Поведение решений краевых задач для уравнения Пуассона тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ

РГ6 од

На правах рукописи УДК 539.3:532.2:517.9

КОСМОДЕМЬЯНСКИЙ Александр Аркадьевич

ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой 'степени доктора физико-математических наук

Москва —

1994

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ

На правах рукописи

УДК 539. 3 : 532. 2 : 517. 9 '

Космодемьянский Александр Аркадьевич

ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА

01 02 04 - механика деформируемого твердого тепа 01 02 05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА -- 1994

Рвбота выполнена в Московском Государственном Университете Путей Сообщения /МИИТ/

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор П.И Перлин

доктор физико-математических наук, профессор Е В Радкевич

доктор физико-математических наук, профессор Ф.Л.Черноусько

Ведущая организация: Вычислительный центр РАН

Защите состоится " »7 * 1994 года в часов на

заседании Специализированного совета Д 002 87 01 при ИГ1М РАН по адресу: 117526, Москва, проспект Вернадского, 101

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем механики РАН.

Автореферат разослан * Я- ЦиШзЦЛ 1994 I

Ученый секретарь Специализированного

совета, к ф.-м н. -^¿'¿■¿^ ~~~__А ^ Меняилов

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Краевые оадачи для уравнения Пуассона нооникяют но многих рапделпх механики сплошной среди. 'Гак, функция напряжений п задаче о кручении упругих стержней является решением оадачи Дирихле. а »ысогп подъёма жидкости в цилиндрическом капилляре решением оадачи Неймана. Но многих случаях практикой интересую г не сами решения краевых оадач, п оценки некоторых функционалов, спяоанцых с ними (максимальное ииачецне касательных напряжений, жёсткость кручения, максимальная иысогп подьемп жикости в капилляре и пр.). Яолынои шпергс выпынтч гак/М- расположение на поверхности стержня "опасных точек" точек, в которых модуль касательных напряжений достигает своего наибольшего опадения. а также точек, п которых кани.мирнан жидысп, подннмае юя на наибольшую высоту.

Задачу Дирихле исследовал ещё Сен Нонан. Им были напучены точные решения для оержией ряда конкретных сечений (круг, эллипс. правильный треугольник и т. д.'), а аатем вычислены онпчения указанных выше функционалов. Такая идеология долгое время была госнодсгвукнией,'сначала находилось решение, аоагем вычислялись интересующие всех оначенич функционалов.

II монографии II. X. Ару гмняна и 1>. Л. АСрамнна имеется подробное описание таких методов и решены многие конкретные оадачи (Аруионяи II. X., Абрамян ¡>. Л. || Кручение упругих гол. М., Фиомптгио. 1003).

Н послевоенное время получил распространение другой подход к поучению краевых оадач для уравнения Пуассона. Коротко идею этого подхода можно сформулировать так: но находя решения, по-

пучить оценки нужных функционалов черео геометрические парп-ыетры оадачи. Таким оценкам посвящены работы Г. Пойя, Г. Сегё, Л. Макар-Лиманова, Л. Нейна, Г'. Филиппика, 1>. Каноля, С. Фу, Л. Уиллера и др. (задача Дирихле); Д. Сигеля, С. Сакагуши, Н. Ко реваара и др. (оадача Неймана).

Задачам с неиовестной границей, на которой оадаиы как усло-В1Ш Дирихле, так и условия Неймана посвящены работы Ф. Л. Чер-ноусько, Дж. Серрина, X. Вайнбергера, Д. Киндорлерера и Г. Стам-иаккия и др.

Цель работы.

1. Получение оценок решений оадач Дирихле и Неймана, содержащих только геометрические характеристики области определения.

2. Алгоритм вычисления нормальной проиолодной решения оадачи Дирихле и касательной производной решения оадачи Неймана на границе области, не требующий оиания самих решений.

Методика работы. В диссертации применяются методы качественной теории дифференциальных уравнений с частными проио-водными эллиптического типа и методы теории функций комплексного переменного (ТФКГГ).

Научная ноииона. Следующие основные реоультаты диссертации являются новыми:

1. Достаточные условия вогнутости (выпуклости вверх) решения оадачи Дирихле (холма напряжений).

