости и пластичности первоначально изотропных сред, разносопротивляющихся при растяжении и сжатии. Вначале приводится краткий обзор существующих вариантов теории упругости и пластичности и методов их построения. Отмечается, что исследователи, занимающиеся изучением упругих свойств разномодульных тел, не обращают внимание на возможный переход из упругого состояния в упругопластическое, а исследователи, занимающиеся изучением неупругих свойств, не обращают внимания на упругие свойства этих сред. Обзор приведен в §3.1.

В параграфе 3.2 дано построение соотношений упругости и деформационной теории пластичности первоначально изотропных сред, разносопротивляющихся при растяжении и сжатии, в случае плоской деформации. В основе построения математической модели лежат представления главы 1 - механическая модель первоначально изотропного тела, восстановленная по закону Гука (§1.5), и простейшая механическая модель дилатирующей среды, рассмотренная в п. 1.4. Вся область нагружения здесь разбивается на три области, соотношения из одной области нагружеш-я непрерывным образом переходят в соотношения другой области, во всей области дефор-

мированное состояние не зависит от истории нагружения, в каждой

из областей существует потенциал для упругих дешормапш

Формой, согласованной с содержанием, в случае плоской -формации является параллелепипед, четыре грани которого параллельны оси 2 и равнонаклонны двум друг™ (1,2,3 - главные оси тензора гг&ппяжений. и-. > <7? > <73 ). В сечении, параллельном плоскости 1,3, картина деформирования представлена на рис. 4, где yr:-v. ip* характеризует наклон граней выступов но отношению к граням парал лру«?пипеда. Вводится попер 1т - орт i лежит в*плоскости контактов, орт m - нормальный "»ктоп. Вектооы Коти »7, <7' на гиа,-нях призмы в базисе 1,т равны р = a¡l + атт, q — €¡¡ -+- етт, где

<Т( = rcosip« + <rsin(¿>*, £1 = 7 cos <p. + esinv-.

am = —Tsin<p* + о cos fm = —7sin<,¡5* + ecos<£„,

_ ffl-g« _ - gl-fgg __ ti-^8 f _ tl+tf — 2 ' ? * ' 2 * "

В области нагружения i cr¡ < 0 и сдвигов нет > вектор с - внутри конуса, образованного нормалями к граням выступов;, вдоль р ни<-исходит простое удлинение. В области нагрузок П. с- > 0 и < С' - по i происходит простой сдвиг, по ni - простое удлинение, кри"-рий пластичности - |<7;| = const. В области нагрузок III > 0 к вдоль р происходят простые сдвиги, модуль сдвига зависит от \р,„ Соотношения между напряжениями и деформациями имеют ни/ в области 1 с границами г = 0, rcosip» 4- a s:n<¿>- = '

fk' = const"

в области II страницами rcosy>* + crsín<¿>« = 0,<7cos<р*~г sin^* =

О

= («и +0127)0;;.

< — Ct\2т "V e22f в области III с границами а соз <р, — т sinyj* = С. т = [

где = €¡j - e, fTjj = (Tij - a,

eos2 <p« sin2 <pm

,1 1 a12 = sin<p„cos^*( — - ^7),

1 • 2 % _ eos (p+ sm tp+

°22 ~ 2k' '

В этом же параграфе исследовано условие предельного равновеск Кулона - Мора, которое с трением одних частиц по другим не cbi зано. Кривая трения здесь, как и было определено ранее, - крива

Параграф 3.3 посвящен анализу механической и математич< ской модели разносопротивляющегося при растяжении и сжати материала, построенной в п. 3.2, и механической и математическо модели Лруккера - Прагера. Отмечается, что, несмотря на схо/ ство, в модели Друккера - Прагера через один параметр - угол V определяются площадки, на которых выполняется условие предель ного равновесия Кулона - Мора, трение на площадках скольжение закон дилатансии. В построенной модели все эти понятия разделе ны - рассматриваются независимо.

