Построение в явном виде основных функционалов некоторых римановых поверхностей и приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

1 8 - I 9 1; "

БЕЛОРУССИИ/! ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

университет шш в. и. лжнл

На правах рукописи УДК 517.918,32: 5Г7.544

СЕТЬКО Елена Александровна

ПОСТРОЕНИЕ В ЯВНОМ ВИДЕ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ НЕКОТОРЫХ РИМАНОВУХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.01. - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

дясоертациа на соискание ученой степени кандидата флз тао-ма г ематаческях наук

Млпок 1991

Работа Еыяоляеяа на кафедре теории функций Белорусскс дена Трудового Красного Знамени государственного унмверсв: имени В.И. Ленина

Научный руководитель

доктор физяко-матеыатяческих н< профессор Э.И. Звероаич

Офнцяальяне-олвояеяга: - доктор физико-матемаглчесних н

профессор Л. А. Аксентьев

кандидат физико-математических доцент В. К. Пчелышк

Ведуцая орштацкя:

- Одесский государственный ушшс мл. И.И. Мечникова

Засуха состоится */Оп ^/¡¿¿-¿¿^Щ1991 года в 10 час заседаний специализированного совета К 056.03.05 по прису ученой степей" кандидата наук в Белорусском государствен? г-грситете по адресу: 220080, г. Ленинский проспекз

главный корпус, комната 205.

С диссертацией могшо ознакомиться в библиотеке Белгс

верситета.

Автореферат разослан

1991 года,

Ученый секретарь сделала зяроваянаго Совета

доцзня П.Н. Князев

<

j

i ОБЩАЯ ВРМТЕРИСТИКА РЛЕОШ

"""""дал основными функционалами ршановой поверхности ^ будем поншдать всюду мероморфиые па ней функции и абелевы дяфферен--;у;али. Проблема нахождения основных функционалов является центральной в теория функций на ришковых поверхностях, и первые от-юсшдиеся сюда результата восходят еще к Б. Риману^. Для основ-шх функционалов некоторых классов Романовых поверхностей исзест-!ы явнне аналитические выражения. Однако дам произвольных абстрактных рямаповых поверхностей к настоящему времени известны гинь теоремы существования (см,, например ^• основных функ-даоналов (с тема или иным наперед заданными особенностями). Тем е менее остается и имеет большее прикладное значение проблема ахоздения аналитических выражений для основных фуннцяояалоз. звестние теорема существования не печеряывааут проблему, так как е содержат способов нахождения основных функцг.оналоз в явном яде. Таким образом, проблема нахождения основных функционалов имаповцх поверхностей является самостоятельной научной пробло-эй, исследования по которой еще далеки от завершит. Этой роблемо а некоторый ее приложениям посвящена диссертация.

Проблема нахозденая остовннх функционалов тесно связана с ут.ачей ляпейпого сопряжения (зли задачей Рикена), которая имеет

Рашя Б, Сознания. -M.-JE,: 01*113, 1943.

ШК'1х;:ср М,, Спенсер Д,К. <5ункцшшдн на конечных ршяиовая поверхностях, -/.•!,: Нзд-тго члестр. лет,, 1357.

Сврангер Дз. Владение а теорлэ ршдаяэвше поверхностей. - ?Л, : ЙЗД-20 иностр. ЛЙТ., i960.

з

Сол&гое прикладное значение (см., например ' 6>). I

те!йлей постановке задача Римана требует нахождения функш мероморфной вне кусочно-гладкого контура Ь , пределы чения СР~ которой на связаны равенством

где функции О У & к $ ^ считаются известными.

До недавнего времени краевые задачи исследовались тс плоскости. Однако среди краевых задач на плоскости давно лясь такие, картина разрешимости которых стала прозрачно; лее понятной лйшь после сведения этих задач к задаче Рим: римановой поверхности в изучения последней. З.И. Зверови' показано, что общее решение скалярной задачи линейного сс пая на ршдазювой поверхноста выражается через коатфацяен-. впя сопряжения и основные функционалы данной римановой пс ти. Отсэда и возникла сама постановка проблемы нахотгде:;;.

тических вырагеиий для основных функционалов.

о гп

Если предположить, что в (I) функция Ч - вектор} ная, мероморфная на С \Ь , а - задаш

матрица-функция и вектор-функция соответственно, то в 8тс чае задача сопряжения (I) иазшгается векторно-матричной. случаем взкторпо-иатрпчиой задачи является проблема нахо*

1. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977.