2. Методы вычисления нормальной проиовоцной решения оадачи Дирихле и касательной производной решения оадпчи Неймана на границе области, не требующие анания самих решений.

3. Теорема о представлении решения оадачи Неймана.

4. Новью окпнки решений краевых овдач для уравнения Пуассона черео геометрические характеристики области определения. Ряд других новых реоультатов получен в качестве следствий перечисленных ПМ1ПО.

Приложения. В работе получены удобные формулы для вычисления модуля касательных напряжении в оадпче о кручения упругих стержней. Полу ченные формулы пооволяют определять опасные точки im поверхности с тержня в случаях, отличных от классических. Кроме того, полученные оценки могут найти применение в теории краевых опдпм для оллиитических уравнений.

Апробация работы. Реоультаты диссертации докладывались на научных семинарах механика математического факультета МГУ. МИ ИТ'«, на совместных заседаниях Московского математического общества л Семинара им. И. Г. Петровского и 1990 и 93

1.Г.

Публикации. Основные реоультагы диссертации опубликовали в Q работах автора, список которых приведён в конце автореферата.

Структура диссертации. ,'Ысеертация состоит ио введения, трёх глав, рообмгых на 12 параграфов, и списка литературы. Работа положена па 103 страницах. Список литературы содержит 44 нанмонуншшя.

Содержание диссертации

Поучаются решения краевых оадач для уравнения (1) Ли - пи + Л.

Решения рассматриваю геи. и основном, в плоских ограниченных областях D с достаточно гладкой границей Г.

Уравнения типа (1) часто встречаются в приложениях. Так, при К = 0 решение оадачи Дирихле

(2) «|г = О

пропорционально функции напряжений » овцаче о кручении упругих стержней.

Решение оадачи Неймана для ураннення (1)

« S

= Л = const

г

— ото решение лиис&рцоованиои оадачи капиллярности, - оно описывает форму свободной поверхности жидкости и цилиндрическом капилляре, сечением которого является область D.

Веоде в дальнейшем оадачу (1),(2) с к = 0 и А = -I мы будем ншэывать оад&чей (I), а оадачу (1),(3) — задачей (II).

Первая глава посвящена всследовшшю решений оадачи (I). На симом деле, практиков интересуют не самй оти решения, а оценки некоторых функционалов, связанных с иими. Такими функционалами являются: Umax = maxd и — максимальное оначение функции и в области D\ т = maxi |Vu| •— максимальное оначение модуля нормальной проиоводной |ч„(«)| функции и, пропорциональное максимальному модулю касательных напряжений на поверхности ирноматического стержня, сечсписм которого является область

D\ Р = f j udxdy — т.поо. жёсткость кручения. Иолыпой инте-V

рес ныоывает также расположение на границе Г "опасных" i очек

— точек, п которых |Yu| достигает оначения г.

§§1.1, 1.2 настоящей диссертации посвящены исследованию решений оадачи (I) в выпуклых областях.

Содержание §1.1 носит вспомогательный характер. Потом параграфе ми предлагаем единый способ получения оцепок решения и его производных черео геометрические характеристики области D и границы 1'. Отот способ предполагает подбор пекоторых функций от решения и его производных и их вычисление на грлшще Г, что ' нооволяет быстро получать как известные, та« и новые результаты.

В §1.2 мы получаем достаточные условия вогнутости решения оадачи (I). I'«»метрически отот ргоультАт формулируется следующим образом: если всякая парабола, соприкасающаяся с границей Г, содержи г область I) пнутри себя, то решение оадачи (I) имеет п каждой точке погнутый (выпуклый кверху) график (Теорема 1.2.1). Аналитически отот факт ехэначает, что кривизна К границы Г должна п каждой точке удовлетворять неравенству

5Л'3 < ЗЛ'Л* + 9К*

(Теорема 1.2.2).

H отом же щфпгрпфе получены оценки Umax Для решений, обладающих погнутым графиком.