В параграфах 3.4 - 3.6 с использованием предложенных в п 3.2 определяющих соотношений, разносопротивляющейся при ра стяжении и сжагии среды, решаются задачи о НДС массива гор ных пород вокруг цилиндрической выработки. В §3.4 решается од номерная упругая задача о сжатии плоскости с круговым отвер стием. Механической особенностью полученного решения являете! то, что существует зона, определяемая неравенством г > Со, гд( Со - характеристика, зависящая от свойств среды, в которой происходят только деформации простого удлинения (в случае приме нения обычного закона Гука со = оо ). В п. 3.5 решается двумерная унругопластическая задача о сжатии плоскости с круговым отверстием - задача Л.А.Галина при условии пластичности, предложенном в п. 3.2 (условие по форме, совпадающее с условием Кулона - Мора). Рассматриваются случаи полного и неполно-

I охватов упругопластической границей контура кругового отвер-•ия. Задача решается с использование}! конформного нр собрало лия. Для приближенного решения этой нелинейной задачи ироиз дена линеаризация формул Колосова - Мусхелитпвили и зависн зстей напряжешгй от радиуса г в пластической области деформи-»вания (те и другие записываются в приращениях), игпользоваг ;тод коллокации (Перлин П.И., 1960). В п. 3.6 дана с прямо-пием предложенной механической модели возможная интерпре-ция открытого недавно сотрудниками Института горного целя 3 РАН (акад.РАН М.В.Курлепя, акад.РАН Е.И.Шемякин, д.ф -а. В.Н.Опарин) и др. эффекта зональной дезинтеграции массива рных пород вокруг выработок глубокого залегания. Суть интер-етации. При однородном мопотонном простом сдвиге происхо-т колебательное изменение объема сыпучей среды (раздроблен-й горной породы). Он максимален при каких-то значениях 7 = минимален при 7 = 7«+1 (п = 0,1,...), 72" < 7*"+1- Если эту ртину перенести на задачу о равномерном сжатии плоскости с уговым отверстием, то нетрудно заметить, чю вокруг отзерсЕИК дут иметь место те же самые эффект - при к,там- ¡о г = /•„ ойъем еды будет максимально увеличен и при каком-то г = г»„ ча.'геи-льно уменьшен. Задача заключалась в формулировке уравнений я той и другой стадий деформирования и оценке значений ра;ш->ъ г = г„, г = г»», что и было сделано, Рассматривались гри пасли деформирования: первая, примыкающая к бссконечаости, оторой происходят только деформации простого удлинения, вто-я, ближе к контуру, в которой происходит разуплотнение матер и-1 и. наконец, третья область (у самого контура), в хоторой после кси сального разуплотнения наступает уплотнение.

В параграфе 3.7 получены соотношения упругости и деформа-шной теории пластичности рассматриваемого класса материа-} в случае произвольного изменения всех шести компонент гензо-) напряжений и деформаций. Г(ршпогп постро<*!Гпя гот что л . 3.2, отличие в том, что формой, согласованной с содор-.кг'.нпе: и сь является охгаэдр.

В §3.8 приводятся сравнения теоретических расчетов с •жеперл-ггальнымл данпыми. Рассматриваются эксперкмепталыше ре-ьтаты И.Я.Дзене для полиэтилена, А.Н.Ставрогпна для мрамора-

1, каменной соли, строятся единые кривые в виде зависимостей ат = Сгя(ет), о"! = <7"|(с1). В экспериментах Стгшрогина А.Н. сплошные цилиндрические образцы подвергались сжатию и боковому давлению так, что отношение главных напряжений в одном опыте сохранялось постоянным.

Параграф 3.9 посвящен построению модели сложного нагружения упрочняющихся сред, разносопротивляющихся при растяжении и сжатии. Идеи построения те же, что в §§2.3, 2.5 - 2.7.

Четвертая глава диссертации посвящена построению определяющих соотношений в пластичности первоначально анизотропных сред с обобщенным законом упругости Гука. Вначале приводятся краткие сведения о работах по пластичности анизотропных сред. Выделяются критерии пластичности Мизеса, Хилла, в которых присутствуют 21 или 15 независимых постоянных, подлежащих определению из такого же количества экспериментов.