2. Мусхеляшвилл Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Наука, 1968.

3. Зверозач Э.Я. Краевие задачи теория аналитических фуш гелвдеровских классах на риманових поверхностях // Усг мат. наук. - Г371. - Т. г.'Л, I. - 0. 113-173.

основных • •укхцг.оиалов /г-листиого накрытия ci-еры (Г .

Зскторно-матрнчная задача Рпмана е общем случае не допускает решения т. замкнуто;: :;орме. С точки зрения прплспенил актуально;-; является проблема выделения таких часпшх случаев вакторно-мат-рпчноГ; задачи, которые допускают решение в замкнутой форме. Ряд таких частных случаев известен. '.o~.no отметить результат« Г.П. Чеботарева^ по задаче Рпмана с функционально-коммутативной матрицей, а тате работу J.;-:. Злеровича и .Т.П. Померанцевой*^ по задаче Рпмана (I), в которой матрица О/является подстановочно!:, где устанавливается, что каздая задача с подстановочной матрице!: равносильна скаляркол задаче Рикана па некотором п -лист-

«- Л

ном какритзг. с<[оре £ .

'/.з сравнительно новых результатов, посвя^ешшх обсундаесой проблеме, отметим работа 0.¡1. Зворовича^, В.Е. Кругловя^'

1. Чеботарев ГЛ. ¡\ решения в замкнутой (1орме краевой задачи Рпмана для системы rz пар функций // Уч. зап. Казанск. ун-та. -ГЭ56. - Т. 116, 1. - С. 31-50.

2. Зле роят ЭЛ., Померанцева Л.И. Задача Рима на для п. пар функций с матрицам: подстановочного типа // Докл. АН СССР. -гз7л. - т. 21?, I. -с* 20-23.

3. Зворович Э.И. Алгебраический метод построения основных ("¡vm:~ цаоналов рг/.ланоЕОй поверхности, заданной в виде конечнол.::-:-ной накрывающей сферы // Сибирск, матек. я. - 1937. - Т. ПУП, % б. - С. 32-13.

I. кругло в В.2. Частные индексы, абелсвы дифференциалы I рода и уравнение поверхности, заданные конечной абелевой группой подстановок // Сибирок, лигем, с» - IS3I, - Т. 12, б. -С. 87-101.

>, Хруглоз В.Е. Структура частных индексов задачи Рлмала с матрицами подстановочного типа // Мах. заг/.етки. - 1334. - ?. 35, Я 2. - С. 163-176,

0.Даураева^, однако, все вышеуказанна^результаты дале

исчерпывают проблему. Таким образом, тема, 'которой поев

настоящая диссертация, не только имеет большоепрлкладк

пае, но все еще остается актуальной.

Следуодие основное результаты работы являются новы

- построение в явном виде неприводимого алгебраического хшя, порондагщего поле алгебраических фунгецш:, соотве

ть -листному накрытию сферы £ , группа монодрогш коммутативна (теорема I).

- построение поля функций, мероморфных всэду на замкну! новой поверхности, полученной из правильного \ /ь -угс склеиванием края (теорема 2).

- построение неприводимого алгебраического уравнения, I кцего поле функций, мероыорфных всоду на замкнутой р: поверхности, полученного из правильного 6п -угольяя: зультате склеивания сторон (теорема 3).

- точная оценка для числа связных коглзояент (лепр?,вод;:: телей) ршлановой поверхности в предположении, что с щее алгебраическое уравнение приводимо (теорема 1).

- явная форгдула, аналогичная классической Формуле Крис Езарца для нахождения рациональной функции, реализую йориный гомеоморфизм конечяолистного, рода нуль накр ри С (теорема 5).

- построение глобальной уьпформизации заданного алгебр уравнения алгебраическими Функциями, одна иэ^которш

1. Ддураев 0. Построение в явном виде основных функцис нечнолистяых накрывающих сферн и приложения. Дисс. фнэ.-маг. наук, Минск, 1390, Ш с.

6

о

налъяая (теорема 6).

- явное рессние задачи с пдавллваапп птампа в горизонтальную полосу сирины Л . С ломощьи метода конформного склеивания сведение ее у. классической задаче делдала - Седова (теорема 7).

- явное решение более слонно" краевой задачи о вдавливании системы штампов в полосу с покошью метода симметрии (теорема 8).