H §1.3 мы доказываем ряд гоорем о расположении точек окс-тремумп |Vu| un границе выпуклой области. H 1856 г., исследовав решение задачи (I) внутри одлнпса и прямоугольника, Сен-Ненпн писал: "Опасные точки, тпк же, как и опасные точки прямоугольника и оллинса, находятся в точках, наиболее Слизких к оси кручения ..." (Saint Venant H. de. )| Mémoires sur la torsion des prismes, ISStî. Mémoires presentes par dives, savants a l'academie des

sciences de I'institut imperial de France, 2 Ser. 14, p. 233-560). To, что приведенное утверждение неверно дли нсвыпуклых областей, было известно даино (Filon L. N. G. || Resistance to torsion of certain forms of shafting, with special reference to the effect of Key ways. Phil. Trans. Roy. Soc. London (A), 193 (1899), p. 309 352). Для выпуклых областей справедливость предложения Сен -Венана сомнении не вызывала, пока недавно Сыеерс (Swcera С. || On examples to a conjecture of de Saint Venant. Nonlinear Analysis. Theory, Methods and Applications, 1992, V. 18, N9, p. 889 891) не построил противоречащий пример. В §1.3 мы строим пример, отличный от примера Свеерса, и доказываем ряд теорем качественного характера о положении экстремумов |Vu| на границе области. Ио полученных теорем приведем следующую:

Теорема 1.3.2. Если функция |Vu| достигает своего экстремума в той точке, где кривиона границы равна нулю, то отот окстремум — максимум.

В §1.4 мы исследуем поведение |Vu[ на границе области 1) (не обязательно выпуклой) методами ТФКП. Основной реоультат состоит в том, что мы вычисляем граничные он&чения |Vu|, не получая само решение. Паши вычисления опираются на следующее утнержденне:

Теорема 1.4.1. Пусть {t'«,h} -— семейство гармонических в области D функций, обладающих следующими свойствами: v,th > 0 в D;

*><,л = 0 на дуге Г \ (» — h, в + /») и J v,^ ds = 1. Тогда

г

(4) |Vu| = |u„(i)( = lim J f v.lk dx dy.

I}"

Таким обраоом, опдама о вычислении нормальной проиоподной решения задачи (I) сводится к вычислению двойного интеграла от гармонической функции. Удобно, иоотому, сдела ть конформное отображение области I), лежащей в плоскости г = х + iy не единичный круг В, лежащий и плоскости С — Í + = re'*. Пусть

(5) г = /(С)=а1С + а3С'+.-+апСп+..-

ноаимно одноон&чнос и конформное отображение области D на единичный круг Н. Тогда справедлива следующая

Теореме 1А.2. Пуст ь а„ = |а„|е'в", а 0¡n = 0¡ — 9Л. Тогда

(С)

M')l=ï(|><|, + 2

/ оо ou

X [^^Зп/КНа^сси^ + и-пЫ+^/Чо,!1

\1п{ п<1 1=1

Точка ¿о, лежащая на единичной окружности, является иро-обрпоом точки s 6 I' при отображении (5).

Конечно, формула (б) сложна дли определении опасных точек, однако, в онпчительном числе часгных случаев оти точки определить можно. 'Гак, для контура

i = cost + ecos2<;y = sin* + г »ir»2í (o < |e| < ^

опасной является точка (-1 + г,0). „

\

]Г] "KIM + С - п)»о) I X

1=1 п<1 }

В §1.5 мы получаем приближённые формулы для пычисления и„(г) па границах областей, блиоких к круговым. О ту блииость мы понимаем н следующем смысле: будем считать, что модуль проио-водной функции (5) представим и виде

(7) |/'(0| = l+«(r,v),

причём функция о(г,<р) много меньше единицы.

И отом случае получена приближённая, с точностью до а2, фор-мулл для пычисления u„(e). Отп формула уже не содержит бесконечных рядом.

Теорема 1.5,1. Ксли отображение (5) обладает свойством (7),

а

то с точностью до U

1

(8) |u„(.)| = Q+/ o(r,»o)rfr)/(í + o(l..„)).

о

Для оллипса с полуосями и 1 +е и Ь 1 pou);ibinn.t им числений по формуле (8) соннпдакм с точностью до е1 с точными реоультптпми Сен Пенппп.

В отключение §1.5 формула (8) нреобраоуется гак, ч го припаи её часть »место параметров конформного отображении содержи г только функции, получаемые с Помощью полярного ураннепнн кри пой Г.