В п. 4.1 строятся новые критерии пластичности первоначально анизотропных сред (число опорных экспериментов < 6), деформационная теория и теория пластического течения. При построении определяющих соотношений в пластичности используется представление обобщенного закона Гука в виде совокупности собственных состояний, применяется гипотеза о том, что собственные тензоры упругих податливостей остаются собственными и для пластических деформаций. Критерии пластичности в зависимости от кратности собственных чисел - линейные (= Зк - координаты тензора Т„ в собственном базисе 7}, - пределы упругости ), квадратичные + 5,2 + ... = Зд!/ . ), деформационная теория пластичности и теория пластического течения как в одномерном случае и как в изотропном случае.

В п. 4.2 исследуются уравнения §4.1 для жесткопластического анизотропного тела при плоской деформации. Рассмотрен простейший случай, когда при упругом деформировании тело в фиксированной системе координат ас, у подчиняется закону Гука вида

¿г = оца, - а^Оу, е„ = -а12<Гх + а22<Гу, еху = аззтху .

Определяются характеристики статически определимой задачи, соотношения на характеристиках. Исследуются простые напряженные состояния. Решаются задачи о вдавливании штампа (рис. 5)

и о внедрении клина в жесткопластическую анизотропную полуплоскость, исследуется влияние анизотропии материала на значения предельных нагрузок. Полученные решения отличны от других ввиду наличия в условии пластичности гидростатической составляющей.

Параграф 4.3 посвящен определению допустимых форм соотношений упругости и пластичности в континуальной механике деформируемого твердого тела. Они устанавливаются из условия существовании интеграла

>"'

И/ = I и ¡¿(¡¿а

при произвольном пути догружения, соединяющего две близкие точки: aij(tn+^). Во-первых, должен существовать непрерывный переход из одной области догружения в другую, во-вторых, в каждой из областей догружения должен существовать локальный потенциал {принцип макродетерминизма В.Д.Клюшникова).

В §4.4 устанавливается система уравнений для определения Феноменологической блочной механической модели первоначально анизотропной среды, приводятся примеры построении для некоторых классов анизотропных сред. Форму, согласованную с содержанием для ортотропной среды, образуют октаэдр, построенный б осях оп-тотропии, и параллелепипед с гранями, параллельными плоскости ортотрош?».

Параграф 4.5 посвящен обработке экспериментальных данных. Рассматриваются береза, сосна, для которых кроме обобщенного закона Гука известны но 12 пределов прочности, полученные при растяжении и сжатии в шести различных направлениях (данные экспериментов взяты из справочника Лшкенази Е.К., Гаяова Э.З.;. Проверке подлежали критерии прочности, восстановленные ас обобщенному закону Гука. Так как все собственные числа различны, они имеют вид пятимерного параллелепипеда. Рассмотрен также трасверсально изотропный мелкозернистый графит, для которого известны обобщенный закон Гука, кривые <т ~ е для различных прямолинейных траекторий в пространстве деформаций (эксперименты Огибалова П.М., Кузнецова В.Н. и др.). По обобщенному закону Гука восстановлены виды единых кривых, которые построены с учетом данных опытов.

В п. 4.6 определяются направления экстремальной прочности первоначально ортотропных сред в случае растяжения или сжатия. С этими направлениями, в частности, совпадают направления осей ортотропии исходного материала. В §4.7 рассматривается обобщение теоремы А.А.Ильюпшна о простом нагружении в случае применения построенной в п. 4.1 деформационной теории пластичности анизотропных сред. Здесь также имеют место степенные зависимости, условия несжимаемости материала в том или другом собственных направлениях.

Параграф 4.8 посвящен построению математической модели идеально пластического композита типа монокристалла. В качестве примера решается пластическая задача о сжатии кругового кольца, составленного их лепестков логарифмической спирали. Решение сравнивается с приближенным, полученным А.Ф.Ревуженко, С.В.Лав-риковым.