Результаты работа г/.огут найти применение как в дальнейших исследованиях по теории функций на римзновых поверхностях, так и в некоторых задачах плоеной теории упругости. Их та:;::е шло использовать поя чтении спецкурсов студентам физико-математических специальностей пединститутов и университетов.

Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на научном семинаре кафедры математического анализа Казанского государственного университета имени Б.И. Ульянова-Ленина (руководитель - профессор Л.Л. Аксеитьев), на Одесском городском семинаре по краевым задачам (руководитель - профессор Г.С, Лат-впнчук) и неоднократно на Минском городском научном оемннаре жени акадедшка О. Д. Гахова по краевым задачам при Еелгосунивер-ситете имени В.И. Ленина (руководитель - профессор Э.И. Зверо-вич).

Основные- результаты диссертации в работах, список которых приведен в конце автореферата.

Диссертация состоит из введения, трех глаз и списк., литературы, вклочаюцего 43 наименования. Работа изложена на 99 страницах мзгшяописиого текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЕАНИЕ РАБОТУ

Во введении излагается история Еопроса, обосновывается туальность теш диссертации и приводится аннотация основных зультатов, полученных в ней.

Первая глава - ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ СВЕДЕНИЯ И ЯВНОЕ Р2УЗШ ПРОБЕЛЫ ПОСТРОЕНИЯ ОСНОВНЫХ ФЛЩ'ЛОНМОВ ННлОТОРИХ КЛАССОВ МАНОВиХ П0В2РЖ0Ж - состоят из четырех параграфов. Перрцй них носит вспомогательный характер; в нем содорнатся необход предварительные сведения.

В § 2 проблем построения основных функционалов расскат вается для конечнолястного накрытия сферы ([.' , группа г.:сно мии которого коммутативна. Результатом является

Теорема . Предполонкм, что группа, порожденная подст нами (Г^ коммутативна, а О -матрица, осуг.еств

ющая одновременно диагояализацпю всех матриц (<ъ) , ( -з. Векторно-иатричная задача

с помощью замены - О ^У^ сводится к /ъ скалярным з

чам Ряманз для функции я поэтому разрешима в замкнут

форме. Координатные функция вектора в иадяекаце зыбр

ном классе функций являются корнями алгебраического уравнени порождающего искомое поле

о

где {в) - рациональные функция.

На примерах проведена конкретные вычисления. 'В § З-рассматр'лвается проблема построения основных фун

к) Нумерация тсорзм в автореферате соответствует нумерации т в диссертации*

налов самановой поверхности, полученной из правильного 4 ог -уголь-пика з результате склеивания сторон по закону "нормального ?>уддз-ментального многоугольника".

Используя метод конформного склеивания, строится вспомогательное конформное отображение, с помогло которого проблема сводится :< проблеме построения Функционалов известного 2 п -листного накритпя сферы (С . Группа монодромин з этом случае, хотя не коммутативна, но разрешима. Благодаря этому свойству удается в явном виде построить соответствуюпее поле алгебраических сГ:ун:-т.::Г:.

В § 1 та проблема рассматривается для римаковсй поверхности, полученной из правильного 6гь -угольника с помощью склеи-ваиия сторон по закону, аналогичному том;/, который рассмотрен в 5 3, Здесь применен тот я:е метод п поручен аналогичный результат.

Вторая глава - ПОСТРОЕНИЕ В ЯВЬ'ОМ З'ГДЕ ГЛОБАЛЬНО/] УЕЙОРКИ-ЗДЦ1:;] АЛПХРА/ЖСНОП) СССТЗЕГСТВГЯ - состоит из четырех параграфов и посвящена построении уннформизаций не в классе автоморфтшх функций (как это традиционно делалось), а в более простом классе алгебраических функций.

В С4 5, кро:.!е постановки проблема ункфоршзации и предполагаемого подхода к ее решению, содержится построение римановой поверхности по заданному алгебраическому уравнению. Попутно найдена оценка для числа связных компонент римановой поверхности в предположении, что соответствующее алгебраическое уравнение приводимо. Именно, справедлива '

Теорема 1. Для числа спязкых компонент римановой поверхности лмеег место точная оценка

В § 6 рассматривается построение ^шфоргдлзацпн в случг когда алгебраическое уравнение ке задано, г- считается азве< конечнолистное, связное, рода нуль накрытие сфера. В этом ( проблема глобальной униформизацдн переходит в проблем пос кия основных функционалов данного накрытия или, что равное: в проблеглу нахондения функции, реализующей конформный год» физм данного накрытия на сферу /Г, . Предполагается новый ход к нахождению отобрааавдей функции в виде интеграла, ан ного классическому интегралу Кристофбеля - Шваоца.