Вт ора« глава диссертации иосвшцеип исследованию ипдпчи (11). Очевидно, что если к 0, то параметр Л можег бы ть искан »чем ио уравнения (1). Ксли же к = 1), то но формулы Грипп слпчует,

что А = Л|Г|/|/)|, а решение оадачи (II) определено с точностью до аддитивной постоянной. Надо наметить, что научению оадачи (II) посвящено иначителыю меньше работ. Оснонное внимание исследователи уделяют оадаче капиллярности ((Финн Р. || Равновесные капиллярные; поверхности. Математическая теория. М., Мир, 1989) и литература в этой книге), линеариоациейкоторой является задача (II). Мы сосредоточили внимание на исследовании оадачи (II) потому, что её линейность пооноляет получить точцые оценки решений н широком классе областей, не оаботясь о вопросах существования классического решения.

При получении оценок решения оадачи (II) мы придерживаемся следующего плана.

И §2.1 докапана общая теорема о представлении решения оадачи (II) и произвольных областях I) С 11", для которых справедливо неравенство Пуанкаре

где р(х) > 0, а конетпнта ^ опвисит только от области 1). Справедлива следующая

Теорема 2.1.2. Пусть 1 ( /т > 0 и г решение оадачи (II). Тогда

J J pax \ J / J

I) I) I) и

о

+ li + u>,

причём функция и янлие|ся решением оадачи (II) с к = 0 и такая, что

J j и ¿х ¿у — О, 1>

Я функция ш удовлетворяет неравенству

п

С помощью раоложения (10) мы приводим оценки решения оа-дачн (II) в дна приёма. Сначала оцениваем решение и оадачи с к = 0, о оатем получаем с точностью до к оценки решении оадачи с к 5М).

К тому же ио принципа макимума легко следует, что функция V внутри облпсти I) оценивается черт) её граничные пначепия и решение иадачи (I), поотому достаточно получить оценки решения па границе Г.

В §2.2 мы проводим такие оценки для выпуклых областей. Оценку колебании функции и на границе диет следующий

'Георема 2.2.1, Пусть I) выпук.ши область с грнпицей !' класса С1 и К > 1\'т\п > 0. Тогда

Полученная оценка точна неранеис I во иревращае 1ся к равенство, если область I) — круг.

Далее в §2.2 мы получаем оценки решения оадячи (II) с « ^ 0. Отметим, что мы нигде не требуем положительности к, цпменни ото требование условием 1 4- ¡.¡к > 0.

Ясно, что оценка колебания решения на границе будет легко получена, если вычислена касательная происшодная ¿(4) отого решения. li §§2.3 и 2.4 мы вычисляем u(i) методами ТФКП. Техника отих вычислений такая же, как и в §§1.4 и 1.5. Аналогом теоремы 1.4.1 служит

Теорема 2.3.1. Пусть {v, - семейство гармонических в области D функций таких, что сопряжёнными к ним являются функции семейства Тогда

(11) «(,) = ¿¡тШ J v^ds- J Jv^dxdy

\ Г D

За тем мы вычисляем интегралы н формуле (11) черео кооффн циенгы конформного отображения (5).

Полученные в §2.3 формулы достаточно громоздки, поэтому в §2.4 мы устанавливаем приближённые формулы для областей, блиа-ких'к хругоным.

Теорема 2.4.1. Пусть а(г,^>) гармоническая функция, сопряжённая к функции а(г,<р) но формулы (7). Тогда, с точностью до а1

1

(12) u(e)=^S(l,.o)- J*{r,,0)dr)/{ 1+«(!,.„)) .

о

Таким обраоом, формула (12) даёт ьооможность получать формулу для колебания решении опдачи (II) на границе Г.

08с и — Г

а(г, ¿г ¿1<

я

о

Третья глава диссертации посвящена некоторым (задачам, объединённым методами их решения, блинкими к тем, что были исполь-пованы в главах I и II.

Н §3.1 мы рассматриваем опдвчу с неипвегтной границей дли уравнения (1). Ипнсстно (Яегпп .1, || Л 5упппе(гу ргоЫет ¡п ро1еп-11а1 1Ьеогу. А гсЬ, 1Ы. МесЬ. ап<1 Лпл1., 1971, V. 13, р. 301 318), что если на границе Г области /> падпны и условия (2) и условия (3), то область О круг, а в многомерном случае и мерный шар. Пп основании оценок, полученных к главе I, мы приводим олемен-тарпое докаоательство итого утверждения для выпуклых областей. Как следствие, нами получен вариант чеиремы, ибрнгной геореме о среднем для гармонических функций.