В заключение сформулированы основные результаты работы:

1. В работе предложен метод построения определяющих соотношений в упругости и пластичности первоначально изотропных и анизотропных сред с учетом разносопротивляемости при знакопеременных нагрузках. Метод основан на определении вначале феноменологической блочной механической модели среды, в соответствии с которой тело деформируется в упругости, в пластичности. Механическая модель среды восстанавливается по определяющим соотношениям среды в упругости, по наблюдаемым в опытах на простой сдвиг линиям локализации деформаций - линиям Чернова-Людерса.

2. Метод апробирован на первоначально изотропных средах с законом упругости Гука - полученные по этому методу критерий пластичности в виде постоянства октаэдриченского касательного напряжения, деформационная теория пластичности в форме Генки -Надаи - Ильюшина, теория пластического течения в форме Пранд-тля - Рейсса или в форме Рейсса - Ленинга удовлетворительно согласуются с многочисленными результатами различных авторов.

3. Метод использован для построения определяющих соотношений в упругости и пластичности первоначально изотропных сред,

разроо.щротивлшощихся при растяжении и сжатии. Получены но вые cooiEomcEii!. упругости и пластичности ^деформационная теория пластичности). И одной из областей иагружепия соотношения упругости совпадают по фор?«." г соо -ношениями, предложенными Мясникор'.т?? В.П. а соотпоптслия теории пластическогс- течепш. - с t ао". копнчшими, предложенными Новожиловым Ь.Гт Проведена обраоотка с применением полученных соотношения экспериментальных прчулктятпв Лз^не и.А А.Ч., т^тчпггелетнттдт при д<»<1«к>миги»йании полиэтилена, горных пород, показана приемлемость данного подхода При постороении математических моделей деформирования указанного класса материалов.

4. Метод использован для построения определяющих соотношений в пластичности первоначально анизотропных сред с обобщенным законом упругости Гука. Получены новые критерии пластичности, деформационная теория пластичности, теория пластического течения, критерии разрушения. Проведенная обработка экспериментальных данных, яолучешшых при разрушении соспы. березы (эксперименты Лшкеназк Г.с.ояа'; при упр vroiuiдстич<>ском ае формировании мелкозернист ч графита (&кас>рй«*»нть: Огибал; ва II. М., Кузнецова В.Н. и п. . также нодтвержяает приемлемость даттог г подхода.

5. В ¡заботе построены простейшие механические модели деформируемых сред, которые разносопротивляются и проявляют ди-латансию разных знаков ори знакопеременном сдвиге, установлены математические модели их деформирования: С помощью этих простейших моделей возможно как из "кирпичиков" построение наперед за .анной более сложной механической и соответственно математической моделей первоначально анизотропной, разносопротивляю-щейся при знакопеременном пагружении среды.

G. Определены допустимые формы определяющих соотношений упругости и пластичности с точки зрения континуальной механики деформируемо! о твер

7 Пострм:>н-ч пь примере перк>н.«ч ■ uoU ерелы по-

пах !'i-<-: , ,гя мод-.-:;!, :п ..¡а. : - ,i .„, : ¡опаши,

упрочняющегося тела при сло:кноЙ нагружениг.. Модель обобщает результаты работ А.А.Илыоганпа, С.А.Хркстиаиопича v Е.И.Ше-шсашя, апробирована па экспериментальных данго.:^ A.M.Жукова,

В.М.Жигалкина, Нахди и Роули, Будянского и др.

8. Предложена новая методика определения нижних критических нагрузок в задачах о потере устойчивости деформируемых систем за пределом упругости, в которых докритическое состояние однородно (задача о потере устойчивости бесконечно длинной полосы, цилиндрической оболочга! при простом и сложном нагруже-ш(ях ). Для отыскания нижних критических нагрузок необходимо в решениях соответствующих упругих задач заменить упругий модель сдвига на касательный.