Теорема 5. Рациональную функцию ? - /•>/), и-»/^ реализующую конформный гомеоморфизм сферы на римано

верхность ( задаинуп геометрически как ?г -лкстное п тие сферы Сг с известные проекцией*; <£у точек естк и законом (р^ оклеивания листов, иопно представить в зл.с

где С -ф о произвольная постоянная, параметры ,

р и определяются по подстановкам, остальное парамет] ^ • • V - ^ попарно различные и удозлетворя!

дущой системе уравнений:

г- = ... -= ... * _

В § 7 рассматривается проблема глобальной унифорлшзэ произвольного неприводимого алгебраического соответствия

Ю

J? .С помо'до "рассечения" и "прлклеквзнпя листов" рассеченная риканова поверхность заданного уравнения вкладывается

-л

в конечнолистное накрытие сферы ¿Г рода нуль, после чего моян применить результаты предыдущего параграфа.

Теоаема 6. Для любого неприводимого над полем алгебра чсского соответствия ^J'O существует его глобальная

ушйорлшзацля г1 - у7/TV. (А' / ^J . такая, что хотя

:5и одна из '[ункций у" , у - рациональная (а, вторая, следовательно , алгебраическая).

Весь § 3 посвящен примерам. Построены глобальные униформи-ззцил 'таких алгебраических соответствий, униформизации автокор-Г: ными суккцкями которых ранее не были известны (алгебраические соответствия рода 2 п рода 3).

: Третья глава - ЯВНОЕ РЕСЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ ДЛ "ОЛОСЫ - посвящена решению в явном виде двух нових краевых задач плоской теории упругости для горизонтальной полосы ширины

I .

3 § 9 рассматривается задача о вдавливании системы гла них штампов в полосу. На верхнем крае полосы L краевые условия задаются так, что для комплексного потенциала получается краевое условно задача Гильберта. На нижнем крае полосы Zj краевсх условно не задано, и в целях упрощения ад требуем, чтос комплексный потенциал удовлетворял условию периодичности с периодом i- /I . Прц этом предположении с использованием метода конформного склеивания задача сводится к классической задаче "елдыгоа - Седова. Результатом является

Теооема 7. Задача

/Ут. VYtJ - о, ^ гГ- & -I <P/t) CPS С , i е Z,

II

разрешима безусловно. Ее общее решение сягисгг от (-п

вещественной постоянной к дается формулой

п.

(г'

<77-^

Г- /)

где ... , - произвольные вещественные постоянные.

В § 10 построено решение задачи о вдавливании штампов с глми, более сложным краевыми условия:-.®. Под штаг,-ламп задано щение, вне штампа нет напряжений, а на кл.тлем крае полосы отс ствуют объемные расширения. С помогцью метода сшялетриг. задач.1; сводится к последовательному решении задачи Ркмана на цйлпндг (то есть на полосе со склеенными краями) л к уравнению типа свертки. Решение получено в квадратурах.

список ржут, шуешоваиш по так длссьттлда

I, Сегько Е.Л. Нахождение основных функционалов поверхности г ложенля сферн в коммутативном случае / Вести. Белорус, ун-Сер. I: Фаз,, мат., мох. - Минск, 1989, 18 с. Деп. в ВШИ! 22.П.89, № 7000-В89. 2» Зверовдч Э„И., Сетько Е.А. Ршановы поверхности правильны? 4 п. - угольников / Вески Белорус, ун-та. Сер. I: Оиз., ма мех. ~ Минск, 1990, 17 с. Деп. в ВИНИТИ 01.Ы.90, » Ш5 -В 90.

3. Сетько Е.Л« Ришновы поверхности правильных 6 п. -угольнике Вести. Белорус, ун-та» Сер. I: , мат., мех. - ¿Динск, I

1. Зг.еровпч Э.Л., Сетько Е„А. Построение в явном виде глобально! унпфор.мизацдн алгеоряического соответствия /Вести. Белорус, ун-та. Сер. I: Фаз., мат., мех. - Минск, 1991, 38 с. Дея. в В7.ШТИ 11.05.91, £ 1972-В 91.