Теорема 3.1.2. Пусть область I) с границей Г класса Сг такова, что для любой функции и(т,у), гармонической н области />, выполнено равенство средних онпчений

Тогда область О • круг.

Далее в §3.1 мы разбираем другие опдачм с неионестной границей для уравнения (1). Тпк, если на всей границе Г опданы условия (2), в условия (3) оаданы лишь на части Го С Г. то область I) снова круг (Теорема 3.1,3). Ксли же нп 1' оаданы условия (2), а на

дуге l'o С I' условия (1), то мы строим пример области, отличной от круга, на границе которой такие условии имеют место.

В §3.2 мы рассматриваем оадачу капиллярности. Форма поверхности и(х,у) в капиллярной трубке, сечением которой является область I), описывается уравнением

(13) divTu —- «и,

a ua границе Г области D выполняется условие

(И) (Ч'и,п) = соз 7,

где Ти ~ Vu/( 1 + |Vu|J)'/2, а п единичный вектор внешней нормали к Г.

Мы докапываем, польпуясь результатами §2.1, теорему о представлении решения оадачи (13) (М).

Георема 3.2.1. Предположим, что область D такова, что существуют решения уравнения (13) и уравнения

с граничными условиями (11). Пусть существует такая константа С, что в области I) имеют место оценки < С и < С. Тогда существует' такая константа Л, оаиисящая от С, что как только Л 4- цк > 0 (ц — константа но неравенства (9)), то справедливо равенство

Г

и = соз ■) ¿а + 2 4- и;,

причем

J! г ¿х ¿у = О

I)

а функция и! удовлетворяет неравенству

1/3

С помощью теоремы 3.2.1 мы получаем формулу, которая описывает форму поверхности жидкости в кольцеобразном капилляре. Кроме того, с помощью отой теоремы получается простое доказательство классической формулы Лапласа для круглого капилляра.

В §3.3 мы рассматриваем решения третьей краевой опцачи для уравнения (1)ск=0,

Методами, которые иснольоовплись в §2.2, мы получаем точные оценки решения такой оадачи и плоских выпуклых областях. Эти оценки мокаоынают, что при 0 —* 0 решение оадачи (1), (1С) стремится к решению оадачи (1) - (2), а при /3 —> +оо разность

(16)

^u — стремится к решению задачи (1), (3) такому, что его

среднее по границе Г равно пулю.

Рпботы аатора по теме диссертпции

1. Космодемьянский Л. Л. || Обращение теоремы о среднем

с. 175 176.

2. Космодемьянский Л. А. || Об одной оадпче с неизвестной границей для оллиптическпх уравнений. УМН, т. 10, вып. 3 (1985), с. 207 208.

3. Космодемьянский А. А. || Достаточные условия вогнутости решения оадачи Дирихле для уравнения Ли = -1. Мат. заметки, т. 12. N1 (1987). с. 537 512.

1. Космодемьянский А. Л. || Поведение решений уравиения Л ti = -1 в выпуклых областях. ДАН СССР. т. 301. N'3 (1989). с. 5IG 518.

5. Космодемьянский А. Л. || Оценка решений второй краевой опдпчи для уравнения Нупссопп. УМП, т. 15, вып. 1, (1990), с. 133-

6. Космодемьянский А. А. II 'Георема о представлении решения второй краевой оадачи ДАН СССР. т. 317. N'2 (1991). с. 288 291.

7. Космодемьянский А. А. || Изопериметрические оценки решения второй краевой задачи для уравнения Пуассона. Мат. заметки, т. 50. N5 (1991). с. »8 53

8. Космодемьянский А. А. || О вычислении нормальной производной решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Доклады

значении для гармонических функций. УМП, т. 36, вып. 5 (1981),

131.

РАН. т. 328, N2 (1993), с. 139 110.

/

Подписано в печать I'*.СУ+ .94. ^ориат 60x84/16.

Усл.печ.л. 1,125. Заказ 535. Тирах 100.

101475,' Москва А-55, ул.Образцова 15.

Типография 'ТУ НС (1ЯПТа)