9. Решен комплекс задач о НДС массива горных пород вокруг цилиндрической выработки: решена с применением полученных соотношений упругости одномерная задача о сжатии плоскости с круговым отверстием; решена упругопластическая задача Л.А.Галина о двухстороннем сжатии плоскости с круговым отверстием в случаях полного и неполного охватов упругопластической границей контура отверстия (в качестве условия пластичности использовалось предложенное автором, по форме совпадающее с условием Кулона -Мора); дано возможное объяснение эффекта зональной дезинтеграции массива горных пород вокруг выработок с позиции предложенной механической модели разносопротивляющейся среды.

10. Исследованы уравнения жесткопластического анизотропного тела, получены характеристики, соотношения на них, исследованы простые напряженные состояния. Получены новые качественные решения задач о вдавливании штампа и о внедрении клина в жест-коцластическую анизотропную полуплоскость.

¡1. Исследованы уравнения идеальнопластического состояния однонаправленного композита типа монокристалла. Решена задача о сжатии кругового кольца, составленного из лепестков логарифмических спиралей.

12. В работе решен ряд других вопросов теории пластичности анизотропных сред - определены направления экстремальной прочности ортотропной среды при сжатии, рассмотрена теорема А.А.Ильюшина о простом нагружении б применении к построенной деформационной теории пластичности.

Осиовное содержание работы отражено в следующих публикациях:

_____1. Исмагилов Р.Х., Чанышев А.И. Устойчивость полосы зг-,

пределом упругости. - В сб.: Динамика спло/яной~срёдкПТовосЕ-" бирск, ИГ СО АН СССР, 1975, в. '¿'2, с. 195 - 205. .

2. Чаиытпев А.И. Об одной модели пластического де<Ьормиро-ваник материалов при сложном нагружешш. - В сб.: Ма':ериалм VI Казахстанской межвузовской конференции по м&тс.лат11ке к механике: Тез. докл. Алма-Ата, 19?"

о. Чаньпаеь А.И. О потере устойчивости крепей ¡гклиядркче-ской формы капитальных горных выработок. - Физ. техн. пробл. полсзп. исгслагъп.тх, ;ч н. с, У г.- - »».

4. Чанышев А.И. Об одной модели пластической деформаций материалов при сложном нагружешш. - В сб.: материалы УП Всесо-юзн. конференции по прочности и пластичности: Тез. докл., Горький, 1978.

5. Чанышев А.И. Деформация упрочняющегося пластического материала при сложном нагружешш. - В сб.: Динамика сплошной среды, Новосибирск, ИГ СО АН СССР, 1978, в. 34, с. 41 - 53.

А Чанышев А.И О пляси;ч<и:коИ иттггтляаг .чр™

сяо-*с,кчм т«ягрпкеии». - {Т)«*~ А -П-?£ ?! 4. с. 14-. ■ АА.

А ил;пгн!рв А.И. Опла- •■>••■..••-.сти ани?отропшд . 1Г Ч* ; V

я. Ча;»ышев А.И. 1> ^ада'; с :ц*< ■ ч.>-

для их;:- гкопластического .- ",'^'Н -.г" ' ••'

- 154.

9. Чанышев А.И. Об одной модели пластического деформирования горных пород при сложном нагружешш. - Физ. техн. пробл. разработки полезн. ископаемых, 1985, N 1, с. 27 - 34.

10. Чанышев А.И. О соотношениях упругости для горных пород. Деформационная теория пластичности. - Физ. техп. пробл. разработки полезн. ископаемых, 1986, N 1, с. 3 - 12.

И. Ж иг ал кип В.М., Чанышев А..И. Анизотропия пластических сред. - В сб.: Прочность п сейсмостойкость эпергетического оборудования: Тез. докл Коор£ совещ., Фрунзе, IPSO, с. 37.

]2. Чанышев А.И. О соотношениях упру теш для горных пород. llc-форманионная теория пластичности. - ri А : Материалы Всесоюзного совещания по физичес ким свойствам !-орвых пород прн высоких давлениях и температурах: Тез. докл., Ереван, 1985, с. 122.

13. Чанъппев А.И. Пластичность анизотропных сред. - Пятый Национальный конгресс по теоретической и прикладной механике: Тез. докл., Варна, 1985, с. 186.

14. Ревуженко А.Ф., Шемякин Е.И., Чанышев А.И. Математические модели упругопластических тел. - В кн.: Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования. Новосибирск, "Наука", с. 108 - 119.

15. Бабаков В.А., Коврижных А.М., Шемякин Е.И., Чанышев А.И. Анизотропия пластического состояния. - YI Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Аннот. докл. - Ташкент, 1986, с. 65 - 66.

16. Имамутдинов Л.И., Чанышев А.И. Решение упругопласти-ческой задачи о протяженной цилиндрической выработке. - Деформирование и разрушение материалов с дефектами и динамические явления в горных выработках: Тез. докл., Симферополь, 1987, с. 46.

17. Имамутдинов Л.И., Чанышев А.И. Об одном приблои-женном методе решения задач плоской теории упругости. - В сб.: Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы X Всесоюзн. конф., Новосибирск, ИТПМ СО АН СССР, 1988, с. 102 - 107.

18. Чанышев А.И. О форме о содержании элемента деформируемой среды. - В сб.: Аналитические и численные исследования в механике горных пород. Материалы Всесоюзн. конф., Новосибирск, ИГЛ СО АН СССР, 1986, с. 122 - 125.

19. Чанышев А.И., Мальбахова С.В. Механика неупругого деформирования анизотропных сред. Новые взгляда и представления. - III Всесоюзн. симпозиум. Прочность материалов и элементов конструкций при сложном напряженном состоянии: Киев, Тез. докл., 1989, с. 68.

20. Чанышев А.И. Об эффекте зональной дезинтеграции в механике горных пород. - Труды X Всесоюзного семинара по измерению напряжений в массиве горных пород., Новосибирск, ИГЛ СО АН СССР, 1988, с. 3 - 7.

21. Имамутдинов Д.И., Чанышев А.И. Решение упругопласти-ческой задачи о протяженной цилиндрической выработке. - Физ. техн. пробл. разработки полезн. ископаемых, 1988, N 5, с. 24 - 32.

22. Чанышев А.И. Механическая модель упругопластического

тела. • ПМТФг )N 5, с. 136 - 144.----------------------------------

23. Чанышев А.И., Чернова H.H. Исследования упругопластн-ческих свойств первоначально анизотропного тела. - Сибирская школа но современным проблемам механики деформируемого твердого тела: Тез. докл., Якутск, 1990, с. 174.

24. Жигалкин D.M., Усова О.М., Чанышев А.И. Исследования пластических и прочностных свойств конструкционных материалов. - В сб.: XXII Всес. совещ. по пробл. прочн. двигателей: Тез. докл., Москва, 108?, с. 94 - 95

2.1. Чанышев А.И., Афиногенов К).Д., Полякова Л.КХ. Чернова H.H. Упругость и неунр.угость первоначально анизотропных сред. Новые взгляды и представления. - В сб.: Моделирование в механике, Новосибирск, ИТПМ СО РАН, т. 6(23). N 4, 1992, с. 57 -62.

26. Чанышев А.И. О допустимых формах соотношений упругости и пластичности. - Физ. техн. пробл. разработки полезн. ископаемых, 1994, N 6, с. 59 - 63

с*

1л

т и

ез

и

тг

т

г

Рис.0

Осреднение

к

V.

Начальные состояния осредненных моделей дилатирутвдих сред

Рис Л

т

Рис.3

Подписано к печати 5 июня 1995г. Формат 60x84/16 печать офсетная. Объем 2 п.л. Тираж 100. Заказ ИГД СО РАН

Национальная Академия наук Республики Казахстан ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ И МАШИНОВЕДЕНИЯ

РГ5 О Я

На правах рукописи

УДК 539.374;539.376

РУДДЕВ Яков Исаакович

ТЕОРИЯ СВЕРХПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ ПРОМЫШЛЕННЫХ АЛЮМИНИЕВЫХ СПЛАВОВ

Специальность 01 02. 04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

I

ДЛМАТЫ 1995